9. Duas Funções de duas Variáveis Aleatórias
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com f.d.p.conjunta
f XY ( x, y ). Considere ainda duas funções g ( x, y ) e h( x, y ),
tal que se define duas variáveis aleatórias
Z  g ( X ,Y )
W  h( X , Y ).
Como determinar a f.d.p. conjunta de Z e W, f ZW ( z, w) ?
FZW ( z, w)  PZ ( )  z,W ( )  w  Pg ( X , Y )  z, h( X , Y )  w
 P( X , Y )  Dz ,w   
y

( x , y )Dz , w
f XY ( x, y )dxdy,
DZ é a região de xy tal que:
Dz ,w
Dz ,w
x
g ( x, y )  z
h ( x, y )  w

f ZW ( z , w) 
FZW ( z , w)
zw
1
Exemplo 9.1: Suponha que X e Y são v.a. independentes
uniformemente distribuídas no intervalo (0, ).
Define-se Z  min(X ,Y ), W  max(X ,Y ). Determine f ZW ( z, w).
Solução: Obviamente w e z variam no intervalo (0, ).
Então
FZW ( z, w)  0, se z  0 ou w  0.
FZW ( z, w)  PZ  z,W  w  Pmin(X ,Y )  z, max(X ,Y )  w .
Deve-se considerar dois casos : w  z e w z, uma vez
que pertencem a diferentes regiões, como mostra a figura.
Y
Y
( w, w)
( z, z )
( z, z )
yw
( w, w)
X
(a ) w  z
X
( b) w  z
2
Para w  z, na Fig. 9.2 (a), a região DZW é representada
pela área tal que:
FZW ( z, w)  FXY ( z, w)  FXY ( w, z)  FXY ( z, z) , w  z,
e para w  z, tem-se:
FZW ( z, w)  FXY ( w, w) ,
como
w  z.
x y xy
FXY ( x, y )  FX ( x ) FY ( y )    2 ,
 
obtém-se
2( w  z ) z /  2 ,
FZW ( z, w)  
2
2
w
/

,

Então
2 /  2 ,
f ZW ( z, w)  
 0,

0  z  w ,
0  w  z  .
0  z  w ,
ot herwise.
3
As f.d.p. marginais de Z e W são dadas por:
2
z
f Z ( z )   f ZW ( z, w)dw  1  , 0  z   ,
z
  
w
2w
fW ( w)   f ZW ( z, w)dz  2 , 0  w   .


0
Se g ( x, y ) e h( x, y ) são funções contínuas e diferenciáveis,
então é possível desenvolver uma fórmula para obter a
f.d.p. conjunta f ZW ( z, w) diretamente. Assim as equações
g ( x, y )  z, h( x, y )  w.
para um dado ponto (z,w), pode ter n soluções
representadas pelos pares:
( x1, y1 ), ( x2 , y2 ), , ( xn , yn ),
de modo que
g ( xi , yi )  z,
h( xi , yi )  w.
4
y
w
w  w
( x1 , y1 )
(a)

( xi , yi )
z  z
z

( x2 , y2 )

w
( z, w) 
2
1
z

n
i
x
( xn , yn )
(b)
Assim observando a figura a pode-se escrever
Pz  Z  z  z, w  W  w  w
 Pz  g ( X , Y )  z  z, w  h( X , Y )  w  w .
Então
Pz  Z  z  z, w  W  w  w  f ZW ( z, w)zw.
Agora é preciso escrever fZW(z,w) em função de fZW(z,w)
5
Após varias manipulações matemática chega-se a
1
f ZW ( z, w)   | J ( z, w) | f XY ( xi , yi )  
f XY ( xi , yi ),
i
i | J ( xi , yi ) |
Onde:
 g1

 z
| J ( z , w) | det 
 h1

 z
 g

 x
J ( xi , yi )  det 
 h
 x

g1 

w 
.
h1 

w 
1
| J ( z, w) | 
| J ( xi , yi ) |
g 

y 

h 
y 
 x x
i
.
, y  yi
6
Exemplo 9.2: Suponha que X e Y são duas v.a.’s gaussianas,
independentes, ambas com média zero e variância  2 .
Define-se Z  X 2  Y 2 , W  tan1 (Y / X ), onde | w |  / 2.
Determine f ZW ( z, w).
1
( x 2  y 2 ) / 2 2
Solução:
f XY ( x, y ) 
e
.
2
2
z  g ( x, y )  x 2  y 2 ; w  h( x, y )  tan 1 ( y / x ), | w |  / 2,
Se ( x1 , y1 ) é uma par de solução então ( x1, y1 ). é também
solução, pois
y
x
 tan w, ou
y  x tan w.
Substituindo y tem-se
z  x 2  y 2  x 1  tan 2 w  x sec w, ou x  z cos w.
Então
y  x tan w  z sen w.
7
Assim há dois conjunto de soluções
x1  z cos w, y1  z sen w, x2   z cos w, y 2   z sen w.
Calculando o jacobiano J ( z, w).
J ( z , w) 
x
z
y
z
x
w
 z sin w
 z , | J ( z, w) | z.
z cos w
cos w

sin w
y
w
Calculando o jacobiano J ( x, y )
x
J ( x, y ) 
x2  y2
 y
x2  y2
y
x2  y2
x
x2  y2

1
x2  y2

8
1
.
z
Substituindo | J ( z, w) | 1/ | J ( xi , yi ) |, determina-se fZW(z,w)
1
f ZW ( z, w)   | J ( z, w) | f XY ( xi , yi )  
f XY ( xi , yi ),
i
i | J ( xi , yi ) |
f ZW ( z, w)  z  f XY ( x1 , y1 )  f XY ( x2 , y2 ) 

z

2
e
 z 2 / 2 2
0  z  , | w |
,

.
2
que representa a f.d.p de uma v.a. de Rayleigh r.v com
2
parâmetro  . As f.d.p. marginais de Z e W, são dadas
por:
 /2
z  z 2 / 2 2
f Z ( z)  
f ZW ( z, w)dw  2 e
,
0  z  ,

 / 2

1
0

fW ( w)   f ZW ( z, w)dz 
, | w |

2
,
9
Que representa uma v.a. uniformemente distribuída no
intervalo ( / 2, / 2). Observa-se ainda que
f ZW ( z, w)  f Z ( z)  fW ( w)
assim Z e W são v.a.’s independentes.
Resumo: Se X e Y são variáveis aleatórias gaussianas e
independentes, com média zero e com variâncias iguais,
então as variável aleatórias Z  X 2  Y 2 , W  tan1(Y / X ), têm
respectivamente, distribuições Rayleigh e uniforme.
Se X e Y são variáveis aleatórias independentes então
Z=g( X,Y ) e W=h( X,Y ) são ainda independentes.
10
Exemplo 9.3: Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes
com distribuições exponenciais ambas com parâmetro .
Define-se U = X + Y, V = X - Y. Encontre a f.d.p. conjunta e
as marginais de U e V.
1
Solução:
f XY ( x, y )  2 e ( x  y ) /  , x  0, y  0.

Como u = x + y, v = x - y, implica que sempre | v | u, e
portanto, há somente um par de solução.
assim: x  u  v ,
2
1
fUV (u, v )  2 e u /  ,
2
uv
y
.
2
J ( x, y ) 
1
1
1 1
 2
0  | v |  u  ,
1 u u / 
u u / 
fU (u )   fUV (u, v )dv  2  e dv  2 e , 0  u  ,
u
2 u


1  u / 
1 |u|/ 
fV (v )   fUV (u, v )du  2  e du 
e
,    v  .
11
|v|
2 |v|
2
u
Variáveis Auxiliares:
Suponha que Z = g( X,Y )
onde X e Y são duas variáveis aleatórias. Neste caso podese determinar a f.d.p. da v.a. Z, f Z (z) usando uma variável
auxiliar, definida por W = X ou W = Y. A f.d.p. Z pode
ser obtida integrando-se f ZW ( z, w.)
Exemplo 9.4: Suponha que Z = X + Y e seja W = Y tal que a
y1  w, x1  z  w.
Tem-se
J ( x, y ) 
f ZW ( x, y)  f XY ( x1, y1 )  f XY ( z  w, w)
f Z ( z )   f ZW ( z, w)dw  


1
1
0
1
1
f XY ( z  w, w)dw,

Se x e Y são independentes f Z ( z )   f x ( z  y) fY (w)dw, 12
Exemplo 9.5: Sejam X  U (0,1) e Y  U (0,1) variáveis
aleatórias independentes. Define-se
Z   2 ln X 
1/ 2
cos(2Y ). Encontre a f.d.p. da v.a. Z.
Solução: Usando a variável auxiliar W = Y, tem-se
x1  e
 z sec(2w)  2 / 2
J ( z, w) 
x1
z
x1
w
y1
z
y1
w
y1  w,
,
 z sec ( 2w) e
2

0
  z sec ( 2w)e
2
  z sec( 2w )  2 / 2
  z sec( 2w )  2 / 2
f ZW ( z, w)  z sec (2w) e
2
x1
w
1
.
  z sec( 2w )  2 / 2
   z  , 0  w  1,
,
13
Encontre a função densidade de Z.
Solução: Podemos fazer uso da variável auxiliar W = Y
neste caso. Temos então a solução única:
x1  e
  z sec( 2w )  2 / 2
,
y1  w,
e usando
J ( z, w) 
x1
z
x1
w
y1
z
y1
w
 z sec ( 2w) e
2
  z sec( 2w )  2 / 2

0
  z sec2 ( 2w)e  z sec( 2w ) 
2
/2
x1
w
1
.
Fazendo as devidas substituições, obtemos
f ZW ( z, w)  z sec (2w) e
2
  z sec( 2w )  2 / 2
   z  , 0  w  1,
,
(9-58)
14
PILLAI
Agora para encontrar fZ(z) integra-se fZW(z,w) em relação a z
1
f Z ( z )   f ZW ( z, w)dw  e
z2 / 2
0

1
0
z sec (2w) e
fazendo u  z tan(2w) então
2
dw.
du  2z sec (2w)dw.
2
Como w varia de 0 a 1, u varia de  
f Z ( z) 
 z tan(2w )  2 / 2

1
z2 / 2
u 2 / 2 du
e
e



2
2


a
 .
1
 z2 / 2
e
,    z  ,
2
1
que representa a f.d.p. de uma variável aleatória gaussiana
com média zero e variância unitária.
15