Capítulo 4
Cinemática da Turbulência
Homogênea e Isotrópica
Introdução
A maioria dos escoamentos são cizalhantes, os quais
são anisotrópicos e não homogêneos, como pode ser
visualizado na figura
Pequenas Estruturas:
tendência à isotropia e
homogeneidade
Estruturas Coerentes:
anisotrópicas
Introdução
•O cizalhamento é necessário para gerar instabilidades, as quais
são anisotrópicas
+
Perturbações
Instabilidades
•Logo, a nível das chamadas estruturas coerentes não existe
isotropia, porém existe para as pequenas estruturas da
turbulência;
Introdução
Anisotropia
Isotropia
Introdução
Turbulência isotrópica na
superfície do mar
Introdução
Turbulência de grelha
Introdução
• Homogeneidade: é a invariância estatística das propriedades
dos escoamentos quando se promove uma translação do sistema
de eixo
y
y
Translação de eixos
z
z
Introdução
•Caso não se observa variações em qualquer
propriedade estatística, ou seja
f  x  r   f  x
•A homogeneidade é uma propriedade direcional
y
x
LD
Escoamento
desenvolvido
Introdução
•Isotropia: é a invariância estatística das propriedades de um
escoamento em relação a uma rotação no sistema de eixo.
Compreende-se,
então,
que
isotropia
implica
em
homogeneidade. A recíproca não é verdadeira.
y' y
x'
x
zz'
Cinemática da Turbulência Isotrópica
Formalismo Estatístico
Supor um experimento no qual se interessa por
uma propriedade genérica f  x,t , , onde    ,
sendo 
uma amostra no espaço  . A
propriedade f  x,t ,  se refere a um escoamento.
A figura ilustra um conjunto n de amostras.
Formalismo Estatístico

f  x , t , 1 

f  x ,t , n 
w1
wn

f  x , 1 
t

f  x , t , 2 
w2
t
t
Formalismo Estatístico
•Dadas as n amostras, pode-se proceder a definições
estatísticas, como segue:
•Média de conjunto
f  x,t 
1 N

f  x,t ,wi 

N
i 1
Média temporal


1 M
f  x,wi    f x,t j,w  t j
i
T
j 1
Formalismo Estatístico
Hipótese de Ergodicidade
f  x  f  x
Momentos estatísticos de ordem n:
Seja o conjunto de variáveis abaixo:
 f a1 x ,t ,w



 a2
 x ,t ,w 
f

 f a3  x ,t ,w 

 f an  x ,t ,w 


velocidade

pressão

temperatura

...
Formalismo Estatístico
Define-se um momento estatístico de ordem n
como sendo:
f a1 f a2 ... f an
 x ,t  
1 N a1
a2 x ,t ,w ... f an x ,t ,w
lim
f
x
,t
,w
f







i
i
i
N  N i  1
a
a
1
 f 2  u
•Exemplo: f
uu  u2
Tem-se, a intensidade
turbulenta:
Momento de
segunda ordem
Formalismo Estatístico
•Ilustração:

u x , t 

u x 
t
u2
u 2



u  x , t   u  x , t   u  x , t 
t
t
Formalismo Estatístico
•Estendendo este exemplo às três componentes de
velocidade, pode-se obter o tensor de Reynolds, composto
de seis momentos de segunda ordem:
 2

u  uw  
 u


2
  x    u  
 w  


 w u w   w  2 


Formalismo Estatístico
•Observa-se que este tensor é simétrico e pode ser
rescrito em notação tensorial como segue:
 ij  ui uj
•O seu traço fornece a energia cinética turbulenta:
1
1 2

2
2





k  ui ui   u    w 
2
2

Classificação da turbulência
Turbulência não homogênea e não isotrópica.
Turbulência homogênea e não isotrópica.
Turbulência homogênea e isotrópica.
Neste último caso, tem-se:
f a1 f a2 ... f an
a1 f a2 ... f an
x
,t

f
 
 x  r ,t 
Transformação das Equações de Navier-Stokes do espaço físico para o
espaço de Fourier
Transformada de Fourier
•Seja uma função periódica qualquer. Define-se a sua
transformada de Fourier como segue:
3

ik
.x
ˆf k ,t   1 
f  x,t  dx
 2   e

 V
 
 1 1 1 
k  2 
,
, 
 1 2 3
k   k1 ,k2 ,k3 

k1 
2

Transformação das Equações de Navier-Stokes do espaço físico para o
espaço de Fourier
Transformada Inversa de Fourier
f  x ,t  

Vˆ
 
e ik .x fˆ k ,t dk
Operadores de interesse para transformação de
Navier-Stokes
Transformada da derivada de uma função
Seja
g  x ,t  

Vˆ
f  x ,t 
x


  ik .x ˆ

e
f k ,t dk  


x ˆ
V

 
 
e ik .x ik fˆ k ,t dk  ik f  x ,t 
 f   1  3
f

ik
.x
ˆg k ,t  TF 
e
dx 



x
 x   2  V
3
 1 
 ik .x f x ,t dx  ik fˆ k ,t
ik
e
 
 2 



V
 
Logo
 
Operadores de interesse para transformação de NavierStokes
Transformada do gradiente de uma função
 f f f  


TF f   TF 
, ,    i k x ,k y ,k z fˆ k ,t  ikfˆ k ,t
 x y z  

  
 
Transformada do divergente de um vetor
TF  .V   ik .V
Operadores de interesse para transformação de NavierStokes
Transformada do laplaciano de um vetor
TF  2V    k 2V


Transformada do produto de duas funções
 
TF  f  x,t  g  x,t     fˆ * gˆ  k ,t 



fˆ  p,t  gˆ k  p,t dp
p
Integral de convolução: interações
triádicas não lineares.
Operadores de interesse para transformação de NavierStokes
Os parâmetros de transformação de f e g são:
p
onde
e
k  pq
q
Operadores de interesse para transformação de NavierStokes
•Consideremos as equações de NS no espaço físico
2
 u
 ui

p
i


ui u j  

xi x j x j
 t x j

 ui
 x  0
 i


•Transformada da conservação da massa
 u 
TF 
  ik uˆ  TF  .u   ik .u
 x 
Operadores de interesse para transformação de NavierStokes

k
Plano 
^
k2 u
^
u
Operadores de interesse para transformação de NavierStokes
Transformada de Fourier das Equações de NavierStokes
 u   u
TF   
 t  t
Então,
Sendo
k .u  0
^
^
  ^
u
u
 k .u   k .
0
 ao plano 

t 
t
t


Transformada de Fourier das Equações de Navier-Stokes
TF   2 u    k 2 u


ˆ
TF p   ikp
Este Termo transformado
também pertence ao plano .
Nota-se, então, que a
transformada da pressão é
colinear com o vetor número de
onda, sendo portanto,
perpendicular ao plano .
Transformada de Fourier das Equações de Navier-Stokes
Transformada do Termo Não Linear
 u

2
TF    u   TF   uu   p   0
 t

Também
pertence ao
plano 
•A transformada do primeiro termo já é
conhecida. Basta agora determinar a
projeção do segundo termo sobre o
plano .
Pertence ao
plano 
Transformada de Fourier das Equações de Navier-Stokes
Transformada do Termo Não Linear
•Seja o tensor projeção no plano defino abaixo
 
ij k   ij 
ki k j
k2
•Projetando-se um vetor qualquer com este tensor
ki k j
ki
.a ij a j  a j ij  a j
 ai  a j k j
 a pi
2
2
k
k
Transformada de Fourier das Equações de Navier-Stokes
Transformada do Termo Não Linear
•Fazendo-se o produto escalar da projeção do
vetor com o o vetor número de onda
ki ki
a pi ki  ai ki  a j k j
0
2
k
•Isto demonstra que o tensor definido assim,
projeta qualquer vetor no plano .

k
Projeção de ik j
ik  ˆp

^

sobre o plano

R
ik j


uˆ  uˆ j dp
  
p  q k


uˆ  uˆ j dp
  
p  q k
Logo,
uˆ
  k 2 uˆ   ikm jm k
t
 

p q  k
uˆ
 p  uˆ j  q  dp
•Observa-se que Navier-Stokes no espaço de
Fourier não depende do conceito de pressão.
•Cada termo desta equação pode ser interpretado
fisicamente, sendo esta interpretação mais rica no espaço de
Fourier, como está ilustrado abaixo.
ˆ
u
t
 k 2 uˆ
 Taxa de variação da quantidade de
movimento
 Fluxo líquido difusivo de quantidade de
movimento.
 
ikm jm k

p q  k
uˆ
 p uˆ j  q  dp
Transferência líquida não linear de quantidade de movimento.
Observa-se que este processo é o resultado das interações físicas
entre as estruturas turbilhonares que compõem o escoamento.
Aqui elas são modeladas pelas interações não lineares triádicas
que compõem a integral de convolução
•Comentários sobre a solução desta equação.
Tensor Espectral e Espectro de Energia
Cinética Turbulenta
•Ele é definido como sendo a TF da correlação de
segunda ordem das flutuações de velocidade relativas a
duas direções
3
1


ik .r U r ,t dr
Uˆ ij k ,t  
e
ij  


 2  V
 
onde
U ij  r ,t   ui  r ,t  uj  r  x,t 
é um momento de Segunda ordem.
•Observa-se que foi feita a hipótese de homogeneidade e
isotropia.
•Fazendo-se i=j obtém-se o traço do tensor:
3
1


ik .r U r ,t dr
Uˆ ij k ,t  
e
ii  
 
2


 V
 
•Define-se, a partir do traço do tensor espectral o espectro
de energia cinética turbulenta
1
Uii  r  0,t  
2

 E  k ,t  dk
0
Na figura abaixo visualiza-se a distribuição espectral de energia
cinética turbulenta, o que é uma forma poderosa de se entender como
a atividade turbulenta de um escoamento se dá, em função dos
tamanhos das diferentes estruturas turbilhonares que o caracterizam.
Log [E(k)]
Zona inercial do
espectro
Efeitos viscosos
predominantes
kI
Log(k)
I
Escoamento sobre um degrau, ilustrando o processo de
transmissão de injeção de energia do escoamento médio para
os turbilhões da camada cizalhante e para o interior da
cavidade.
Redistribuição de
energia
I
•Turbilhões maiores são formados de turbilhões menores.
• A energia de formação e manutenção destes turbilhões menores deve
ser fornecida pelos turbilhões receptores de energia, pelo processo já
explicado. Desta feita explica-se o processo físico da chamada cascata
direta de energia, ou seja, o transporte não linear das grandes para as
menores estruturas.
Equação de Conservação da Energia Cinética
Turbulenta
•Partindo-se das equações de Navier-Stokes, a qual é
também válida para as flutuações de velocidade,
multiplicando-as por ui  k ,t 
•Fazendo-se a média < >, manipulando-se algebricamente,
obtém-se a equação de transporte para o tensor espectral e
consequentemente para o seu traço:
^
 U ij  k ,t 
t
^
^
^
^

2
  q ,t   dpdq
 2 k U ij  k ,t    ijm  I  ui k ,t uj  p,t  um


 
A função I depende de momentos de terceira ordem. Ela está
bem definida em Lesieur (1995).
O tensor
 
 
Pijm  kmij k ,t  k jim k ,t
Fazendo-se a soma sobre as três componentes do traço do
tensor espectral (U11, U22 e U33) e utilizando-se a definição de
energia cinética turbulenta, obtém-se a sua equação de
transporte:
E  k ,t 
t
 2 k 2 E  k ,t   T  k ,t 
• O primeiro termo desta equação representa a taxa de variação
da energia cinética turbulenta;
• O segundo representa a transferência de energia ou a sua
dissipação, por efeitos moleculares, dependendo do número de
onda em questão;
• O termo do lado direito representa a transferência não linear
entre os turbilhões de diferentes números de onda;
E(k)
Transferência não linear
de energia: T(k,t)
Dissipação
viscosa
kI
k
E(k,t)
Transiente de um
espectro de energia
t
kI
k
Teoria de Kolmogorov (Kolmogorov, 1941)
•Esta é a teoria mais famosa sobre a turbulência isotrópica.
Sua base é a análise dimensional.
•Hipótese de equilíbrio: toda energia injetada no espectro
deve ser dissipada pelos efeitos viscosos.
•Na teoria de Kolmogorov, assume-se que o espectro de
energia, para números de onda maiores que kI , depende
apenas de e de k.
•Fazendo-se uma análise dimensional baseada no teorema
dos de Vaschy-Buckingham, Kolmogorov chegou à
seguinte expressão:
E  k    k 
•Determinando-se os valores de e de tem-se que:
E  k   C K  2 / 3 k 5 / 3
onde CK=1,4 é a constante universal de Kolmogorov,
determinada analiticamente.
log [E(k)]
k-5/3
Zona inercial
Zona de
dissipação
viscosa
kI
log (k)
•Uma variedade de experimentos em laboratório e de
experimentos numéricos têm sido realizados objetivandose a comprovação desta lei, para uma variedade de
valores do número de Reynolds. Todos eles têm resultado
na lei de Kolmogorov
Escalas da turbulência
Antes de aprofundar qualquer tipo de estudo sobre os
escoamentos turbulentos é interessante fazer uma análise
das escalas características da turbulência:
•Tempo
•Comprimento
•Energia
•Vorticidade
Grandes escalas Pequenas escalas
Escalas da turbulência
Escalas de Kolmogorov
•Escalas dissipativas de Kolmogorov: toma-se um
turbilhão de tamanho característico r com uma velocidade
característica vr originário em um fluido de viscosidade .
Define-se então um número de Reynolds local:
vr r
Rer 

•O quadrado deste parâmetro representa a importância
relativa das forças de inércia e das forças viscosas.
•Pela lteoria de Kolmogorov, vr   r 1 / 3 , ver Lesieur
(1994)
Escalas da turbulência
•Substituindo-se esta última equação na precedente, tem-se
que:
 
Rer   r 4
1/ 3
/
•Situando-se a escala r tal que os efeitos viscosos sejam
pequenos pode-se afirmar que Rer é maior que 1. Se r
diminui Rer diminui também e se r<ld , onde ld é definido
abaixo,

ld   3 / 

1/ 4
então Rer torna-se menor que 1 e os efeitos viscosos passam
a dominar os efeitos de inércia. Esta escala é a escala
dissipativa de Kolmogorov.
•Logo os turbilhões de tamanhos menores que ld são
dissipados por efeitos viscosos e não podem se desenvolver.
•Esta análise permite entender porque o espectro de
energia cinética cai tão rapidamente quando se aproxima
do número de onda dissipativo de Kolmogorov,
log [E(k)]
Zona inercial
Zona de
dissipação
viscosa
kI
log (k)
•A título de exemplo, a escala de Kolmogorov no interior da
camada limite atmosférica é da ordem de 1 mm, enquanto
que no caso de uma turbulência de grelha é da ordem de 0,1
mm.
•Fazendo-se uma análise dimensional e expressando-se o
tempo característico em função de  e , chega-se à
seguinte expressão para este parâmetro, relativo às
estruturas dissipativas de Kolmogorov.
 
  
 
1/ 2
•De forma semelhante deduz-se as escalas de velocidade,
de vorticidade e de energia cinética turbulenta de
Kolmogorov:
v   
1/ 4
e   
1/ 2
 
  
 
1/ 2
Escalas da turbulência
Grandes Escalas da Turbulência
•As maiores estruturas de um escoamento são determinadas
pela geometria que lhes dão origem.
•Sejam as escalas típicas do escoamento: L a escala de
comprimento (por exemplo, o diâmetro de um cilindro) e U
a escala de velocidade (a velocidade de transporte das
grandes estruturas).
•Estabelece-se as seguintes relações:
L
t
U
U
W 
L
E  U2
Escalas da turbulência
Taxa de dissipação viscosa
•Para os escoamentos turbulentos completamente desenvolvidos
pode-se fazer a hipótese do equilíbrio: a dissipação viscosa é
igual à taxa de injeção de energia cinética nas grandes escalas.
• Desta forma, pode-se expressar a dissipação viscosa como uma
função de grandezas independentes da viscosidade.
log [E(k)]
Zona inercial

kI
Zona de
dissipação
viscosa
log (k)
Escalas da turbulência
Taxa de dissipação viscosa
•Desta forma pode-se expressar a taxa de dissipação como
segue:
U2 U3


t
L
•Com esta equação diz-se que a taxa de dissipação
pode ser estimada a partir de parâmetros relativos às
grandes escalas, sem a participação da viscosidade.
Escalas da turbulência
Relações Entre as Escalas da turbulência
•Dividindo-se as escalas de Kolmogorov pelas escalas das
grandes estruturas da turbulência tem-se as relações
procuradas:
L
 Re L3 / 4
ld
U
 Re L 1 / 4
vr

E
 Re L1 / 2
e
 Re L1 / 2
W
Escalas Moleculares Versus Escalas de Kolmogorov
•Pela teoria cinética dos gases
  c

•Já tinha sido visto que:
U 
ld   
 
c

3 / 4
L1 / 4
•Dividindo-se uma equação pela outra, tem-se que

ld

M
Re L1 / 4
•Com este resultado, chega-se à conclusão que as
escalas de Kolmogorov são sempre maiores que as
escalas moleculares, pelo menos para M<15.