MÉTRICA EM ESPAÇOS DE CURVATURA CONSTANTE
•métrica de uma projeção estereográfica sobre um plano

P1

R
P2
P1
P2
(projetado sobre o plano)
r’
(r’,)
transformação de coordenadas:
 
r ,  2 R cot g 
 2
esféricas:
ds2=R2d2+R2sin2d2
ds 
2
1

r 
1  4 R 2 


,2
2
dr
,2
 r , 2 d 2

1. perímetro de um círculo geodésico
r’ é fixo  dr’→0
r , d
ds 
r ,2
1
4R2
r,
2 r ,
C   ds  
d 
r ,2
r,2
1  4 R2
2 1  4 R 2
0
2. área de um círculo geodésico
dA 
g r , r , g  dr d
,
r,
,2
r,

r
,
A   d 
dr

r,2
r,2
1  4 R2
2
0 1  4 R2
0
Como para uma superfície esférica:
ds2 
1

r ,2 
1   4 


2
dr
,2
1
 2
R
 r , 2 d 2

métrica de um plano
em coordenadas
polares
deformação que uma esfera deve sofrer para
tranformar-se num plano ou vice-versa.
ds2 
1

r 
1   4 


,2
2
dr
,2
 r , 2 d 2

reescrevendo
x1=r’cos
x2=r’sin
1
2
2
ds 
[
dx

dx
1
2]
2
2 2

[1  4 ( x1  x2 )]
2
Métrica válida para  superfície de curvatura constante
de qualquer sinal
Forma generalizada a um no de dimensões n
1
2
2
2
ds 
[
dx

dx

...

dx
1
2
n]
2
2
2 2

[1  4 ( x1  x2  ...  xn )]
2
Métricas 3D para espaço de Ҝ constante
Em coordenadas esféricas :
x1=r sin cos
x2=r sin sin
x3=r cos
1
ds 
[1  K
r

x1
2
x3
x2

2
2
2
2
2
2
[
dr

r
sin

d


r
d

]
r2 2
4 ]
Forma + comum da métrica na cosmologia :
2
da
2
2
2
2
ds2 

a
(sin

d


d

)
2
1  Ka
Nota: a não é o raio próprio.
a
r
r2
1 K
4
Ex. caso 2D
Coordenadas (a,)
r
2
da
2
2
ds2 

a
d

1  a 2
a


R
r = raio próprio  medido sobre a superfície
voltando a superfície 3D...
Cálculo do raio próprio
2
da
ds2 
 a 2 (sin2  d 2  d 2 )
2
1  Ka
Fixando os ângulos  e :
a,
r   ds  
0
da
1  Ka
2
ds 
da
1  Ka 2
APLICAÇÃO : HIPER-ESFERA
Definição: espaços de curvatura positiva e constante
2
da
2
2
2
2
ds2 

a
(sin

d


d

)
2
1  Ka
a
•raio próprio de
uma esfera geodésica
r
0
com K > 0 e constante
da
1

arcsin(  a )

1  Ka 2
• área (de uma esfera de raio a dentro deste espaço)
2

0
0
dA  gaa g g  da d d  a 2  d  sin d
 4a
2
a( r ) 
1
sin(  r )

A área de uma esfera de raio próprio
espaço de Ҝ > 0 e constante:
r
imersa em um
4
A( r ) 
sin2 (  r )

•r cresce:
• quando
área máxima quando r 
r


Amin  0
 1
2

Amax
4


O volume de uma esfera de raio
a
dentro de um espaço
Ҝ > 0 e constante
para uma métrica ortogonal :
dV  g11 g22 g33 dx1dx2dx3
2

a
V   d  sind 
0
0
0
a 2da
1  a
2


4
2
arcsin(

a
)


a
1


a
 3/ 2

Vmáx  volume engloba todo o espaço de Ҝ > 0 e constante:
Vmax
volume finito !
2 2
 3/ 2

espaço de Ҝ > 0 e constante é finito
mas sem bordas...
Entretanto...
Espaço de Ҝ  0 e constante são infinitos
Ex.: uma esfera de volume V(a) dentro de um espaço de
curvatura negativa
V (a ) 

2

a
0
0
0
 d  si nd 
2

3/ 2
 a
Quando a→∞ V(a) →∞
a2
1   a2

1   a2  ln(  a  1   a2 )
Espaços deste tipo são
ditos espaços infinitos
Se Ҝ=0 , o volume de uma esfera em um espaço euclidiano é:
V(a)=(4/3)a3
Tb quando a→∞ V(a) →∞
Espaços Riemannianos
Definição: sempre que ds2 for representado por uma forma
diferencial qualdrática  MÉTRICA RIEMANNIANA
Ex. para uma superfície
ds 
2
2
2
2
g
dx
dx

Adx

Bdx
dx

Cdx
   
1
1
2
2
 , 1
A, B e C  f ( x1 , x 2 )
Característica importante: métrica riemanniana é localmente
euclidiana !!
Demonstração: nas viz. De um ponto P0, A0, B0 e C0 são números:
ds2  A0 dx12  B0 dx1dx2  C 0 dx22
2

 
B
B0  2
0


dx2

A0 dx1 
dx2   C 0 

 
4
A
2
A
0 
0


Fazendo:
x1, 
A0 x1 
B0
x2
2 A0
2

B
x 2,   C 0  0

2 A0

ds2=dx’1+dx’2




1/ 2
x2
Nas viz. De  ponto sobre uma superfície
Riemanniana a métrica pode ser aproximada
como uma métrica euclidiana
Através de medidas de ângulos,
perímetros ou áreas sobre uma dada
superfície podemos medir a Ҝ
Ir até as galáxias mais distantes e
fazer medidas por triangulação (!!!!??)
Número de galáxias num dado volume
Galáxias uniformemente distribuídas:
aumentando o raio  aumenta o no de galáxias
Se raio → 2raio:
K=0:
N → 8N
k=+1:
N < 8N
k=-1:
N > 8N
Modelos cosmológicos R(t)
esférica
hiperbólica