FUVEST 2004 – 2 a FASE – MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
3. Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4
e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a
$ e CN é a altura relativa ao
bissetriz relativa ao ângulo ACB
lado AB.
1. O número de gols marcados nos 6 jogos da primeira rodada
de um campeonato de futebol foi 5, 3, 1, 4, 0 e 2.
Determinar o comprimento de MN.
Na segunda rodada, serão realizados mais 5 jogos. Qual deve
ser o número total de gols marcados nessa rodada para que a
média de gols, nas duas rodadas, seja 20% superior à média
obtida na primeira rodada?
Resolução
Resolução
A média de gols por jogo na 1a rodada é:
5 + 3 + 1 + 4 + 0 + 2 15
=
= 2,5
6
6
Se x representa o total de gols marcados na 2a rodada, então
a média de gols por jogo nas duas rodadas é
$ :
CM é bissetriz de ACB
15 + x
= 2,5 . (1,20)
11
2
4
=
AM 5 − AM
Daí, segue que x = 18 (gols)
AM =
2. Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada
5
3
D ABC:
reta; B situa-se entre A e C e a distância de B a C é igual a
dois terços da distância de A a B. Um encontro foi marcado
por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as cidades B e C e à distância de 210 km
de A. Sabendo-se que P está 20 km mais próximo de C do que
de B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o ponto de encontro.
42 = 22 + 52 – 2 . 2 . 5 . cos a
cos a =
13
20
D ANC:
AN 13
=
2
20
cos a =
Resolução
AN =
NM = AM − AN =
10 =
13
10
5 13
−
3 10
4. Considere a equação z2 = az + (a – 1) z , onde a é um número
real e z indica o conjugado do número complexo z.
a) Determinar os valores de a para os quais a equação tem
quatro raízes distintas.
l + x = 210
2l
!x + x − 20 = 3
b) Representar, no plano complexo, as raízes dessa equação
quando a = 0.
A solução do sistema é
Resolução
l = 150 e x = 60
a) Seja z = x + yi; x, y Î R.
Assim, a distância entre os pontos P e B é igual a
Temos:
60 km
(x + yi)2 = a(x + yi) + (a – 1) (x – yi)
(x2 – y2) + 2xyi = x(2a–1) + yi
1
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Daí, segue que
2xy = y
(2)
14444244443
(1)
123
x2 – y2 = x(2a – 1)
b) Para a = 0, no plano complexo, as raízes têm para imagens, respectivamente, os pontos de coordenadas:
(0; 0)
(–1; 0)
1;
2
1;
2
De (2) vem
1442443
y=0
ou
x=
1
2
3
2
−
5. O produto de duas das raízes do polinômio p(x) = 2x3 – mx2 +
y = 0 em (1):
+ 4x + 3 é igual a –1. Determinar
x2 = x(2a – 1)
123
a) o valor de m.
x=0
ou
x = 2a – 1
b) as raízes de p.
Resolução
Então, as soluções:
a) Sejam a, b, g as raízes do polinômio p(x).
(0; 0)
(2a – 1; 0)
x=
3
2
Temos:
%Kα . β = −1
&Kα . β . γ = − 3
2
'
em (1):
14243
1
1
1
– y2 = 2 . a .
–
4
2
2
y2 =
(1)
Daí, uma das raízes do polinômio é
3
–a
4
γ=
Para que a equação admita quatro soluções distintas,
devemos ter:
3
2
Substituindo vem
3 = 2 .
2
p
3
–a>0
4
e
27
9
3
−m .
+4 .
+3 = 0
8
4
2
Daí,
1
a¹
2
m=7
b) Segue que
isto é,
a+b+g=
3
1
a<
ea¹
4
2
a+b+
As soluções são:
14444244443
(2a – 1; 0)
3
−α
4
−
3 7
=
2 2
a+b=2
(0; 0)
1;
2
1;
2
m
2
(2)
De (1) e (2), a e b são as raízes da equação
3
−α
4
x2 – 2x – 1 = 0,
que são 1 + 2 e 1 − 2 .
As raízes de p(x) são:
2
− .
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Sabendo-se que A = (0,0), B pertence à reta x – 2y = 0 e
P = (3,4) é o centro da circunferência inscrita no triângulo
ABC, determinar as coordenadas
6. A figura abaixo representa duas polias circulares C1 e C2 de
raios R1 = 4 cm e R2 = 1 cm, apoiadas em uma superfície plana
em P1 e P2, respectivamente. Uma correia envolve as polias,
sem folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos P1 e
P2 é 3 3 cm, determinar o comprimento da correia.
a) do vértice B.
b) do vértice C.
Resolução
Resolução
3−2 . 4
a) r = d(P,
)=
1 6
2
1 + −2
A equação da reta
3 3
= 3
3
a = 60o
y = –2x + k
2x + y – k = 0
d(P,
Assim, m
= 360o – 2a = 240o
22 + 12
4
= 5
k = 5 ou k = 15
π . 1 . 120
π . 4 . 240
+3 3 +
180
180
O valor conveniente é k = 15
l = 6 3 + 6π
l=
)=r
2 . 3 + 4−k
O comprimento da correia é
l=3 3+
= 5
pode ser
tg a =
= 2a = 120o e m
2
9
: 2x + y – 15 = 0
+ π FP
7. Na figura abaixo, os pontos A, B e C são vértices de um
O ponto B é a intersecção das retas
$ o ângulo reto.
triângulo retângulo, sendo B
x − 2y = 0
!2x + y − 15 = 0
Logo, B = (6, 3)
b) A equação da reta
pode ser
y = mx
mx – y = 0
d(P,
)=r
m . 3−4
= 5
2
m2 + −1
11
1
ou m =
m=
2
2
1 6
3
e
:
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O valor conveniente é m =
b) A área da região sombreada é
11
2
: y=
S = (2r )2 −
11
x
2
O ponto C é a intersecção das retas
e
4
!
Como r2 = 2 1 + 2
:
9"$#
2
πr 2
. 4 − π . 22
4
4
9 4
9
= 4 . 1+ 2 2 + 2 = 4 3 + 2 2 =
= 12 + 8 2
y = 11 x
2
2
x
+
! y − 15 = 0
Assim:
6 = 4 − π − π 9
Logo, C = 2, 11
9. Seja m ³ 0 um número real e sejam f e g funções reais definidas por f(x) = x2 –2|x| + 1 e g(x) = mx + 2m.
8. Na figura abaixo, cada uma das quatro circunferências exter-
nas tem mesmo raio r e cada uma delas é tangente a outras
duas e à circunferência interna C.
a) Esboçar, no plano cartesiano representado a seguir, os
1
gráficos de f e de g quando m = e m = 1.
4
1
b) Determinar as raízes de f(x) = g(x) quando m = .
2
c) Determinar, em uma função de m, o número de raízes da
equação f(x) = g(x).
Se o raio de C é igual a 2, determinar
a) o valor de r.
b) a área da região hachurada.
Resolução
Resolução
a) f(x) = x2 – 2 . |x| + 1
%& x ³ 0: f(x) = x
' x £ 0: f(x) = x
2 – 2x + 1
2
·
a) r + 2 = r 2
r = 2 + 4
f(x) =
%& (x – 1) , se x ³ 0
' (x + 1) , se x £ 0
2
2
· · g(x) = m(x + 2)
%Km = 1 : g (x) = 1 ( x + 2)
4
&K 4
' m = 1: g ( x) = x + 2
9
1
4
1
4
+ 2x + 1
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Determinar, em função de l, o volume de S.
Resolução
Considere as pirâmides A’D’F’G e B’C’E’H, que complementariam o sólido S dado para o prisma A’D’GB’C’H, que denominaremos T.
b) Para P =
, temos:
x2 – 2|x| + 1 =
1
x+1
2
x ³ 0:
x2 – 2x + 1 =
2x2 – 5x = 0
1
x+1
2
x=0
x=
5
2
x £ 0:
x2 + 2x + 1 =
2x2 + 3x = 0
%&
'
Então, S = − Aplicando o teorema de Pitágoras no D A’GF’, temos:
1
x+1
2
A’ G2 +
x=0
x=−
3
2
()
*
A’ G =
= l2 ,
3
l.
2
Analogamente, no D A’GI, temos:
A’I2 + IG2 = A’G2
m = 0: 2 raízes
Daí
: 4 raízes
IG =
m = : 3 raízes
m>
2
que nos dá
c) Analisando o gráfico, obtemos:
0<m<
l 2
2
l
2
Segue da simetria da construção que o volume de S é igual
ao volume de T subtraído dos volumes das duas pirâmides
idênticas A’D’F’G e B’C’E’H:
: 2 raízes
10. No sólido S representado na figura abaixo, a base ABCD é
2 3 2 3
l −2 .
l =
l
2
24
um retângulo de lados AB = 2l e AD = l; as faces ABEF e
DCEF são trapézios; as faces ADF e BCE são triângulos
equiláteros e o segmento EF tem comprimento l.
5
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COMENTÁRIO
Nas questões de Matemática da prova de 2a Fase da FUVEST/2004 foram privilegiados alguns assuntos, em detrimento da
grande parte do programa.
Das 10 questões, 5 são de Geometria (Plana, Espacial ou Analítica) e as demais envolvem especialmente equações algébricas, números complexos e funções.
Os enunciados são elaborados de forma irrepreensível e o nível de dificuldade é adequado à finalidade dessa prova, que
pretende examinar o conhecimento dos candidatos em profundidade.
6