8º ANO; LISTA 2. Princípio fundamental da contagem – AV 2 – 4º Bim.
Escola adventista de Planaltina
Professor: Celmo Xavier
Aluno___________________________________________________________
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Introdução
Consideremos o seguinte problema:
Uma lanchonete oferece a seus clientes apenas dois tipos de sanduiches: hot dog e
hambúrguer. Como sobremesa há três opções: sorvete, torta ou salada de frutas. Quantas são as
possibilidades para uma pessoa fazer uma refeição incluindo um sanduíche e uma sobremesa?
De acordo com o enunciado, podemos ter as seguintes refeições:
a) hot dog e sorvete;
b) hot dog e torta;
c) hot dog e salada de fruta;
d) hambúrguer e sorvete;
e) hambúrguer e torta;
f) hambúrguer e salada de fruta.
A determinação de tais possibilidade pode ser significativa através de um diagrama, em
que, na 1ª coluna, representaremos as possibilidades de escolha do sanduíche, na 2ª coluna, as
possibilidades de escolha da sobremesa.
1ª coluna
2ª coluna
Esse esquema é conhecido com diagrama da árvore. Fazendo a leitura ao longo de todas
as “ramificações” da árvore, obtemos as possíveis refeições.
Notemos que fazer uma refeição completa representa uma ação constituída de duas
etapas sucessivas.
1ª escolha do tipo de sanduiche: há duas possibilidades de fazer tal escolha.
2ª escolha da sobremesa: para cada uma das possibilidades anteriores, há três maneiras de
escolher a sobremesa.
Assim a realização da ação (duas etapas sucessivas) pode ser feita de
maneiras
distintas que foram anteriormente indicadas.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas. A 1ª etapa pode ser
realizada de maneiras distintas. Para que cada uma dessas possibilidades, a 2ª etapa pode ser
realizada de
maneiras distintas. Então, o número de possibilidades de se efetuar a ação
completa é dada por
.
Esse princípio pode ser generalizado para ações constituídas de mais de duas etapas
sucessivas.
Exemplo 1
Há quatro estradas ligando duas cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. de
quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando por B?
1ª ir de A a B: temos quatro possibilidades
2ª ir de B a C: para cada uma das possibilidades anteriores, há três maneiras de chegar a C, a
partir de B. assim, pelo princípio fundamental da contagem (PFC), o resultado procurado é
Exemplo 2
Com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6, quantos números de três algarismos distintos podemos formar?
Formar um número de três algarismos pode ser considerado uma ação constituída de três etapas
sucessivas, a saber:
1ª escolha do algarismos das centenas: temos seis possibilidades.
2ª escolha do algarismo das dezenas: como não pode haver repetição de algarismos, devemos
ter um algarismo diferente do algarismo escolhido para a centena. Assim há cinco possibilidades.
3ª escolha do algarismo das umidades: devemos ter um algarismo diferente dos dois anteriores
(centena e dezena). Assim há apenas quatro possibilidades.
Pelo PFC, o resultado procurado é
números.
Observação
Para simplificar a linguagem podemos usar a seguinte notação:
6
Número de
maneiras de
se efetuar a
1ª etapa
2ª etapa
= 120
3ª etapa
Exemplo 3
Uma prova consta de 10 questões do tipo V ou F. de quantas maneiras distintas ela pode ser
resolvida?
Resolver a prova representa uma ação constituída de 10 etapas sucessivas, que corresponde à
solução das 10 questões propostas.
Para cada questão, há duas possibilidades de escolha de resposta: V OU F.
Utilizando o esquema apresentado no exemplo anterior, temos:
Logo, pelo PFC, o
resultado procurado é:
Número de
maneiras de
se responder
à 1ª etapa
2ª etapa
10ª etapa
Possibilidades.
Exemplo 4
Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6 e7?
Vejamos:
Algarismos das centenas: com exceção do zero, qualquer um dos algarismos dados pode
ser escolhido, havendo sete possibilidades( notemos que, se escolhermos zero o número a
ser formado constará de apenas dois algarismos; exemplo, 021 = 21);
Algarismos das dezenas: não há restrição alguma, pois pode haver repetição de
algarismos. Assim há 8 oito possibilidades;
Algarismos das unidades: analogamente ao anterior, há oito possibilidades.
Logo, pelo PFC,o total de números é
Exemplo 5
Quantos números impares de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos
0,1,2,3,4,5,6 e 7?
Lembrando que um número é ímpar quando termina por algarismo ímpar, vamos começar o
problema analisando o algarismo da unidade.
Algarismos das unidades: há quatro possibilidades de escolha (1, 3, 5 e 7);
Algarismos das centenas: há seis possibilidades – devemos excluir o zero e o algarismo
escolhido para as unidades;
Algarismo das dezenas: há seis possibilidades— devemos escolher um algarismo diferente
dos algarismos escolhidos para centena e unidade.
Assim, temos:
números.
EXERCÍCIOS
1.Para ir ao clube, júnior deseja usar uma camiseta, uma bermuda e um tênis. Sabendo que ele
dispõe de seis camisetas, quatro bermudas e três pares de tênis, de quantas maneiras distintas
poderá vestir-se?
2. Uma agencia de turismo oferece bilhetes aéreos para o trecho são Paulo--- Miami através de
duas companhias: Gol ou Varig. O passageiro pode escolher também entre primeira classe,
classe executiva e classe econômica. De quantas maneiras um passageiro pode fazer tal
escolha?
3. Um jantar constará de três partes: entrada, prato principal e sobremesa. De quantas maneiras
distintas ele poderá ser composto, se há como opções oito entradas, cinco pratos principais e
quatro sobremesas?
4. O vagão de um trem possui seis portas. De quantas maneiras distintas um passageiro pode
entrar no trem e sair dele por uma porta diferente da que entrou?
5. Uma prova consta de dez testes de ampla escolha. De quantas maneiras distintas a prova
pode ser resolvida, se cada teste tem cinco alternativas distintas?
6. Com os algarismos 1, 2, 4, 6, 8 e 9:
a) quantos números de quatro algarismos podemos formar?
b) quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar?
7. Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6 e 7:
a) quantos números de quatro algarismos distintos começam por 3?
b) quantos números pares de quatro algarismos distintos, podemos formar?
8. Quantos números de três algarismos distintos existem?
9. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números ímpares de quatro algarismos podem
formar?
10. Deseja-se formar números divisíveis por 5, compostos de quatro algarismos distintos.
Quantas são as possibilidades dispondo-se dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
( analise dois casos: quando o número termina por zero e quando ele termina por 5.)
11. Com os algarismos de 0 a 9, quantos números pares de três algarismos distintos podemos
formar?
12. Um ladrão sabe que o segredo de um cofre é formado por uma sequência de três algarismos
distintos. Além disso, ele sabe que o algarismo das centenas é igual a 4. Se, em média, o ladrão
leva 3 minutos para testar uma sequência, qual o tempo máximo para o ladrão abrir o cofre?
13. a) Em determinada cidade, as placas de automóveis são constituídas de uma sequência de
duas letras e três algarismos. Quantas placas podem ser confeccionadas?
(considere o alfabeto com 26 letras.)
b) Para atender ao aumento do número de veículos, decidiu-se aumentar em um algarismo as
placas dos carros. Se as regras para a confecção de placas permanecem as mesmas do item
anterior, qual o novo total de placas?
c) Para atender ao aumento do número de veículos, decidiu-se aumentar um algarismo e uma
letra as placas dos carros. Se as regras para a confecção de placas permanecem as mesmas do
item “a”, qual o novo total de placas?
14. Quantos conjuntos de iniciais podem ser formados se todas as pessoas tem um só sobre
nome e:
a) exatamente um nome?
b) exatamente dois nomes?
15. As atuais placas de licenciamento constam de sete símbolos, sendo três letras, dentre as 26
do alfabeto, seguidas de quatro algarismos.
a) Quantas placas distintas podemos ter sem o algarismo zero na 1ª posição reservadas aos
algarismos?
b) No conjunto de todas as placas distintas possíveis, qual a porcentagem daquelas que tem duas
primeiras letras iguais?