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Delineamento Cross-Over
Livia Maria Andaló Tenuta
Disciplina: Estatística Experimental OC
Prof. Dr. Carlos Tadeu dos Santos Dias
Piracicaba
2003
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Definição
O delineamento cross-over é um delineamento que apresenta semelhanças com o
quadrado latino, mas com algumas vantagens sobre este. Nesse tipo de delineamento,
todos os tratamentos são aplicados às mesmas unidades experimentais, após agrupá-las
em grupos de número igual ao número de tratamentos. Assim, considerando que se tenha 2
tratamentos, A e B, as unidades experimentais são divididas aleatoriamente em 2 grupos,
que iniciam o experimento em um dos dois tratamentos. Após um período de intervalo,
conhecido como “wash-out”, o outro tratamento é aplicado àquelas unidades experimentais.
Neste caso, têm-se 2 seqüências de tratamentos, AÆB e BÆA.
O delineamento cross-over é muito utilizado em pesquisas com seres humanos,
sejam elas na área médica ou odontológica. A principal vantagem desse delineamento é
eliminar a grande variação existente entre indivíduos em resposta a um tratamento, tendo
em vista que todos os tratamentos são atribuídos a todos os indivíduos. Isso também
proporciona uma diminuição no número de indivíduos necessários para se testar diferentes
tratamentos.
Um dos principais problemas relacionados aos delineamentos cross-over é a
dificuldade de eliminar efeitos residuais, também chamados de “carry-over”, de um
tratamento anterior sobre outro subseqüente. Uma medida tomada para evitar efeitos “carryover” é a inclusão de um período de “wash-out” entre os tratamentos, de modo que todo
efeito residual do tratamento anterior seja eliminado. Mesmo com a realização de períodos
de “wash-out”, o efeito “carry-over” ainda pode persistir, e será abordado em maiores
detalhes.
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1
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Efeito “carry-over”
O efeito “carry-over” considera que o efeito de um tratamento pode persistir e
influenciar ou modificar o efeito dos tratamentos aplicados subseqüentemente. Os efeitos
“carry-over” apresentam-se sob uma variedade de formas: podem ser efeitos de
aprendizado ou de fadiga, tendo, respectivamente, efeito positivo ou negativo na resposta.
Além disso, em se tratando de voluntários humanos, um efeito negativo do primeiro
tratamento pode condicionar o indivíduo a produzir um resultado negativo no segundo
tratamento. Por outro lado, uma resposta positiva no primeiro tratamento pode fazer com
que o voluntário aumente as chances do tratamento subseqüente, mesmo sendo o placebo,
apresentar um resultado positivo.
A distribuição dos tratamentos dentro do delineamento cross-over pode influenciar
grandemente a resposta obtida. Assim, nos delineamentos onde um tratamento A é sempre
seguido por um tratamento B, um tratamento B é sempre seguido por um tratamento C, e
assim sucessivamente, há dificuldade em se estimar o verdadeiro efeito de cada tratamento;
uma maior resposta do tratamento B pode não ser reflexo da superioridade de B, mas sim
do efeito “carry-over” positivo de A sobre B. Assim, idealmente no delineamento dos
tratamentos, todos os tratamentos devem ser seguidos por todos os demais tratamentos,
como é apresentado a seguir (linhas representam diferentes indivíduos ou seqüências,
colunas representam diferentes períodos):
n=2
n=4
n=6
AB
BA
ABCD
BDAC
CADB
DCBA
ABCDEF
BDAFCE
CAEBFD
DFBEAC
ECFADB
FEDCBA
________________________________________________________________________
2
___________________________________________________________________________
n=8
n=10
ABCDEFGH
BDAFCHEG
CAEBGDHF
DFBHAGCE
ECGAHBFD
FHDGBEAC
GEHCFADB
HGFEDCBA
ABCDEFGHIJ
BDFHJACEGI
CFIADGJBEH
DHAEIBFJCG
EJDICHBGAF
FAGBHCIDJE
GCJFBIEAHD
HEBJGDAIFC
IGECAJHFDB
JIHGFEDCBA
Nota-se que acima são apresentados apenas quadrados latinos para n par. No caso
de n ímpar, deve-se lançar mão de pares de n x n quadrados latinos (linhas representam
diferentes indivíduos ou seqüências, colunas representam diferentes períodos):
ABC
BCA
CAB
n=7
n=5
n=3
ACB
BAC
CBA
ABDEC
BCEAD
CDABE
DEBCA
EACDB
ACBED
BDCAE
CEDBA
DAECB
EBADC
ABECGFD
BCFDAGE
CDGEBAF
DEAFCBG
EFBGDCA
FGCAEDB
GADBFEC
AGDFBCE
BAEGCDF
CBFADEG
DCGBEFA
EDACFGB
FEBDGAC
GFCEABD
Método para testar a capacidade de diferenciar efeitos de tratamento e
de “carry-over”
Mesmo utilizando quadrados balanceados dentro do delineamento cross-over, ainda
assim a separação (S) entre os efeitos de tratamentos e “carry-over” ainda não é perfeita.
Entretanto, o valor de S pode ser estimado, como apresentado por Ratkowski et al., 1993:
________________________________________________________________________
3
___________________________________________________________________________
n
Ed
Er
V
S=100 (1 – V)
2
0
0
0,707
29,3%
3
80,0
44,4
0,408
59,2
4
90,0
62,5
0,289
71,1
5
94,7
72,0
0,224
77,6
6
96,6
77,8
0,183
81,7
7
97,6
81,6
0,154
84,6
8
98,2
84,4
0,134
86,6
9
98,6
86,4
0,118
88,2
10
98,9
88,0
0,105
89,5
11
99,1
89,3
0,095
90,5
12
99,2
90,3
0,087
91,3
onde:
Ed = n2-n-2 . (100) - eficiência dos efeitos de tratamento diretos
n2-n-1
Er= (n2-n-2) . (100) - eficiência dos efeitos de tratamento residuais (“carry-over”)
n2
e V é calculado a partir da tabela de contingência de tratamento x “carry-over”.
Para tornar a separação entre efeitos de tratamento e de carry-over igual a 100%,
deve-se utilizar um período extra de tratamento, pela repetição do último período.
Exemplo para n=4:
Seqüência
Período
1
2
3
4
5
1
A
B
C
D
D
2
B
D
A
C
C
3
C
A
D
B
B
4
D
C
B
A
A
________________________________________________________________________
4
___________________________________________________________________________
Exemplo para n=5:
Período
1
2
3
4
5
6
1
A
B
D
E
C
C
2
B
C
E
A
D
D
3
C
D
A
B
E
E
4
D
E
B
C
A
A
5
E
A
C
D
B
B
Seqüência
Seqüência
Período
1
2
3
4
5
6
1
A
C
B
E
D
D
2
B
D
C
A
E
E
3
C
E
D
B
A
A
4
D
A
E
C
B
B
5
E
B
A
D
C
C
Modelo matemático
Considerando um experimento que utiliza 3 tratamentos, A, B e C, aplicados a 6
indivíduos utilizando um par de quadrados latinos balanceados, como descrito em “efeito
‘carry-over’”, um modelo matemático para a variável resposta poderia ser escrito assim:
Yisk = µ + γs + pk + ti + δkαr + εisk
onde:
yisk: é a variável resposta obtida no período k, k=1, 2 ou 3, para a seqüência s, s=1, 2 ou 3
no quadrado latino 1 e s=4, 5 ou 6 no quadrado latino 2, que recebeu o tratamento i,
i=A, B ou C no período k e apresentando efeito carry-over do tratamento r, r=A, B ou C,
no período k-1;
µ: efeito da média geral;
γs: efeito devido à seqüência s, s=1, 2, ..., 6;
pk: efeito do período k, k=1, 2 ou 3, e está dentro dos quadrados 1 e 2;
ti: efeito direto do tratamento i, i=A, B ou C;
αr: efeito “carry-over” de primeira ordem devido ao tratamento r, r=A, B ou C aplicado no
período anterior;
δk: indicador variável, cujo valor é zero no primeiro período e 1 nos demais
εisk: é o erro experimental ~N(0, σ e2 )
________________________________________________________________________
5
___________________________________________________________________________
Exemplos de delineamento cross-over
Exemplo 1: Doze voluntários participam de um estudo in situ para avaliar o efeito de 3
diferentes agentes clareadores (A, B e C) sobre o esmalte humano. Cada voluntário recebe
um dispositivo intrabucal contendo 4 espécimes de esmalte humano previamente
esterilizado, para ser utilizado continuamente, sendo o agente clareador aplicado durante a
noite, antes do voluntário se deitar, durante 7 dias. Ao final da fase experimental, os 4
espécimes de esmalte são coletados para avaliar a alteração em sua microdureza causada
pelo agente clareador. Um período de “wash-out” de 7 dias é aguardado entre as fases
experimentais, para que então o voluntário receba o próximo tratamento distribuído a ele.
Planejamento do experimento:
Voluntários
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
o
A
B
C
A
A
B
B
C
B
C
A
C
o
2 período
B
A
A
C
C
C
A
B
C
A
B
B
3o período
C
C
B
B
B
A
C
A
A
B
C
A
1 período
As seqüências de tratamentos (ABC, BCA, CAB, ACB, BAC, CBA) estão englobadas
em 2 quadrados latinos, como descrito anteriormente, sendo que cada tratamento segue
cada um dos demais 2 vezes. Nesse delineamento, existem 2 voluntários para cada
seqüência, e isso deve ser colocado no modelo. O efeito do voluntário dentro da seqüência
deve ser usado como resíduo para testar o efeito de seqüência.
O modelo matemático para a variável resposta, microdureza, pode ser descrito
assim:
yijks = µ + γs + ξs(j) + pk + ti + δkαr + εijk
onde:
yijks: é a média de microdureza dos 4 espécimes de esmalte do i-ésimo agente clareador, no
j-ésimo indivíduo, no k-ésimo período, na s-ésima seqüência
µ: é a média geral
γs: é o efeito da s-ésima seqüência
________________________________________________________________________
6
___________________________________________________________________________
ξs(j): é um efeito aleatório devido ao voluntário j, j=1, 2 (2 sendo o número total de
voluntários na seqüência s)
pk: é o efeito do período k
ti: é o efeito do tratamento i
αr: é o efeito carry-over devido ao tratamento r ter sido aplicado no período anterior, δk é um
indicador variável, cujo valor é zero no primeiro período e 1 no segundo período
εijk: é o erro experimental ~N(0, σ e2 )
No SAS o experimento seria testado assim:
data CLAREADOR;
input Y SEQ VOLUNT PERIODO TRAT $ CARRY $ @@;
if CARRY='0' then CARRY='C';
cards;
300 1 1 1 A 0
303 1 11 1 A 0
280 1 1 2 B
305 1 1 3 C B
310 1 11 3 C B
302 2 6 1 B
320 2 6 2 C B
325 2 9 2 C B
290 2 6 3 A
322 3 3 1 C 0
317 3 10 1 C 0
310 3 3 2 A
290 3 3 3 B A
302 3 10 3 B A
292 4 4 1 A
320 4 4 2 C A
330 4 5 2 C A
298 4 4 3 B
333 5 8 1 C 0
325 5 12 1 C 0
310 5 8 2 B
300 5 8 3 A B
280 5 12 3 A B
300 6 2 1 B
289 6 2 2 A B
303 6 7 2 A B
322 6 2 3 C
run;
proc glm;
class SEQ VOLUNT PERIODO TRAT CARRY;
model Y=SEQ VOLUNT(SEQ) PERIODO TRAT CARRY/ss1
random VOLUNT(SEQ);
lsmeans TRAT CARRY/adj=tukey pdiff;
run;
A
0
C
C
0
C
C
0
A
290
305
301
290
295
304
280
310
327
1
2
2
3
4
4
5
6
6
11 2 B 0
9 1 B 0
9 3 A C
10 2 A C
5 1 A 0
5 3 B C
12 2 B C
7 1 B 0
7 3 C A
ss2;
Resultados:
Class Level Information
Class
SEQ
VOLUNT
Levels
6
12
Values
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
PERIODO
3
1 2 3
TRAT
3
A B C
CARRY
3
A B C
Number of observations
36
________________________________________________________________________
7
___________________________________________________________________________
The GLM Procedure
Dependent Variable: Y
Source
DF
Sum of
Squares
Mean Square
F Value
Pr > F
Model
17
6495.452186
382.085423
7.34
<.0001
Error
18
936.547814
52.030434
Corrected Total
35
7432.000000
R-Square
Coeff Var
Root MSE
Y Mean
0.873984
2.364988
7.213212
305.0000
Source
SEQ
VOLUNT(SEQ)
PERIODO
TRAT
CARRY
Source
SEQ
VOLUNT(SEQ)
PERIODO
TRAT
CARRY
DF
Type I SS
Mean Square
F Value
Pr > F
5
6
2
2
2
410.000000
903.333333
255.500000
4815.500000
111.118852
82.000000
150.555556
127.750000
2407.750000
55.559426
1.58
2.89
2.46
46.28
1.07
0.2171
0.0373
0.1141
<.0001
0.3646
DF
Type II SS
Mean Square
F Value
Pr > F
5
6
2
2
2
404.538155
894.754109
54.068524
4027.140760
111.118852
80.907631
149.125685
27.034262
2013.570380
55.559426
1.56
2.87
0.52
38.70
1.07
0.2230
0.0386
0.6034
<.0001
0.3646
Least Squares Means
Adjustment for Multiple Comparisons: Tukey-Kramer
Y LSMEAN
LSMEAN
Number
295.763661
295.519809
321.333333
1
2
3
TRAT
A
B
C
Least Squares Means for effect TRAT
Pr > |t| for H0: LSMean(i)=LSMean(j)
Dependent Variable: Y
i/j
1
2
3
1
0.9969
<.0001
2
3
0.9969
<.0001
<.0001
<.0001
________________________________________________________________________
8
___________________________________________________________________________
Y LSMEAN
LSMEAN
Number
305.549863
300.558060
306.508880
1
2
3
CARRY
A
B
C
Least Squares Means for effect CARRY
Pr > |t| for H0: LSMean(i)=LSMean(j)
Dependent Variable: Y
i/j
1
2
3
1
0.5343
0.9756
2
3
0.5343
0.9756
0.3710
0.3710
Para analisar os resultados, deve-se lançar mão da soma de quadrados tipo II, ou
soma de quadrados ajustada, porque esta utiliza o efeito de tratamento para testar
tratamento, enquanto que a soma de quadrados tipo I utiliza efeito de tratamento e “carryover” para testar tratamento.
Conclui-se que o delineamento foi adequado, pois não houve efeito “carry-over”
(p=0,3646). Além disso, houve diferença entre os tratamentos com agentes clareadores, que
pode ser descrito da seguinte forma, com p<0.01:
Clareador A a
Clareador B a
Clareador C b
________________________________________________________________________
9
___________________________________________________________________________
Exemplo 2: Um estudo in situ, com 6 voluntários, utilizando o delineamento cross-over,
avaliou a concentração de flúor no esmalte dental após tratamento com água (tratamento A)
ou sacarose (tratamento B). Os tratamentos foram realizados durante um período de 14
dias; a dosagem de flúor no esmalte foi associada à profundidade de esmalte removida,
utilizada como covariável. Os voluntários 1, 3 e 4 foram sorteados para iniciar o experimento
utilizando o tratamento A, e os demais voluntários para iniciar o experimento utilizando o
tratamento B.
1o período
o
2 período
1
2
3
4
5
6
A
B
A
A
B
B
B
A
B
B
A
A
O modelo matemático para a variável resposta, flúor na placa dental, pode ser
descrito assim:
yijks = µ + γs + ξs(j) + pk + ti + βXij + δkαr + εijk
onde:
yijks: é a média de microdureza dos 4 espécimes de esmalte do i-ésimo agente clareador, no
j-ésimo indivíduo, no k-ésimo período, na s-ésima seqüência
µ: é a média geral
γs: é o efeito da s-ésima seqüência
ξs(j): é um efeito aleatório devido ao voluntário j, j=1, 2 ou 3 (3 sendo o número total de
voluntários na seqüência s)
pk: é o efeito do período k
ti: é o efeito do tratamento i
β: é o coeficiente de regressão linear indicando a dependência de yij em xij. Assume-se que
a verdadeira relação entre yij e xij é linear, e que os coeficientes de regressão para cada
tratamento são idênticos, que os efeitos de tratamentos somam zero e que a co-variável xij
não é afetada pelo tratamento
αr: é o efeito carry-over devido ao tratamento r ter sido aplicado no período anterior, δk é um
indicador variável, cujo valor é zero no primeiro período e 1 no segundo período
εijk: é o erro experimental ~N(0, σ e2 )
________________________________________________________________________ 10
___________________________________________________________________________
No SAS o experimento seria testado assim:
data FESMALTE;
input Y SEQ VOLUNT PERIODO TRAT $ PROF CARRY $ @@;
if CARRY='0' then CARRY='B';
cards;
300 1 1 1 A 10 0
330 1 1 2 B 9.8 A
280 2 2 1
290 2 2 2 A 12.0 0
305 1 3 1 A 9.7 0
320 1 3 2
310 1 4 1 A 12 0
330 1 4 2 B 14 A
280 2 5 1
290 2 5 2 A 10.1 B
312 2 6 1 B 10 0
300 2 6 2
run;
proc glm;
class SEQ VOLUNT PERIODO TRAT CARRY;
model Y=SEQ VOLUNT(SEQ) PERIODO TRAT PROF CARRY/ss1
random VOLUNT(SEQ);
lsmeans TRAT CARRY/adj=tukey pdiff;
run;
B
B
B
A
9.7 A
8.8 A
7 0
12 B
ss2;
Resultados:
Class Level Information
Class
Levels
Values
SEQ
2
1 2
VOLUNT
6
1 2 3 4 5 6
PERIODO
2
1 2
TRAT
2
A B
CARRY
2
A B
Number of observations
12
The GLM Procedure
Dependent Variable: Y
DF
Sum of
Squares
Mean Square
F Value
Pr > F
Model
9
3122.132032
346.903559
4.26
0.2044
Error
2
162.784635
81.392318
11
3284.916667
Source
Corrected Total
R-Square
Coeff Var
Root MSE
Y Mean
0.950445
2.968501
9.021769
303.9167
________________________________________________________________________ 11
___________________________________________________________________________
Source
DF
Type I SS
Mean Square
F Value
Pr > F
1
4
1
1
1
1
1704.083333
646.333333
444.083333
270.750000
12.143282
44.738749
1704.083333
161.583333
444.083333
270.750000
12.143282
44.738749
20.94
1.99
5.46
3.33
0.15
0.55
0.0446
0.3619
0.1446
0.2097
0.7365
0.5357
DF
Type II SS
Mean Square
F Value
Pr > F
1
4
1
1
1
1
1625.849636
246.523362
119.429833
176.110514
16.548698
44.738749
1625.849636
61.630840
119.429833
176.110514
16.548698
44.738749
19.98
0.76
1.47
2.16
0.20
0.55
0.0466
0.6372
0.3495
0.2791
0.6962
0.5357
SEQ
VOLUNT(SEQ)
PERIODO
TRAT
PROF
CARRY
Source
SEQ
VOLUNT(SEQ)
PERIODO
TRAT
PROF
CARRY
Least Squares Means
Adjustment for Multiple Comparisons: Tukey-Kramer
TRAT
A
B
Y LSMEAN
291.982321
311.973803
H0:LSMean1=
LSMean2
Pr > |t|
0.2791
Least Squares Means
Adjustment for Multiple Comparisons: Tukey-Kramer
CARRY
A
B
Y LSMEAN
296.162247
307.793877
H0:LSMean1=
LSMean2
Pr > |t|
0.5357
Pela análise dos resultados, observa-se que não houve efeito de tratamento, ou seja,
a concentração de flúor no esmalte não diferiu após os tratamentos in situ com água ou
sacarose. O modelo utilizado também não apresentou efeitos de “carry-over”.
A covariável profundidade não interferiu significantemente no modelo, podendo ser
removida. Isso aumenta em uma unidade o grau de liberdade do resíduo, mas ainda
mantém a semelhança entre os tratamentos:
________________________________________________________________________ 12
___________________________________________________________________________
The GLM Procedure
Dependent Variable: Y
DF
Sum of
Squares
Mean Square
F Value
Pr > F
Model
8
3105.583333
388.197917
6.49
0.0758
Error
3
179.333333
59.777778
11
3284.916667
Source
Corrected Total
R-Square
Coeff Var
Root MSE
Y Mean
0.945407
2.543990
7.731609
303.9167
Source
DF
Type I SS
Mean Square
F Value
Pr > F
1
4
1
1
1
1704.083333
646.333333
444.083333
270.750000
40.333333
1704.083333
161.583333
444.083333
270.750000
40.333333
28.51
2.70
7.43
4.53
0.67
0.0128
0.2201
0.0722
0.1232
0.4716
DF
Type II SS
Mean Square
F Value
Pr > F
1
4
1
1
1
1701.388889
516.000000
376.041667
170.016667
40.333333
1701.388889
129.000000
376.041667
170.016667
40.333333
28.46
2.16
6.29
2.84
0.67
0.0129
0.2768
0.0871
0.1903
0.4716
SEQ
VOLUNT(SEQ)
PERIODO
TRAT
CARRY
Source
SEQ
VOLUNT(SEQ)
PERIODO
TRAT
CARRY
Least Squares Means
Adjustment for Multiple Comparisons: Tukey-Kramer
TRAT
A
B
Y LSMEAN
293.666667
310.500000
H0:LSMean1=
LSMean2
Pr > |t|
0.1903
Least Squares Means
Adjustment for Multiple Comparisons: Tukey-Kramer
CARRY
A
B
Y LSMEAN
296.583333
307.583333
H0:LSMean1=
LSMean2
Pr > |t|
0.4716
________________________________________________________________________ 13
___________________________________________________________________________
Exemplo 3: Ratkowski et al., 1993, apresentam dados de Bliss, 1967, utilizando um
delineamento não balanceado para estimação de efeitos “carry-over”. Os dados formam 3
quadrados latinos 4 x 4. Os tratamentos consistiram de 4 dosagens de amina dadas a 12
coelhos (A=12,5 mg, B=50 mg, C=200 mg e D=800 mg). As dosagens foram dadas aos 4
animais em cada quadrado latino em 4 dias diferentes, os dias sendo os mesmos nos 3
quadrados, com os 4 animais sendo diferentes a cada quadrado. A variável resposta foi
aumento no diâmetro da pupila (mm). O layout dos quadrados e as respostas (subscrito)
foram como se segue, os coelhos constituindo as linhas:
Quadrado
1
2
3
Período
Período
Período
1
2
3
4
1
2
3
4
1
D7
C5
B2
2
C4
D6
3
B3
4
A1
1
2
3
4
A1
C4
D5
A1
B2
B3
A0
D5
C3
A1
B3
D6
C4
B2
A0
A0
D4
C3
A0
A1
C6
D7
A1
B3
C4
D5
D7
C3
B2
A0
B3
D6
C3
B2
A2
D7
C4
C4
B2
A0
D6
O tratamento A segue o tratamento B 7 vezes e nunca segue o tratamento C; o
tratamento C segue o D 7 vezes; o tratamento B segue o C 5 vezes, etc. Utilizando o cálculo
de quiquadrado para a tabela de contingência tratamento x “carry-over”, encontra-se
S=45,3%. Se o delineamento fosse planejado adequadamente, os 3 quadrados latinos com
n=4 poderiam chegar a uma eficiência de separação de efeito de tratamento e “carry-over”
de 71,1%.
O modelo matemático para a variável resposta, aumento no diâmetro da pupila, pode
ser descrito assim:
yijks = µ + γs + ξs(j) + pk + ti + δkαr + εijk
________________________________________________________________________ 14
___________________________________________________________________________
onde:
yijks: é o aumento no diâmetro da pupila do i-ésimo tratamento, no j-ésimo coelho, no k-ésimo
período, no s-ésimo quadrado
µ: é a média geral
γs: é o efeito do s-ésimo quadrado
ξs(j): é um efeito aleatório devido aos coelhos dentro de quadrados
pk: é o efeito do período k
ti: é o efeito do tratamento i
αr: é o efeito carry-over devido ao tratamento r ter sido aplicado no período anterior, δk é um
indicador variável, cujo valor é zero no primeiro período e 1 no segundo período
εijk: é o erro experimental ~N(0, σ e2 )
A análise estatística do estudo no SAS ficaria:
data AMINA;
input Y QUAD COELHO PERIODO TRAT $ CARRY $ @@;
if CARRY='0' then CARRY='D';
cards;
7 1 1 1 D 0
5 1 1 2 C D
2 1 1 3 B C
1 1 1
4 1 2 1 C 0
6 1 2 2 D C
1 1 2 3 A D
3 1 2
3 1 3 1 B 0
1 1 3 2 A B
6 1 3 3 C A
7 1 3
1 1 4 1 A 0
3 1 4 2 B A
6 1 4 3 D B
3 1 4
4 2 5 1 C 0
5 2 5 2 D C
1 2 5 3 A D
2 2 5
6 2 6 1 D 0
4 2 6 2 C D
2 2 6 3 B C
0 2 6
1 2 7 1 B 0
3 2 7 2 B A
4 2 7 3 C B
5 2 7
2 2 8 1 B 0
2 2 8 2 A B
7 2 8 3 D A
4 2 8
3 3 9 1 B 0
0 3 9 2 A B
5 3 9 3 D A
3 3 9
0 3 10 1 A 0
4 3 10 2 D A
3 3 10 3 C D
2 3 10
7 3 11 1 D 0
3 3 11 2 C D
2 3 11 3 B C
0 3 11
4 3 12 1 C 0
2 3 12 2 B C
0 3 12 3 A B
6 3 12
run;
proc glm;
class QUAD COELHO PERIODO TRAT CARRY;
model Y=QUAD COELHO(QUAD) PERIODO TRAT CARRY/ss1 ss2;
random COELHO(QUAD);
lsmeans TRAT CARRY/adj=tukey pdiff;
means PERIODO;
run;
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
A
B
D
C
B
A
D
C
C
B
A
D
B
A
C
D
A
B
C
D
D
C
B
A
________________________________________________________________________ 15
___________________________________________________________________________
Os resultados são:
Class Level Information
Class
Levels
QUAD
Values
3
COELHO
1 2 3
12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
PERIODO
4
1 2 3 4
TRAT
4
A B C D
CARRY
4
A B C D
Number of observations
48
The GLM Procedure
Dependent Variable: Y
Source
DF
Sum of
Squares
Mean Square
F Value
Pr > F
Model
20
192.5058832
9.6252942
18.60
<.0001
Error
27
13.9732835
0.5175290
Corrected Total
47
206.4791667
Source
QUAD
COELHO(QUAD)
PERIODO
TRAT
CARRY
Source
QUAD
COELHO(QUAD)
PERIODO
TRAT
CARRY
R-Square
Coeff Var
Root MSE
Y Mean
0.932326
22.27804
0.719395
3.229167
DF
Type I SS
Mean Square
F Value
Pr > F
2
9
3
3
3
7.0416667
5.1875000
1.5625000
177.1776961
1.5365204
3.5208333
0.5763889
0.5208333
59.0592320
0.5121735
6.80
1.11
1.01
114.12
0.99
0.0040
0.3867
0.4051
<.0001
0.4125
DF
Type II SS
Mean Square
F Value
Pr > F
2
9
3
3
3
7.0733959
5.8190692
0.9521513
133.7539893
1.5365204
3.5366980
0.6465632
0.3173838
44.5846631
0.5121735
6.83
1.25
0.61
86.15
0.99
0.0040
0.3081
0.6123
<.0001
0.4125
________________________________________________________________________ 16
___________________________________________________________________________
Least Squares Means
Adjustment for Multiple Comparisons: Tukey-Kramer
TRAT
A
B
C
D
Y LSMEAN
LSMEAN
Number
0.80924363
2.26216322
4.03980685
5.85742206
1
2
3
4
Least Squares Means for effect TRAT
Pr > |t| for H0: LSMean(i)=LSMean(j)
Dependent Variable: Y
i/j
1
1
2
3
4
0.0216
<.0001
<.0001
2
3
4
0.0216
<.0001
0.0011
<.0001
<.0001
0.0007
0.0011
<.0001
0.0007
Least Squares Means
Adjustment for Multiple Comparisons: Tukey-Kramer
CARRY
A
B
C
D
Y LSMEAN
LSMEAN
Number
3.67423045
3.06286241
3.16242968
3.06911322
1
2
3
4
Least Squares Means for effect CARRY
Pr > |t| for H0: LSMean(i)=LSMean(j)
Dependent Variable: Y
i/j
1
1
2
3
4
0.6333
0.4919
0.6109
Level of
PERIODO
1
2
3
4
2
3
4
0.6333
0.4919
0.9976
0.6109
1.0000
0.9979
0.9976
1.0000
N
12
12
12
12
0.9979
--------------Y-------------Mean
Std Dev
3.50000000
3.16666667
3.25000000
3.00000000
2.31595258
1.74945879
2.30118547
2.21564684
________________________________________________________________________ 17
___________________________________________________________________________
O valor de p associado ao efeito “carry-over”, 0,4125, indica que não há efeito
residual entre os pares de tratamentos. Apesar da soma de quadrados tipo II ser a
adequada para testar se existem efeitos significantes de tratamento, é possível que a soma
de quadrados de tratamento ajustada seja subestimada quando o delineamento não separa
adequadamente os efeitos de tratamento e “carry-over”. Esse não é o caso desse exemplo,
pois o valor de 133,7540 é menor do que o apresentado para a soma de quadrados tipo I, e
ainda assim altamente significante (p<0,00001). Então, pode-se concluir que existem
diferenças significantes entre os tratamentos.
A diferença entre os grupos pode ser descrita assim:
A=12,5 mg amina
a
B=50,0 mg amina
b
C=200 mg amina
c
D=800 mg amina
d
________________________________________________________________________ 18
___________________________________________________________________________
Conclusão
O estudo dos delineamentos cross-over é um capítulo à parte dentro da Estatística.
Este trabalho mostrou as idéias principais contidas no delineamento, como a estimação do
efeito “carry-over” e a utilização de layouts adequados para melhor separar o efeito de
tratamento e o residual, além de apresentar alguns exemplos práticos. Modelos utilizando
outros delineamentos em associação ao cross-over, como parcelas subdivididas ou fatorial,
trazem grande limitação ao estudo dos efeitos presentes no delineamento original, e
apresentam soluções específicas e complexas, além do objetivo deste trabalho. Apesar
disso, os delineamentos cross-over aparecem como uma ferramenta muito interessante para
estudos que envolvem seres humanos e animais, permitindo a eliminação de grande parte
da variabilidade devido aos indivíduos.
________________________________________________________________________ 19
___________________________________________________________________________
Bibliografia
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John Wiley & Sons, 1999.
Cochran WG, Cox GM. Experimental designs. 2.ed. New York, John Wiley & Sons, c1957.
Jones B, Kenward MG. Design and analysis of cross-over trials. New York, Chapman and
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Kushner HW, De Maio G. Understanding basic statistics. San Francisco, Holden-Day Inc.,
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Montgomery, D. Design and analysis of experiments. 3.ed. John Wiley & Sons, 1991.
Ratkowski DA, Evans MA, Alldredge JR. Cross-over experiments: design, analysis, and
application. New York, Marcel Dekker Inc., 1993.
________________________________________________________________________ 20