UNIFAL – UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS
FACULDADE DE MATEMÁTICA
MARIA APARECIDA COSTA
SÔNIA REGINA DOS REIS LIMA
ENSINO DE PRISMAS: UMA ANÁLISE A PARTIR
DO LIVRO DIDÁTICO
Alfenas/ MG
2010
MARIA APARECIDA COSTA
SÔNIA REGINA DOS REIS LIMA
ENSINO DE PRISMAS: UMA ANÁLISE A PARTIR
DO LIVRO DIDÁTICO
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
a Universidade Federal de Alfenas, como parte
dos requisitos para obtenção do título de
Licenciado em Matemática.
Orientadora: Professora Dra. Andrea Cardoso
Alfenas/ MG
2010
MARIA APARECIDA COSTA
SONIA REGINA DOS REIS LIMA
A Banca examinadora abaixo-assinada,
aprova o Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado como parte dos requisitos para
obtenção do título de Licenciado em
Matemática pela Universidade Federal de
Alfenas.
Aprovada em:
Professora: Dra. Andrea Cardoso (Orientadora)
Instituição: Universidade Federal de Alfenas Assinatura:
Professor: Dr. José Carlos de Souza Junior
Instituição: Universidade Federal de Alfenas
Assinatura:
Professor: Dr. Denismar Alves Nogueira
Instituição: Universidade Federal de Alfenas
Assinatura:
Professor: Msc. Jose Claudinei Ferreira (Suplente)
Instituição: Universidade Federal de Alfenas Assinatura:
AGRADECIMENTOS
À DEUS, por estar presente na nossa vida, guiando e iluminando os nossos passos
todos os dias.
À Profª. Drª. Andrea Cardoso, pela capacidade, confiança, disposição e
determinação na orientação deste trabalho, fatores essenciais para a sua
concretização.
A
todos
os
professores
do
curso
de
Matemática,
pelos
ensinamentos
compartilhados.
Às meus colegas do curso, amigos que sempre lembraremos com carinho.
A todas as pessoas que participaram de forma direta ou indireta para o êxito deste
trabalho.
SÔNIA
Ao meu esposo Antonio Carlos, pelo apoio e compreensão durante todo o curso.
Aos meus filhos Matheus e Guilherme, luzes da minha vida, pelas minhas ausências
em alguns momentos.
CIDA
À minha mãe Francisca pelo apoio e incentivo no decorrer do curso.
A todos vocês, nossa eterna gratidão!
Um ladrão rouba um tesouro, mas não furta a inteligência. Uma crise destrói uma herança, mas não a
profissão. Não importa se você tem dinheiro, você é
uma pessoa rica, pois possui o maior de todos os
capitais: a sua inteligência. Insista nela. Estude! (Augusto Cury)
RESUMO
O livro didático vem se tornando o único referencial teórico a que alunos e
professores tem acesso, o que lhe garante um papel importantíssimo no sistema de
ensino, principalmente na educação pública. Dentre os conteúdos de Matemática
trabalhados no Ensino Médio, pode-se dizer que o ensino de Geometria Espacial
está sendo negligenciado, causando imenso prejuízo aos estudantes, visto que o
estudo deste tópico proporciona o desenvolvimento de habilidades de visualização,
de desenho e de argumentação lógica, além de favorecer diversas aplicações
cotidianas promovendo a contextualização do ensino de Matemática. O presente
trabalho tem como objetivo a análise de livros didáticos do Ensino Médio em relação
ao conteúdo de Prismas para verificar se os mesmos atendem às instruções oficiais
e se a metodologia utilizada favorece a motivação e a aprendizagem. Para análise
selecionou-se as três coleções de livros didáticos mais utilizados nas escolas
públicas de Ensino Médio da Superintendência Regional de Ensino de Varginha. De
forma geral os três livros apresentaram falhas quanto as questões analisadas, como
omissão de fatos históricos, demonstrações, sugestões de atividades com recursos
tecnológicos, necessitando adequá-los para que haja um favorecimento da
aprendizagem de Geometria.
Palavras Chaves: Geometria. Prismas. Livro Didático.
ABSTRACT
The textbook has become the only theoretical reference that students and teachers
have access, especially in public education. Among the math contents in high school
can say that the Space Geometry is being neglected, causing immense damage to
students, since the study of this topic provides the development of skills of
visualization, drawing and logical argument as well as between various everyday
applications promoting the contextualization of the math classes. The goal of this
work is perform the analysis of high school textbooks for the content of Prisms to
determine whether they meet the official instructions and if the methodology fosters
motivation and learning. For analysis are selected the three collections of most
textbooks used in public schools in School Regional Superintendent of Varginha.
Overall the three books were incomplete as the issues examined, as omission of
historical facts, proofs and activities with technology resources, it is necessary adapt
them for fomenting the Geometry learning.
Keywords: Geometry. Prisms. Textbook.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 01 - Distribuição de alunos de acordo com a proficiência em Matemática (3ª
série do EM) - urbanas sem federais 1995-2005 – BR............................22
Figura 02 - Distribuição de alunos de acordo com a proficiência em Matemática (3ª
série do EM) - urbanas sem federais 1995-2005 – MG...........................23
Figura 03 - Distribuição de alunos da rede pública de acordo com a proficiência em
Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais 1995-2005 – BR.. 24
Figura 04 - Distribuição de alunos da rede pública de acordo com a proficiência em
Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais 1995-2005 – MG..25
Figura 05 - Distribuição de alunos da rede privada de acordo com a proficiência em
Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais 1995-2005 – BR.. 26
Figura 06 - Distribuição de alunos da rede privada de acordo com a proficiência em
Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais 1995-2005 – MG..26
Figura 07 - Fórmula com erro de impressão..............................................................42
Figura 08 - Construção e definição de Prismas.........................................................43
Figura 09 - Formação de conceitos geométricos.......................................................44
Figura 10 - Exemplo de exercício resolvido...............................................................46
Figura 11 - A idéia intuitiva do volume....................................................................... 48
Figura 12 - Planificações dos sólidos.........................................................................50
Figura 13 - Exemplo de exercícios.............................................................................51
Figura 14 - Volume do Cubo.......................................................................................52
Figura 15 - Exemplo de planificação de um dos prismas, o prisma triangular.......... 54
Figura 16 - Exemplo com o prisma triangular planificado..........................................55
Figura 17 - Exemplo de visualização de um dos prismas montados e
movimentado............................................................................................55
Figura 18 - Tela inicial do Clicmat..............................................................................56
Figura 19 - Uma das atividades do Clicmat................................................................56
Figura 20 - Jogo usando conceitos geométricos........................................................57
Figura 21 - Continuação do jogo usando conceitos geométricos.............................. 58
Figura 22 - Continuação do jogo usando conceitos geométricos.............................. 59
Figura 23 - Continuação do jogo usando conceitos geométricos ............................. 60
Figura 24 - Planificação de Prismas ..........................................................................61
Figura 25 - Planificação de Prismas...........................................................................62
Figura 26 – Cubo Unitário .........................................................................................63
Figura 27 – Cubo de aresta 1 dm .............................................................................63
Figura 28 – Subdivisão do cubo unitário ...................................................................64
Figura 29 – Cubo com aresta de medida não inteira ................................................64
Figura 30 – Bloco retangular .....................................................................................65
Figura 31 – Prisma de base triangular e paralelepípedo ..........................................66
Figura 32 – Prisma de base pentagonal decomposto em prismas triangulares .......66
LISTA DE TABELAS
Tabela 01 - Distribuição de alunos por níveis de acordo com a proficiência em
Matemática (3ª série do EM) – urbanas sem federais 1995 – 2005...... 14
Tabela 02 - Distribuição de alunos da rede pública por níveis de acordo com a
proficiência em Matemática (3ª série do EM) – urbanas sem federais
1995 – 2005............................................................................................15
Tabela 03 - Distribuição de alunos da rede privada por níveis de acordo com a
proficiência em Matemática (3ª série do EM) – urbanas sem federais
1995 – 2005............................................................................................15
Tabela 04 - Legenda...................................................................................................15
Tabela 05 - Escala de desempenho – Matemática, 4ª série......................................16
Tabela 06 - Continuação da Tabela 5........................................................................17
Tabela 07 - Escala de desempenho – Matemática, 8ª série......................................18
Tabela 08 - Continuação da Tabela 7........................................................................19
Tabela 09 - Escala de desempenho – Matemática, 3ª série do Ensino Médio..........20
Tabela 10 - Continuação da Tabela 09......................................................................21
SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO...........................................................................................11
2
REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO............................................................14
2.1
O LIVRO DIDÁTICO...................................................................................32
2.2
USO DE RECURSOS TECNOLÓGICOS..................................................35
3
METODOLOGIA .......................................................................................39
4
RESULTADOS E DISCUSSÃO.................................................................42
4.1
ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS........................................................ 42
4.1.1
Quanto a erros de impressão.....................................................................42
4.1.2
Quanto a imprecisão ou ambigüidade nas definições e resultados................43
4.1.3
Quanto ao conceito se ele é precedido de uma situação-problema e se há
contextualização dentro da própria matemática ou fora dela ........................ 45
4.1.4
Quanto a situações históricas que podem motivar o aluno.............................46
4.1.5 As demonstrações são apresentadas de forma a incentivar o manuseio de
fórmulas favorecendo o pensar matemático ou ênfase na capacidade de
memorização?.................................................................................................48
4.1.6 Existem sugestões de material concreto, planificação dos sólidos, uso de
recursos tecnológicos ou de instrumento de medição, construção de figuras
ou jogos matemáticos?....................................................................................49
4.1.7 A forma como o estudo é apresentado é feita de maneira ordenada e que
conduz o aluno à resolução adequada e significativa de problemas?............51
4.2
COMPARATIVO EM RELAÇÃO À CONSTANTE EM MATEMÁTICA:
CATÁLOGO DO PROGRAMA NACIONAL DO LIVRO PARA O ENSINO
MÉDIO: PNLEM/2009................................................................................52
4.3
SUGESTÕES DE ATIVIDADES.................................................................54
4.4
SOFTWARES DISPONÍVEIS PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DE
GEOMETRIA..............................................................................................66
5
CONSIDERAÇÕES FINAIS E TRABALHOS FUTUROS.........................69
REFERÊNCIAS..........................................................................................70
11
1 INTRODUÇÃO
O desempenho dos estudantes em exames que avaliam suas habilidades em
Matemática atesta que a aquisição do conhecimento matemático vem se tornando
uma atividade cada vez menos produtiva. Talvez seja este o resultado mais evidente
de uma visão restrita e vetusta do ensino da matemática como a ciência das
quantidades e dos cálculos. Faz-se necessário a pesquisa e o desenvolvimento de
metodologias alternativas para o ensino de Matemática, tendo-se como principal
referência, uma escola mais voltada para a aprendizagem que para o ensino, na
qual a função específica do professor não seja a de instruir, mas motivar e mobilizar
os aprendizes para que descubram por si próprios.
Os conteúdos trabalhados na disciplina de Matemática são considerados sem
nenhum atrativo, e muitas vezes complicado por uma grande parte dos alunos do
ensino básico até mesmo do superior. Os conceitos matemáticos parecem ser, do
ponto de vista do aluno, de difícil compreensão, a notação utilizada é complexa o
que dificulta o aprendizado e o exercício do raciocínio.
No ensino-aprendizagem percebem-se dificuldades de aprendizado em conteúdos onde não é possível presenciar o processo da forma que o mesmo acontece.
Nesses acontecimentos cabe ao professor usar recursos que permitam ao aluno conhecer algo abstrato e perceber sua ligação com o real. A metodologia de ensino
tradicional baseado em quadro negro e aulas dialogadas podem ocasionar esse processo cansativo e desmotivar os alunos promovendo falhas no processo de ensinoaprendizagem.
Durante o período da chamada Matemática Moderna (décadas de 60 e 70)
ocorreu no ensino uma forte predominância da conceituação dos conceitos
matemáticos em detrimento da manipulação e das aplicações. Atualmente a
manipulação é das três a componente mais difundida nos livros-texto adotados em
nossas escolas públicas. Conseqüentemente abundam nas salas de aula atividades
que não provêm de problemas reais, não estão relacionadas com a vida atual, nem
com as demais ciências e nem mesmo com outras áreas da Matemática (LIMA,
2007).
12
A Matemática, bem como a geometria é de grande importância, para a vida dos
indivíduos, pois através dela se desenvolve habilidades de visualização, de
orientação no espaço, determina-se e compara-se distâncias e mesmo assim seu
estudo vem sendo negligenciado pelas escolas. Ela constitui um conteúdo que vem
sendo cobrado nas avaliações oficiais. O que garante que nossa escolha foi
relevante. Quanto à escolha pelo conteúdo geometria espacial – prismas foi devido a
sua grande presença em nosso cotidiano, seja nas construções, nas embalagens de
diversos produtos, etc, pois a todo momento nos deparamos com algum tipo de
prisma o que constitui um motivo a mais para verificar se este conteúdo está sendo
contextualizado, se está de acordo com as orientações curriculares oficiais.
Tendo em vista a importância que o livro didático tem para o professor, como
referência ou mesmo roteiro principal no preparo e condução de suas aulas (LEE,
2003). E partindo do pressuposto que o livro didático tem um papel fundamental no
processo de ensino e aprendizagem dos conceitos matemáticos, o objetivo deste
trabalho é realizar uma análise qualitativa e quantitativa dos conteúdos de Prismas
nos três livros didáticos do Ensino Médio mais utilizados nas escolas públicas da
jurisdição da 41ª Superintendência Regional de Ensino (SRE) de Varginha,
buscando verificar as estratégias utilizadas, o atendimento às instruções veiculados
pelos documentos oficiais para o Ensino Médio.
As publicações dedicadas às pesquisas em analisar o livro didático vêm aumentando diariamente, por ser um instrumento essencial na vida do professor e dos
alunos. Por outro lado, percebemos o poder de influência exercida pelo livro didático
na definição das atividades realizadas em sala de aula. O interesse em analisar os livros didáticos é devido à importância de se ter uma obra que não contenha erros ou
com conceitos mal redigidos gerando ambigüidades e deixando margem a dúvida, ficando difícil a assimilação do conteúdo muitas vezes necessitando em uma maior
atenção dos professores, sendo que os alunos poderiam entender facilmente se o livro fosse mais claro, comprometendo a aprendizagem dos alunos.
De acordo com o exposto, este trabalho tem a seguinte questão de pesquisa:
Quais os principais problemas, erros, imprecisões ou omissões dos livros didáticos
de Matemática do Ensino Médio utilizados nas escolas públicas da regional de
Varginha-MG em relação aos conceitos básicos de Prismas e como isto pode
influenciar a aprendizagem dos estudantes?
13
O capítulo 2 apresenta um estudo sobre a relevância dos livros didáticos no
ensino e aprendizagem de Matemática atualmente, uma pesquisa sobre o ensino de
Geometria Espacial e as determinações das Orientações Curriculares referentes a
este conteúdo. A metodologia utilizada no desenvolvimento do trabalho, bem como
os critérios para seleção e análise dos livros didáticos estão dispostos no capítulo 3.
O capítulo 4 é destinado à apresentação da análise dos textos e discussão dos
resultados. Para finalizar, as conclusões e sugestões para trabalhos futuros
configuram o capítulo 5.
14
2 REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO
De acordo com Lima (2007), o currículo de Matemática adotado no Ensino
Médio brasileiro é essencialmente determinado pelos exames de ingresso nos
cursos superiores. A escolha dos assuntos é bem equilibrada e objetiva, não
havendo omissões gritantes nem excessos escandalosos. O conteúdo não difere
substancialmente daquele adotado, para alunos de mesma idade em muitos países
europeus. O problema reside na execução que deixa muito a desejar.
A Matemática do ensino médio, conforme praticada nas escolas brasileiras,
embora aborde temas relevantes, trata esses assuntos de maneira bastante
insatisfatória, enfatizando aspectos manipulativos e fórmulas, deixando de lado
interessantes aplicações e interpretações relevantes daqueles tópicos nas outras
Ciências e no dia-a-dia da sociedade em que vive o jovem de hoje, e o reflexo
imediato é o desempenho sofrível dos estudantes nos exames promovidos pelo
Ministério da Educação e pelas Secretarias da Educação dos Estados. Os
resultados do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (Saeb) promovido
pelo Inep são apresentados na Tabela 1, 2 e 3, estes dados se referem aos anos
1995 – 2005, pois ainda não foram divulgados os dados mais recentes do Saeb
referentes aos anos 2007 e 2009.
Tabela 1 - Distribuição de alunos por níveis de acordo com a proficiência em
Matemática (3ª série do EM) – urbanas sem federais 1995 - 2005.
Fonte: http://provabrasil.inep.gov.br/index.php?option=com_content&task=view&id=82&Itemid=99
15
Tabela 2 - Distribuição de alunos da rede pública por níveis de acordo com a
proficiência em Matemática (3ª série do EM) – urbanas sem federais
1995 - 2005.
Fonte: http://provabrasil.inep.gov.br/index.php?option=com_content&task=view&id=82&Itemid=99
Tabela 3 - Distribuição de alunos da rede privada por níveis de acordo com a
proficiência em Matemática (3ª série do EM) – urbanas sem federais
1995 - 2005.
Fonte: http://provabrasil.inep.gov.br/index.php?option=com_content&task=view&id=82&Itemid=99
Tabela 4 - Legenda
Matemática
nivel 0 0
nivel 1 125
nivel 2 150
nivel 3 175
nivel 4 200
nivel 5 225
nivel 6 250
nivel 7 275
nivel 8 300
nivel 9 325
nivel 10 350
nivel 11 375
nivel 12 400
nivel 13 425 ou mais
125
150
175
200
225
250
275
300
325
350
375
400
425
Fonte: http://provabrasil.inep.gov.br/index.php?option=com_content&task=view&id=82&Itemid=99
No relatório do Saeb 2001, foi encontrado o significado da tabela 4 referente ao
ensino médio cujas explicações se encontram nas tabelas 5 à 10.
16
Tabela 5 – Escala de desempenho – Matemática, 4ª série
Fonte: Relatório Saeb 2001 – Matemática
Tabela 6 – Continuação da Tabela 5
17
Fonte: Relatório Saeb 2001 – Matemática
18
Tabela 7 – Escala de desempenho – Matemática, 8ª série
Fonte: Relatório Saeb 2001 – Matemática
19
Tabela 8 – Continuação da Tabela 7
Fonte: Relatório Saeb 2001 – Matemática
20
Tabela 9 – Escala de desempenho – Matemática, 3ª série do Ensino Médio
Fonte: Relatório Saeb 2001 – Matemática
21
Tabela 10 – Continuação da Tabela 9
Fonte: Relatório Saeb 2001 – Matemática
22
De acordo com as Tabelas 4 à 10, divulgadas no relatório Saeb 2001, a escala
utilizada é a mesma para todas as séries avaliadas variando de 1 a 10. Para a 4ª
série do ensino fundamental a escala varia de 1 a 6, para a 8ª série do ensino
fundamental a escala varia de 4 a 8, visto que o níveis 8, 9 e 10 devem ser atingindo
somente com conhecimentos que serão trabalhados no ensino médio.
Para o modelo teórico que embasa o Saeb, competência se refere às
possibilidades de utilizar determinadas operações da inteligência que
possibilitam ao aluno (sujeito da aprendizagem) estabelecer diferentes
relações, tais como: classificar, seqüenciar, estabelecer correspondências,
etc. (Relatório Saeb 2001, p.66).
Quanto as habilidades elas “foram distribuídas nos quatro temas da Matriz de
Referência do SAEB 2001: Espaço e Forma; Grandezas e Medidas; Números e
Operações; Tratamento da Informação” (Relatório Saeb 2001, p.14).
Com base nas Tabelas 1, 2 e 3, juntamente com a explicação da legenda no
qual concluímos que os alunos adquiriram as habilidades de matemática do Ensino
1995
1997
1999
2001
2003
31,81%
30,78%
69,22%
32,56%
67,44%
33,68%
66,29%
39,46%
60,54%
34,20%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
65,80%
Distribuição de alunos de acordo com a proficiência em
Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais 1995-2005 Brasil
70,46%
Médio quando se encontrarem acima do nível 7, elaboramos os seguintes gráficos:
2005
Alunos que não desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio
Alunos que desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio
Figura 1- Distribuição de alunos de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) urbanas sem federais 1995-2005 - Brasil
Analisando os resultados da avaliação no Brasil, constatamos que a situação é
crítica, pois a porcentagem de alunos que não adquiriram as habilidades
23
necessárias do Ensino médio sempre esteve e está bem alta. Os dados mais
recente (2005), apenas 31,81% dos concluintes do ensino médio conseguiram
desenvolver as habilidades recomendadas para este nível de ensino, enquanto que
70,46% dos estudantes não atingiram o nível 8, que é o nível mínimo recomendado
para este nível de ensino.
46,03%
57,29%
60,79%
39,21%
65,87%
63,15%
64,84%
35,16%
40%
34,13%
50%
36,85%
60%
40,37%
70%
59,63%
Distribuição de alunos de acordo com a proficiência em
Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais 1995-2005 Minas Gerais
30%
20%
10%
0%
1995
1997
1999
2001
2003
2005
Alunos que não desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio
Alunos que desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio
Figura 2: Distribuição de alunos de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série do EM) urbanas sem federais 1995-2005 – Minas Gerais
Analisando os resultados da avaliação em Minas Gerais, constatamos que a
situação está melhor em relação ao Brasil, mas ela também é crítica, pois a
porcentagem de alunos que não adquiriram as habilidades necessárias do Ensino
médio sempre esteve e está bem alta. Nos dados mais recentes (2005), apenas
46,03% dos concluintes do ensino médio conseguiram desenvolver as habilidades
recomendadas para este nível de ensino, enquanto que 57,29% dos estudantes não
atingiram o nível 8, que é o nível mínimo recomendado para este nível de ensino.
24
1995
2001
2003
22,72%
77,56%
22,42%
75,52%
1999
24,49%
26,84%
1997
25,00%
74,99%
73,16%
27,85%
72,16%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
77,59%
Distribuição de alunos da rede pública de acordo com a
proficiência em Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais
1995-2005 - Brasil
2005
Alunos que não desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio
Alunos que desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio
Figura 3: Distribuição de alunos da rede pública de acordo com a proficiência em Matemática (3ª série
do EM) - urbanas sem federais 1995-2005 – Brasil
Analisando os resultados da avaliação da rede pública no Brasil, constatamos
que a situação é caótica, pois a porcentagem de alunos que não adquiriram as
habilidades necessárias do Ensino médio sempre esteve e está bem alta. Os dados
mais recentes (2005), apenas 22,72% dos concluintes do ensino médio conseguiram
desenvolver as habilidades recomendadas para este nível de ensino, enquanto que
77,56% dos estudantes não atingiram o nível 8, que é o nível mínimo recomendado
para este nível de ensino.
25
1995
1999
2001
36,71%
63,67%
31,68%
28,26%
26,14%
1997
68,32%
71,74%
73,86%
53,89%
46,11%
36,70%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
63,30%
Distribuição de alunos da rede pública de acordo com a
proficiência em Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais
1995-2005 - Minas Gerais
2003
2005
Alunos que não desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio
Alunos que desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio
Figura 4 - Distribuição de alunos da rede pública de acordo com a proficiência em Matemática (3ª
série do EM) - urbanas sem federais 1995-2005 – Minas Gerais
Analisando os resultados da avaliação na rede pública em Minas Gerais,
constatamos que a situação é um pouco melhor que a do Brasil, mas a porcentagem
de alunos que não adquiriram as habilidades necessárias do Ensino médio sempre
esteve e está bem alta. Os dados mais recentes (2005), apenas 36,71% dos
concluintes
do
ensino
médio
conseguiram
desenvolver
as
habilidades
recomendadas para este nível de ensino, enquanto que 63,67% dos estudantes não
atingiram o nível 8, que é o nível mínimo recomendado para este nível de ensino.
1995
1997
1999
26,13%
28,70%
73,89%
74,36%
25,66%
31,52%
68,47%
74,36%
25,65%
53,31%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
46,69%
Distribuição de alunos da rede privada de acordo com a
proficiência em Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais
1995-2005 - Brasil
2001
85,27%
26
2003
2005
Alunos que não desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio
Alunos que desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio
Figura 5 - Distribuição de alunos da rede privada de acordo com a proficiência em Matemática (3ª
série do EM) - urbanas sem federais 1995-2005 – Brasil
Analisando os resultados da avaliação na rede privada no Brasil, constatamos
que a situação é bem melhor que a pública, pois a porcentagem de alunos que não
adquiriram as habilidades necessárias do Ensino médio está bem mais baixa. Os
dados mais recentes (2005), apesar de estarem com algum erro, pois a somatória é
14,02%
69,66%
79,80%
84,48%
14,75%
20%
15,52%
40%
30,34%
60%
20,20%
80%
44,67%
100%
55,33%
120%
85,25%
Distribuição de alunos da rede privada de acordo com a
proficiência em Matemática (3ª série do EM) - urbanas sem federais
1995-2005 - Minas Gerais
109,20%
113,97%, evidenciam que a situação é bem melhor que a pública.
0%
1995
1997
1999
2001
2003
2005
Alunos que não desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio
Alunos que desenvolveram as habilidades necessárias do Ensino Médio
Figura 6 - Distribuição de alunos da rede privada de acordo com a proficiência em Matemática (3ª
série do EM) - urbanas sem federais 1995-2005 – Minas Gerais
27
Analisando os resultados da avaliação na rede privada em Minas Gerais,
constatamos que a situação também é bem melhor que a pública e também é
melhor que a privada no Brasil, pois a porcentagem de alunos que não adquiriram as
habilidades necessárias do Ensino médio está bem mais baixa. Os dados mais
recentes (2005), apesar de estarem com algum erro, pois a somatória é 123,22%,
evidenciam que a situação é bem melhor que a pública.
Em particular, o ensino de geometria apesar da sua grande relevância e
utilidade no dia a dia, vem sendo abandonado até mesmo nos anos iniciais do
Ensino Fundamental, como mencionado por Passos citado por Pereira (2001, p. 53).
Dentre outros motivos, o considerado abandono do ensino de Geometria pode
estar relacionado aos seguintes fatos:
1) Aprovação da LDB 5692/71, que garante às escolas uma liberdade na
escolha dos programas das diferentes disciplinas e com isto aqueles
educadores que não se sentiam seguros para ensinar geometria a
deixavam para o final do ano letivo o que acarretava muitas vezes falta
de tempo para ensiná-la de maneira adequada, outros mesmo nem a
incluíam em sua programação (PAVANELLO, 1993);
2) Movimento da Matemática Moderna (MMM), na tentativa de axiomatizar
a Geometria agora sob o enfoque das transformações, favoreceu que
muitos professores, não dominando este enfoque, deixassem de
ensinar Geometria (PEREIRA, 2001);
Para Fainguelernt (1999) o estudo da Geometria é de fundamental importância
para o desenvolvimento do pensamento espacial e o raciocínio ativado pela
visualização, necessitando recorrer à intuição, à percepção e à representação, que
são habilidades essenciais para a leitura do mundo e para que a visão da
Matemática não fique distorcida. Essas razões são suficientes para defender a idéia
de que o ensino de Geometria no Ensino Fundamental não seja desenvolvido
através de automatismo, memorização e técnicas operatórias nem baseado em um
processo de formalização com crescente nível de rigor, abstração e generalização.
Desta forma, as atividades de planificação, construção e medições de figuras
geométricas planas e espaciais devem ser trabalhadas ao longo da Educação
Básica. Já no
“Ensino Médio a aprendizagem deve garantir o aprofundamento dos
conceitos da geometria em nível de abstração mais complexa. Assim é
28
necessário demonstrações de fórmulas matemáticas e teoremas, conhecer
e aplicar as regras e convenções matemáticas, tanto no ensino da
Geometria de posição como no cálculo de áreas de figuras geométricas
planas e espaciais e de volume de sólidos geométricos” (PARANÁ, 2008).
Quando o aluno tem um estudo adequado de Geometria este desenvolve
“habilidades de visualização, desenho, argumentação lógica e de aplicação na
busca de soluções para problemas” (Brasil PCN, 2002, p.257). Segundo a OCEM
com a geometria o discente desenvolve a capacidade de orientar-se no espaço, de
determinar e comparar distâncias e usar as diferentes unidades de medida.
Para atingir estes objetivos o ensino de Geometria deve ser orientado para
atividades contextualizadas que valorizem o raciocínio, entretanto os conteúdos de
geometria em muitos livros didáticos se reduzem a cálculos de medidas,
apresentação das propriedades sem a demonstração, nomeação e classificação de
figuras, exercícios que dão ênfase a memorização e aplicação de fórmulas.
Quando nos referimos a atividades contextualizadas entendemos que
“contextualizar é situar um fato dentro de uma teia de relações possíveis em que se
encontram os elementos constituintes da própria relação considerada” (SILVA &
SANTO, 2004, p.3).
Uma das formas de mostrar a contribuição da matemática é utilizando-a para
contextualizar conteúdos de outras disciplinas. Devido à má formação muitos
professores não conseguem justificar os conteúdos, pois eles não foram motivados a
observarem a aplicabilidade através da contextualização (SILVA & SANTO 2004).
Por meio da matemática contextualizada, o aluno procura sanar as dificuldades
utilizando estratégias que conheceu ou desenvolvendo outras, pelas transformações
que faz entre o conteúdo conhecido e o novo que lhe é apresentado. A Geometria
pode ter um papel decisivo no ensino e na aprendizagem da Matemática, pois permite resolver problemas do cotidiano e interfere fortemente na estruturação do pensamento, levando à construção do conhecimento.
Uma das maiores dificuldades encontradas pelos alunos está em relacionar a
aplicação de conceitos à resolução de problemas. Por isso, há uma urgência em mudar à situação, o professor deve tentar reverter, inovando sua prática pedagógica,
utilizando como método o estudo contextualizado da geometria. O professor deve ter
a consciência de que o aluno não é uma máquina pensante, arquivando tudo na memória e seguindo passos mecanicamente. Mas, pode desenvolver seu próprio racio-
29
cínio naturalmente e adquirir habilidades para pensar com independência. Para que
isso aconteça é de extrema importância que o professor traga para a sala de aula os
fatos que ocorrem fora da escola, ou seja, acontecimentos que rodeiam a vida do
aluno. A geometria deverá estar contextualizada nestes acontecimentos diários (FILHO & BRITO, 2006).
A contextualização dos conteúdos irá provocar no aluno à vontade de aprender a geometria. Para que isso ocorra é essencial que o aluno manipule os objetos
apresentados. O trabalho manipulado associado ao pensamento crítico é importantíssimo para o desenvolvimento da aprendizagem em geometria. Com isso o aprendizado tem a vantagem de levar de forma diferente o trabalho com a geometria contextualizada, deixando o aluno usar o seu raciocínio lógico e estimulando a sua criatividade (FILHO & BRITO, 2006).
Para Vergnaud citado por Pais (2001), o sentido de um conceito para o aluno
está ligado a resolução de problemas adequados ao seu nível de conhecimento,
pois através dela é lançado a base inicial para que a compreensão do conceito se
estabeleça e assim possa passar para o estado mais abstrato, para o saber escolar
até atingir o saber científico.
Um conceito, para Vergnaud citado por Pais (2001, p. 57),
... é uma tríade que envolve um conjunto de situações que dão sentido ao
conceito; um conjunto de invariantes operatórios associados ao conceito e
um conjunto de significantes que podem representar os conceitos e as
situações que permitem aprende-los.”
O conceito é algo que está sempre em construção, cada vez se aproxima da
objetividade, generalidade e universalidade.
Assim, aulas expositivas e distantes da realidade do aluno causam
desinteresse e desmotivação, muitas vezes o conteúdo é apenas memorizado sem
que ocorra o efetivo entendimento.
Narrar fatos da História da Matemática constitui um fator de grande importância
para a aprendizagem, pois através dela é possível contextualizar o tema estudado e
motivar os alunos para a busca do conhecimento.
De acordo com o Brasil PCN (2002) saber relacionar etapas da História da
Matemática com a evolução da humanidade é uma das competências e habilidades
30
a serem desenvolvidas em Matemática. Daí outro fator de destaque para a utilização
da História da Matemática na sala de aula.
Uma maneira de dar significado a conceitos geométricos é usar fatos históricos
tais como divisão de terra, medidas de pirâmides, estudar a geometria presente nas
obras arquitetônicas das antigas civilizações egípcias, grega, babilônica e romana.
Segundo Carvalho (2008), se o professor tem conhecimento, por exemplo, da
dificuldade histórica da demonstração da fórmula de Euler e o estudo do teorema de
Cavalieri ele compreenderá algumas dificuldades apresentadas pelos alunos para
assimilar este conceito e com isso irá buscar estratégias para superar os obstáculos.
Não apenas a citação de etapas da História da Matemática, mas se possível a
reconstrução de determinados conceitos do ponto de vista do desenvolvimento
histórico pode favorecer o domínio de um saber fazer Matemática e de um saber
pensar matemático, que de acordo com o Brasil PCN inicia-se com uma prolongada
atividade sobre resolução de problemas de diversos tipos buscando desta forma
estabelecer
conjecturas
e
identificar
regularidades
formalizando
assim
o
conhecimento matemático.
É importante que, ao iniciar os estudos de um determinado conceito, os livros
didáticos trabalhem a resolução de problemas contextualizados, de forma a
promover o desenvolvimento de habilidades e competências, cujos significados
estão descritos na página 22, conforme dados do relatório do Saeb 2001, no aluno
durante sua vida escolar.
Alves (2005, p. 22) também menciona os efeitos benéficos da resolução de
problemas, segundo ela “... durante a solução de problemas alguns processos
cognitivos superiores podem ser evidenciados, dentre eles a atenção, a percepção,
a representação, a imagem e a memória.”
A resolução de problemas constitui um método eficaz para a aprendizagem
tanto para a disciplina de Matemática como para o conteúdo específico de
Geometria, pois “...ao resolver situações-problema, o homem toma consciência de si
mesmo e de tudo que o cerca, assimila conceitos, descobre relações, formula
generalidades como as matemáticas” (GOUVÊA, 1998, p.84).
A contextualização induz a criatividade na elaboração de problemas vivenciados pelo aluno. O processo de trabalho com conteúdos contextualizados diferencia a
aula e contribui despertando no aluno o gosto pela geometria, desenvolvendo atitudes positivas em relação à matemática.
31
Por meio de um estudo com telhados integrados às construções arquitetônicas
utilizados como metodologia para o ensino da Geometria no ensino básico, obtiveram como resultados que a utilização de modelos concretos facilitava a visualização
dos elementos geométricos, pois aproximavam a aprendizagem das necessárias relações com o mundo real, tendo obtido excelentes resultados na proposta de trabalho (SANTOS et al., 2002).
No ensino médio também foi realizado um estudo por Fillos (2000) com relação
ao cotidiano do aluno, utilizando embalagens de produtos comerciais em atividades
práticas, como planificações, classificação e estudo das formas, concluiu-se que
houve uma melhoria do desempenho dos alunos, pois se sentiam estimulados a
aprender Matemática.
É essencial que os professores tragam para a sala de aula situações, problemas que justifique o uso da Geometria e da Matemática no cotidiano. Alguns
exemplos de aplicações práticas da Geometria Espacial que podem ser utilizado
dentro de uma perspectiva de contextualização do conteúdo:
• Geometria Espacial Aplicada a Tecnologia Industrial - são utilizados moldes para fabricar todos os utensílios de plástico que são utilizados em nossas casas
diariamente como: recipientes, copos, lentes, caixas de computadores, armários de
televisores, aparelhos, partes de automóveis e jogos são somente alguns dos produtos moldados de plástico.
• Geometria Espacial Aplicada ao Comércio - as indústrias de embalagens
exigem habilidades relativas à geometria espacial, quase tudo o que usamos nos
chega dentro de algum tipo de embalagem como: Jogos, aparelhos eletrônicos, produtos de beleza, produtos para o cuidado da saúde, produtos para uma fazenda,
pinturas, adesivos, materiais de construção, alimentos e equipamentos esportivos.
• Geometria Espacial Aplicada a Saúde - os tratamentos e procedimentos
nas terapias respiratórias (pulmões), terapias cardíacas (coração) e terapias renais,
usam volumes de fluídos. Usualmente, o cálculo da velocidade de fluxo é crítico no
tratamento apropriado dos pacientes.
• Geometria Espacial Aplicada a Agricultura - a agricultura e negócios relacionados utilizam a geometria espacial para determinar o volume (capacidade) de silos ou depósitos de armazenamento – para grãos, feno, palha, etc.
Para que haja a valorização do raciocínio e desenvolvimento de habilidades
para realizar uma argumentação lógica na busca de soluções para problemas, é de
32
vital importância o uso das demonstrações para validar intuições e conjecturas, dar
sentido às técnicas adotadas, mesmo que, de acordo com o Brasil PCN (2002), seja
somente de demonstração ou de observação, pois seu uso contínuo permite ao
aluno desenvolver melhor os conceitos e manuseios das formas geométricas.
Percebe-se uma rejeição às demonstrações em sala de aula, pois o professor
não se arrisca a usá-la, por possuir pouco conhecimento, ou mesmo pela
insegurança nas orientações recebidas sobre Geometria e também por não
encontrar nos livros didáticos referencial claro e seguro (GOUVÊA, 1998).
2.1 O LIVRO DIDÁTICO
De acordo com as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM)
(2008) o livro didático vem se tornando o único material didático usado pelo
professor e que este chegou até mesmo a concepção de que ele deve ser
trabalhado de capa a capa, idéia reforçada por Antônio Augusto Gomes Batista,
citado por Barbosa (2008, p.57)
“... o livro didático é, em muitos lugares do Brasil, o único impresso a que
têm acesso professores e alunos. Esse número fica mais relevante quando
a população escolar tem menos acesso a bens econômicos e culturais,
tornando-se a única referência para a escolarização e o letramento no
País.”
O livro didático também, apesar de ser um material de estudo para o aluno vem
se tornando material utilizado pelo professor para condução de sua prática escolar
como nos afirma Barbosa, (2008, p. 54) “... embora suponha o uso do livro pelo
aluno sem a supervisão do mestre, o manual tenta sistematizar e organizar a prática
escolar, dirigindo-se a um leitor que não é o aluno...”
Na verdade, Nascimento (2009) afirma que estudos vêm mostrando que, para
muitos professores e alguns alunos, o livro didático é o principal, e muitas vezes a
única, fonte de consulta. Uma parcela significativa dos docentes utiliza na
preparação de suas aulas, apenas o livro didático adotado na escola, até limitando o
conteúdo abordado e a metodologia empregada ao proposto no livro, isto deveria
originar escolhas mais criteriosas dos livros a serem adotados, fato que comumente
não acontece.
33
Segundo Lima (2001), muitos dos livros destinados ao Ensino Médio
apresentam sérios erros, são definições, raciocínios, métodos de resolução de
problemas e respostas inteiramente inadequados e até desprovidos de significado.
Erros resultantes de conceitos mal formulados que geram ambigüidades e
conclusões absurdas, além de erros de imprecisão devem ser criteriosamente
analisados e criticados em livros didáticos, pois tais fatores são de suma importância
visto que as aplicações dependem dos conceitos e se estes estão em desacordo,
comprometerá o sucesso das mesmas. Erros de cálculos e de impressão também
são itens importantes, pois causam um certo desconforto nos alunos principalmente
se são provenientes das respostas dos exercícios.
A forma como o livro propõe a conceituação reflete o pensamento de Pais
(2001) quando diz que o que se valoriza no ensino de matemática é o excesso de
memorização de fórmulas, regras, definições em detrimento aos conceitos
significativos para o aluno, daí a importância do estudo de formação de conceitos
para que haja uma transformação na educação visando o aprendizado significativo
para o aluno.
Conceituar é muito mais que definir, pois este apresenta somente traços
exteriores ao conceito.
A formação de um conceito é realizada a partir de componentes anteriores,
por meio de uma síntese coordenada pelo sujeito. Esses componentes
podem ser noções fundamentais ou ainda outros conceitos elaborados
anteriormente, revelando a existência de uma extensa e complexa rede de
criações precedentes (PAIS, 2001, p.61).
A ordenação de conteúdos constitui também um item de suma importância
para aprendizagem, pois é impossível a compreensão de conteúdos que dependem
de outros que deveriam ser vistos anteriormente e não foram.
“No caso ideal em que a aprendizagem acontece com sucesso, os
conhecimentos anteriores são adicionados uns aos outros e incorporados à nova
situação...” (PAIS, 2001, p.53).
De forma geral em algumas análises de livros didáticos percebe-se que a
localização dos conteúdos da geometria está mal distribuída, devendo estar
articulada dentre os demais conteúdos, sendo um fator que diferencia os livros
didáticos. Torna-se evidente uma tendência de mudança, pois nos livros atuais a
localização dos conteúdos foi alterada, porém merece uma maior atenção qual o
efeito que essa mudança ocasionará, pois a questão pedagógica não se reduz a
34
uma localização física das páginas do livro, sendo que somente esta alteração da
localização não será suficiente, uma vez que os conceitos usuais não são mudados.
Observou-se também que antigamente na década de 1985 a 1995 os conceitos
no sumário dos livros mais tradicionais apareciam com termos e expressões com
significados no contexto do saber matemático, por outro lado, os livros publicados na
última década essa forma de sumário nem sempre é preservada, contendo
expressões que revelam uma tendência de mudança na própria concepção do
fenômeno da aprendizagem, procurando interagir o saber matemático com outras
referências, além de direcionar uma visão mais dinâmica da aprendizagem.
Uma sugestão para a aprendizagem de Geometria Espacial é que
“... O Princípio de Cavalieri deve ser tomado como ponto de partida para o
estudo de volumes de sólidos (cilindro, prisma, pirâmide, cone e esfera),
permitindo ao aluno compreender o significado das fórmulas.
No trabalho com as áreas das superfícies de sólidos, é importante
recuperar os procedimentos para determinar a medida da área de alguns
polígonos, facilitando a compreensão das áreas das superfícies de
prismas...” (OCEM, 2008, p.76).
De acordo com Kaleff et al (1994) deve-se levar materiais mais concretos para
as escolas que envolvam a manipulação e também preocupar-se com a elaboração
de materiais didáticos que inspire não só a percepção visual, como também a
intuição, que aflora no aluno a criatividade individual e o fortalecimento da autonomia
e personalidade.
O Raciocínio Espacial é o mais negligenciado em nosso meio escolar, faz
referências a atividades didáticas que utilizam materiais concretos, pois na
Geometria Espacial, observa-se que os discentes estão presos a fórmulas e em sua
maioria não conseguem relacionar conceitos, identificar os elementos do sólido ou
ainda estabelecer relação entre dois sólidos, isto se deve muitas vezes a
deficiências de conceitos básicos da Geometria Plana e também as dificuldades
conceituais dos próprios professores em conceitos básicos da Geometria Plana e
mesmo da Geometria Espacial (KALEFF et al., 1994).
A Geometria Tridimensional, geralmente, necessita de dois registros de
representação semiótica: o registro figural e a linguagem natural, necessárias à
identificação das representações e tratamentos geométricos. Ressalta-se também a
importância da construção e manipulação de modelos concretos de sólidos
geométricos (SILVEIRA, 2008).
35
A escrita em língua natural, a escrita algébrica e os gráficos cartesianos são
exemplos de representações semióticas. Tais representações são externas e
conscientes ao indivíduo e realizam de maneira indissociável as funções de
objetivação e tratamento. No entanto, aqui o tratamento não é automático, mas
intencional.
Através da teoria dos campos conceituais atribui-se aos conceitos um
significado educacional, onde este se situa entre o cotidiano do aluno e o saber
científico (PAIS, 2001), portanto está centrada em situações da vivência do aluno.
2.2 USO DE RECURSOS TECNOLÓGICOS
A tecnologia sempre fez parte da vida do homem, mesmo com as primeiras
ferramentas, por vezes consideradas como extensões do corpo, à máquina a vapor,
que mudou hábitos e instituições, ao computador que trouxe novas e profundas
mudanças sociais e culturais – a tecnologia nos ajuda, nos completa, nos amplia.
Assim, da mesma forma como a criatividade inventiva do homem gera novas
ferramentas tecnológicas e modifica constantemente os instrumentos que inventa,
existe um efeito inverso: a tecnologia modifica a expressão criativa do homem,
modificando sua forma de adquirir conhecimento e interferindo na sua cognição
(FRÓES, 1994).
Há muitas formas de compreender a tecnologia. A tecnologia, neste sentido,
não é algo novo – na verdade, é quase tão velha quanto o próprio homem. Porém,
nem todas as tecnologias inventadas pelo homem são relevantes para a educação.
Algumas apenas estendem sua força física, seus músculos. Outras apenas lhe
permitem mover-se pelo espaço mais rapidamente e/ou com menor esforço.
Nenhuma dessas tecnologias é altamente relevante para a educação. As
tecnologias que amplificam os poderes sensoriais do homem, contudo, sem dúvida o
são. O mesmo é verdade das tecnologias que estendem sua capacidade de se
comunicar com outras pessoas. Mas, acima de tudo, isto é verdade das tecnologias,
disponíveis hoje, que aumentam os seus poderes intelectuais: sua capacidade de
adquirir, organizar, armazenar, analisar, relacionar, integrar, aplicar e transmitir
informação (BOZZETTO, 2003).
36
Não há porque negar, entretanto, que hoje em dia, quando a expressão
“Tecnologia na Educação” é usada, dificilmente se pensa em giz e quadro negro, ou
mesmo, livros e revistas, muito menos em entidades abstratas como currículos e
programas. Quando se usa a expressão, a atenção concentra-se no computador,
que tornou-se o ponto de convergência de todas as tecnologias mais recentes. E
especialmente depois do enorme sucesso comercial da Internet, computadores
raramente são vistos como máquinas isoladas, sendo sempre imaginados em rede.
De acordo com Brasil Parâmetros Curriculares Nacionais (2002), a matemática
tem sua importância na construção da cidadania, dado que, cada vez mais, a
sociedade vem utilizando conhecimentos científicos e recursos tecnológicos dos
quais os cidadãos devem se apropriar. A aprendizagem em matemática está
intimamente ligada à compreensão, e para se aprender o significado de um objeto
ou acontecimento, deve-se observá-los em suas relações com outros objetos e
acontecimentos. Dessa forma, segundo os parâmetros, devem ser considerados, no
processo, recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, computadores e outros
materiais, porém, de forma integrada a situações que levam ao exercício da análise
e da reflexão em matemática.
Diante dessas considerações existem instrumentos que o ensino pode adotar
como ferramenta e até mesmo parceiros, que possam contribuir para uma melhor
assimilação dos alunos no ensino e na aprendizagem da matemática. Cada vez
mais a educação está se aliando a tecnologia, com o intuito de reformular o
processo de ensino e estimular o aluno a aprender e seu interesse pela escola. O
computador nos dias atuais tornou-se uma ferramenta de apoio que facilita e traz a
tona a criatividade em busca de descobertas com mais prazer (SILVEIRA, 2008).
Mesmo com a presença direta da matemática nos mais variados meios sociais,
geralmente, em sala de aula, ela se apresenta de forma excessivamente abstrata e
mecânica, não trazendo significação real para a maioria dos alunos nem os
motivando em atividades de exploração, investigação e descoberta. Em Geometria,
isso pode e deve ser feito utilizando-se de meios auxiliares como material didático
manipulável, o que inclui o uso de softwares adequados. Os conteúdos matemáticos
ministrados pelos professores podem ser melhorados por meio da utilização de
recursos computacionais usados como apoio na construção do conhecimento
matemático.
Segundo Hebenstreint (1987, p.10)
37
O computador permite criar um novo tipo de objeto – os objetos concretoabstratos. Concretos porque existem na tela do computador e podem ser
manipulados: abstratos por se tratarem de realizações feitas a partir de
construções mentais.
A utilização do computador e dos softwares educacionais, como recursos
pedagógicos auxiliam os professores a tornar as aulas mais atraentes resgatando o
interesse do aluno pelo estudo da Matemática. No Ensino de Geometria o uso de
softwares educacionais oferece muitas potencialidades, pois podem criar um
ambiente rico de imagens, sons e animações, fornecendo dessa maneira, um estudo
mais dinâmico e permitindo que o aluno visualize, interaja, construa e experimente.
Diante do computador os alunos procuram as soluções para os problemas e dessa
maneira constroem seus próprios conhecimentos.
O uso dos recursos tecnológicos, cujo representante mais relevante é o
computador, vem proporcionando mudanças não só na área educacional, no
processo de ensino e aprendizagem da Matemática, mas em todos os setores da
sociedade. Quando usados adequadamente, esses recursos facilitam a construção
de conhecimentos geométricos de maneira significativa. A interface dinâmica, a
interatividade que esses programas propiciam e os recursos de manipulação e
movimento das figuras geométricas que se apresentam na tela do computador,
contribuem
no
desenvolvimento
de
habilidades
em
perceber
diferentes
representações de uma mesma figura, levando desta maneira a descoberta das
propriedades das figuras geométricas estudadas (FONSECA, 2001).
Formas geométricas
podem ser construídas
dinamicamente
utilizando
programas computacionais específicos para o ensino de Geometria Espacial que
apresentam recursos para construção régua e compasso e que permitem a
exploração de formas, propriedades e invariâncias das figuras construídas na tela do
computador.
Existem diversos softwares encontrados na internet para o ensino de
Geometria Espacial, dentre eles podemos citar alguns mais utilizados como: Cabri –
Geometry, Sketchpad, Cinderella, Dr. Geo, Geoplan, Geospace, Régua e
Compasso, Geometria Descritiva, Euklid, Wingeom, Logo, Poly e etc., cujos
destalhes estão descritos nas paginas 66-68.
38
Pesquisas em Educação Matemática têm mostrado que os recursos
tecnológicos vêm proporcionando mudanças no Ensino de Matemática e, em
particular, no Ensino de Geometria, sendo que, a formação do aluno deve ter como
objetivo central a aquisição dos conhecimentos básicos e o desenvolvimento de
capacidades tais como: de pesquisar, buscar informações, selecioná-las e analisálas; a capacidade de formular hipóteses, verificá-las e testá-las, podendo assim criar
situações problema que servem de motivação e de desafio aos alunos (SILVEIRA,
2008). O mesmo autor, apresenta resultados da experiência realizada com alunos
do Ensino Médio de uma escola pública, onde foi aplicada uma Seqüência de Ensino
elaborada seguindo algumas etapas da metodologia da Engenharia Didática
utilizando recursos tecnológicos no ensino de Geometria Espacial. Foi utilizado o
software geométrico Cabri 3D, que é uma ferramenta que auxilia no ensino da
Geometria e pode ser utilizado tanto no Ensino Médio como no Ensino Superior. O
Cabri 3D é um ambiente de geometria dinâmica em três dimensões que possibilita a
construção e manipulação de sólidos geométricos e juntamente com o Macromedia
Flash 8 auxilia na exploração dos mesmos.
Proporcionar diversas estratégias aos alunos por meio de recursos computacionais ajuda os alunos a buscar mais autonomia, possibilitando a construção de sólidos geométricos. Por meio da experiência conclui-se que as representações dinâmicas propiciadas pelos softwares Cabri 3D e Flash 8 foram fundamentais na construção de conceitos e nas deduções das propriedades dos prismas e das pirâmides,
como também no cálculo dos sólidos, confirmando ainda mais a importância da utilização de softwares de geometria dinâmica em atividades de ensino-aprendizagem.
39
3 METODOLOGIA
Este trabalho caracteriza-se como pesquisa documental que busca realizar
uma análise dos conteúdos de Prismas nos três livros didáticos do Ensino Médio
como fonte de dados para a investigação.
Para este estudo fez-se primeiramente um levantamento dos livros mais
adquiridos através do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio 2009
(PNLEM/2009) para a 41ª Superintendência Regional de Ensino (SRE) de Varginha
que abrange vinte e sete municípios.
Em resposta à solicitação online, a diretoria educacional desta SRE informou
que das cinquenta e quatro escolas de Ensino Médio desta Superintendência os três
livros mais adquiridos foram:
L1)
Matemática Volume Único de Luiz Roberto Dante (2009), adotado em 23 escolas;
L2)
Matemática Completa de José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno e José Ruy Giovanni Jr (2005), adotado em 11 escolas;
L3)
Matemática Aula por Aula de Cláudio Xavier da Silva e Benigno
Barreto Filho (2005), adotado em 10 escolas.
Tendo em vista que, mais de 80% das escolas públicas estaduais de Ensino
Médio adotam uma destas três obras, a análise das mesmas pode representar a
qualidade do ensino de Prismas na superintendência de região de Varginha.
Com os dados em mãos foi consultada a análise das obras citadas constante
no Matemática: catálogo do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio:
PNLEM/2009, material elaborado pelo MEC com o objetivo de auxiliar os
professores na escolha do livro didático para o triênio 2009-2011. Na obra consta
uma síntese avaliativa, o sumário da obra, a análise da obra e recomendações ao
professor.
A análise feita pelo catálogo não é especifica para a Geometria Espacial, é
uma análise geral da obra, com o objetivo de auxiliar os professores a escolherem o
livro didático que irão usar durante os três anos seguintes.
40
Segundo o catálogo do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio:
PNLEM/2009:
L1: “As atividades propostas por meio de exercícios e problemas são
bem selecionadas e aplicam os conceitos e resultados estudados de modo
satisfatório. As atividades que requerem maior esforço por parte do aluno
são propostas nos boxes “Desafio em dupla” ou Desafio em equipe”. Estas
atendem ao objetivo de orientar o aluno a enfrentar novas situações
mediante o raciocínio lógico. As referente ao cálculo aproximado de áreas
apresentam situações que incentivam o cálculo mental ou por estimativas.
Observa-se na obra, atividades que sugerem a comparação de estratégias
diferentes de resolução (BRASIL, 2008 p.60)”.
L2: “Cada capítulo inicia-se com uma situação problema, cujo objetivo
é estimular a efetiva participação do aluno na formulação do conhecimento
a ser apresentado.
Na sistematização teórica, consistentemente
desenvolvida, é aplicado o modelo clássico: definições exemplificadas,
afirmações com ou sem validação e ilustrações de procedimentos, regras e
aplicações. O capítulo é finalizado com seções de exercícios de fixação e
de recapitulação, muitos deles envolvendo situações do cotidiano. Os
recursos didáticos disponibilizados na coleção constituem-se apenas de
exercícios e textos para leitura (BRASIL, 2008 p.37)”..
L3: “Os conteúdos são expostos por intermédio de definições e
apresentação de resultados, seguidos de exemplos e exercícios resolvidos.
Conclui-se cada tema aperfeiçoando-se os conhecimentos por meio de
exercícios complementares. Os exercícios propostos exploram de forma
satisfatória os conceitos estudados e preparam o aluno para resolver os
problemas mais comuns.
O objetivo de desenvolver habilidades que
possibilitam aplicar a Matemática ao cotidiano, no entanto, não é alcançado,
dado o caráter rotineiro da maior parte dos exercícios (BRASIL, 2008 p.34)”.
Afim de diagnosticar os conteúdos referentes a Prismas no livro didático foram
elaboradas questões apresentadas a seguir, para verificar a proposta de cada obra:
1- Existem erros seja de cálculo, impressão, etc.?
É importante que o livro didático, não contenha erros, seja de cálculo ou
impressão, pois quando eles existem deixam dúvidas no conteúdo estudado.
2- Há imprecisão ou ambigüidade nas definições e resultados?
Quando este fato acontece dificulta o entendimento do aluno, talvez algo que
poderia ser compreendido rapidamente necessitará de mais explicações do
professor.
3- O conceito é precedido de uma situação-problema? Há contextualização dentro
da própria matemática ou fora dela?
41
O aluno aprende e fixa o conhecimento quando um fato faz parte do seu dia a
dia, é imprescindível contextualizar, mesmo que seja fora da matemática.
4- Existem situações históricas que podem motivar o aluno?
Atualmente a motivação dos alunos para a aprendizagem é o centro da
atenção no processo educacional, e a história desperta o interesse dos alunos de
maneira individual ou com a ajuda do professor.
5- São apresentadas demonstrações de forma a incentivar o manuseio de fórmulas
favorecendo o pensar matemático ou ênfase na capacidade de memorização?
Um dos grandes desafios para os professores é escolher algo que irá atingir o
interesse do aluno, as demonstrações tornam mais claro o pensar matemático.
Para responder a esta questão foram também analisados os exercícios dos
livros e separados em duas categorias: os que apresentam somente aplicação direta
de fórmula e são meros cálculos e os contextualizados e que propiciam o
desenvolvimento do raciocínio lógico. Os exercícios classificados como de raciocínio
incluem até os mais simples como, por exemplo, o cálculo de quantos metros
quadrados de madeira serão gastos para fabricar 50 caixas para transportar fogões,
e neste caso o aluno deveria calcular a área total de uma e simplesmente multiplicar
por 50 para chegar à resposta correta.
6- Existem sugestões de material concreto, planificação dos sólidos, recursos tecnológicos, uso de instrumento de medição construção de figuras ou jogos matemáticos?
Ensinar Geometria Espacial sem ajuda de Software não é uma tarefa muito
fácil, mas utilizando de montagens dos principais sólidos facilita a compreensão.
7- A forma como o estudo é apresentado é feita de maneira ordenada e que conduz
o aluno à resolução adequada e significativa de problemas?
Há uma constante preocupação em dispor os conteúdos segundo uma sequência lógica, pois assim o aluno terá mais facilidade em compreender a teoria e resolver os problemas.
42
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO
4.1 ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS
Após a análise dos três livros didáticos escolhidos, obtiveram-se os seguintes
resultados.
4.1.1 Quanto a erros de impressão
Em L2 há um erro (de soma das áreas, pois ele menciona que St= 2S1 + 2S2 +2St
ao invés de 2S3) na demonstração da fórmula de uma área total de um
paralelepípedo retângulo ilustrado na Figura 7.
Figura 7 – Fórmula com erro de impressão
Fonte: Matemática Completa, GIOVANNI; BONJORNO, 2005.
Percebe-se que quanto a erros de impressão e cálculo a ocorrência é mínima,
encontrou-se somente um erro de impressão em um dos livros didáticos analisados.
43
4.1.2 Quanto a imprecisão ou ambigüidade nas definições e resultados
Em L1, na definição de prisma faltou mencionar que o ponto A’ é extremidade
superior do segmento AA’ e também que as bases são congruentes, pois apenas
mencionar para traçar retas paralelas a AA’ que cortam o plano β nos pontos B’, C’,
D’, E’ são poucos os alunos que por si próprios irão perceber esta congruência entre
as bases.
Figura 8: Construção e definição de Prismas
Fonte: Matemática, Volume Único, DANTE, 2008
44
Em L2, os autores utilizam a letra S para denotar a área quando definem a área
total de um paralelepípedo, figura 7. Em geral associa-se a letra A à área e portanto
este fato pode contribuir negativamente para o entendimento do aluno.
Em L3 observou-se uma omissão na representação da figura geométrica
utilizada para ilustração do desenvolvimento do conceito de elementos de prisma,
apresentado na Figura 9, pois o autor cita um segmento XY que não está
representado na figura. O que causa dificuldades na visualização e compreensão
do leitor.
Figura 9 – Formação de conceitos geométricos
Fonte: Aula por Aula, XAVIER; BARRETO, 2005.
No L3 o Polígono convexo não tem definição, pode ser e de fato é, que já foi
estudado na 1ª série do ensino médio, mas os PCNs recomendam que não parta do
princípio que o aluno já sabe, pelo menos apresentar uma nota para recordar.
45
4.1.3 Quanto ao conceito se ele é precedido de uma situação-problema e se há
contextualização dentro da própria matemática ou fora dela
Observou-se no livro L1 que o capítulo de Geometria Espacial é iniciado com
uma situação problema onde é colocado que serão construídas 2 caixas de madeira
com formas e medidas diferentes e é questionado em qual delas será usado maior
quantidade de madeira e qual terá espaço interno maior, portanto ele desafia o aluno
a se interessar pelo assunto que será estudado. Também, através de exercício
resolvido ele contextualiza usando que uma indústria precisa fabricar 10000 caixas
de sabão com certas medidas e pergunta quantos m2 de papelão serão necessários,
em um exercício proposto pergunta quantos metros de azulejos são necessários
para revestir uma cozinha até o teto, dentre outros, portanto o autor contextualiza
usando fatos que são do cotidiano.
L2: Utiliza a figura de uma piscina de modelo muito utilizada em clubes, que
após a inversão de posição da mesma facilita a visualização do prisma e resolução
do exercício.
46
Figura 10: Exemplo de exercício resolvido
Fonte: Matemática Completa, GIOVANNI; BONJORNO, 2005.
L3: percebe-se que o autor utiliza exemplos como a seca nos estados do
Nordeste, dando ênfase ao uso da Geometria como fundamento para a
argumentação e a análise dos processos socioeconômicos e da produção
tecnológica, promovendo a interdisciplinaridade.
Em todas as três obras, percebe-se a preocupação com a contextualização do
conteúdo, valendo-se para este fim, de situações problema que auxiliam o aluno a
construir e desenvolver conceitos e procedimentos matemáticos.
4.1.4 Quanto a situações históricas que podem motivar o aluno
O L1 fala sobre o princípio de Cavalieri, quem foi ele, o que publicou, que sua
teoria foi criticada na época, que ela foi um dos pilares do cálculo integral, no
47
entanto, são apenas fatos históricos, falando da personalidade, não gerando
situações de motivação para o aluno.
Observou-se também que em L2 e L3, os autores não utilizam fatos históricos
que possam motivar os alunos em sala de aula ou incentivar a pesquisa e a
criatividade em suas atividades diárias.
Os autores poderiam utilizar os sólidos de Platão, por exemplo Kepler sentia
uma grande admiração e reverência por eles chegando mesmo a tentar explicar os
movimentos planetários a partir deles. Além disso, interpretou, no Harmonices
Mundi, as associações de Platão da seguinte forma: Cubo representaria a Terra, o
Tetraedro o Fogo, o Dodecaedro o Cosmos, o Icosaedro a Água e o Octaedro o ar.
Poderia citar também que surgiu a necessidade do estudo de volume e
capacidade de sólidos quando as primeiras sociedades agrícolas começaram a
armazenar seus alimentos. Por exemplo, no Papiro de Rhind, os problemas de
número 62, 66, 69 a 78 e 82 a 84, referem-se a situações de armazenagem,
distribuição e comércio de alimentos.
De acordo com Eves (2004, p. 69-70)
“1650 a.C. Essa é a data aproximada do papiro Rhind (ou Ahmes), um texto
matemático na forma de manual prático que contém 85 problemas copiados
em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo. O
papiro foi adquirido no Egito pelo egiptólogo escocês A. Henry Rhind... Tem
cerca de dezoito pés de comprimento por cerca de treze polegadas de
altura.... O Papiro Rhind é uma fonte primária rica sobre a matemática
egípcia antiga; descreve os métodos de multiplicação e divisão dos
egípcios, o uso que faziam das frações unitárias, seu emprego da regra de
falsa posição, sua solução para o problema da determinação da área de um
círculo e muitas aplicações da matemática e problemas práticos.”
E também fazer uso do problema deliano. Existe uma lenda que conta que no
ano de 427 a.C um famoso orador e estadista chamado Péricles, morreu juntamente
com 25% da população de Atenas. Entristecidos com essa enorme perda, os
habitantes foram consultar o oráculo de Apolo em Delos, sobre como combater a
peste. A resposta que obtiveram foi que o altar de Apolo, que tinha a forma de um
cubo, deveria ter seu volume multiplicado por dois. Os atenienses multiplicaram por
dois as dimensões do altar, mas a peste não acabou. O volume foi multiplicado em
oito vezes e não em duas vezes como era o esperado.
48
4.1.5 As demonstrações são apresentadas de forma a incentivar o manuseio de
fórmulas favorecendo o pensar matemático ou ênfase na capacidade de
memorização?
No livro L1 ele inicia o cálculo do volume com uma idéia intuitiva, como mostra
a Figura 11, onde compara quantas vezes um certo sólido contém uma certa
unidade de volume.
Figura 11: A idéia intuitiva do volume
Fonte: Matemática, Volume Único, Dante, 2008
Quando menciona o princípio de Cavalieri ele diz que é possível demonstrá-lo,
mas que irá considerá-lo verdadeiro sem fazer a sua demonstração. Seria
interessante mencionar que sua demonstração envolve conceitos avançados de
Teoria da Medida e por isso não o demonstra.
Dentre todos os exercícios propostos na seção apenas 26% são de raciocínio
enquanto 74% são aplicações de fórmulas, resultado este que não contribui para o
pensar matemático.
Em L2 as demonstrações são bem apresentadas, quando faz a demonstração
da diagonal de um paralelepípedo, não deixa dúvidas, está bem demonstrada, utiliza
ainda nesta demonstração as cores para auxiliá-lo, o que facilita a compreensão.
49
Nos exercícios propostos em L2 a maioria é de raciocínio 75% e somente 25%
são aplicações diretas de fórmulas.
L3 o mesmo pode-se dizer, não deixa dúvidas quanto as demonstrações feitas.
Em L3 os exercícios propostos na secção percebem-se que os de raciocínio
são uma pequena parte 26% e de aplicações diretas de fórmulas uma grande parte
74%.
Nos três livros analisados todos não fizeram a demonstração do volume do
Prisma que é a área da base vezes a altura, um ponto que acreditamos ser suma
importância ser apresentado nos livros didáticos. Para sanar esta deficiência
sugerimos uma atividade para o desenvolvimento desse conceito no item 4.3.
4.1.6 Existem sugestões de material concreto, planificação dos sólidos, uso de
recursos tecnológicos ou de instrumento de medição, construção de figuras ou
jogos matemáticos?
Pode-se observar que em L1 dentro do tópico prismas não há sugestões de
material concreto, são mostradas planificações de sólidos, porém sem pedir para
construí-los e não fornecendo planificações com recortes para dobradura. Não
existem sugestões de recursos tecnológicos, nem uso de instrumentos de medição,
jogos matemáticos, portanto neste quesito o autor deixou a desejar.
L2 o autor coloca algumas planificações para melhor visualização dos sólidos,
porém, não sugere atividade alguma de
planificações, que seria de grande
importância para fixação da teoria.
Em L3 é sugerido no final do capítulo uma atividade de planificações dos
sólidos, porém estas não possuem as dobraduras, para que aluno possa concluir as
montagens dos sólidos como pode-se observar na Figura 12.
50
Figura 12 – Planificações dos sólidos
Fonte: Aula por Aula, XAVIER; BARRETO, 2005.
O uso de softwares por exemplo poderia ser utilizado para representação dos
sólidos e percepção das propriedades existente neles; o uso de materiais concretos,
propondo a manipulação direta do aluno na construção dos sólidos.
51
4.1.7 A forma como o estudo é apresentado é feita de maneira ordenada e que
conduz o aluno à resolução adequada e significativa de problemas?
O estudo é feito de forma ordenada em L1, o autor faz revisão de tópicos e
definições necessárias para o estudo de prismas.
O autor é bem detalhista, pois quando ele exemplifica os prismas com seus
nomes especiais ele aproveita e menciona quais são as bases, as faces laterais e
arestas laterais. No cálculo da diagonal ele transcreve os triângulos o que facilita a
visualização.
Distribuído pelas páginas encontra-se faixas que ele denominou “Para Refletir”
onde é feito observações importantes sobre o assunto tratado como exemplos
citamos:
“Todo quadrado é um retângulo. Todo retângulo é um paralelogramo. Então,
todo quadrado é um paralelogramo.” (Dante, 2008, p. 366)
Como exercício resolvido foi realizada a conversão de cm2 para m2 foi
mencionado
“Se 1m = 100cm, então 1m2 = 10000cm2.” (Dante, 2008, p367).
Outro fato importante é que em um dos exercícios resolvidos ele o faz usando
os números com sua unidade de medida o que permite ao aluno perceber o porque
da unidade ser elevado ao cubo, conforme Figura 13.
Figura 13: Exemplo de exercícios
Fonte: Matemática, Volume Único, Dante, 2008
L2: Por meio da Figura 14, notou-se que o autor se preocupa em ilustrar
porque volume é expresso em cm3, pois muitas vezes os alunos têm dúvidas de
52
visualizar este procedimento, em sua maioria nos exercícios resolvidos pelos
autores colocam-se as unidades apenas na resposta.
Figura 14 – Volume do Cubo
Fonte: Matemática Completa, GIOVANI; BONJORNO, 2005.
E ainda pode-se dizer que a teoria de L2 não é suficiente para a resolução de
alguns exercícios em comparação ao L1, que a teoria é completa fornecendo todo
conhecimento para a resolução dos exercícios.
Percebe-se que os autores tiveram uma preocupação em dispor os conteúdos
de uma maneira ordenada, possibilitando ao aluno mais facilidade em compreender
a teoria e resolver os exercícios.
4.2
COMPARATIVO
EM
RELAÇÃO
À
CONSTANTE
EM
MATEMÁTICA:
CATÁLOGO DO PROGRAMA NACIONAL DO LIVRO PARA O ENSINO
MÉDIO: PNLEM/2009
L1: O catálogo menciona que este livro apresenta: uma ordenação retornando
os conteúdos de outros capítulos, inicia-se com situações-problemas, o “Para
Refletir” orienta o aluno a enfrentar novas situações mediante o raciocínio, faz uso
de validação empírica e a demonstração, quanto a História da Matemática há o
53
destaque das contribuições das personalidades envolvidas nos conceitos, existem
pequenas e raras imprecisões conceituais, portanto pelo exposto acima houve um
consenso na análise destes itens em relação a obra toda e o conteúdo prismas.
Quanto aos exercícios o catálogo menciona que os mesmos aplicam os conceitos e
resultados estudados e há uma escassez de exercícios meramente manipulativos, o
que concordamos com a primeira parte e discordamos da segunda, pois
constatamos que 74% dos exercícios relacionados aos prismas são de aplicações
de fórmulas.
L2: O catálogo menciona que neste livro cada capítulo inicia-se com uma
situação problema, cujo objetivo é estimular a efetiva participação do aluno na
formulação do conhecimento a ser apresentado.
consistentemente
desenvolvida,
é
aplicado
o
Na sistematização teórica,
modelo
clássico:
definições
exemplificadas, ilustrações de procedimentos, regras e aplicações. O capítulo é
finalizado com seções de exercícios de fixação e de recapitulação, muito deles
envolvendo situações do cotidiano.
Destaca-se ainda que a abordagem dos
conteúdos é executada com profundidade esperada para esse nível de escolaridade.
Percebe-se no entanto, a ausência de exercícios provocantes, destinados a motivar
o aluno no processo de aprendizagem e despertar sua curiosidade pelo assunto
tratado. Conclui-se que em L2 a teoria não é suficiente para a resolução de alguns
exercícios para resolvê-los o aluno terá que pesquisar outras obras, adquirindo o
conhecimento necessário para a resolução dos mesmos.
L3: O catálogo relata que esta obra contém uma quantidade razoável de
aplicações a outras áreas da ciência. Como Física, Economia e Biologia. Dentre
elas, algumas são sugeridas como problemas e outras são apresentadas e
analisadas nas seções de textos. De modo geral, são de grande interesse, dado o
conteúdo científico e histórico. A contextualização é feita tanto mediante aspectos
da História da Matemática como aplicação do assunto estudado a outras áreas do
conhecimento. Quanto aos exercícios o catálogo deixa claro que geralmente são
resolvidos por meio de fórmulas ou repetição de procedimentos mecânicos, o que
podemos confirmar quando mencionamos na análise do livro que 75% dos
exercícios propostos são aplicações diretas de fórmulas.
54
4.3 SUGESTÕES DE ATIVIDADES
Atividade 1
Poly 1.11 é um software livre de geometria que está disponível no site
http://www.peda.com/poly/.
Ele é um ótimo recurso para visualização de planificações de diversos sólidos
como: sólidos Platônicos, de Arquimedes, prismas, esferas, etc. que quando
escolhido um destes aparecem as opções do mesmo. Um exemplo é se a escolha é
prisma aparecem as opções triangular, pentagonal, hexagonal, octagonal, etc. como
mostra a Figura 15.
Figura 15 – Exemplo de planificação de um dos prismas, o prisma triangular.
Com este recurso o professor poderá usar vários sólidos de forma a visualizar a
planificação de cada um deles bem como o processo que é sua montagem clicando
sobre a barra de movimentação localizada abaixo do local da escolha e
movimentando-a para a direita para visualizar o sólido montado e para a esquerda
sua planificação, conforme mostra a Figura 16.
55
Figura 16 – Exemplo com o prisma triangular planificado.
Pode ser usado também para definir os sólidos, exemplificando com a
visualização de cada um deles.
Este software pode ser usado também para verificar a relação de Euler, o que
vai proporcionar um maior interesse pelos alunos, uma vez que se pode movimentar
o sólido permitindo uma melhor visualização, bastando para isso dar um clique com
o mouse sobre o mesmo e movimentá-lo de forma que se possa ser ter uma visão
mais ampla conforme mostra a Figura 17.
Figura 17 – Exemplo de visualização de um dos prismas montados e movimentado.
Atividade 2
O Clicmat é um conjunto formado por 32 atividades divididas em três tipos:
problemas, atividades de investigação e jogos, conforme Figura 18.
56
Figura 18 – Tela inicial do Clicmat
Ele
está
disponível
para
download
no
site
http://www.spra.pt/?aba=27&cat=31&doc=193&mid=115.
Na Figura 19 é apresentado uma destas atividades que pode ser usada de
forma a desenvolver a capacidade de visualização dos alunos e ao mesmo tempo
apresentar que polígonos diferentes podem possuir áreas iguais e falar sobre o
princípio de Cavalieri.
Figura 19– Uma das atividades do Clicmat.
Atividade 3
Nesta atividade é apresentado um jogo para se trabalhar os conceitos geométricos,
retirado do livro Matemática Ensino Médio, Volume 2 de Kátia Stocco Smole e Maria
Ignez Diniz.
57
Figura 20 – Jogo usando conceitos geométricos
Fonte: Matemática Ensino Médio, Volume 2 , Smole & Diniz, 2007, p. 435
58
Figura 21 – Continuação do jogo usando conceitos geométricos
Fonte: Matemática Ensino Médio, Volume 2 , Smole & Diniz, 2007, p. 436
59
Figura 22 – Continuação do jogo usando conceitos geométricos
Fonte: Matemática Ensino Médio, Volume 2 , Smole & Diniz, 2007, p. 437
60
Figura 23 – Continuação do jogo usando conceitos geométricos
Fonte: Matemática Ensino Médio, Volume 2 , Smole & Diniz, 2007, p. 438
61
Atividade 4
Planificações de prismas com as devidas dobraduras para recorte, colagem e
montagem.
Figura 24 – Planificação de Prismas
Fonte: Matemática Ensino Médio, Volume 2 , Smole & Diniz, 2007, p. 444
62
Figura 25 – Planificação de Prismas
Fonte: Matemática Ensino Médio, Volume 2 , Smole & Diniz, 2007, p. 447
63
Atividade 5
Para aula de volumes de primas podem ser usadas embalagens como caixas
de leite, de suco para verificação do volume.
Nesta atividade o professor pode usar a interdisciplinaridade falando sobre os
direitos do consumidor, sobre o Procon.
Atividade 6
Esta atividade objetiva introduzir a fórmula de volume para prismas e tem como
base teórica LIMA (1991). Foi utilizado o software livre 3DVia Shape, disponível em
http://www.baixaki.com.br/download/3dvia-shape.htm.
1) Unidade de medida
Um cubo cuja aresta mede uma unidade de comprimento chama-se cubo
unitário e, por definição, seu volume é 1.
Figura 26 – Cubo Unitário
2) Volume de um cubo
Um cubo cuja aresta mede n Є Z unidades de comprimento pode ser decomposto
em n3 cubos unitários justapostos, logo o volume deste cubo será V=n3.
Figura 27 – Cubo de aresta 1 dm
64
Um cubo cuja aresta mede 1/q tem volume V=(1/q)3
Figura 28 – Subdivisão do cubo unitário
Exemplo: Se q=2 então o volume do cubo de aresta 1/2 será 1/8, visto que o cubo
unitário pode ser decomposto em 8 cubos menores de aresta igual á metade da
aresta do cubo original.
Dado um cubo cuja aresta tem como medida um número racional p/q, cada aresta
pode ser subdivida em p parte iguais com medida 1/q. Deste modo o cubo fica
decomposto em p3 cubos menores de aresta 1/q. como o volume de cada cubo
menor é (1/q)3=1/q3, o volume total é V=(p/q)3.
Figura 29 – Cubo com aresta de medida não inteira
3) Volume de um bloco retangular
Um bloco retangular é limitado por seis retângulos. O cubo é um caso do
bloco retangular em que suas faces são quadrados.
A fórmula do volume do bloco retangular pode ser deduzida usando a teoria
das proporções. Sejam V(x,y,z) o volume do bloco retangular com arestas x, y
e z e n um número natural qualquer.
65
V(nx,y,z)=V(x,ny,z)=V(x,y,nz)=nV(x,y,z)
Isto é, o volume do sólido aumentado no comprimento x, largura y e altura z é
proporcional ao aumento do volume total do sólido resultante. Porque cada
um dos três primeiros números é o volume de um bloco retangular formado
pela justaposição de n blocos com arestas x, y e z, respectivamente. Como a
função V(x,y,z) é crescente, segue que
V(x,y,z) = V(1x,1y,1z) = x V(1,1y,1z) = xy V(1,1,1z) = xyz V(1,1,1) = xyz,
visto que V(1,1,1) é o volume do cubo unitário e por definição é 1.
Portanto o volume de um bloco retangular é dado pelo produto da área da
base (xy) pela altura (z).
Figura 30 – Bloco retangular
4) Volume de um paralelepípedo
Um paralelepípedo é um sólido limitado por seis paralelogramos e o bloco
retangular é um caso particular de paralelepípedo cujas faces são retângulos.
“O volume de um paralelepípedo é o produto da área da base pela altura”
Seja b a base do paralelepípedo, pode-se construir um retângulo de área
equivalente neste mesmo plano, levantando um bloco retangular de base b e altura
h, coincidente com a altura do paralelepípedo. Pelo Princípio de Cavalieri o
paralelepípedo tem o mesmo volume do bloco retangular assim construído.
Portanto o volume de um paralelepípedo é o produto da área da base pela altura.
66
5) Volume do Prisma
Um paralelogramo pode ser decomposto em dois triângulos, sendo assim a
área de um triângulo é metade da área do paralelogramo a ele associado.
Desta forma para calcular o volume de um prisma triangular basta vê-lo como
metade de um paralelepípedo, conforme ilustrado na figura...
Figura 31 – Prisma de base triangular e paralelepípedo
Portanto o volume do prisma triangular é também área da base vezes altura.
Qualquer polígono pode ser decomposto em triângulos utilizando as
diagonais a partir de um de seus vértices, logo todo prisma pode ser decomposto em
prismas triangulares, resultando no volume como sendo da base vezes altura
Figura 32 – Prisma de base pentagonal decomposto em prismas triangulares
4.4 SOFTWARE DISPONÍVEIS PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DE
GEOMETRIA
67

Cabri - Geometry (WINDOWS) software de construção em geometria desenvolvido pelo lnstitud’ Informatiqe et de Mathematiques Appliquees em Grenoble (IMAG). É um software de construção que oferece “régua e compasso eletrônicos”, sendo a interface de menus de construção em linguagem clássica
da Geometria. Os desenhos de objetos geométricos são feitos a partir das
propriedades que os definem e mantém estabilidade sob o movimento. É possível converter seus arquivos em linguagem java, de maneira que sejam disponibilizados na rede. Também é capaz de associar elementos de geometria
analítica às construções, fazendo atualizações automáticas nos parâmetros
das equações ao modificar-se interativamente os elementos gráficos na tela.
É disponível em seis diferentes línguas para várias plataformas. É o mais conhecido. (http://www.ti.com/calc/docs/cabri.htm e http://www.cabri.net/).

Sketchpad (WINDOWS) software de construção desenvolvido por Nicholas
Jackin e s. Steketee comercializado por Key Curriculum Press (http://www.keypress.com). Apresenta funcionalidade semelhante ao Cabri. A figura 01
ilustra sua interface.

Cinderella (WINDOWS) software de construção em geometria desenvolvido
por Jürgen Rich Gebert e Ulrich Kortenkamp, comercializado por Sun Microsystems lnc. É um software de construção semelhante ao Cabri e Sketchpad.
Um diferencial deste software permite que se trabalhe também em geometria
hiperbólica e esférica.

Dr. Geo (DOS) software de construção em geometria desenvolvido por Hilare
Fernande (Grenoble).

Geoplan (WINDOWS) software de construção em geometria que trabalha os
conceitos analíticos da geometria em um sistema de coordenadas cartesianas. Desenvolvido pelo Centre de Recherche et d”Experimentation pour l”Ensignement des Mathematiques (CREEM).

Geospace (WINDOWS) software de construção e exploração em geometria
que trabalha os conceitos espaciais. Desenvolvido pelo CREEM.
68

Régua e Compasso (WINDOWS) software de construções geométricas com
régua e compasso eletrônicos.

Geometria Descritiva (DOS) software de construção em geometria descritiva,
que trabalha um sistema projetivo em 3D. Produzido por V. Teodoro e F. Clérigo, da Universidade de Lisboa.

Euklid (WINDOWS) software de construção com régua e compasso e geometria dinâmica.

Wingeom (WINDOWS) software que permite construções geométricas bidimensionais e tridimensionais.

Logo (WINDOWS) é uma linguagem de programação de fácil compreensão e
que possibilita ao aluno desenvolver o raciocínio, aperfeiçoando seu próprio
programa. É muito bom para o ensino da geometria plana e pode ser usado
em todos os níveis escolares.

Poly (WINDOWS) é uma criação Pedagoguery Software, que permite a investigação de sólidos tridimensionalmente (com possibilidade de movimento), dimensionalmente (planificação) e de vista topológica. Possui uma grande coleção de sólidos, platônicos e arquimedianos entre outros.
69
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS E TRABALHOS FUTUROS
A utilização de recursos computacionais pode se tornar um poderoso aliado
para a necessária mudança de conceitos ultrapassados e abrir possibilidades para
uma visão inovadora de ensino e aprendizagem baseada na perspectiva
construtivista, através da exploração intuitiva de conceitos matemáticos, estimulando
o gosto pelo aprender e fazer matemática.
Os recursos tecnológicos vêm proporcionando mudanças em toda sociedade,
com destaque na área da educação, como facilitador para transpor obstáculos no
processo de ensino-aprendizagem, mas infelizmente na análise dos livros didáticos
em relação ao conteúdo de Prismas objeto de estudo deste trabalho, não foram
encontradas
sugestões
de
atividades
utilizando
os
recursos
tecnológicos
disponíveis.
Métodos de ensino desprovido de raciocínio, de contextualização, ocasionam
desmotivação em aprender por parte dos alunos. De acordo com a análise realizada,
o ensino de Prismas deixa a desejar visto que os livros didáticos são desprovidos de
fatos históricos que podem realmente motivar, não há atividades com uso de
recursos tecnológicos tão apreciados pelos nossos jovens de hoje e, ainda reina o
ensino tradicional, somente utilizando os recursos quadro-negro e giz o que,
especialmente para o ensino de Geometria Espacial, não é suficiente tendo em vista
a variedade de materiais disponíveis atualmente.
Em síntese, os livros didáticos analisados apresentam erros mínimos de
digitação, há omissão na demonstração do volume em todos os livros, e quanto ao
apelo às situações históricas, quando presente, são somente relatados fatos
biográficos.
É urgente a melhoria e atualização dos conteúdos veiculados nos livros
didáticos, visto que para muitos professores este material é a única referência a que
tem acesso. Como trabalhos futuros, sugere-se como complementação ao livro
didático, a elaboração de atividades contextualizadas dirigidas aos professores
utilizando recursos computacionais e fatos históricos de forma propiciar a
reconstrução do conhecimento e consequentemente favorecer a apredizagem.
70
REFERÊNCIAS
ALVES, E. V. Um estudo exploratório das relações entre memória, desempenho
e os procedimentos utilizados na solução de problemas matemáticos. 2005.
150f. Tese de doutorado – Universidade Estadual de Campinas, UNICAMP,
Campinas, 2005.
BARBOSA, S. de F. P. Livro didático. Rev. Presença Pedagógica, v.14, n. 82, p.
52-57, jul./ago. 2008.
BOZZETTO, Simone Carla. A Utilização de Recursos Tecnológicos na Educação
Infantil, Revista de Pedagogia, n. 6, 2003.
BRASIL. Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica. Matemática:
catálogo do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio: PNLEM/2009.
Brasília, 2008.
BRASIL. Ministério da Educação, Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio. Brasília, DF, 2002.
CARVALHO, L. C. de. Análise da organização didática da geometria espacial
métrica nos livros didáticos. 2008. 164f. Dissertação (Mestrado Profissional em
Ensino de Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, USP, São
Paulo, 2008.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática Volume Único. 1. ed. São Paulo: Ática, 2005.
EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução de Hygino H.
Domingues. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004.
FAINGUELERNT, Estela Kaufman. Educação Matemática: Representação e
Construção em Geometria. Porto Alegre: Artmed, 1999.
FILHO, Joaquim Borges de S.; BRITO, Kleisy Laiana Vieira de. O aprendizado da
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