Conta de água e a sua matemática
Apresentação:
Edson A. R. Barros
Proposta da atividade



Lidar com situações da vida cotidiana como
forma de desenvolver habilidades de
pensamento;
Aprender matemática de uma forma
contextualizada, integrada e relacionada a
outros conhecimentos;
Ajudar o aluno a estruturar pensamentos
capacitando-o a desenvolver suas próprias
conclusões e senso crítico.
Problema: Cobrança de consumo



Situação: Verificação do consumo de água
Contexto: Trabalhar conceitos matemáticos
envolvidos na cobrança de água, usando a
sala de aula e ferramentas computacionais
Competência: Explorar o problema de
forma a instigar o aluno e encontrar as
melhores soluções
Justificativa do problema



Função social: Conscientização do aluno
para o uso correto dos recursos hídricos e
administração das despesas familiares.
Função acadêmica: Ilustrar como os
conceitos matemáticos podem servir para
uma reflexão sobre os fatos do cotidiano.
Função didática: Ensinar matemática de
uma forma lúdica e prática, relacionando a
teoria com a experimentação
Conceitos matemáticos envolvidos
Foco
 Definição de Função
 Função polinomial do 1º grau – função constante e função
linear
 Elaboração e interpretação de Gráficos
 Determinação da função a partir de um gráfico
Outros assuntos envolvidos
 operações algébricas
 Fórmula de Lógica (fórmula “SE” do Excel)
 Levantamento de dados Estatísticos e média aritmética
(Atividade 1)
Desvendar o cálculo de uma conta de Água

1.
2.
3.
O que trabalhar em sala de aula?
Transformar a tarifa da conta de água em uma
linguagem matemática de função polinomial de 1°.
Grau;
Elaborar alguns exercícios de: se gastou x pagará
y=?, e vice e versa;
Traçar os gráficos em folha milimetrada de cada
faixa de consumo de acordo com a tarifa real de
uma conta de água fornecida pela SABESP
Tabela fornecida pela empresa
distribuidora
Faixa de consumo em m3
Até 10 m3
De 11 a 20 m3
De 20 a 50 m3
Acima de 50 m3


Tarifas em R$
R$ 11,94 (Tarifa mínima)
R$1,86 por m3
R$ 4,65 por m3
R$ 5,13 por m3
Como toda água que é consumida retorna na forma
de esgoto, o valor final deve ser dobrado!
Por que existe as faixas de consumo?
Como se calcula uma conta de água

Sendo C = Consumo e Va = Valor da água
Usando a notação de função tem-se:

0 ≤ C ≤ 10 m3 → Va =
10 < C ≤ 20 m3 → Va =
20 < C ≤ 50 m3 → Va =
C > 50 m3 → Va =

11,94
11,94 + 1,86x(C-10)
11,94 + 1,86x10 + 4,65x(C-20)
11,94 + 1,86x10 + 4,65x20 + 5,13x(C-50)
Valor cobrado = 2xVa
Gráficos podem ser elaborados em sala de aula ou como tarefa
para ser entregue após realizado os devidos cálculos.
O uso da calculadora será bem vindo!
FAIXAS DE CONSUMO
30
VALOR (R$)
25
20
15
FAIXA 1
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
CONSUMO (m3)
0 ≤ C ≤ 10 m3 → Va = 11,96x2
7
8
9
10
FAIXAS DE CONSUMO
R
$
R$ 65.00
61
8
.0
R
$
57
R
6
.3
R$ 60.00
$
4
.6
53
R
R$ 55.00
$
2
.9
49
R
$
$
42
FAIXA 2
8
.4
R$ 45.00
R
$
38
VALOR (R$)
R
0
.2
46
R$ 50.00
6
.7
R
R$ 40.00
$
4
.0
35
R
$
R
2
.3
31
R$ 35.00
$
27
0
.6
R$ 30.00
R$ 25.00
11
12
13
14
15
16
17
18
19
CONSUMO (m3)
10 < C ≤ 20 m3 → Va = [11,96 + 1,86x(C-10)]x2
20
FAIXAS DE CONSUMO
R$ 350.00
R$ 340.08
R$ 330.78
R$ 321.48
R$ 312.18
R$ 302.88
R$ 293.58
R$ 284.28
R$ 274.98
R$ 265.68
R$ 256.38
R$ 247.08
R$ 237.78
R$ 228.48
R$ 219.18
R$ 209.88
R$ 200.58
R$ 191.28
R$ 181.98
R$ 172.68
R$ 163.38
R$ 154.08
R$ 144.78
R$ 135.48
R$ 126.18
R$ 116.88
R$ 107.58
R$ 98.28
R$ 88.98
R$ 79.68
R$ 70.38
R$ 330.00
R$ 310.00
R$ 290.00
VALOR (R$)
R$ 270.00
R$ 250.00
R$ 230.00
R$ 210.00
R$ 190.00
R$ 170.00
R$ 150.00
R$ 130.00
R$ 110.00
R$ 90.00
R$ 70.00
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
CONSUMO (m3)
20 < C ≤ 50 m3 → Va = [11,96 + 1,86x10 + 4,65x(C-20)]x2
FAIXA 3
FAIXAS DE CONSUMO
R$ 460.00
R$ 455.00
R$ 454.48
R$ 450.00
R$ 445.00
R$ 444.08
R$ 440.00
R$ 435.00
R$ 433.68
R$ 430.00
R$ 425.00
R$ 423.28
VALOR (R$)
R$ 420.00
R$ 415.00
R$ 412.88
R$ 410.00
FAIXA 4
R$ 405.00
R$ 402.48
R$ 400.00
R$ 395.00
R$ 392.08
R$ 390.00
R$ 385.00
R$ 381.68
R$ 380.00
R$ 375.00
R$ 371.28
R$ 370.00
R$ 365.00
R$ 360.00
R$ 360.88
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
CONSUMO (m3)
C > 50 m3 → Va = [11,96 + 1,86x10 + 4,65x20 + 5,13x(C-50)]x2
Atividade para ser desenvolvida na sala de
computação, usando uma planilha Excel




Inserir dados;
utilizar fórmulas básicas de soma subtração,
multiplicação e divisão;
utilizar fórmula lógica “SE” para as faixas de
cobrança da conta;
construir os gráficos trabalhando apenas
com os dados que a própria conta de água
nos fornece.
08 8
4. . 6
4 44 33 . 28 8
R$ $ 4 23 2. 8 8
R
1 4
R $ 4 02. 08
R $ $ 4 92. 68
R 3 81. 28
R $ $ 3 71. 88
R 3 60. 48
R $ 3 5 0. 08
R$ $ 3 40. . 78
R 3 30 48
R $ $ 3 21. 18
R 3 12. 88
R $ $ 3 0 2. . 58
R 3 93 2 8
R$ $ 2 84. . 98
R 2 74 68
R $ $ 2 65. 38
R 2 5 6. 08
R $ 2 47 . 7 8
R$ $ 2 37. . 48
R 2 28 18
R $ $ 2 19. 88
R 2 09 . 5 8
R$ $ 2 00. 28
R 2 91. 98
R $ $ 1 81. . 68
R 1 7 2 38
R $ $ 1 63 . 0 8
R 1 54. 78
R $ 1 44. 48
R $ $ 1 35. . 18
R 1 2 6 88
R $ $ 1 16 . . 5 8
R 1 07 8
R$ $ 1 8.2 8
R 9 8.9 8
R$ $ 8 9.6 8
R 7 0.3 8
R$ $ 7 1.0 6
R 6 7.3 4
R$$ 5 3.6 2
R 5 9.9 0
R$$ 4 6.2 8
R 4 2.4 6
R$$ 4 8.7 4
R 3 5.0 2
R$$ 3 1.3 0
R 3 7.6 8
R$ 2 3.8 8
R$$ 2 3.8 8
R 2 3.8 8
R$ 2 3.8 8
R$ 2 3.8 8
R$ 2 3.8 8
R$ 2 3.8 8
R$ 2 3.8 8
R$ 2 3.8 8
R$ 2 3.8 8
R$ 2 3.8
R$ 2
R$
R$ 460.00
R$ 440.00
R$ 420.00
R$ 400.00
R$ 380.00
R$ 360.00
R$ 340.00
R$ 320.00
R$ 300.00
R$ 280.00
R$ 260.00
R$ 240.00
R$ 220.00
R$ 200.00
R$ 180.00
R$ 160.00
R$ 140.00
R$ 120.00
R$ 100.00
R$ 80.00
R$ 60.00
R$ 40.00
R$ 20.00
VALOR COBRADO (R$)
Gráfico 1
JUNTAR OS 4 GRÁFICOS SOLICITADOS EM SALA DE AULA
(CONSUMO x VALOR COBRADO)
FAIXAS DE CONSUMO
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
CONSUMO (m3)
Gráfico 2
SABER QUANTO PAGAMOS POR CADA m3 DE ÁGUA
DE ACORDO COM O QUE CONSUMIMOS
VALOR PAGO POR CADA 1000L DE ÁGUA
R$ 24.00
R$ 22.00
R$ 20.00
R$ 18.00
VALOR (R$)
R$ 16.00
R$ 14.00
VALOR X M3
R$ 12.00
R$ 10.00
R$ 8.00
R$ 6.00
R$ 4.00
R$ 2.00
R$ 0.00
40000
6000
950
450
270
170
124
102
91
81
71
61
51
41
31
21
11
1
(M3)
ASSUNTOS DISCUTIDOS ATRAVÉS DA
INTERPRETAÇÃO DOS GRÁFICOS



Explicar porque os gráficos representam
uma função e qual o domínio e o contradomínio dessa função;
Dar um exemplo do que não seria uma
função, em relação ao consumo de água;
Explicar porque o zero de consumo não
pode ser aceito no domínio da função do
gráfico de valor pago por cada 1000L de
água
ASSUNTOS DISCUTIDOS ATRAVÉS DA
INTERPRETAÇÃO DOS GRÁFICOS


Entender porque a conta de água é cobrada
dessa maneira, diferente da conta de
energia elétrica ou da conta de telefone
(quanto mais consome, mais se paga)
Verificar qual a melhor faixa de consumo,
tanto no valor total cobrado, como no valor
por cada m3
ASSUNTOS DISCUTIDOS ATRAVÉS DA
INTERPRETAÇÃO DOS GRÁFICOS
Determinar a função polinomial do 1º. grau a
partir do gráfico, usando os gráficos de cada
faixa de consumo cuja lei é do tipo:
V = C.a + b
Exemplo: faixa 2
12a + b = 31,32
8a = 29,76  a = 3,72
20a + b =61,08
b = - 13,32
 V = 3,72C – 13,32

Conseqüências interessantes...
Estudo de caso: Um condomínio.
1) Em um prédio de 28 apartamentos o consumo de
água, em um determinado mês, foi de 562 m3.
Determinar o consumo médio, em m3, por
apartamento.
 Resp: Média = 562 / 28  Média = 20,071 m3/apto
2) No mesmo edifício moram 60 pessoas. Calcular
o consumo médio, em m3, por morador. Qual das
duas médias é mais justa?
 Resp: Média = 562 / 60  Média = 9,37 m3/pessoa
 A média mais justa é aquela calculada por pessoa
Conseqüências interessantes...
Estudo de caso: Um condomínio.

Caso real: cálculo da conta conforme a SABESP
Faixas de consumo
Tarifas
Consumo
Até 10
11,94
Valor mínimo
11 a 20
1,86
10,000 m3
18,60
31 a 50
4,65
0,071 m3
0,33
Acima de 50
5,13
Subtotal por apartamentos
Valor - R$
11,94
30,87
î (número de apartamentos) 28 aptos
864,36
î 1,0000 (valor do esgoto)
864,36
Valor em R$ final da conta:
R$ 1.728,72
Conseqüências interessantes...
Estudo de caso: Um condomínio.






4) Em um outro mês ocorreu um vazamento e os
moradores só perceberam quando a conta de água
chegou. Desde esta época o síndico pediu ao zelador que
anotasse diariamente o consumo de água do prédio.
Sendo assim, analisando-se o mês cujas anotações
encontram-se na tabela a seguir, que respostas podem ser
obtidas aos seguintes questionamentos:
4.a) consumo médio diário em m3;
4.b) consumo mínimo mensal em m3;
4.c) consumo máximo mensal em m3;
4.d) consumo total do mês em m3;
4.e) valor estimado da conta em R$.
Conseqüências interessantes...
Estudo de caso: Um condomínio.
Data
Medidor
Consumo m3
Data
Medidor
Consumo m3
31/jul/06
34572
--
17/ago/06
34882
20
1/ago/06
34592
20
18/ago/06
34882
0
2/ago/06
34610
18
19/ago/06
34941
59
3/ago/06
34628
18
20/ago/06
34954
13
4/ago/06
34646
18
21/ago/06
34968
14
5/ago/06
34664
18
22/ago/06
34988
20
6/ago/06
34681
17
23/ago/06
35007
19
7/ago/06
34692
11
24/ago/06
35029
22
8/ago/06
34715
23
25/ago/06
35049
20
9/ago/06
34733
18
26/ago/06
35070
21
10/ago/06
34754
21
27/ago/06
35085
15
11/ago/06
34774
20
28/ago/06
35097
12
12/ago/06
34791
17
29/ago/06
35122
25
13/ago/06
34809
18
30/ago/06
35138
16
14/ago/06
34821
12
31/ago/06
35158
20
15/ago/06
34843
22
1/set/06
35178
20
16/ago/06
34862
19
2/set/06
--
--
Conseqüências interessantes...
Estudo de caso: Um condomínio.





4.a) consumo médio diário: 19 m3
4.b) consumo mínimo mensal: 0 m3
4.c) consumo máximo mensal: 59 m3
4.d) consumo total do mês: 606 m3
4.e) valor estimado da conta R$ 2.138,08
Conseqüências interessantes...
Estudo de caso: Um condomínio.




5) No mês em estudo, o prédio precisou executar
o serviço de limpeza das caixas de água. Desta
forma pede-se:
5.a) Em qual dia deve ter ocorrido o serviço de
limpeza?
5.b) Desprezando os valores que foram alterados
por conta deste serviço, quais foram os
consumos mínimos e máximos no período?
5.c) É possível estimar o volume de todas as
caixas de água deste prédio somente com esta
leitura?
Conseqüências interessantes...
Estudo de caso: Um condomínio.



5.a) O serviço de limpeza foi nos dias 18 e 19,
pois o consumo em um foi de 0 m3 e outro 59 m3
(atípico!).
5.b) Consumo mínimo 11 m3
Consumo máximo 25 m3
5.c)Sim. O consumo médio diário é 19 m3 e foram
necessários 59 m3 para regularizar o consumo
do dia 19, tem-se:
Volume = 59 m3 - 19 m3 = 40 m3
Conseqüências interessantes...
Estudo de caso: Um condomínio.
6) Fazer um gráfico de consumo diário deste prédio
no referido mês.
70
60
EVENTO
ATÍPICO:
Manutenção das
Caixas de água
50
59
40
30
25
23
20
21
20
18 18 18 18
10
0
18
17
11
22
20
17
22
19
18
20
20
13
12
14
19
20
21
20
16
15
12
0
06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06
8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/ 8/
1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ 19/ 20/ 21/ 22/ 23/ 24/ 25/ 26/ 27/ 28/ 29/ 30/ 31/
FIM

Autores:
Edson A. R. Barros
Melanie L. Grinkraut
Sergio V. D. Pamboukian
Marilena M. Pamboukian