i
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
CENTRO DE ESTUDOS GERAIS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
NÚMEROS ÍNDICES
Ana Maria Lima de Farias
Luiz da Costa Laurencel
Com a colaboração dos monitores
Maracajaro Mansor Silveira
Artur Henrique da Silva Santos
Maio 2005
Conteúdo
PREFÁCIO
iv
1 Números índices
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Critérios de avaliação da fórmula de um índice . . . . . . . . . . .
1.4 Elos de relativo e relativos em cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Índices agregativos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Índice agregativo simples (Bradstreet) . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Índice da média aritmética simples (índice de Sauerbeck) .
1.5.3 Índice da média harmônica simples . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Índice da média geométrica simples . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 Propriedades dos índices agregativos simples . . . . . . . .
1.6 Índices agregativos ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Índice de Laspeyres ou índice da época base . . . . . . . . .
1.6.2 Índice de Paasche ou índice da época atual . . . . . . . . .
1.6.3 Índice de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4 Índice de Marshall-Edgeworth . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.5 Índice de Divisia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.6 Propriedades dos índices agregativos ponderados . . . . . .
1.7 Relações entre índices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Laspeyres e Paasche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Fisher, Laspeyres e Paasche . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Marshall-Edgeworth, Laspeyres e Paasche . . . . . . . . . .
1.8 Mudança de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Deflacionamento e poder aquisitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 Deflator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.2 Poder aquisitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Análise dos dados da PME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 O Índice Nacional de Preços ao Consumidor - INPC . . . . . . . .
1.11.1 Índice de Custo de Vida e Índice de Preços ao Consumidor
1.11.2 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.3 Metodologia de Cálculo do INPC . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.4 Fórmulas de Cálculo dos IPCs metropolitanos . . . . . . . .
1.11.5 Cálculo do INPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 Exercícios propostos do capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
3
5
6
6
7
7
7
9
12
12
14
15
15
16
19
22
22
24
25
26
27
29
33
34
43
43
44
44
45
47
49
ii
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CONTEÚDO
iii
2 Solução dos exercícios propostos
59
Bibliografia
90
CONTEÚDO
iv
PREFÁCIO
.
Estas notas de aula foram preparadas pelos autores para a disciplina Introdução à Estatística
Econômica, ministrada pelo Departamento de Estatística da UFF a alunos do curso de graduação em
Ciências Econômicas. Trata-se de uma abordagem quantitativa simplificada da teoria de Números
Índices. Uma seção especial sobre a metodologia de cálculo do Índice Nacional de Preços ao Consumidor foi elaborada pelo monitor da disciplina no ano de 2003, Maracajaro Mansor Silveira.
No primeiro capítulo apresenta-se a teoria que se pretende abordar, incluindo relativos ou índices
simples; índices compostos ou agregativos, simples e ponderados, dentre os quais os índices de
Laspeyres, Paasche, Fisher, Divisia e Marshall-Edgeworth. Apresenta-se também uma discussão
sobre mudança de base e deflacionamento de séries de valores. No segundo capítulo é dado o gabarito
detalhado de todos os exercícios propostos; estas soluções devem servir de guia para conferência do
aluno, que, no entanto, deverá tentar resolver os exercícios sozinho.
Niterói, maio de 2005
.
Ana Maria Lima de Farias
Luiz da Costa Laurencel
Capítulo 1
Números índices
1.1
Introdução
De uma forma simplificada, podemos dizer que o índice ou número índice é um quociente que
expressa a variação relativa entre os valores de qualquer medida. Mais especificamente, vamos lidar
com índices que medem variações verificadas em uma dada variável ao longo do tempo.
Quando lidamos com grandezas simples (um único item ou variável), o índice é chamado índice
simples; por outro lado, quando pretendemos fazer comparações de um conjunto de produtos ou
serviços, estamos lidando com o que é chamado índice sintético ou composto. É neste segundo caso
que temos a parte mais complexa do problema, uma vez que desejamos “uma expressão quantitativa
para um conjunto de mensurações individuais, para as quais não existe uma medida física comum”1 .
Nestas notas de aula, nossa ênfase está nos índices econômicos, que envolvem variações de preços,
quantidades e valores ao longo do tempo.
1.2
Relativos
Os relativos (ou índices simples) fazem comparação entre duas épocas - época atual e época base para um único produto.
1. Relativo de preço
Denotando por p0 e pt os preços na época base e na época atual (de interesse), define-se o
relativo de preço - p0,t - como:
pt
(1.1)
p0,t =
p0
2. Relativo de quantidade
Analogamente, denotando por q0 e qt as quantidades na época base e na época atual (de
interesse), define-se o relativo de qauntidade - q0,t - como:
q0,t =
qt
q0
3. Relativo de valor
Vale lembrar que
1
Ragnar Frisch (1936). The problem of index numbers, Econometrica.
1
(1.2)
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
2
Valor = Preço × Quantidade
(1.3)
1. Denotando por v0 e vt os valores na época base e na época atual (de interesse), define-se o
relativo de valor - v0,t - como:
vt
(1.4)
v0,t =
v0
Atente para a notação: p0,t faz a comparação entre o preço no mês t com relação ao preço no mês
0; definições análogas para q0,t e v0,t . Então, o primeiro subscrito indica o período base e o segundo
subscrito, o período “atual”. Essas notações podem variar em diferentes livros; assim, é importante
prestar atenção nas definições apresentadas.
Das definições acima, podemos ver que:
v0,t =
vt
pt qt
pt
qt
=
=
×
= p0,t × q0,t
v0
p0 q0
p0 q0
(1.5)
O relativo de preço nos diz quanto o preço de hoje é maior ou menor que o preço da época base.
A partir dele podemos obter a taxa de variação, que mede a variação relativa. A variação relativa
é definida como
pt
pt − p0
=
−1
(1.6)
p% =
p0
p0
e normalmente é apresentada em forma percentual, ou seja, multiplica-se o valor por 100. No
numerador da taxa de variação temos a variação absoluta de preços: pt − p0 . Definições análogas
valem para quantidade e valor.
Exemplo 1.1
Na tabela a seguir temos o preço e a quantidade de arroz consumida por uma família no último
trimestre de 2001:
Arroz (kg)
Valor
Outubro
Preço Quant.
2
5
2 × 5 = 10
Novembro
Preço Quant.
2
8
2 × 8 = 16
Dezembro
Preço Quant.
3
8
3 × 8 = 24
Tomando Outubro como base, temos os seguintes relativos:
pO,N =
2
= 1, 0
2
qO,N =
8
= 1, 6
5
3
8
= 1, 5
qO,D = = 1, 6
2
5
Não houve variação de preços entre Novembro e Outubro, isto é, o preço de Novembro é igual ao
preço de Outubro, mas o preço de Dezembro é uma vez e meia o preço de Outubro, o que corresponde
a um aumento de 50% - essa é a taxa de variação dos preços no período em questão, obtida de acordo
com a equação (1.6):
50% = (1, 5 − 1) × 100%
pO,D =
Com relação à quantidade, tanto em novembro como em dezembro, houve um aumento de 60%
com relação a outubro.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
3
Os relativos são, em geral, apresentados multiplicados por 100. Assim, as séries de relativos de
preço e quantidade com base Outubro = 100 são:
Relativos - Out=100
Preço
Quantidade
Out
100
100
Nov
100
160
Dez
150
160
Com relação ao valor, temos que
vO,N =
vO,D =
16
× 100 = 160 = 1, 0 × 1, 6 × 100 = pO,N × qO,N × 100
10
24
× 100 = 240 = 1, 5 × 1, 6 × 100 = pO,D × qO,D × 100
10
Se mudarmos a base para Dezembro, teremos:
pD,O =
pD,N =
qD,O =
qD,N =
1.3
pO
pD
pN
pD
qO
qD
qN
qD
2
= 0, 6667 ⇒ p% = (0, 6667 − 1) × 100 = −33, 33%
3
2
= = 0, 6667 ⇒ p% = (0, 6667 − 1) × 100% = −33, 33%
3
5
= = 0, 625 ⇒ q% = (0, 625 − 1) × 100% = −37, 5%
8
8
= = 1 ⇒ q% = (1 − 1) × 100% = 0%
8
=
Critérios de avaliação da fórmula de um índice
Os relativos satsifazem uma série de propriedades, que são propriedades desejadas e buscadas quando
da construção de fórmulas alternativas de números índices. Vamos representar por I0,t um índice
qualquer: pode ser um relativo de preço ou um índice de preços qualquer, por exemplo (nas seções
seguintes veremos a definição de outros índices). As propriedades ideais básicas são:
1. Identidade
It,t = 1
(1.7)
Se a data-base coincidir com a data atual, o índice é sempre 1 (ou 100, no caso de se trabalhar
com base 100).
2. Reversão (ou inversão) no tempo
I0,t =
1
⇔ I0,t × It,0 = 1
It,0
(1.8)
Invertendo-se os períodos de comparação, os índices são obtidos um como o inverso do outro.
3. Circular
I0,1 × I1,2 × I2,3 × · · · × It−1,t = I0,t ⇔ I0,1 × I1,2 × I2,3 × · · · × It−1,t × It,0 = 1
(1.9)
Se o intervalo de análise é decomposto em vários subintervalos, o índice pode ser obtido como o
produto dos índices nos subintervalos. A propriedade circular é importante no seguinte sentido:
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
4
se um índice a satisfaz e se conhecemos os índices nas épocas intermediárias, o índice de todo o
período pode ser calculado sem que haja necessidade de recorrer aos valores que deram origem
aos cálculos individuais. Note que, como decorrência desta propriedade, podemos escrever:
I0,t = I0,t−1 × It−1,t
(1.10)
Se o índice satisfizer também o princípio de reversibilidade, então (1.9) é equivalente a
I0,1 × I1,2 × I2,3 × · · · × It−1,t × It,0 = 1
4. Decomposição das causas (ou reversão dos fatores)
Denotando por IV , IP e IQ os índices de valor, preço e quantidade respectivamente, o critério
da decomposição das causas requer que
IV = IP × IQ
(1.11)
5. Homogeneidade
Mudanças de unidade não alteram o valor do índice.
6. Proporcionalidade
Se todas as variáveis envolvidas no índice tiverem a mesma variação, então o índice resultante
terá a mesma variação.
Todas essas propriedades são satisfeitas pelos relativos. De fato:
• identidade
pt,t =
• reversibilidade
• circular
• decomposição das causas
pt,0 =
p0,t =
pt
=1
pt
p0
1
= pt
pt
p0
pt
pt
pt−1
p2 p1
=
×
× ··· ×
×
p0
pt−1 pt−2
p1 p0
p0,t × q0,t =
pt
qt
pt q t
vt
×
=
=
p0 q 0
p0 q0
v0
Mudanças de unidade envolvem multiplicação por uma constante (quilo para tonelada, reais para
milhões de reais, etc). Tais operações não alteram o valor do relativo, uma vez que numerador e
denominador são multiplicados pelo mesmo valor.
Exemplo 1.2 (continuação)
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
pO,N =
5
2
= 1, 0
2
3
= 1, 5
2
8
= = 1, 6
5
⇒ pO,D = 1, 0 × 1, 5 = 1, 5 =
pD
3
=
pO
2
⇒ qO,D = 1, 6 × 1, 0 = 1, 6 =
qD
8
=
qO
5
pN,D =
qO,N
qN,D =
1.4
8
= 1, 0
8
Elos de relativo e relativos em cadeia
Na apresentação da propriedade circular, aparecem índices envolvendo épocas adjacentes. No caso de
relativos, tais relativos são, às vezes, denominados elos relativos, ou seja, os elos relativos estabelecem
comparações binárias entre épocas adjacentes
qt
qt−1
pt
pt−1
vt
vt−1
Esta mesma propriedade envolve a multiplicação desses índices; para os relativos, tal operação
é denominada relativos em cadeia e como a propriedade circular é satisfeita pelos relativos, tal
multiplicação resulta no relativo do período.
p1,2 ;
elos relativos :
relativos em cadeia :
p2,3 ;
p3,4 ;
...;
pt−1,t
p1,2 × p2,3 × p3,4 × · · · × pt−1,t = p1,t
Exemplo 1.3
Na tabela a seguir temos dados de preço para 5 anos e calculam-se os elos de relativos e os
relativos em cadeia, ano a ano.
Ano
1995
1996
1997
1998
1999
Preço
200
250
300
390
468
Elos relativos pt /pt−1
250/200 = 1, 25
300 / 250 = 1, 20
390 / 300 = 1, 30
468 / 390 = 1, 20
Relativos em cadeia
1, 25 = p95,96
1, 2 × 1, 25 = 1, 5 = p95,97
1, 2 × 1, 25 × 1, 3 = 1, 95 = p95,98
1, 2 × 1, 25 × 1, 3 × 1, 2 = 2, 34 = 995,99
o que está em concordância com:
Ano
Relativo de preço
Base: 1995 = 100
1995
1996
1997
1998
1999
100
100 × 250 / 200 = 125 ⇒ 25%
100 × 300 / 200 = 150 ⇒ 50%
100 × 390 / 200 = 195 ⇒ 95%
100 × 468 / 200 = 234 ⇒ 134%
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
1.5
6
Índices agregativos simples
Consideremos agora a situação em que temos mais de um produto e estamos interessados em estudar
variações de preços ou quantidade para todos os produtos conjuntamente.
Vamos utilizar a seguinte notação:
• pit , qti , vti - preço, quantidade e valor do produto i no mês t;
i , v i - relativos de preço, quantidade e valor do produto i no mês t com base em t = 0.
• pi0,t , q0,t
0,t
Note que o sobrescrito i indica o produto; vamos assumir que temos n produtos.
1.5.1
Índice agregativo simples (Bradstreet)
Uma primeira tentativa para resolver o problema de agregação de produtos diferentes foi o índice
agregativo simples, que é a razão entre o preço, quantidade ou valor total na época atual e o preço,
quantidade ou valor total na época base. Mais precisamente,
P A0,t =
QA0,t =
V A0,t =
p1t
p10
qt1
q01
vt1
v01
+ p2t
+ p20
+ qt2
+ q02
+ vt2
+ v02
+ · · · + pnt
+ · · · + pn0
+ · · · + qtn
+ · · · + q0n
+ · · · + vtn
+ · · · + v0n
=
n
P
i=1
n
P
i=1
=
n
P
i=1
n
P
i=1
=
n
P
i=1
n
P
i=1
pit
pi0
n
P
pit
i=1
n
= P
n
i=1
=
pt
p0
=
qt
q0
=
vt
v0
pi0
n
qti
q0i
n
P
qti
i=1
n
= P
n
i=1
q0i
n
vti
v0i
n
P
vti
i=1
n
= P
n
i=1
v0i
n
Então, o índice de Bradstreet é um relativo das médias aritméticas simples.
O índice de Bradstreet tem sérias limitações, a principal sendo o fato de se estar somando preços
ou quantidades expressas em diferentes unidades. Note que apenas o índice de valor não apresenta
esse problema, uma vez que todos os valores estão expressos na mesma unidade monetária. Em
função disso, esse é o índice usado para comparar valores em diferentes épocas, ou seja, o índice de
valor é definido como
n
P
pit qti
i=1
(1.12)
V0,t = n
P i i
p0 q0
i=1
Uma solução para resolver essa limitação do índice agregativo foi a proposta de se trabalhar com
os relativos de preço e quantidade, que são números puros, adimensionais.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
1.5.2
7
Índice da média aritmética simples (índice de Sauerbeck)
Sauerbeck propôs que se trabalhasse com a média aritmética dos relativos, dando origem aos
seguintes índices:
• p0,t - índice de preço baseado na média aritmética simples dos relativos
p10,t
p0,t =
+ p20,t
+ · · · + pn0,t
n
=
n
P
i=1
pi0,t
(1.13)
n
• q 0,t - índice de quantidade baseado na média aritmética simples dos relativos
q 0,t =
1.5.3
1
q0,t
2
+ q0,t
n
+ · · · + q0,t
n
=
n
P
i=1
i
q0,t
(1.14)
n
Índice da média harmônica simples
A mesma idéia se aplica, trabalhando com a média harmônica dos relativos.
• pH
0,t - índice de preço baseado na média harmônica simples dos relativos
pH
0,t =
n
n
n
n
= n
= n i = n
P 1
P i
1
1
1
P p0
+
+··· + n
pt,0
i
i
p0,t
p10,t p20,t
i=1 p0,t
i=1
i=1 pt
(1.15)
• qH
0,t - índice de quantidade baseado na média harmônica simples dos relativos
qH
0,t =
1.5.4
n
n
n
n
= n
= n i = n
P 1
P i
1
1
1
P q0
qt,0
1 + q2 + · · · + qn
i
i
q0,t
i=1 q0,t
i=1
0,t
0,t
i=1 qt
(1.16)
Índice da média geométrica simples
Aqui considera-se a média geométrica dos relativos.
• pG
0,t - índice de preço baseado na média geométrica simples dos relativos
pG
0,t =
s
n
p2t
pnt
p1t
×
×
·
·
·
×
=
pn0
p10 p20
s
n
n
Q
i=1
pi0,t
(1.17)
• qG
0,t - índice de quantidade baseado na média geométrica simples dos relativos
qG
0,t =
Exemplo 1.4
s
n
qt1 qt2
qtn
×
×
·
·
·
×
=
q0n
q01 q02
s
n
n
Q
i=1
i
q0,t
(1.18)
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
8
Considere os dados da tabela a seguir:
Produto
1999
P
Q
8,50
10
1,20
5
0,10 200
Carne (kg)
Feijão (kg)
Pão (unid.)
2000
P
Q
8,50
12
1,80
6
0,12 220
2001
P
Q
9,00
15
1,80
7
0,14 240
Vamos calcular os índices de preço, quantidade e valor, com base em 1999, baseados nas três médias
vistas.
Os valores gastos com cada produto estão calculados na tabela abaixo.
Carne
Feijão
Pão
Total
1999
8, 5 × 10 = 85
1, 2 × 5 = 6
0, 1 × 200 = 20
85 + 6 + 20 = 111
Valor
2000
8, 5 × 12 = 102, 0
1, 8 × 6 = 10, 8
0, 12 × 220 = 26, 4
102 + 10, 8 + 26, 4 = 139, 2
2001
9 × 15 = 135
1, 8 × 7 = 12, 6
0, 14 × 240 = 33, 6
135 + 12, 6 + 33, 6 = 181, 2
Como os relativos satisfazem a propriedade da identidade, no ano base todos são iguais a 1 ou
100, se estivermos trabalhando com base 100. Para os oustros anos, os relativos com base 1999=1
são:
Produto
Arroz (kg)
Feijão (kg)
Pão (unid,)
Relativos -1999 = 1
2000
2001
P
Q
P
Q
8, 5/8, 5 = 1, 0
12/10 = 1, 2 9/8, 5 = 1, 0588
15/10 = 1, 5
1, 8/1, 2 = 1, 5
6/5 = 1, 2
1, 8/1, 2 = 1, 5
7/5 = 1, 4
0, 12/0, 10 = 1, 2 220/200 = 1, 1 0, 14/0, 10 = 1, 4 240/200 = 1, 2
e os índices, com base 1999=100, baseados nas três médias são:
p99,00 =
p99,01 =
1, 0 + 1, 5 + 1, 2
× 100 = 123, 33
3
1, 0588 + 1, 5 + 1, 4
× 100 = 131, 96
3
q 99,00 =
q 99,01 =
pH
99,00 =
pH
99,01 =
qH
99,00 =
qH
99,01 =
1, 2 + 1, 2 + 1, 1
× 100 = 116, 67
3
1, 5 + 1, 4 + 1, 2
× 100 = 136, 67
3
3
1
1,0
+
1
1,0588
1 × 100 = 120, 00
+ 1,2
3
1
1 × 100 = 129, 01
+ 1,5
+ 1,4
1
1,5
3
1
1,2
+
1
1,5
+
1
1,2
+
1
1,1
× 100 = 116, 47
+
1
1,2
× 100 = 135, 48
3
1
1,4
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
9
p
3
1, 0 × 1, 5 × 1, 2 × 100 = 121, 64
p
= 3 1, 0588 × 1, 5 × 1, 4 × 100 = 130, 52
pG
99,00 =
pG
99,01
p
3
1, 2 × 1, 2 × 1, 1 × 100 = 116, 57
p
= 3 1, 5 × 1, 4 × 1, 2 × 100 = 136, 08
qG
99,00 =
qG
99,01
Já o índice agregativo de Bradstreet é:
8, 5 + 1, 8 + 0,12
× 100 = 106, 33
8, 5 + 1, 2 + 0, 10
9, 0 + 1, 8 + 0, 14
× 100 = 111, 63
8, 5 + 1, 2 + 0, 10
P A99,00 =
P A99,01 =
QA99,00 =
QA99,01 =
12 + 6 + 220
× 100 = 110, 698
10 + 5 + 200
15 + 7 + 240
× 100 = 121, 86
10 + 5 + 200
e o índice de valor é
V99,00 =
V99,01 =
139, 2
× 100 = 125, 41
111
181, 2
× 100 = 163, 24
111
Resumindo:
Média aritmética
Média geométrica
Média harmônica
Agregativo
1999
100
100
100
100
Preço
2000
123, 33
121, 64
120, 00
106, 33
2001
131, 96
130, 52
129, 01
111, 63
1999
100
100
100
100
Quantidade
2000
2001
116, 67 136, 67
116, 57 136, 08
116, 47 135, 48
110, 7 121,86
1999
Valor
2000
100
125, 41
2001
163, 24
Como visto na parte inicial do curso,
p ≥ pG ≥ pH
1.5.5
Propriedades dos índices agregativos simples
1. A propriedade de identidade é obviamente satisfeita por todos os índices agregativos simples.
2. Vamos mostrar com os dados do exemplo anterior que os índices das médias simples e harmônica não satisfazem a propriedade de reversibilidade. Vamos calcular esses índices com base
em 2000.
p00,99 =
8,5
8,5
+
1,2
1,8
3
+
0,1
0,12
× 100 = 83, 33 6=
1
p99,00
=
1
× 100 = 81, 08
1, 2333
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
pH
00,99 =
3
8,5
8,5
+
1,8
1,2
+
0,12
0,1
10
× 100 = 81, 081 6=
1
pH
99,00
=
100
× 100 = 83, 33
120, 00
Note que
p0,t =
pt,0 =
p10,t + · · · + pn0,t
n
p1t,0
+ · · · + pnt,0
n
p1t
+ ··· +
p10
=
n
p10
+ ··· +
p1
= t
n
pnt
pn0
pn0
pnt
Logo,
n
n
1
= 1
=
= pH
t,0
n
1
1
p0,t
pt
pt
+
·
·
·
+
+
·
·
·
+
pnt,0
p1t,0
pn0
p10
Analogamente, obtemos que
1
= pH
0,t
pt,0
Com relação à média geométrica simples, temos que
1
1
1
= q
= s
=
G
p0,t
n
p1t
pnt
p10,t × · · · × pn0,t
n
× ··· × n
p0
p10
s
n
p10
pn0
×
·
·
·
×
= pG
t,0
pnt
p1t
ou seja, o índice baseado na média geométrica simples satisfaz a propriedade de reversibilidade.
Com relação ao índice agregativo simples de Bradstreet, temos que esse índice também satisfaz
a reversibilidade, como se mostra a seguir:
1
1
p10 + · · · + pn0
= 1
=
= P At,0
P A0,t
p1t + · · · + pnt
pt + · · · + pnt
p10 + · · · + pn0
3. Os índices da média aritmética e da média harmônica simples não satisfazem a propriedade
circular. Vamos mostrar este resultado através de um contra-exemplo, baseado nos dados do
exemplo 1.4.
p99,00 =
p00,01 =
+
1,8
1,2
+
0,12
0,10
+
0,14
0,12
+
0,14
0,10
3
9
8,5
+
1,8
1,8
3
9
8,5
+
1,8
1,2
× 100 = 123, 33
× 100 = 107, 52
× 100 = 131, 96
3
= 1, 2333 × 1, 0752 × 100 = 132, 60 6= 131, 96 = p99,01
p99,01 =
p99,00 × p00,01
8,5
8,5
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
pH
00,01 =
11
3
8,5
9
+
1,8
1,8
+
0,12
0,14
× 100 = 107, 08
H
H
pH
99,00 × p00,01 = 1, 2000 × 1, 0708 × 100 = 128, 496 6= 129, 01 = p99,01
Com relação ao índice da média geométrica, temos que:
s
s
s
1
n
1
n
1
p
p
p
p
pn2
n
n
n p2
G
1
1
2
2
pG
×
p
=
×
·
·
·
×
×
×
·
·
·
×
=
×
·
·
·
×
= pG
0,1
1,2
0,2
pn0
pn1
pn0
p10
p11
p10
Para o índice agregativo de Bradstreet, temos que:
P A0,1 × P A1,2 =
p11 + · · · + pn1
p12 + · · · + pn2
p12 + · · · + pn2
×
=
= P A0,2
p10 + · · · + pn0
p11 + · · · + pn1
p10 + · · · + pn0
Logo, o índice da média geométrica simples e o índice agregativo de Bradstreet satisfazem o
princípio da circularidade.
4. Vamos analisar agora a propriedade da decomposição das causas para esses índices. Esta
propriedade exige que o produto
índice de preço pelo índice de quantidade seja igual ao
P do
i
i
pt qt
i
índice simples de valor V0,t = P
pi0 q0i
i
Usando os dados do exemplo 1.4, temos:
p99,00 × q 99,00 = 1.2333 × 131.96 = 162, 75 6= V99,00 = 125, 41
Logo, o índice de média aritmética simples não satisfaz o critério de decomposição das causas.
H
pH
99,01 × q 99,01 = 129.01 × 135.48 = 174, 78 6= V99,01 = 163, 24
Analogamente, concluímos que o índice de média harmônica simples também não satisfaz o
critério de decomposição das causas.
G
pG
99,00 × q 99,00 = 1.2927 × 116.57 = 150, 69 6= V99,00 = 125, 41
G
pG
99,01 × q 99,01 = 1.3976 × 136.08 = 190, 18 6= V99,01 = 163, 24
Logo, o índice de média geométrica simples não satisfaz o critério de decomposição das causas.
Para o índice de Bradstreet, temos:
P A99,00 × QA99,00 = 1.0633 × 1.107 × 100 = 117, 71 6= V A99,00 = 125, 41
ou seja, este índice também não satisfaz a propriedade da decomposição das causas.
A seguir temos o resumo das propriedades dos índices:
Índice agregativo simples
Média Aritmética
Média Harmônica
Média Geométrica
Bradstreet
Identidade
SIM
SIM
SIM
SIM
Reversibilidade
NÃO
NÃO
SIM
SIM
Critério
Circularidade
NÃO
NÃO
SIM
SIM
Decomposição das causas
NÃO
NÃO
NÃO
NÃO
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
1.6
12
Índices agregativos ponderados
Uma forte limitação dos índices baseados em médias simples é o fato de se dar o mesmo peso para
todos os produtos. Surgem, então, os índices agregativos ponderados, onde cada produto tem um
peso diferente. A forma mais comum de se definir os pesos é tomar a participação de cada bem no
valor total, ou seja, os pesos são definidos como
vi
pi q i
= P
wi = P
n
n
vj
pj q j
j=1
(1.19)
j=1
Como um número índice compara preços e quantidades em dois instantes de tempo, uma questão
relevante aqui é definir a que momento se referem os preços e quantidades que aparecem na definição
dos pesos. Temos, então, que especificar a base de ponderação.
1.6.1
Índice de Laspeyres ou índice da época base
O índice de Laspeyres é definido como uma média aritmética ponderada dos relativos, com os pesos
sendo definidos na época base. Então, os pesos são
v0i
vi
pi0 q0i
w0i = P
= 0 = P
n
n
V0
v0j
pj0 q0j
j=1
onde V0 =
n
P
j=1
(1.20)
j=1
v0j é o valor total na época base, um valor constante. Note que
n
P
i=1
w0i =
n
P
i=1
v0i
n
P
j=1
v0j
n
P
n vi
P
0
n
1 P
=
=
v0i = i=1
n
P
V
V
0
0
i=1
i=1
j=1
v0i
=
v0j
V0
=1
V0
(1.21)
Índice de Laspeyres de preço
O índice de preços de Laspeyres é definido por:
LP0,t =
n
P
i=1
w0i pi0,t
(1.22)
Essa expressão pode ser simplificada, bastando para isso substituir os termos envolvidos pelas
respectivas definições:


¶
n 
n µ
X
pit 
pit
 v0i
 X v0i
P
=
× i=
×
L0,t =
P
 n j
p0  i=1 V0 pi0
i=1
v0
=
1
×
V0
j=1
n µ
X
v0i
i=1
pit
pi0
¶
=
¶
n µ
n
X
X
pi
1
1
×
×
q0i pit
pi0 q0i it =
V0
V0
p0
i=1
i=1
.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
13
Logo,
LP0,t
=
n
P
i=1
n
P
i=1
q0i pit
(1.23)
q0i pi0
Vamos analisar essa última expressão: no denominador temos o valor total no mês base. Já no
numerador, temos os valores das quantidades da época base aos preços atuais. Então, comparando
esses dois termos, estamos comparando a variação de preços da mesma cesta de produtos, a cesta
da época base, nos dois instantes de tempo.
Note que as quantidades ou a cesta de produtos é a cesta da época base e, portanto, fica fixa,
enquanto não houver mudança de base. Note também que o fato de os pesos serem fixados na época
base não significa que temos um sistema fixo de ponderação, o que só acontece quando os pesos
independerem da base de comparação. No caso do índice de Laspeyres, os pesos mudam quando
mudamos a base de comparação.
Índice de Laspeyres de quantidade
O índice de Laspeyres de quantidade é definido por:
LQ
0,t =
n
P
i=1
i
w0i q0,t
(1.24)
Como antes, essa expressão pode ser simplificada, substituindo-se os termos envolvidos pelas
respectivas definições:


LQ
0,t
n 
n
X
qti 
 v0i
 X v0i qti
=
× i=
P
 n j
q0  i=1 V0 q0i
i=1
v0
j=1
=
¶
n µ
n
i
X
X
1
1
i i qt
p0 q 0 i =
×
×
pi0 qti
V0
V
q
0
0
i=1
i=1
Logo,
LQ
0,t
=
n
P
i=1
n
P
i=1
pi0 qti
(1.25)
pi0 q0i
Como antes, no denominador temos o valor total no mês base. Já no numerador, temos os
valores das quantidades da época atual aos preços da época base. Então, comparando esses dois
termos, estamos comparando a variação no valor gasto para se comprar as diferentes quantidades aos
mesmos preços da época base. Os preços aqui são os preços da época base, também permanecendo
fixos enquanto não houver mudança de base.
No índice de preços, a variação no valor gasto é devida à variação de preços, enquanto no índice
de quantidade, o valor total varia em função da variação nas quantidades.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
1.6.2
14
Índice de Paasche ou índice da época atual
O índice de Paasche é uma média harmônica dos relativos, ponderada na época atual, isto é, os
pesos são definidos como
vti
vi
pit qti
= t = P
(1.26)
wti = P
n
n
Vt
vtj
pjt qtj
j=1
onde Vt =
n
P
j=1
j=1
vtj é o valor total da época atual. Como antes,
n
P
i=1
wti = 1.
Índice de preços de Paasche
O índice de preços de Paasche é definido como
1
P
P0,t
=
n
P
1
wti i
p0,t
i=1
Note a inversão dos relativos, uma vez que
P
=
P0,t

1
pi0,t
=
1
n
P
i=1
(1.27)
wti pit,0
= pit,0 . A simplificação é feita da seguinte forma:
1
=
n 
X
pi0 
 vti

×
P

n
i

pt 
i=1
vtj
1
n µ i
X
vt
i=1
pi
× 0i
Vt
pt
¶=
j=1
=
Vt
Vt
1
¶=X
¶= P
n µ
n µ
n
i
i
X
1
p
p
qti pi0
vti i0
qti pit i0
i=1
Vt
pt
pt
i=1
i=1
ou seja,
P
=
P0,t
n
P
i=1
n
P
i=1
qti pit
(1.28)
qti pi0
Nessa fórmula fica clara a comparação sendo feita: estamos analisando a variação de preços da
cesta atual. No numerador temos o valor gasto na época atual e no denominador temos o valor que
seria gasto para comprar a cesta atual (quantidade atual) aos preços da época base.
Uma séria limitação no emprego dos índices de Paasche é o fato de as ponderações variarem em
cada período; note que os pesos são dados pelo valor da época atual.
Índice de Paasche de quantidade
O índice de quantidades de Paasche é definido como
Q
=
P0,t
1
1
= n
i
P i i
wt
wt qt,0
i
i=1
i=1 q0,t
n
P
(1.29)
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
15
A simplificação é feita da seguinte forma:
Q
P0,t
=

1
=
n 
X
q0i 
 vti

×
P
i
 n j
q
t
i=1
vt
1
n µ i
X
vt
i=1
qi
× 0i
Vt
qt
¶
j=1
=
Vt
Vt
¶=X
¶
n µ
n µ
i
X
q0
q0i
i
i
i
vt i
qt pt i
qt
qt
i=1
i=1
ou seja,
Q
P0,t
=
n
P
i=1
n
P
i=1
pit qti
(1.30)
pit q0i
Nesse fórmula fica clara a comparação sendo feita: estamos analisando a variação da quantidade
aos preços atuais. No numerador temos o valor gasto na época atual e no denominador temos o
valor que seria gasto para comprar a cesta da época base (quantidade da época base) aos preços
atuais. A ponderação é definida pelos valores atuais, mudando a cada período.
1.6.3
Índice de Fisher
O índice de Fisher é definido como a média geométrica dos índices de Laspeyres e Paasche.
q
P
P
= LP0,t × P0,t
(1.31)
F0,t
Q
=
F0,t
1.6.4
q
Q
LQ
0,t × P0,t
(1.32)
Índice de Marshall-Edgeworth
Com os índices de Laspeyres e Paasche de quantidades, estamos analisando a variação no valor
gasto, em função da variação das quantidades, para adquirir os produtos aos preços da época base
e da época atual, respectivamente.
O índice de Marshall-Edgeworth considera as médias desses preços e quantidades. Mais precisamente, define-se o índice de preços de Marshall-Edgeworth como um índice que mede a variação no
valor gasto, em função da variação dos preços, para adquirir a quantidade definida pela quantidade
q i + qti
, ou seja, o índice de preços é:
média da época base e da época atual: 0
2
¶
µ i
n
n ¡
n ¡
¢
¢
P
P
P
q0 + qti
q0i pit + qti pit
q0i + qti pit
pit
2
i=1
i=1
P
M0,t
= i=1
(1.33)
¶ = P
µ i
n ¡
n ¡
¢= P
¢
n
P q0 + qti
i
i
i
i
i + q i pi
i
q
q
p
+
q
p
p0
t 0
t
0 0
0
0
2
i=1
i=1
i=1
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
16
Para o índice de quantidade, toma-se o preço médio da época base e da época atual
Logo,
¶
µ i
n
n ¡
n ¡
¢
¢
P
P
P
p0 + pit
qti
pi0 qti + pit qti
pi0 + pit qti
2
Q
M0,t
= i=1
¶ = i=1
= i=1
µ
n ¡
n ¡
i
¢
¢
n
P
P
P
p0 + pit
pi0 q0i + pit q0i
pi0 + pit q0i
q0i
2
i=1
i=1
i=1
1.6.5
pi0 + pit
.
2
(1.34)
Índice de Divisia
Esse índice é definido como uma média geométrica ponderada dos relativos, com sistema de pesos
fixo na época base.
P
D0,t
Q
D0,t
=
=
µ
p1t
p10
¶w01
µ
qt1
q01
¶w01
×
µ
p2t
p20
¶w02
×
µ
qt2
q02
¶w02
× ··· ×
µ
pnt
pn0
¶w0n
× ··· ×
µ
qtn
q0n
¶w0n
n µ i ¶w0
Y
p
i
=
i=1
t
pi0
(1.35)
n µ i ¶w0
Y
q
i
=
i=1
t
i
q0
(1.36)
Exemplo 1.5
Vamos considerar os seguintes dados:
Produto
Arroz (kg)
Feijão (kg)
Pão (unid.)
1999
P
Q
2,50
10
1,20
5
0,10 200
2000
P
Q
3,00
12
1,80
6
0,12 220
2001
P
Q
3,25
15
1,80
7
0,14 240
Com base nesses dados, vamos calcular os índices de Laspeyres, Paasche, Fisher, Marshall-Edgeworth
e Divisia, tanto de preços quanto de quantidade. Vamos tomar 1999 como base. Na tabela a seguir,
temos os valores em forma absoluta e relativa (pesos).
Produto
Arroz (kg)
Feijão (kg)
Pão (unid.)
Soma
1999
Valor
Peso
Valor
Peso
2, 5 × 10 = 25, 0
1, 2 × 5 = 6, 0
0, 10 × 200 = 20, 0
51, 0
25/51 = 0, 490196
6/51 = 0, 117647
20/51 = 0, 392157
1, 000000
3 × 12 = 36, 0
1, 8 × 6 = 10, 8
0, 12 × 220 = 26, 4
73, 2
36, 0/73, 2 = 0, 491803
10, 8/73, 2 = 0, 147541
26, 4/73, 2 = 0, 360656
1, 000000
Produto
Arroz (kg)
Feijão (kg)
Pão (unid.)
Soma
2000
2001
Valor
Peso
3, 25 × 15 = 48, 75
1, 8 × 7 = 12, 60
0, 14 × 240 = 33, 60
94, 95
48, 75/94, 95 = 0, 513428
12, 60/94, 95 = 0, 132701
33, 60/94, 95 = 0, 353870
1, 000000
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
17
Os relativos são:
Produto
Arroz (kg)
Feijão (kg)
Pão (unid.)
Produto
Arroz (kg)
Feijão (kg)
Pão (unid.)
Produto
Relativos -1999 = 100
1999
P
Q
2, 5/2, 5 × 100 = 100
10/10 × 100 = 100
1, 2/1, 2 × 100 = 100
5/5 × 100 = 100
0, 10/0, 10 × 100 = 100 200/200 × 100 = 100
2000
P
Q
3/2, 5 × 100 = 120
12/10 × 100 = 120
1, 8/1, 2 × 100 = 150
6/5 × 100 = 120
0, 12/0, 10 × 100 = 120 220/200 × 100 = 110
2001
Arroz (kg)
Feijão (kg)
Pão (unid.)
P
3, 25/2, 5 × 100 = 130
1, 80/1, 2 × 100 = 150
0, 14/0, 10 × 100 = 140
Q
15/10 × 100 = 150
7/5 × 100 = 140
240/200 × 100 = 120
Usando ambas as fórmulas (1.22) e (1.23), temos que:
LP99,00 = 0, 490196 × 120 + 0, 117647 × 150 + 0, 392157 × 120 = 123, 529412
30 + 9 + 24
63
10 × 3 + 5 × 1, 8 + 200 × 0, 12
× 100 =
× 100 =
× 100
=
51
51
51
LP99,01 = 0, 490196 × 130 + 0, 117647 × 150 + 0, 392157 × 140 = 136, 274510
32, 5 + 9 + 28
69, 5
10 × 3, 25 + 5 × 1, 8 + 200 × 0, 14
× 100 =
× 100 =
× 100
=
51
51
51
Usando as fórmulas (1.24) e (1.25), temos que:
LQ
99,00 = 0, 490196 × 120 + 0, 117647 × 120 + 0, 392157 × 110 = 116, 078431
2, 5 × 12 + 1, 2 × 6 + 0, 1 × 220
30 + 7, 2 + 22
59, 2
=
× 100 =
× 100 =
× 100
51
51
51
LQ
99,01 = 0, 490196 × 150 + 0, 117647 × 140 + 0, 392157 × 120 = 137, 058824
37, 5 + 8, 4 + 24
69, 9
2, 5 × 15 + 1, 2 × 7 + 0, 1 × 240
× 100 =
× 100 =
× 100
=
51
51
51
Analogamente, usando as fórmulas (1.27), (1.28), (1.29) e (1.30), temos que:
P
P99,00
=
=
1
0,491803
120
+
0,147541
150
+
0,360656
120
= 123, 648649 =
73, 2
73, 2
73, 2
× 100 =
× 100 =
× 100
12 × 2, 5 + 6 × 1, 2 + 220 × 0, 1
30 + 7, 2 + 22
59, 2
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
P
=
P99,01
=
1
= 135, 836910 =
+ 0,353870
120
94, 95
94, 95
94, 95
× 100 =
× 100 =
× 100
15 × 2, 5 + 7 × 1, 2 + 240 × 0, 1
37, 5 + 8, 4 + 24
69, 9
0,513428
150
Q
P99,00
=
=
Q
P99,01
=
=
18
0,132701
140
+
1
0,491803
120
+
0,147541
120
+
0,360656
110
= 116, 190476 =
73, 2
73, 2
73, 2
× 100 =
× 100 =
× 100
3 × 10 + 1, 8 × 5 + 0, 12 × 200
30 + 9 + 24
63
1
= 136, 618705 =
+ 0,353870
120
94, 95
94, 95
94, 95
× 100 =
× 100 =
× 100
3, 25 × 10 + 1, 80 × 5 + 0, 14 × 200
32, 5 + 9 + 28
69, 5
0,513428
150
+
0,132701
140
Note que é mais fácil (e mais preciso numericamente) calcular os índices de Laspeyres e Paasche
pelas fórmulas (1.23), (1.25), (1.28) e (1.30).
p
123, 529412 × 123, 648649 = 123, 589016
p
=
136, 274510 × 135, 836910 = 136, 055534
P
=
F99,00
P
F99,01
p
116, 078431 × 116, 190476 = 116, 134440
p
=
137, 058824 × 136, 618705 = 136, 838588
Q
=
F99,00
Q
F99,01
P
M99,00
=
136, 2
(10 + 12) × 3 + (5 + 6) × 1, 8 + (200 + 220) × 0, 12
=
× 100 = 123, 593466
(10 + 12) × 2, 5 + (5 + 6) × 1, 2 + (200 + 220) × 0, 10
110, 2
P
M99,01
=
Q
=
M99,00
Q
M99,01
=
164, 45
(10 + 15) × 3, 25 + (5 + 7) × 1, 8 + (200 + 240) × 0, 14
=
= 136, 021505
(10 + 15) × 2, 5 + (5 + 7) × 1, 2 + (200 + 240) × 0, 10
120, 9
132, 4
(3 + 2, 5) × 12 + (1, 8 + 1, 2) × 6 + (0, 12 + 0, 10) × 220
=
= 116, 140351
(3 + 2, 5) × 10 + (1, 8 + 1, 2) × 5 + (0, 12 + 0, 10) × 200
114
164, 85
(3, 25 + 2, 5) × 15 + (1, 8 + 1, 2) × 7 + (0, 14 + 0, 10) × 240
=
= 136, 804979
(3, 25 + 2, 5) × 10 + (1, 8 + 1, 2) × 5 + (0, 14 + 0, 10) × 200
120, 5
P
D99,00
= (120)0,490196 × (150)0,117647 × (120)0,392157 = 123, 191977
P
D99,01
= (130)0,490196 × (150)0,117647 × (140)0,392157 = 136, 105701
Q
D99,00
= (120)0,490196 × (120)0,117647 × (110)0,392157 = 115, 974418
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
19
Q
= (150)0,490196 × (140)0,117647 × (120)0,392157 = 136, 320 8
D99,01
Como exercício, você deve calcular esses mesmos índices com base 2000 = 100; o resultado é
dado na tabela abaixo, onde se excluem os resultados para o ano base:
Índices - 2000=100
1999
Laspeyres
Paasche
Fisher
Marshall-Edgeworth
Divisia
1.6.6
P
LP00,99 = 80, 8743
P
P00,99
= 80, 9524
P
F00,99 = 80, 9133
P
M00,99
= 80, 9104
P
D00,99 = 80, 6344
2001
Q
LQ
=
86, 0656
00,99
Q
P00,99 = 86, 1486
Q
F00,99
= 86, 1071
Q
M00,99 = 86, 1027
Q
D00,99
= 85, 9899
P
LP00,01 = 110, 109
P
P00,01
= 109, 896
P
F00,01 = 110, 003
P
M00,01
= 109, 994
P
D00,01 = 109, 962
Q
LQ
=
118, 033
00,01
Q
P00,01 = 117, 804
Q
F00,01
= 117, 918
Q
M00,01 = 117, 913
Q
D00,01
= 117, 806
Propriedades dos índices agregativos ponderados
Vamos verificar agora quais critérios os índices acima satisfazem.
Identidade
É fácil verificar que todos os índices vistos satisfazem o princípio da identidade.
Reversibilidade
• Laspeyres e Paasche
Com os dados do exemplo 1.5, vamos mostrar que esses índices não satisfazem a propriedade
de reversão. De fato:
LP99,00 × LP00,99 = 1, 23529412 × 0, 808743 = 99, 903 547 25 6= 1
P
P
P99,00
× P00,99
= 1, 23648649 × 0, 809524 = 100, 096 548 9 6= 1
• Fisher
O índice de Fisher satisfaz o critério de reversibilidade, como provamos a seguir:
q
q
P ×
P =
LP0,t × P0,t
LPt,0 × Pt,0
v
uP
n
n
n
P
P
P
u n q i pi
qti pit
qti pi0
q0i pi0
u
0 t
u i=1
× i=1
× i=1
× i=1
=
= uP
n
n
n
P
P
P
t n i i
i
i
i
i
q0 p0
qt p0
q t pt
q0i pit
P
P
F0,t
× Ft,0
=
i=1
i=1
i=1
i=1
v
uP
n
n
n
P
P
P
u n i i
u
q0 pt
qti pit
qti pi0
q0i pi0
u i=1
i=1
i=1
i=1
= u
× n
× n
× n
=1
n
uP
P i i
P i i
P i i
i
i
u
q0 pt
qt pt
qt p0
q0 p0
u
t|i=1{z } |i=1{z } |i=1{z } |i=1{z }
1
1
De forma análoga, prova-se para o índice de quantidade.
1
1
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
20
• Marshall-Edgeworth
O índice de Marshall-Edgeworth satisfaz o critério de reversibilidade, como provamos a seguir:
n ¡
n ¡
¢
¢
P
P
q0i + qti pit
q0i + qti pi0
P
P
× Mt,0
= i=1
× i=1
M0,t
n ¡
n ¡
¢
¢ i =
P
P
i
i
i
i
i
q0 + qt p0
q0 + qt pt
=
i=1
n ¡
P
i=1
n ¡
P
|i=1
• Divisia
i=1
¢
i
q0i + qt pit
q0i
+ qti
{z
1
¢
pit
}
n ¡
P
× i=1
n ¡
P
|i=1
¢
q0i + qti pi0
¢ =1
q0i + qti pi0
{z
}
1
O importante a notar aqui é que o sistema de pesos, no índice de Divisia, é fixo. Sendo assim,
o índice de Divisia satisfaz o critério de reversibilidade, como provamos a seguir:
µ i ¶w0i
µ i ¶w0i
µ i
¶wi
n
n
n
Q
Q
Q
pt
p0
pt
pi0 0
P
P
×
=
× i
=1
D0,t × Dt,0 =
i
i
i
pt
i=1 p0
i=1 pt
i=1 p0
Note que temos o mesmo peso, independente da base de comparação!
Circularidade
• Laspeyres e Paasche
Vamos usar os dados do exemplo 1.5 para mostrar que esses índices não satisfazem o princípio
da circularidade. Temos que:
LP99,00 × LP00,01 = 1, 23529412 × 1, 10109 × 100 = 136, 017 6= 136, 274510 = LP99,01
P
P
P
P99,00
× P00,01
= 1, 23648649 × 1, 09896 × 100 = 135, 88 6= 135, 836910 = P99,01
• Fisher
Vamos usar os dados do exemplo 1.5 para mostrar que esse índice também não satisfaz o
princípio da circularidade. Temos que:
p
p
P
P
× F00,01
=
1, 23529412 × 1, 23648649 × 1, 10109 × 1, 09896 × 100 =
F99,00
P
= 135, 9509 437 6= 136, 055534 = F99,01
• Marshall-Edgeworth
Com os dados do mesmo exemplo, temos:
P
P
P
M99,00
× M00,01
= 1.23593466 × 1.09994 × 100 = 135. 945 397 6= 136, 021505 = M99,01
• Divisia
Como na propriedade de reversão, note que os pesos são fixos, independente da época de
comparação. Assim, o índice de Divisia satisfaz o princípio da circularidade, como se mostra
a seguir:
µ i ¶w0i
µ i ¶w0i
µ i
¶wi
µ i ¶w0i
n
n
n
n
Q
Q
Q
Q
p1
p2
p1 pi2 0
p2
P
P
P
×
=
× i
=
= D0,2
D0,1 × D1,2 =
i
i
i
i
pt
i=1 p0
i=1 p1
i=1 p0
i=1 p0
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
21
Decomposição das Causas
• Laspeyres e Paasche
Esses índices não satisfazem esse critério, conforme se mostra a seguir com os dados do exemplo:
63
51
59, 2
×
6=
= V00,99
LP00,99 × LQ
00,99 =
73, 2 73, 2
73, 2
51
51
51
Q
P
×
6=
= V00,99
P00,99
× P00,99
=
63 59, 2
73, 2
No entanto, esses índices satisfazem a propriedade de decomposição das causas, desde que se
mescle os índices. Mais precisamente,
Q
P
= LQ
LP0,t × P0,t
0,t × P0,t = V0,t
(1.37)
conforme se mostra a seguir:
LP0,t
Q
× P0,t
=
n
P
i=1
n
P
q0i pi0
i=1
n
P
pi0 q0i
i=1
P
LQ
0,t × P0,t =
n
P
i=1
• Fisher
q0i pit
×
n
P
i=1
n
P
pit q0i
i=1
n
P
qti pi0
i=1
pi0 qti
×
pit qti
n
P
i=1
=
n
P
q0i pi0
i=1
n
P
q0i pi0
i=1
qti pit
=
pit qti
i=1
n
P
n
P
i=1
= V0,t
pit qti
= V0,t
Esse índice satisfaz o critério da decomposição das causas, como se mostra a seguir:
Q
P
× F0,t
F0,t
v
uP
n
n
n
P
P
P
u n q i pi
i pi
i qi
q
p
pit qti
u
t t
0 t
u i=1 0 t
i=1
i=1
i=1
= u n
× n
× n
× n
=
P i i
P i i
P i i
tP i i
q0 p0
qt p0
p0 q0
pt q0
i=1
i=1
i=1
i=1
v
uP
n
n
n
P
P
P
u n i i
q 0 pt
pi0 qti
qti pit
qti pit
u
u i=1
× i=1
× i=1
× i=1
=
= u
n
n
n
n
uP
P
P
P
i
i
i
i
i
i
i qi
u
p
q
q
p
p
q
p
t 0
t 0
0 0
0 0
u
t|i=1{z } |i=1{z } |i=1
{z i=1
}
1
1
iguais
v
2
u P
n
P
u n i i
qt pt
qti pit
u

u i=1
i=1
 =
= u
= V0,t
n
n

t P
P
i
i
p0 q0
pi0 q0i
i=1
i=1
Uma maneira mais elegante de provar este resultado é dada a seguir, onde se usa o resultado
(1.37):
q
q
q
Q
Q
Q
P
P
P
P × LQ × P Q =
L0,t × P0,t × L0,t × P0,t = LP0,t × P0,t
F0,t × F0,t =
0,t
0,t
q
p
Q
P × LQ =
LP0,t × P0,t
× P0,t
V0,t × V0,t = V0,t
=
0,t
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
22
• Marshall-Edgeworth
Esse índice não satisfaz o critério da decomposição das causas, como mostra o contra-exemplo
abaixo.
Q
P
M99,00
×M99,00
= 1, 23593466×1, 16140351×100 = 143, 541885 6=
73, 2
×100 = 143, 529411 = V99,00
51
• Divisia
Esse índice não satisfaz o critério da decomposição das causas, conforme mostra o contraexemplo a seguir:
Q
P
×D99,00
= 1, 23191977×1, 15974418×100 = 142, 871178 6=
D99,00
73, 2
×100 = 143, 529411 = V99,00
51
No quadro a seguir apresentamos o resumo das propriedades dos índices:
Índice
Laspeyres
Paasche
Fisher
Marshall-Edgeworth
Divisia
1.7
1.7.1
Identidade
SIM
SIM
SIM
SIM
SIM
Critério
Circularidade
NÃO
NÃO
NÃO
NÃO
SIM
Reversibilidade
NÃO
NÃO
SIM
SIM
SIM
Decomposição das causas
NÃO
NÃO
SIM
NÃO
NÃO
Relações entre índices
Laspeyres e Paasche
Vamos, agora, analisar a relação entre os índices de Laspeyres e Paasche. Para isso, recordemos que
o estimador do coeficiente de correlação para dados agrupados é dado por
rxy
¢¡
¢
1P ¡
ni Xi − X Yi − Y
n i
Cov(X, Y )
=
=
σX σY
sx sy
(1.38)
onde ni é a freqüência absoluta e σ x e σ y são, respectivamente, os desvios padrão de X e Y . Sabemos
também que a covariância pode ser reescrita como
Ã
!Ã
!
X
X
X
fi Xi Yi −
fi Xi
fi Yi .
Cov(X, Y ) =
(1.39)
i
i
i
onde fi = nni é a freqüência relativa (lembre-se: covariância é a média dos produtos menos o produto
das médias).
Para o caso específico dos números índices, consideremos que os X’s e Y ’s sejam, respectivamente,
os relativos de preço e quantidade e as frequências relativas sejam os pesos definidos pelos valores.
Mais precisamente,
pi
qi
pi q i
Yi = ti
fi = P o jo j .
(1.40)
Xi = it
po
qo
po qo
j
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
23
Substituindo (1.40) em (1.39), obtemos:



i
i
i
i
i
i
i
i
X
X
X pi q i
po qo
po qo
pt
qt 
pt  
qt 
o o
Cov(X, Y ) =
P j j × i × i −
P j j × i 
P j j × i=
po qo po qo
po q o po
po qo qo
i
i
i
=
P
i
P
i
Mas sabemos que
j
i
pt qti
pio qoi
P
i
−P
i
qoi pit
qoi pio
P
i
×P
i
j
pio qti
pio qoi
j
= V0,t − LP0,t × LQ
0,t
Q
V0,t = LP0,t × P0,t
(1.41)
;
substituindo em (1.41), obtemos que
Q
Cov(X, Y ) = σ x σ y rxy = LP0,t × P0,t
− LP0,t × LQ
0,t ⇒
σ x σ y rxy
= 1−
Q
LP0,t × P0,t
LP0,t × LQ
0,t
Q
LP0,t × P0,t
LQ
0,t
=1−
Q
P0,t
ou seja,
LQ
0,t
= 1 − rxy
Q
P0,t
σx σy
V0,t
.
(1.42)
Analisando essa equação, podemos ver que os índices de Laspeyres e Paasche serão idênticos
quando rxy = 0 ou σ x = 0 ou σ y = 0. As duas últimas condições significam que, tanto os relativos
de preço, quanto os relativos de quantidade são constantes (não têm variabilidade), uma hipótese
bastante irrealista. A condição rxy = 0 significa que os relativos de preço e de quantidade são não
correlacionados, hipótese também bastante improvável de ocorrer na prática. Assim, na prática, os
índices de Laspeyres e Paasche serão diferentes. Nesse caso, como σ x > 0, σ y > 0 e V0,t > 0, a relação
entre os índices dependerá de rxy . Se rxy > 0 (relativos de preço positivamente correlacionados com
os relativos de quantidade, o que acontece quando estamos analisando um problema pelo lado da
oferta, por exemplo), o índice de Laspeyres será menor que o de Paasche. Caso contrário, isto é,
relativos de preço negativamente correlacionados com os relativos de quantidade (análise pelo lado
da demanda), o índice de Laspeyres será maior que o de Paasche.
P < LP e P Q ≤ LQ . Neste
A situação mais comum, na prática, é termos rxy < 0 e, portanto, P0,t
0,t
0,t
0,t
caso, temos que
P
P0,t
≤
LP0,t
n
P
⇒
i=1
⇒
n
P
i=1
n
P
i=1
⇒
n
P
i=1
n
P
i=1
n
P
pit qti × i=1
n
P
pit qti
pit q0i
×
n
P
qti pit
qti pi0
i=1
n
P
≤
i=1
qti pit
qti pi0
i=1
n
P
i=1
n
P
i=1
≤
i=1
qti pit
qti pi0
n
P
≤
q0i pit
q0i pi0
n
P
pit qti × i=1
n
P
n
P
i=1
n
P
i=1
i=1
pit qti
q0i pi0
q0i pit
q0i pi0
⇒
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
24
ou
Q
P
× P0,t
≤ V0,t
P0,t
Analogamente,
Q
P0,t
≤
⇒
⇒
LQ
0,t
n
P
ou
pi0 q0i
i=1
n
P
i=1
i=1
n
P
⇒
1
i=1
n
P
n
P
pit q0i
i=1
n
P
×
pit qti
pi0 q0i
pit qti
≤
i=1
n
P
i=1
n
P
i=1
n
P
i=1
pit qti
pit q0i
i=1
n
P
i=1
≤
n
P
≤
pit q0i
pi0 q0i
×
pi0 qti
pi0 q0i
1
n
P
i=1
n
P
i=1
n
P
i=1
pi0 q0i
pi0 qti
⇒
×
n
P
i=1
n
P
i=1
pi0 qti
pi0 q0i
pi0 q0i
V0,t ≤ LP0,t × LQ
0,t
Vemos, assim, que, em geral
Q
P
× P0,t
≤ V0,t ≤ LP0,t × LQ
P0,t
0,t
ou seja, o índice de Paasche tende a subestimar o valor, enquanto o índice de Laspeyres tende a
superestimar.
1.7.2
Fisher, Laspeyres e Paasche
O índice de Fisher é definido como a média geométrica dos índices de Laspeyres e Paasche. Então
√
F = L×P .
Pelo resultado anterior, temos que, em geral, os índices de Laspeyres e Paasche são diferentes. Se
eles são iguais, obviamente temos F = L = P .
√
√
Das propriedades da função f (x) = x segue que 1 > x > x para 0 < x < 1.
L
< 1.
Consideremos inicialmente que L < P. Então, como L e P são positivos, segue que 0 <
P
Então
r
r
√
L
L
L
L
1>
>
⇒P >P
>P ⇒P > L×P >L
P
P
P
P
ou seja, L < F < P. Se P < L, obtemos, de forma análoga, que P < F < L. Em resumo, se os
índices de Laspeyres e Paasche são diferentes, então o índice de Fisher está compreendido entre eles:
L < P
P
< L
L = P
⇒
⇒
⇒
L<F <P
P <F <L
L=F =P
(1.43)
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
1.7.3
25
Marshall-Edgeworth, Laspeyres e Paasche
O índice de Marshall-Edgeworth é definido como
¢
P¡ i
qt + qoi pit
i
P
¡ i
¢
=P
M0,t
qt + qoi pio
.
i
Vamos provar que esse índice se encontra sempre entre os índices de Laspeyres e Paasche. Mas
para isso vamos provar que, se X1 , X2 , Y1 e Y2 são números positivos tais que
Y1
X1
≤
X2
Y2
então
X1
X1 + Y1
Y1
≤
≤
X2
X2 + Y2
Y2
.
De fato: como os números são positivos, temos que
X1
X2
Y1
⇒ X1 Y2 ≤ X2 Y1 ⇒ X1 Y2 + X1 X2 ≤ X2 Y1 + X1 X2 ⇒
Y2
X1
X1 + Y1
≤
.
⇒ X1 (X2 + Y2 ) ≤ X2 (X1 + Y1 ) ⇒
X2
X2 + Y2
≤
Analogamente,
X1
X2
Y1
⇒ X1 Y2 ≤ X2 Y1 ⇒ X1 Y2 + Y1 Y2 ≤ X2 Y1 + Y1 Y2 ⇒
Y2
X1 + Y1
Y1
⇒ Y2 (X1 + Y1 ) ≤ Y1 (X2 + Y2 ) ⇒
≤
.
X2 + Y2
Y2
≤
Note que esse resultado não vale quando algum dos números é negativo. Por exemplo, se fizermos
X1 = −2, X2 = 3, Y1 = 1 e Y2 = −2, então
Y1
X1
2
1
=− <
=−
X2
3
Y2
2
mas
X1
X1 + Y1
= −1 <
X2 + Y2
X2
Para provar a relação entre os índices de Laspeyres, Paasche e Marshall-Edgeworth, basta fazer
X
X
X1 =
qoi pit
Y1 =
qti pit
i
X2 =
X
i
qoi pio
Y2 =
i
X
qti pio
i
Nesse caso, os índices de Laspeyres e Paasche de preço são:
L = Lp0,t =
X1
X2
p
P = P0,t
=
Y1
Y2
e se L < P , então
¢
qoi + qti pit
X1
Y1
i
i
i
¡
¢ <P
P
<
⇒L< P
=P
X2
Y2
qoi pio + qti pio
qoi + qti pio
P
i
qoi pit +
P
i
qti pit
P¡
i
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
26
ou seja, L < M < P . Se, ao contrário , temos P < L então
¢
P i i P i i
P¡ i
qo pt + qt pt
qo + qti pit
X1
Y1
i
i
i
¡
¢ <L
P
<
⇒P < P
=P
i
i
i
i
Y2
X2
qo po + qt po
qoi + qti pio
i
i
i
e, portanto, P < M < L. E se L = P, então L = P = M. Resumindo, o índice de MarshallEdegeworth está entre os índices de Laspeyres e Paasche:
L < P
P
< L
L = P
1.8
⇒
⇒
⇒
L<M <P
(1.44)
P <M <L
P =M =L
Mudança de base
Considere a seguinte série de relativos de preço com base em 1997:
Ano
Relativo
Isso significa que
p98
= 1, 1
p97
1997
100
1998
110
p99
= 1, 15
p97
1999
115
2000
116
p00
= 1, 16
p97
2001
118
p01
= 1, 18
p97
Suponhamos, agora, que queiramos colocar essa série com base em 2001, para atualizar o sistema
de comparação. Como proceder? Na verdade, o que queremos é
pt
,
p01
t = 97, 98, 99, 00
Como os relativos satisfazem as propriedades de reversão e circular, temos que:
p97
1
= p01
p01
p97
p98
p98
p98 p97
p
=
×
= p97
01
p01
p97 p01
p97
p99
p99
p99 p97
p
=
×
= p97
01
p01
p97 p01
p97
p00
p00
p00 p97
p
=
×
= p97
01
p01
p97 p01
p97
Logo, a série de relativos na nova base é obtida dividindo-se a série original pelo valor do relativo
no ano da base desejada. Esse procedimento, ilustrado para relativos, será sempre válido se o índice
satisfizer as propriedades circular e de reversão.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
27
No entanto, vários índices utilizados na prática não satisfazem tal propriedade. Os índices de
Laspeyres e Paasche são um exemplo. Para fazer a mudança de base de uma série de índices de
Laspeyres, por exemplo, é necessário mudar os pesos e isso significa trazer a antiga cesta base para a
época atual. Esse procedimento, além de caro, nem sempre é viável. Assim, na prática, a mudança
de base é feita como se o índice satisfizesse a propriedade circular, ou seja, obtém-se a série na nova
base dividindo a antiga pelo valor do índice no ano da base desejada.
Vamos ilustrar os procedimentos correto e aproximado com os dados utilizados anteriormente.
Exemplo 1.6
Produto
Arroz (kg)
Feijão (kg)
Pão (unid.)
1999
P
Q
2,50
10
1,20
5
0,10 200
2000
P
Q
3,00
12
1,80
6
0,12 220
2001
P
Q
3,25
15
1,80
7
0,14 240
Anteriormente, calculamos os índices de Laspeyres com base em 1999, obtendo para os preços a
seguinte série:
Ano t 1999
2000
2001
LP99,t
100 123,529412 136,274510
Vamos calcular o índice com base em 2001 pelo método exato e pelo método aproximado.
LP01,99 =
69, 9
15 × 2, 50 + 7 × 1, 20 + 240 × 0, 10
× 100 =
× 100 = 73, 618
15 × 3, 25 + 7 × 1, 80 + 240 × 0, 14
94, 95
LP01,00 =
86, 4
15 × 3, 00 + 7 × 1, 80 + 240 × 0, 12
× 100 =
× 100 = 90, 995
15 × 3, 25 + 7 × 1, 80 + 240 × 0, 14
94, 95
Logo, pelo método exato a série de índices com base em 2001 é:
Ano t
LP01,t
1999
73, 618
2000
90, 995
2001
100
Pelo método prático, temos:
1.9
LP01,99 ≈
1
× 100 = 73, 381
136, 274510
LP01,00 ≈
123, 529412
× 100 = 90, 647
136, 274510
Deflacionamento e poder aquisitivo
Suponhamos que em 1999 um quilo de carne custasse 8,00 reais e em 2000, 10 reais. Se nos 2
anos dispuséssemos da mesma quantia de 250 reais para comprar essa carne, em 1999 poderíamos
comprar
250R$
= 31, 25 kg
8 R$ / kg
e em 2000
250 R$
= 25 kg
10 R$ / kg
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
28
Logo, a relação entre as quantidades é
25
= 0, 80
31, 25
que corresponde a uma taxa de variação de
¶
µ
¶
µ
25
25 − 31, 25
× 100 =
− 1 × 100 = (0, 80 − 1) × 100 = −20%
31, 25
31, 25
Então, com esse aumento de preço, mantido o mesmo valor disponível, houve uma queda de 20% na
quantidade de carne adquirida.
Consideremos, agora, uma situação mais geral, onde o salário de uma pessoa se mantém fixo em
R$2.500,00 nos anos de 1999 e 2000 mas a inflação em 2000, medida pelo INPC, foi de 5,27%. Como
avaliar a perda salarial desta pessoa? Primeiro, vamos interpretar o significado da inflação de 5,27%
em 2000. Isto significa que o preço de uma cesta de produtos e serviços aumentou 5,27% em 2000,
comparado com 1999, ou seja, o índice de preços de 2000 com base em 1999 é 1,0527. Por outro
lado, como o salário é o mesmo, o índice de valor (salário) de 2000 com base em 1999 é 1. Usando a
relação aproximada IV = IP × IQ, resulta que o índice de quantidade de 2000 com base em 1999 é
¶
µ
1
= 0, 94994
IQ =
1, 0527
ou seja, esta pessoa, com o mesmo salário em 2000, consegue comprar 0,94994 do que comprava em
1999, o que representa uma taxa de (0, 94994 − 1) × 100 = −5, 006. O índice 0,94994 é chamado
índice do salário real, já que ele representa o que a pessoa pode realmente adquirir em 2000, com
base em 1999.
Uma outra forma de olhar este mesmo problema é a seguinte: dizer que houve uma variação de
preços de 5,27% em 2000 é o mesmo que dizer que 1,0527 reais em 2000 equivalem (em poder de
compra) a 1 real em 1999. Então, para determinar quanto valem os 2500 reais de 2000 a preços de
1999, basta aplicarmos a regra de três simples:
1999
1 R$
x
2000
1,0527 R$
2500 R$
Logo,
x=
2500
= 2374, 85
1, 0527
o que significa que o salário de 2500 reais em 2000 equivale a um salário de 2374,85 reais em 1999,
o que é lido como 2374,85 reais a preços de 1999. A perda salarial pode ser obtida como
2374, 85
= 0, 94994
2500
mesmo valor obtido através do índice do salário real.
Estes exemplos ilustram o conceito de deflacionamento de uma série de valores, que permite
equiparar valores monetários de diversas épocas ao valor monetário de uma época base, ou ainda, o
deflacionamento permite eliminar uma das causas de variação de uma série de valores monetários,
qual seja, a variação de preços.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
1.9.1
29
Deflator
Um índice de preços usado para equiparar valores monetários de diversas épocas ao valor monetário
de uma época base é chamado deflator.
Como visto acima, para obter a série de valores deflacionados ou valores a preços da época
base, basta dividir a série de valores pelo respectivo índice de preços. Os valores estarão a preços
constantes do ano base do índice de preços.
Podemos também dividir a série de índices de valores pelo respectivo índice de preço para obter
o índice do valor real (quantidade) com base no período base do deflator.
Exemplo 1.7
Considere a série do faturamento nominal de uma empresa e o índice de preço apropriado, dados
na tabela abaixo.
Ano Faturamento nominal Índice de preços
(Mil R$)
1999=100
1999
1600
100,000
2000
1800
105,272
2400
115,212
2001
2800
132,194
2002
3000
145,921
2003
3200
154,870
2004
Para obter o faturamento real a preços de 1999, basta fazer, como antes, uma regra de três,
tendo em mente a interpretação do índice de preços: 100 R$ em 1999 equivalem a 105,272 R$ em
2000, a 115,212 em 2001, etc. Por exemplo, para o ano de 2002 temos:
1999
100 R$
x
2002
132,194 R$
2800 R$
⇒x=
2800
× 100 = 2118, 099
132, 194
Com o mesmo procedimento para os outros anos, obtemos a série do faturamento a preços de 1975
dada por:
Ano
Faturamento
(Mil R$ de 1999)
1999
(1600/100) × 100 = 1600, 0
2000 (1800/105, 272) × 100 = 1709, 9
2001 (2400/115, 212) × 100 = 2083, 1
2002 (2800/132, 194) × 100 = 2118, 1
2003 (3000/145, 921) × 100 = 2055, 9
2004 (3200/154, 870) × 100 = 2066, 2
Para obter o índice do faturamento real com base em 1999 temos que calcular o índice do
faturamento nominal e dividí-lo pelo respectivo índice de preços. Para o ano de 2002, por exemplo,
temos:
2800
× 100
1600
× 100 = 132, 38
132.194
Completando para os outros anos obtemos:
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
Ano
30
Índice do faturamento real (quantidade)
1999=100
1999
1600
× 100
1600
× 100 = 100, 000
100
2000
1800
× 100
1600
× 100 = : 106. 87
105.272
2001
2400
× 100
1600
× 100 = : 130. 19
115.212
2002
2800
× 100
1600
× 100 = : 132. 38
132.194
2003
3000
× 100
1600
× 100 = : 128. 49
145.921
2004
3200
× 100
1600
× 100 = : 129. 14
154.870
Note a seguinte equivalência (ano de 2002):
2800
2800
× 100
× 100
132,
194
1600
× 100 =
× 100
132, 194
1600
O termo no numerador é o faturamento de 2002 a preços de 1999, enquanto o termo no denominador é o faturamento de 1999 a preços de 1999. Ou seja, podemos obter a série de índices do
faturamento real a preços de 1999 simplesmente dividindo a série de faturamento a preços de 1999
pelo faturamento real do ano base:
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
31
Ano
Índice do faturamento real
1999=100
1975
1600
× 100
100
× 100 = 100, 000
1600
1976
1800
× 100
105.272
× 100 = 106, 87
1600
1977
2400
× 100
115.212
× 100 = 130, 19
1600
1978
2800
× 100
132.194
× 100 = 132, 38
1600
1979
3000
× 100
145.921
× 100 = : 128. 49
1600
1980
3200
× 100
154.870
× 100 = 129, 14
1600
Se no exemplo tivessem sido dadas as taxas de variação do faturamento e do preço, o deflacionamento seria feito, primeiro transformando as taxas em índices.
Taxa
Índice
i (taxa nominal)
→
1+i
j (taxa de inflação)
→
1+j
Deflacionamento:
1+i
1+j
Exemplo 1.8
Na tabela abaixo temos o salário de um funcionário nos meses de janeiro a maio de 2002 e as
respectivas taxas de inflação mensal medidas pelo INPC:
Mês
dez-01
jan-02
fev-02
mar-02
abr-02
mai-02
Salário (R$)
3868,81
4060,03
4797,79
4540,89
4436,14
4436,14
INPC (%)
0,74
1,07
0,31
0,62
0,68
0,09
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
32
Vamos calcular o salário real a preços de dezembro de 2001 e também o índice do salário real com
base em dez-01. As taxas de inflação medem a variação mês t/mês t − 1. O primeiro passo, então,
consiste em calcular a série do INPC com base em dezembro de 2001. Em janeiro de 2002 a taxa
de inflação foi de 1,07%, com relação a dezembro de 2001, ou seja,
pjan−02
1, 07
= 1, 0107
=1+
pdez−01
100
Em fevereiro, temos que
e
pf ev−02
0, 31
= 1, 0031
=1+
pjan−02
100
pf ev−02
pf ev−02 pjan−02
=
×
= 1, 0107 × 1, 0031 = 1, 01383
pdez−01
pjan−02
pdez−01
Para março, temos:
pmar−02 pf ev−02 pjan−02
pmar−02
=
×
×
= 1, 0062 × 1, 0107 × 1, 0031 = 1, 02012
pdez−01
pf ev−02
pjan−02
pdez−01
Para abril:
pabr−02
pdez−01
=
pabr−02
pmar−02 pf ev−02 pjan−02
×
×
×
=
pmar−02
pf ev−02
pjan−02
pdez−01
= 1, 0068 × 1, 0062 × 1, 0107 × 1, 0031 = 1, 027056
e para maio:
pmai−02
pdez−01
=
pmai−02
pabr−02
pmar−02 pf ev−02 pjan−02
×
×
×
×
=
pabr−02
pmar−02
pf ev−02
pjan−02
pdez−01
= 1, 0009 × 1, 0068 × 1, 0062 × 1, 0107 × 1, 0031 = 1, 02798
Obtida a série do INPC com base em dezembro de 2001, para obter o salário real basta dividir o
salário nominal de cada mês pelo respectivo valor do índice:
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
Mês
Salário (R$)
33
%
INPC
dez-01=100
Salário real
a preços de dez-01
dez-01=100
dez-01
3868,81
0,74
100,000
3868, 81
× 100 = 3868, 81
100
3868, 81
× 100 = 100, 00
3868, 81
jan-02
4060,03
1,07
101,070
4060, 03
× 100 = 4017, 05
101, 070
4017, 05
× 100 = 103, 83
3868, 81
fev-02
4797,79
0,31
101,383
4797, 79
× 100 = 4732, 34
101, 383
4732, 34
× 100 = 122, 323
3868, 81
mar-02
4540,89
0,62
102,012
4540, 89
× 100 = 4451, 33
102, 012
4451, 33
× 100 = 115, 06
3868, 81
abr-02
4436,14
0,68
102,706
4436, 14
× 100 = 4319, 26
102, 706
4319, 26
× 100 = 111, 64
3868, 81
mai-02
4436,14
0,09
102,798
4436, 14
× 100 = 4315, 40
102, 798
4315, 40
× 100 = 111, 54
3868, 81
Ao deflacionarmos esses salários, estamos colocando todos eles na “mesma moeda”, ou seja, eles
são comparáveis para efeitos de poder de compra. É como se tivéssemos duas pessoas em dezembro
de 2001 ganhando, por exemplo, uma R$ 3668,81 e a outra R$ 4315,40; com essa comparação fica
claro que a segunda pessoa ganha mais que a primeira, ou seja, em termos reais, o salário de maio
de 2002 é maior que o salário de dezembro de 2001.
1.9.2
Poder aquisitivo
O poder aquisitivo de um determinado volume de unidades monetárias, com relação a uma certa
época base, é o seu valor deflacionado com referência a essa época base.
Consideremos novamente o exemplo visto no início da seção: em 1999 um quilo de carne custava
8,00 reais e em 2000, 10 reais. Se nos 2 anos dispuséssemos da mesma quantia de 250 reais para
comprar essa carne, em 1999 poderíamos comprar
250 R$
= 31, 25 kg
8 R$ / kg
e em 2000
250 R$
= 25 kg
10 R$ / kg
Logo, a relação entre as quantidades é
25
= 0, 80
31, 25
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
34
Isso significa que o poder aquisitivo (para esse único produto) caiu 20%. Note que:
25
=
31, 25
250 R$
10 R$ / kg
250 R$
8 R$ / kg
=
1
8
= 10
10
8
No denominador temos o relativo de preço da carne com base em 1999, ou seja, o poder aquisitivo
é obtido tomando-se o inverso do índice de preço escolhido.
Exemplo 1.9
Considere a série do IGP dada a seguir.
de 1977.
Ano IGP - 2000=100
2000
100
2001
110
2002
140
2003
150
2004
168
Calcule o poder aquisitivo de 1Cr$ com base no cruzeiro
Poder aquisitivo de 1R$ (2000=100)
(1/100) × 100 = : 1.0
(1/110) × 100 = : 0.909 09
(1/140) × 100 = : 0.714 29
(1/150) × 100 = : 0.666 67
(1/168) × 100 = : 0.595 24
Em 2002, 1R$ tem o mesmo poder aquisitivo de 0,71429 R$ de 2000, enquanto em 2004, 1R$$ tem
o poder aquisitivo de 0,59524 R$ em 1977.
Exemplo 1.10
O salário de um trabalhador foi reajustado em 80% em um dado período, enquanto a inflação
foi de 92% no mesmo período. Qual foi a perda do poder aquisitivo desse trabalhador?
Para resolver esse problema, temos que colocar ambas as taxas em forma de índice. Assim o
índice do salário real é
1, 8
= 0, 9375
1, 92
Logo, o poder aquisitivo do salário no final do período é igual a 0,9375 do poder aquisitivo no início
do período, o que equivale a uma perda de 6,25%.
1.10
Análise dos dados da PME
Nesta seção vamos analisar dois artigos publicados no jornal Folha de São Paulo, reproduzidos
mais adiante. Ambos se baseiam em resultados da Pesquisa Mensal de Emprego do IBGE e foram
publicados quando da divulgação dos resultados da PME referentes ao mês de dezembro de 2001. A
ênfase dos dois artigos é a queda do rendimento médio real do trabalhador. Vamos, então, analisar
as informações dadas nos artigos e descrever como os resultados foram obtidos a partir da PME.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
35
.
Uma das variáveis publicadas na PME é o rendimento médio nominal do trabalho principal,
estimado como uma média dos rendimentos individuais dos informantes da amostra. Estima-se
também o rendimento nominal médio dos trabalhadores com carteira assinada. Para estimar o
salário médio real, os salários nominais são deflacionados pelo INPC.
Na tabela 1 temos os dados necessários para a análise. Na primeira coluna temos os dados
oriundos da PME, onde os salários são dados na moeda corrente. Note que no período em estudo
houve duas mudanças de moeda: uma em agosto de 93 (cruzeiro para cruzeiro real) e outra em julho
de 94 (cruzeiro real para real).
A análise é feita com base nos salários reais, dando-se ênfase ao período do Plano Real (início
em julho de 1994). Vamos, então, calcular os salários médios reais com base em julho de 1994. Para
isso, temos inicialmente que calcular o INPC com base em julho de 1994. A forma mais fácil de
fazer isso é calcular, primeiro, o índice com base dez-92=1 e depois fazer a mudança de base. Os
dados e cálculos de mudança de base estão na Tabela 2.
• INPC- base: dez-92=1
Temos que acumular as inflações mensais, ou seja, primeiro transformamos as taxas em índices
e depois acumulamos mês a mês (ver exemplo 1.8).
Dez − 92 = 1
¶
µ
28, 77
= 1, 2877
Jan − 93 = 1 × 1 +
100
F ev − 93 = 1.2877 × 1.2479 = 1, 606921
M ar − 93 = 1.2877 × 1.2479 × 1.2758 = 2, 0501096
..
.
Jul − 94 = 1.2877 × 1.2479 × 1.2758 × · · · × 1, 0775 = 239, 681489
..
.
• INPC - base: jul-94=1
Para mudar a base, basta dividir toda a série pelo valor do índice (com base em dez-92) no
mês de julho de 1994, ou seja, temos que dividir toda a série pelo valor 239,68148900.
Podemos ver da Tabela 2 que a inflação acumulada desde o Plano Real até dezembro de 2001
é de 97,71%. Esta é a taxa correspondente ao índice do mês de dezembro, com base em julho de
1994. Este mesmo resultado pode ser obtido a partir do índice com base em dezembro de 1992,
simplesmente dividindo o índice de dezembro pelo índice de julho:
1, 9771 =
473, 8651
239, 6815
Como a série foi construída acumulando os índices mensais, esta divisão nos dá:
pdez−01
pdez−01
pdez−92
pjul−94 = p
jul−94
pdez−92
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
Figura 1.1: Artigos sobre a PME
36
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
jan/93
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
dez
jan/94
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
dez
jan/95
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
dez
Tabela 1
Rendimento médio nominal do trabalho principal das pessoas ocupadas
de 25 anos ou mais - Total das áreas - PME
Salário
Salário
nominal
nominal
Moeda
(Moeda
Moeda
(Moeda
Moeda
corrente
corrente)
e
corrente corrente)
corrente
Cr$
4287933,73 jan/96
R$
576,38 jan/99
R$
Cr$
5143301,54 frv
R$
587,91 fev
R$
Cr$
6619473,88 mar
R$
587,37 mar
R$
Cr$
8981479,19 abr
R$
594,71 abr
R$
Cr$
11389161,90 mai
R$
609,63 mai
R$
Cr$
14389468,98 jun
R$
619,36 jun
R$
Cr$
18710695,94 jul
R$
639,63 jul
R$
CR$
26478,71 ago
R$
644,18 ago
R$
CR$
36674,12 set
R$
636,43 set
R$
CR$
47894,50 out
R$
636,95 out
R$
CR$
67997,71 nov
R$
641,44 nov
R$
CR$
96592,30 dez
R$
686,66 dez
R$
CR$
130445,49 jan/97
R$
641,75 jan/00
R$
CR$
187295,51 fev
R$
642,73 fev
R$
CR$
288739,80 mar
R$
634,11 mar
R$
CR$
401208,65 abr
R$
649,94 abr
R$
CR$
558514,64 mai
R$
666,70 mai
R$
CR$
726230,00 jun
R$
664,50 jun
R$
R$
341,21 jul
R$
675,23 jul
R$
R$
363,88 ago
R$
684,17 ago
R$
R$
374,09 set
R$
618,18 set
R$
R$
371,02 out
R$
689,63 out
R$
R$
405,56 nov
R$
695,49 nov
R$
R$
440,53 dez
R$
744,11 dez
R$
R$
420,34 jan/98
R$
700,70 jan/01
R$
R$
435,78 fev
R$
696,29 fev
R$
R$
450,71 mar
R$
685,00 mar
R$
R$
467,60 abr
R$
679,52 abr
R$
R$
487,02 mai
R$
675,01 mai
R$
R$
499,44 jun
R$
682,89 jun
R$
R$
509,48 jul
R$
678,72 jul
R$
R$
521,96 ago
R$
685,74 ago
R$
R$
530,43 set
R$
685,86 set
R$
R$
537,86 out
R$
695,24 out
R$
R$
561,62 nov
R$
715,28 nov
R$
R$
600,62 dez
R$
758,10 dez
R$
37
Salário
nominal
(Moeda
corrente)
687,15
678,78
677,90
676,92
676,78
683,35
674,76
676,05
679,52
688,36
707,15
757,68
707,66
702,00
698,34
699,57
711,64
727,58
723,91
731,50
733,99
745,84
743,99
805,07
738,50
742,25
740,08
746,12
740,40
750,80
758,05
749,53
746,35
752,82
750,92
803,45
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
38
Tabela 2
INPC - Taxas de variação e índices dez-92=1 e jul-94=1
Mês
%
dez/92
jan/93
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
dez
jan/94
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
dez
jan/95
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
dez
28,77
24,79
27,58
28,37
26,78
30,37
31,01
33,34
35,63
34,12
36,00
37,73
41,32
40,57
43,08
42,86
42,73
48,24
7,75
1,85
1,40
2,82
2,96
1,70
1,44
1,01
1,62
2,49
2,10
2,18
2,46
1,02
1,17
1,40
1,51
1,65
INPC
dez-92=1
1,0000
1,2877
1,6069
2,0501
2,6317
3,3365
4,3498
5,6987
7,5986
10,3060
13,8224
18,7985
25,8911
36,5893
51,4336
73,5912
105,1324
150,0555
222,4422
239,6815
244,1156
247,5332
254,5137
262,0473
266,5021
270,3397
273,0701
277,4939
284,4035
290,3759
296,7061
304,0051
307,1059
310,6991
315,0489
319,8061
325,0829
jul-94=1
0,0042
0,0054
0,0067
0,0086
0,0110
0,0139
0,0181
0,0238
0,0317
0,0430
0,0577
0,0784
0,1080
0,1527
0,2146
0,3070
0,4386
0,6261
0,9281
1,0000
1,0185
1,0328
1,0619
1,0933
1,1119
1,1279
1,1393
1,1578
1,1866
1,2115
1,2379
1,2684
1,2813
1,2963
1,3144
1,3343
1,3563
jan/96
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
dez
jan/97
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
dez
jan/98
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
dez
%
INPC
dez-92=1
jul-94=1
1,46
0,71
0,29
0,93
1,28
1,33
1,20
0,50
0,02
0,38
0,34
0,33
0,81
0,45
0,68
0,60
0,11
0,35
0,18
-0,03
0,10
0,29
0,15
0,57
0,85
0,54
0,49
0,45
0,72
0,15
-0,28
-0,49
-0,31
0,11
-0,18
0,42
329,8291
332,1709
333,1342
336,2323
340,5361
345,0653
349,2060
350,9521
351,0223
352,3561
353,5542
354,7209
357,5941
359,2033
361,6459
363,8158
364,2160
365,4907
366,1486
366,0387
366,4048
367,4674
368,0186
370,1163
373,2623
375,2779
377,1167
378,8138
381,5412
382,1135
381,0436
379,1765
378,0010
378,4168
377,7357
379,3222
1,3761
1,3859
1,3899
1,4028
1,4208
1,4397
1,4570
1,4642
1,4645
1,4701
1,4751
1,4800
1,4920
1,4987
1,5089
1,5179
1,5196
1,5249
1,5276
1,5272
1,5287
1,5331
1,5354
1,5442
1,5573
1,5657
1,5734
1,5805
1,5919
1,5943
1,5898
1,5820
1,5771
1,5788
1,5760
1,5826
Continua...
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
39
Tabela 2 (Conclusão)
Mês
jan/99
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
dez
jan/00
fev
mar
abr
mai
jun
INPC
%
0,65
1,29
1,28
0,47
0,05
0,07
0,74
0,55
0,39
0,96
0,94
0,74
0,61
0,05
0,13
0,09
-0,05
0,30
dez-92=1
381,7878
386,7128
391,6628
393,5036
393,7003
393,9759
396,8913
399,0742
400,6306
404,4767
408,2788
411,3000
413,8090
414,0159
414,5541
414,9272
414,7197
415,9639
jul-94=1
1,5929
1,6134
1,6341
1,6418
1,6426
1,6437
1,6559
1,6650
1,6715
1,6876
1,7034
1,7160
1,7265
1,7274
1,7296
1,7312
1,7303
1,7355
jul/00
ago
set
out
nov
dez
jan/01
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
dez
INPC
%
1,39
1,21
0,43
0,16
0,29
0,55
0,77
0,49
0,48
0,84
0,57
0,60
1,11
0,79
0,44
0,94
1,29
0,74
dez-92=1
421,7458
426,8489
428,6844
429,3703
430,6154
432,9838
436,3178
438,4557
440,5603
444,2610
446,7933
449,4741
454,4632
458,0535
460,0689
464,3936
470,3843
473,8651
jul-94=1
1,7596
1,7809
1,7886
1,7914
1,7966
1,8065
1,8204
1,8293
1,8381
1,8535
1,8641
1,8753
1,8961
1,9111
1,9195
1,9375
1,9625
1,9771
Para obter a série dos índices do salário nominal com base em julho de 1994, vamos transformar
todos os salários para R$. Lembrando que 1CR$ = 1000 Cr$ e que 1R$ = 2750 CR$, as transformações se fazem da seguinte forma: os salários em Cr$ devem ser divididos por 1000 × 2750 e os
salários em CR$ devem ser divididos por 2750. Com todos os salários na mesma moeda, podemos
calcular os índices do salário nominal com base em julho de 1994 simplesmente dividindo todos os
salários pelo salário do mês de julho de 1994, que é igual a 341,21. Na tabela 3 temos os resultados.
Para obter a série de índices do salário real, basta dividir mês a mês a série de índices do salário
nominal pelo INPC com base em julho de 94. O resultado está na Tabela 4. Pequenas diferenças
podem ocorrer em função de arredondamentos, uma vez que os valores da tabela foram obtidos no
EXCEL, trabalhando com muitas casas decimais e depois arredondando para 6 casas decimais.
Jan − 93 :
0, 850577 =
0, 00456976
0, 00537255
F ev − 93 :
0, 817575 =
0, 005481
0, 006704
..
.
1
1
Jul − 94 :
1=
Ago − 94 :
1, 047069 =
..
.
1, 066440
1, 018500
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
Mês
jan/93
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
dez
jan/94
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
dez
jan/95
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
dez
Tabela 3
Rendimento médio nominal do trabalho principal das pessoas ocupadas
de 25 anos ou mais - Total das áreas - PME - R$ e índice jul-94=1
Salário
Mês
Salário
Mês
Salário
R$
jul-94=1
R$
jul-94=1
R$
jul-94=1
1,559249 0,004570
jan/96 576,38 1,689224 jan/99 687,15 2,013862
1,870291 0,005481
frv
587,91 1,723015 fev
678,78 1,989322
2,407081 0,007055
mar
587,37 1,721433 mar
677,90 1,986753
3,265992 0,009572
abr
594,71 1,742944 abr
676,92 1,983881
4,141513 0,012138
mai
609,63 1,786671 mai
676,78 1,983471
5,232534 0,015335
jun
619,36 1,815187 jun
683,35 2,002726
6,803889 0,019940
jul
639,63 1,874593 jul
674,76 1,977550
9,628622 0,028219
ago
644,18 1,887928 ago
676,05 1,981331
13,336044 0,039085
set
636,43 1,865215 set
679,52 1,991501
17,416182 0,051042
out
636,95 1,866739 out
688,36 2,017409
24,726440 0,072467
nov
641,44 1,879898 nov
707,15 2,072477
35,124473 0,102941
dez
686,66 2,012426 dez
757,68 2,220568
47,434724 0,0139019 jan/97 641,75 1,880807 jan/00 707,66 2,073972
68,107458 0,199606
fev
642,73 1,883679 fev
702,00 2,057384
104,996291 0,307718
mar
634,11 1,858416 mar
698,34 2,046657
145,894055 0,427578
abr
649,94 1,904809 abr
699,57 2,050262
203,096233 0,595224
mai
666,70 1,953929 mai
711,64 2,085636
264,083636 0,773962
jun
664,50 1,947481 jun
727,58 2,132353
341,21 1,000000
jul
675,23 1,978928 jul
723,91 2,121597
363,88 1,066440
ago
684,17 2,005129 ago
731,50 2,143841
374,09 1,096363
set
618,18 1,996366 set
733,99 2,151139
371,02 1,087366
out
689,63 2,021131 out
745,84 2,185868
405,56 1,188887
nov
695,49 2,038305 nov
743,99 2,180446
440,53 1,291082
dez
744,11 2,180798 dez
805,07 2,359456
420,34 1,231910
jan/98 700,70 2,053574 jan/01 738,50 2,164356
435,78 1,277161
fev
696,29 2,040649 fev
742,25 2,175347
450,71 1,320917
mar
685,00 2,007561 mar
740,08 2,168987
467,60 1,370417
abr
679,52 1,991501 abr
746,12 2,186689
487,02 1,427332
mai
675,01 1,978283 mai
740,40 2,169925
499,44 1,463732
jun
682,89 2,001377 jun
750,80 2,200404
509,48 1,493157
jul
678,72 1,989156 jul
758,05 2,221652
521,96 1,529732
ago
685,74 2,009730 ago
749,53 2,196682
530,43 1,554556
set
685,86 2,010082 set
746,35 2,187363
537,86 1,576331
out
695,24 2,037572 out
752,82 2,206325
561,62 1,645966
nov
715,28 2,096304 nov
750,92 2,200756
600,62 1,760265
dez
758,10 2,221799 dez
803,45 2,354708
40
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
Mês
jan/93
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
dez
jan/94
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
dez
jan/95
fev
mar
Salário Real
jul-94=1
0,850577
0,817575
0,824758
0,871741
0,871928
0,844998
0,838680
0,890108
0,908971
0,885080
0,923958
0,952954
0,910657
0,930166
1,002215
0,974796
0,950742
0,833944
1,000000
1,047069
1,061586
1,023998
1,087415
1,161148
1,092204
1,121001
1,140924
Tabela 4
Rendimento Médio Real - Índice jul-94=1
Mês
Salário Real
Mês
Salário Real
jul-94=1
jul-94=1
abr/95
1,154921
jul/97
1,295410
mai
1,178146
ago
1,312955
jun
1,182414
set
1,305911
jul
1,177224
out
1,318287
ago
1,193883
nov
1,327498
set
1,199225
dez
1,412250
out
1,199234
jan/98
1,318654
nov
1,233584
fev
1,303317
dez
1,297832
mar
1,275932
jan/96
1,227532
abr
1,260054
fev
1,243260
mai
1,242743
mar
1,238526
jun
1,255368
abr
1,242449
jul
1,251206
mai
1,257523
ago
1,270372
jun
1,260825
set
1,274545
jul
1,286648
out
1,290557
ago
1,289354
nov
1,330151
set
1,273587
dez
1,403883
out
1,269803
jan/99
1,264277
nov
1,274421
fev
1,232972
dez
1,359777
mar
1,215811
jan/97
1,260632
abr
1,208374
fev
1,256901
mai
1,207520
mar
1,231668
jun
1,218390
abr
1,254887
jul
1,194237
mai
1,285832
ago
1,189975
jun
1,277119
set
1,191436
41
Mês
out/99
nov
dez
jan/00
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
dez
jan/01
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
dez
Salário Real
jul-94=1
1,195460
1,216655
1,294017
1,201261
1,191058
1,183310
1,184328
1,205365
1,228677
1,205720
1,203796
1,202722
1,220187
1,213641
1,306095
1,188941
1,189151
1,180011
1,179732
1,164052
1,173363
1,171688
1,149438
1,139547
1,138722
1,121382
1,191014
A partir dos dados do salário real da Tabela 4 podemos obter os vários resultados citados nos
artigos. Vamos analisar inicialmente o artigo do economista Lauro Ramos. A questão levantada por
ele tem a ver com as possibilidades de se trabalhar com a taxa média ou com a taxa ponta a ponta.
Trabalhar com a taxa anual média significa considerar a taxa de variação dos salários médios de
dois anos consecutivos, isto é, para cada ano calcula-se a média dos índices do salário real e depois
calcula-se a taxa de variação anual. Na tabela 5 temos esses resultados.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
Ano
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
42
Tabela 5
Média anual Variação anual %
0,873444
0,998645
14,3
1,180883
18,3
1,268642
7,4
1,294946
2,07
1,289732
-0,4
1,219094
-5,5
1,212180
-0,6
1,165587
-3,8
Por exemplo, o valor 0,873444 foi obtido como
0, 873444 =
0, 850577 + 0, 817575 + · · · + 0, 952954
12
e a taxa de variação para 1994 é
14, 3 = 100 ×
µ
¶
0, 998645
−1
0, 873444
Estas são as taxas que aparecem no gráfico superior. Há diferenças para os anos de 1994 e 1995
em função de inconsistências nos dados, provavelmente por causa da mudança de moeda.
No segundo gráfico temos as taxas ponta a ponta, que se referem a variações de cada mês com
relação ao mesmo mês do ano anterior. Para os meses de dezembro, que aparecem no gráfico, estes
valores são obtidos dividindo-se os índices do salário real de dezembro de um ano pelo de dezembro
do ano anterior, conforme ilustrado na tabela 6.
Mês
dez-95
dez-96
dez-97
dez-98
dez-99
dez-00
dez-01
Tabela 6
Taxa
ponta¶ a ponta
µ
1, 29783176
− 1 × 100 = 11, 8
1, 16114823
µ
¶
1, 35977715
− 1 × 100 = 4, 8
1, 29783176
µ
¶
1, 40388326
− 1 × 100 = −0, 6
1, 41225043
µ
µ
µ
µ
¶
1, 41225043
− 1 × 100 = 3, 8
1, 35977715
¶
1, 29401651
− 1 × 100 = −7, 8
1, 40388326
¶
1, 30609488
− 1 × 100 = 0, 9
1, 29401651
¶
1, 19101399
− 1 × 100 = −8, 8
1, 30609488
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
43
Com relação ao artigo de Pedro Soares, da Sucursal Rio, a queda de 3,9% refere-se à taxa de
variação calculada em cima do rendimento médio (ver tabela 5). A interpretação da frase sublinhada
é a seguinte: acumulando as perdas nos três anos, resulta uma perda de 9,7%. Para obter esse
número, temos que acumular os índices relativos a estas taxas, ou seja:
¶ µ
¶ µ
¶
µ
(−0, 6)
(−3, 9)
(−5, 5)
× 1+
× 1+
= 0, 90269613
1+
100
100
100
que corresponde a uma taxa de
100 × (0, 90269613 − 1) = −9, 7%
A interpretação da expressão “somadas as perdas” tem que ser feita com cuidado; na verdade,
estamos acumulando as variações.
Finalmente, podemos ver que, desde o início do Plano Real, há uma expansão de 19,1% (no
artigo, o número que aparece é 18,6%) do salário médio real, que pode ser obtida a partir do índice
de dezembro de 2001, já que esse índice tem como base julho de 1994.
1.11
O Índice Nacional de Preços ao Consumidor - INPC
Nesta seção apresentaremos um resumo da metodologia de cálculo do Índice Nacional de Preços ao
Consumidor - INPC - produzido pelo IBGE. O INPC é calculado a partir dos Índices de Preços ao
Consumidor Metropolitanos e um de seus principais objetivos é fornecer subsídios para as políticas
de reajuste de salários. Ele é divulgado mensalmente pelo IBGE, basicamente em forma de taxa de
variação mensal, que reflete a variação dos preços entre um mês qualquer e o mês imediatamente
anterior. Informações sobre metodologia de cálculo, séries históricas dos índices, calendário de
divulgação etc, podem ser obtidas na página do IBGE no endereço www.ibge.gov.br.
1.11.1
Índice de Custo de Vida e Índice de Preços ao Consumidor
As famílias possuem um padrão de vida e um respectivo custo de vida. O padrão de vida de uma
família pode ser caracterizado pela quantidade de bens que ela consome, ou seja, pela sua cesta de
compras. O custo de vida, por sua vez, corresponde ao total das despesas efetuadas para se manter
um certo padrão de vida. Quando ocorrem variações nos preços das mercadorias que compõem a
cesta de compras, ocorre também uma variação no custo de vida, que é medida pelo Índice do Custo
de Vida.
Por definição, o custo de vida é a despesa referente à cesta de compras mais barata dentre as
que refletem um mesmo padrão de vida, mas é impossível determinarmos quais cestas refletem um
mesmo padrão de vida, pois essa é uma determinação social. Sendo assim, torna-se impossível medir
o verdadeiro Índice do Custo de Vida. No entanto, podemos considerar que as famílias despendem
seu dinheiro de forma a obter, aproximadamente, o melhor padrão de vida e, assim, o preço da cesta
de compras efetivamente adquirida é aproximadamente igual ao custo de vida. Desta forma, uma
variação dos preços ao consumidor é aproximadamente igual a uma variação do custo de vida e,
portanto, podemos considerar o índice de preços ao consumidor como uma aproximação do índice
do custo de vida.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
1.11.2
44
Conceitos básicos
Os principais conceitos envolvidos no cálculo de um índice de preços ao consumidor são os seguintes:
• População objetivo: parte da população para a qual se quer fazer o estudo da variação de
preços.
• Cesta de compras: é formada pelo conjunto de mercadorias e respectivas quantidades que uma
famíla consome durante um certo período de tempo.
• Padrão de vida: é caracterizado pela quantidade de bens que uma famíla consome, ou seja,
pela sua cesta de compras.
• Custo de vida: é o total das despesas efetuadas para se manter determinado padrão de vida,
sendo o total dessas despesas referido à cesta mais barata dentre as cestas que refletem o
mesmo padrão de vida.
• Cesta padrão: é a união das cestas de compras de toda a população objetivo.
• Índice de custo de vida (ICV): mede a variação percentual que o salário deve sofrer para
possibilitar a manutenção do mesmo padrão de vida.
• Índice de preços ao consumidor (IPC): mede a variação dos preços da cesta efetivamente
adquirida pelas famílias, o que pressupõe que os consumidores não substituem os produtos,
isto é, que não existe nenhuma cesta equivalente à cesta efetivamente adquirida.
• Cadastro de Locais: relação dos locais onde serão coletados os preços para o cálculo do IPC.
• Cadastro de Produtos: é uma relação contendo uma amostra das mercadorias consumidas pelas
famílas da população objetivo e dos estabelecimentos onde essas mercadorias são adquiridas.
• Equipe de coleta: é a equipe responsável pela coleta mensal dos preços.
1.11.3
Metodologia de Cálculo do INPC
A identificação da população objetivo é conseqüência da utilização que será dada ao índice e de
algumas restrições de ordem prática. Em geral, o índice é utilizado para correção de salários.
Como as famílias de renda mais baixa são mais sensíveis ao aumento de preços, elas devem estar
seguramente representadas no índice, através de suas cestas de compras. Além disso, a grande
maioria dos trabalhadores sujeitos à legislação encontra-se nos centros urbanos e apenas nesses
centros urbanos é possível identificar o comércio com características definidas de modo a possibilitar
o acompanhamento dos preços. Sendo assim, a população objetivo do INPC é formada pelas famílias
com chefes assalariados, residentes nos centros urbanos, com rendimento monetário disponível de 1
a 8 salários mínimos.
Para calcular um índice de preços, é necessário responder duas perguntas: (1) De quais produtos
devem ser coletados os preços? (2) Onde devem ser coletados os preços? Para isso, determina-se
a cesta padrão a partir de uma amostra de domicílios extraída da população objetivo2 , obtendose a relação dos produtos a serem pesquisados. Esses produtos são classificados hierarquicamente
em grupos, subgrupos, itens e subitens. Por exemplo, laranja é um subitem do item frutas, que
pertence ao subgrupo alimentação no domicílio, que por sua vez faz parte do grupo alimentação.
2
Esse levantamento é feito pela Pesquisa de Orçamentos Familiares (POF), também realizada pelo IBGE.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
45
A partir de pesquisas específicas3 complementa-se o Cadastro de Informantes, acrescentando-se os
locais de compra e a especificação completa de cada produto a ser pesquisado. Com esse cadastro,
a equipe de coleta faz o levantamento mensal de preços em cada uma das 11 regiões metropolitanas
contempladas pela pesquisa (ver Fig. 1.2 mais adiante), que são utilizados no cálculo dos IPCs
metropolitanos. O INPC é calculado como uma média ponderada dos IPCs metropolitanos, com os
pesos definidos a partir da população residente.
1.11.4
Fórmulas de Cálculo dos IPCs metropolitanos
A seguir descrevem-se as fórmulas de cálculo de cada IPC metropolitano, válidas para a maioria dos
produtos pesquisados.4 A metodologia básica consiste na aplicação da fórmula de Laspeyres, com a
estrutura de pesos definida a partir Pesquisa de Orçamentos Familiares.
O nível mais desagregado para o qual se tem peso explícito é o de subitem e cada peso representa
a participação na despesa total. O peso Wk do subitem k é dado por:
Wk =
n
P
e=1
n
P
Xek
(1.45)
Xe
e=1
onde
• n = número total de famílias
• Xej = despesa da famíla e com o subitem j
• Xe = despesa total da família e
Definindo o peso wek do subitem k na famíla e como
wek =
Xek
Xe
podemos escrever o peso do subitem k como
Wk =
n
P
wek Xe
e=1
n
P
e=1
=
Xe
n
X


 Xe 

wek 
n
P

e=1
Xe
(1.46)
e=1
ou seja, o peso agregado do subitem k é uma média ponderada dos pesos do subitem de todas as
famílias, com o peso definido pela participação de cada família na despesa total das famílias.
3
Pesquisa de Locais de Compra (PLC) e Pesquisa de Especificação de Produtos e Serviços (PEPS)
Existem alguns subitens e itens que recebem tratamento especial, dadas as suas peculiaridades. Alguns exemplos
de subitens especiais são os aluguéis, serviços públicos, empregado doméstico. Nos itens Tubérculos, Raízes e Legumes;
Hortaliças e Verduras; Frutas, o tratamento especial é devido à característica sazonal.
4
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
46
Cálculo em nível de produto
A estimativa da variação mensal dos preços do produto j entre os meses t − 1 e t é dada pelo relativo
j
do preço médio do produto, calculado como a razão do preço médio do produto j no período
rt−1,t
t pelo preço médio no período t − 1 ao longo de todos os locais:
j
rt−1,t
=
j
Pt
j
P t−1
=
nt P j,
P
t
=1 nt
nP
t−1
=1
onde
j,
Pt−1
nt−1
(1.47)
j
• P t = preço médio do produto j no mês t, ao longo de todos os locais
• nt = número de locais que compõem a amostra do produto j no mês t
Embora na fórmula (1.47) apareça o número de locais nos meses t e t − 1, na prática é feita
(quando necessário) imputação de dados para manter o painel de informantes fixo nos dois meses
consecutivos.
Cálculo em nível de subitem
k
do subitem k entre os meses t − 1 e t como a média geométrica
Calcula-se o relativo de preços Rt−1,t
dos relativos dos preços médios dos J produtos que o compõem:
s
J
Q
j
k
= J
rt−1,t
(1.48)
Rt−1,t
j=1
onde m = número de produtos que compõem o subitem k.
É interessante lembrar que o índice de média geométrica satisfaz a propriedade circular, de modo
k × R k × · · · × Rk
k
que R0,1
1,2
t−1,t = R0,t . Esse resultado será usado no cálculo do índice em nível de
item.
Cálculo em nível de item
m do item m é calculado pela fórmula de Laspeyres, utilizando-se os relativos
O índice de preços I0,t
de preços e pesos dos K subitens que o compõem:
m
I0,t
=
K
P
k
W0k R0,t
k=1
K
P
k=1
(1.49)
W0k
Essa fórmula fornece a variação de preços do item m no período completo, desde o período base
até o momento atual. Na prática, é necessário obter variações para períodos menores, tais como
variações mensais. Neste caso, temos que
m
=
It−1,t
K
P
k=1
k Rk
Wt−1
t−1,t
K
P
k=1
onde
(1.50)
k
Wt−1
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
47
m
= índice de preços do item m entre os meses t − 1 e t
• It−1,t
k = peso do subitem k, referente ao período t − 1,definido para t ≥ 2 por
• Wt−1
t−2
Q
k
Wt−1
= W0k
l=0
k
Rl,l+1
(1.51)
m
Il,l+1
m
Acumulando-se os índices mensais It−1,t
dados pela fórmula (1.50), obtém-se o índice do período
total dado pela fórmula (1.49), conforme se demonstra a seguir para o caso de três períodos.
m
m
m
× I1,2
× I2,3
=
I0,1
K
P
k
W0k R0,1
k=1
K
P

k=1
K
P
W0k
k=1
=
k=1
k
W1k R1,2
k=1
K
P
k=1

W0k
W1k
K
P
k=1
k
W2k R2,3
k=1
K
P
=
W2
k=1
W0k
k Rk Rk
W0k R0,1
1,2 2,3
K
P
×
K
P
 K

k
k Rk
R0,1
P k R0,1
1,2 k
k
W0 m m R2,3 
m R1,2  
I0,1
I0,1 I1,2
  k=1
  k=1



=
k
k Rk
K
K

 P


R
R
P
0,1
0,1
1,2
W0k m
W0k m m
I0,1
I0,1 I1,2
k=1
k=1
k
W0k R0,1



=  k=1K
 P
K
P
×
K
P
=
W0k
K
P
k
W0k R0,3
k=1
K
P
k=1
W0k
m
Note que nessa dedução foram feitas simplificações (os termos do tipo It−1,t
se cancelam, o que
permite a simplificação dos termos restantes) e foi usada a propriedade de circularidade do índice
de média geométrica.
Cálculo do IPC metropolitano
A
da região metropolitana A entre os meses t − 1 e t é
O índice de preços ao consumidor IP Ct−1,t
calculado pela fórmula de Laspeyres, considerando os índices dos M itens relevantes. Novamente o
índice para períodos maiores é calculado pelo encadeamento dos índices mensais t/(t − 1):
A
=
IP Ct−1,t
M
P
m=1
m m
Wt−1
It−1,t
m de cada item é definido de modo análogo ao peso do subitem, considerando-se os
onde o peso Wt−1
resultados dos itens.
1.11.5
Cálculo do INPC
O INPC é uma média ponderada dos IPCs metropolitanos, com o peso de cada região sendo definido
em termos da população urbana residente, com base nos dados da Contagem Populacional de 1996.
A fórmula de cálculo é
11
P
A
ω A IP Ct−1,t
INP Ct−1,t =
A=1
Na Fig. 1.2 ilustra-se o peso de cada região metropolitana no INPC e na Fig. 1.3 exibe-se a
participação dos diversos grupos no INPC.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
48
Figura 1.2: Estruturas regionais de ponderação para cálculo do INPC
30
25
20
15
10
5
0
Belém
Fortaleza
Recife
Salvador
Belo
Horizonte
Rio de
Janeiro
São Paulo
Curitiba
Porto
Alegre
Goiânia
Brasília
30
25
20
15
10
5
0
Alimentação
e Bebidas
Habitação
Transportes
Saúde e
Cuidados
Pessoais
Artigos de
Residência
Despesas
Pessoais
Figura 1.3:
Vestuário
Educação
Comunicação
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
1.12
49
Exercícios propostos do capítulo
Seções 1.1 a 1.4
1. Nas tabelas abaixo temos o PIB nominal do Brasil em milhões de cruzados. Determine os
índices e as taxas de crescimento nominal do PIB nos períodos.
Ano PIB (1000 R$) Ano
1980
914.188 2002
1.101.255 2004
2000
Fonte: www.ipeadata.gov.br
PIB (1000 R$)
1.346.028
1.769.202
2. Na tabela abaixo temos as esperanças de vida no Brasil. Determine os índices com base em
1980 e as taxas de crescimento da esperança de vida nos períodos considerados.
Ano Esperança de vida
Ano Esperança de vida
1980
62,7
2000
70,4
66,6
2005
71,9
1990
Fonte:www.ibge.gov.br/Tábuas Completas de Mortalidade - Notas Técnicas - Tabela 10
3. Considere os dados da tabela abaixo.
Anos
Relativos de preço 1994=100
Relativos de quant. 1996=100
1994
100
90
1995
102
98
1996
112
100
1997
115
110
1998
125
120
(a) Calcule os relativos de preço e quantidade com base 1998=1. Que propriedades você
utilizou nos seus cálculos?
(b) Calcule os relativos de valor com base 1998=1. Que propriedade você utilizou nos seus
cálculos?
4. Uma empresa deseja aumentar as vendas (quantidades) em 60%. Qual deve ser a variação de
preço para que o faturamento duplique?
5. Se a queda de vendas esperada de um produto de uma certa empresa for igual a 10% com
relação ao desempenho atual, qual o aumento percentual de preços que permitirá manter o
faturamento no mesmo nível do atual?
6. Um jornal publicou a tabela abaixo com o seguinte comentário: “A produção de soja aumentou
50% em 1978 com relação a 1976, e 117% em 1979 com relação a 1978”. Essa afirmação é
correta?
Ano Quantidade (t)
1976
750
1.000
1977
1.500
1978
1.750
1979
7. Se, em 2004, uma empresa vendeu uma quantidade de mercadoria 60% superior a de 2003,
em quanto por cento a quantidade de mercadoria vendida em 2003 é inferior à de 2004? Que
propriedade você usou?
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
50
8. Um vendedor vendeu em março 25% mais do que no mês anterior. Quanto por cento ele
vendeu a menos em fevereiro, com relação a março? Que propriedade você usou?
9. Se o preço de um produto aumentou 20% e a quantidade vendida também aumentou em 20%,
qual o aumento percentual do faturamento da empresa com esse produto? Que propriedade
você usou?
10. Uma companhia de turismo espera, para o próximo verão, um aumento de 50% na procura
de seus pacotes turísticos. Em quanto ela deverá aumentar seus preços se desejar dobrar seu
faturamento?
11. Se essa mesma companhia esperasse uma queda de 15% na procura de seus pacotes turísticos,
em quanto ela deveria aumentar seus preços para manter inalterado seu faturamento?
12. Se essa companhia vender, este ano, 25% a menos de seus pacotes turísticos do que vendeu no
ano passado, quantos por cento as vendas do ano passado serão maiores que as deste ano?
13. Em 2004, o preço de um produto aumentou 12% com relação ao preço de 2003, enquanto a
quantidade vendida no mesmo período diminuiu de 6%. Qual foi a variação percentual do
valor do produto nesse período?
14. Um veículo utilizando gasolina consegue andar, em média, 30% mais do que utilizando álcool.
(a) Se o preço do álcool é 35% inferior ao da gasolina, para percorrer a mesma distância,
qual o combustível mais econômico e em que porcentagem?
(b) Se o proprietário do veículo gasta em média R$100 mensais com gasolina, qual será seu
gasto mensal se trocar o veículo a gasolina por outro a álcool, supondo que percorrerá os
mesmos trajetos sob as mesmas condições?
15. Se um veículo a gasolina percorre uma distância 30% superior a outro da mesma marca que
se utiliza de álcool, quanto espaço esse último anda menos do que o primeiro?
16. Considere as seguintes épocas: 1998, 2000 e 2004. Em 1998, o preço de um bem foi 10% menor
do que o preço do mesmo bem em 2000 e, em 2004, 20% superior ao de 2000. Qual será o
aumento de preço em 2004 com base em 1998? Que propriedades você usou?
17. Suponha que um índice de preços tenha tido as seguintes variações com relação ao ano imediatamente anterior:
1999: cresceu 9%
2000: cresceu 6%
2001: cresceu 8%
Qual o aumento de preço de 2001 com relação a 1998? Que propriedades você usou?
18. Uma funcionária tem um salário anual de R$10.000,00, mas é informada de que terá uma redução salarial de 10% em virtude da queda dos lucros da empresa. Entretanto, ela é informada
de que terá um aumento de 10% no próximo ano. Ela aceita, acreditando que a situação não
se afigura tão ruim, pois a redução inicial de 10% será compensada pelo aumento posterior de
10%.
(a) Qual será a renda anual da funcionária após a redução de 10%?
(b) No próximo ano, qual será a renda anual da funcionária após o aumento de 10%?
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
51
(c) A redução inicial de 10% seguida do aumento posterior de 10% restitui à funcionária a
renda anual de R$10.000,00?
(d) Qual deverá ser o aumento adicional para que a funcionária volte a ter uma renda anual
de R$10.000,00?
19. Um dono de hotel informou que, em setembro, iria reduzir o preço das diárias de seu hotel em
25%, em comparação com o mês anterior. Ele não disse, mas tal medida teve que ser tomada
porque, em agosto, os hóspedes o denunciaram ao Procon (é que, aí, o dono do hotel tinha
reajustado as diárias em 50%, em relação a julho). Determine os preços relativos das diárias
em agosto e setembro, tomando julho como mês de referência.
20. As lojas Pirani venderam, em novembro, 50 televisores Colorado, ao preço unitário de US$350,00.
Em dezembro, os mesmos televisores eram vendidos a US$500,00 a unidade, razão pela qual
só foram vendidas 30 unidades. Determine os índices de preço, quantidade e valor com base
em novembro.
21. Dada a tabela abaixo, determine os relativos de preço, quantidade e valor, tomando como
data-base:
(a) janeiro
(b) julho
(c) dezembro
Mês
jan.
fev.
mer.
abr.
mai.
jun.
Preço
5.292
5.436
5.949
6.411
6.407
6.869
Quantidade
201
215
210
219
230
227
Mês
jul.
ago.
set.
out.
nov.
dez.
Preço
6.891
7.156
7.616
8.315
9.223
9.815
Quantidade
229
226
228
217
225
231
22. Considere os seguintes elos de relativo (ou índice mês/mês anterior):
Anos
Índices
1995
122
1996
109
1997
104
1998
102
Calcule os índices com base em 1996 e 1994. Que propriedades você usou?
23. O índice constante da tabela abaixo foi calculado com base móvel, isto é, são dados os elos de
relativos:
Anos
1998 1999 2000 2001
Índices 102
109
106
108
Calcule os índices com base em 2001, 1999 e 1997. Que propriedades você usou?
24. A inflação acumulada até o mês de abril (inclusive) de determinado ano foi 24,73%. Em abril,
a taxa de inflação foi de 5,7% sobre março. Se essa taxa se mantiver para os próximos 8 meses,
qual será a taxa de inflação do ano?
25. Dadas as variações mensais de um índice de preços, isto é, os elos de relativos, calcule:
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
52
(a) a variação acumulada até o mês de dezembro;
(b) a taxa média mensal de variação.
Mês
%
Jan
2,0
Fev
3,2
Mar
-2,5
Abr
5,1
Mai
10,2
Jun
-5,8
Jul
-4,3
Ago
1,5
Set
6,0
Out
7,1
Nov
8,3
Dez
15,1
26. O valor do salário de um operário em janeiro de determinado ano é de R$482,00. Segundo
as planilhas da empresa, haverá aumentos de 3%, 4,2% e 5% a cada trimestre (aumentos nos
salários de abril, julho e outubro). Em dezembro, qual o valor do 13o salário deste operário?
27. A tabela a seguir apresenta a evolução do IGP, no período de 1995 a 2004. Calcular a taxa de
variação média anual do IGP no período.
Ano
IGP-DI (ago/94=100)
1995
117
1996
131
1997
141
1998
146
1999
163
2000
185
2001
205
2002
232
2003
285
2004
312
Fonte: www.ipeadata.gov.br
28. A tabela abaixo refere-se à produção brasileira de laminados de aço, em milhares de toneladas,
no período de 1995 a 2000. Calcule os relativos de quantidade para o período considerado,
tomando 2000 como base.
Anos
Produção de laminados (1000t)
1995
15889
1996
16733
1997
17452
1998
16336
1999
16810
2000
18202
Fonte: www.ipeadata.gov.br (IBS/IE)
29. A quantidade relativa de certo produto no ano de 2000, referida ao de 1991, é igual a 105,
enquanto que a de 2000, referida a 1995, é 140. Determine a quantidade relativa de 1995,
tomando como base o ano de 1991.
30. Sejam os seguintes elos de relativos de preços no período de 2000 a 2004: 105, 103, 108, 110 e
104.
(a) Determinar o preço relativo de 2002, tomando por base o ano de 1999.
(b) Encadear os elos relativos, tomando por base o ano de 2000.
(c) Qual a interpretação do valor obtido para o ano de 2004?
Seção 1.5
31. Dados os preços de cinco produtos, determinar o índice de preço usando o método agregativo
simples (Bradstreet) e tomando o ano de 2000 como base.
Bens
A
B
C
D
E
2000
17,00
19,36
15,18
99,32
12,15
Preços
2001
26,01
41,88
15,81
101,26
13,49
2002
27,52
29,99
14,46
96,17
11,40
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
53
32. Com os dados do problema anterior, determine os índices de preço, com base em 2000, usando
os métodos das médias aritmética, geométrica e harmônica simples.
33. Dadas as tabelas abaixo, calcular os índices agregativos, com base em T0 , baseados nas médias
aritmética, geométrica e harmônica.
(a)
T0
T1
Produtos
Unidade Preço Quantidade Preço Quantidade
carnes
kg
155,70
2,0 191,50
1,3
un.
15,00
4,0
20,00
5,0
frutas
lata
122,25
1,0 170,00
1,0
azeite
bebidas
gr.
42,00
6,0
50,00
10,0
vd.
35,00
2,0
40,60
1,0
limpeza
bc.
10,00
2,0
10,00
3,0
legumes
dz.
46,00
1,0
66,40
2,0
ovos
sc.
30,00
1,0
35,00
1,0
amendoim
sal
kg
25,00
1,0
28,00
1,0
un.=unidade; vd=vidro; gr.=garrafa; bc=bacia; sc.=saco
(b)
Produtos
leite
pão
café
açucar
Unidade
lt.
un.
g.
kg
Preço
36,00
6,00
76,00
19,00
t=0
Quantidade
2
3
500
2
Preço
42,00
8,00
92,00
25,00
t=1
Quantidade
3
5
500
1
34. Verifique se os índices baseados nas médias artimética, geométrica e harmônica simples satisfazem o critério da decomposição das causas.
35. Usando o fato de que podemos escrever
n=
n
X
i=1
1=
n
X
pi
0
i
p
i=1 0
=
n
X
pi
t
i=1
pit
mostre que os índices de preço baseados nas médias artimética e harmônica podem ser escritos
como:
n
n
X
X
1
1
i
pt × i
pit × i
p0
pt
i=1
i=1
pA
pH
0,t = X
0,t = X
n
n
1
1
pi0 × i
pi0 × i
p0
pt
i=1
i=1
1
1
e i , lembrando que valor = preço × quantidade.
i
p0 pt
Usando esse fato, interprete o significado de cada um dos índices de preço.
Dê uma interpretação para os termos
36. Resolva o exercício anterior, trabalhando agora com índices de quantidade.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
54
37. Suponha que um índice de preços, comparando os preços entre o instante base t = 0 e um
instante posterior t = 1, e baseado na média artimética simples, tenha sido calculado com
base em n produtos. Suponha que se queira acrescentar um novo produto. Mostre como obter
o novo índice.
38. Resolva o problema anterior, trabalhando agora com o índice baseado na média geométrica
simples.
Seções 1.6 e 1.7
39. Considere os dados da tabela abaixo.
Produto
Unidade
batata
carne
óleo
queijo
cerveja
vinho
kg
kg
l
kg
garrafa
garrafa
t=0
Preço Quant.
65,00
5,0
560,00
1,5
155,00
2,0
350,00
0,5
95,00
12,0
470,00
2,0
t=1
Preço Quant.
90,00
2,00
795,00
2,00
205,00
5,00
500,00
0,25
130,00
6,00
685,00
3,00
t=2
Preço Quant.
120,00
3,0
999,00
3,0
280,00
1,0
690,00
1,0
150,00
18,0
865,00
1,0
(a) Obtenha os pesos para o cálculo dos índices de Laspeyres e Paasche com base em t = 0,
t = 1 e t = 2.
(b) Calcule os índices de preço e quantidade de Laspeyres e Paasche com base em t = 0,
t = 1 e t = 2.
(c) Use esses resultados para mostrar que os índices de Laspeyres e Paasche não satisfazem
as propriedades de circularidade e reversibilidade.
(d) Calcule os índices de valor com base em t = 0, t = 1 e t = 2.
(e) Use os resultados para mostrar que os índices de Laspeyres e Paasche não satisfazem a
propriedade de decomposição das causas.
(f) Verifique, com esses dados, que os índices cruzados de Laspeyres e Paasche satisfazem a
propriedade de decomposição das causas.
40. Os dados abaixo referem-se às quantidades produzidas (toneladas) e os preços médios por
quilograma recebidos por certos produtores.
Produtos
A
B
C
D
E
2001
pt
5,00
10,00
3,50
4,10
8,00
qt
100
50
120
200
180
2002
pt
6,00
15,00
5,80
6,00
10,80
qt
100
60
130
250
200
2003
pt
10,00
15,00
6,60
7,00
11,50
qt
120
70
110
260
200
Calcule:
(a) os índices de preço e quantidade de Sauerbeck com base em 2001;
(b) os índices de preço e quantidade de Laspeyres com base em 2001;
(c) os índices de preço e quantidade de Paasche com base em 2001.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
55
41. De acordo com o princípio da decomposição das causas, qual a variação de um índice de valor
se o índice de preços de Paasche cresceu 20% e o de quantidade de Laspeyres decresceu 20%?
42. Dados V0,t = 108 e LP0,t = 102, de que modo poderíamos obter um índice de quantidade de
Paasche?
43. A partir dos resultados do exercício 39, calcule o índice de Fisher com base em t0 .
44. Com os dados do exercício 40, calcule os índices de preço e de quantidade de MarshallEdgeworth e de Divisia, tomando 2001 como base.
45. Mostre que, se o índice de Laspeyres for igual ao de Paasche, então ele também será igual ao
de Fisher e de Marshall-Edgeworth.
46. Dadas as tabelas abaixo, determine os índices de preço e de quantidade de Laspeyres, Paasche,
Fisher, Marshall-Edgeworth e Divisia. Tome 1990 como base.
Produto
papel
almofada
caneta
lápis
clipes
borracha
cola
tinta
Preço
1990 1994
7,00 14,80
3,00
3,50
6,00
6,80
4,20
4,90
7,10
9,00
2,80
7,90
3,70
5,00
6,80
7,70
Quantidade
1990 1994
5,0
8,0
10,0 16,0
8,0 12,0
5,0
6,0
0,3
0,4
4,0
3,0
3,0
4,0
2,5
5,0
Seção 1.8
47. A tabela abaixo apresenta os índices de preço no varejo de frutas e legumes no período de 86
a 92. Determinar os índices de preços desses produtos tomando como base:
(a) 1986
(b) 1989
(c) 1992
Data
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
Índice de preços (1980=100)
Frutas
Legumes
113,3
111,9
116,9
117,5
118,7
123,3
129,6
140,6
154,0
163,6
165,6
171,9
190,5
193,1
195,2
198,6
48. Sabendo-se que os índices de preço ao consumidor de quatro períodos consecutivos são: 119,12;
116,16; 118,02 e 121,75, determinar o índice de preços relativo ao período todo. (Os valores
t
.)
dados são índices do tipo t−1
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
56
49. Dada a tabela a seguir, determinar os relativos de preço, quantidade e valor, tomando por
base:
(a) 1980
(b) 1989.
Ano
1980
1981
1982
1983
1984
Preço
471
518
613
707
710
Quant.
94
99
95
104
113
Ano
1985
1986
1987
1988
1989
Preço
754
785
825
893
927
Quant.
117
104
107
111
110
Ano
1990
1991
1992
1993
1994
Preço
969
1015
1070
1663
1745
Quant.
108
105
102
99
94
50. A tabela abaixo apresenta uma série de números-índice cuja base é 1990=100. Mudá-la,
considerando como base:
(a) 1994=100
(b) 1992=100
(c) 1989=100.
Ano
Índice
1989
94,1
1990
100,0
1991
105,8
1992
112,3
1993
118,9
1994
124,8
51. Conjugue as duas séries seguintes de números-índice, usando (a) 1999 e (b) 2002 como épocabase.
Ano Série antiga Série nova
1994
72
88
1995
96
1996
1997
100
102
1998
111
100
1999
105
2000
115
2001
132
2002
2003
146
155
2004
52. Os preços médios por tonelada de cana de açucar pagos ao produtor encontram-se na tabela
abaixo.
Anos
Preço médio da cana de açucar (R$/ton)
1999
15,06
2000
18,68
2001
25,24
2002
26,15
2003
30,07
2004
28,46
Fonte: www.ipeadata.gov.br (FGV - Agroanalysis - média anual)
(a) Tomando a média do período de 1999 a 2000 como base, determine a série dos relativos
de preço para todos os anos.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
57
(b) Tomando 2004 como base, determine a série dos relativos de preço para todos os anos.
Seção 1.9
53. O salário do gerente geral de uma empresa, em dezembro de 2004, era de R$15.000,00. O ICV
de dezembro de 2004, com base em dezembro de 1999, variou 56,34%. Qual o poder aquisitivo
do salário desse gerente em dezembro de 2004, com base em dezembro de 1999?
54. Utilizando os dados da tabela abaixo, calcular
(a) a série de índices dos salários reais, com base 2001=100.
(b) a série dos salários reais a preços de 2001.
(c) a série das taxas de variação anual dos salários nominais e reais.
Anos
2001
2002
2003
2004
Salário
(u.m.)
3.200
4.600
5.200
6.400
ICV
1996=100
137
155
170
183
55. Dadas as séries
(1)
Valor das vendas industriais - 1000 R$
Salários na indústria - 1000 R$ (1)
Pessoal ocupado na Indústria (1)
ICV - 1996=100 (2)
Índice de preços industriais - 2001=100
(3)
2000
590.978.128
57.266.221
5.315.408
125
90
2001
690.748.956
63.909.526
5.453.460
137
100
2002
797.226.731
70.277.206
5.680.111
155
115
(1) Pesquisa Anual da Indústria - IBGE
(2) www.ipeadata.gov.br - ICV-SP
(3) Índice de Preços por Atacado - Oferta Global - FGV
pede-se
(a) o valor das vendas industriais a preços constantes de 2000.
(b) o salário real médio, a preços constantes de 2000.
56. Para uma taxa de inflação de 25%, qual a perda percentual do poder aquisitivo da moeda?
57. A inflação, medida pelo ICV, no período de um ano (março 04-março 05), acusou variação de
8,01%, enquanto os funcionários públicos de certo estado tiveram seus vencimentos reajustados
em 5,63% em março de 2005. Qual a perda percentual de poder aquisitivo dos salários dos
funcionários públicos em março de 2005, com base em março de 2004? Em quanto por cento os
salários deveriam ser reajustados para recompor o poder aquisitivo de março do ano anterior?
58. Uma empresa apresentou os seguintes dados relativos ao faturamento de 2000 a 2004 exibidos
na tabela a seguir, enquanto o IGP no mesmo período, apresentou os valores aí exibidos:
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES
Ano
Faturamento (1000 R$)
IGP-DI - 1995=100
58
2000
800
157
2001
850
174
2002
950
220
2003
1050
237
2004
1350
265
(a) Calcular o faturamento real da empresa, a preços de 2000.
(b) Calcular a taxa de variação anual do faturamento real no período.
(c) Calcular a taxa média anual de variação do faturamento real.
59. Uma pessoa aplicou determinada quantia a uma taxa de juros de 5% ao semestre. A inflação no
semestre apresentou uma variação de 7%. Quanto ela perdeu em cada duzentos reais aplicados
no semestre?
60. Se um indivíduo aplicou determinada quantia durante certo período a uma taxa nominal de
4,5% e a uma taxa real negativa de 5%, estime a taxa de inflação no período.
61. Se o PIB cresceu 10% em determinado período, enquanto a população cresceu 5%, qual a
variação do PIB per capita no período?
62. O salário médio de determinada classe operária em certa localidade, em 2004, foi de R$850.
O índice de custo de vida neste mesmo ano era igual a 156 e o de 1997 era igual a 90, ambos
referidos ao período básico de 1997-99. Determine o salário real dessa classe operária em 2004,
tomando 1997 como base.
Capítulo 2
Solução dos exercícios propostos
1.
Ano
1980
2000
2002
2004
PIB (1000R$)
914.188
1.101.255
1.346.028
1.769.202
Ano
1980
2000
2002
2004
Índice: 1980=100
100 × 914188/914188 = 100, 00
100 × 1101255/914188 = 120, 46
100 × 1346028/914188 = 147, 24
100 × 1769202/914188 = 193, 53
Índice: 2002=100
100 × 914188/1346028 = 67, 917
100 × 1101255/1346028 = 81, 815
100 × 1346028/1346028 = 100, 000
100 × 1769202/1346028 = 131, 439
Ano
1980
2000
2002
2004
Índice: 2000=100
100 × 914188/1101255 = 83, 01
100 × 1101255/1101255 = 100, 00
100 × 1346028/1101255 = 122, 23
100 × 1769202/1101255 = 160, 65
Índice: 2004=100
100 × 914188/1769202 = 51, 672
100 × 1101255/1769202 = 62, 246
100 × 1346028/1769202 = 76, 081
100 × 1769202/1769202 = 100, 000
Taxa de variação (%)
¶
1101255
− 1 × 100 = 20, 463
¶
µ 914188
1346028
− 1 × 100 = 22, 227
¶
µ 1101255
1769202
− 1 × 100 = 31, 439
1346028
µ
Note que as mesmas taxas de variação podem ser obtidas através de qualquer uma das séries
de números índices, devendo-se apenas ter cuidado com os arredondamentos.
2.
Ano
Expectativa de vida
1980
62,7
1990
66,6
2000
70,4
2005
71,9
Índice: 1980=100
62, 7
= 100, 00
100 ×
62, 7
66, 6
= 106, 22
100 ×
62, 7
70, 4
= 112, 28
100 ×
62, 7
71, 9
= 114, 67
100 ×
62, 7
59
Taxa de variação(%)
¶
66, 6
− 1 × 100 = 6, 22
¶
µ62, 7
70, 4
− 1 × 100 = 5, 71
¶
µ 66, 6
71, 9
− 1 × 100 = 2, 13
70, 4
µ
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
60
Para 2005, houve um aumento de 14,67% na esperança de vida com relação à mesma estimativa
em 1980.
3. .
(a) Para calcular os índices com base 1998, temos que calcular
p98,t =
pt
,
p98
t = 94, 95, 96, 97, 98
Pelas propriedades de reversão e circular , temos que:
pt
pt
p94
=
×
p98
p94 p98
pt
p94,t
p
= p94
=
98
p94,98
p94
t = 94, 95, 96, 97, 98
o mesmo valendo para quantidade.
(b) Pela propriedade da decomposição das causas, temos que
v0,t = p0,t × q0,t =
pt
qt
pt × qt
×
=
p0 q0
p0 × q0
Note as duas expressões na equação acima. Embora matematicamente equivalentes, em
termos numéricos a última é mais exata pois só fazemos uma divisão. Em termos de
arredondamentos, quanto menos divisões fizermos, melhor. Usando essas propriedades
obtemos os resultados da tabela a seguir. (Obs.: Os índices com base 1998=100 são
obtidos multiplicando-se os resultados da tabela por 100.)
1994
1995
1996
1997
1998
P
100/125 = 0, 800
102/125 = 0, 816
112/125 = 0, 896
115/125 = 0, 920
125/125 = 1, 000
Relativos - 1998=1
Q
V
90/120 = 0, 750
(100 × 90)/(125 × 120) = 0, 6000
98/120 = 0, 817
(102 × 98)/(125 × 120) = 0, 66640
100/120 = 0, 833 (112 × 100)/(125 × 120) = 0, 7467
110/120 = 0, 917 (115 × 110)/(125 × 120) = 0, 8433
120/120 = 1, 000 (125 × 120)/(125 × 120) = 1, 0000
Se calcularmos o relativo de valor multiplicando os relativos de preço e quantidade
arredondados, obtemos, por exemplo, para o ano 1997 o seguinte:
0, 920 × 0, 917 = 0, 84364 6= 0, 84333
4. Aumento de vendas (quantidade): 60%
¶
µ
qt
60
qt
= 1, 6
− 1 × 100 = 60 ⇒
=1+
q0
q0
100
Faturamento duplicado: aumento de 100%
¶
µ
vt
vt
100
= 2, 0
− 1 × 100 = 100 ⇒
=1+
v0
v0
100
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
61
Como os relativos satisfazem a propriedade da decomposição das causas, resulta que
vt
vt
qt
pt
pt
2
v
= 1, 25
=
×
⇒
= q0t =
v0
q0 p0
p0
1, 6
q0
que corresponde a uma taxa de 100 × (1, 25 − 1) = 25%
5. Queda nas vendas (quantidade): 10%, ou seja, taxa de -10%. Logo,
µ
¶
qt
qt
10
= 0, 9
− 1 × 100 = −10 ⇒
=1−
qo
qo
100
Faturamento mantido no mesmo nível:
vt
=1
v0
Assim, como
vt
qt
pt
pt
pt
1
= 1, 1111
=
×
⇒ 1 = 0, 9 ×
⇒
=
v0
q0 p0
p0
p0
0, 9
que corresponde a uma taxa de 100× (1, 1111 − 1) = 11, 11% de aumento nos preços.
6.
q79
q78
q78
1500
= 2, 00 −→ Aumento de (2 − 1) × 100 = 100%
=
q76
750
1750
= 1, 1667 −→ Aumento de (1, 1667 − 1) × 100 = 16, 67%
=
1500
O crescimento de 1978 com relação a 1976 é de 100%, enquanto o crescimento de 1979 com
relação a 1978 é de 16,67%. A informação dada está incorreta.
7. Temos que
µ
¶
q04
q04
60
⇒ q03,04 = 1, 60
− 1 × 100 = 60 ⇒
=1+
q03
q03
100
Usando a propriedade de reversibilidade, temos que
1
1
q03
= 0, 625
=
=
q04
q03,04
1, 6
e isso corresponde à taxa
(0, 625 − 1) × 100 = −37, 5%
ou seja, a quantidade de 2003 é 37,5% inferior à de 2004.
8. Temos que
¶
qmar
qmar
25
⇒ qf ev,mar = 1, 25
− 1 × 100 = 25 ⇒
=1+
qf ev
qf ev
100
Pela propriedade da reversão, temos que
µ
qmar,f ev =
1
qf ev,mar
=
1
= 0, 80
1, 25
e isso corresponde à taxa
(0, 8 − 1) × 100 = −20, 0%
ou seja, ele vendeu 20% a menos em fevereiro comparado com março.
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
62
9. Houve um aumento de 20% tanto em preço quanto em quantidade. Então p0,1 = 1, 20 e
q0,1 = 1, 20.
Pela propriedade da decomposição das causas, sabemos que V0,1 = P0,1 ×Q0,1 = 1, 20×1, 20 =
1, 44, ou seja, o faturamento aumentou em (1, 44 − 1) × 100 = 44, 0%.
10. Aumento de 50% na quantidade
¶
µ
q1
q1
− 1 × 100 = 50 ⇒
= 1, 5
q0
q0
Duplicar faturamento: aumento de 100%
µ
¶
v1
v1
− 1 × 100 = 100 ⇒
=2
v0
v0
Como
vt
qt
pt
pt
pt
2
= 1, 3333
=
×
⇒ 2 = 1, 5 ×
⇒
=
v0
q0 p0
p0
p0
1, 5
ou seja, o preço deverá ser aumentado em 33,33%.
11. Queda na quantidade de 15%:
µ
¶
q1
q1
− 1 × 100 = −15 ⇒
= 0, 85
q0
q0
Faturamento inalterado:
vt
=1
v0
Logo,
vt
qt
pt
pt
pt
1
= 1, 1765
=
×
⇒ 1 = 0, 85 ×
⇒
=
v0
q0 p0
p0
p0
0, 85
ou aumento de 17,65% nos preços.
12. Redução de 25% nos pacotes:
¶
µ
q1
q1
q0
1
= 1, 33
− 1 = −25 ⇒
= 0, 75 ⇒
=
100 ×
q0
q0
q1
0, 75
ou seja, as vendas foram 33,33% maiores.
13. Temos o seguinte:
¶
p04
p04
− 1 × 100 = 12 ⇒
= 1, 12
p03
p03
µ
¶
q04
q04
− 1 × 100 = −6 ⇒
= 0, 94
q03
q03
µ
Logo,
v04
p04 q04
=
×
= 1, 12 × 0, 94 = 1, 0528
v03
p03 q03
ou seja, o valor cresceu em 5, 28%.
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
63
14. Suponha que para andar uma distância de x km seja necessário 1 de gasolina; pelos dados do
problema, seriam necessários 1, 3 de álcool. Como o álcool é 35% mais barato que a gasolina,
temos a situação ilustrada na tabela a seguir:
Distância
x km
Quantidade
Gasolina Álcool
1
1, 3
Preço por litro
Gasolina Álcool
1
0, 65
Então a relação entre os valores gastos para percorrer essa distância usando álcool e gasolina
é
vA
1, 3 × 0, 65
= 0, 65 × 1, 3 = 0, 845
=
vG
1×1
ou seja, o álcool é (1 − 0, 845) × 100 = 15, 5% mais econômico que a gasolina. Se o gasto com
gasolina é de R$100,00, trocando por um carro a álcool, ele gastará 84,5% desse valor, ou seja,
gastará R$ 84,50.
15. Temos que:
DG = 1, 3DA ⇒ DA =
1
DG = 0, 7692DG ≡ −23, 08%
1, 3
O carro a álcool anda uma distância 23,08 menor.
16. Temos que:
p98
= 0, 90
p00
p04
= 1, 20
p00
Usando as propriedades circular e da reversão, obtemos
p04
p04
p04 p00
1, 2
p00
= 1, 333
=
×
= p98 =
p98
p00 p98
0, 9
p00
ou seja, o aumento do preço de 2004 em relação ao de 1998 é de 33, 3%.
17. Os índices dados são do tipo pt /pt−1 . Pela propriedade circular, temos que:
p98,01 = p98,99 × p99,00 × p00,01 = 1, 09 × 1, 06 × 1, 08 = 1, 247832
ou seja, os preços são 24,78% mais altos em 2001 que em 1998.
18. Vamos considerar os seguintes salários: s0 = salário atual; s1 = salário depois da redução de
10%; s2 = salário depois do aumento de 10%; s3 = salário que ela deveria ter para recuperar
o valor inicial. Pelos dados do problema, temos que
s0 = 10000
(a) .
(b) .
s1
= 0, 9
s0
s2
= 1, 1
s1
s1
= 0, 9 ⇒ s1 = 9000
10000
s2
s2
= 1, 1 ⇒ s2 = 9900
= 1, 1 ⇒
s1
9000
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
64
(c) Não. A diferença é de R$ 100,00.
(d) Queremos que
s3
s3 s2 s1
s3
s3
1
= 1, 010101
=1⇔
×
×
=1⇔
× 1, 1 × 0, 9 = 1 ⇔
=
s0
s2 s1 s0
s2
s2
1, 1 × 0, 9
Ou seja, ela tem que ter um reajuste de (1, 010101 − 1) × 100 = 1, 01% para recuperar o
salário de R$10000,00.
19. Redução de preços de 25% em setembro com relação a agosto pago,set = 0, 75
Aumento de preço de 50% em agosto com relação a julho =⇒ pjul,ago = 1, 50
Mês
Julho
Agosto
Setembro
Base móvel
1, 5
0, 75
pjul,set
Base Julho=1
pjul,jul = 1
pjul,ago = 1, 50
= pjul,ago × pago,set = 0, 75 × 1, 5 = 1, 125
Embora a redução de setembro com relação a agosto tenha sido de 25%, com relação a julho
ainda houve um aumento de 12,5%.
20. Na tabela abaixo resumem-se os dados do problema:
Mês
Novembro
Dezembro
Preço
350
500
Quantidade
50
30
Valor
350 × 50 = 17500
500 × 30 = 15000
Como os relativos satisfazem a propriedade da identidade, no mês base todos são iguais a 1.
Para o mês de dezembro temos:
PNov,Dez =
10
500
× 100 =
× 100 = 142, 8 6
350
7
30
× 100 = 60
50
10 3
× × 100 = 85, 7 1
VNov,Dez =
7
5
Em dezembro, os preços subiram 42,86%, a quantidade caiu 40% e o faturamento caiu 14,29%.
QNov,Dez =
21. .
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
65
(a) Jan=1,0
Mês
Jan
Preço
1,0
Quantidade
1,0
Valor
1,0
Fev
5436
5292
= 1, 0272
215
201
= 1, 0697
5436×215
5292×201
= 1, 0988
Mar
5949
5292
= 1, 1241
210
201
= 1, 0448
5949×210
5292×201
= 1, 1745
Abr
6411
5292
= 1, 2115
219
201
= 1, 0896
6411×219
5292×201
= 1, 3199
Mai
6407
5292
= 1, 2107
230
201
= 1, 1443
6407×230
5292×201
= 1, 3854
= 1, 298
227
201
= 1, 1294
6869×227
5292×201
= 1, 4659
Jun
6869
5292
Jul
6891
5292
= 1, 3022
229
201
= 1, 1393
6891×229
5292×201
= 1, 4835
Ago
7156
5292
= 1, 3522
226
= 1, 1244
201
7156×226
5292×201
= 1, 5204
Set
7616
5292
= 1, 4392
228
201
= 1, 1343
7616×228
5292×201
= 1, 6325
Out
8315
5292
= 1, 5712
217
201
= 1, 0796
8315×217
5292×201
= 1, 6963
Nov
9223
5292
= 1, 7428
225
201
= 1, 1194
9223×225
5292×201
= 1, 9509
Dez
9815
5292
= 1, 8547
231
201
= 1, 1493
9815×231
5292×201
= 2, 1315
É interessante notar a questão do arredondamento neste exercício. Suponha, por exemplo,
que tivéssemos calculado o relativo de valor usando a propriedade de composição das
causas, arredondando os relativos de preço e quantidade para 2 casas decimais. Então,
por exemplo, para o mês de janeiro obteríamos
1, 03 × 1, 07 = 1, 1021
que, quando comparado com o valor mais correto 1,0987579, dá uma diferença percentual
de
1, 1021 − 1, 0987579
× 100 = 0, 3%
1, 0987579
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
66
(b) Para os meses de julho e dezembro, o procedimento é análogo; os resultados são dados
na tabela a seguir.
Mês
Jan
Fev
Mar
Abr
Mai
Jun
Jul
Ago
Set
Out
Nov
Dez
Preço
0, 76796
0, 78886
0, 86330
0, 93034
0, 92976
0, 99681
1, 00000
1, 03846
1, 10521
1, 20665
1, 33841
1, 42432
Base: Julho=1
Quantidade
0, 87773
0, 93886
0, 91703
0, 95633
1, 00437
0, 99127
1, 00000
0, 98690
0, 99563
0, 94760
0, 98253
1, 00873
Valor
0, 67406
0, 74063
0, 79167
0, 88972
0, 93382
0, 98810
1, 00000
1, 02485
1, 10038
1, 14342
1, 31503
1, 43676
Base: Dezembro=1
Preço
Quantidade
Valor
0, 53917
0, 87013
0, 46915
0, 55385
0, 93074
0, 51548
0, 60611
0, 90909
0, 55101
0, 65318
0, 94805
0, 61925
0, 65278
0, 99567
0, 64995
0, 69985
0, 98268
0, 68773
0, 70209
0, 99134
0, 69601
0, 72909
0, 97835
0, 71331
0, 77596
0, 98701
0, 76588
0, 84717
0, 93939
0, 79583
0, 93968
0, 97403
0, 91528
1, 00000
1, 00000
1, 00000
22. Se o índice dado foi construído com base móvel, isso significa que os valores dados são do tipo
pt
. Para obter o índice de base fixa aplicamos os princípios da reversão e da circularidade.
pt−1
Base 1996=100
p95
1
1
× 100 = 81, 97
=
=
p96
p95,96
1, 22
= 100, 00
p97
=
= 104, 00
p96
p98
p98 p97
=
=
×
= 1, 05 × 1, 04 × 100 = 109, 20
p96
p97 p96
p96,95 =
p96,96
p96,97
p96,98
Base 1994=100
p94,95 = 122, 00
p96
p96 p95
=
×
= 1, 09 × 1, 22 × 100 = 132, 98
p94,96 =
p94
p95 p94
p97
p97 p96 p95
=
×
×
= 1, 04 × 1, 09 × 1, 22 × 100 = 138, 30
p94,97 =
p94
p96 p95 p94
p98
p98 p97 p96 p95
=
×
×
×
= 1, 02 × 1, 04 × 1, 09 × 1, 22 × 100 = 141, 07
p94,98 =
p94
p97 p96 p95 p94
Resumindo os resultados:
Ano
1995
1996
1997
1998
Base móvel
122
109
104
102
1996=100
81,97
100,00
104,00
109,20
1994=100
122,00
132,98
138,30
141,07
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
67
23. Com procedimento análogo ao empregado no exercício 22, obtemos os resultados a seguir:
Ano
1998
1999
2000
2001
24. Até abril: 24,73%
Móvel
102
109
106
108
1997=100
102,00
111,18
117,85
127,28
Base
1999=100
91,74
100,00
106,00
114,48
2001=100
80,14
87,35
92,59
100,00
Maio até dezembro: 5,70%
1, 2473 × 1, 0578 = 1, 94344 ≡ 94, 34%
Inflação acumulada:
pt
. Para acumular a inflação, temos, primeiro, que transpt−1
formar as taxas em índice e depois multiplicar pois, pela propriedade circular, sabemos que
25. Os valores da tabela são do tipo
pt
p1 p2
pt
=
×
× ··· ×
p0
p0 p1
pt−1
Obtemos, então:
%
Relativo
dez=1
Jan
2,0
1,02
1,02
Fev
3,2
1,032
1,053
Mar
-2,5
0,975
1,0263
Abr
5,1
1,051
1,079
Mai
10,2
1,102
1,187
Jun
-5,8
0,942
1,120
Jul
-4,3
0,957
1,072
Ago
1,5
1,015
1,088
Set
6,0
1,06
1,153
Out
7,1
1,071
1,235
Nov
8,3
1,083
1,337
Dez
15,1
1,151
1,539
√
A inflação no período é de 53,9% e a taxa média é ( 12 1, 539 − 1) × 100 = 3, 66%
26. Salário em janeiro = R$482,00.
Transformando as taxas de aumento em índice: 1, 03; 1, 042; 1, 05
A cada trimestre iremos multiplicar o valor do salário inicial pelo índice correspondente, observando que os mesmos são acumulativos.
Salários de abril a junho :
Salários de julho a setembro :
o
Salários de outubro a dezembro e 13
482 × 1, 03 = 496, 46
496, 46 × 1, 042 = 517, 31
: 517, 31 × 1, 05 = 543, 18
que equivale a 482 × (1, 03 × 1, 042 × 1, 05) = 543, 18.
Nota: o 13o salário é igual ao salário do mês de dezembro.
27. Como os valores dados são do índice de base fixa, dividir o valor do ano 2004 pelo do ano 1995
equivale a comparar preços com a mesma base, ou seja:
IGP0,04
=
IGP0,95
P04
P0
P95
P0
=
P04
312
= 2, 6667
=
P95
117
e isso nos dá a inflação acumulada no período de 9 anos. Para esse índice a taxa de inflação é
√
(2, 6667−1)×100 = 166, 67%! A inflação média anual nesse período é de ( 9 2, 6667−1)×100 =
11, 51%.
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
28.
Ano
1995
1996
1997
1998
1999
2000
Quantidade
(1000t)
15889
16733
17452
16336
16810
18202
Relativos
2000=100
15889/18202 × 100 = 87, 293
16733/18202 × 100 = 91, 929
17452/18202 × 100 = 95, 880
16336/18202 × 100 = 89, 748
16810/18202 × 100 = 92, 352
18202/18202 × 100 = 100, 000
29.
q00
q91
= 1, 05
q95
q91
=
q95
q00
q00
= 1, 40
q95
q00
q00
1, 05
q
× 100 = 75
×
= q91
=
00
q91
1, 40
q95
ou seja, a quantidade de 1995 é 25% inferior à quantidade de 1991.
30.
.
Ano
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Elos
relativos
105
103
108
110
104
Para o ano de 2004 temos que
Encadeamento
1999=1
1, 00
1 × 1, 05 = 1, 0500
1, 05 × 1, 03 = 1, 081 5
1, 0815 × 1, 08 = 1, 168
1, 168 × 1, 10 = 1, 284 8
1, 2848 × 1, 04 = 1, 336 2
p04
= 1, 2726 ⇒ 100 ×
p00
µ
2000=1
1/1, 05 = 0, 952 4
1, 05/1, 05 = 1, 0
1, 0815/1, 05 = 1, 03
1, 168/1, 05 = 1, 112 4
1, 2848/1, 05 = 1, 223 6
1, 3362/1, 05 = 1, 272 6
¶
p04
− 1 = 27, 26%
p00
ou seja, os preços de 2004 são 27,26% maiores que os de 2000.
31.
Bens
A
B
C
D
E
Soma
2000
17,00
19,36
15,18
99,32
12,15
163,01
B00,02
2002
27,52
29,99
14,46
96,17
11,40
179,54
163, 01
× 100 = 100, 0
163, 01
198, 45
× 100 = 121, 74
=
163, 01
179, 54
× 100 = 110, 14
=
163, 01
B00,00 =
B00,01
Preços
2001
26,01
41,88
15,81
101,26
13,49
198,45
68
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
69
32. Como temos 5 produtos, n = 5.
A tabela a seguir fornece o cálculo dos relativos de preço com base em 2000, mediante o uso
pi
da fórmula: pio,t = it . Como os relativos satisfazem a propriedade da identidade, os relativos
po
no ano-base são todos iguais a 1.
Bens
A
B
C
D
E
SOMA
Relativos de preço (2000=1)
2001
2002
26, 01/17 = 1, 530000
27, 52/17 = 1, 618 824
41, 88/19, 36 = 2, 163 223
29, 99/19, 36 = 1, 5490 70
15, 81/15, 18 = 1, 041 502
14, 46/15, 18 = 0, 952 569
101, 26/99, 32 = 1, 019 533 96, 17/99, 32 = 0 , 968 284
13, 49/12, 15 = 1, 110 288
11, 40/12, 15 = 0, 938 272
6, 864546
6, 027019
Os índices das médias simples satisfazem a propriedade da identidade. Assim, todos eles são
iguais a 1 no ano-base.O índice de média artitmética é dado por:
n
po,t =
1X i
p0,t
n
i=1
p00,01 = 6, 864546/5 = 1, 3729
p00,02 = 6, 027019/5 = 1, 2054
O índice de média geométrica simples é dado por
r
pG
o,t =
n
n
Π pio,t
i=1
p
5
1, 53 × 2, 163223 × 1, 041502 × 1, 019533 × 1, 110288 = 1, 3130
p
= 5 1, 618 824 × 1, 5490 70 × 0, 952569 × 0, 968284 × 0, 938272 = 1, 1676
pG
00,01 =
pG
00,02
O índice de média harmônica simples é dado por
pH
o,t =
pH
00,01 =
pH
00,02 =
n
n 1
P
i
i p0,t
5
1
1,53
+
1
2,163223
1
1,618 824
+
+
1
1,041502
1
1,549070
+
5
+
1
1,019533
1
0,952569
+
+
1
1,110288
1
0,968284
+
= 1, 2634
1
0,938272
= 1, 1334
Os índices calculados estão com base 2000=1. Para transformar para base 100, basta multiplicálos por 100.
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
70
33. Os relativos e os índices baseados nas três médias simples satisfazem a propriedade da identidade; assim, no período base todos são iguais 1 (ou 100).
(a) Calculando os relativos com base T0 = 1 obtemos
Relativos
Produto
Carnes
Frutas
Azeite
Bebidas
Limpeza
Legumes
Ovos
Amendoim
Sal
SOMA
Preço
191, 5/155, 7 = 1, 229929
20/15 = 1, 333333
170/122, 25 = 1, 390593
50/42 = 1, 190476
40, 6/35 = 1, 160000
10/10 = 1, 000000
66, 4/46 = 1, 443478
35/30 = 1, 166667
28/25 = 1, 120000
11, 034476
p0,1 =
q 0,1 =
Quantidade
1, 3/2 = 0, 650000
5/4 = 1, 250000
1/1 = 1, 000000
10/6 = 1, 666667
1/2 = 0, 500000
3/2 = 1, 500000
2/1 = 2, 000000
1/1 = 1, 000000
1/1 = 1, 000000
10, 566667
11, 034476
= 1, 22605
9
10, 566677
= 1, 17407
9
p
9
1, 229929 × 1, 333333 × 1, 390593 × 1, 190476 × 1, 16 × 1 × 1, 443478
p
= × 9 1, 166667 × 1, 12 = 1, 21892
pG
0,1 =
qG
0,1 =
pH
0,1 =
p
9
0, 65 × 1, 25 × 1 × 1, 666667 × 0, 5 × 1, 5 × 2 × 1 × 1 = 1, 08192
1
1,229929
+
1
1,333333
1
1,25
1
1
+
1
1,390593
9
+
+
1
1,190476
1
0,5
+
1
1,16
+
1
1
1
1
+
1
1
+
1
1,443478
+
= 1, 21179
qH
0,1 =
9
1
0,65
+
+
+
1
1,666667
+
1
1,5
+
1
2
+
= 0, 98845
(b) De maneira análoga obtemos os seguintes índices com base T0 = 1:
Média aritmética simples
p0,1 = 1, 25658
q 0,1 = 1, 16667
pG
0,1 = 1, 25462
qG
0,1 = 1, 05737
H
P 0,1 = 1, 25265
qH
0,1 = 0, 9375
1
1,166667
+
1
1,12
=
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
71
34. O critério de decomposição das causas exige que o produto do índice de preço pelo índice de
n
P
pit qti
i=1
quantidade seja igual ao índice agregativo simples de valor V0,t = P
n
pi0 q0i
i=1
(a) Os índices baseados na média aritmética não satisfazem o critério da decomposição das
causas
Prova:
p0,t × q 0,t =
=
6=
p1t
qt1 qt2
p2t
pnt
qtn
+
+
·
·
·
+
+
+
·
·
·
+
pn0
q0n
p1 p20
q 1 q02
i=1
× i=1
= 0
× 0
n
µ n1
¶ µ 1n
¶ n
pt
qt
p2t
pnt
qt2
qtn
+
+ ··· + n ×
+
+ ··· + n
p0
q0
p10 p20
q01 q02
2
n
p1t qt1 + p2t qt2 + · · · + pnt qtn
= V0,t
p10 q01 + p20 q02 + · · · + pn0 q0n
n
P
p0,t
n
P
q0,t
(b) Os índices baseados na média geométrica não satisfazem o critério da decomposição das
causas
Prova:
s
s
1
2
n
1
p
p
p
qt2
qtn
n
n qt
t
t
t
G
pG
×
×
·
·
·
×
×
×
×
·
·
·
×
0,t × q 0,t =
pn0
q0n
p10 p20
q01 q02
s
p1 q 1 p2 q 2
pn q n
= n t1 t1 × t2 t2 × · · · × tn tn
p0 q0
p0 q0
p0 q0
s
V1 V2
Vn
= n t1 × t2 × · · · × tn
V0
V0
V0
P i i
v
un
pt qt
uY
i
n
i 6= V
P
= t
V0,t
=
0,t
pi0 q0i
i=1
i
(c) Os índices baseados na média harmônica não satisfazem o critério da decomposição das
causas
Prova:
H
pH
0,t × q 0,t =
n
n
×
1
1
1
1
1
1
+ 2 + ··· + n
+ 2 + ··· + n
1
1
p0,t
q0,t
p0,t p0,t
q0,t q0,t
n2
¶
µ 1
¶
p10 p20
q0
pn0
q02
q0n
+ 2 + ··· + n ×
+
+ ··· + n
pt
qt
p1t
pt
qt1 qt2
P i i
pt qt
i
6= V0,t = P i i
p0 q0
=
µ
i
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
35. Como n =
72
n
n
X
pit X pi0
=
, resulta que
pi
pi
i=1 t
i=1 0
pA
0,t =
=
Analogamente,
n
n
i=1
i=1
1X i
1 X pit
po,t =
=
n
n
pi0
1
×
pi0
i
i=1 p0
n
P
1
n
X
pit
pi
i=1 0
n
P
n
P
1
V
pit × i
i
p0
p0
= i=1
= i=1
n
n
P
P
1
V
pi0 × i
pi0 × i
p
p
i=1
i=1
0
0
pit ×
1
=
pi0
n
S
i
po,t
i
i=1
i=1 pt
n
n
P
P
V
i × 1
p
pit × i
n
t
i
X pi
pt
pt
1
t
× n i = i=1
= i=1
=
n
n
i
P
P
1
V
P p0
pt
i=1
pi0 × i
pi0 × i
i
p
pt
i=1
i=1
t
i=1 pt
pH
0,t = n
1
=n
n
P
1
1
e i podem ser vistos como a quantidade adquirida com uma
i
p0 pt
unidade monetária aos preços do ano base e do ano corrente, respectivamente. Ou seja, no
caso do índice média aritmética, estamos acompanhando o preço de uma cesta de produtos
definida na época base, supondo que o valor gasto é o mesmo para todos os produtos. No caso
da média harmônica, a situação é análoga, só que a cesta muda a cada período.
Como V = P Q, os termos
n
n
X
qti X q0i
=
, resulta
36. Como n =
qi
qi
i=1 t
i=1 0
qA
0,t
=
=
e
n
n
i=1
i=1
1X i
1 X qti
q0,t =
=
n
n
q0i
1
q0i
i
i=1 q0
n
P
qH
0,t = n
×
n
X
i=1
n
P
n
P
1
V
qti × i
i
i
qt
q0
q0
= i=1
= i=1
n
n
i
P
P
1
V
q0
q0i × i
q0i × i
q0
q0
i=1
i=1
1
1
=n n i =
1
P q0
n
P
i
i
i=1 qt
q0,t
qti ×
i=1
n
n
P
P
1
V
qti × i
qti × i
n
i
X
qt
1
qt
qt
× n i = i=1
= i=1
=
n
n
i
P
P
1
V
P q0
qt
i=1
q0i × i
q0i × i
i
q
qt
i=1
i=1
t
i=1 qt
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
73
Como antes, estamos acompanhando a variação da quantidade de uma cesta de produto comprada aos preços da época base e da época atual, respectivamente, supondo que o valor gasto
com cada produto da cesta é o mesmo.
37. O índice baseado em n produtos é:
pA
0,t =
p10,t
+ p20,t
+ · · · + pn0,t
n
=
n
P
i=1
pi0,t
n
X
⇒
n
i=1
Ao acrescentar um produto, temos que
pA
0,t =
=
p10,t
+ · · · + pn0,t
+ pn+1
0,t
n+1
n × p0,t + pn+1
0,t
n+1
=
n
P
i=1
pi0,t = n × p0,t
pi0,t + pn+1
0,t
=
n+1
Note que essa última expressão é uma média aritmética ponderada dos preços médios (de n
produtos e de 1 produto), tendo como ponderação o número de produtos que entra em cada
média.
38. O índice baseado em n produtos é:
pG
0,t
v
un
q
uY
n
n
1
2
n
= p0,t × p0,t · · · × p0,t = t
pi0,t
i=1
Ao acrescentar um produto, temos que:
pG
0,t =
=
q
n+1
p10,t × p20,t · · · × pn0,t × pn+1
0,t =
⇒
n
Y
i=1
¡ ¢n
pi0,t = pG
0,t
v
un
uY
n+1
t pi × pn+1 =
o,t
0,t
i=1
r³ ´
´ 1
³
n
¡ G¢ n
n+1
n+1
n+1 × pn+1 n+1
pG
×
p
=
p
0,t
0,t
0,t
0,t
Note que essa última expressão é a média geométrica ponderada dos preços médios (de n
produtos e de 1 produto, respectivamente), tendo como ponderação o número de produtos que
entra em cada média.
39. .
(a) Os pesos dos índices de Laspeyres e Paasche são definidos na época base e na época atual,
respectivamente. Nas tabelas a seguir temos os pesos em todos os períodos.
Produto
batata
carne
óleo
queijo
cerveja
vinho
SOMA
Preço
65
560
155
350
95
470
Quant.
5,0
1,5
2,0
0,5
12,0
2,0
t=0
Valor
wi
325 325/3730 = 0, 08713
840 840/3730 = 0, 22520
310 310/3730 = 0, 08311
175 175/3730 = 0, 04692
1140 1140/3730 = 0, 30563
940 940/3730 = 0, 25201
3730
1
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Produto
batata
carne
óleo
queijo
cerveja
vinho
SOMA
Preço
90
795
205
500
130
685
Quant.
2,00
2,00
5,00
0,25
6,00
3,00
t=1
Valor
wi
180 180/5755 = 0, 03128
1590 1590/5755 = 0, 27628
1025 1025/5755 = 0, 17811
125 125/5755 = 0, 02172
780 780/5755 = 0, 13553
2055 2055/5755 = 0, 35708
5755
1
quant.
3
3
1
1
18
1
t=2
Valor
wi
360 360/7892 = 0, 04562
2997 2997/7892 = 0, 37975
280 280/7892 = 0, 03548
690 690/7892 = 0, 08743
2700 2700/7892 = 0, 34212
865 865/7892 = 0, 10960
7892
1
Produto
batata
carne
óleo
queijo
cerveja
vinho
SOMA
Preço
120
999
280
690
150
865
74
(b) Como
Lp0,t =
n
P
i=1
w0i pi0,t =
n
P
i=1
w0i
pt
p0
então os índices com base t = 0 são:
Lq0,t =
n
P
i=1
i
w0i q0,t
=
n
P
i=1
w0i
qt
q0
795
205
500
90
+ 0, 225 2 ×
+ 0, 08 311 ×
+ 0, 04 692 ×
+
65
560
155
350
685
130
+ 0, 252 01 ×
0, 305 63 ×
95
470
= 1, 402 8
LP0,1 = 0, 08 713 ×
999
280
690
120
+ 0, 2252 ×
+ 0, 08 311 ×
+ 0, 04 692 ×
65
560
155
350
865
150
+ 0, 25201 ×
+0, 30563 ×
95
470
= 1, 751 6
LP0,2 = 0, 08 713 ×
2
5
0, 25
2
+ 0, 225 2 ×
+ 0, 08 311 × + 0, 04 692 ×
+
5
1, 5
2
0, 5
6
3
0, 305 63 ×
+ 0, 252 01 ×
12
2
= 1, 0972
LQ
0,1 = 0, 08 713 ×
3
1
1
3
+ 0, 2252 ×
+ 0, 08 311 × + 0, 04692 ×
5
1, 5
2
0, 5
1
18
+ 0, 25201 ×
+0, 30563 ×
12
2
= 1, 222 5
LQ
0,2 = 0, 08 713 ×
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Os índices com base t = 1 são:
560
155
350
65
+ 0, 27628 ×
+ 0, 17811 ×
+ 0, 02 172 ×
LP1,0 = 0, 03 128 ×
90
795
205
500
470
95
+ 0, 35708 ×
+0, 13553 ×
130
685
= 0, 71112
999
280
690
120
+ 0, 27628 ×
+ 0, 17811 ×
+ 0, 02 172 ×
90
795
205
500
865
150
+ 0, 35708 ×
+0, 13553 ×
130
685
= 1, 269 4
LP1,2 = 0, 03 128 ×
1, 5
2
0, 5
5
+ 0, 27628 ×
+ 0, 17811 × + 0, 02 172 ×
2
2
5
0, 25
2
12
+ 0, 35708 ×
+0, 13553 ×
6
3
= 0, 9092
LQ
1,0 = 0, 03 128 ×
3
1
1
3
+ 0, 276281 × + 0, 178106 × + 0, 02 172 ×
2
2
5
0, 25
1
18
+ 0, 357081 ×
+0, 135534 ×
6
3
= 1, 109 5
LQ
1,2 = 0, 03 128 ×
Os índices com base t = 2 são:
560
155
350
65
+ 0, 379 75 ×
+ 0, 03548 ×
+ 0, 087 43 ×
120
999
280
690
470
95
+ 0, 109 6 ×
+0, 342 12 ×
150
865
= 0, 577 8
LP2,0 = 0, 04562 ×
795
205
500
90
+ 0, 379 75 ×
+ 0, 03548 ×
+ 0, 087 43 ×
120
999
280
690
685
130
+ 0, 109 6 ×
+0, 342 12 ×
150
865
= 0, 8091
LP2,1 = 0, 04562 ×
1, 5
2
0, 5
5
+ 0, 379 75 ×
+ 0, 03548 × + 0, 08743 ×
3
3
1
1
2
12
+ 0, 109 6 ×
+0, 34212 ×
18
1
= 0, 827 9
LQ
2,0 = 0, 04562 ×
2
5
0, 25
2
+ 0, 379 75 × + 0, 035479 × + 0, 08743 ×
3
3
1
1
3
6
+ 0, 109 6 ×
+0, 34212 ×
18
1
= 0, 9257
LQ
2,1 = 0, 04562 ×
75
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
76
Os índices de Paasche são dados por
1
= P
n
1
p0
wti
wti
p0,t
pt
i=1
i=1
P
P0,t
= P
n
1
Q
P0,t
= P
n
i=1
Então, os índices com base t = 0 são:
P
P0,1
=µ
1
1
wti
1
q0,t
1
1
1
0, 03128 ×
+0, 02172 ×
Q
P0,2
=µ
1,5
5
2
2 + 0, 27628 × 2 + 0, 17811 × 5
0,5
12
2
0,25 + 0, 13553 × 6 + 0, 35708 × 3
q0
qt
¶ = 1, 7307
65
155
0, 04562 × 120
+ 0, 37975 × 560
999 + 0, 03548 × 280
350
95
+0, 08743 × 690 + 0, 34212 × 150 + 0, 1096 × 470
865
Q
P0,1
=Ã
i=1
wti
¶ = 1, 406 2
560
155
0, 03 128 × 65
90 + 0, 27628 × 795 + 0, 17811 × 205
95
470
+0, 02 172 × 350
500 + 0, 13553 × 130 + 0, 35708 × 685
P
=µ
P0,2
n
P
! = 1, 099 9
1
¶ = 1, 2079
2
0, 04562 × + 0, 37975 × 1,5
3 + 0, 03548 × 1
12
2
+0, 08743 × 0,5
1 + 0, 34212 × 18 + 0, 1096 × 1
5
3
Os índices de Paasche com base t = 1 são:
P
=µ
P1,0
1
0, 08713 ×
+0, 04692 ×
¶ = 0, 7129
90
795
205
65 + 0, 2252 × 560 + 0, 08311 × 155
500
130
685
350 + 0, 30563 × 95 + 0, 25201 × 470
1
P
=µ
P1,2
90
205
0, 04562 × 120
+ 0, 379 75 × 795
999 + 0, 03548 × 280
130
685
+0, 087 43 × 500
690 + 0, 342 12 × 150 + 0, 109 6 × 865
Q
P1,0
=Ã
2
+ 0, 08311 × 52
0, 08713 × 25 + 0, 2252 × 1,5
0,25
6
+0, 04692 × 0,5 + 0, 30563 × 12
+ 0, 25201 × 32
1
Q
=µ
P1,2
1
0, 04562 × 23 + 0, 37975 × 23 + 0, 035479 × 51
6
3
+0, 08743 × 0,25
1 + 0, 34212 × 18 + 0, 1096 × 1
¶ = 1, 236
! = 0, 9114
¶ = 1, 080
Os índices de Paasche com base t = 2 são:
1
P
P2,0
=µ
999
280
0, 08713 × 120
65 + 0, 2252 × 560 + 0, 08311 × 155
150
865
+0, 04692 × 690
350 + 0, 30563 × 95 + 0, 25201 × 470
P
=µ
P2,1
999
280
0, 03128 × 120
90 + 0, 27628 × 795 + 0, 17811 × 205
150
865
+0, 02172 × 690
500 + 0, 13553 × 130 + 0, 35708 × 685
1
¶ = 0, 570 9
¶ = 0, 7878
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Q
P2,0
=Ã
Q
=µ
P2,1
77
1
3
0, 087131 × + 0, 2252 × 1,5
+ 0, 083110 × 12
1
1
+0, 046917 × 0,5
+ 0, 30563 × 18
12 + 0, 25201 × 2
! = 0, 81798
1
0, 03128 × 32 + 0, 27628 × 32 + 0, 17811 × 15
1
+0, 02172 × 0,25
+ 0, 13553 × 18
6 + 0, 35708 ×
¶ = 0, 9013
3
5
1
3
(c) Trabalhando com os índices de preço temos que:
P
P
P
× P1,2
= 1, 4062 × 1, 236 = 1, 7381 6= 1, 7307 = P0,2
P0,1
Logo, o índice de Paasche não satisfaz a propriedade circular. Analogamente,
LP0,1 × LP1,2 = 1, 402 8 × 1, 269 4 = 1, 780 7 6= 1, 7516 6= LP0,2
ou seja,o índice de Laspeyres também não satisfaz a propriedade circular.
Para satisfazer a propriedade da reversão no tempo, teríamos que ter
L0,t =
P0,t =
mas
LP0,2 = 1, 751 6 6=
e
P
P0,2
= 1, 7298 6=
Note que
e
1
Lt,0
1
Pt,0
1
1
= 1, 730 7
=
P
0, 577 80
L2,0
1
1
= 1, 7516
=
P
0, 5709
P2,0
P i i
q p
1
1
P
= P i i = P 0i 0i = Pt,0
P
q0 pt
L0,t
q 0 pt
P i i
q0 p0
P i i
1
1
qp
= P i i = P ti 0i = LPt,0
P
qt pt
P0,t
qp
P it it
qt p0
(d)
V0,t
Base t = 0 :
P i i
pq
= P it ti
p0 q0
V0,1 =
(90 × 2) + (795 × 2) + (205 × 5) + (500 × 0, 25) + (130 × 6) + (685 × 3)
= 1, 5429
(65 × 5) + (560 × 1, 5) + (155 × 2) + (350 × 0, 5) + (95 × 12) + (470 × 2)
V0,2 =
(120 × 3) + (999 × 3) + (280 × 1) + (690 × 1) + (150 × 18) + (865 × 1)
= 2, 1158
(65 × 5) + (560 × 1, 5) + (155 × 2) + (350 × 0, 5) + (95 × 12) + (470 × 2)
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
78
Base t = 1 :
V1,0 =
(65 × 5) + (560 × 1, 5) + (155 × 2) + (350 × 0, 5) + (95 × 12) + (470 × 2)
= 0, 64813
(90 × 2) + (795 × 2) + (205 × 5) + (500 × 0, 25) + (130 × 6) + (685 × 3)
V1,2 =
(120 × 3) + (999 × 3) + (280 × 1) + (690 × 1) + (150 × 18) + (865 × 1)
= 1, 3713
(90 × 2) + (795 × 2) + (205 × 5) + (500 × 0, 25) + (130 × 6) + (685 × 3)
Base t = 2 :
V2,0 =
(65 × 5) + (560 × 1, 5) + (155 × 2) + (350 × 0, 5) + (95 × 12) + (470 × 2)
= 0, 47263
(120 × 3) + (999 × 3) + (280 × 1) + (690 × 1) + (150 × 18) + (865 × 1)
V2,1 =
(90 × 2) + (795 × 2) + (205 × 5) + (500 × 0, 25) + (130 × 6) + (685 × 3)
= 0, 72922
(120 × 3) + (999 × 3) + (280 × 1) + (690 × 1) + (150 × 18) + (865 × 1)
(e)
LP0,1 × LQ
0,1 = 1, 402 8 × 1, 097 2 = 1, 5392 6= 1, 5429 = V0,1
Q
P
P0,1
× P0,1
= 1, 4062 × 1, 0999 = 1, 1499 6= 1, 5429 = V0,1
Logo, Laspeyres e Paasche não satisfazem a propriedade da decomposição das causas.
(f)
Q
LP0,1 × P0,1
= 1, 402 8 × 1, 0999 = 1, 542 9 = V0,1
P
LQ
0,1 × P0,1 = 1, 0972 × 1, 4062 = 1, 542 9 = V0,1
40. Época base
A
B
C
D
E
SOMA
pt
5,0
10,0
3,5
4,1
8,0
pt /p10
1
1
1
1
1
2001
qt
qt /q01
100
1
50
1
120
1
200
1
180
1
vt
500
500
420
820
1440
3680
vt
0,136
0,136
0,114
0,223
0,391
1
Época atual:
2002
pt
A
B
C
D
E
SOMA
6,0
15,0
5,8
6,0
10,8
pt /p01
1,200
1,500
1,657
1,463
1,350
qt
100
60
130
250
200
qt /q01
1,000
1,200
1,083
1,250
1,111
2003
vt
vt
pt
600
900
754
1500
2160
5914
0,101
0,152
0,127
0,254
0,365
1
10,0
15,0
6,6
7,0
11,5
pt /p01
2,000
1,500
1,886
1,707
1,438
qt
120
70
110
260
200
qt /q10
1,200
1,400
0,917
1,300
1,111
(a) Índice de Sauerbeck: média aritmética dos relativos
P
p01,02 = S01,02
=
1, 2 + 1, 5 + 1, 657 + 1, 463 + 1, 35
= 1, 434
5
vt
vt
1200
1050
726
1820
2300
7096
0,169
0,148
0,102
0,256
0,324
1
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
79
2 + 1, 5 + 1, 886 + 1, 707 + 1, 438
= 1, 7062
5
1 + 1, 2 + 1, 083 + 1, 250 + 1, 111
Q
= 1, 1288
q 01,02 = S01,02
=
5
1, 2 + 1, 4 + 0, 917 + 1, 3 + 1, 111
Q
= 1, 1856
q 01,03 = S01,03
=
5
P
p01,03 = S01,03
=
(b) Laspeyres: média aritmética ponderada na época base
LP01,02 = 0, 136 × 1, 2 + 0, 136 × 1, 5 + 0, 114 × 1, 657 + 0, 223 × 1, 463 + 0, 391 × 1, 35
= 1, 4102
LP01,03 = 0, 136 × 2 + 0, 136 × 1, 5 + 0, 114 × 1, 886 + 0, 223 × 1, 707 + 0, 391 × 1, 438
= 1, 6339
LQ
01,02 = 0, 136 × 1 + 0, 136 × 1, 2 + 0, 114 × 1, 083 + 0, 223 × 1, 25 + 0, 391 × 1, 111
= 1, 1358
LQ
01,03 = 0, 136 × 1, 2 + 0, 136 × 1, 4 + 0, 114 × 0, 917 + 0, 223 × 1, 3 + 0, 391 × 1, 111
= 1, 1824
(c) Paasche: média harmônica ponderada na época atual
P
=
P01,02
0, 101 ×
= 1, 4162
1
1,2
1
1
+ 0, 127 × 1,657
+ 0, 254 ×
1
1,5
+ 0, 152 ×
1
1,463
+ 0, 365 ×
1
1,35
1
P
P01,03
=
0, 169 ×
= 1, 6326
+ 0, 148 ×
1
1,5
+ 0, 152 ×
1
1,2
+ 0, 102 ×
1
1,886
+ 0, 256 ×
1
1,707
+ 0, 324 ×
1
1,438
+ 0, 254 ×
1
1,25
+ 0, 365 ×
1
1,111
1
1,3
+ 0, 324 ×
1
1,111
1
Q
P01,02
=
0, 101 ×
= 1, 1407
Q
P01,03
=
1
2
0, 169 ×
= 1, 1816
1
1
1
1,2
+ 0, 148 ×
+ 0, 127 ×
1
1,4
1
1,083
1
+ 0, 102 ×
1
0,917
+ 0, 256 ×
Note que os índices de Laspeyres e Paasche podem ser calculados, de forma mais fácil e
precisa, pela fórmula alternativa:
LP01,02 =
5190
100 × 6 + 50 × 15 + 120 × 5, 8 + 200 × 6 + 180 × 10, 8
=
= 1, 4103
3680
3680
LP01,03 =
6012
100 × 10 + 50 × 15 + 120 × 6, 6 + 200 × 7 + 180 × 11, 5
=
= 1, 6337
3680
3680
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
80
4180
100 × 5 + 60 × 10 + 130 × 3, 5 + 250 × 4, 1 + 200 × 8
=
= 1, 1359
3680
3680
4351
120 × 5 + 70 × 10 + 110 × 3, 5 + 260 × 4, 1 + 200 × 8
LQ
=
= 1, 1823
01,03 =
3680
3680
5914
5914
P
=
= 1, 4148
=
P01,02
100 × 5 + 60 × 10 + 130 × 3, 5 + 250 × 4, 1 + 200 × 8
4180
7096
7096
P
P01,03
=
= 1, 6309
=
120 × 5 + 70 × 10 + 110 × 3, 5 + 260 × 4, 1 + 200 × 8
4351
5914
5914
Q
P01,02
=
= 1, 1395
=
6 × 100 + 15 × 50 + 5, 8 × 120 + 6 × 200 + 10, 8 × 180
5190
7096
7096
Q
P01,03
=
= 1, 1803
=
10 × 100 + 15 × 50 + 6, 6 × 120 + 7 × 200 + 11, 5 × 180
6012
As diferenças são maiores nos índices de Paasche, porque o cálculo desses índices pela
média harmônica ponderada envolve mais divisões: divisões para calcular os pesos e divisões para calcular o inverso dos relativos. É claro que, em vez de calcularmos os inversos
dos relativos 1/p0,t , poderíamos ter calculado pt,0 e isso poderia melhorar um pouco os
arredondamentos, uma vez que neste caso faríamos apenas uma divisão e, portanto, apenas um arredondamento.
LQ
01,02 =
41. Sabemos que
LQ × P P = LP × P Q = I V
Logo,
V0,t = 1, 2 × 0, 8 = 0, 96 ou queda de 4%
42. Sabemos que
Q
Q
V0,t = LP0,t × P0,t
⇒ P0,t
=
43. Como
F0,t =
V0,t
108
× 100 = 105, 88
=
102
LP0,t
p
L0,t × P0,t
usando os resultados do exercício 39, obtemos:
p
P
F0,1
=
1, 4028 × 1, 4062 = 1, 4045
p
P
F0,2
=
1, 7516 × 1, 7298 = 1, 7407
p
1, 0972 × 1, 0999 = 1, 0985
p
=
1, 2225 × 1, 2079 = 1, 2152
Q
F0,1
=
Q
F0,2
44. Como
P
M0,t
=
Q
M0,t
=
P i
(q0 + qti )pit
i
P i
(q0 + qti )pi0
i
P
(p0 + pt )qt
i
P
(p0 + pt )q0
i
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
81
então:
·
P
=·
M01,02
·
P
= ·
M01,03
(100 + 100) × 6 + (50 + 60) × 15 + (120 + 130) × 5, 8
+ (200 + 250) × 6 + (180 + 200) × 10, 8
¸
(100 + 120) × 10 + (50 + 70) × 15 + (120 + 110) × 6, 6
+ (200 + 260) × 7 + (180 + 200) × 11, 5
¸
(100 + 100) × 5 + (50 + 60) × 10 + (120 + 130) × 3, 5
+ (200 + 250) × 4, 1 + (180 + 200) × 8
¸=
¸ =
11104
= 1, 4127
7860
13108
= 1, 6322
8031
(100 + 120) × 5 + (50 + 70) × 10 + (120 + 110) × 3, 5
+ (200 + 260) × 4, 1 + (180 + 200) × 8
·
¸
(5 + 6) × 100 + (10 + 15) × 60 + (3, 5 + 5, 8) × 130
+ (4, 1 + 6) × 250 + (8 + 10, 8) × 200
10094
Q
¸=
M01,02
= 1, 1380
=·
8870
(5 + 6) × 100 + (10 + 15) × 50 + (3, 5 + 5, 8) × 120
+ (4, 1 + 6) × 200 + (8 + 10, 8) × 180
·
¸
(5 + 10) × 120 + (10 + 15) × 70 + (3, 5 + 6, 6) × 110
+ (4, 1 + 7) × 260 + (8 + 11, 5) × 200
11447
Q
¸=
M01,03
= 1, 1811
=·
9692
(5 + 10) × 100 + (10 + 15) × 50 + (3, 5 + 6, 6) × 120
+ (4, 1 + 7) × 200 + (8 + 11, 5) × 180
Como
P
D0,t
=
Q
D0,t
=
¶
n µ
Y
pt w0
p0
i=1
µ
¶
n
Y
qt w0
i=1
q0
então
¶
¶
¶
µ ¶0,136 µ ¶0,136 µ
µ
µ
6
15
5, 8 0,114
6 0,223
10, 8 0,391
=
×
×
×
×
= 1, 4046
5
10
3, 5
4, 1
8
¶
¶
¶
µ ¶0,136 µ ¶0,136 µ
µ
µ
10
15
6, 6 0,114
7 0,223
11, 5 0,391
P
×
×
×
×
= 1, 6208
D01,03 =
5
10
3, 5
4, 1
8
¶
¶
¶
¶
µ
µ ¶0,136 µ
µ
µ
100 0,136
60
130 0,114
250 0,223
200 0,391
Q
D01,02
=
×
×
×
×
= 1, 133
100
50
120
200
180
¶
¶
¶
¶
µ
µ ¶0,136 µ
µ
µ
120 0,136
70
110 0,114
260 0,223
200 0,391
Q
×
×
×
×
= 1, 1739
D01,03 =
100
50
120
200
180
p
45. Como F0,t = L0,t × P0,t , se L0,t = P0,t , então
q
p
F0,t =
L0,t × L0,t = (L0,t )2 = L0,t
q
p
=
P0,t × P0,t = (P0,t )2 = P0,t
P
D01,02
Logo,
F0,t = P0,t = L0,t
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
82
Definindo
X1 =
X2 =
n
P
i=1
n
P
i=1
temos que
Lp0,t =
q0i pit
Y1 =
q0i pi0
Y2 =
n
P
i=1
n
P
i=1
X1
X2
p
P0,t
=
qti pit
qti pi0
Y1
Y2
Se L = P, então
X1
X2
X1
X2
=
=
Y1
X1
Y1
X1 + Y1
⇒
=
=
⇒
Y2
X2
Y2
X2 + Y2
n
P
Y1
= i=1
n
P
Y2
i=1
q0i pit +
q0i pi0 +
p
p
= M0,t
Lp0,t = P0,t
n
P
i=1
n
P
i=1
qti pit
=
qti pi0
n ¡
P
i=1
n ¡
P
i=1
¢
q0i + qti pit
¢ ⇒
q0i + qti pi0
46. Cálculo dos pesos
Produto
papel
almofada
caneta
lápis
clipes
borracha
cola
tinta
SOMA
Preço
1990 1994
7,00 14,80
3,00
3,50
6,00
6,80
4,20
4,90
7,10
9,00
2,80
7,90
3,70
5,00
6,80
7,70
Quantidade
1990 1994
5,0
8,0
10,0 16,0
8,0 12,0
5,0
6,0
0,3
0,4
4,0
3,0
3,0
4,0
2,5
5,0
Valor
1990
7 × 5 = 35, 0
3 × 10 = 30, 0
6 × 8 = 48, 0
4, 2 × 5 = 21, 0
7, 1 × 0, 3 = 2, 13
2, 8 × 4 = 11, 2
3, 7 × 3 = 11, 1
6, 8 × 2, 5 = 17, 0
175,43
w0
1990
35/175, 43 = 0, 200
30/175, 43 = 0, 171
48/175, 43 = 0, 274
21/175, 43 = 0, 200
2, 13/175, 43 = 0, 012
11, 2/175, 43 = 0, 064
11, 1/175, 43 = 0, 063
17/175, 43 = 0, 097
1,000
Laspeyres::
14, 8 × 5 + 3, 5 × 10 + 6, 8 × 8 + 4, 9 × 5 + 9 × 0, 3 + 7, 9 × 4 + 5 × 3 + 7, 7 × 2, 5
7 × 5 + 3 × 10 + 6 × 8 + 4, 2 × 5 + 7, 1 × 0, 3 + 2, 8 × 4 + 3, 7 × 3 + 6, 8 × 2, 5
= 1, 46184
LP90,94 =
8 × 7 + 16 × 3 + 12 × 6 + 6 × 4, 2 + 0, 4 × 7, 1 + 3 × 2, 8 + 4 × 3, 7 + 5 × 6, 8
7 × 5 + 3 × 10 + 6 × 8 + 4, 2 × 5 + 7, 1 × 0, 3 + 2, 8 × 4 + 3, 7 × 3 + 6, 8 × 2, 5
= 1, 48914
LQ
90,94 =
Paasche:
8 × 14, 8 + 16 × 3, 5 + 12 × 6, 8 + 6 × 4, 9 + 0, 4 × 9 + 3 × 7, 9 + 4 × 5 + 5 × 7, 7
8 × 7 + 16 × 3 + 12 × 6 + 6 × 4, 2 + 0, 4 × 7, 1 + 3 × 2, 8 + 4 × 3, 7 + 5 × 6, 8
= 1, 42092
P
P90,94
=
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
83
8 × 14, 8 + 16 × 3, 5 + 12 × 6, 8 + 6 × 4, 9 + 0, 4 × 9 + 3 × 7, 9 + 4 × 5 + 5 × 7, 7
14, 8 × 5 + 3, 5 × 10 + 6, 8 × 8 + 4, 9 × 5 + 9 × 0, 3 + 7, 9 × 4 + 5 × 3 + 7, 7 × 2, 5
= 1, 44746
Q
P90,94
=
Fisher:
p
1, 46184 × 1, 42092 = 1, 44123
p
=
1, 48914 × 1, 44746 = 1, 46815
P
=
F90,94
Q
F90,94

P
M90,94

(5, 0 + 8, 0) × 14, 80 + (10, 0 + 16, 0) × 3, 50 + (8, 0 + 12, 0) × 6, 8
 +(5, 0 + 6, 0) × 4, 9 + (0, 3 + 0, 4) × 9, 00 + (4, 0 + 3, 0) × 7, 90 
+(3, 0 + 4, 0) × 5, 00 + (2, 5 + 5, 0) × 7, 70

= 
(5, 0 + 8, 0) × 7, 00 + (10, 0 + 16, 0) × 3, 00 + (8, 0 + 12, 0) × 6, 00
 +(5, 0 + 6, 0) × 4, 20 + (0, 3 + 0, 4) × 7, 10 + (4, 0 + 3, 0) × 2, 80 
+(3, 0 + 4, 0) × 3, 70 + (2, 5 + 5, 0) × 6, 80
= 1, 4374

Q
M90,94

(7, 00 + 14, 80) × 8, 0 + (3, 00 + 3, 50) × 16, 0 + (6, 00 + 6, 80) × 12, 0
 +(4, 20 + 4, 90) × 6, 0 + (7, 10 + 9, 00) × 0, 4 + (2, 80 + 7, 90) × 3, 0 
+(3, 70 + 5, 00) × 4, 0 + (6, 80 + 7, 70) × 5, 0

= 
(7, 00 + 14, 80) × 5, 0 + (3, 00 + 3, 50) × 10, 0 + (6, 00 + 6, 80) × 8, 0
 +(4, 20 + 4, 90) × 5, 0 + (7, 10 + 9, 00) × 0, 3 + (2, 80 + 7, 90) × 4, 0 
+(3, 70 + 5, 00) × 3, 0 + (6, 80 + 7, 70) × 2, 5
= 1, 464 4
P
D90,94
Q
D90,94
47. .
¶
¶
¶
¶
µ
µ
µ
µ
14, 80 0,200
3, 50 0,171
6, 80 0,274
4, 90 0,200
=
×
×
×
7, 00
3, 00
6, 00
4, 20
¶0,012 µ
¶0,064 µ
¶0,063 µ
¶
µ
9, 00
7, 90
5, 00
7, 70 0,097
×
×
×
×
7, 10
2, 80
3, 70
6, 80
= 1, 407
¶
¶
µ ¶0,200 µ
µ
µ ¶0,200
8, 0
16, 0 0,171
12, 0 0,274
6, 0
=
×
×
×
5, 0
10, 0
8, 0
5, 0
µ ¶0,012 µ ¶0,064 µ ¶0,063 µ ¶0,097
0, 4
3, 0
4, 0
5, 0
×
×
×
×
0, 3
4, 0
3, 0
2, 5
= 1, 480 4
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
84
(a)
Data
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1980=1
Frutas Legumes
113,3
111,9
116,9
117,5
118,7
123,3
129,6
140,6
154,0
163,6
165,6
171,9
190,5
193,1
195,2
198,6
1986=1
Frutas
Legumes
113, 3/113, 3 = 1, 0000 111, 9/111, 9 = 1, 0000
116, 9/113, 3 = 1, 0318 117, 5/111, 9 = 1, 0500
118, 7/113, 3 = 1, 0477 123, 3/111, 9 = 1, 1019
129, 6/113, 3 = 1, 1439 140, 6/111, 9 = 1, 2565
154, 0/113, 3 = 1, 3592 163, 6/111, 9 = 1, 4620
165, 6/113, 3 = 1, 4616 171, 9/111, 9 = 1, 5362
190, 5/113, 3 = 1, 6814 193, 1/111, 9 = 1, 7256
195, 2/113, 3 = 1, 7229 198, 6/111, 9 = 1, 7748
1980=1
Frutas Legumes
113,3
111,9
116,9
117,5
118,7
123,3
129,6
140,6
154,0
163,6
165,6
171,9
190,5
193,1
195,2
198,6
1989=1,0
Frutas
Legumes
113, 3/129, 6 = 0, 8742 111, 9/140, 6 = 0, 7959
116, 9/129, 6 = 0, 9020 117, 5/140, 6 = 0, 8357
118, 7/129, 6 = 0, 9159 123, 3/140, 6 = 0, 8770
129, 6/129, 6 = 1, 0000 140, 6/140, 6 = 1, 0000
154, 0/129, 6 = 1, 1883 163, 6/140, 6 = 1, 1636
165, 6/129, 6 = 1, 2778 171, 9/140, 6 = 1, 2226
190, 5/129, 6 = 1, 4699 193, 1/140, 6 = 1, 3734
195, 2/129, 6 = 1, 5062 198, 6/140, 6 = 1, 4125
1980=1
Frutas Legumes
113,3
111,9
116,9
117,5
118,7
123,3
129,6
140,6
154,0
163,6
165,6
171,9
190,5
193,1
195,2
198,6
1992=1,0
(b)
Data
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
(c)
Data
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
48. Se o índice dado é do tipo
Legumes
111, 9/193, 1 = 0, 5795
117, 5/193, 1 = 0, 6085
123, 3/193, 1 = 0, 6385
140, 6/193, 1 = 0, 7281
163, 6/193, 1 = 0, 8472
171, 9/193, 1 = 0, 8902
193, 1/193, 1 = 1, 0000
198, 6/193, 1 = 1, 0285
t
, então é base móvel. Vamos transformá—lo em base fixa em t0 .
t+1
t
0
1
2
3
4
49. .
Frutas
113, 3/190, 5 = 0, 5948
116, 9/1905 = 0, 6137
118, 7/190, 5 = 0, 6231
129, 6/190, 5 = 0, 6803
154, 0/190, 5 = 0, 8084
165, 6/190, 5 = 0, 8693
190, 5/190, 5 = 1, 0000
195, 2/190, 5 = 1, 0247
base móvel
1, 1912
1, 1616
1, 1802
1, 2175
base fixa (t0 = 1)
1, 0000
1, 1912
1, 1912 × 1, 1616 = 1, 3837
1, 3837 × 1, 1802 = 1, 6330
1, 633 × 1, 2175 = 1, 9882
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
85
(a)
Ano
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
Preço
471
518
613
707
710
754
785
825
893
927
969
1015
1070
1663
1745
Quant.
94
99
95
104
113
117
104
107
111
110
108
105
102
99
94
Preço
1, 0
1, 0998
1, 3015
1, 5011
1, 5074
1, 6008
1, 6667
1, 7516
1, 8960
1, 9682
2, 0573
2, 1550
2, 2718
3, 5308
3, 7049
Índice 1980=1
Quantidade
Valor
1, 0
1 × 1 = 1, 0
1, 0532
1, 0998 × 1, 0532 = 1, 1583
1, 0106
1, 3015 × 1, 0106 = 1, 3153
1, 1064
1, 5011 × 1, 1064 = 1, 6608
1, 2021
1, 5074 × 1, 2021 = 1, 8120
1, 2447
1, 6008 × 1, 2447 = 1, 9925
1, 1064
1, 6667 × 1, 1064 = 1, 8440
1, 1383
1, 7516 × 1, 1383 = 1, 9938
1, 1809
1, 8960 × 1, 1809 = 2, 2390
1, 1702
1, 9682 × 1, 1702 = 2, 3032
1, 1489
2, 0573 × 1, 1489 = 2, 3636
1, 1170
2, 1550 × 1, 117 = 2, 4071
1, 0851
2, 2718 × 1, 0851 = 2, 4651
1, 0532
3, 5308 × 1, 0532 = 3, 7186
1, 0
3, 7049 × 1 = 3, 7049
Preço
0, 5081
0, 5588
0, 6613
0, 7627
0, 7659
0, 8134
0, 8468
0, 8900
0, 9633
1, 0000
1, 0453
1, 0949
1, 1543
1, 7940
1, 8824
Índice 1989=1
Quantidade
Valor
0, 8545
0, 5081 × 0, 8545 = 0, 4342
0, 9000
0, 5588 × 0, 9000 = 0, 5029
0, 8636
0, 6613 × 0, 8636 = 0, 5711
0, 9455
0, 7627 × 0, 9455 = 0, 7211
1, 0273
0, 7659 × 1, 0273 = 0, 7869
1, 0636
0, 8134 × 1, 0636 = 0, 8651
0, 9455
0, 8468 × 0, 9455 = 0, 8006
0, 9727
0, 8900 × 0, 9727 = 0, 8657
1, 0091
0, 9633 × 1, 0091 = 0, 9721
1, 0000
1, 0000 × 1, 0000 = 1, 0000
0, 9818
1, 0453 × 0, 9818 = 1, 0263
0, 9545
1, 0949 × 0, 9545 = 1, 0451
0, 9273
1, 1543 × 0, 9273 = 1, 0704
0, 9000
1, 7940 × 0, 9000 = 1, 6146
0, 8545
1, 8824 × 0, 8545 = 1, 6085
(b)
Ano
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
Preço
471
518
613
707
710
754
785
825
893
927
969
1015
1070
1663
1745
quant.
94
99
95
104
113
117
104
107
111
110
108
105
102
99
94
50.
Ano
1989
1990
1991
1992
1993
1994
Índice
90=100
94, 1
100, 0
105, 8
112, 3
118, 9
124, 8
(a)
94=100
75, 401
80, 128
84, 776
89, 984
95, 272
100, 000
(b)
92=100
83, 793
89, 047
94, 212
100, 000
105, 877
111, 131
(c)
89=100
100, 000
106, 270
112, 433
119, 341
126, 355
132, 625
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
86
51. A série com base em 1999 começa a ser construída de frente para trás, ou seja, primeiro
calculamos o índice para 1998, depois para 1997 e assim por diante até 1994.
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Série
antiga
72
88
96
100
102
111
Série
nova
100
105
115
132
146
155
Var.anual
Série conjugada
1999=1
0, 792793/1, 222222 = 0, 648649
0, 864865/1, 090909 = 0, 792793
0, 900901/1, 041667 = 0, 864865
0, 918919/1, 02 = 0, 900901
1/1, 088235 = 0, 918 919
1
1, 05
1, 15
1, 32
1, 46
1, 55
88/72 = 1, 222 222
96/88 = 1, 090 909
100/96 = 1, 041 667
102/100 = 1, 020000
111/102 = 1, 088 235
105/100 = 1, 050000
115/105 = 1, 095 238
132/115 = 1, 147 826
146/132 = 1, 106 061
155/146 = 1, 061 644
Com a série com base 1999=1 pronta, para calcular com base m 2002, basta dividir todos os
índices pelo valor de 2002, que é 1,32.
Série
2002=1
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
0, 648649/1, 32 = 0, 491401
0, 792793/1, 32 = 0, 600601
0, 864865/1, 32 = 0, 655201
0, 900901/1, 32 = 0, 682501
0, 918919/1, 32 = 0, 696151
1/1, 32 = 0, 757576
1, 05/1, 32 = 0, 795455
1, 15/1, 32 = 0, 871212
1, 32/1, 32 = 1
1, 46/1, 32 = 1, 106061
1, 55/1, 32 = 1, 174244
15, 06 + 18, 68
= 16, 87. Assim, os relativos de
52. A média dos preços no período 1999 a 2000 é:
2
preço com base média 1999-2000=100 são obtidos dividindo-se a série dada por 16,87. Para
obter a série com base em 2004 basta dividir a série original por 28,46.
1999
2000
2001
2002
2003
2004
(a)
Média 1999-2000=100
15, 06/16, 87 × 100 = 89, 27
18, 68/16, 87 × 100 = 110, 73
25, 24/16, 87 × 100 = 149, 61
26, 15/16, 87 × 100 = 155, 01
30, 07/16, 87 × 100 = 178, 25
28, 46/16, 87 × 100 = 168, 71
(b)
2004=100
15, 06/28, 46 × 100 = 52, 926
18, 68/28, 46 × 100 = 65, 64
25, 24/28, 46 × 100 = 88, 69
26, 15/28, 46 × 100 = 91, 88
30, 07/28, 46 × 100 = 105, 66
28, 46/28, 46 × 100 = 100, 00
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
53.
87

2000
 1999
1 − 1, 5634

x − 15000
15000
= 9594, 47 , ou seja, o poder aquisitivo do salário do gerente com base em
1, 5634
dezembro de 1999 é de R$9594, 47.
Logo, x =
54. Temos que mudar a base para 2001 e calcular a série de índice do salário nominal:
Anos
Salário
(u.m.)
3.200
4.600
5.200
6.400
2001
2002
2003
2004
Anos
1970
1971
1972
1973
1996=100
137
155
170
183
Salário nominal
Índice 2001=100
3200/3200 × 100 = 100, 00
4600/3200 × 100 = 143, 75
5200/3200 × 100 = 162, 50
6400/3200 × 100 = 200, 00
Salário Real
Índice 2001=100 (a)
a preços de 2001 (b)
100/100 × 100 = 100, 000
3200
(143, 75/113, 14) × 100 = 127, 05 4600/1, 1314 = 4065, 8
(162, 5/124, 0 9) × 100 = 130, 96 5200/1, 2409 = 4190, 5
(200/133, 5 8) × 100 = 149, 73
6400/1, 3358 = 4791, 1
Anos
1970
1971
1972
1973
ICV
2001=100
137/137 = 100, 00
155/137 = 113, 1 4
170/137 = 124, 0 9
183/137 = 133, 5 8
Taxa de variação (c)
Nominal
Real
(1, 4375 − 1) × 100 = 43, 75
(5200/4600 − 1) × 100 = 13, 043
(6400/5200 − 1) 100 = 23, 077
(4065, 8/3200 − 1) × 100 = 27, 056
(4190, 5/4065, 8 − 1) × 100 = 3, 067
(4791, 1/4190, 5 − 1) × 100 = 14, 332
55. As vendas devem ser deflacionadas pelo índice de preços industriais e os salários pelo índice do
custo de vida. Temos que mudar a base para 2000. O salário médio é calculado dividindo-se
o total dos salários pelo pessoal ocupado.
Ano
2000
2001
2002
2000
2001
2002
Vendas
Industriais
(1000 R$)
590.978.128
690.748.956
797.226.731
Salário anual
na Indústria
(1000 R$)
57.266.221
63.909.526
70.277.206
ICV
2000=100
IPA-I
2000=100
100, 00
109, 60
124, 00
100, 00
111, 11
127, 78
Pessoal
Ocupado na
Indústria
5.315.480
5.453.460
5.680.111
Salário
médio na Ind.
(R$).
10773, 48
11719, 08
12372, 51
ICV
1996=100
IPA-OG
2001=100
125
137
155
90
100
115
Valor das
vendas
(1000 R$ de 2000)
590.978.128
621.680.277
623.905.721
Salário
real médio
R$ de 2000
10773, 98
10692, 59
9977. 83
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
88
56. Para calcular o poder aquisitivo de uma unidade monetária, basta calcular o inverso do índice
1
= 0, 8. A moeda passou
de preço. Se a inflação foi de 25%, o índice é de 1,25. Logo,
1, 25
a valer 80% do que valia antes; a perda percentual do poder aquisitivo, portanto, foi de
100 − 80 = 20%
57.
V0 = P0 Q0
1, 0563V0 = 1, 0801P0 Q1
P0 Q1
Q1
Q1
1, 0563
= 0, 97797
1, 0563 = 1, 0801
= 1, 0801
⇒
=
V0
Q0
Q0
1, 0801
Perda do poder aquisitivo de 2,203: [(0, 97797 − 1) × 100] . Para recompor o poder aquisitivo,
o reajuste total teria que ser de 8,01%. Como eles já tiveram 5,63%, fica faltando um reajuste
de 2,25%. Esse valor é obtido da seguinte forma:
1, 0801 = 1, 0563 × x ⇒ x =
1, 0801
= 1, 022531 ou 2, 25%
1, 0563
58.
2000
2001
2002
2003
2004
Faturamento
(1000 R$)
800
850
950
1050
1350
IGP
1995=100 2000=100
157
100,00
174
110,83
220
140,13
237
150,96
265
168,79
Faturamento.real
a preços de 2000 % anual
800,00
766,94
-4,13
677,94
-11,60
695,55
2,60
799,81
14,99
O faturamento real no período foi de
799, 81
= 0, 999763
800, 00
¡√
¢
o que equivale a uma taxa média anual de 4 0, 999763 − 1 × 100 = (0, 999941 − 1) × 100 =
−0, 0059%
59.
1, 05 × 200
= 196, 26 ou uma perda de 3,74 cruzeiros para cada 200 aplicados.
1, 07
60. V R = valor real; V N = valor nominal; IP = índice de preço ou inflação
µ
¶
1, 045
VN
VN
VR =
⇒ IP =
⇒ IP =
− 1 × 100 = 10%
IP
VR
0, 95
61. P IB
P OP = população
P IBCt =
P IBC = P IB per capita
P IBt
1, 10P IBt−1
1, 10
P IBCt
1, 10
P IBCt−1 ⇒
= 1, 0476
=
=
=
P OPt
1, 05P OPt−1
1, 05
P IBCt−1
1, 05
ou seja, o PIB per capita cresceu 4,76%.
CAPÍTULO 2. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
62.
Sal2004 = 850
IP97−99 ,2004 = 156
IP97−99,1997 = 90
156
= 1, 7333
IP1997,2004 =
90
850
Salário real de 2004 a preços de 1997 =
= 490, 39
1, 7333
89
Bibliografia
[1] Braule, R. Estatística Aplicada com Excel: Para Cursos de Administração e Economia. Rio de
Janeiro: Editora Campus, 2001.
[2] Endo, S.K. Números Índices. São Paulo: Editora Atual, 1986.
[3] Feijó, C.A. et al, Contabilidade Social: O Novo Sistema de Contas Nacionais do Brasil, Rio de
Janeiro: Editora Campus, 2001.
[4] Fonseca, J.S., Martins, G.A, Toledo, G.L. Estatística Aplicada. São Paulo: Editora Atlas, 1991.
[5] IBGE, Sistema Nacional de Preços ao Consumidor: Métodos de Cálculo. Série Relatórios
Metodológicos, 4a edição, Vol. 14, Rio de Janeiro: 1996.
[6] IBGE, Sistema Nacional de Índices de Preços ao Consumidor: Estruturas de Ponderação a partir
da Pesquisa de Orçamentos Familiares 1995-1996, Volumes 1 e 2. Série Relatórios Metodológicos,
Vol. 21, Rio de Janeiro: 2000.
[7] Milone, G., Angelini, F. Estatística Aplicada. São Paulo: Editora Atlas, 1995.
90