Exercícios de Aula
CADERNO DE MATEMÁTICA
NOVO ENEM (V)
01) Determine os valores de
•Conhecimentos algébricos/geométricos: plano cartesiano;
retas; circunferências;paralelismo e perpendicularidade,
sistemas de equações.
GEOMETRIA ANALÍTICA – PONTO
1.
a)
b)
a)
b)
3.
reais, de modo que o ponto:
Ak  2;5  k  pertença ao 1º quadrante.
B1  k ; k  1 pertença ao 2º quadrante.
02) Determine o valor de
Sistema Cartesiano Ortogonal
k
k
real, de modo que o ponto:
A3k ; 3  k  pertença ao eixo das abscissas.
B1  k ; 3  2k  pertença ao eixo das ordenadas.
Distância entre dois pontos
BxB ; yB  dois pontos
distintos do plano cartesiano. A distância d AB entre os pontos
Sejam
O eixo horizontal se chama eixo x, eixo Ox ou eixo das
abscissas.
A
e
B
Ax A ; y A 
e
é o comprimento do segmento
AB .
O eixo vertical se chama eixo y, eixo Oy ou eixo das
ordenadas.
Todo ponto P do plano cartesiano é formado por duas
coordenadas (uma para x e outra para y), que será representada
na forma P xP ; yP .


yP  0
xP  0 .
Se um ponto P está sobre o eixo Ox ele possui
e, se um ponto P está sobre o eixo Oy ele possui
2.
Quadrantes
O triângulo ABC mostrado na figura acima é retângulo em C.
Os seus catetos são:
d AC  xB  x A
e
d BC  yB  y A .
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
2
2
2
d AB
 d AC
 d BC
2
d AB
  xB  x A    y B  y A 
2
 OBSERVAÇÃO
Os pontos localizados sobre os eixos cartesianos não pertencem
a nenhum quadrante.

2
d AB 
xB  xA 2   yB  y A 2
Exercícios de Aula
03) Calcule a distância entre os pontos:
a)
b)
A1;3 e B5;2
A 1;1 e B4;2

Quanto aos ângulos internos
a)
Retângulo: possui um ângulo de 90º.
a 2  b2  c 2
04) Calcule o valor de k de modo que a distância entre
Ak ;1 e B1;2 seja
2.
b)
Aa;0 , B1;1 e C 2;2 vértices de um
triângulo ABC . Determine o valor de a , de modo que o
triângulo seja retângulo em C .
05) Sejam
4.
Classificação de um triângulo

Quanto ao tamanho dos lados
a)
Eqüilátero: possui os três lados iguais.
b)
Isósceles: possui dois lados iguais (todo triângulo
eqüilátero é isósceles).
Acutângulo: possui os três ângulos internos agudos
(menores que 90º).
a 2  b2  c 2
c)
Obtusângulo: possui um dos ângulos obtuso (maior
que 90º).
a 2  b2  c 2
Exercício de Aula
06) Classifique quanto ao tamanho dos lados e quanto a
medidas dos seus ângulos internos o triângulo ABC ,
com vértices nos pontos
C  2;2 .
Na figura, o lado
BC
é chamado de base.
5.
A 1;2 , B0;3
e
Ponto Médio de um segmento
Consideremos o segmento orientado AB com origem no
ponto A x A ; y A e extremidade no ponto B xB ; yB .


Vamos calcular as coordenadas do ponto
c)
Escaleno: possui os três lados diferentes
segmento
AB
ao meio.

M

que divide o
09) Calcule a medida da altura relativa à base BC de um
triângulo isósceles de vértices A 5;8 , B 2;2 e
 
C 8;2 .
10) Determine o simétrico do ponto
a)
b)
c)
d)
Se M é o ponto médio de
e, portanto:
AB , então AM  MB
x B  xM  xM  x A  xM 
y B  yM  yM  y A  yM 
x A  xB
2
y A  yB
2
6.
ao eixo 0x.
ao eixo 0y.
à origem.
ao ponto Q
Exercício de Aula
11) Calcule o comprimento da mediana relativa ao vértice
do triângulo
C 0;4 .

 OBSERVAÇÃO
ABC ,
As coordenadas do baricentro do triângulo
são calculadas por:

 
M q;5 o ponto médio desse segmento, determine os
ABC
Exercícios de Aula
q.
12) Do triângulo
ABCD , M 1;2 é o ponto de
encontro das diagonais AC e BD . Sabe-se que
A2;3 e B6,4 . Determine as coordenadas dos
vértices C e D .
e
 x  xB  xC y A  y B  yC 
G A
;

3
3



e
A2;6 , B 4;2
Baricentro, mediacentro, centro de massa ou centro de
gravidade de um triângulo
07) Uma das coordenadas de um segmento é o ponto
A 7;13 e a outra é o ponto B 2; p . Sendo
p
tal que
C
É o ponto de encontro das três medianas do triângulo.
Exercícios de Aula
valores de
4;3 .
É o segmento de reta que liga um dos vértices do
triângulo ao ponto médio do lado oposto.
 x  x y  yB 
M A B ; A

2 
 2
Se M é o ponto médio do segmento AB ,
podemos dizer que o ponto B é simétrico do ponto A , em
relação à M , e vice-versa.
P2;1 em relação:
Mediana de um triângulo
Portanto, as coordenadas do ponto médio do segmento
AB são as médias aritméticas das abscissas e ordenadas de
A e B.
 
C 5;1 .
08) Num paralelogramo
ABC ,
com
A 1;2 , B2;3
e
Calcule o ponto de encontro de suas
medianas.
7.
A
Área de um triângulo
A área do triângulo ABC cujos vértices são os pontos
x A ; y A , B xB ; yB e C xC ; yC é calculada

através da fórmula:




AABC
1
 D
2
xA
D  xB
, onde
coordenadas
(-1,0),
(0,4)
e
(2,0),
respectivamente. Se M e N são pontos médios
de AB e BC , respectivamente, a área do
triângulo OMN será igual a
yA 1
yB 1 .
xC
yC 1
Exercícios de Aula
13) Calcule a área do triângulo formado pelos vértices
A 1;2 , B  3;1 e C 0;1 .
  



ABCD , cujos vértices
B2;0 , C 3;4 e D1;3 .
14) Determine a área do quadrilátero
são os pontos
A0;0 ,
a)
5 u.a
3
b)
8 u.a
5
c) 1 u.a
d)
3 u.a
2
02) A área do quadrilátero abaixo, em unidades
de área, é:
y
15) (FAAP-SP)
C  k ;0
A0;3 , Bk  1;1
e
são os vértices de um triângulo de área
4.
Os
pontos
Determine o valor da constante
B
8
A
k.
C
5
3
8.
Condição de alinhamento de três pontos
Os pontos
Ax A ; y A  , BxB ; yB  e C xC ; yC 
estarão alinhados se e somente se:
D
-1
2
x
4
a) 20
b) 25
c) 15/2
xA
xB
yA 1
yB 1  0
xC
yC
d) 15
e) 25/2
1
03) Observe a figura.
.
.
.
y
Exercícios de Aula
11
C
B
16) (FATEC-SP) Os pontos
A1;2 , B
numa mesma reta. Determine o ponto
mesmo é do eixo x .
C 5;2 estão
B , sabendo que o
m para que os pontos A0;4 ,
C 2;6 sejam os vértices de um
17) Determine o valor de
B m;2
e
A
e
triângulo.
ATIVIDADES
01) Considere, no plano cartesiano com origem
O, um triângulo cujos vértices A, B e C têm
-1/2
5
x
Nessa figura, a reta AC intercepta o eixo das
abscissas no ponto ( -1/2, 0 ) , e a área do
triângulo de vértice A,B e C é 10. Então , a
ordenada do ponto B é:
a)
20/11
b)
31/11
c)
4
d)
5
e)
6
04) Considere a figura abaixo, em que as retas r
e s são tangentes à circunferência de raio 2
cm.
s
coordenadas. Elas pretendem dividi-lo,
construindo uma cerca reta perpendicular ao
lado AB e passando pelo ponto P = (a,0). O
valor de a para que se obtenham dois lotes de
mesma área é:
y
t
C
B
60º
-2
2
r
x
A
A área do triângulo ABC é igual a
a) 6 cm2
a)
b) 6 3cm 2
b) 5  2 2
4 3cm 2
c)
c)
05) A área do triângulo ABC da figura é:
e) 5  2 2
.
y
A
.
07) Considere a figura abaixo:
y
N
M
.
45º
1
B
-1
C
5 2
d) 2  5
d) 3 3cm2
2
5 1
4
x
-2
O comprimento do segmento MN é:
a)
2  1/ 2
b)
2 1
c)
2 1
2
a) –18
b) –9
c) 9
d) 1
d) 15
e)
e) 18
06)
Duas irmãs receberam como herança um
terreno na forma do quadrilátero ABCD,
representado abaixo em um sistema de
x
2
2
2 1
08) Um programa de rádio é gerado em uma
cidade plana, a partir de uma central C
localizada 40 km a leste e 20 km a norte da
antena de transmissão T. C envia o sinal de
rádio para T, que em seguida o transmite em
todas as direções, a uma distância máxima de
60 km. O ponto mais a leste de C, que está 20
km a norte de T e poderá receber o sinal da
rádio, está a uma distância de C, em km, igual
a
a)
Fazendo:
 y A  yB   a

teremos:
xB  x A   b
x . y  x . y   c
B
A
 A B
a.x  b. y  c  0
20( 2  1) .
b) 30( 3  1) .
Exercícios de Aula
c)
40( 2  1) .
01) (FEI-SP) Os pontos
d) 40( 3  1)
Aa;1 e B2; b  pertencem à reta
r : x  2 y  0 . Calcule a distância entre eles.
e) 50(2  2 ) .
02) Encontre a equação da reta que passa pelos pontos
A2;1 e B3;2 .
GABARITO
01-D
05-C
02-E
06-B
03-D
07-E
04-B
08-C
03) Encontre a equação da reta suporte da mediana relativa ao
vértice A , do triângulo ABC , tal que A 3;1 ,

B 2;5 e C 6;1 são:
04) (UFRN)
As
retas
r ax  by  0

e
s ax  3by 12  0 intersectam-se no ponto 1;3 .
9.
Portanto
Equação geral da reta
A
Queremos calcular a reta que passa pelos pontos
x A ; y A e B xB ; y B .


a
e
b
são respectivamente:
10. Inclinação da reta

Suponha um terceiro ponto
a essa reta. Já sabemos que:
Px; y 
x
xA
y 1
y A 1  0 . Desenvolvendo teremos:
xB
yB 1
que pertença
Toda reta r tem um ângulo que forma ao cortar o eixo
x . Esse ângulo formado partindo do eixo x até a reta em seu
sentido anti-horário é chamado ângulo de inclinação da reta.
 OBSERVAÇÃO
y A .x  xB . y  xA . yB  xB . y A  yB .x  xA . y  0
 y A  yB .x  xB  xA . y  xA. yB  xB . y A   0
Retas horizontais têm ângulo de inclinação de 0º.
11. Coeficiente Angular
Tendo a equação a.x  b. y  c  0
desenvolvê-la da seguinte maneira:
iremos
a.x  b. y  c  0
b. y  a.x  c
a
c
y  x .
b
b
Porém sabemos que y A  yB  a e xB  x A  b
Observe que o triângulo ABC é retângulo em C
e possui o mesmo ângulo  (inclinação da reta r ). Do
triângulo podemos dizer que:
tg  
yB  y A
xB  x A
m
A esse valor numérico chamamos de coeficiente angular e
simbolizamos por m .
Assim:
m
yB  y A
xB  x A
 a   y A  yB  yB  y A


 m.
b
xB  x A
xB  x A
Assim
m  tg 
ou
E chamaremos de coeficiente linear o quociente
c
, simbolizando-o por p .
b
Assim a equação geral
ser escrita como:
y  mx  p
Exercícios de Aula
; onde
05) Determine o coeficiente angular (ou declividade) da reta
que passa pelos pontos:
a)
b)
A3;2 e B 3;1
A2;3 e B 4;3
b)
Retas verticais não possuem coeficiente angular, pois


2
.
Para que três pontos
A, B
e
C
sejam colineares, basta
que o coeficiente angular da reta suporte de
mesmo da reta suporte de
AB
seja o
BC .
Exercícios de Aula
 k
C  5; 
 2
numa mesma reta. Determine o valor de k .
06) Os pontos
A2;3 , B4;3
12. Equação Reduzida da Reta
pode
m  coeficient e angular

 p  coeficient e linear
07) Determine o coeficiente angular das retas:
 OBSERVAÇÕES

a.x  b. y  c  0
Exercícios de Aula
a)

a
b
e
c)
2x  y  3  0
x  3y 1  0
3x  2 y  4  0
08) Determine o coeficiente linear da reta de equação
2x  3 y  1 .
13. Cálculo da equação da reta
Já sabemos como calcular a equação da reta quando
conhecidos dois pontos A e B dela. Iremos agora aprender uma
outra maneira de calcular equação de reta, quando conhecidos
um ponto e seu coeficiente angular.
estão
m
yB  y A
xB  x A

m
y  y0
x  x0
y  y0  mx  x0 
É a reta que divide ao meio o segundo e quarto quadrantes.
Notação: b24 . Também é chamada de 2ª bissetriz.
Usaremos essa fórmula sempre que for conhecido um
ponto P x0 ; y0 qualquer, que pertence à reta, e seu
Um ponto P pertence à segunda bissetriz se, e somente se,
suas coordenadas são simétricas, isto é:


coeficiente angular
m.
Exercícios de Aula
P  b24  Pa;a 
09) Determine a equação da reta que passa pelo ponto
A  2;5 e tem coeficiente angular m  2 .


Exemplos:
 
A 2;2 , B3;3 , C 5;5 , O0;0
10) Uma reta passa pelo ponto A 2;1 e forma com o eixo 0x
um ângulo de 45°. Ache os coeficientes angular e linear
dessa reta.
11) Ache a equação da reta que passa pelo ponto
e tem inclinação igual a 120°.
P 1;3
Exercício de Aula
12) Determine o valor de
a)
 OBSERVAÇÕES.
b)


Se a reta r for vertical, então todos os seus pontos têm a
mesma abscissa ( x ). Nesse caso, a reta r tem equação:
x  k , onde k é um número real.
y  k , onde k
15. Intersecção entre retas
Resolvemos o sistema formado pelas equações das duas
retas.
Exercícios de Aula
é um número real.
13) Calcule
2x 
14. Duas retas importantes

Bissetriz dos quadrantes ímpares
Um ponto P pertence à primeira bissetriz se, e somente se,
suas coordenadas são iguais, isto é:
P  b13  Pa; a 

A2;2 , B 3;3 , C 5;5 , O0;0
Bissetriz dos quadrantes pares
o
ponto de intersecção
y  3  0 e x  3y 1  0 .
das
retas
4x  3 y  a  0 ;
5x  y  9  0 e 3x  2 y  4  0 se intersectam
em apenas um ponto. Determine a e o ponto de
14) (FUVEST-SP) As retas de equações
É a reta que divide ao meio o primeiro e terceiro
quadrantes. Notação: b13 . Também é chamada de 1ª bissetriz.
Exemplos:
real, de modo que o ponto:
A2  3k ; 5 pertença à primeira bissetriz;
B2  k ; 3 pertença à segunda bissetriz.
Se a reta r for horizontal, então todos os seus pontos têm
a mesma ordenada ( y ). Nesse caso, a reta r tem
equação:
k
interseção das retas.
 OBSERVAÇÕES

Retas paralelas distintas não têm pontos de intersecção.

Retas paralelas iguais possuem infinitos pontos de
intersecção
16. Condição de paralelismo entre duas retas
Duas retas r e s , não verticais, são perpendiculares se,
e somente se, o produto de seus coeficientes angulares é igual a
 1 , isto é:
rs
mr ms  1
mr  
Exercícios de Aula
Duas retas não verticais, r e s , são paralelas se, e
somente se, seus coeficientes angulares são iguais, ou seja:
r // s 
17) Mostre
mr  ms

18) Obtenha
Se além dos coeficientes angulares iguais, os lineares
também forem, as retas são paralelas iguais. Caso os
coeficientes lineares forem distintos, as retas são paralelas
distintas.
Se
mr  ms , então as retas r
e
s
retas
r  : 3x  2 y 1  0
a
equação
e
da reta perpendicular a
que passe pelo ponto
19) Sendo o triângulo com vértices nos pontos
A0;1 ,
B2;3 e C  1;4 . Calcule a equação da reta-suporte
da altura relativa ao vértice A .
são concorrentes,
 OBSERVAÇÃO
 Chamamos de ortocentro de um triângulo ao ponto de
encontro de suas três alturas.
Exercícios de Aula
15) (MAPOFEI-SP) Para que valores de
e
as
r  : 5x  7 y  1  0
P6;5 .
têm um único ponto comum.
k 1x  6 y  1  0
que
s  : 4x  6 y  3  0 são perpendiculares.
 OBSERVAÇÕES.

1
ms
k as retas
4 x  k  1y  1  0
Mediatriz de um segmento
são paralelas?
16) (FAAP-SP) Ache a equação da reta r que é paralela à reta
3x  2 y  1  0 e que passa pelo ponto A  2;5 .


17. Condição de perpendicularismo entre duas retas
A mediatriz do segmento
AB
AB
é a reta perpendicular a
e que passa pelo seu ponto médio.
Exercícios de Aula
20) (FUVEST-SP) São dados os pontos
determine equação da mediatriz de
A2;3 e B8;5 ,
AB .
Simetria em relação a uma reta
24) Calcule
o
menor
ângulo
formado
r  : 4x  2 y 1  0 e s  : x  4 .
Dizemos que o ponto B é simétrico do ponto A em
relação a uma reta r , quando r é a mediatriz do segmento
AB .
Projeção ortogonal
Chamamos de projeção ortogonal de um ponto
uma reta r , ao ponto médio do segmento
r é mediatriz.
25) Determine a equação da reta
A 0;4 e forma com a reta
 
ângulo de
A
pelas
retas
r que passa pelo ponto
s : 3x  y  2  0 um
45º .
sobre
AB , do qual a reta
19. Distância de um ponto à uma reta
Consideremos uma reta r cuja equação geral é
ax  by  c  0 e um ponto P x0 ; y0 fora da reta r . A

Exercícios de Aula
distância do ponto
P
à reta

é dada por:
r
'
21) (FEI-SP) Determine o ponto P , simétrico do ponto
P 2; 1 , em relação à reta s , de equação y  2 x .
 
d P ,r 
ax0  by0  c
a 2  b2
22) (MAPOFEI-SP) São dados a reta r , de equação
x  y  1  0 , e o ponto P 3;2 . Determine as
 
coordenadas da projeção ortogonal de
P
sobre a reta
r.
18. Ângulo entre duas retas
Consideremos duas retas concorrentes, r e s , ambas
não-verticais e não perpendiculares entre si, de coeficientes
angulares mr e ms respectivamente.
A tangente do ângulo agudo formado pelas retas
dada por:
r
e
s
é
mr  ms
1  mr ms
tg  
Exercícios de Aula
26) (UFAC) Dê a menor distância entre a reta
ponto
3;1 .
y  x2
e o
A 1;2 é um vértice de
um triângulo eqüilátero ABC , cujo lado BC está sobre
a reta de equação x  2 y  5  0 . Determine a medida
h da altura desse triângulo.
27) (CESGRANRIO-RJ) O ponto
Distância entre retas paralelas
 OBSERVAÇÕES
 O ângulo obtuso
  180º  .

Dadas

é o suplemento de
Caso Particular: se a reta
s
,
isto é,
duas
e
distancia entre elas é dada por:
r  : ax  by  c1  0
for vertical, então:
1
tg  
mr
d r ,s 
retas
paralelas
A
s  : ax  by  c2  0 .
c1  c2
a2  b2
Exercícios de Aula
Exercícios de Aula
23) Calcule o ângulo agudo formado entre as retas
r : 3x  y  5  0 e s : 2 x  y  3  0 .


28) (FUVEST-SP) Calcule a distância entre a reta r de
equação 3 y  4 x  2 , e a reta s , de equação
3 y  4 x  8 , sabendo que r // s.
ATIVIDADES
- os vértices C e D não são consecutivos.
Em tais condições, a área do losango ACBD é:
a) 12 5
b) 6 5
c)
cl
ar
o
no
- o vértice C pertence à reta (s) e dista 6
unidades da reta (r);
16
12
es
cu
ro
- os vértices A e B são os interceptos de (r)
com os eixos cartesianos;
03) (ENEM) O gráfico mostra o resultado de uma
experiência relativa a absorção de potássio
pelo tecido da folha de um certo vegetal, em
função do tempo e em condições diferentes
de luminosidade.
no
Sejam (r) e (s) retas de equações
2x  y  4  0 e x  2y  3  0 , respectivamente.
Em relação ao losango ACBD, sabe-se que:
POTÁSSIO ABSORVIDO
01)
d) 20
4
2
1
2
3
4
tempo (h)
4 5
d) 4 2
e) 5 2
02)
Ao observar, em seu computador, um
desenho como o apresentado abaixo, um
estudante pensou tratar-se de uma curva.
y
a) m1 = m2
5
b) m2 = 2 m1
2
c) m1 . m2 = 1
1
8
x
Porém, após aumentar muito a figura,
verificou que a tal "curva" era, de fato, um
polígono, com o menor perímetro possível,
formado por uma quantidade finita de lados,
todos paralelos ao eixo x ou ao eixo y.
Verificou ainda que esse polígono possuía um
lado em cada uma das seguintes retas: x = 1, x
=
8,
y
=
2
e
y
=
5.
Se foi utilizada a mesma unidade de
comprimento em ambos os eixos, a medida
do perímetro desse polígono é:
a) 10
b) 13
c) 18
Nos dois casos, a função linear y = mx ajustouse razoavelmente bem aos dados, daí a
referência a m como a taxa de absorção
(geralmente medida em  moles por unidade
de peso por hora). Com base no gráfico, se m1
é a taxa de absorção no claro e m2 a taxa de
absorção no escuro, a relação entre essas
duas taxas é:
d) m1 . m2 = -1
e) m1 = 2 m2
04)
Um termômetro descalibrado indica 10ºC
quando a temperatura real é 13ºC. Quando
indica 20ºC, a temperatura real é de 21ºC.
Porém, mesmo estando descalibrado, a
relação entre a temperatura real e a
temperatura indicada é linear. Assim sendo, a
única temperatura em que a leitura do
termômetro descalibrado corresponderá à
temperatura real é:
a) 22ºC.
b) 23ºC.
c) 24ºC.
d) 25ºC.
a) 6
e) 26ºC.
b) 8
05) Considere a reta r, representada na figura
abaixo.
c) 12
d) 14
e) 16
07)
Na figura abaixo o quadrado ABCD, de
4 2 cm de lado, tem os vértices A e D situados,
respectivamente, sobre os eixos coordenados x e
y.
Sua equação é:
a)
3x  y  1  3
b)
3x  y  1  3
c)
3x  y  1  3
d)
3x  y  1  3
e)
3x  y  3
A reta que contém o lado AB do quadrado
tem a equação indicada na alternativa:
a) 2x + y  2 = 0
06) Sejam x – y = 4, x + y = 0 e y = 2 as equações
das retas r, s e t representadas num sistema
de eixos cartesianos ortogonais, como mostra
o gráfico abaixo.
b) x  2y = 0
c) x + 2y  4 = 0
d) x  y  4 = 0
e) x + y + 4 = 0
08)
Se as retas dadas interceptam-se, duas a duas,
nos pontos A, B e C, a área do triângulo ABC,
em unidades de superfície, é:
Na figura abaixo estão construídos os
gráficos de uma reta e de uma parábola,
contendo os pontos indicados. Os pontos
P(x1 , y1 ) e Q(x 2 , y 2 ) são as interseções das
duas linhas representadas.
e) 5.
10) Para medir a área de uma fazenda de forma
triangular, um agrimensor, utilizando um
sistema de localização por satélite, encontrou
como vértices desse triângulo os pontos
A(2,1), B(3,5) e C(7,4) do plano cartesiano,
com as medidas em km. A área dessa fazenda,
em km², é de:
a)
17
2
b) 17
O valor do produto x1  y1  x 2  y 2 é:
e)
b) 4.340
c) 43.400
17
2
GABARITO
d) 34.300
Numa “caça ao tesouro” promovida por
uma escola, a equipe azul recebeu a seguinte
instrução:
“A próxima pista se encontra numa das cartas
numeradas fixadas no edital da cantina. A
referida carta tem o número correspondente
à distância entre os pontos A e B da figura a
seguir”.
01-A
06-E
02-D
07-D
03-E
08-D
04-D
09-D
05-A
10-A
20. Equação Reduzida da Circunferência
s
B (1;5)
A
2 17
d) 4 17
a) 3.430
09)
c)
ponto
A equação reduzida da circunferência de centro no
C x0 ; y0 e raio R é:

r : 3x-2y-27 = 0

x  x0 2   y  y0 2  R 2
C (10;-7)
O número contido na carta era:
Exercícios de Aula
a) 14.
b) 2 5 .
c) 15.
d) 10.
1) Determine a equação da circunferência cujo centro coincide
com a origem do sistema cartesiano e cujo raio mede 5
unidades.
2) Determine a equação da circunferência com centro no ponto
C 2;3 e que passa pelo ponto P  1;2 .
 


3) (MACK-SP) Determine a equação da circunferência cujo
diâmetro é o segmento de extremidades A 2;8 e
 
B4;0 .
B 
 A
C  ,  
2 
 2
e o raio é dado por:
4) Determine a equação da circunferência que passa pelos
pontos A 1;4 e B 5;2 e tem centro sobre a reta


 
R  x0  y02  C
5) Determine a equação da circunferência que passa pelos
pontos 1;2 , 3;2 e 3;0 .
 OBS: As fórmulas acima só podem ser usadas quando os
2
x  2y  9  0 .
  
  
coeficientes de
 OBSERVAÇÃO
x2
y2
são iguais a 1.
Exercícios de Aula
Chamamos de pontos de ordenada e abscissa máxima e
mínima de uma circunferência aos pontos.
Ordenada Máxima:
Omáx x0 ; y0  R 
Ordenada Mínima:
Omín x0 ; y0  R 
Abscissa Máxima:
Amáx x0  R; y0 
Abscissa Mínima:
Amín x0  R; y0 
7) Determine a equação geral da circunferência com centro no
ponto  1;2 e raio r  3 .


8) Determine o centro e o raio da circunferência de equação
x 2  y 2  4 x  8 y  19  0 .
9) Calcule o centro e o raio da circunferência gerada pela
equação 4 x  4 y  4 x  8 y  9  0 , caso ela
gere uma circunferência.
2
6) Calcule os pontos de abscissa e ordenada máxima e mínima
da circunferência cujo centro é o ponto C 2;1 e raio 2.
21. Equação Geral da Circunferência

C
e
2

A equação geral da circunferência de centro no ponto
x0 ; y0 e raio R é:

23. Condições para
Circunferência
a
validade
A
equação
x y
representa uma circunferência se:
2
2
da
equação
 Ax  By  C  0
x 2  y 2  Ax  By  C  0
A  2x0 , B  2y0
onde:
e
C  x02  y02  R 2
b)
22. Cálculo do Centro e do Raio da Circunferência
O
centro
da
circunferência
x  y  Ax  By  C  0
2
2
de
é o ponto:
a) Os coeficientes de
equação
x2
e
y2
são iguais e não nulos.
x0  y02  C  0
2
c) Não pode existir termo em
xy .
da
Exercícios de Aula
10) Determine o maior inteiro
k
2
2
x  y  4x  6 y  k  0
12) Quais as posições dos pontos
para que a equação
represente
em
relação
C 4;2
2
2
x  y  8x  20  0 .
A 2;3 , B 4;6
13) Determine m de modo que o ponto
circunferência
de
que
a
equação
x 2  By 2  3Cxy  4 y  9  0 representa
circunferência, calcule o valor de 3B  C .
uma
A4;3 seja externo à
equação
x  y  4x  2 y  m  0 .
2
Sabendo
circunferência
uma
circunferência.
11) (UFPB)
à
e
2
 OBSERVAÇÃO
Seja a circunferência
 : x  x0 2   y  y0 2  R 2 :
24. Posições relativas entre ponto e circunferência
Dados o ponto
de equação
P  xP , y P
 x  x0
 e a circunferência 
   y  y0 2  R 2 , três
Os pontos do plano interiores a ela são definidos pela
expressão:
2
casos podem ocorrer:
CASO I) O ponto P é externo à circunferência  .
Nesse
caso, a distância do ponto P até o centro C da circunferência 
é maior do que o raio, isto é:
x  x0 2   y  y0 2  R 2
Os pontos do plano exteriores à ela são definidos pela
expressão:
d PC  R
x  x0 2   y  y0 2  R 2
CASO II) O ponto P pertence à circunferência  . Nesse caso,
a distância do ponto P até o centro C da circunferência  é
igual ao raio, isto é:
25. Posições relativas entre reta e circunferência
Dadas
d PC  R
uma
circunferência
r : ax  by  c  0 e uma
 de centro no ponto C x0 ; y0  e raio R,
reta
três casos podem ocorrer:
CASO III) O ponto P é interno à circunferência  . Nesse caso,
a distância do ponto P até o centro C da circunferência  é
menor do que o raio, isto é:
CASO I) A reta r é externa à circunferência  . Nesse caso, a
distância do centro C à reta r é maior do que o raio R, isto é:
d C ,r  R
d PC  R
Exercícios de Aula
A reta
r
e a circunferência

não têm ponto comum.
CASO II) A reta r é tangente à circunferência  . Nesse caso,
a distância do centro C à reta r é igual ao raio R, isto é:
18)
Determine as coordenadas dos pontos de intersecção da
circunferência de equação x  y  8 x  9  0 com
os eixos coordenados. Determine também o comprimento
das cordas determinadas pelos eixos nas circunferências.
2
2
d C ,r  R
19)
A reta
r
e a circunferência

Determine a equação da reta tangente em
circunferência
de
CASO III) A reta r é secante à circunferência  . Nesse caso,
a distância do centro C à reta r é menor do que o raio R, isto é:
Determine as equações das retas tangentes à circunferência
de equação
x 12   y  22  4
paralelas à reta de equação
21)
d C ,r  R
e a circunferência

e que são
3x  4 y  2  0 .
Determine as equações das retas tangentes à circunferência
de
x  42  y 2  4
equação
perpendiculares à reta de equação
r
à
equação
x 2  y 2  2 x  6 y  27  0 .
tem um ponto comum.
20)
A reta
T 5;2
e
que
são
3x  4 y  2  0 .
têm dois pontos comuns.
ATIVIDADES
 OBSERVAÇÃO
Podemos também encontrar a posição relativa entre
reta e circunferência resolvendo a equação gerada pelo sistema
entre a equação da reta e a equação da circunferência.
Exercícios de Aula
01) Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) são vértices
consecutivos de um paralelogramo ABCD situado
no primeiro quadrante. O lado AD é
perpendicular à reta y = - 2x e o ponto D pertence
à circunferência de centro na origem e raio 5 .
Então, as coordenadas de C são:
a) (6, 2)
14)
Determine a posição da reta
relação
à
r :x y 3 0
em
circunferência
 : x 2  y 2  4 x  2 y  13  0 .
b) (6, 1)
c) (5, 3)
d) (5, 2)
15)
Determine os valores de m de modo que a reta de
equação 4 x  3 y  m  0 , e a circunferência de
equação
tangentes.
16)
x2  y 2  4x  2 y  4  0
sejam
Determine a equação da circunferência com centro no ponto
C 1;3 e que é tangente à reta s , de equação
 
e) (5, 1)
02) Na figura abaixo tem-se o hexágono regular
ABCDEF, inscrito na circunferência de equação
x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0.
y
C
x y 2  0.
17)
Ache o comprimento da corda determinada pela reta
x y4  0
sobre a circunferência
x 2  y 2  16 .
B
.
D
E
A
F
x
A medida do segmento CF é igual a
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 4
03)
A circunferência de centro no ponto (-2,-2)
e tangente aos eixos coordenados é
interceptada pela bissetriz do 3o quadrante,
conforme a figura abaixo.
De acordo com os textos e seus
conhecimentos, é correto afirmar que a rua
representada pela equação acima
y
a) tangencia a praça no ponto A(2, 4).
-2
x
P
.
b) tangencia a praça no ponto A(4, 8).
-2
c) não atravessa a praça.
d) tangencia a praça no ponto A(2, 4).
O ponto P, assinalado na figura, tem
coordenadas:
e) atravessa a praça.
a) x = -2 3
f)
; y = -2 3
b) x = -2 - 3 ; y = -2 - 3
c) x = -2 2
; y = -2 2
d) x = -2 - 2 ; y = -2 - 2
04) (ENEM) No chamado meio ambiente
urbano, as praças públicas são bens de uso
comum, contribuindo para o embelezamento das
cidades, auxiliando sobremaneira na melhoria das
condições sanitárias e higiênicas dos núcleos
urbanos e promovendo o intercâmbio social e
cultural. Na figura abaixo, observa-se que algumas
ruas atravessam a praça, outras a tangenciam em
um único ponto e outras nem passam por ela.
Considere uma praça circular delimitada por uma
circunferência de equação x 2  y 2  4x  8y  16  0 e
uma das ruas representada pela equação
4x  3y  4  0 .
I.R.
05) Dados os pontos A (1,1), B o vértice da
parábola cuja equação é dada por y = – x2 + 8x
– 15 e C o centro da circunferência cuja
equação é dada por x2 + y2 – 2x – 10y + 22 = 0.
Então, a área do triângulo ABC, em unidades
de área, é igual a:
a) 12.
b) 6.
c) 8.
d) 16.
e) 4.
06)
A equação da circunferência cuja
representação cartesiana está indicada pela
figura abaixo é:
( ) O ponto P(4,7) pertence à circunferência
.
y
0
( ) Os pontos de intersecção de  com o
eixo x são M(5,0) e N(-3,0).
4
-3
x
a) x2 + y2 – 3x – 4y = 0
b) x2 + y2 + 6x + 8y = 0
( ) O ponto Q(3,8) é interior à circunferência
.
( ) O ponto de  que possui ordenada
máximo é A(1,8).
( ) A equação da circunferência
(x  1)2  (y  3)2  5 .
 é
c) x2 + y2 + 6x – 8y = 0
d) x2 + y2 + 8x – 6y = 0
y
e) x2 + y2 – 8x + 6y = 0
C
3
0
07) O esboço que melhor representa a figura
obtida ao girar o gráfico da equação
x 2  2x  y 2  0 , x1, em torno do eixo das
abscissas, é
1
x
A seqüência correta, de cima para baixo, é:
a)
a) F - V - F - V - V
b) V - V - F - V - F
c) V - F - V - V - F
d) V - V - V - F - F
b)
e) F - V - F - V - F
GABARITO
c)
d)
08) Analise as afirmações abaixo, considerando
a figura que representa uma circunferência  de
centro C(1,3) e raio r  5 , escrevendo V para
verdadeira e F para falsa.
01-E
05-B
02-A
06-C
03-D
07-A
04-E
08-B
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
ATIVIDADES
01-Um fazendeiro comprou vacas de duas
raças diferentes, a um custo total de R$
10.000,00. Se cada vaca de uma das raças
custou R$ 250,00 e cada uma da outra raça
custou R$ 260,00, o total de vacas compradas
pelo fazendeiro foi:
b) R$ 200,00
a)
d) R$ 175,00
25
c) R$ 150,00
04-Abaixo há um quadrado mágico incompleto.
Nele, a soma dos números de cada linha, coluna
ou diagonal é sempre 34.
b) 30
c) 32
d) 41
x
e) 39
02-(ENEM)Um senhor feudal construiu um
fosso, circundado por muros, em volta de seu
castelo, conforme a planta abaixo, com uma
ponte para atravessa-lo. Em um certo dia, ele
deu um volta completa no muro externo,
atravessou a ponte e deu uma volta completa
no muro interno. Esse trajeto foi completado
em 5320 passos. No dia seguinte, ele deu
duas voltas completas no muro externo,
atravessou a ponte e deu uma volta completa
no muro interno, completando esse novo
trajeto em 8120 passos. Pode-se concluir que
a largura L do fosso, em passos, é:
15
14
6
7x
11
10
y
5
13
Preenchendo-se corretamente o quadrado, o
número que deve ser colocado na célula
sombreada é
a) 12
b) 11
fosso
L
c) 10
L
L
ponte
d) 9
muro interno
e) 8
L
muro externo
a) 36
b) 40
05-No alvo representado pela figura abaixo, uma
certa pontuação é dada pa ra a f lec ha que c ai
na região sombreada S e outra para a flecha que
cai no círculo central R.
c) 44
d) 48
e) 50
3
R
03-Um pai realizou duas festas de aniversário
para seus filhos e, entre salgadinhos e
refrigerantes, gastou R$ 250,00 em uma festa
e R$ 150,00 em outra. A festa que teve menor
custo foi realizada com 50% dos salgadinhos
e 75% dos refrigerantes da outra. Sabendo-se
que o preço unitário do salgadinho e do
refrigerante foi o mesmo para ambas as
festas, qual foi o total gasto com refrigerantes
nas duas festas?
a) R$ 225,00
S
Diana obteve 17 pontos, lançando três flechas,
das quais uma caiu em R e duas em S. Guilherme
obteve 22 pontos, lançando o mesmo número de
flechas, das quais uma caiu em S e duas em R.
Considerando-se o desempenho dos dois
arremessadores, pode-se afirmar que o número
de pontos atribuídos a cada flecha que cai na
região S é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
06- (ENEM) Um comerciante gastou R$250,00,
adquirindo as mercadorias A e B para revender.
Observando a tabela abaixo, calculou e comprou o
número de unidades de A e B para obter o lucro
máximo.
e) 28.
08-João, Maria e Antônia tinham, juntos, R$
100.000,00. Cada um deles investiu sua parte por
um ano, com juros de 10% ao ano. Depois de
creditados seus juros no final desse ano, Antônia
passou a ter R$ 11.000,00 mais o dobro do novo
capital de João. No ano seguinte, os três
reinvestiram seus capitais, ainda com juros de
10% ao ano. Depois de creditados os juros de
cada um no final desse segundo ano, o novo
capital de Antônia era igual à soma dos novos
capitais de Maria e João. Qual era o capital inicial
de João?
a) R$ 20.000,00
b) R$ 22.000,00
P
r
e
ç
o
p
o
ru
n
i
d
a
d
e
(
R
$
)
M
e
r
c
a
d
o
r
i
a
d
e
c
u
s
t
o d
e
v
e
n
d
a
m
á
x
i
m
o
d
e
u
n
i
d
a
d
e
s
l
i
b
e
r
a
d
o
p
a
r
a
o
c
o
m
e
r
c
i
a
n
t
e
c) R$ 24.000,00
d) R$ 26.000,00
A
1
,0
0
2
,5
0
1
0
0
B
2
,0
0
3
,0
0
2
0
0
Com a venda de todas unidades compradas, o
lucro máximo, em reais, foi:
a) 225
e) R$ 28.000,00
09-A linha poligonal com extremidades nos pontos
P e Q é formada por segmentos horizontais e
segmentos verticais. Se cada segmento horizontal
mede 3m e cada segmento vertical mede 3,2m, a
medida do segmento cujas extremidades são P e
Q é:
b) 250
c) 275
d) 325
07-Numa determinada empresa, vigora a seguinte
regra, baseada em acúmulo de pontos. No final de
cada mês, o funcionário recebe: 3 pontos
positivos, se em todos os dias do mês ele foi
pontual no trabalho, ou 5 pontos negativos, se
durante o mês ele chegou pelo menos um dia
atrasado. Os pontos recebidos vão sendo
acumulados mês a mês, até que a soma atinja,
pela primeira vez, 50 ou mais pontos, positivos ou
negativos. Quando isso ocorre, há duas
possibilidades: se o número de pontos
acumulados for positivo, o funcionário recebe uma
gratificação e, se for negativo, há um desconto em
seu salário. Se um funcionário acumulou
exatamente 50 pontos positivos em 30 meses, a
quantidade de meses em que ele foi pontual, no
período, foi:
a) 15.
a) 28m
b) 24m
c) 20m
d) 16m
10-A fim de arrecadar fundos para obras sociais,
um grupo de amigos promoveu um almoço
beneficente em que adultos pagaram R$6,00 e
crianças somente R$3,00. Entre adultos e
crianças, compareceram 100 pessoas e o total
arrecadado foi de R$555,00. Compareceram ao
almoço um total de:
b) 20.
a) 20 crianças.
c) 25.
b) 15 crianças.
d) 26.
c) 25 crianças.
d) 30 crianças.
com extremidades em DF e em 4.
11-Estados Unidos, China, Rússia, Austrália e
Japão foram, nesta ordem, os cinco países mais
bem colocados nas Olimpíadas de Atenas/2004.
- O total de medalhas de Estados Unidos,
China e Rússia foi 258.
- O total de medalhas de China, Rússia e
Austrália foi 204.
- Estados Unidos e Austrália somaram 152
medalhas.
O total de medalhas conquistadas pela
Austrália foi:
a) 37
b) 45
c) 49
d) 51
e) 63
12-Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo
de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1 pedaço de
torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o
consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de café e 1
pedaço de torta totalizou R$ 42,00. Então, o
consumo de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1
pedaço de torta totaliza o valor de:
a) R$ 17,50.
b) R$ 16,50.
c) R$ 12,50.
d) R$ 10,50.
e) R$ 9,50.
13-(ENEM) Rotas aéreas são como pontes que
ligam cidades, estados ou países. O mapa a
seguir mostra os estados brasileiros e a
localização de algumas capitais identificadas pelos
números. Considere que a direção seguida por um
avião AI que partiu de Brasília – DF, sem escalas,
para Belém, no Pará, seja um segmento de reta
Suponha que um passageiro de nome Carlos
pegou um avião AII, que seguiu a direção que
forma um ângulo de 135o graus no sentido horário
com a rota Brasília – Belém e pousou em alguma
das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos
fez uma conexão e embarcou em um avião AIII,
que seguiu a direção que forma um ângulo reto,
no sentido anti-horário, com a direção seguida
pelo avião AII ao partir de Brasília-DF.
Considerando que a direção seguida por um avião
é sempre dada pela semirreta com origem na
cidade de partida e que passa pela cidade destino
do avião, pela descrição dada, o passageiro
Carlos fez uma conexão em:
A) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para
Curitiba.
B) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para
Salvador.
C) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto
Velho.
D) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de
Janeiro.
E) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
GABARITO
01-E
02-B
03-D
04-D
05-C
06-A
07-C
08-A
09-A
10-B
11-C
12-D
13-B