Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência
Projeto Matemática 1
Coordenadora Professora Drª Elisangela Campos
Teorema de Pitágoras
Curitiba
2014
PLANO DE AULA
CONTEÚDO: Teorema de Pitágoras
DURAÇAO: 1 aula
OBJETIVO: Visualizar a interpretação geométrica do teorema de Pitágoras. Apresentar a
generalização dessa interpretação.
RECURSOS: Quebra-cabeças do Teorema de Pitágoras, 4 modelos com quadrados e 1
modelo com hexágono (confeccionados de acordo com o anexo A).
DESENVOLVIMENTO:
No início da aula deve-se conversar com os alunos sobre o Teorema de Pitágoras que
já foi tratado em aulas anteriores. Lembrar das áreas das figuras planas envolvidas no
Teorema e sobre soma de áreas. Esta revisão poderá ser embasada no vídeo
http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=6965 . Deixar o
desenho abaixo na lousa para orientar os alunos na montagem do quebra-cabeça:
Os alunos deverão ser divididos em grupos, e o material será entregue. Depois explicar
para os alunos o objetivo do material, que é montar os quadrados (ou hexágono) sobre os
catetos utilizando todas as peças disponíveis e depois montar a mesma figura sobre a
hipotenusa. Cada grupo que terminar de montar um quebra-cabeça deverá receber outro, com
um grau de dificuldade um pouco maior (o último seria o dos hexágonos). O quebra cabeça
número 6 deve ser trabalhado para mostrar a generalização: Se F, F’ e F” são figuras
semelhantes, construídas respectivamente sobre a hipotenusa c e sobre os catetos a, b de um
triângulo retângulo então a área de F é igual à soma das áreas de F’ e F”.
RELATO DE AULA:
Esta atividade foi realizada com 3 turmas do 9º ano do ensino fundamental do colégio
Pilar Maturana. Os alunos já tinham trabalhado o Teorema de Pitágoras e esta atividade foi
usada para fechamento da sequência didática.
A professora realizou uma breve revisão no quadro, embasada em um vídeo que já
havia exibido aos alunos anteriormente, no qual os quadrados construídos sobre os lados de
um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 eram divididos em quadrados menores, com 1
unidade de lado.
Após a revisão, os alunos se dividiram em grupos de três (em torno de 8 grupos por
sala) e receberam os quebra-cabeças de números 1 ou 2. Eles foram orientados para que
montassem primeiramente os quadrados sobre os catetos e, só depois que a professora
conferisse, o quadrado sobre a hipotenusa. Alguns grupos montaram os dois modelos e outros
montaram apenas um deles.
Conforme um grupo terminava de montar um quebra-cabeça, outro (com um nível de
dificuldade um pouco maior) lhe era entregue. Alguns grupos chegaram a manusear o quebracabeça nº 5, porém não conseguiram montá-lo devido à falta de tempo.
AVALIAÇÃO:
Como muitos alunos apresentaram dificuldades de visualizar a forma geométrica que
eles deveriam formar com as peças, pode-se junto com o primeiro quebra-cabeça ser entregue
também uma moldura para que os grupos encaixem as peças dentro. Quando estes receberem
o segundo quebra-cabeça, essa moldura pode ser retirada, pois os alunos já terão uma noção
de como eles devem proceder com a atividade.
Um dos objetivos dessa atividade era generalizar a interpretação do Teorema de
Pitágoras, entretanto devido a falta de tempo isso não foi possível. Os grupos que chegaram
ao quebra-cabeça 5 não conseguiram concluí-lo e os outros grupos nem chegaram a vê-lo.
Dessa forma, para um melhor aproveitamento da atividade, o ideal seria realizá-la em duas
aulas.
Apesar da questão de tempo, claramente os alunos no geral conseguiram com os
quebra-cabeças visualizar a interpretação do Teorema de forma a compreendê-lo melhor.
QUEBRA - CABEÇAS DO TEOREMA DE PITÁGORAS
QUEBRA - CABEÇA I
Passo a passo:
1. Construa um triângulo retângulo ABC.
2. Construa quadrados sobre os lados desse triângulo.
3. Trace as diagonais BH e AI do quadrado ABIH, obtendo o ponto J como interseção.
4. Trace a reta que passa por J e é paralela a CE e a reta que passa por J e é paralela a CB
e marque as suas interseções com o quadrado ABIH, obtendo os pontos K, L, M e N.
5. Agora é só cortar as peças do quadrado ABHI criadas no passo 4 e está pronto.
QUEBRA - CABEÇA II
Passo a Passo:
1. Construa um triângulo ABC isósceles com o ângulo ACB reto;
2. A partir da hipotenusa AB construa um quadrado ABDE;
3. Trace a diagonal BE do quadrado, marque seu ponto médio F e trace o segmento AF;
4. Marque G e H, pontos médios dos lados BD e DE respectivamente e trace o segmento
GH;
5. Marque I, ponto médio do segmento GH e trace o segmento FI;
6. Marque J e K, pontos médios dos segmentos EF e BF respectivamente e trace os
segmentos IJ e GK.
7. Corte as peças e o quebra-cabeça está pronto.
QUEBRA - CABEÇA III
Passo a passo:
1. Construir o triângulo retângulo ABC e os quadrados sobre seus lados.
2. Refletir o triângulo ABC em torno do lado AB (hipotenusa).
3. Construir um triângulo congruente a ABC’ em cada lado do quadrado grande.
4. Em dois triângulos, marque a medida do cateto menor sobre o cateto maior e una este ponto
com o vértice oposto ao cateto maior, formando dois novos triângulos, um deles isósceles.
5. Basta cortar as peças do quadrado ABIH e o quebra-cabeça estará pronto.
QUEBRA- CABEÇA IV
Passo a passo:
1. Construir um triângulo retângulo ABC, e um quadrado sobre cada um de seus lados.
Considere o posicionamento do triângulo como na figura abaixo, com AB sendo o
cateto menor e BC o cateto maior.
2. Traçar a reta paralela a AB passando por E, a reta paralela a BC passando D, e outra
paralela a BC passando por A. Marcar os pontos J, K e L, de interseção entre a
primeira e a segunda reta, entre a primeira e a terceira reta, e entre a primeira reta e o
segmento AC, respectivamente.
3. Traçar os segmentos JD, AK e EL.
4. Fazer a circunferência de centro em K e raio AK, e marcar o ponto de interseção M
desta com o segmento EK.
5. Fazer uma perpendicular a EK por M, marcar o ponto de interseção N desta reta com o
lado AE, e traçar o segmento MN.
6. O quebra-cabeça está pronto, é só cortar as peças formadas no quadrado maior.
QUEBRA - CABEÇA V
Passo a passo:
1. Construir o triângulo retângulo ABC, com os lados nas proporções 3, 4 e 5, e os hexágonos
regulares sobre seus lados.
2. Dividir o lado AB em três partes, de modo que AP = QB = 2PQ. Repetir o procedimento
para os demais lados do hexágono maior.
3. Construir os hexágonos regulares com lados: AP e AC1; SO e OT; WM e MZ.
4. Unir os pontos: Q e I1; R e G1; U e M1; V e K1; A1 e E1; B1 e O1.
5. Encontrar o centro do hexágono ABONML e unir com os pontos F1, J1 e N1.
6. Recortar as peças do hexágono maior e o quebra-cabeça estará pronto.
REFERÊNCIAS:
Euclides, Rosa. Mania de Pitágoras. Revista do Professor de Matemática 02.
Kaleff, Ana M. Descobrindo o Teorema de Pitágoras com o Tangram Pitagórico com
Quadrados.
Disponível
(acessado em 19/11/2014).
em
http://www.uff.br/cdme/tangrans_pitagoricos/aluno01.html
ANEXOS
RETAS PERPENDICULARES:
Marque um segmento AB do tamanho desejado.
Abra o compasso em uma abertura qualquer maior que AB/2. Em seguida coloque a
ponta seca dele no ponto A e crie a circunferência. Faça o mesmo com o ponto B. E marque
os pontos de interseção das duas circunferências (C e D).
A reta CD é perpendicular ao segmento AB.
RETAS PARALELAS:
Trace um seguimento AB qualquer, construa em B uma reta “r” perpendicular a AB,
como foi mostrado anteriormente.
Marque em “r”, um ponto C qualquer, e após isso, construa uma reta “k” passando em
C, e perpendicular à reta “r”.
Qualquer segmento na reta “k” é paralelo ao segmento AB.
TRIÂNGULO:
Tendo as medidas dos lados do triângulo, fazemos o seguinte para construí-lo:
Primeiro, traçamos o segmento AB, com tamanho igual à medida de um dos lados, que
chamaremos de L1, abra o compasso com a medida de outro lado, L2, e trace uma
circunferência de centro B e raio L2, que chamaremos de α.
Em A, trace outra circunferência, com o raio igual ao último lado, L3, que
chamaremos de circunferência β.
Chamaremos os dois pontos de intersecção de α com β, de C e D. Os triângulos ABC e
ABD são congruentes e com os lados desejados.
QUADRADO:
Trace um segmento AB, com tamanho igual ao lado do quadrado, medida essa que
chamaremos de L. Construa em B, um segmento BC, de tamanho L, e que seja perpendicular
a AB.
Agora, construa em C, um seguimento CD, de tamanho L, e que seja, ao mesmo
tempo, perpendicular a BC, e paralelo a AB.
Se todos os procedimentos anteriores foram feitos corretamente, basta marcar o
seguimento DA, que este será paralelo a BC e perpendicular a CD, e comprimento igual a L.
DIVISÃO GEOMÉTRICA:
Marque o segmento AB que gostaria de dividir. Com início em A, trace uma reta
auxiliar de qualquer tamanho.
Com uma abertura qualquer no compasso marque o número desejado para a divisão,
neste caso, como exemplo dividiremos por 5.
Então com uma abertura qualquer do compasso marque 5 pedaços iguais na reta
auxiliar. Denotaremos os pontos da divisão da reta auxiliar, de C à G respectivamente.
Marque o segmento GB, e posteriormente o segmento paralelo a GB, passando por F,
e que intercepte AB. Chamaremos a interseção deste segmento com AB de ponto H.
Trace as outras retas paralelas a GB, passando por E, D e C, interceptando AB, e
chamando os pontos de interseção de, I, J e K, respectivamente.
Agora temos que AK=KJ=JI=IH=HB, e o seguimento AB está dividido em cinco
partes iguais, lembrando que o segmento AB poderia ser dividido em quantas partes
quiséssemos, e o número 5 foi apenas um exemplo.
HEXÁGONO:
Construção 1:
Marque a circunferência β, de centro O e raio L, igual ao lado desejado do hexágono.
Marque um ponto qualquer A na circunferência, coloque a ponta seca do compasso
neste ponto, mantendo o compasso aberto na medida do raio da mesma, e marque as
interseções da circunferência de centro A e raio L com a circunferência β.
Basta repetir o processo, colocando a ponta seca do compasso nos outros pontos
gerados.
Para obter o hexágono, basta ligar os 6 pontos obtidos, conforme a figura.
Construção 2:
Marque a circunferência β, de centro O e raio L igual ao lado desejado do hexágono, e
trace seu diâmetro de extremos A e B.
Divida o segmento AB, em seis pedaços iguais, como foi descrito anteriormente,
chamando cada ponto da divisão de 1 à 7, sendo A=1 e B=7.
Trace as circunferências α, de centro A e raio 2L, e a circunferência λ de centro B e
raio 2L. Chamaremos os pontos de intercessão entre α e λ de P e Q.
Agora, escolha os pontos ímpares ou pares, do segmento AB, ressaltando que escolha
apenas os pares, ou apenas os ímpares.
Usaremos como exemplo, os ímpares. Traçando a reta que contem P1, notamos que
temos o primeiro vértice do hexágono, exatamente em cima de A.
Trançando a reta que contem P3, notamos que ela intercepta a circunferência β, em
dois pontos, para P escolheremos sempre os pontos da semicircunferência do lado oposto ao
ponto P, então para P1 o vértice referente é o ponto A, para P3 é C, para P5 é D, e para P7 é
B.
Fazendo o mesmo com o ponto Q obtemos os vértices restantes. Porém, com o ponto
Q utilizaremos os pontos que interceptam β, na semicircunferência do lado oposto de Q,
obtendo os seguintes vértices: para Q7 o vértice referente é B, para Q5 o referente é o E, para
Q3 é o F, e para Q1 é o A.
Logo, ligando os segmentos, temos que ACDBEF é um hexágono regular de lado igual a L.