Segunda Etapa
GEOMETRIA GRÁFICA e MATEMÁTICA
LEIA COM ATENÇÃO
01. Só abra este caderno após ler todas as instruções e quando for autorizado pelos fiscais da sala.
02. Preencha os dados pessoais.
03. Este caderno contém as provas de GEOMETRIA GRÁFICA e MATEMÁTICA, cada uma com 16
(dezesseis) questões, numeradas de 01 a 16, que podem ser de proposições múltiplas e/ou de
respostas numéricas e de traçado instrumental. Se não estiver completo, exija outro do fiscal da sala.
04. As questões 15 e 16 de GEOMETRIA GRÁFICA são questões de TRAÇADO INSTRUMENTAL, que
devem ser respondidas inicialmente no rascunho e, em seguida, trascritas para a FOLHA DE
RESPOSTAS.
05. As questões de proposições múltiplas apresentam 5(cinco) alternativas numeradas de duplo zero (0-0) a
duplo quatro (4-4), podendo ser todas verdadeiras, todas falsas ou algumas verdadeiras e outras falsas.
Na folha de respostas, as verdadeiras devem ser marcadas na coluna V, as falsas, na coluna F. Caso
não desejar responder algum item marque a coluna NR.
06. As questões numéricas apresentam respostas cujos valores variam de 00 a 99 que devem ser marcados,
na folha de respostas, no local correspondente ao número da questão. (COLUNA D para as dezenas e
COLUNA U para as unidades. Respostas com valores entre 0 e 9 devem ser marcadas antepondo-se zero
(0) ao valor, na COLUNA D).
07. Ao receber a folha de respostas, confira o nome da prova, o seu nome e número de inscrição. Qualquer
irregularidade observada, comunique imediatamente ao fiscal.
08. Assinale a resposta de cada questão no corpo da prova e, só depois, transfira os resultados para a folha
de respostas.
09. Para marcar a folha de respostas, utilize apenas caneta esferográfica preta e faça as marcas de acordo
com o modelo (••••••••). A marcação da folha de respostas é definitiva, não admitindo rasuras.
10. Não risque, não amasse, não dobre e não suje a folha de respostas, pois isto poderá prejudicá-lo.
11. Os fiscais não estão autorizados a emitir opinião nem a prestar esclarecimentos sobre o conteúdo das
provas. Cabe única e exclusivamente ao candidato interpretar e decidir.
12. Se a Comissão verificar que a resposta de uma questão é dúbia ou inexistente, a questão será
posteriormente anulada, e os pontos a ela correspondentes, distribuídos entre as demais.
No me:
I n scri ção :
I d en tid ad e:
Ó rg ão Exp ed id o r:
Assin atu ra:
COMISSÃO DE PROCESSOS
SELETIVOS E TREINAMENTOS
GEOMETRIA GRÁFICA/2009
01. A figura abaixo é uma vista ortogonal de um dodecaedro regular e A, B, C e D
designam quatro dos seus vértices, indicados na figura. Sobre a figura, é
correto afirmar que:
A
D
B
C
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
(ABCD) é uma figura plana.
(ABCD) é um quadrado.
(ABCD) é um retângulo de lados adjacentes desiguais.
(ABCD) é um trapézio isósceles, de ângulos não retos.
A razão entre a medida do segmento (AB) e a medida da aresta do
dodecaedro é o número de ouro (0,618 ou 1,618, aproximadamente).
02. A figura abaixo é a planificação da superfície lateral de um cone de revolução,
de geratriz g.
g
Sobre tal cone, podemos afirmar:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
O raio da base mede ¾ de g.
Sua altura é igual ao raio da base.
Seu volume é menos da metade de um cubo de aresta g.
Sua superfície total (incluindo a base) tem mais área que um círculo de
raio g.
4-4) O setor circular que completaria um círculo, na figura, serviria como
superfície lateral de outro cone com a terça parte do volume do primeiro
cone.
03. Uma superfície poliédrica está planificada na figura maior. A seu respeito
podemos afirmar:
A
l
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
B
C
O poliedro é convexo.
Seu volume equivale ao de quatro cubos de aresta l.
Pode ser representado na figura A.
Pode ser representado na figura B.
Pode ser representado na figura C.
04. Uma região tem sua área contida no interior da curva fechada do mapa da
figura, desenhado numa escala em que cada quadrícula tem seu lado medindo
2 km.
Sobre a medida da área dessa região, podemos afirmar:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
2
É inferior a 380 km .
É inferior a 38000 hectares
É superior a 25600 hectares.
2
É superior a 256 km .
É inferior a 3800000 ares.
05. Um sólido tem como vista ortogonal a figura abaixo.
Qual das figuras a seguir pode ser vista do mesmo sólido?
0-0)
1-1)
3-3)
4-4)
2-2)
06. Os arcos arquitetônicos geralmente são compostos de arcos de circunferência
concordantes entre si ou com segmentos de reta. Identifique os arcos em que
há concordância entre todas as suas partes.
0-0)
1-1)
+C
2-2)
+
C1
+
C2
+
C3
3-3)
+C2
4-4)
+
C3
C1 +
C1+
+ C2
+
C3
+
C1
+
C2
07. Nos mostradores digitais os algarismos aparecem de forma simplificada,
composta por segmentos horizontais e verticais. Sobre essas formas, podemos
afirmar, quando não são iguais a largura e a altura do algarismo:
0-0) A maioria dos algarismos têm eixo de simetria.
1-1) Alguns algarismos têm centro de simetria sem ter eixo de simetria.
2-2) Os algarismos que têm um eixo de simetria também possuem um
segundo eixo de simetria.
3-3) Apenas os algarismos 0, 1 e 8 têm centro de simetria.
4-4) Os algarismos 4, 6, 7 e 9 não têm eixo de simetria.
08. Medindo seu sítio, com contorno de um quadrilátero convexo em uma região
plana, um proprietário rural encontrou os seguintes números para os seus lados
consecutivos, medidos em metros: 1250, 820, 950 e 1380. Notou que é reto o
ângulo entre os dois primeiros lados medidos. O que se pode fazer nesse sítio?
0-0) Construir sua casa eqüidistante dos quatro lados do terreno.
1-1) Cercar o sítio com 2200 estacas, espaçadas de 2m.
2-2) Abrir porteiras nos pontos A, B, C e D, situadas no centro de cada lado do
sítio e abrir estradas retas entre as porteiras de lados adjacentes. Tais
estradas formarão um paralelogramo.
3-3) Plantar culturas diferentes dentro e fora do quadrilátero formado pelas
estradas de porteira a porteira, e tais plantações ocuparão áreas iguais.
4-4) Abrir estradas retas da casa a cada porteira, e todas elas terão o mesmo
comprimento.
09. Os dois sólidos estão representados em isometria. A seu respeito podemos
afirmar:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
Têm o mesmo volume.
Têm a mesma área superficial.
Têm o mesmo comprimento total de arestas.
Tem cada um deles cinco arestas paralelas entre si.
Tem cada um deles três faces em planos paralelos.
10. O canteiro de uma praça tem a forma do setor circular (ABC). Pretende-se
instalar nele uma fonte luminosa eqüidistante dos três lados. Onde estará o
ponto para instalar a fonte em tal condição?
A
B
C
0-0) Não há ponto eqüidistante dos três lados do setor.
1-1) No centro de uma circunferência tangente aos segmentos (AC) e (BC) e
ao arco (AB).
2-2) Na interseção da corda (AB) com a bissetriz do ângulo em C.
3-3) No ponto médio do raio do arco (AB) que é bissetriz do ângulo em C.
4-4) Na interseção da bissetriz do ângulo em C com duas parábolas, uma
passando em A e outra em B.
11. Uma moeda circular precisa ser cunhada, contendo na sua face todo o
quadrilátero (ABCD). A respeito da menor moeda possível que contenha a
figura, podemos afirmar:
A
D
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
B
C
A, B e C são pontos da sua circunferência.
Três dos vértices do quadrilátero são pontos da sua circunferência.
Os quatro vértices são pontos da sua circunferência.
A e C são pontos da sua circunferência.
Uma das diagonais de (ABCD) é diâmetro da moeda.
12. A figura abaixo representa um dodecaedro regular em simetria quinária. A
respeito das diagonais de face deste poliedro podemos afirmar:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
20 diagonais de face do poliedro estão em verdadeira grandeza.
O dodecágono que limita o dodecaedro, na figura, é regular.
Apenas duas faces do dodecaedro estão em verdadeira grandeza.
O diâmetro de uma esfera circunscrita ao dodecaedro é igual ao dobro da
medida da sua aresta.
4-4) 12 diagonais de face do poliedro estão em verdadeira grandeza.
13. Os pontos A, B e C da figura abaixo são três dos vértices de um quadrilátero
convexo (ABCD) que circunscreve uma circunferência de raio igual a 2,5 cm. A
seu respeito, podemos afirmar que:
A
C
B
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
O ângulo em A e o ângulo em C são suplementares.
O lado (AD) mede ≈2,0 cm.
(CD) = ((AB) + (BC)) – (AB)
(AC) = (BD)
O quadrilátero é circunscritível e inscritível.
14. Observe a circunferência de centro O da figura abaixo e considere o ponto P
fixo. Nesta situação é possível afirmar:
O
P
0-0) Uma corda (PQ) da circunferência, oposta a um ângulo central de 60º,
também é oposta a um arco capaz de 120º.
1-1) Para a corda (PR) da circunferência igual a 4 cm, o ângulo inscrito (PXR )
é superior a 40º.
2-2) Para a corda (PS) da circunferência igual a 5 cm, o ângulo central (POS) é
agudo.
3-3) Se três cordas, (PS), (ST) e (PT), determinam um triângulo eqüilátero
inscrito na circunferência, o arco (PTS) é “capaz de ver” o segmento (PT)
sob um ângulo de 60º.
4-4) Quando o ângulo (PUV) mede 90º, a corda (PV) mede 6 cm.
15. Uma peça, recortada de um paralelepípedo retângulo, está representada em
isometria na figura abaixo. Desenhe a vista ortogonal superior dessa peça, na
folha de respostas, justificando o traçado.
16. A fachada de um prédio tem largura de 12m. Na folha de respostas, trace um
segmento de reta que represente, em planta na escala de 1/200, a linha de
fachada desse prédio. Localize na planta todos os pontos que estão a 8m do
ponto médio da fachada, e dos quais esta fachada seja observada sob ângulo
de 60º. Justifique o traçado.
Matemática
01. Analise as afirmações a seguir, considerando a função f, tendo como domínio e
contradomínio o conjunto dos números reais, dada por f ( x ) =
2x
. Parte do
x +1
2
gráfico de f está esboçada a seguir.
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
f é uma função par.
A única raiz de f(x) = 0 é x = 0.
|f(x)| ≤ 1, para todo x real.
Dado um real y, com |y| < 1 e y ≠ 0, existem dois valores reais x tais que
f(x) = y.
4-4) f é uma função sobrejetiva.
02. Das companhias que publicam anúncios nos jornais C, D ou F, sabemos que:
- 30 publicam no C,
- 25 publicam no D,
- 30 publicam no F,
- 10 publicam em C e D,
- 9 publicam em F e D,
- 11 publicam em C e F, e
- 6 publicam em C, D e F.
Considerando estas informações, analise as sentenças a seguir.
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
Onze companhias publicam anúncios em exatamente dois dos jornais.
Dezoito companhias publicam anúncios em pelo menos dois dos jornais.
Quarenta e três companhias publicam anúncios em um único jornal.
Sessenta e uma companhias publicam anúncios em pelo menos um dos
três jornais.
4-4) Treze companhias publicam anúncios apenas no jornal D.
03. Um cilindro C1, reto e de altura 4, está inscrito em uma semi-esfera de raio 21
(ou seja, uma base do cilindro repousa na base da semi-esfera e a circunferência
da outra base está contida na semi-esfera), como ilustrado abaixo na figura à
esquerda. Seja x a altura de outro cilindro, C2, inscrito na mesma semi-esfera, e
de mesmo volume que C1.
4
Admitindo estes dados, analise as informações a seguir.
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
O raio da base de C2 é 21 − x2 .
O volume de C2 é 18π.
A altura x de C2 é raiz da equação x3 - 21x +20 = 0.
2
A altura x de C2 é raiz da equação x - 4x - 7 = 0.
4-4) A área lateral de C2 é 2π 5 .
x
04. Em uma escala de um vôo, as seguintes tarefas precisam ser executadas, nos
intervalos de tempo mencionados. Quando alguma tarefa precisa ser executada
depois de outra(s), tal fato é observado; quando não há nenhuma observação, as
tarefas podem ser executadas simultaneamente.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Desembarque dos passageiros (15min)
Desembarque das bagagens (15min)
Embarque das bagagens dos novos passageiros (20min)(depois de 2)
Higienização da aeronave (15min)(depois de 1)
Abastecimento de combustível (20min) (depois de 1)
Checagem mecânica (20min)
Embarque das refeições (10min)(depois de 4)
Embarque dos novos passageiros (20min)(depois de 4 e 5).
Quantos minutos são necessários para executar todas as tarefas acima?
05. Admita que, quando a luz incide em um painel de vidro, sua intensidade diminui
em 10%. Qual o número mínimo de painéis necessários para que a intensidade
da luz, depois de atravessar os painéis, se reduza a 1/3 de sua intensidade?
Dado: use a aproximação para o logaritmo decimal log 3 ≈ 0,48.
06. As parábolas com equações y = -x2 + 2x + 3 e y = x2 – 4x + 3 estão esboçadas a
seguir. Qual a área do menor retângulo, com lados paralelos aos eixos, que
contém a área colorida, limitada pelos gráficos das parábolas?
07. Júnior se exercita correndo 5km, 7km ou 9km por dia. Em certo período de dias
consecutivos, superior a 7 dias, ele percorreu um total de 51km, e, pelo menos
uma vez, cada um dos percursos de 5km, 7km e 9km. Quantas vezes, neste
período, Júnior percorreu a distância de 5km?
08. Na ilustração a seguir, ABC é um triângulo retângulo com os catetos AB e AC
medindo, respectivamente, 40 e 30. Se M é o ponto médio de AB e N é a
interseção da bissetriz do ângulo ACB com o lado AB, qual a área do triângulo
CNM?
C
A
N M
B
09. Ao efetuarmos o produto dos polinômios abaixo
(1 + x + x2 +...+ x100)(1 + x + x2 + ... + x50)
qual o coeficiente de x75? (Observação: os polinômios têm graus 100 e 50 e todos
os coeficientes iguais a 1.)
10. Quatro amigos, A, B, C e D compraram um presente que custou R$ 360,00. Se:
- A pagou metade do que pagaram juntos B, C e D,
- B pagou um terço do que pagaram juntos A, C e D e
- C pagou um quarto do que pagaram juntos A, B e D,
quanto pagou D, em reais?
11. Em uma festa, cada um dos participantes cumprimenta cada um dos demais,
uma vez. Se o número de cumprimentos entre dois homens foi 21, e entre duas
mulheres foi 45, quantos foram os cumprimentos entre um homem e uma
mulher?
12. Uma gaveta contém 3 canetas pretas e 1 caneta vermelha. Uma segunda gaveta
contém 7 canetas pretas e 3 azuis. Aleatoriamente, uma caneta é retirada da
segunda gaveta e colocada na primeira e, em seguida, uma caneta é retirada da
primeira gaveta e colocada na segunda. Qual a probabilidade percentual de o
número de canetas de cada cor permanecer o mesmo nas duas gavetas?
13. Em um sistema de coordenadas ortogonais xOy, um triângulo tem vértices nos
pontos de interseção das retas com equações y = x, y = -x + 12 e y = x/5
(ilustradas a seguir). Se a equação da circunferência circunscrita ao triângulo é x2
+ y2 + ax + by + c = 0, indique o valor de (a - b + c)2.
0
14. Qual a distância entre um vértice de um cubo, com aresta medindo 20 6 , e uma
das diagonais do cubo que não passam pelo vértice?
15. Um retângulo ABCD é dividido em nove retângulos, e o perímetro de cada um de
três destes retângulos, está indicado em seu interior, como ilustrado na figura
abaixo.
D
C
34
40
24
A
B
Qual o perímetro do retângulo ABCD?
16. A ilustração a seguir é parte do gráfico da função y = a.sen (b π x) + c, com a, b e
c sendo constantes reais. A função tem período 2 e passa pelos pontos com
coordenadas (0,3) e (1/2,5).
5
3
0,5
Determine a, b e c e indique (a + b + c)2.