Faculdade de Engenharia Química (FEQ)
Departamento de Termofluidodinâmica (DTF)
Disciplina EQ741 - Fenômenos de Transporte III
Capítulo I - Fundamentos da Transferência de Massa
Professora: Katia Tannous
Monitor: Rafael Firmani Perna
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
1
Agenda
Introdução
1. T.M. Molecular
1.1. Equação de Fick
1.1.1. Concentrações
1.1.2. Velocidades
1.1.3. Fluxos
1.2. Tipos Relacionados de T.M. Molecular
2. Coeficiente de Difusão
2.1. Coef. de difusão gasosa
2.2. Coef. de difusão líquida
2.3. Coef. de difusão sólida
3. T.M. Convectiva
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
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Introdução
Definição do Fenômeno
Entende-se por transferência de massa, o transporte de um componente
de uma região de alta concentração para outra de baixa concentração.
Baixa
Concentração
Alta
Concentração
Gradiente de concentração
T.Mov. e T.C.
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
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Introdução (cont.)
Ocorrências do Fenômeno – Processos Industriais
1. Remoção de substâncias voláteis poluentes por adsorção
2. Remoção de gases à partir de águas residuárias
3. Difusão de partículas adsorvidas no interior dos poros de carvão ativado
(remoção de odor em geladeira e impurezas em água)
4. Taxa de reação química e biológica catalisada (Lipase adsorvida em Algas
marinhas-agarose)
5. Produção de álcool
6. Secagem de madeira
7. Ar condicionado
...e muitos outros processos !!!
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Introdução (cont.)
Tipos de Transferência de Massa
O mecanismo da transferência de massa depende da dinâmica da
mistura no qual ocorre.
Transferência de
massa Molecular
Massa
Exemplo da vida cotidiana:
difusão do açúcar na xícara
o café dependerá do tempo
de distribuição
2º sem. de 2011
Movimento
randômico de um
fluido em repouso
Transferência
Transferência de
massa Convectiva
Superfície de um
fluido em movimento
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5
Introdução (cont.)
Ambos os tipos de transferência de massa – molecular e convectivo –
são análogos aos da transferência de calor, isto é :
T.M. Molecular
T.C. por Condução
T.M. Convectiva
T.C. por Convecção
Atenção !!!
Na T.C. ambos os mecanismos, freqüentemente, agem simultaneamente.
Na T.M. um dos mecanismos pode dominar quantitativamente.
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6
1. T.M. Molecular
Breve Histórico
Parrot, antes de 1815, analisando uma mistura de gases contendo
duas ou mais espécies moleculares, constatou que:
1. Concentrações relativas variam de ponto a ponto em um processo
aparentemente natural;
2. Ao final, a mistura tende a diminuir qualquer inigualdade da
composição.
Surgi, então, o termo :
DIFUSÃO MOLECULAR
2º sem. de 2011
Movimento molecular aleatório que
leva à mistura completa. Esse
transporte microscópico independe
de qualquer convecção dentro do
sistema.
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T.M. Molecular (cont.)
Para misturas gasosas
Fenômeno explicado pela teoria cinética
dos gases a baixas pressões
Causa do Fenômeno:
Para temperaturas acima do zero absoluto, moléculas individuais estão
no estado do movimento contínuo ainda aleatório.
Dentro de misturas gasosas diluídas, cada molécula comporta-se
independentemente das outras moléculas de soluto.
Colisões entre moléculas de soluto e solvente estão continuamente
ocorrendo.
Como resultado das colisões, as moléculas de soluto movem-se ao
longo de um caminho em zig-zag, ora através de uma região de alta
concentração, ora através de baixas concentrações.
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T.M. Molecular (cont.)
Exemplo: Difusão do componente B num recipiente após a remoção de uma
placa que o divide em duas seções
V1
t=0
V
CB = 14 / V1
t=
∞
CB = 20 / V
CA = 6 / V
CA = 6 / V1
Placa (área A)
Z
V2
t=0
CB = 6 / V2
CA =0
2º sem. de 2011
A (soluto)
B (solvente)
Sistema isotérmico e isobárico
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T.M. Molecular (cont.)
Video – Difusão de Gases na Industria Química
http://www.youtube.com/watch?v=H7QsDs8ZRMI&NR=1
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T.M. Molecular (cont.)
1.1. Lei da Difusividade de Fick
As leis de Transferência de Massa mostram uma relação entre:
1. Fluxo de uma substância difusiva
2. Gradiente de concentração
Desde que a T.M. ou difusão ocorre somente para misturas, deve-se
avaliar os efeitos de cada componente.
Exemplo Típico:
Conhecer a taxa de difusão de um componente específico relativo
a velocidade da mistura (média das velocidades) na qual está se
movendo.
Isto é possível graças a um conjunto de definições e relações que
explicam o jogo dos componentes dentro de uma mistura !!!
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T.M. Molecular (cont.)
1.1.1. Concentração
Em misturas multicomponentes, a concentração de uma espécie molecular
pode ser expressa de várias formas:
A) Concentração ou densidade mássica total (ρ): massa total do sistema
contido em uma unidade de volume da mistura
n
ρ = ∑ ρi
i =1
onde, n é o número das espécies na mistura
(1)
A fração mássica, wA, é a concentração mássica da espécie “A”
dividida pela densidade mássica total
wA =
ρA
ρ
= A
ρ
n
∑ρ
n
(2)
sendo
∑wi = 1
(3)
i =1
i
i =1
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T.M. Molecular (cont.)
B) Concentração molar da espécie A (CA): número de moles de “A”
presentes por unidade de volume da mistura
CA =
moles A
V mistura
Por definição: 1 mol de qq. espécie contém massa equivalente ao sua
massa molecular (Tabela C.1 – Tabela periódica)
Relação entre as concentrações mássica (ρA) e massa molecular (MA)
da espécie A é definida por:
CA =
2º sem. de 2011
ρA
(4)
MA
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13
T.M. Molecular (cont.)
Quando relacionado com a fase gasosa, as concentrações são
expressas em termos de pressões parciais, isto é:
PAV = n A RT
Aplicando-se a equação da concentração molar, tem-se:
PA : pressão parcial da espécie A na mistura
CA =
nA
P
= A
V
R.T
nA : número de moles da espécie A
V : Volume de gás
(5)
T : Temperatura absoluta
R : constante dos gases
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T.M. Molecular (cont.)
C) Concentração molar total (C): número de moles total da mistura
contida em uma unidade de volume:
n
C = ∑ Ci
(6)
i =1
ou para uma mistura gasosa que obedece a lei dos gases ideais, tem-se:
C=
ntotal
P
=
V
R.T
sabendo que, P é a pressão total
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T.M. Molecular (cont.)
A fração molar para misturas de líquidos ou sólidos, xA, e gasosas, yA,
é definida como a razão entre a concentração molar da espécie química A
e a concentração molar total :
fração molar de líquidos e sólidos
n
xA =
CA
C
∑x
i
(7.a)
=1
i =1
(7.b)
fração molar de gases
C
yA = A
C
2º sem. de 2011
n
∑y
(8.a)
i
=1
(8.b)
i =1
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T.M. Molecular (cont.)
Para misturas gasosas que obedecem a lei dos gases ideais, a
fração molar pode ser expressa em função da pressão:
yA =
C A PA R.T PA
=
=
C
P R.T
P
(9)
Representação algébrica da Lei de Dalton
O resumo dos termos de várias concentrações e inter-relações para
sistemas binários contendo espécie A e B está apresentado a seguir:
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
17
Concentrações para Sistemas Binários (A em B)
2º sem. de 2011
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T.M. Molecular (cont.)
1.1.2. Velocidades
A) Velocidade mássica média: para mistura multicomponente, é definida
em termos de densidade mássica para todos os componentes.
n
→
v =
n
∑ ∑
→
ρi vi
i =1
n
(10)
i =1
=
∑
→
ρi vi
ρ
ρi
i =1
r
v
é a velocidade absoluta das espécies i relativo ao eixo das
coordenadas estacionárias.
Pode ser medida por um tudo de Pitot e é a mesma velocidade que se
aplica nas equações de transferência de movimento.
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T.M. Molecular (cont.)
B) Velocidade molar média : definida em termos das concentrações
molares de todos os componentes.
n
n
→
→
∑c v ∑c v
i
→
V=
i
i =1
n
∑c
i
=
i
i =1
c
(11)
i
i =1
* Em uma mistura gasosa de várias espécies (multicomponentes), normalmente,
moverão em diferentes velocidades. Para a avaliação de uma velocidade, requererse-á a média das velocidades para cada espécie presente.
2º sem. de 2011
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T.M. Molecular (cont.)
A velocidade de espécies particulares relativa a velocidade mássica ou
molar média é definida como velocidade de difusão.
Há dois tipos de velocidade de difusão:
1.
vi − v
vi − V
2.
→ velocidade de difusão das espécies i relativa a velocidade
mássica média;
→ velocidade de difusão das espécies i relativa a
velocidade molar média.
Atenção !!!
De acordo com a lei de Fick, uma espécie pode ter velocidade relativa à
velocidade mássica ou molar média somente se existirem gradientes de
concentração.
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T.M. Molecular (cont.)
Visualização:
Em um rio há diversas espécies de peixes como lambari, traíra, pacu,
etc.. Existe uma velocidade media absoluta inerente a cada espécie,
que está associada ao seu cardume. Por exemplo: a velocidade do
lambari é a velocidade do cardume de lambari.
Se considerarmos o cardume do peixe “i”, a sua velocidade será vi;
Se referenciarmos a velocidade do cardume (espécie) “i” à do rio,
teremos a “velocidade de difusão da espécie i”
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
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T.M. Molecular (cont.)
1.1.3. Fluxos
O fluxo mássico ou molar de uma dada espécie é uma quantidade
vetorial denominado através da quantidade desta espécie em unidades
mássicas ou molares, que se deslocam em um dado incremento de
tempo por uma unidade de área normal ao vetor.
Mais precisamente, o fluxo é dado pelo produto da velocidade e concentração, tendo unidade de [massa/(área*tempo)]
Os fluxos podem ser referenciados através das três coordenadas fixas
no espaço (referência inercial) ou movendo-se com relação a uma
velocidade de referência (velocidade mássica ou molar média).
2º sem. de 2011
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T.M. Molecular (cont.)
* Fluxos em relação a uma velocidade de referência:
A 1º Lei de difusividade de Fick (1855) define a difusão molecular do
componente A em uma mistura isobárica e isotérmica. Para uma difusão
somente na direção z, tem-se:
Fluxo Molar Médio
J A,
A, z = − D AB
dC A
dz
(12)
onde:
JA ,z :
fluxo molar na direção z relativo a velocidade molar média
DAB :
fator de proporcionalidade - coeficiente de difusão (ou difusividade
mássica) para o componente A difuso em B
(dCA/dz) : gradiente de concentração na direção z
Atenção !!!
Sinal negativo indica que o fluxo está em sentido oposto ao eixo z, ou seja, na região de maior
concentração para a de menor concentração.
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T.M. Molecular (cont.)
Relação de fluxo genérico (Groot – 1951): Não restringe o fato do sistema
ser isobárico e isotérmico.
Fluxo Molar = - (densidade total).(coeficiente de difusão).(gradiente de concentração)
(ou concentração)
ou
J A, z = −c.DAB
2º sem. de 2011
dy A
dz
(13)
Equação Geral
Katia Tannous e Rafael F. Perna
25
T.M. Molecular (cont.)
Fluxo Mássico Médio
j A, z = − ρ .DAB
dwA
dz
(14)
onde:
jA ,z :
fluxo mássico na direção z relativo a velocidade mássica média
(dwA/dz) : gradiente de concentração em termos de fração mássica
Quando a densidade é constante, a relação acima pode ser simplificada:
j A , z = − D AB
dρ A
dz
(15)
sabendo que: wA=ρA/ρ
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
26
T.M. Molecular (cont.)
Considerando que os diversos cardumes de peixes passem por debaixo
de uma ponte, a qual está situada perpendicularmente ao escoamento do
rio, tem-se a seguinte questão: que velocidade está associada ao fluxo??
i. velocidade do rio;
ii. velocidade de difusão do cardume = veloc. do cardume – veloc. do
rio (solução diluída)
iii. velocidade absoluta do cardume = velocidade do cardume – veloc.
da ponte
Qualquer que seja a velocidade, o fluxo total do cardume “A” é
referenciado a um eixo estacionário, dado por:
 Movimento de A   Movimento de A 
 Movimento de A  
 


 =  decorrente do ato  +  resultante do

 observado na ponte   de nadar no rio   escoamento do rio 

 

2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
27
T.M. Molecular (cont.)
As T.M. contribuições mais importantes são:
Contribuição difusiva: transporte de matéria devido às interações
moleculares (Interação soluto/meio).
Contribuição convectiva: auxílio ao transporte de matéria como
conseqüência do movimento do meio (Interação soluto/meio + ação
externa).
Soluto = Cardumes de peixes

→ Contribuição Difusiva e Convectiva
Identificando Meio = Rio
Movimento = Peixe + Rio

2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
28
T.M. Molecular (cont.)
Para o caso (ii) tem-se um fenômeno difusivo e o fluxo associado será
devido a contribuição difusiva molar:
J A , z = c A (v A , z − V z )
(16)
onde:
vA,z : velocidade mássica média [veloc. espécie A (peixe “i” ou cardume “i” ), direção Z]
Vz : velocidade molar média [velocidade do rio (meio), direção Z]
cA : concentração molar da espécie A
(vA,z – Vz) : velocidade de difusão relativo a velocidade molar média
Cont. difusiva mássica
2º sem. de 2011
j A ,z = ρ A (v A ,z − v z )
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29
T.M. Molecular (cont.)
Suponha-se agora que, ao invés de nadar, o cardume A deixa-se levar
pelo rio. O movimento do cardume será devido à velocidade do meio. O
fluxo associado, neste caso, decorre da contribuição convectiva:
J A ,z = c AVz
(17)
Contribuição convectiva analisada por um observador parado sobre uma
ponte.
Cont. convectiva mássica
2º sem. de 2011
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j A ,z = ρ A v z
30
T.M. Molecular (cont.)
Exemplos das contribuições
1. Se um balão, preenchido com tinta colorida, é jogado dentro de um
lago, a tinta difundirá radialmente pela contribuição do gradiente de
concentração (contribuição difusiva);
2. Quando uma fita é jogada dentro de uma corrente em movimento, esta
flutuará corrente abaixo pela contribuição do movimento volumétrico
(contribuição convectiva);
3. Se o balão preenchido com tinta for jogado dentro de uma corrente em
movimento, a tinta se difunde radialmente e é transportada corrente
abaixo. Logo, ambas as contribuições participam simultaneamente na
transferência de massa.
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
31
T.M. Molecular (cont.)
Voltando a contribuição difusiva e relacionando as equações (13) e (16),
tem-se:
J A ,z = c A ( v A ,z − Vz ) = −cDAB
dy A
dz
(18)
Rearranjando, obtêm-se:
c Av A ,z = −cDAB
2º sem. de 2011
dy A
+ c AVz
dz
Katia Tannous e Rafael F. Perna
(19)
32
T.M. Molecular (cont.)
Para uma mistura binária, Vz pode ser avaliado pela equação (11) como:
1
V z = ( c Av A ,z + c B v B , z )
c
(20)
sabendo que:
yA =
cA
c
(P/ gases)
obtêm-se:
c AVz = y A (c Av A, z + cB vB , z )
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
(21)
33
T.M. Molecular (cont.)
Substituindo a equação (21) na equação (19), tem-se:
c Av A,z = −cD AB
dy A
+ y A ( c Av A ,z + c B v B ,z )
dz
(22)
Observação:
Desde que as componentes de velocidade, vA,z e vB,z, são velocidades relativas
ao eixo z, as quantidades cAvA,z e cBvB,z, são os fluxos dos componentes A e
B relativo à coordenada fixa z.
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
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T.M. Molecular (cont.)
* Fluxos em relação a um sistema de referência inercial
O Fluxo Molar das espécies A e B em relação a um sistema de
coordenadas fixas, pode ser escrito:
→
→
→
e
N A = cA vA
→
N B = cB vB
(23)
Substituindo ambas as equações acima na equação (22), obtém-se uma
relação para o fluxo do componente A relativo ao eixo z:
N A,z = −cD AB
2º sem. de 2011
dy A
+ y A ( N A ,z + N B ,z )
dz
(24)
Katia Tannous e Rafael F. Perna
35
T.M. Molecular (cont.)
Generalizando a equação (24), e reescrevendo-a na forma vetorial, tem-se:
→
→
→
N A = −c.DAB∇y A + y A ( N A + N B )
(25)
Resultante da quantidade de 2 vetores:
Fluxo molar, JA, resultante do gradiente de concentração.
Esse termo é referido como a “contribuição do
gradiente de concentração”
− cD AB ∇y A
→
→
→
y A ( N A + N B ) = cA V
Fluxo molar resultante do componente A é transportado
no fluxo do fluido. Esse termo de fluxo é designado como
a “contribuição do movimento volumétrico”
JA,Z
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
36
T.M. Molecular (cont.)
Se a espécie A difundir em uma mistura multicomponentes, a expressão
equivalente a equação (25) fica:
n
→
→
N A = − c.D AM ∇ y A + y A ∑ N i
(26)
i =1
onde DAM é o coeficiente de difusão de A na mistura
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
37
T.M. Molecular (cont.)
O Fluxo Mássico, nA, relativo a uma mistura de coordenadas fixas, é
definido para uma mistura binária, em termos de densidade e fração
mássica, por:
→
→
→
n A = − ρ .DAB ∇wA + wA (n A + nB )
(27)
onde:
→
→
nA = ρ A vA
2º sem. de 2011
→
e
Katia Tannous e Rafael F. Perna
nB = ρ
→
B
vB
(28)
38
T.M. Molecular (cont.)
Sob condições adiabáticas e isotérmicas, a equação (27) pode ser
simplificada:
→
→
→
n A = − D AB ∇ ρ A + w A ( n A + n B )
(29)
Observa-se que o fluxo é a resultante da quantidade de dois vetores:
− DAB∇ρ A
→
→
wA ( n A + nB )
2º sem. de 2011
Fluxo mássico, jA,z, resultante do gradiente de
concentração. Esse termo é referido como a
“contribuição do gradiente de concentração”
Fluxo mássico resultante do componente A
transportado no fluxo do fluido. Esse termo de fluxo é
designado como a “contribuição do movimento
volumétrico”
Katia Tannous e Rafael F. Perna
39
T.M. Molecular (cont.)
Considerações gerais a respeito dos fluxos
As quatro equações que definem os fluxos JA, jA, NA e nA, são todas
equivalentes a equação de Fick;
O coeficiente de difusão, DAB, é idêntico para todas as equações;
Todas as equações, vistas até aqui, descrevem a difusão molecular;
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
40
T.M. Molecular (cont.)
Aplicações para os fluxos da difusão molecular
n A e jA
equações de Navier-Stokes descrevem
o processo
movimento descritos em
termos mássicos
JA e NA
descrevem as operações de T.M.
com reações químicas
reações químicas descritas em
termos de moles de reagentes
nA e NA
descrevem operações de engenharia
dentro de equipamentos de
processos
Eixos fixos
descrevem a T.M. em células de
difusão para medidas de coeficiente
de difusão
Eixos móveis
jA e JA
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
41
T.M. Molecular (cont.)
Resumo das Formas Equivalentes da Equação do Fluxo de Massa
para Mistura Binária A e B
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
42