Prof. Meire de Fátima
FUNÇÃO COMPOSTA
• Observe o diagrama:
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Função composta:
Ídeia de função composta:
Paulo administra o Simba-safari ( parque de
animais selvagens), precisa fazer um levantamento
do número de pessoas que visitam o parque aos
domingos.
Para realizar este cálculo, ele levou em conta que
cada ingresso dá direito à entrada de um veículo,
independentemente do número de passageiros
que ele tenha.
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Primeiro, ele calculou que, aos domingos, entraram em
média 35 veículos no parque a cada hora. Com esses
dados, escreveu uma função relacionando o número de
horas, após a abertura do parque, com o número de
veículos que entram no parque:
v = v(t) = 35 . t
(v= nº veículos e t = nº horas
Depois de diversas observações e cálculos. Paulo
percebeu que, em média, o número de pessoas e o
número de veículos relacionavam-se de acordo com
outra função:
p = p(v) = 4 . v
(v = nº veículos e p= nº pessoas
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Por fim, fez uma composição entre as duas funções e
encontrou uma terceira função que relaciona
diretamente o número de pessoas com o número de
horas.
v = 35 t
P = 4. ( 35. t )
P = 140 t
v=4v
Esta última função é chamada de função
composta de p com v e indicamos por p o v
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A última função que Paulo encontrou é chamada função
composta de p com v e indicada por p o v ou p(v(x))
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p = 140 t
p = 140 . 8 = 1120
Assim ele concluiu que em 8 horas
1.120 pessoas visitam o parque aos
domingos
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Função composta:
• Dadas as funções f: A em B e g: B em C,
denominamos função composta de g e f a
função g ◦ f: A em C, que é definida por
(g ◦ f) (x) = g ( f ( x) ), x ∈ A.
• Exemplo:
• Dados A ={ 1, 2, 3, 4}, B ={ 2, 3, 4, 5} e
C ={ 4, 9, 16, 25} vamos considerar as
funções:
f: A B dada por f(x) = x + 1 e
g: B C dada por g (x) = x 2
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Observe o diagrama:
f(x)=x+1
D(f)
g(x)= x2
CD(f) = D (g)
g (f ( x ) = ( x+1)2
CD (g)
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Observações:
A função composta g o f só está definida se CD (f) = D (g).
A composição ( g o f ) o h indica primeiro “ g composta
com f” e em seguida “(g o f ) composta com h”
Na composição de funções, vale a propriedade associativa
ou seja:
(g o f) o h = g o ( f o h )
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Notamos que:
(g o f ) (1) = g ( f ( 1 ) ) = 4 e que (1 + 1 ) 2 = 4
(g o f ) (2) = g ( f ( 2 ) ) = 9 e que (2 + 1 ) 2 = 9
(g o f ) (3) = g ( f ( 3 ) ) = 16 e que (3 + 1 ) 2 = 16
(g o f ) (4) = g ( f ( 4 ) ) = 25 e que (4 + 1 ) 2 = 25
Percebemos que g( f ( x ) ) = ( x + 1 )2 , ou seja,
(g o f) (x) = g ( f ( x ) ) = g (x+1) = ( x + 1 )2
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Para resolver uma função composta
f de g de x ( f ( g ( x )) basta substituir
g(x) em f(x) ( f ◦ g )
Para resolver uma função composta
g de f de x g ( f ( x )) basta substituir
f (x) em g(x) ( g ◦ f )
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Exemplos:
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Seja f(x) = 2x + 1 e g ( x ) = 3x – 2
Vamos montar a composta g ◦ f
Substitui f em g
g(x) = 3 x – 2
g ( f ( x ) = 3 (2x + 1 ) – 2
g( f ( x ) ) = 6 x + 3 – 2
g ( f ( x ) ) = 6 x + 1 ( composta )
Ou g o f = 6x + 1
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Atividades:
Dadas f(x) = 2x + 2 , g(x) = 3x2, p(x) = x – 6
Encontre:
a) f( g ( x ) )
b) g( f ( x ) )
c) g( p ( x ) )
d) p( g ( x ) )
e) f( p ( x ) )
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Respostas:
a) f(g(x)) = 6x2 + 2
b) g(f(x)) = 12x2 + 24x + 12
c) g(p(x)) = 3x2-36x+108
d) p(g(x)) = 3x2-6
e) f(p(x)) = 2x-10