PESADELO DE FUBINI E SISTEMAS DINÂMICOS
ALI TAHZIBI
1. Lançamento de Moeda e Sistemas Dinâmicos
Seja ω ∈ (0, 1] e (d1 (ω), d2 (ω), · · · ) a expansão binária de ω, i.e
∞
X
dn (ω)
ω=
= 0, d1 (ω)d2 (ω) · · · .
2n
n=1
Vamos combinar que 21 = 0, 0111 · · · e não 0, 1000 · · · . É claro que
ambas representam o número 1/2, entretanto vamos somente escolher representações que não terminam com infinitos zero’s. Imagine
uma moeda com adesivos nos lados “cara”e “coroa.”Ao lançar a
moeda vamos obter uma sequência de zero e um’s. Portanto se
lançarmos a moeda infinitas vezes (se trabalharmos teremos tempo
para isto!) podemos corresponder um número ω a este experimento
de lançamentos. Recordando noções básicas de probabilidade podemos calcular a probabilidade de que nos primeiros n lançamento o
resultado seja ωi , i = 1, · · · n, ωi ∈ {0, 1}. Se a moeda não for viciada
essa probabilidade é igual a 21n . Agora vamos calcular a ”medida”de
conjunto dos números que correspondem a estes lançamentos. Se ω
representa um lançamento mencionado acima: di (ω) = ωi , i = 1, · · · n
e portanto
n
n
∞
X
X
ωi
ωi X 1
<
ω
≤
+
2n
2n i=n+1 2i
i=1
i=1
P
P
Então o conjunto {ω : di (ω) = ωi , i = 1, · · · , n} = ( ni=1 ω2ni , ni=1 ω2ni + 21n ] =
An . Observe que o comprimento do intervalo An é igual a 21n que
coincide com a probabilidade de lançar uma moeda não viciada e
obter ωi em i’ésimo lançamento, i = 1, 2, · · · n.
P
Exercı́cio 1. Prova que a medida de conjunto {ω : ni=1 di (ω) = k} é igual
n 1
.
k 2n
(
1
ωn = 1,
Seja ω ∈ (0, 1]. Definimos rn (ω) = 2dn (ω) − 1 =
−1
ωn = 0.
Pn
Agora considere sn (ω) = i=1 ri (ω). Obviamente −n ≤ sn (ω) ≤ n e pors (ω)
tanto −1 ≤ nn ≤ 1. Vamos definir números normais ou balanceados
1
2
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aqueles ω tais que
sn (ω)
= 0.
n→∞
n
Se interpretarmos ω = (0, ω1 ω2 · · · )2 como um lançamento inifinito
de moeda, ω é normal se “ao longo prazo”, em média número das
vezes que obtemos “cara”é igual ao número das “coroas”!
lim
Exercı́cio 2. Seja ω = (011000011111111 · · · ), onde zero’s e um’s aprecem
na sequência com multiplicidade 2k . Mostre que ω não é um número normal.
Tenta apesentar mais exemplos de números que não são normais.
É interessante apresentar exemplos de números normais. Apresentar exemplos de números normais não é uma tarefa trivial. Para
ver alguns exemplos veja (Uma coleção de resultados sobre números
normais, Dissertação de Mestrado J. Kras, UFRGS1) Um Teorema de
E. Borel que vamos provar nesta seção afirma que o conjunto de
números normais é muito grande no sentido de teoria de medidas.
Definição 1. Um conjunto N tem medida nula se para qualquer >S0 exista
umaPcobertura (finita ou enumerável infinita) por intervalos N ⊂ k Ik tal
que k |Ik | ≤ .
Um conjunto é dito de medida de Lebesgue total, se seu complementar seja de medida nula.
Teorema 1. (Teorema de Números normais de Borel) O conjunto de números
normais tem medida total.
Precisamos provar que o conjunto
N := {ω : lim
n→∞
1
sn (ω) = 0}
n
tem medida total. Para isto precisamos provar que Nc tem medida
nula. Usando desingualdade de Chebychev para {Sn (.)4 ≥ n4 4 } 2
obtemos
Z 1
1
m({ω : |sn (ω)| ≥ n}) ≤ 4 4
s4 (ω)dω.
(1.1)
n 0 n
R1
Lema 1. 0 s4n (ω)dω = n + 3n(n − 1) ≤ 3n2 .
1
http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/13094/000639978.pdf?
Chebychev : Seja f : (X, m) → R+ integrável e α > 0, então m({x : f (x) ≥ α}) ≤
2
R
1 1
α 0
f dm
PESADELO DE FUBINI
3
Para demonstrar o lema basta observar que r2i = 1, i = 1, · · · n e
R1
r r dω = 0, i , j. Agora basta observarmos na expansão de sn (ω)4
0 i j
aparecem seguintes termos
•
•
•
•
•
r4i , i = 1, · · · , n
r2i r2j , i , j, i, j = 1, · · · , n
r3i r j , i , j, i, j = 1, · · · , n
r2i r j rk , distinct i, j, k
ri r j rk rs for distincts i, j, k, s.
Somente os termos de primeiro e segundo item integram não nulo
P R1
P R1
e ni=1 0 r4i dω = n, i,j 0 r2i r2j dω = 3n(n − 1). Usando 1.1 e lema 1
concluimos que
3
1
(1.2)
m({ω : | sn (ω)| ≥ }) ≤ 2 4 .
n
n
P
−2
Fixa uma sequência n tal que −4
< ∞. Podemos tomar n =
n n
−1/8
n . Seja
An := {ω : |sn (ω)| ≥ nn }.
P
Usando 1.2 concluimos que m(An ) < ∞. Afirmamos que para qualquer m ∈ N
c
∩∞
n=m An ⊂ N.
Para provar afirmação observe que pela definição, somente observe
que n → 0. Agora basta observar que
Nc ⊂ ∪∞
n=m An .
P
Dado > 0 escolhemos m tal que ∞
n=m m(An ) ≤ . Cada An é
uma união finita de intervalos e consequentemente
P podemos cobrir ∪∞
A
por
enumerável
intervalos
I
tal
que
k
k m(Ik ) ≤ . Pela
n=m n
c
definição isto demonstra que N é um conjunto de medida nula.
Topologia versus Teoria de Medida: Apesar de conjunto de números
normais ter medida total, este conjunto é de primeira categoria, i.e
magra e pode ser provada que é subconjunto de uma união enumerável de conjuntos nunca densos.
Am = ∩∞
n=m {ω : |
sn (ω)
| < 1/2}.
n
Pela definição de números normais N ⊂ ∪Am . Por outro lado podemos mostrar que Am é um conjunto cujo fecho tem interior vazio.
4
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sn (ω)
Para mostrar isto observe que A¯m ⊂ ∩∞
n=m {ω : | n | ≤ 1/2} e portanto
∪∞
n=m {ω : |
sn (ω)
| > 1/2} ⊆ (A¯m )c
n
Agora observe que dado qualquer α ∈ (0, 1] e uma vizinhança dele,
S (ω)
podemos achar ω na vizinhança de α tal que | nn | > 1/2 para algum
n suficientemente grande. Para isto basta que α e ω tenham primeiros
dı́gitos iguais (tal que ω pertença a vizinhança de α) e ω ter bastante
sn (ω)
dı́gitos um). Isto implica que ∪∞
n=m {ω : | n | > 1/2} é um conjunto
denso e completamos a demonstração do fato de que o fecho de Am
tem interior vazio.
1.1. Moedas viciadas. Até agora estavamos supondo que a probabilidade de obter cara ou coroa num lançamento de moeda é igual a
1
. Entretanto, considerando uma moeda viciada podemos supor que
2
a probabilidade de ocorrer “cara”seja 0 ≤ p ≤ 1 e consequentemente
a probabilidade de obter “coroa”seja 1 − p. Vamos denotar por “0”o
lado cara e “1”o lado coroa da moeda. Assim em linguagem de prbabilidade p(0) = p, p(1) = 1 − p. Dada uma sequencia (b1 , b2 , · · · , bn )
a probabilidade
de (b1 , · · · , bn ) (i.e uma sequencia de lançamentos) é
Q
igual a p(bi ). Emile Borel, provou (Lei de grandes números) que a
frequencia de obter “1”asintoticamente é igual a p(1), mais precisamente:
b1 + b2 + · · · + bn
= p(1)
(1.3)
n→∞
n
para quase toda sequência infinita (b1 , b2 , · · · ) ∈ {0, 1}N .
O termo “quase toda sequência”acima deve ser compreendido com
medida de Bernoulli no esapço {0, 1}N . É óbvio que 1.3 não é válida
para uma sequência arbitrária
lim
2. Teorema de Fubini e exemplos
Imagine o quadrado unitário Q := [0, 1]2 e suponhamos que pintemos um subconjunto de medida de Lebesgue total de Q em azul.
Sela L um segmento horizontal e arbitrário L y0 := {(x, y0 ) : 0 ≤ x ≤ 1}.
Qual é a medida dos pontos azuis so segmento L? Claramente que
dependendo do conjunto azul e a escolha do segmento horizontal, a
medida (unidimensional de Lebesgue) de conjunto azul interceptado
com L y0 pode ser qualquer número α ∈ [0, 1]. Entretanto para “quase
todo segmento horizontal”temos que α = 1. Isto é uma aplicação
PESADELO DE FUBINI
simples do Teorema de Fubini,
Z
Z
Leb(A) =
1A (x)dLeb(x) =
1
5
Z
1A (x, y)dxdy = 1.
Ly
0
Ou seja para quase todo y ∈ [0, 1] temos que para quase todo x ∈ [0, 1]
temos que (x, y) ∈ A.
Podemos fazer a mesma pergunta para segmentos oblı́quos em
vez de segmentos horizontais. Tenta provar que temos um resultado
similar neste caso, usando mudança de variáveis.
3. Exemplo de Partição e Folheações
Seja f : [0, 1] → [0, 1] uma função bijetora com f (0) = 0, f (1) = 1.
Usando essa função podemos construir uma folheação (nada mais de
que uma partição do quadrado por segmentos) de Q := [0, 1]2 onde
as folhas são segmentos Fx := {(t, (1 − t)x + t f (x)) : 0 ≤ t ≤ 1}.
fx
x
fox
t1
t2
Figura 1
Lema 2. Sejam Lti , i = 1, 2 dois segmentos transversais ti , 0. Então Ht1 ,t2
é uma função absolutamente contı́nua, onde Ht1 ,t2 (z) = Fz ∩ Lt2 , z ∈ Lt1 .
−1
Demonstração. Seja A ⊂ Lt1 , m(A) = 0. Denotamos por Z := H0,t
(A).É
1
simples ver que
m(A) = (1 − t1 )m(Z) + t1 m( f (Z))
e
m(Ht1 ,t2 (A)) = (1 − t2 )m(Z) + t2 m( f (Z)).
Já que m(A) = 0 e t1 , t2 , 0 temos que m(Z) = 0 e m( f (Z)) = 0.
Dai concluimos que m(Ht1 ,t2 (A)) = 0 ou seja Ht1 ,t2 é absolutamente
contı́nua.
6
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Enquanto as aplicações Ht1 ,t2 são absolutamente contı́nua para ti ,
0 é simples selecionar f tal que H0,1 não seja absolutamente contı́nua.
Basta escolher f tal que f (K1 ) = K2 onde K1 , K2 são dois conjuntos de
Cantor e m(K1 ) = 0, m(K2 ) > 0.
Podemos mostrar que se A é um conjunto de medida de Lebesgue
nulo, então A ∩ Fx tem medida (unidimensional) zero para quase
todo x ∈ [0, 1].
4. Construção de Exemplo e Sistemas Dinâmicos
Vamos interpretar a lei de grandes números usando números reais
e uma função do intervalo (0, 1]. Para cada p ∈ (0, 1) definimos a
função linear por pedaço fp como seguinte:
( x
x ∈ I0 := (0, p]
fp (x) = px−p
x ∈ I1 := (p, 1]
1−p
4.1. Codificação. Dado um número real x ∈ [0, 1) a órbita (positiva)
de x é o conjunto { fpn (x), n = 0, 1, · · · }. Podemos corresponder a cada
x um código, que é uma sequência (que depende de fp ) de 0 e 1’s de
seguinte forma:
O código correspondente é (b0 , b1 , b2 , · · · ) se somente se f n (x) ∈ Ibn .
Por exemplo o código de x = 1 é (1, 1, · · · , 1, · · · ) e o código correspondente a x = p é igual a (0, 1, 1, 1, · · · , 1, · · · ). Observe que por fp ser
crescente no intervalo (0, p] sequências que terminam com infinitos
0’s não podem corresponder a nenhum x ∈ (0, 1].
Exercı́cio 3. Mostre que qualquer sequência que tem infinitos 1’s é código
correspondente algum x ∈ [0, 1).
Agora vamos analisar a “ação da função fp ”nestes códigos. Seja
x := (b0 , b1 , · · · , bn , · · · ) então pela definição o código de f (x) é (b1 , b2 , · · · , ).
Isto define uma transformação denotada por “Shift”no espaço {0, 1}N .
4.2. Medida de Bernoulli e cilindros. Com esses códigos podemos
definir a medida de Bernoulli no espaço {0, 1}N . Por exemplo a medida do conjunto Cb0 ,b1 ,··· ,bn−1 := {(xi )i∈N : xi = bi , i = 0, 1, 2, · · · , n − 1}
é igual a p(b0 )p(b2 ) · · · p(bn−1 ). É fácil ver que o conjunto dos x cujos
códigos pertencem ao conjunto (cilindro) Cb0 ,b1 ,··· ,bn−1 é um intervalo
com medida de Lebesgue p(b0 )p(b1 ) · · · p(bn−1 ).
Exercı́cio 4. Pode imaginar porque estes conjuntos são chamados de cilindros?
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4.3. Frequência asintótica de um sı́mbolo. Dada uma sequência
(bi )i∈N ∈ {0, 1}N a frequência asintótica de 1’s é igual ao
b0 + b1 + b2 · · · + bn−1
Card{0 ≤ i < n| bi = 1}
= lim
n→∞
n→∞
n
n
quando tal limite existe.
Agora vamos interpretar a lei de grandes números utilizando os
códigos apresentados. Seja p um parâmetro fixo. Então para Lebesgue quase todo x ∈ (0, 1] asintoticamente, a frequência de 1’s no
código associado a fp é igual a 1 − p. Mais precisamente
lim
b0 + b1 + b2 · · · + bn−1
= 1 − p.
n
Agora considere E ⊂ (0, 1) × (0, 1] conjunto de todos pares (p, x) tais
que a frequência de 1 no código correspondente a x pela dinâmica fp
seja igual a 1 − p.
Seja Vp := {(p)} × (0, 1]. Observe que o conjunto Vp é um segmento
vertical e pode ser identificado com intervalo (0, 1]. Pelo teorema de
grandes números interpretado dinamicamente concluimos que dado
p fixo então o conjunto E ∩ Vp tem medida total, m1 (E ∩ Vp ) = 1. A
medida considerada é a medida de Lebesgue unidimensional.
Usando Teorema de Fubini para coleção de segmentos verticais
concluimos que E tem medida de Lebesgue bi-dimensional igual a
um,
Z 1
m2 (E) =
m1 (E ∩ Vp )dp = 1.
lim
n→∞
0
Até agora temos um subconjunto de medida total dentro de quadrado (0, 1) × (0, 1]. Em seguida vamos construir uma famı́lia de
curvas que cada uma delas intersecta este conjunto no máximo num
ponto!!
4.4. Curvas “patológicas”. Vamos definir uma famı́lia de curvas
analı́ticas indexadas por β ∈ (0, 1]. Dado β considere a expansão
binária de β = (b0 , b1 , b2 , · · · , bn , · · · ), i.e
∞
X
bn
β=
.
2n+1
n=0
Então definimos Γβ como sendo conjunto de todos os pontos (p, x) tais
que o código correspondente a x pela dinâmica de fp seja exatamente
igual a (b0 , b1 , b2 , · · · , bn , · · · ). Claro que Γβ ’s são disjuntas e a união
delas é (0, 1)×(0, 1]. Vamos mostrar que cada Γβ é uma curva analı́tica.
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Proposição 1. Dado β ∈ (0, 1] existe uma função analı́tica x(., β) : (0, 1)
Γβ : (0, 1) → (0, 1) tal que Γβ = Graf(x(., β)).
Primeiramente vamos analisar alguns Γ0β s.
Para β = 1 = (1, 1, · · · ) é fácil ver que Γ1 = {(p, 1), p ∈ (0, 1)}. Considere β = 21 = (0, 1, 1, · · · , 1 · · · ). Agora para cada p, x = p é o único
ponto tal que x ∈ I0 e fpn (x) ∈ I1 , n ≥ 1. Portanto Γ 21 é igual ao diagonal
do quadrado.
4.5. Átomos. Vamos verificar que dado qualquer β, a curva Γβ intersecta o conjunto E no máximo em um único ponto (p, x(p, β)).
Desenvolvendo β na base binária obtemos sequência (bi ) e pela
definição (p, x) ∈ Γβ se o código correspondente a x pela dinâmica fp
seja igual a (bi ).
• Se (bi ) não possuir limite de frequência de 10 s então o ponto
(p, x) < E.
• Observe que E := ∪p∈(0,1) Vp ∩ E onde (p, x) ∈ Vp ∩ E se somente
se o limite de frequência do código de x pela dinâmica fp seja
igual a 1 − p. Portanto se o limite de frequência de (bi ) existir,
ele é igual a 1 − p para um único p e assim Γβ intersecta E num
ponto que denotamos por (p, x(p, β)).
Agora vamos provar a proposição 1. Fixamos β ∈ (0, 1), β = (bi )i≥0 .
Seja (p, x) ∈ Γβ e x = x0 , x1 , x2 , · · · sua órbita i.e, xn = f n (x). Então pela
definição de fp e o fato xn ∈ Ibn concluimos que
xn = bn p(0) + xn+1 p(bn ),
onde p(0) = p, p(1) = 1 − p. Usando indução podemos ver que
x = x(p, β) = p(0)(b0 + p(b0 )(b1 + p(b1 )(b2 + · · · ) · · · ) · · · )
= p(0)(b0 +
∞
X
n=1
bn
n−1
Y
p(b j ))
j=0
Colocando p(0) = p = 1+t
e p(1) = 1 − p = 1−t
. Se |t| ≤ c < 1, então
2
2
o n-ésimo termo da série acima tem valor absoluto menor ou igual
a [ 1+c
]n . Já que 1+c
< 1, pelo critério de convergência uniforme de
2
2
Wierstrass temos que para cada β fixo x é uma função analı́tica de t
no intervalo −1 < t < 1 ou equivalentemente analı́tica em termos de
p onde 0 < p < 1.
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5. Holonomia e conjugação
Na seção anterior explicamos como construir exemplo de uma
partição (folheação) por curvas analı́ticas de (0, 1) × [0, 1) e um conjunto de medida (bi-dimensional) um que intersecta cada curva no
máximo em um ponto.
Na verdade é fácil ver (ou, é fácil dizer...) que a holonomia é uma
aplicação que não é absolutamente contı́nua. Vamos detalhar um
pouco mais essa frase:
Dado dois segmentos verticais Vp , Vq ∈ (0, 1) × [0, 1) podemos definir a holonomia
Hp,q : Vp → Vq
usando a “carona”da folheação. Isto é. Hp,q (z) é igual a Γβ ∩ Vq onde
Γβ é a única curva que passa pelo ponto z.
Vamos considerar a imagem de Vp ∩ E pela holonomia Hp,q .
Proposição 2. Para 0 < p , q < 1 temos m1 (Vp ∩ E) = 1 enquanto
m1 (Hp,q )(Vp ∩ E) = 0.
Portanto achamos um conjunto de medida total em Vp cuja imagem
tem medida nula em Vq .
Demonstração. A demonstração é um corolário das definições. De
fato lembramos que pelo teorema de grandes números m1 (E ∩ Vt ) = 1
para todo 0 < t < 1. Por outro lado pela definição das curvas Γβ e Hp,q
o códigos correspondentes aos pontos z e Hp,q (z) pelas dinâmicas de
fp e fq (respectivamente) coincidem. Portanto a frequência de 1 no
código de Hp,q (z) é igual a 1 − p que é exatamente a frequência de 1
no código correspondente a z pela dinâmica de fp .
Por outro lado sabemos que existe um conjunto de medida um
E ∩ Vq tal que todo ponto deste conjunto tem frequência de 1 igual a
1 − q pela dinâmica de fq .
Considerando dois parágrafos acima concluimos que
m1 (Hp,q (Vp ∩ E)) = 0.
A proposição acima mostra quão “irregular”as curvas Γβ estão
empilhadas uma em cima da outra.
Agora vamos interpretar a aplicação de holonomia Hp,q de uma
forma mais dinâmica.
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5.1. Conjugação Topológica. Chamamos duas aplicações fp e fq conjugadas, se existir um homeomorfismos Hp,q : [0, 1] → [0, 1] tal que
Hp,q ◦ fp = fq ◦ Hp,q . isto quer dizer que mudando as coordenadas
(utilizando Hp,q ) as duas dinâmicas fp e fq são idênticas ou o seguinte
diagrama é comutativa:
fp
[0, 1] −−−−−−−−−−→ [0, 1]







Hp,q 
yHp,q
y
fq
[0, 1] −−−−−−−−−−→ [0, 1]
Teorema 2. Para quaisquer 0 < p, q < 1 as aplicações fp e fq são conjugadas
pelo homeomorfismo Hp,q .
Dividimos a prova em dois passos:
• Passo 1: Mostramos que Hp,q de fato deixa o diagrama acima
mencionado comutativo.
• Passo 2: Hp,q é um homeomorfismo. Para isto, construimos
um homeomorfismo que deixa o diagrama comutativo e pela
unicidade de conjugação provamos que Hp,q é um homeomorfismo.
A demonstração do primeiro item é baseada na unicidade de ponto
com um código dado pelas transformação fp . De fato dado z ∈ [0, 1]
com código (b1 , b2 , · · · , bn , · · · ), então Hp,q (z) é um ponto que tem o
mesmo código pela fq e portanto o código de fq (Hp,q (z)) pela fq é
exatamente (b2 , b3 , · · · ) que por sua vez coincide com o código de
fp (z) pela transformação fp . Agora pela unicidade de pontos com
código dado, concluimos que
fq (Hp,q (z)) = Hp,q ( fp (z)).
5.2. Valores especiais. Vamos analisar agora alguns valores de Hp,q
usando a fórmula de conjugação.
Pela conjugação temos H( fp (0)) = fq (H(0)) e portanto H(0) = fq (H(0))
e portanto
H(0) = 0.
Logo concluı́mos que 0 = H( fp (p)) = fq (H(p)) e portanto
H(p) = q.
Similarmente podemos ver que H(1) = 1. É bom (e não é difı́cil)
verificar que as pré imagens de p pela fp são transformados (por H)
PESADELO DE FUBINI
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em pré imagens de q pela fq . Por exemplo as duas pré imagens de p
são p2 e p + p(1 − p) = 2p − p2 e
H(p2 ) = q2 , H(2p − p2 ) = 2q − q2 .
Exercı́cio 5. Ache uma fórmula para todas os pontos que formam n’ésima
pré imagem de p pela fp .
Para mostrar que Hp,q é um homemomorfismo, basta observar que
ela é injetiva e sobrejetora (Hp,q (0) = 0, Hp,q (1) = 1.) e estritamente
crescente.
6. Sobre Curvas Γβ
Mostramos que se b < b?0 então a curva Γβ esta abaixo da curva Γβ?0
ou seja dado p ∈ (0, 1) então x(p, b) < x(p, b?0 ).
Como variam átomos (desintegração de medida de Lebesgue ao
longo de curvas Γβ ) quando variamos β.
Referências
[1] John Milnor, Fubini foiled: Katok’s paradoxical example in measure theory, Math. Intelligencer,19, 1997, pg 30-32