A
P
O
S
T
I
L
A
COLÉGIO ADVENTISTA PORTÃO
Curitiba - PR
D
E
8º
ANO
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
TEORIA E PRÁTICA
Á
L
G
E
B
R
A
Hermes Jardim
2012
Nome:
Nº:
Turma:
Professor(a):
2
COLÉGIO ADVENTISTA PORTÃO
A
Curitiba - PR
P
O
Apresentação
S
T apostila abordaremos um assunto nada agradável para a maioria dos estudantes, mas
Nesta
que éIde grande importância para a Matemática. O conhecimento de Álgebra é uma ferramenta
que ajuda a compreender a forma como o algoritmo de resolução de muitos exercícios é
L A Álgebra tem por finalidade simplificar muitos cálculos que de outra forma
efetuado.
necessitariam de muito tempo e espaço para serem resolvidos.
A
A palavra ÁLGEBRA tem origem árabe e conforme o Dicionário Luft (2000), Álgebra é a
parte da Matemática que generaliza as questões aritméticas, representando quantidades através
de símbolos. Sua origem é estranha e intrigante. Ela não se sujeita a uma etimologia nítida
Dpor exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do grego arithmos (número). Álgebra é
como,
umaE
variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr).
Um advogado francês e apaixonado por álgebra, François Viète, que viveu de 1540 até
1603 passou para a história como o principal responsável pela introdução dos símbolos no
mundo da matemática, por isso, ficou conhecido como o Pai da Álgebra.
M
Além de Viète, outros matemáticos da mesma época deram suas contribuições para o
aperfeiçoamento
da álgebra. Entre eles, Robert Record, inglês que criou o símbolo (=) para a
A
expressão (igual a). Esse sinal foi usado por Thomas Harriot, outro matemático inglês,
T pela eliminação das poucas palavras que ainda restavam na álgebra de Viète.
responsável
A
Epassagem para uma álgebra completamente simbólica foi obra de René Descartes,
grande matemático e filósofo francês, que introduziu as seguintes inovações para aperfeiçoar a
M de Viète:
álgebra
1) criou o símbolo (.) para a operação de multiplicação;
Á
2) criou a notação que usamos hoje para os expoentes de uma potenciação;
3)T
passou a usar as primeiras letras do alfabeto para os coeficientes da incógnita e os termos
independentes ( literais) e as últimas letras para representar as incógnitas.
8º
ANO
I
Por que devemos aprender Álgebra?
C
E PRÁTICA
Aensino de Álgebra geralmente éTEORIA
O
iniciado, mais sistematicamente, no 8º ano (antiga 7ª
série) do Ensino Fundamental e visa apresentar regras de transformações de expressões e a
resolução de equações e sistemas de equações e inequações. Para muitos profissionais, o ensino
da Álgebra
- é uma fonte de dificuldade para os alunos o que demanda muito tempo de estudo,
com resultados pequenos e desânimo. A maior
dificuldade
do aluno é aceitar uma letra
Hermes
Jardim
representando número desconhecido e não percebe 2012
o sentido de uma expressão algébrica.
Outra
Ádificuldade é a tradução da linguagem comum para a linguagem simbólica da
Matemática.
Lálgebra ajuda a estruturar o raciocínio e permite equacionar e resolver numerosos
A
problemas
G de situações do cotidiano. A Álgebra ajuda a melhorar a compreensão e a
desenvolver o raciocínio lógico matemático, contribuindo para um pensamento autônomo.
A
EÁlgebra capacita o aluno a representar simbolicamente uma quantidade desconhecida
relacionando-a com as informações de uma situação ou problema.
B
O autor1
R
_________________________
1
A de Matemática do Ensino Fundamental e Médio no Colégio Adventista Portão
Professor
Licenciado em Matemática pela PUC-PR
Curso de Matemática Básica
Álgebra
3
CAPÍTULO 14 - ÁLGEBRA ......................................................................
14.1
14.2
14.3
5
Valor Numérico de uma Expressão Algébrica ....................
Termo Algébrico ....................................................................
Monômios ..............................................................................
14.3.1 Adição e Subtração de Monômios .......................
14.3.2 Multiplicação de Monômios .................................
14.3.3 Divisão de Monômios ............................................
14.3.4 Potenciação de Monômios ....................................
14.3.5 Radiciação de Monômios ......................................
Polinômios .............................................................................
14.4.1 Adição e Subtração de Polinômios .......................
14.4.2 Multiplicação de Polinômios ................................
5
8
9
10
12
14
16
17
19
19
22
CAPÍTULO 15 - PRODUTOS NOTÁVEIS ...........................................
29
14.4
15.1
15.2
15.3
Quadrado da Soma ................................................................
Quadrado da Diferença .........................................................
Produto da Soma pela Diferença ..........................................
29
31
33
CAPÍTULO 16 - FATORAÇÃO ...............................................................
35
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
Fator Comum .........................................................................
Agrupamento ..........................................................................
Diferença de Dois Quadrados ...............................................
Trinômio Quadrado Perfeito ................................................
Trinômio do 2º Grau .............................................................
Casos Combinados de Fatoração .........................................
Simplificação de Expressões .................................................
35
37
39
40
41
45
48
CAPÍTULO 17 - FRAÇÕES ALGÉBRICAS ...........................................
50
17.1
17.2
Simplificação de Frações Algébricas ....................................
Operações com Frações Algébricas ......................................
17.2.1 Multiplicação de Frações Algébricas ...................
17.2.2 Divisão de Frações Algébricas ..............................
17.2.3 Adição e Subtração de Frações Algébricas .........
50
53
53
57
60
CAPÍTULO 18 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS FRACIONÁRIAS ....
62
Curso de Matemática Básica
Álgebra
4
Apresentação
Nesta apostila abordaremos um assunto nada agradável para a maioria dos estudantes, mas
que é de grande importância para a Matemática. O conhecimento de Álgebra é uma ferramenta
que ajuda a compreender a forma como o algoritmo de resolução de muitos exercícios é
efetuado. A Álgebra tem por finalidade simplificar muitos cálculos que de outra forma
necessitariam de muito tempo e espaço para serem resolvidos.
A palavra ÁLGEBRA tem origem árabe e conforme o Dicionário Luft (2000), Álgebra é a
parte da Matemática que generaliza as questões aritméticas, representando quantidades através
de símbolos. Sua origem é estranha e intrigante. Ela não se sujeita a uma etimologia nítida
como, por exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do grego arithmos (número). Álgebra é
uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr).
Um advogado francês e apaixonado por álgebra, François Viète, que viveu de 1540 até
1603 passou para a história como o principal responsável pela introdução dos símbolos no
mundo da matemática, por isso, ficou conhecido como o Pai da Álgebra.
Além de Viète, outros matemáticos da mesma época deram suas contribuições para o
aperfeiçoamento da álgebra. Entre eles, Robert Record, inglês que criou o símbolo (=) para a
expressão (igual a). Esse sinal foi usado por Thomas Harriot, outro matemático inglês,
responsável pela eliminação das poucas palavras que ainda restavam na álgebra de Viète.
A passagem para uma álgebra completamente simbólica foi obra de René Descartes,
grande matemático e filósofo francês, que introduziu as seguintes inovações para aperfeiçoar a
álgebra de Viète:
1) criou o símbolo (.) para a operação de multiplicação;
2) criou a notação que usamos hoje para os expoentes de uma potenciação;
3) passou a usar as primeiras letras do alfabeto para os coeficientes da incógnita e os termos
independentes ( literais) e as últimas letras para representar as incógnitas.
Por que devemos aprender Álgebra?
O ensino de Álgebra geralmente é iniciado, mais sistematicamente, no 8º ano (antiga 7ª
série) do Ensino Fundamental e visa apresentar regras de transformações de expressões e a
resolução de equações e sistemas de equações e inequações. Para muitos profissionais, o ensino
da Álgebra é uma fonte de dificuldade para os alunos o que demanda muito tempo de estudo,
com resultados pequenos e desânimo. A maior dificuldade do aluno é aceitar uma letra
representando número desconhecido e não percebe o sentido de uma expressão algébrica.
Outra dificuldade é a tradução da linguagem comum para a linguagem simbólica da
Matemática.
A álgebra ajuda a estruturar o raciocínio e permite equacionar e resolver numerosos
problemas de situações do cotidiano. A Álgebra ajuda a melhorar a compreensão e a
desenvolver o raciocínio lógico matemático, contribuindo para um pensamento autônomo.
A Álgebra capacita o aluno a representar simbolicamente uma quantidade desconhecida
relacionando-a com as informações de uma situação ou problema.
O autor1
_________________________
1
Professor de Matemática do Ensino Fundamental e Médio no Colégio Adventista Portão
Licenciado em Matemática pela PUC-PR
Curso de Matemática Básica
Álgebra
5
Depois do século XVI, os matemáticos começaram a representar números desconhecidos
por meio de letras para indicar operações matemáticas de uma forma mais simples.
O valor numérico de uma expressão algébrica é o número real que obtemos quando
substituímos as letras por números reais dados e efetuamos as operações indicadas, obedecendo
à seguinte ordem de resolução:
n Radiciação
o Potenciação
p Multiplicação ou divisão (na ordem que aparecerem)
q Adição ou subtração
não esqueça de respeitar a sequência de eliminação dos
( 1º ) – parêntesis
[ 2º ] – colchetes
{ 3º } – chaves
1) Calcule o valor numérico da expressão: 3x2 - 4xy, para x = 5 e y = 3.
V. N. = 3 . 52 - 4 . 5 . 3
V. N. = 3 . 25 - 4 . 5 . 3
V. N. = 75 - 60
.V. N. = 15.
2) Calcule o valor numérico da expressão:
x 2 − 3y
, para x = - 2 e y = 3.
y 2 + 5x
(−2) 2 − 3.3
32 + 5.(−2)
4−9
V. N. =
9 − 10
−5
V. N. =
−1
.V. N. = 5.
V. N. =
3) Calcule o valor numérico da expressão:
V. N. =
V. N. =
V. N. =
V. N. =
2x 3 − 3x 2 + 1
, para x = 4.
x −1
2.43 − 3.42 + 1
4 −1
2.64 − 3.16 + 1
3
128 − 48 + 1
3
81
9
⇔ V. N. =
⇔ .V. N. = 3.
3
3
Curso de Matemática Básica
Álgebra
6
3x 2 − 5x
2
4) Calcule o valor numérico da expressão:
, para x = .
x −1
3
2
4
2
6
⎛2⎞
⎛2⎞
1
4 10
3.
− 5.
−
3. ⎜ ⎟ − 5. ⎜ ⎟
−
3
93
31
3
⎝3⎠ =
V. N. = ⎝ ⎠
= 3 3 =
=
2−3
2
2
1
−1
−1
−
3
3
3
31
V. N. = 6.
1 Calcule o valor numérico da expressão:
a) 2x + 3y, para x = 5 e y = - 2.
b) x2 - 2x, para x = - 3.
1
1
1
c) x2 - ab, para x = , a = e b = .
2
3
4
1
2
d) 2p2 - 4pq - 3q2, para p = − e q = .
6
3
2
e) 3x - 5x + 12, para x = - 4.
f) a3 + 3ab + 5b2 + 1, para a = - 3 e b = - 4.
g) 2x3 + 4x2 - 5x + 4, para x = - 4.
1
1
h) m3 - 2mn + 2n2, para m = − e n = .
2
4
i) x2 + 3x - 6xy + xy2, para x = - 2 e y = 3.
j) 3.(x2 - y2) - 5.(x + y) + 3.(x2 + y2) - 4y, para x =
1
2
e y=− .
2
3
2 Calcule o valor numérico da expressão:
x 2 − 3y
, para x = - 2 e y = 3.
a)
y 2 + 3x − 4
3a 2 + 2ab + 2b 2
, para a = 6 e b = 3.
a 2 − b2
m3 + 3m 2 + 4m − 1
, para m = 3.
c)
m 2 + 3m − 5
x 2 − 4 x 2 − 3x + 2
+
, para x = 4.
d)
x+2
x −1
a3 + a 2b + a + b
, para a = 2 e b = 4.
e)
a 4 −1
x 2 − 3xy + y 2
1
1
, para x = e y = − .
f)
4
2
x − 2y − 4
b)
3
1
a 2 − 3ab − b 2
, para a = e b = − .
2
2
a +a−b
4
3
2
2ax − bx + 5
, para a = 2, b = - 3 e x = - 2.
h)
a 2 − ax − 3
(a + b).(a − b)
i)
, para a = 4, b = - 2.
a 2 + 2ab + b 2
3a 2 x 2 + 6ax − 4
1
, para a = a = 2 e x = - 6.
j)
2 2
1 + 2ax + a x
3
g)
Curso de Matemática Básica
Álgebra
7
3 Calcule o valor numérico da expressão:
a)
(a − b) 2 + (a + b) 2 − 2a 2
, para a = 2 e b = 8.
(a + b) 2 − (a − b).(a + b)
b)
x 2 + xy + ax + ay 2a − 8
× 2
, para x = 1, y = - 3, a = 5 e b = - 2.
ab − 4b
a − x2
c)
d)
−b +
b 2 − 4ac
, para a = 2, b = - 5 e c = - 3.
2a
−b +
b 2 − 4ac
, para a = 5, b = - 9 e c = - 2.
2a
2x 3 − 3x 2 − 2
− 3x , para x = - 2.
x −1
e)
f)
x+3 y
1
, para x = e y = 1.
2xy
8
g)
9x + 4 −
3
h)
i)
j)
3x + 1 , para x = 5.
1
1
x − 2y + 12 + x − 4y3 , para x = 5 e y = .
2
2
a−b
a 2 + c2
+
, para a = 3, b = 2 e c = 4.
1
5
5
1
1
2a
4ax
− 2
, para a = − e b = .
3
2
x+2 x −4
a2
+
3
4
Calcule o valor numérico da expressão algébrica: 4x - [2x2 + 3y - (5x3 + y3 - x) - 2xy],
para x = 3 e y = - 4.
5 Calcule o valor numérico das expressões algébricas:
a) 2a3 + 5a2b - ab2 - 5b3, para a = 5 e b = - 2.
b)
x2 + 4
3
x
+
−
2
x − 4 x − 2 x + 2 , para x = - 8.
c)
x 2 + 6xy + 9y 2
, para x = 3 e y = 2.
x 2 − 9y 2
d) 4 - [2x2 + 3y - (5x3 + y3 - x) - xy], para x = 2 e y = - 4.
e)
x 3 − x 2 − 4x + 4
, para x = 3.
x2 − 4
6 Simplifique a expressão algébrica 2ax + {5ax - [ax - (3ax - 12ax) + 8ax] + 15ax}, e calcule
seu valor numérico para a = 3 e x = - 2.
7
Simplifique a expressão algébrica 10x2y3 - {8x2y3 + [x2y3 - (3x2y3 + 7x2y3) - (10x2y3 2
3
9x2y3) + 5x2y3] - 5x2y3} - 8x2y3 e calcule o seu valor numérico para x = e y = .
3
2
Curso de Matemática Básica
Álgebra
8
8 Simplifique a expressão algébrica 2x2y2 - [- 5x2y2 - (x2y2 + 4x2y2 - 2x2y2) - 8x2y2] - 10x2y2 e
calcule seu valor numérico para x =
1
e y = - 6.
4
9 Calcule o valor numérico da expressão algébrica: 5x - [2x2 + 5y - (5x3 + y3 - 3x2) - 6xy] - 1,
para x = 5 e y = - 4.
Calcule o valor da expressão A =
p.(p − a).(p − b).(p − c) , sabendo que p =
a+b+c
,
2
a = 5, b = 4 e c = 3.
Quando uma expressão algébrica for um produto de números reais, expressa ou não por
variáveis, isto é, letras, é chamada de termo algébrico. Essa expressão não pode ter somas ou
subtrações.
Exemplos:
a) 5ab → é uma expressão algébrica de um termo.
b) 2x - 5y → é uma expressão algébrica de dois termos.
c) 3a - b + 2c → é uma expressão algébrica de três termos.
Um termo algébrico é composto de duas partes:
• a parte numérica, que será chamada de coeficiente.
• a parte literal, inclusive com seus expoentes.
⎧3 → coeficiente
a) 3xy : ⎨
.
⎩ xy → parte literal
⎧ −8 → coeficiente
.
b) - 8x2y3: ⎨ 2 3
⎩ x y → parte literal
⎧−1 → coeficiente
c) - km: ⎨
.
⎩km → parte literal
Observações:
• Quando o coeficiente é 1, não devemos escrevê-lo.
# Nunca escreva 1xy, escreva apenas xy.
• Quando o coeficiente for - 1, escreva somente o sinal de -.
# Se tiver - 1a2b, escreva apenas - a2b.
• Se um termo algébrico tem “zero” como coeficiente, vai representar sempre um número
real.
# 0m2n3 = 0
0x = 0
• Todo número real é considerado um termo algébrico sem parte literal.
# 3, - 5 ou 2 são termos sem parte literal.
Curso de Matemática Básica
Álgebra
9
1 Nos termos algébricos abaixo, identifique seu coeficiente e sua parte literal:
Termo Algébrico
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Coeficiente
Numérico
Parte
Literal
- 5x2
abc
2a2b3
2 2
xy
5
2
- xy3z
1
− am
2
3a 3 b 2
4
3x 5 y
x 2 y4 z3
5
Monômio é toda expressão algébrica inteira na qual temos somente uma multiplicação de
números ou de variáveis.
Exemplos:
a) 10x2y → é um monômio.
b) 2a → é um monômio.
c) 8 → é um monômio.
d) 3x2 + y → não é um monômio.
Monômios Semelhantes
Dois ou mais monômios são semelhantes quando apresentarem a mesma parte literal.
Exemplos:
a) 2xy e 5xy → são monômios semelhantes, pois têm a mesma parte literal xy.
b) - 4a2b2 e
2 2 2
a b → são monômios semelhantes.
3
c) 6a2y e 3ay2 → não são monômios semelhantes, pois apresentam partes literais
diferentes.
Curso de Matemática Básica
Álgebra
10
Operações com Monômios
Somente podemos somar ou subtrair monômios semelhantes. Se numa expressão algébrica
todos os monômios forem semelhantes, para torná-la mais simples, somamos algebricamente
os coeficientes e repetimos a parte literal.
1) Calcule:
a) 3xy + 2xy = 5xy, pois 3 + 2 = 5.
b) 4a2b2 - 7a2b2 + 5a2b2 = 2a2b2, pois 4 - 7 + 5 = 2.
c)
2 2 1 2
4ax 2 − 3ax 2
1
= ax 2 .
ax − ax =
6
3
2
6
d) 5,7x + 1,9x - 6,1x = 1,5x, pois 5,7 + 1,9 - 6,1 = 1,5.
2) Simplifique as expressões algébricas:
a) 3x2 - [11x2 - (- 7x2 + 9x2) - 12x2] - [4x2 + (3x2 - 6x2)] =
3x2 - [11x2 - (+ 2x2) - 12x2] - [4x2 + (- 3x2)] =
3x2 - [11x2 - 2x2 - 12x2] - [4x2 - 3x2] =
3x2 - [- 3x2] - [+ x2] =
3x2 + 3x2 - x2 =
.5x2.
b) - 11ay + {- [12ay + (5ay - 20ay) - (2ay + 3ay + 5ay)]} =
- 11ay + {- [12ay + (- 15ay) - (10ay)]} =
- 11ay + {- [12ay - 15ay - 10ay]} =
- 11ay + {- [- 13ay]} =
- 11ay + {+ 13ay} =
- 11ay + 13ay =
.2ay.
1 Calcule:
a)
8x - 12x =
f)
a2 - 2a2 + 6a2 =
b)
y + 2y =
g)
xy2 + xy2 + xy2 =
c)
9x2 - 6x2 =
h)
5x2 + 8x2 - x2 - 2x2 =
d)
6ay + 2ay =
i)
3abc - 2abc + 5abc =
e)
5x2y - 8x2y =
j)
8a2b2 - 5a2b2 + a2b2 - 3a2b2 =
Curso de Matemática Básica
Polinômios
11
2 Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
1
1
x− x =
2
3
3
xy - xy =
5
4
3
ab − ab =
3
2
1 2 2 2 3 2
xy − xy + xy =
6
3
4
1 2
1
1
a b − a2b + a2b =
2
3
6
2ax ax
−
− ax =
3
6
7
3
1
xy − xy + xy =
10
5
15
1 2
1
ab − ab 2 − ab 2 =
2
4
1
1
5
3
y+ y− y+ y =
2
3
6
4
1
3
3
−a 3 b 2 + a 3 b 2 + a 3 b 2 + a 3 b 2 =
2
5
10
3 Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
1,6ax + 3,75ax =
5,43x2 - 0,48x2 - 0,5x2 =
3,4y - 1,78y =
6xy - 0,7xy - 1,5xy - 2,4xy =
2,8x2y - 0,5x2y - 1,6x2y - 0,3x2y =
- 1,75a4 - 0,6a4 - 1,2a4 - 1,05a4 =
0,5ab - 0,3ab + ab + 0,8ab =
0,25x3y2 - 1,5x3y2 + 0,125x3y2 =
- x3 - 0,8x3 + 3x3 - 0,25x3 =
2mn + 2,2mn - 3,4mn + 1,75mn =
4 Simplifique as expressões algébricas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
(Esse exercício deve ser feito no seu caderno)
30ab + (- 25ab) - (+ 2ab) - (+ 10ab) =
10x + (+ 3x) - (- 12x) + (- 11x) + (- 2x) =
10ax - (- 7ax) - (+ 8ax) + (+ 3ax) - (+ 9ax) =
8y - (- 4y + 7y) - (3y - 5y) - 9y =
10x2y - [5x2y + (3x2y - 6x2y) - (9x2y - 13x2y)] =
4x2 - [2x2 - (6x2 - 7x2) - 3x2] - (5x2 - 9x2 + 3x2) =
ay + [8ay - (- 2ay + 10ay) + 6ay] - (- 2ay + 4ay) =
5xy2 - {2xy2 - [7xy2 - (2xy2 + 5xy2 + 7xy2) - xy2] - 3xy2} =
12x2y2 - {2x2y2 - [5x2y2 + (4x2y2- 7x2y2) - 3x2y2] + 6x2y2} =
2a2 - {- a2 - (4a2 - 3a2) + [10a2 - (31a2 - 27a2)] + 3a2} =
Curso de Matemática Básica
Polinômios
12
5 Simplifique as expressões algébricas:
(Esse exercício deve ser feito no seu caderno)
a) 1,1x3y - 0,48x3y - 1,05x3y + x3y - 0,07x3y =
b) - 3,1ap + (2,4ap - 3,8ap) - (1,6ap - 2ap) =
c) 0,7a2x - [0,2a2x + (5a2x - 3,7a2x) - 1,4a2x] - 0,4a2x =
d) - 1,5p2q5 + 1,75p2q5 - 0,125p2q5 + 0,2p2q5 - 0,075p2q5 =
e)
7 2 ⎡
⎛1
⎞⎤
ab − ⎢ 2ab 2 − ⎜ ab 2 − ab 2 ⎟ ⎥ =
3
⎝3
⎠⎦
⎣
f)
⎡
1
⎛1
⎞⎤
x − ⎢1,1x − ⎜ x − 0, 4x ⎟ ⎥ =
6
⎝2
⎠⎦
⎣
g)
⎡ 2
⎤
1
1 ⎞ 1
⎛
by − ⎢ − by − ⎜ −1, 2by + by ⎟ − by ⎥ =
4
2 ⎠ 30 ⎦
⎝
⎣ 3
h)
5 2 3 ⎡ 3 2 3 ⎛ 5 2 3 2 2 3 ⎞⎤
x y − ⎢− x y + ⎜ x y − x y ⎟⎥ =
12
9
⎝6
⎠⎦
⎣ 4
i)
⎧ 2
⎡
1
1
⎛1
⎞⎤ ⎫
mn − ⎨ − mn + ⎢ mn + ⎜ mn − mn ⎟ ⎥ ⎬ =
10
4
⎝2
⎠⎦ ⎭
⎣
⎩ 5
j)
⎧ 1
⎡ 2
3 ⎞ ⎛1
2 ⎞⎤ ⎫
⎛
m − ⎨− m + ⎢ − m − ⎜ m + m ⎟ − ⎜ m − 3m − m ⎟ ⎥ ⎬ =
4 ⎠ ⎝ 10
5 ⎠⎦ ⎭
⎝
⎣ 3
⎩ 12
6 Simplifique as expressões e calcule o seu valor numérico.
(fazer no seu caderno)
a) 15x + [- 5x + (5x - 7x + 3x - 4x) - 3x], para x = 5.
b) (- 10x2y2 + 15x2y2 - x2y2) - [7x2y2 + (- 4x2y2 + 2x2y2) - 3x2y2], para x = 1 e y = 2.
1
2
2
2
2
2
2
2
2
c) 5x y - [- x y - (3x y - 5x y) - (8x y - x y) - 4x y] - 10x y, para x = 6 e y = .
15
d) 15ab - {(ab + 6ab + ab) - [(2ab - ab) - (10ab + 2ab)]}, para a = 2 e b = 3.
1
3
2
2
2
2
2
2
2
2
e) 12xy - {- xy + [- xy - (- 18xy - 4xy ) - 3xy ] - 8xy - 5xy }, para x = e y = .
6
2
Para se entender bem a multiplicação de monômios, é muito importante recordarmos a
propriedade da potenciação:
.am . an = am + n, com a ≠ 0.
Para multiplicar dois ou mais monômios, devemos:
♦ multiplicar os sinais;
♦ multiplicar os coeficientes;
♦ multiplicar as partes literais entre si, usando a propriedade acima.
Curso de Matemática Básica
Polinômios
13
a) (+5a3).(- 3ab) = - 15a4b
b) (- 8x2y3).(- 2a2y) = + 16a2x2y4
c) (- 1,35xy2).(+ 0,4x2y) = - 0,54x3y3
4
⎛ 4 ⎞⎛ 5 ⎞
d) ⎜ + ab ⎟ . ⎜ − ax ⎟ = - a 2 bx
3
⎝ 5 ⎠⎝ 3 ⎠
2
⎛ 12
⎞⎛ 5
⎞
e) ⎜ − m3 n ⎟ . ⎜ - mn 2 ⎟ = + m 4 n 3
9
⎝ 15
⎠ ⎝ 18
⎠
1 Calcule os produtos:
2 Calcule os produtos:
a)
x2 . x3 =
a) (+ 2x).(+ 3x2y) =
b)
2x5 . 3x2 . x =
b) (- 3xy3).(+ 4xy) =
c)
(+ 4x).(- 3x2) =
c) (- 5axy).(- 3a2y2) =
d)
(- 7x2).(- 5x4) =
d) (+ 6a).(- a).(- 4a2) =
e)
(- 6m4).(- 2mx2) =
e) (- 5x).(- 3xy).(- 2xy2) =
f)
(+ 8am2).(+ 2a2m3) =
f) (- 2x).(+ 5xy).(- x4) =
g)
5a3x . ax . 3a2y =
g) (- a2c).(+ ac3).(+ a2c2) =
h)
(- 6x4y2).(- 3xy2) =
h) (- 4x2).(+ 2x3).(- 3x) =
i)
(+ 2a2b3).(+ 5ab2) =
i)
(+ 7x2y4).(- 2xy2).(- xy) =
j)
(+ 8x2).(- 7x4) =
j)
(- 5ab2).(+ 4b).(- a3x5) =
3 Calcule os produtos:
a)
⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 2⎞
⎜ + a ⎟ .⎜ − a ⎟ =
⎝ 2 ⎠⎝ 5 ⎠
f)
⎛ 3 5 2 ⎞ ⎛ 15 3 ⎞
⎜ + a m ⎟ . ⎜ − am ⎟ =
⎝ 5
⎠⎝ 9
⎠
b)
⎛ 3 3 ⎞ ⎛ 2 2 2⎞
⎜ − x y ⎟ .⎜ + x y ⎟ =
⎝ 4
⎠⎝ 3
⎠
g)
1 ⎛ 2 ⎞
(− a). ⎜ + a 2 ⎟ =
2 ⎝ 3 ⎠
c)
⎛ 1 2 ⎞⎛ 3 ⎞
⎜ − a x ⎟ .⎜ − y ⎟ =
⎝ 3
⎠⎝ 4 ⎠
h)
4 2 3⎞
⎛ 3 ⎞
2 ⎛
⎜ − xy ⎟ .(+4xy ). ⎜ − x y ⎟ =
⎝ 2 ⎠
⎝ 3
⎠
d)
⎛ 10 ⎞ ⎛ 2 3 ⎞
⎜ − a ⎟ .⎜ − a ⎟ =
⎝ 3 ⎠⎝ 5 ⎠
i)
⎛ 2 2⎞ ⎛ 5 ⎞
⎜ + am ⎟ .⎜ − an ⎟ .(+7mn) =
⎝ 5
⎠⎝ 7 ⎠
e)
⎛ 1
⎞
(−7xy3 ). ⎜ − x 2 y ⎟ =
⎝ 14
⎠
j)
⎛ 2
⎞
(−12mnp).⎜ − m2 n3 ⎟.(+5np) =
⎝ 3
⎠
Curso de Matemática Básica
Polinômios
14
4 Calcule os produtos:
a)
(- 1,4xy2).(- 0,3x2y2) =
f) (+ 2,5a6x5).(- 5a) =
b)
(+ 1,5a).(- 0,5a2x) =
g) (- 1,5x3).(- 0,3ax2) =
c)
(- 2xy).(- 1,5x2y3) =
h) (+ 1,6m2n).(- 0,5am) =
d)
(- 4,5y2).(+ 0,3x2y2).(- y3) =
i)
(- 0,75x).(- 0,2ax).(+ 1,6a2x2) =
e)
(0,1xy).(100xy2).(0,01x3) =
j)
(- 1,2pq2).(+ 6p3).(+ 0,5pq) =
5 Escreva o monômio que representa a área da figura:
6 Qual é o monômio que representa o volume da figura?
7 Calcule: Observe a figura abaixo e calcule o que se pede:
a) o monômio que representa o volume do sólido.
1
b) o valor numérico do volume quando a =
e b = 4.
2
Vamos recordar a propriedade da potenciação:
.am : an = am - n, com a ≠ 0.
Para dividir dois monômios, devemos:
♦ dividir os sinais;
♦ dividir os coeficientes;
♦ dividir as partes literais entre si, usando a propriedade acima.
a) (-6x5y2):(+3x3y) = - 2x2y
b) (- 5m4n):(- 3m2n) =
5 2
m
3
3
⎛ 5
⎞ ⎛ 10
⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 9 ⎞
c) ⎜ − x 4 y3 ⎟ : ⎜ + xy 2 ⎟ = ⎜ − ⎟ . ⎜ + ⎟ .x 3 y = - x 3 y
4
⎝ 6
⎠ ⎝ 9
⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 10 ⎠
Curso de Matemática Básica
Polinômios
15
1 Calcule:
2 Calcule:
a)
x8 : x5 =
a)
(- 5x2y2):(+ 5x2y2) =
b)
12y6 : 4y2 =
b)
(+ 8a3):(- 4a) =
c)
20a5y2 : (- 5a2y) =
c)
(- 12x3y2):(- 2xy) =
d)
(- 32m4y2):(- 8m2) =
d)
(27x5y4):(9x3y2) =
e)
(+ 9xy6):(- 3xy4) =
e)
(- 6p10q8):(+ 3p9q5) =
f)
(- 2a2b3):(- ab3) =
f)
(- 14xy3):(- 7xy2) =
g)
(- 20x2y3):(- 5xy2) =
g)
(- 24a3b8):(+ 4a2b7) =
h)
(+ 15x8):(+ 3x6) =
h)
(+ 2x3y):(- 4x2)
i)
(- 12m7n2):(+ 3m2n2) =
i)
(- 15a7b5):(+ 20a5b5) =
j)
(+ 36ab3):(- 12ab2) =
j)
(- 21x4y2):(- 14x2) =
3 Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
⎛ 1 5⎞ ⎛ 2 3⎞
⎜+ p ⎟:⎜− p ⎟ =
⎝ 3 ⎠ ⎝ 5 ⎠
⎛ 5 2 ⎞ ⎛ 10 ⎞
⎜ − a c ⎟ : ⎜ − ac ⎟ =
⎝ 6
⎠ ⎝ 9 ⎠
⎛ 2 8 2⎞ ⎛ 4 6 2⎞
⎜− x y ⎟:⎜− x y ⎟ =
⎝ 5
⎠ ⎝ 5
⎠
⎛ 1 ⎞
x4 : ⎜ − x2 ⎟ =
⎝ 3 ⎠
⎛ 1 15 ⎞
12
⎜ + a ⎟ : (−3a ) =
2
⎝
⎠
⎛ 3 7 3⎞ ⎛ 1 4 ⎞
⎜− a b ⎟ : ⎜− a b⎟ =
⎝ 4
⎠ ⎝ 8
⎠
⎛ 1 6⎞ ⎛ 1 5⎞
⎜ − an ⎟ : ⎜ − an ⎟ =
⎝ 8
⎠ ⎝ 2
⎠
⎛ 3
⎞
(−0, 4xy 2 z 2 ) : ⎜ − xyz 2 ⎟ =
⎝ 5
⎠
⎛ 2 4 3⎞ ⎛ 4 2⎞
⎜ + a x ⎟ : ⎜ − ax ⎟ =
⎝ 7
⎠ ⎝ 7
⎠
⎛ 5 5⎞ ⎛ 5 3⎞
⎜ − by ⎟ : ⎜ − by ⎟ =
⎝ 3
⎠ ⎝ 3
⎠
4 Calcule:
a)
(- 2xy4):(- 0,5y2) =
f) (+ 1,5x3y3):(- 5x3y3) =
b)
(- 0,4a2b4):(+ 0,25ab2) =
g) (- 0,25mx2):(- 2x) =
c)
(+ 0,1a6x2):(- 0,01a3) =
h) (4,096p5q2):(1,6p3q) =
Curso de Matemática Básica
Polinômios
16
Precisamos recordar a propriedade da potenciação:
.(am)n = am . n, com a ≠ 0.
Para elevarmos um monômios a um potência dada, devemos:
♦ elevar o sinal ao expoente dado;
♦ elevar o coeficiente ao expoente dado;
♦ elevar a parte literal ao expoente dado, usando a propriedade acima.
a) (+ 2x2y)2 = 4x4y2
b) (- 5a3b2)2 = 25a6b4
c) (- 0,5m5n)3 = - 0,125m10n3
2
4
⎛2
⎞
d) ⎜ a 3 b 2 ⎟ = a 6 b 4
9
⎝3
⎠
e) (- 2p3q2)5 = - 32p15q10
1 Calcule:
2 Calcule:
a) (a4)2 =
a)
(- 2m3n2)6 =
b) (2x2)3 =
b)
(- 5x2y3z)2 =
c) (a2m)5 =
c)
(+ 8a2bc3)2 =
d) (3x3y2)2 =
d)
(- 3x2y)3 =
e) (4a3m2z)3 =
e)
(- am6x3)4 =
f) (5x2y2)2 =
f)
(- 2a2c3)3 =
g) (- 4a2y)2 =
g)
(- 5x4y3)2 =
h) (- 2p2q)3 =
g)
(+ 4p2q5)3 =
i)
(- 2a3)6 =
i)
(- 2a5b2c4)5 =
j)
(+ 3ax5)2 =
j)
(+ 5a3m4n2)3 =
a) (- 0,2x2)2 =
f)
(+ 2,5ab5)2 =
b) (+ 1,5b2y3)2 =
g) (0,1x2y)5 =
c) (0,4a5b3)3 =
g) (- 1,5a2y3)3 =
d) (- 0,3a3b2z)2 =
i)
(0,8m5n3)2 =
e) (- 1,2p4q2)2 =
j)
(- 0,4a2b3c4)3 =
3 Calcule:
Curso de Matemática Básica
Polinômios
17
4 Calcule:
2
a)
⎛ 3 2⎞
⎜− p ⎟ =
⎝ 5 ⎠
b)
⎛ 2 2 3⎞
⎜− x y ⎟ =
⎝ 3
⎠
c)
⎛ 3 2⎞
⎜ − ac ⎟ =
⎝ 5
⎠
d)
⎛ 2 2 5⎞
⎜− m n ⎟ =
⎝ 5
⎠
e)
⎛ 3 5 4⎞
⎜− b c ⎟ =
⎝ 4
⎠
2
f)
⎛2 3 2⎞
⎜ x y ⎟ =
⎝3
⎠
g)
⎛ 4 4 3⎞
⎜ − x yz ⎟ =
⎝ 5
⎠
h)
⎛ 1 2 ⎞
⎜− x y⎟ =
⎝ 4
⎠
i)
⎛1 2 ⎞
⎜ ab c ⎟ =
⎝3
⎠
j)
⎛ 2 3 4⎞
⎜ − am n ⎟ =
⎝ 5
⎠
3
3
4
2
3
4
2
4
Vamos recordar a propriedade radiciação:
n
m an = a m
, com a ≥ 0 e m ≥ 2
O estudo da radiciação de monômios é semelhante ao que foi visto com números racionais
positivos. Acompanhe os exemplos:
a)
36 =
c)
25
=
81
62 = 6
52
=
92
b)
2
5
⎛5⎞
⎜ ⎟ =
9
⎝9⎠
3
27 =
33 = 3
3
4
43
64
⎛4⎞
d) − 3
= -3 3 = −3 ⎜ ⎟ = 5
5
125
⎝5⎠
Vamos considerar, para o estudo da raiz quadrada de monômios, que todas as variáveis
utilizadas assumam valores reais positivos, isto é, não podem ser valores negativos.
a) . 16b 2 = 4b
a raiz quadra de 16 é 4 e o expoente de b foi dividido pelo índice da raiz
b)
c)
64a 6 b9 = 4a2b3
a raiz cúbica de 64 é 4 e os expoentes de a e b foram divididos pelo índice da raiz.
3
25 6 4
5
x y = x 3 y2
49
7
foi extraída a raiz da fração e divididos os expoentes do radicando.
5 4
1
25 8 2
m n = m4n
mn =
10
2
100
o decimal foi passado para fração e extraída sua raiz, os expoentes foram
divididos pelo índice da raiz e a fração foi simplificada.
d)
0, 25m8 n 2 =
Curso de Matemática Básica
Polinômios
18
1 Calcule:
2 Calcule:
a)
x6 =
a)
64a 2 m 4 =
b)
a 2b4 =
b)
625x 4 =
c)
25x 2 =
c)
324m12 n 8 =
d)
4a 6 =
d)
400x16 =
e)
49a 4 b8 =
e)
289a 6 m8 n10 =
f)
9m6 =
f)
2, 25p8q12 =
g)
16x 8 y 2 =
g)
1,96x 6 y10 =
h)
81a 2 b6 c8 =
h)
0, 25a 6 p 4 =
i)
169x 2 y10 =
i)
0, 01x 2 y8 =
j)
144a 4 m6 =
j)
0, 49x 8 =
3 Calcule:
a)
1 2
x =
4
f)
3
8 6 9
a m =
27
b)
4 10 6
x y =
25
g)
4
16 8 12
x y =
81
c)
81 6 10
a m =
100
h)
5
1 5 15
ac =
32
d)
25 2 6
a c =
64
i)
3
1 3 6 9
abc =
8
e)
1 8 4
a x =
9
j)
3
64 12 15
a m =
125
Curso de Matemática Básica
Polinômios
19
Polinômio é uma sentença algébrica formada por monômios associados pelas operações da
adição e subtração.
Exemplos:
a) 5a2b3 →
monômio
binômio
b) x2 - 3x →
c) x + 2y - 5 → trinômio
d) x3 - 3x2 + 5x - 10 → polinômio
Observações:
• Toda adição algébrica de monômios é chamada de polinômio.
• Qualquer monômio é um polinômio.
• Os monômios que formam um polinômio são chamados de termos do polinômio.
• O grau de um polinômio é dado pelo seu termo de maior grau.
Para se somar algebricamente dois ou mais polinômios, devemos reduzir os termos
semelhantes. Acompanhe com atenção os exemplos abaixo:
a) (5x - 3) + (x + 7) =
polinômio dado
eliminando os parênteses
5x - 3 + x + 7 =
reduzindo os termos semelhantes
5x + x - 3 + 7
polinômio reduzido
.6x + 4.
b) (5x4 - 3x3 + 12x2 -7) - (3x4 + 10x2 - 3x - 5) =
5x4 - 3x3 + 12x2 - 7 - 3x4 - 10x2 + 3x + 5 =
4
4
3
2
2
5x - 3x - 3x + 12x - 10x + 3x - 7 + 5 =
.2x4 - 3x3 + 2x2 + 3x - 2.
polinômio dado
eliminando os parênteses
reduzindo os termos semelhantes
polinômio reduzido
1⎞ ⎛1
1⎞ ⎛1 1
1 ⎞
⎛2
c) ⎜ x 2 + y 2 + ⎟ − ⎜ y 2 − x 2 + ⎟ + ⎜ − x 2 − y 2 ⎟
2⎠ ⎝3
3⎠ ⎝ 2 2
4 ⎠
⎝3
polinômio dado
2 2
1 1
1 1 1
1
x + y2 + − y2 + x 2 − + − x 2 − y2
3
2 3
3 2 2
4
eliminando os parênteses
2 2
1
1
1
1 1 1
x + x 2 − x 2 + y2 − y2 − y2 + − +
3
2
3
4
2 3 2
reduzindo os termos semelhantes
4x 2 + 6x 2 − 3x 2 12y 2 − 4y 2 − 3y 2 3 − 2 + 3
+
+
6
12
6
mmc de polinômios semelhantes
7 2 5 2 2
x + y +
6
12
3
Curso de Matemática Básica
polinômio reduzido
Polinômios
20
d) Sejam os polinômios A = x2 - 3x + 2, B = 3x3 + 5x2 - 4x - 5 e C = 3x2 - 10x - 7,
determine A + B - C.
(x2 - 3x + 2) + (3x3 + 5x2 - 4x - 5) - (3x2 - 10x - 7) =
x2 - 3x + 2 + 3x3 + 5x2 - 4x - 5 - 3x2 + 10x + 7 =
3x3 + x2 + 5x2- 3x2 - 3x - 4x + 10x + 2 - 5 + 7 =
.3x3 +3x2 + 3x + 4.
1 Calcule:
a) (9x - 7y) + (- 6x + 3y) =
b) (6x2 + 8x - 3) + (x3 - 2x2 - 5x + 7) =
c) (4x2 - 4x + 5) - (2x2 + 7x - 1) =
d) (x4 - 2x2 - 5x - 6) - (2x3 - 5x2 - 2) =
e) (7x + 2y - 6) + (- 3x - 4y + 5) =
f) (x3 - 3x2 - 2x - 2) - (x2 + 3x - 4) =
g) (5x3 + 4x2 - 2x + 1) + (- 2x3 - 4x2 + 7x - 3) =
h) (2x3 - 10x2 + x) - (- 8x2 - 2x + 3) =
i) (a4 + 5a3 + a2) - (- a2 + 3a + 6) =
j) (x3 - 5x2 - 4x + 3) + (2x2 + 8x - 5) =
2 Calcule:
a) (4x2 - 7x + 2) + (x3 + 3x2 + 2x + 3) - (x2 - x - 1) =
b) (x3 - 4x2 + 6x - 4) - (2x3 - 3x - 5) + (4x3 + 9x2 - 11x - 3) =
c) (7a2 - 3ab +2b2) - (3a2 - 5ab - c2 - 3b2) + (- 6ab - c2) =
d) (9x3 - 8x + 10) + (- 3x2 + 6x - 2) - (7x3 - 5x2 + 4x + 5) =
e) (ab + a2b2 - 7a - b) - (4a2b2 - 7a + 3b - ab) + (4b + 5a2b2) =
f) (7m3 - 2m2 + 3m - 5) + (m3 - 4m + 9) - (5m3 + 4m2 - m + 1) =
g) (3a4 - a2 + 7a - 1) - (2a4 + 3a3 + 5a - 6) + (5a3 - 3a2 + a - 2) =
h) (x3 + 5x2 - 3x + 11) - (3x2 - 9x + 7) - (4x2 - 3x) =
i) (x2 - 3x + 5) + (x3 - 4x2 + x + 2) - (- 2x2 - x - 4) =
j) (5y3 - 6y2 - 5y + 10) - (y3 - y2 - 2y - 1) + (y3 + 3y2 - 15) =
3 Calcule:
1
1
⎛2
⎞ ⎛1
⎞
a) ⎜ x 2 − xy + y 2 ⎟ − ⎜ xy + y 2 − x 2 ⎟ =
2
3
⎝3
⎠ ⎝3
⎠
2
3⎞
⎛3
⎞ ⎛ 1
b) ⎜ x 2 − x + 2 ⎟ + ⎜ − x 2 + ⎟ =
5
4⎠
⎝2
⎠ ⎝ 6
3
1
1 ⎞
⎛2
⎞ ⎛1
c) ⎜ ax − xy + ay ⎟ − ⎜ ax − xy + ay ⎟ =
4
2
2 ⎠
⎝3
⎠ ⎝2
Curso de Matemática Básica
Polinômios
21
4 Simplifique as expressões:
a) (4x2 - 2x + 3) - 3.(x2 + 6x - 8) + 2.(3x2 + 7x - 15).
b) 2.(x3 - 3x2 + 2x - 5) + 3.(x2 - 5x + 3) - 5.(x2 - 4x - 1).
c) (x3 + 7x2 - 4x + 15)+ 3.(x2 - 2x + 6) – 5.(x2 - 2x + 9) - 4(x + 2).
d) (x3 + 6x2+ 5x + 2) - 3.(3x2 - 6x - 5) + 5.(x2 - 4x - 3).
e) 2.(x2 + 5x - 6) - 3.(x2 - 5x - 8) + 4.(x2 - 5x - 5).
f) (x3 - 5x2 + 2x + 8) - 2.(x2 + 6x + 5) - 3.(- x2 - 5x + 2).
g) 6.(a + ax + x) - 2.(a - ax - x) + 3.(- a - ax + x).
h) 3.(x2 + 2x + 1) - 2.(x2 - 3x + 1) - 5.(2x - 1).
i) 2.(3x3 - 5x2 - 9x + 1) - 3.(4x2 - x - 2) + 4.(- x3 + 4x2 + 6x).
j) 3.(2x3 - x2 + 4x - 3) - 5.(4x2 - 2x + 1) + 6.(3x2 - 5x + 4).
5
Sejam os polinômios A = 2x3 - x2 + 5x + 3, B = 4x2 - 2x + 1 e C = 3x2 - 5x + 4,
determine:
d) 3A - 4B - 5C.
a) A + B + C.
b) 2A - 3B - C.
e) A + 4B - 5C.
c) A + 2B - 3C.
6 Dados A = 2x3 + 3x2 + 5x - 4, B = 4x2 - 5x + 2 e C = - 4x + 3, calcule:
a) 2A - 3B + 5C.
b) A - 3B + 4C.
c) 3A - 2B + 5C.
7 Dados os polinômios A = x2 - 3x + 6, B = x3 - 4x2 - 3x + 5 e C = 3x - 4. Calcule:
a) - A + B - C.
c) 3A + 2B + 4C.
b) 2A + 3B + 7C.
d) - A + 2B + 5C.
8 Simplifique a expressão: 2.(a3 - 5a + 3) + 5.(a4 - 2a3 + 3a + 1) - 3.(2a2 + 3a - 7) e calcule
o seu valor numérico para a = 2.
9 Dada a figura abaixo, determine:
a) o polinômio que representa o perímetro do retângulo.
b) o valor numérico do perímetro para x = 8 e y = 3.
Dados A = 2x3 + 3x2 - 5x - 4, B = 4x2 - 5x + 2 e C = 2x + 3, calcule:
d) A - 3B + 4C.
a) A + B + C.
b) 2A - 3B + 5C.
e) A + 2B - 5C.
c) A - 2B + 3C.
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Polinômios
22
Vamos estudar dois casos de multiplicação de polinômios:
1º caso - Monômio por polinômio:
1) Calcule os produtos:
a) 2x.(x2 - 3x + 1) = .2x3 - 6x2 + 2x.
b) 5x2y.(x2 - 3xy + 2y2) = .5x4y - 15x3y2 + 10x2y3.
c) 3a.(a3 - 2a2 + 3a - 5) = .2a4 - 6a3 + 9a2 - 15a.
2º caso - Polinômio por polinômio:
2) Calcule os produtos:
a) (x - 3).(x + 2) =
b) (x2 - x).(2x - 3) =
x2 + 2x - 3x - 6 =
2x3 - 3x2 - 2x2 + 3x =
.x2 - x - 6.
.2x3 - 5x2 + 3x.
c) (3x + 5).(4x - 2) =
12x2 - 6x + 20x - 10 =
.12x2 + 14x - 10.
d) (x + 3).(x - 2).(x - 4) =
(x2 - 2x + 3x - 6).(x - 4) =
(x2 + x - 6).(x - 4) =
x3 - 4x2 + x2 - 4x - 6x + 24 =
.x3 - 3x2 - 10x + 24.
e) (a + 2).(a - 3).(2a - 1) =
(a2 - 3a + 2a - 6).(2a - 1) =
(a2 - a - 6).(2a - 1) =
2a3 - a2 - 2a2 + a - 12a + 6 =
.2a3 - 3a2 - 11a + 6.
3) Simplifique a expressão:
3.(x - 1).(x - 2) + (x - 3).(x + 4) - 3.(x + 3).(x - 2) + 5.(x - 2) =
3.(x2 - 2x - x + 2) + (x2 + 4x - 3x - 12) - 3.(x2 - 2x + 3x - 6) + 5x - 10 =
3x2 - 6x - 3x + 6 + x2 + 4x - 3x - 12 - 3x2 + 6x - 9x + 18 + 5x - 10 =
3x 2 + x2 - 3x 2 - 6x - 3x + 4x - 3x + 6x - 9x + 5x - 12 + 18 - 10 =
.x2 - 6x + 2.
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Polinômios
23
4) Observe a figura abaixo:
a) Escreva o polinômio que representa o perímetro da figura.
P = 2.(3x + y) + 2.(3x - 2y)
P = 6x + 2y + 6x - 4y
.P = 12x - 2y.
b) Determine o valor numérico do perímetro quando x = 6 e y = 4.
V. N. = 12 . 6 - 2 . 4
V. N. = 72 - 8
.V. N. = 64.
c) Escreva o polinômio que representa a área da figura.
A = (3x + y).(3x - 2y)
A = 9x2 - 6xy + 3xy - 2y2
.A = 9x2 - 3xy - 2y2.
d) Determine o valor numérico da área quando x = 6 e y = 4.
V. N. = 9x2 - 3xy - 2y2
V. N. = 9 . 62 - 3 . 6 . 4 - 2 . 42
V. N. = 9 . 36 - 18 . 4 - 2 . 16
V. N. = 324 - 72 - 32
V. N. = 324 - 104
.V. N. = 220.
5) Dado o sólido geométrico abaixo, determine:
a) o polinômio que representa o volume do sólido.
V = (2x + 5).(x + 2).(x - 3)
V = (2x2 + 4x + 5x + 10).(x - 3)
V = (2x2 + 9x + 10).(x - 3)
V = 2x3 - 6x2 + 9x2 - 27x + 10x - 30
.V = 2x3 + 3x2 - 17x - 30.
Curso de Matemática Básica
Polinômios
24
b) o valor numérico do volume para x = 5.
V. N. = 2x3 + 3x2 - 17x - 30
V. N. = 2.53 + 3.52 - 17.5 - 30
V. N. = 2.125 + 3.25 - 17.5 - 30
V. N. = 250 + 75 - 85 - 30
V. N. = 325 - 115
.V. N = 210.
1 - Calcule os produtos:
2
2 - Calcule os produtos:
a)
5x.(2x - x) =
a)
am3.(3a2m - 2m5) =
b)
4ab.(a2 - 2ab + b2) =
b)
3x.(2x - 5) =
c)
x2y2.(x2 + xy - y2) =
c)
(x2 + y).x =
d)
4a2b.(2a3 - 3ab2 + b) =
d)
(y2 - 4y).2ay4 =
e)
3a.(2a2 - 5b2) =
e)
(x2 - 3).(- 2x3) =
f)
b.(2a + b) =
f)
(a + m).(- am2) =
g)
2x.(4p - 5q2) =
g)
(- p2 - 2p + 1).(- p3) =
h)
8.(x2 - 3x + 2) =
h)
xy2.(xy + x2y - 4xy2) =
i)
5x2.(x - 3) =
i)
5y3.(2y4 + 5y5 - 8y3) =
j)
- x.(- ax + xy) =
j)
x.(x + y - xy + 5x2) =
3 - Calcule os produtos:
4 - Calcule os produtos:
a)
(x + 7).(x - 4) =
a)
(x + 2).(3x - 4) =
b)
(y - 6).(y - 5) =
b)
(x2 - x + 1).(x3 - 2x) =
c)
(2a + b).(a - 2b) =
c)
(a2 + ab + b2).(a - b) =
d)
(a - y).(a - 2x) =
d)
(x + 2).(x3 - 2x2 +3x - 5) =
e)
(ab - 2x).(ab + x) =
e)
(a + 2x).(3a + 5x) =
2
f)
(x + 5y).(2 - 3x) =
f)
(x2 - x - 2).(x - 3) =
g)
(3mx + y).(mx - 2y) =
g)
(x2 + 2x - 3).(x2 - 2x + 3) =
h)
(2a + 5).(2a - 3) =
h)
(x + y - 2).(x - 2y) =
i)
(x2y + 2).(5 - y2) =
i)
(x3 - x2 - 2x - 5).(x2 + x - 2) =
j)
(y4 - y3).(y2 - 2) =
j)
(a3 + a2 - 3a).(a2 - 4a - 2) =
5 - Calcule os produtos:
a)
(x + 9).(x - 6) =
f)
(x + 3).(x2 + 2x - 2) =
b)
(a + 2y).(a - 3y) =
g)
(2a - b2).(a2 - 3ab - 4b2) =
c)
(y - 4).(y - 12) =
h)
(a2 - ay + y2).(2a + y) =
d)
(b + 2a).(a - b) =
i)
(x3 - 2x2 - 5x).(x2 - 2x) =
e)
(x + a).(3x - 4a) =
j)
(2a + b).(a + 3b) =
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3
Polinômios
25
6 - Calcule os produtos:
a)
x.(x - 2).(x - 4) =
f)
(y2 - 1).(y + 2).(y2 - 3) =
b)
(a - b).(a - 3b).(2a - b) =
g)
(a + 2x).(a - 3x).(a + x) =
c)
(a + b).(a + b).(a + b) =
h)
(x + 3).(x + 2).(x - 1) =
d)
(x - 4).(x - 5).(x + 2) =
i)
(x - 1).(x + 2).(x - 4) =
e)
(x + 3).(x - 2).(x - 1) =
j)
(x - 3).(x + 2).(x - 2) =
7 - Calcule os produtos:
8 - Calcule os produtos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
(x - y).(x - 2y).(x + 3y) =
(a - b).(3a - 2b).(a + b) =
(x - 2).(2x + 7).(x + 3) =
(a + 2x).(a - 3x).(a + x) =
(x + 3).(x + 2).(x - 1) =
(x - 1).(x + 2).(x - 4) =
(p - 1).(p + 1).(p + 2) =
(x - 3).(2x + 3).(x + 1) =
(x + 2).(x - 3).(x + 4) =
(x + 1).(x - 2).(x - 3) =
(x + 8).(x - 1) =
(5x + y).(x + 3y) =
(xy + 6).(x - y2) =
(x2 + 3x - 4).(x - 2) =
(y2 + y - 3).(y + 5) =
(2x + 3).(2x - 1).(x - 2) =
(x - 3).(x - 4).(x + 2) =
(x - 2).(x + 5).(x + 4) =
(x - y).(x - 2y).(x + 3y) =
(a - 3).(a + 2).(a - 5) =
9 - Simplifique as expressões algébricas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
(x2 + 2x + 4).(x - 2) - (x2 - 2x + 4).(x + 2) =
(x + 1).(x - 2) + (x - 5).(x + 6) - 2.(x + 3).(x - 4) =
(x2 - xy + y2).(x + y) - (x2 + xy + y2).(x - y) =
(x - 5).(x2 - 3x - 2) + 2.(x + 1) - 5.(x + 3) =
2.(x + 6) - 3.(x + 5) + 3.(x + 3) - (x + 5) =
x.(x + y - 1) + y.(- x + y + 1) + (x - y + 1) =
(x - 1).(x2 + x - 1) - (x - 1).(x2 + 1) =
3.(a2 + a + 1) + 2.(a2 + 2a - 2) - (a2 - 3a - 3) - a.(2a + 5) =
2.(3x - 2).(x + 3) - 3.(x + 2).(1 - x) - 3x.(2x + 3) =
2.(5x2 - 3x) + (3x - 1).(x2 - x + 1) + 3.(x2 - 1) =
10 - Resolva os problemas:
a) Se A = x - 2, B = x - 1 e C = x2 + 1, determine o polinômio A.B - 2.C e seu valor
numérico, para x = - 5.
b) Sendo A = 3 - 2x, B = 2x + 4, C = 5 - x e D = x - 3, determine o polinômio que
representa a expressão 3AC - 2BD - 20A.
c) Dados A = 3 - 2x, B = x - 8, C = 5 - 2x e D = 3 - x, calcule 2AC + 3BD.
d) Dados A = a2 + a + 1, B = a2 + 2a - 2 e C = a2 - 3a - 3, calcule: 3A + 2B - C.
e) Sendo A = 4x2 - 3x, B = 3x - 1, C = x2 - x + 1 e D = 3x2 - 1, calcule 2A + BC,
(A - D).(B + C) e - A + CD + B.
f) Simplifique a expressão: (x + 2a)3 - ax.(5x + 7a) - a.(x + 2a)2 e determine o seu valor
numérico quando a = x = - 1.
g) Simplificando a expressão (m + n)2 - (2m + n)(n - m) - m.(2m + n) e seu valor
numérico para m = - 3.
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Polinômios
26
h) Considere os polinômios: A = x - 2, B = x - 3, C = x + 2 e D = 4x - 5. Calcule o
valor da expressão: A2 - 2B2 - 3D + AC + 8x.
i) Se P = x + 1 e Q = x - 1, determine o polinômio que representa a expressão
PQ + 3Q2 + 3Q + 1 e seu valor numérico para x = 2.
j) Dados os polinômios A = x2 + 5x - 6, B = x2 - 5x - 8 e C = x2 - 5x - 5, calcule
2A - 3B + 4C e o seu valor numérico para x = 4.
11 - Dada a figura abaixo, determine:
a) o polinômio que representa o perímetro do retângulo.
b) o valor numérico do perímetro para x = 3.
c) o polinômio que representa a área do retângulo.
d) o valor numérico da área para x = 3.
12 - Observe a figura abaixo:
a) Escreva o polinômio que representa o perímetro da figura.
b) Determine o valor numérico do perímetro quando a = 8 e b = 4.
c) Escreva o polinômio que representa a área da figura.
d) Determine o valor numérico da área quando a = 8 e b = 4.
13 - Observe a figura abaixo:
a) Escreva o polinômio que representa o perímetro da figura.
b) Determine o valor numérico do polinômio acima quando x = 4.
c) Escreva o polinômio que representa a área da figura.
d) Determine o valor numérico do polinômio acima quando x = 4.
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Polinômios
27
14 - Observe a figura abaixo, determine:
a) o polinômio que representa o perímetro da figura.
b) o valor numérico do polinômio acima quando x = 3 e y = 5.
c) o polinômio que representa a área da figura.
d) o valor numérico do polinômio acima quando x = 3 e y = 5.
15 - Dada a figura abaixo, determine:
a) o polinômio que representa o perímetro do retângulo.
b) o valor numérico do perímetro para x = 3.
c) o polinômio que representa a área do retângulo.
d) o valor numérico da área para x = 3.
16 - Dada a figura abaixo, determine:
a) o polinômio que representa o perímetro do retângulo.
b) o valor numérico do perímetro para x = 4.
c) o polinômio que representa a área do retângulo.
d) o valor numérico da área para x = 4.
17 - Dado o sólido geométrico abaixo, determine:
a) o polinômio que representa o volume do sólido.
b) o valor numérico do volume para x = 6.
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Polinômios
28
18 - Dado o sólido geométrico abaixo, determine:
a) o polinômio que representa o volume do sólido.
b) o valor numérico do volume para x = 6.
19 - Dado o sólido geométrico abaixo, determine:
a) o polinômio que representa o volume do sólido.
b) o valor numérico do volume para x = 5.
20 - Considere o sólido da figura abaixo:
a) Escreva o polinômio que representa o volume do sólido.
b) Calcule o valor numérico para x = 6.
21 - Os polinômios x + 1, x + 2 e x + 3 são as medidas de um paralelepípedo retângulo.
Determine o polinômio que representa o volume do sólido e o seu valor numérico para x = 2.
22 - As arestas de um paralelepípedo retângulo são expressas x - 3, x + 2 e x - 4. Calcule:
a) o polinômio que representa o volume do paralelepípedo.
b) o seu valor numérico para x = 8.
23 - Considere o sólido da figura abaixo:
a) Escreva o polinômio que representa o volume do sólido.
b) Calcule o valor numérico para x = 4.
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Polinômios
29
O quadrado da soma de dois termos, a e b, é indicado por (a + b)2.
Como (a + b)2 = (a + b).(a + b), temos:
(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Podemos enunciar uma regra prática:
“O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais
duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo termo”.
a) (x + 2)2 = x2 + 2.x.2 + 22 = x2 + 4x + 4.
b) (3x + 2y)2 = (3x)2 + 2.3x.2y + (2y)2 = 9x2 + 12xy + 4y2.
c) (x + 3y)2 = x2 + 2.x.3y + (3y)2 = x2 + 6xy + 9y2.
1 Desenvolva os quadrados da soma:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
(x + 5)2 =
(a + 7)2 =
(x + 8)2 =
(h + 4)2 =
(x + 6)2 =
(3x + 1)2 =
(4a + 5b)2 =
(m3 + 2n)2 =
(2 + xy)2 =
(x2 + x3)2 =
2 Desenvolva os quadrados da soma:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
(5x2 + 4y)2 =
(x + 2y)2 =
(2x + 5)2 =
(3x + 2)2 =
(a + 3x)2 =
(5x2 + 1)2 =
(x3 + 6)2 =
(xy + 5)2 =
(3m2 + 4n)2 =
(x5 + x2)2 =
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Polinômios
30
3 Desenvolva os quadrados da soma:
a)
(2x + 5)2 =
b)
(a3 + x2)2 =
c)
(3x + 1)2 =
d)
(x3 + y2)2 =
e)
(3x + y3)2 =
f)
(a3 + 2)2 =
g)
(3x + y2)2 =
h)
(a2 + 4a)2 =
i)
(5x3 + 2x2)2 =
j)
(a2x3 + a3x2)2 =
4 Desenvolva os quadrados da soma:
a)
(3x + y)2 =
b)
(2x + 3y)2 =
c)
(3a + 2)2 =
d)
(5a2 + 1)2 =
e)
(4a + y3)2 =
f)
(2 + 5x)2 =
g)
(4x3 + 3y2)2 =
h)
(x + 2y)2 =
i)
(4x2 + y2)2 =
j)
(3a + 2a3)2 =
5 Desenvolva os quadrados da soma:
2
a)
1 ⎞
⎛1
⎜ x + y⎟ =
3 ⎠
⎝2
b)
⎛2 3 1 ⎞
⎜ a + a⎟ =
4 ⎠
⎝3
c)
⎛2 2 3 2⎞
⎜ x + y ⎟ =
2 ⎠
⎝5
d)
⎛ 3 1 ⎞
⎜ x + m⎟ =
4 ⎠
⎝
e)
2 ⎞
⎛
⎜ 3x + y ⎟ =
3 ⎠
⎝
2
2
2
2
Curso de Matemática Básica
Produtos Notáveis
31
O quadrado da diferença de dois termos, a e b, é indicado por (a - b)2.
Como (a - b)2 = (a - b).(a - b), temos:
(a - b)2 = a2 - ab - ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
Podemos enunciar uma regra prática:
“O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo,
menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo termo”.
a) (x - 2)2 = x2 - 2.x.2 + 22 = x2 - 4x + 4.
b) (3x - 2y)2 = (3x)2 - 2.3x.2y + (2y)2 = 9x2 - 12xy + 4y2.
c) (x - 3y)2 = x2 - 2.x.3y + (3y)2 = x2 - 6xy + 9y2.
1 Desenvolva os quadrados da diferença:
a)
(x - 6)2 =
b)
(3x - y)2 =
c)
(x4 - 2b3)2 =
d)
(7m - 2n2)2 =
e)
(x - 4)2 =
f)
(x - 5y)2 =
g)
(2x - 3)2 =
h)
(1 - ab)2 =
i)
(x3 - 3x2)2 =
j)
(x2 - y3)2 =
2 Desenvolva os quadrados da diferença:
a)
(x2 - 3ax)2 =
b)
(4x - 2)2 =
c)
(3x - 5)2 =
d)
(2 - x3)2 =
e)
(x - 3)2 =
f)
(2a - 5)2 =
g)
(1 - 4y)2 =
h)
(x2 - 2)2 =
i)
(x3 - 2x)2 =
j)
(3x2 - y3)2 =
Curso de Matemática Básica
Produtos Notáveis
32
3 Desenvolva os quadrados da diferença:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
(3a - 5)2 =
(5 - 4a)2 =
(3x - 2y)2 =
(a - 2y)2 =
(4x3 - 3x2)2 =
(a4 - b2)2 =
(2a2 - 1)2 =
(m - 5n)2 =
(5x - y)2 =
(2x2 - x3)2 =
4 Desenvolva os quadrados da diferença:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
(2x - 3)2 =
(a3 - 3a2)2 =
(x - 5y)2 =
(x3 - y2)2 =
(x - 2y4)2 =
(5x - 2y)2 =
(x2 - 3y)2 =
(2a3 - 3b2)2 =
(y - a2)2 =
(3a2 - 2)2 =
5 Desenvolva os quadrados da diferença:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
(3x - 1)2 =
(a3 - 2)2 =
(x - 5)2 =
(x - 9)2 =
(5x2 - 6)2 =
(a - 2)2 =
(3x - 2y)2 =
(y6 - 4)2 =
(2a - 5b)2 =
(3m - 5n)2 =
6 Simplifique as expressões:
a)
b)
c)
d)
e)
2
2
(este exercício deve ser feito no seu caderno)
x - (x - 3) =
(x + 1)2 + (x + 2)2 =
(2x + 1)2 + (x - 1)2 =
(3 - x)2 - 2x.(4 - x) - 2.(x - 2)2 =
2.(2x + 1) + (3x - 4)2 - 2.(2x - 3)2 =
Curso de Matemática Básica
f)
g)
h)
i)
j)
(x + 1)2 - (x + 2)2 + (x + 3)2 =
(x + 5)2 - x.(x + 3) + x2 =
(3x - 2)2 - (2x - 4)2 =
(4x + 3)2 - 2.(3x + 2)2 + 3x2 =
(2x + 4)2 - (x + 5)2 =
Produtos Notáveis
33
O produto da soma de dois termos, a e b, pela sua diferença é indicado por (a + b).(a - b).
Como (a + b).(a - b) = a.(a + b) + b.(a - b), temos:
(a + b).(a - b) = a2 - ab + ab - b2
(a + b).(a - b) = a2 - b2.
Podemos enunciar uma regra prática:
“O produto da soma de dois termos pela sua diferença é igual ao quadrado do
primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo”.
a) (x + 2).(x - 2) = x2 - 22 = x2 - 4.
b) (3x + 2y).(3x - 2y) = (3x)2 - (2y)2 = 9x2 - 4y2.
c) (x + 3y).(x - 3y) = x2 - (3y)2 = x2 - 9y2.
1 Desenvolva os produtos da soma
2 Desenvolva os produtos da soma
pela diferença:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
(x + 8).(x - 8) =
(x + 4).(x - 4) =
(x + 2y).(x - 2y) =
(ab - c).(ab + c) =
(5x + 2y).(5x - 2y) =
(3a + 10).(3a - 10) =
(m + 2n).(m - 2n) =
(x2 + y2).(x2 - y2) =
(1 + xy).(1 - xy) =
(2x - 5).(2x + 5) =
3 Desenvolva os produtos da soma
pela diferença:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
4 Desenvolva os produtos da soma
pela diferença:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
(a + 7).(a - 7) =
(x3 + 3).(x3 - 3) =
(1 + 2a).(1 - 2a) =
(t3 + 5).(t3 - 5) =
(x2 + x5).(x2 - x5) =
(ab + 3).(ab - 3) =
(1 + a2x3).(1 - a2x3) =
(a3x + 10).(a3x - 10) =
(a - 2b).(a + 2b) =
(2x + y3).(2x - y3) =
Curso de Matemática Básica
(x2 + 2).(x2 - 2) =
(3 - 2a).(3 + 2a) =
(4x + 3).(4x - 3) =
(5 + 3y).(5 - 3y) =
(x2 - 3y).(x2 + 3y) =
(a3 + b2).(a3 - b2) =
(2x2 + y3).(2x2 - y3) =
(3x + 5).(3x - 5) =
(2 - 3x).(2 + 3x) =
(m2 + 5).(m2 - 5) =
pela diferença:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
(3a + 2b).(3a - 2b) =
(3a + 10).(3a - 10) =
(m + 2n).(m - 2n) =
(p + 1).(p - 1) =
(2a + 3).(2a - 3) =
(x3 + 2y).(x3 - 2y) =
(x2 + xy).(x2 - xy) =
(2x + 3y).(2x - 3y) =
(m + 2p).(m - 2p) =
(4x + 5y).(4x - 5y) =
Produtos Notáveis
34
5 Desenvolva os produtos da soma pela diferença:
a)
b)
c)
⎛ 2 1 ⎞⎛ 2 1 ⎞
⎜ 2a + b ⎟ . ⎜ 2a − b ⎟ =
3 ⎠⎝
3 ⎠
⎝
d)
1
1
⎛
⎞⎛
⎞
⎜ 3 − am ⎟ . ⎜ 3 + am ⎟ =
2
2
⎝
⎠⎝
⎠
⎛3
⎞ ⎛3
⎞
⎜ + x ⎟ .⎜ − x ⎟ =
⎝4
⎠ ⎝4
⎠
e)
f)
6 Simplifique as expressões algébricas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
2
(Esse exercício deve ser feito no seu caderno)
2
x + (x - 1) - (x + 1).(x - 1) =
(x - 3)2 + (x + 3).(x - 3) =
2.(x + 2)2 - (x + 1).(x - 1) - (x + 1)2 =
2.(x + 3).(x - 3) - (x - 4)2 + 2.(x + 9) =
3.(x - 2).(x + 2) - (x + 2)2 + (x - 2)2 =
(x + 1).(x - 1) + (x + 2).(x - 2) - (x + 3).(x - 3) =
2.(2x + 3y)2 - (2x + 3y).(2x - 3y) - (2x - 3y)2 =
(a - x)2 + a.(a - x) - (a - x).(a + x) =
(2x - y)2 + (x + y).(x - y) + 2xy =
(2a - 1)2 - (a + 3).(a - 3) - (a + 2)2 =
8 Simplifique as expressões:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
(Esse exercício deve ser feito no seu caderno)
2a. (a - 5)2 =
5.(x - 1) - (x - 4)2 + (x - 5)2 =
(x - 8)2 + 8.(5x - 6) =
(x - y)2 - x.(x - 2y) =
(x - 2)2 + (x + 2).(x - 2) =
(x + 4)2 + (x + 2)2 - x.(x + 7) - 15 =
(x + 4).(x - 8) + (x + 4).(x - 4) - (x + 6).(x - 6) =
(m + 1).(m - 1) + (m + 1)2 - 2m =
(a + x)2 + (a - x).(a + x) - 2ax =
(xy - 1)2 - (1 - xy).(1 + xy) + 2xy =
7 Simplifique as expressões:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
3
⎛ a3
4 ⎞ ⎛ a
4 ⎞
+
⋅
c
⎜ 2
⎟ ⎜ 2 −c ⎟ =
⎝b
⎠ ⎝b
⎠
⎛a x⎞ ⎛a x⎞
⎜ + ⎟⋅⎜ − ⎟ =
⎝3 5⎠ ⎝3 5⎠
1 ⎞ ⎛1
1 ⎞
⎛1
⎜ m + n ⎟ .⎜ m − 2 ⎟ =
2 ⎠ ⎝3
2 ⎠
⎝3
(Esse exercício deve ser feito no seu caderno)
2
(2x + y).(2x - y) + (x + y) =
(x - 3)2 - (x - 5)2 =
(a + 1)(a - 1) + 5.(a - 1)2 + 5.(a - 1) + 1 =
(a - x)2 + (a - x).(a + x) - (a + x)2 + x2 =
(x2 + 2y)2 + (x2 - y).(x2 + y) - 3x2y =
(3a2 - b)2 + (b - 3a2).(b + 3a2) + 2.(a2 + b)2 =
2.(x - 1)2 + 3.(x - 2)2 - 4.(x + 1).(x - 1) + 5. (3x - 4) =
4.(a - 8) - (a + 5).(a - 5) + 5.(a + 4)2 - 5.(3a + 7) =
(a - x)2 + (a - x).(a + x) - (a + x)2 + 4ax =
4.(x + 2)2 - (x + 3)2 - (x + 3).(x - 3) - x.(x + 6) - 8 =
Curso de Matemática Básica
Produtos Notáveis
35
Fatorar significa transformar em produto, isto é, em multiplicação.
Estudaremos seis casos de fatoração:
Fator Comum
Agrupamento
Diferença de Dois Quadrados
Trinômio Quadrado Perfeito
Trinômio do 2º Grau
Casos Combinados de Fatoração
Quando uma expressão algébrica (polinômio) apresenta um fator comum a todos os seus
termos, podemos transformar num produto indicado onde um dos fatores é o fator comum e
o outro é o quociente de cada termo pelo fator comum colocado em evidencia.
Fatore as expressões:
a) 2x + 2y = 2.(x + y)
b) 12ab - 18a = 6a.(2b - 3)
c) 20a4b2 + 50a3b4 - 30a2b7 = 10a2b2.(2a2 + 5ab2 - 3b5)
Obs.: O fator comum literal é sempre a letra que aparece em todos os termos com o
menor expoente.
1 Fatore as expressões, colocando os fatores comuns em evidência:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
9a + 9b =
x2 + 3x =
a3b - ab3 =
x3 - x2 =
2x + 4 =
y2 - y =
4x2y - 6xy =
18mn2 - 27mn3 =
5a2 - 5a =
5x2 + 3x =
Curso de Matemática Básica
Fatoração
36
2 Fatore as expressões, colocando os fatores comuns em evidência:
a)
ax4 - 3x3 + 5ax2 =
b)
15x2y + 20xy2 - 10x2y2 =
c)
a2y + b2y - c2y =
d)
9ax + 12ay - 15az =
e)
9x2 - 6x + 3 =
f)
10x - 15y + 20z =
g)
2x3 + 4x2 - 6x =
h)
6x4 - 12x3 + 15x2 =
i)
15p2q + 9p2q2 - 18pq2 =
j)
4x5 - 8x4 + 12x3 =
3 Fatore as expressões, colocando os
4 Fatore as expressões, colocando os
fatores comuns em evidência:
fatores comuns em evidência:
2
a)
x - 5x =
a)
ax + ay =
b)
4x + 2 =
b)
3x - 3y =
c)
ax - mx =
c)
2a + 2b =
d)
2
x +x=
d)
bx + by =
e)
2
x -x +x=
e)
7a - 7b =
f)
a3 + 3a2b =
f)
ab + ac =
g)
4x2 - 6x3 =
g)
x2 + 3x =
h)
x9 + x6 - x4 =
h)
a2 - a =
i)
x2y + y3 =
i)
x2 + xy =
j)
x.(y + 4) - 2.(y + 4) =
j)
3ax4 - 9ax3 + 15ax2 =
3
5 Fatore as expressões, colocando os fatores comuns em evidência:
a)
5x - 20 =
b)
15x3 - 10x2 =
c)
m5 - m2 =
d)
4a3 - 6a =
e)
12ax - 16ay =
f)
2ab + 3abc =
g)
ab2 + a2bc =
h)
9ax - 6a =
i)
25b2 - 5b =
j)
ab2 - a2b =
Curso de Matemática Básica
Fatoração
37
Para fatorar por agrupamento, aplicamos duas vezes o processo do fator comum.
Separamos em grupos de dois termos, de modo que haja pelo menos um fator comum em
cada grupo.
Fatore as expressões:
a) bx + 2x + by + 2y =
c) x2 + 5x - ax - 5a =
x.(b + 2) + y.(b + 2) =
x.(x + 5) - a.(x + 5) =
(b + 2).(x + y)
(x + 5).(x - a)
b) mx - 2mc + 4x - 8c =
d) x3 + x2 + x + 1 =
m.(x - 2c) + 4.(x - 2c) =
x2.(x + 1) + 1.(x + 1) =
(x - 2c).(m + 4)
(x + 1).(x2 + 1)
1 Fatore, por agrupamento, as expressões:
a)
x6 + x4 + x2 + 1 =
b)
2ab + bc - 10a - 5c =
c)
ab - ac + 3b - 3c =
d)
2x + 2y + bx + by =
e)
ay + a + xy + x =
f)
a2 + ab - ax - bx =
g)
cy - y + cx - x =
h)
2x2 - x + 4xy - 2y =
i)
2ax + 5x + 6a + 15 =
j)
ax2 + ay2 + x3 + xy2 =
2 Fatore, por agrupamento, as expressões:
a)
a2b + b - 3a2 - 3 =
b)
ax + x + a + 1 =
c)
kb2 + k - 2b2 - 2 =
d)
mx2 - 2my + 5x2 - 10y =
e)
ax + bx + ay + by =
f)
5m3 - 4m2 + 10m - 8 =
g)
2xy + 15 + 6x + 5y =
h)
bx - x - b + 1 =
i)
x3 + x - x2 - 1 =
j)
p2 - pm + pm - m2 =
Curso de Matemática Básica
Fatoração
38
3 Fatore, por agrupamento, as expressões:
a)
ax + ay + 5x + 5y =
b)
am - mb + 7a - 7b =
c)
ax + 2bx + ay + 2by =
d)
ax + 6x - ay - 6y =
e)
ax + bx + ay + by =
f)
am - bm + an - bn =
g)
ay + 3a + y2 + 3y =
h)
m2 + mx + mb + bx =
i)
bx + by + 2x + 2y =
j)
ay + a + xy + x =
4 Fatore, por agrupamento, as expressões:
a)
a2 - 3a + 2ab - 6b =
b)
am + bm - an - bn =
c)
ap + px + 3a + 3x =
d)
2ax + bx - 2ay - by =
e)
a2 + ab - ax - bx =
f)
2ab + bc - 10a - 5c =
g)
6p2 - 4pq - 9rp + 6rq =
h)
mx - nx + 2m - 2n =
i)
5ax - 5a + bx - b =
j)
p3 - 5p2 + 4p - 20 =
5 Fatore, por agrupamento, as expressões:
a)
m3 + m - m2 - 1 =
b)
x2 - xy + xy2 - y3 =
c)
mx - nx + 2m - 2n =
d)
a3 + a 2 + a + 1 =
e)
ax + a + 3mx + 3m =
f)
ax + x2 + 2a + 2x =
g)
ab - y2 + ay - by =
h)
ac - ad - bc + bd =
i)
mp + mq + np + nq =
j)
kx + ky + 2x + 2y =
Curso de Matemática Básica
Fatoração
39
2
−
b2 .
Observe o produto: (a + b).(a − b) = a
produto da soma
pela diferença de
dois termos
diferença de
dois quadrados
Pelo que vimos (a + b).(a - b) é a forma fatorada de a2 - b2.
Para fatorar uma diferença de dois quadrados, podemos usar a regra:
1 Achar a raiz quadrada do primeiro termo.
2 Achar a raiz quadrada do segundo termo.
3 O resultado será o produto da soma pela diferença dessas raízes.
Fatore as expressões.
a) x2 - 25 = (x + 5).(x - 5)
b) a2 - 9 = (a + 3).(a - 3)
c) 4x2 - 16b6 = (2x + 4b3).(2x - 4b3)
1
1
1
d) x2y2 - = (xy + ).(xy - )
3
9
3
1 Fatore as diferenças de dois quadrados:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
2
x - 36 =
x2 - y2 =
9x2 - 16 =
1 - b2 =
4m2 - x2 =
49a2 - x2y2 =
a4 - 9 =
x2 - 81 =
36x4 - y6 =
16x6 - 25y4 =
3 Fatore as diferenças de dois quadrados:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
a4 - 4 =
9 - a4b6 =
x2m4 - n6 =
16p2 - 25q2 =
4x2 - 1 =
a2 - 25 =
x2 - 4y2 =
4x2 - x6y2 =
x6 - 9a4b8 =
9 - x2 =
Curso de Matemática Básica
2 Fatore as diferenças de dois quadrados:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
a2x4 - 1 =
x2 - 100 =
x4 - 1 =
a2 - m2n4 =
x2 - y2 =
x4y8 - y6 =
25a2 - 4b4 =
a2x2 - y2 =
x6 - 64 =
4a2 - 9b4 =
4 Fatore as diferenças de dois quadrados:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
p6 - m4 =
36x2 - 49y2 =
25x2 - 16p6 =
a2 - 1 =
x2 - 49 =
4a2 - 9b2 =
100 - x2y4 =
4p2m2 - 121 =
a4x2 - y2 =
x2 - 16 =
Fatoração
40
5 Fatore as diferenças de dois quadrados:
a)
4x2 - 49 =
f)
x2 - y4 =
b)
a2 - 36 =
g)
9x2 - 16 =
c)
9a2 - 25b2 =
h)
1 - 25a2 =
d)
a2 - 4b4 =
1 2 1 2
x y =
4
36
i)
x2 - 1 =
j)
36x2 -
e)
1 4
a =
25
Vimos que:
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ou • (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Então:
a2 + 2ab + b2 tem para forma fatorada (a + b)2
a2 - 2ab + b2 tem para forma fatorada (a - b)2
Para fatorarmos um trinômio quadrado perfeito, temos que:
1 Achar a raiz quadrada do primeiro termo.
2 Achar a raiz quadrada do último termo.
3 O termo do meio deve ter o dobro do produto das raízes.
4 O resultado terá o sinal do termo do meio.
Fatore as expressões.
a) x2 + 10x + 25 =
↓
↓
b) a2 - 6a + 9 =
↓
↓
x2 = x
25 = 5
2 . x . 5 = 10x
2
x + 10x + 25 =
.(x + 5)2.
1 Fatore os trinômios quadrados perfeitos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
a2 + 2ab + b2 =
x2 + 6x + 9 =
a2 + 8a + 16 =
1 - 6m + 9m2 =
x2 - 4xy + 4y2 =
4 + 12x + 9x2 =
36a2 - 12ac + c2 =
49p2 - 28pq + 4q2 =
x2 + 10xy + 25y2 =
a2 - 4ab + 4b2 =
Curso de Matemática Básica
a2 = a
9 =3
2 . a . 3 = 6a
a2 + 6x + 9 =
.(a + 3)2.
2 Fatore os trinômios quadrados perfeitos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
9m2 - 12mn + 4n2 =
a2 - 8ab + 16b2 =
a4 + 20a2 + 100 =
m2 + 4m + 4 =
x2 + 2x + 1 =
x2 + 10xy + 25y2 =
1 - 6m3 + 9m6 =
4x2y2 + 20xy + 25 =
n2 - 10n + 25 =
x2 + 64 + 16x =
Fatoração
3 Fatore os trinômios quadrados perfeitos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
2
x - 14x + 49 =
25p2 + 30px + 9x2 =
16a2m2 + 8am + 1 =
9b2 - 6bc + c2 =
16a4 + 56a2b3 + 49b6 =
a2 - 2ax2 + x4 =
16b2 - 40b + 25 =
25x2 + 10x + 1 =
4a2 + 4a + 1 =
x2y2 + 3axy + 2,25a2 =
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
5 Fatore os trinômios quadrados perfeitos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
4
y2 + 2y + 1 =
4a2 - 12ab + 9b2 =
x2 + 6x + 9 =
x2 - 8x + 16 =
4y2 + 4y + 1 =
121a2 + 88a + 16 =
x4 - 4x2 + 4 =
4a2x2 - 4abx + b2 =
m8 + 2m4n2 + n4 =
10
1
25x2 +
x+ =
9
3
41
Fatore os trinômios quadrados perfeitos:
a2x4 - 5ax2 + 6,25 =
x2 - 10x + 25 =
a2 + 4ax + 4x2 =
x2 - 8xy + 16y2 =
a2 - 2ax + x2 =
y4 - 12y2 + 36 =
9x2 + 12x + 4 =
25a2 + 10ax2 + x4 =
81 + 90a + 25a2 =
9x2 + 24xy + 16y2 =
6 Fatore os trinômios quadrados perfeitos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
49 + 4p2 - 28p =
x2 + 8xy + 16y2 =
16x2 - 24x + 25 =
x2 + 12x + 36 =
m2 - 10mn + 25n2 =
p2 + 4pq + 4q2 =
49a2 + 28a + 4 =
36m2 - 60m + 25 =
16 - 40x + 25x2 =
4
4
b2 + bc + c2 =
9
3
Quando um trinômio não tiver as características de um quadrado perfeito, devemos
verificar se ele pode ser fatorado com as condições de um trinômio do 2º grau. Para
efetuarmos essa fatoração, precisamos saber as regras de sinais da adição e multiplicação.
Veja os exemplos:
1) Fatore: x2 + 8x + 12.
Vamos imaginar a expressão acima da seguinte forma: x2 + Sx + P, onde S
significa SOMA e P, PRODUTO.
Isto quer dizer que precisamos descobrir dois números que ao mesmo tempo em
que multiplicados seja 12 e somados, seja 8.
Fica mais fácil estabelecermos primeiro a multiplicação, pois existem poucos
valores que satisfazem o que precisamos:
São eles:
1 e 12
2e6
3e4
Agora os outros serão repetidos, só que ao inverso.
Curso de Matemática Básica
Fatoração
42
Desses pares de números, vamos verificar aquele que ao somarmos ou subtraímos,
encontraremos como resultado 8. Facilmente podemos descobrir que os números
procurados são 2 e 6.
Vamos definir os sinais desses números.
Como o produto é positivo, isso quer dizer que os números terão sinais iguais e
como a soma é positiva, isso quer dizer que os dois serão positivos.
Então podemos escrever que x2 + 8x + 12 = (x + 2).(x + 6).
2) Fatore: x2 + 5x - 24.
Vamos encontrar dois números que multiplicados sejam iguais a 24 e somados,
iguais a 5.
Estabelecendo primeiro a multiplicação, temos:
1 e 24
2 e 12
3e8
4e6
Dentre os números acima, vamos escolher o par em que somados ou subtraídos esses
números, encontremos 5. Facilmente escolheremos 3 e 8.
Como o produto é negativo, isso quer dizer que os números têm sinais diferentes.
Já a soma é positiva, isso quer dizer que o maior será positivo.
Então podemos escrever: x2 + 5x - 24 = (x - 3).(x + 8).
3) Fatore: x2 - 4x - 21.
Vamos encontrar dois números que multiplicados sejam iguais a 21 e somados,
iguais a 4.
Encontrando primeiro a multiplicação, temos as opções:
1 e 21
3e7
Agora está bem simples a escolha. Os números são: 3 e 7.
Como o produto é negativo, os sinais são diferentes e a soma negativa, quer dizer que o
maior tem que ser negativo.
Então: x2 - 4x - 21 = (x + 3).(x - 7).
Obs.: O processo da fatoração de um trinômio do 2º grau só é válido, quando o
primeiro termo do trinômio, o que tem x2, tiver coeficiente 1.
1 Fatore os trinômios do 2º grau:
2 Fatore os trinômios do 2º grau:
a)
x2 + 3x + 2 =
a)
x2 + 4x - 5 =
b)
y2 + 4x + 3 =
b)
y2 + 5y - 6 =
c)
x2 + 5x + 4 =
c)
x2 + 3x + 2 =
d)
x2 + 6x + 5 =
d)
x2 + 3x - 10 =
e)
m2 + 7m + 6 =
e)
m2 + 3m - 18 =
f)
a2 + 6a + 8 =
f)
m2 - m - 2 =
g)
x2 + 8x + 15 =
g)
x2 - 2x - 3 =
h)
x2 + x - 2 =
h)
x2 - 11x + 30 =
i)
x2 + 2x - 2 =
i)
x2 + 7x + 12 =
j)
m2 + 3m - 4 =
j)
x2 + 7x + 10 =
Curso de Matemática Básica
Fatoração
43
3 Fatore os trinômios do 2º grau:
4 Fatore os trinômios do 2º grau:
a)
x2 - 7x + 6 =
a)
x2 + x - 6 =
b)
x2 - 6x + 8 =
b)
x2 - 5x + 4 =
c)
x2 - 9x + 14 =
c)
x2 - 11x - 12 =
d)
x2 + x - 12 =
d)
m2 - 13m + 12 =
e)
x2 - 9x + 18 =
e)
x2 + 8x + 12 =
f)
x2 - 9x + 8 =
f)
a2 - 2a - 8 =
g)
x2 - x - 12 =
g)
y2 + 13y + 40 =
h)
x2 + 4x - 12 =
h)
x2 - 7x - 8 =
i)
x2 + 7x - 8 =
i)
x2 + 3x - 28 =
j)
x2 - 2x - 15 =
j)
x2 + 2x - 15 =
5 Fatore os trinômios do 2º grau:
a)
x2 - 8x + 12 =
f)
x2 - 3x + 2 =
b)
x2 - 10x + 9 =
g)
x2 - 4x - 5 =
c)
x2 + 8x + 16 =
h)
x2 - 10x + 24 =
d)
x2 - 6x + 9 =
i)
x2 - x - 12 =
e)
x2 - x - 6 =
j)
x2 - 2x - 24 =
Para se fatorar uma expressão é importante saber qual caso de fatoração aplicar. Segue
abaixo orientações que o ajudarão na decisão do caso a ser usado. Se uma expressão algébrica
tiver:
Dois termos:
Fator Comum
Diferença de Dois Quadrados
Três termos:
Fator Comum
Trinômio Quadrado Perfeito
Trinômio do 2º Grau
Quatro termos:
Fator Comum
Agrupamento
Curso de Matemática Básica
Fatoração
44
6 Fatore as expressões:
a)
a2 + 4a =
b)
x2 - 1 =
c)
x2 - 18x + 81 =
d)
a2 - 2ab + b2 =
e)
5y3 + 3y2 + 7y =
f)
36y2 - m2 =
g)
x2 + 4xy + 4y2 =
h)
a2 - 14a + 24 =
i)
3a2 + 3ab + 2a + 2b =
j)
4x2 - 6x =
7 Fatore as expressões:
a)
y2 - 4ay + 4a2 =
b)
m2 - 9n2 =
c)
a2 - 4a + 4 =
d)
a4 - 2a2b2 + b4 =
e)
ab + 3b + 7a + 21 =
f)
3a2b + 6ab2 - 9ab =
g)
a4 - 9 =
h)
x2 + 8x + 16 =
i)
a2 - 25 =
j)
p3 - 5p2 + 4p - 20 =
8 Fatore as expressões:
a)
4x3 - 6x2 =
b)
6x2 + 8x =
c)
9 + 24a + 16a2 =
d)
xy - 2y + 4x - 8 =
e)
64x2 - 25y8 =
f)
x2 + 10x + 16 =
g)
2ab + bc - 10a - 5c =
h)
4x2 - 25 =
i)
a2 + ax + 2a + 2x =
j)
49x2 - 56x + 16 =
Curso de Matemática Básica
Fatoração
45
Muitas vezes a fatoração de um polinômio exige a aplicação de mais de um caso.
Vamos fatorar expressões que exigem mais de um caso de fatoração.
Fatore completamente as expressões:
a) 4x2 - 16 → fator comum
4.(x2 - 4) → diferença de dois quadrados
4.(x + 2).(x - 2) → polinômio fatorado
b) a3 + 10a2x + 25ax2 → fator comum
a.(a2 + 10ax + 25x2) → trinômio quadrado perfeito
a.(a + 5x)2 → polinômio fatorado
c) 2x4 + 6x3 + 4x2 + 12x → fator comum
2x.(x3 + 3x2 + 2x + 6) → agrupamento
2x.[x2.(x + 3) + 2.(x + 3)] → continuando o agrupamento
2x.(x + 3).(x2 + 2) → polinômio fatorado
d) a2 - 6a + 9 - b2 → trinômio quadrado perfeito
(a - 3)2 - b2 → diferença de dois quadrados
[(a - 3) + b].[(a - 3) - b]
(a + b - 3).(a - b - 3) → polinômio fatorado
1 Fatore as expressões:
a)
5x2 - 5 =
b)
ax2 - ay2 =
c)
x3 - 6x2 + 9x =
d)
m4 - 1 =
e)
a2x - b2x + a2y - b2y =
f)
3x2 - 6xy + 3y2 =
g)
a2x + 2ax + x =
h)
2x2 - 8x + 8 =
i)
x3 + 8x2 + 16x =
j)
5x2 - 20x + 20 =
Curso de Matemática Básica
Fatoração
46
2 Fatore completamente as expressões:
a)
y2 - 14y + 49 =
b)
16 - x2y8 =
c)
a2b + b - 3a2 - 3 =
d)
a3 + 3a2b =
e)
15ab + 10bc - 5 =
f)
5a3 + 30a2b + 45ab2 =
g)
16a4 + 56a2b3 + 49b6 =
h)
ax - 2x + 5a - 10 =
i)
5a2 - 20a + 15 =
j)
3a2 - 27b4 =
3 Fatore completamente as expressões:
a)
2x2 - 2 =
b)
7x4 - 7 =
c)
m3 - m =
d)
2y3 - 2y =
e)
m4 - m3 + mn3 - n3 =
f)
ax3 - ax + bx3 - bx =
g)
x3 - 4x2 + 4x =
h)
a4b + ab4 =
i)
2a2 + 12a + 18 =
j)
3a2 - 6ab + 3b2 =
4 Fatore completamente as expressões:
a)
x3 + ax2 - bx2 - abx =
b)
ax2 - 2axy + ay2 =
c)
ab2 - ac2 + b3 - bc2 =
d)
2x2 - 12xy + 18y2 =
e)
x3 - 4x2 + 4x =
f)
a3 - ax2 =
g)
5x3 + 30x2y + 45xy2 =
h)
5x2y2 - 20 =
i)
2x2 - 4x + 6ax - 12a =
j)
12x2 - 60x + 75 =
Curso de Matemática Básica
Fatoração
47
5 Fatore completamente as expressões:
a)
12x2y - 36xy2 + 27y3 =
b)
4m2 - 100n2 =
c)
6ax + 4b2 + 2b2x + 12a =
d)
6x2 - 3x + 12xy - 6y =
e)
a4 + 10a3 + 2a2 + 20a =
f)
8x2 - 24x + 18 =
g)
12a4x2 + 18a3x3 =
h)
3x3 - 48x =
i)
x3 - xy2 + x2y - y3 =
j)
ax2 - a + bx2 - b =
6 Fatore as expressões:
a)
2x2 - 4xy =
b)
am - bm + 5a - 5b =
c)
9a2 - x4 =
d)
ax + 6x - 4a - 24 =
e)
4x6 - 9y4 =
f)
x2y - y3 =
g)
2a2 - 20a + 50 =
h)
ax - 6x + ay - 6y =
i)
12x2 + 84x + 27 =
j)
3xy + 9xz + 6x =
7 Fatore as expressões:
a)
25m2 + 20m3 =
b)
2ax - 6a + 5x - 15 =
c)
4a6 + 12a4 + 9a2 =
d)
x6 - 2x4y + x2y2 =
e)
bx - 2b + x - 2 =
f)
x4 - 12x2 + 36 =
g)
4x2 - 48x + 144 =
h)
x4 - 25p2 =
i)
4x2 - 4 =
j)
2xy - 6y - x + 3 =
Curso de Matemática Básica
Fatoração
48
Resolver todas as operações indicadas.
Dada a expressão:
(x - 6)2 - 4.(3x - 4) + (x - 2).(x + 6) + 5.(x - 3) + (x + 3)2 - 9.(x + 1) + 2.
a) Simplifique a expressão.
(x - 6)2 - 4.(3x - 4) + (x - 2).(x + 6) + 5.(x - 3) + (x + 3)2 - 9.(x + 1) + 2.
x2 - 12x + 36 - 12x + 16 + x2 + 6x - 2x - 12 + 5x - 15 + x2 + 6x + 9 - 9x - 9 + 2
x2 + x2 + x2 - 12x - 12x + 6x - 2x + 5x + 6x - 9x + 36 + 16 - 12 - 15 + 2
.3x2 - 18x + 27.
b) Fatore completamente.
3x2 - 18x + 27
3.(x2 - 6x + 9)
.3.(x - 3)2.
c) Calcule o seu valor numérico para x = 8.
3.(x - 3)2
3.(8 - 3)2 =
3.52 =
3.25 =
.75.
1)
a)
b)
c)
Dada a expressão: (x - 2)2 - 3.(2x - 5) + 2.(x + 3)2 + 5.(2x - 5).
Simplifique a expressão.
Fatore completamente.
Calcule o seu valor numérico para x = 3.
2)
a)
b)
c)
Dada a expressão: 2.(x - 3).(x + 2) - 3.(x - 5) + (x - 1)2 - 2.(x + 2)2 + 5.(x + 4).
Simplifique a expressão.
Fatore completamente.
Calcule o seu valor numérico para x = 12.
3)
a)
b)
c)
Dada a expressão: 6.(x - 4)2 - 2.(x + 3).(x - 2) + 2.(x + 10) + x.(x - 2) - 3.
Simplifique a expressão.
Fatore completamente.
Calcule o seu valor numérico para x = 3.
Curso de Matemática Básica
Fatoração
49
2
4)
a)
b)
c)
Dada a expressão: x.(4x - 5) - 7.(x + 2) - (x - 3) - 2.(x - 3).(x + 4) + 15x.
Simplifique a expressão.
Fatore completamente.
Calcule o seu valor numérico para x = 10.
5)
a)
b)
c)
Dada a expressão: 2.(5x + 3) - (x - 2).(x + 7) + 2.(x + 5)2 + (x + 2).(x - 3)- 8.(x + 4).
Simplifique a expressão.
Fatore completamente.
Calcule o seu valor numérico para x = - 9.
6)
a)
b)
c)
Dada a expressão: 2.(x + 7) - 2.(x - 3)2 + (x - 2).(x + 3) + (x + 2).(x - 5) + x.(x - 4).
Simplifique a expressão.
Fatore completamente.
Calcule o seu valor numérico para x = 5.
7)
a)
b)
c)
Dada a expressão: (x + 5)2 - 8.(x + 2) - 3.(x - 3)2 + 3x.(x - 7) + 6.
Simplifique a expressão.
Fatore completamente.
Calcule o seu valor numérico para x = 7.
8)
a)
b)
c)
Dada a expressão: 2.(x - 5) - (x - 3).(x + 4) + 3.(x - 2)2 - 5.(x - 6) - 4.(x - 1).
Simplifique a expressão.
Fatore completamente.
Calcule o seu valor numérico para x = 9.
9)
a)
b)
c)
Dada a expressão: 2.(x - 4).(x - 6) - 3.(x - 2)2 + 5.(x - 2) + 4.(x + 3)2 + 3.(x - 5) + 1.
Simplifique a expressão.
Fatore completamente.
Calcule o seu valor numérico para x = - 6.
10)
a)
b)
c)
Dada a expressão: (x - 1)2 + (x + 2).(x - 2) + 3.(2x + 3) - 2.(x + 5) + (x + 4)2 + 2x.
Simplifique a expressão.
Fatore completamente.
Calcule o seu valor numérico para x = 3.
11)
a)
b)
c)
Dada a expressão: 5.(6x + 19) + 2.(x - 3).(x + 8) + (x - 5)2 + 3.
Simplifique a expressão.
Fatore completamente.
Calcule o seu valor numérico para x = 5.
12)
a)
b)
c)
Dada a expressão: 2.(x - 3)2 + 6.(3x + 5) - 2.(3 - 7x) + 8.
Simplifique a expressão.
Fatore completamente.
Calcule o seu valor numérico para x = - 10.
Curso de Matemática Básica
Fatoração
50
Frações algébricas são expressões que tem variáveis no denominador
O processo de simplificação de uma fração algébrica é semelhante ao de uma fração
numérica. Acompanhe o exemplo:
18
3
2 ⋅3⋅3
=
=
2⋅3⋅5
30
5
Para simplificar uma fração numérica, devemos dividir o numerador e o denominador
pelos seus divisores comuns.
Simplificar as frações algébricas:
14a 3bc
2a
2 ⋅ 7 ⋅ a2 ⋅ a ⋅ b ⋅ c
=
=
a)
2 2
2
3b
21a b c
3⋅ 7 ⋅ a ⋅ b ⋅ b ⋅ c
b)
2
2a
2a
=
=
x +1
ax
+
a
a .(x + 1)
fator comum
diferença de
dois quadrados
c)
(x + 1) ⋅ (x − 1)
x −1
x2 −1
=
=
2
2
x +1
x
+
2 x+
(x + 1)
1
trinômio quadrado
perfeito
agrupamento
a +1
ax + x + a + 1 x.(a + 1) + 1 ⋅ (a + 1)
(a + 1) ⋅ (x + 1)
=
=
=
d)
2
2 ⋅ (a + 1)
2.(a + 1)
2
a
+
2
fator comum
1 Simplifique as frações algébricas:
a)
b)
c)
d)
e)
3a 2
15a
5x
15x
ab
4ab
3xy
xy 2
4m 3n 3
=
8m 4 n 2
8a 3 x 2
=
10a 2 x 3
22x 3 yz4
=
33x 2 yz4
=
f)
=
g)
=
h)
=
i)
18x 2 y
=
48xy
j)
18a 3b5
=
27a 4 b3
2abc 2
=
8b 2c
Curso de Matemática Básica
Fatoração
51
2 Simplifique as frações algébricas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
3x + 3y
=
6
x2 − 9
=
x 2 + 3x
x 2 + 2x + 1
=
3x + 3
2x + 6
=
x2 − 9
7 x − 21
=
2
x − 6x + 9
xy − 2 y
=
2
x − 4x + 4
5x 2 − 5
=
20x + 20
5m − 10
=
2
m − 4m + 4
2x − 6
=
2
x − 6x + 9
2a 2 + 2a
=
2a 2 + 4a + 2
3 Simplifique as frações algébricas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
x 3 − x 2 − 4x + 4
=
3x 2 − 12
ac + bc
=
2
a + 2ab + b 2
x 2 + 10x + 25
=
2x + 10
2x 2 − 10 x
=
x 3 − 25x
x 2 − 4x + 4
=
3x − 6
x 2 − y2
=
x3 − x2y
g)
xy + x + y 2 + y
=
ax + ay
h)
x2 −1
=
xy + y
i)
j)
4x 2 + 8ax + 4a 2
=
12x + 12a
a2 + a
=
ax + x + 3a + 3
Curso de Matemática Básica
Frações Algébricas
52
4 Simplifique as frações algébricas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
x 2 + 4x + 4
=
3x + 6
x − ab
=
2
x − 2abx + a 2 b 2
x 2 + 2x + 1
=
2x + 2
x 2 − 2xy + y 2
=
x 2 − y2
2x 2 + 4bx + 2b 2
=
4x + 4b
ax 2 − a
=
2ax + 2a
a 4 − b4
=
4a 2 − 4b 2
3x 2 − 3y 2
=
3x 2 − 6xy + 3y 2
a 2 + 6a + 9
=
a 2 + 3a
x 2 − 25
=
7x + 35
5 Simplifique as frações algébricas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
8x 3 y3
=
4x 4 + 4x 3
5x 2
=
x3 + x2 y
xyz 2
=
x 2 z 2 + xz 2
2x 2 − 2xy
=
2x 2 y
a 2 − b2
=
a 2 + 2ab + b 2
a 2 − 2ab + b 2
=
2a − 2b
x 2 − 4x + 4
=
xy − 2y
xy 2 − 2xy
=
y2 − 4
3x 2 − 18x + 27
=
3x 2 − 9x
x2 − 1
=
x 2 − 2x + 1
Curso de Matemática Básica
Frações Algébricas
53
6 Simplifique as frações algébricas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
a − b2
=
b2 − a
x 2 + xy + x + y
=
x2 −1
a 2 − 8a + 15
=
2a − 6
ax
=
2
a x − ax
x 2 + xy
=
3x
2x 2 − 2xy
=
2x 2 y
a 2 + 6a + 9
=
a 2 + 3a
x 2 − y2
=
x3 − x 2 y
i)
x 3 + x 2 − xy 2 − y 2
=
x 2 + xy + x + y
j)
p3 − p 2 q + pq 2 − q 3
=
p5 − p 4 q − pq 4 + q 5
Estudaremos as quatro operações fundamentais com as frações algébricas. Por motivos
convenientes, começaremos pela multiplicação.
Para multiplicarmos frações algébricas, procedemos da mesma maneira que
multiplicamos números fracionários.
Nos casos em que o numerador e o denominador têm fatores comuns, podemos
simplificar antes de efetuar a multiplicação.
Acompanhe os exemplos:
a)
5
5 3
⋅ =
6 4 8
1
⎛ 8 ⎞ ⎛ 14 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ 25 ⎞
b) ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ + ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ = −
3
⎝ 21 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 36 ⎠
Agora, em termos algébricos, antes de efetuar a multiplicação, é necessário que
fatoremos todas as expressões nos numeradores e denominadores. Veja os exemplos:
Curso de Matemática Básica
Frações Algébricas
54
Calcule os produtos:
a)
5
5
x −1
=
⋅
x +1
x −1 x +1
b)
2
6x
a+c
6x
a+c
=
⋅
=
⋅
2
a −c
3x
a −c
(a + c) .(a − c) 3 x
2
6x 2 . (x + 1)
a +1
6x 3 + 6x 2 a 2 + 2a + 1
(a + 1) 2
= 2
=
c)
⋅
⋅
2
2
4ax + 4x 3x + 3x
4x . (a + 1) 3 x . (x + 1)
d)
(2x + 3).(2x − 3) x.(2x + 3)
4x 2 − 9
2x 2 + 3x
⋅
=
=
⋅
3
2
4x + 12x + 9x 4x − 6
x.(4x2 + 12x + 9) 2.(2x − 3)
=
(2x − 3) .(2x − 3)
x .(2x + 3)2
⋅
x .(2x + 3)
2.(2x − 3)
=
1
2
1 Calcule os produtos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
5x 2 a 2 y3
⋅
=
ay 10x 3
1 3m 2a
=
⋅
⋅
x 2 a 9m
5x 4 y3 8a
⋅ ⋅
=
8y 10 x 5
3x 2 y3
⋅
=
2y 2 6x
2x y 2 10
⋅ ⋅
=
y 5a x 2
15a xy + 2y
=
⋅
5ay
x2 − 4
1 a 2 − 2ab + b 2 a 2 + ab
=
⋅
⋅
ab
a+b
a−b
x 2 − 2x x 2 − y 2
=
⋅
xy − y 2 x 2 + xy
x 2 + 4x + 4 4x 2 − 16 x 2
=
⋅
⋅
2x 2 − 4x x 2 + 2x 4x + 8
a3 + a4 a − a2
=
⋅
a3 − a5 a − 1
Curso de Matemática Básica
Frações Algébricas
55
2 Calcule os produtos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
a 2 + a a 2 − a b3 − b
=
⋅
⋅
b2 + b b2 − b a 3 − a
a 2 + a 3a + 6
=
⋅
3a + 3 a 2 − 4
3m + m 2 5m − 7m 2
=
⋅
5 − 7m m3 − 9m
10m 3p + 15
⋅
=
p 2 − 25 10m
x 2 − y2
by
=
⋅
by
2x − 2y
x 2 + 8x + 16 ax − bx
=
⋅ 2
a 2 − ab
x + 4x
ay + y 3a + 3b
=
⋅
a 2 − b2 a + 1
x 2 + xy + ax + ay 2ab − 8b
=
⋅ 2
ab − 4b
2a − 2x 2
2a + 2b a 2 b − ab 2
=
⋅
a 2 − ab a 2 b − b3
a 3 b 2 − ab 4
a 3 − ab 2
=
⋅
a 2 b − b 3 a 3 b 2 − a 2 b3
3 Calcule os produtos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
x 2 + x 3x + 6
=
⋅
x + 1 x2 − 4
x2 − 4 x + 2
=
⋅
x 2 + 2x x − 2
am − a
6
=
⋅
ab + 2a 2m − 2
y3 − 4y 2y 2
=
⋅
2y + 4
3y3
a − b 2x 2 − 8
=
⋅
2x − 4 a 2 − b 2
x 2 − xy 12x + 8
=
⋅
6x 2 + 4x x 2 − y 2
a +3
2a a 2 − 3a
=
⋅
⋅
2x − 6 a 2 − 9
a
3
4am + 4a m − 1
=
⋅
⋅
2m − 2 a + ab 3m + 3
x 2 + 4x + 4 4x 2 − 16
x2
=
⋅
⋅
x 2 − 2x
x 2 + 2x 8x + 16
x 2 + 6x
x−6
2
=
⋅ 2
⋅
x
x + 12x + 36 x − 6
Curso de Matemática Básica
Frações Algébricas
56
4 Calcule os produtos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
x 2 + x3 1 − x
=
⋅
x + 1 x − x2
1 a 2 − 2ab + b 2 a 2 + ab
=
⋅
⋅
ab
a+b
a−b
a 2 + 6a + 5
a2 − 4
=
⋅ 2
3a + 3
a + 7a + 10
x2 + 4x + 4 4x2 − 16 x2
=
⋅
⋅
x2 − 2x x2 + 2x 8x + 16
6x 2 − 6xy 3x + 2
=
⋅
6x 2 + 4x x 2 − y 2
9x − 6y 15x − 10y
=
⋅ 2
5
9x − 4y 2
3y3 − 12y 2 + 12y 2y
=
⋅
3y − 6
6y3
ax + x 3x + 3n
=
⋅
m2 − n 2 a + 1
a 2 + a a 2 − a b2 − 1
=
⋅
⋅
b2 + b b2 − b a 2 − 1
3x 2 − 6x x + 2 x 2 − y 2
⋅
⋅
=
x 2 − 4 3x + 3y x − y
5 Calcule os produtos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
ax + x x + y
=
⋅
x 2 − y2 a + 1
a +3
2a a 2 − 3a
=
⋅ 2
⋅
2a − 6 a − 9
a
x 3 + x 2 + x + 1 6x − 6
=
⋅ 2
9x 2 − 9
x +1
a 2 + 2a + 1 a 2
=
⋅
2a + 2
3a 2
a 2 + 4a + 4 a 2 − 9
=
⋅ 2
3a + 9
a −a−6
a + 2ab x 2 + 3x
=
⋅
x 2 − 9 2b + 1
2x 2 − 4x 9 − m 2
=
⋅
5mx + 15x 2x − 4
x4 + x2
2 5x + 5
=
⋅ 2⋅ 2
2
x + 2x + 1 5x x + 1
2x 3 − 16
3x
=
⋅ 2
3
2
x + 2x − 8x 3x + 6x + 12
x 2 + 8x + 16
x2 − 4
2x 3 − 8x
: 3
=
⋅ 2
4x − 8
x + 2x − 8 4x − 16x 2 + 16x
Curso de Matemática Básica
Frações Algébricas
57
Vamos acompanhar uma divisão de números fracionários.
3 8
3 5 3
: = ⋅ =
5 8 8
5 5
a)
2
⎛ 4⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 3⎞
b) ⎜ − ⎟ : ⎜ + ⎟ = ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ + ⎟ = −
3
⎝ 9⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 9⎠ ⎝ 2⎠
A divisão entre duas frações algébricas é obtida multiplicando-se a primeira fração pelo
inverso da segunda. Veja os exemplos:
10
2a a 2
2a 5x
=
⋅ 2 =
:
3a
3x a
3x 5x
a + 2ab 2b + 1 a.(1 + 2b) 6a
b)
=
⋅
= .2.
:
2b + 1
3a 2
6a
3a 2
ab + b − 4a − 4 a2 + 2a +1 b.(a +1) − 4.(a +1) (b + 4).(b − 4)
: 2
c)
=
=
⋅
(b − 4)2
(a +1)2
b2 − 8b +16
b −16
a)
=
b+4
(a +1).(b − 4) (b + 4).(b − 4)
⋅
=
2
2
a +1
(b − 4)
(a +1)
x2 −16
x −4
(x + 4).(x − 4) (x + 2)2
=
= (x + 4).(x + 2) = .x2 + 6x + 8.
d)
: 2
⋅
x+2
x−4
x + 2 x + 4x + 4
1 Calcule as divisões:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
2 x 4b
:
=
5y a
8a 2 4a
=
:
5bc bc
5 10
=
:
2 2
a b ab
x 5 y 4 15 x 5 y5
: 5 =
a4
a b
2 2
2 2
2x y x y
:
=
ab 2c 2 b3c 2
x4
x5
=
:
p + 1 p2 − 1
a3 + a 2 + a a 2 + a + 1
=
:
a 2 − b2
a+b
a 2 − 4ab + 4b 2 ab − 2b 2
: 2
=
b 2 − c2
b + bc
a + m a 2 + am
=
:
7x − 7 y
7ax
x 2 + y 2 ax 2 + ay 2
=
:
ax − ay xy − y 2
Curso de Matemática Básica
Frações Algébricas
58
2 Calcule as divisões:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
a 3 − ab 2 a 3b 2 − a 2 b3
=
:
a 2 b + b3 a 3b 2 + ab 4
x2
x 2 + xy
=
:
xy − y 2 x 2 − y 2
x +1
x +1
: 2
=
2
3x − 6x + 3 x − 2x + 1
x 3 − 6x 2 + 9x x 2
:
=
x+3
x2 − 9
ax − ay + x − y a 2 + 2a + 1
:
=
3x + 3y
x 2 − y2
m 2 − 2m + 1 5m 2 − 10m + 5
:
=
m +1
m2 − 1
a 2 + 3a ax + 3x
:
=
x2 − 1 x2 + x
x 2 + 2x + 1 x + 1
=
:
2x − 2
x −1
kx
k
:
=
2
2
k −x k−x
x 2 + 2x + 1 x + 1
1
: 2
=
⋅
2
2
a + ab
a −b a−b
3 Calcule as divisões:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
a 2 + 4a + 4 a 2 − a − 6
: 2
=
3a + 9
a −9
ab + b − 4a − 4 a 2 + 2a + 1
: 2
=
b 2 − 8b + 16
b − 16
a 2 + 2a + 1 3a + 3
:
=
a −1
a −1
x2 − 1 x − 1
:
=
6x + 6 3x + 3
x4 −1 x2 −1
:
=
x2 +1 x +1
6x + 12
4x + 8
:
=
2
x − 10x + 25 4x − 20
3m + m 2 m3 − 9m
:
=
5 − 7m 5m − 7m 2
a 2 + 3a a + 3
:
=
x2 −1 x2 + x
x 2 − 3x x
x2 − 9
:
:
=
2x + 4 x + 2 2x − 4
a 2 − 25 2a + 10 18ab
:
. 2
=
6a 2 b
a2
3a − 15a
Curso de Matemática Básica
Frações Algébricas
59
4 Calcule as divisões:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
m2 − m
m
: 2
=
2
3m − 6m + 4 m − 1
x 2 − 2x x 2 − 4
:
=
x 2 + 3x 3x + 6
a 2 + 3a ax + 3x
:
=
x2 − 1 x2 + x
x 2 − 2x x 2 + xy
:
=
xy − y 2 x 2 − y 2
2x 2 − 4x 4x 2 − 8x
: 2
=
x+3
x −9
x 3 − 6x 2 + 9x x 2
:
=
x+3
x2 − 9
y 2 − 6y y 2 − 36
:
=
x + 2 3x + 6
a 3 − 64a
a 2 − a − 56
:
=
a 2 − 16a + 64 a 3 + 7a 2
5x + 10
x 2 + 6x + 8
:
=
x 2 + 5x + 6 x 2 + 7x + 12
3x 2 − 6x
3x + 3y
x 2 − y2
:
=
⋅
x 2 − 4 x 2 + 4x + 4 2x − 2xy
5 Calcule as divisões:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 2
=
:
a−b
2a − 2b
a 2 + 6a + 9 a 2 − 9
=
:
3
a −3
x 2 − 4x x 3 − 16x
=
:
x 2 + 1 2x 2 + 2
x 2 − 3x x + 2 x 2 − 9
:
=
⋅
2x + 4
x
2x − 4
a 2 − 2a a 2 − a a 2 − 1
:
=
⋅
a 2 + a a 2 − 2a a 2 − 4
x−4 x+2
1
:
=
⋅ 2
2
x − 4 x − 16 x + 4
x−4 x+2
1
:
=
⋅ 2
2
x − 4 x − 16 x + 1
2 y 2 + 24 y + 72 2 y 2 − 72 3y + 18
=
:
:
2y − 7
6 y − 21
y
6
am + a 3m + 3
:
=
⋅
2m − 2 a + ab m − 1
8b3 16a 2 − 9b 2 4a 2 − 3ab
:
=
⋅
4a + 3b
a 2 b3
a 3 b2
Curso de Matemática Básica
Frações Algébricas
60
Para somarmos ou subtrairmos frações algébricas, vamos utilizar o mesmo raciocínio das
frações numéricas. Procederemos da seguinte forma:
Reduzir as frações ao mesmo denominador (m.m.c.)
Dividir pelo denominador e multiplicar pelo numerador.
Quando for possível, simplificar o resultado.
Veja os exemplos:
2 3 1
4 − 9 +1− 6
5 − 15
10
5
a)
− + −1 =
=
=−
= −
3 2 6
6
6
6
3
b)
3x 5x
3x + 5x
8x
+
=
=
a
a
a
a
c)
1
2
3
+ 2− =
2x 3x
x
m.m.c. = 6x2
4 − 15x
3x + 4 − 18x
=
2
6x 2
6x
d)
2x
x+5 x+2
=
+ 2
−
x +1 x −1 x −1
m.m.c. = (x + 1).(x - 1)
2x.( x − 1) + x + 5 − ( x + 2).( x + 1)
2x 2 − 2x + x + 5 − x 2 − x − 2x − 2
=
=
( x + 1).( x − 1)
( x + 1).( x − 1)
x−3
(x − 1) .(x − 3)
x 2 − 4x + 3
=
=
x +1
( x + 1).( x − 1)
(x + 1). (x − 1)
e)
5
4
16
8
− + 2
− 2
=
x + 2 x x − 4 x − 2x
Fatorando os denominadores, temos:
5
4
16
8
− +
−
x + 2 x ( x + 2).( x − 2) x.( x − 2)
m.m.c. = x.(x + 2).(x - 2)
5x.( x − 2) − 4.( x + 2).( x − 2) + 16x − 8.( x + 2)
=
x.( x + 2).( x − 2)
5x 2 − 10 − 4.( x 2 − 4) + 16 x − 8x − 16 5x 2 − 10 − 4 x 2 + 16 + 16x − 8x − 16
=
=
x.( x + 2).( x − 2)
x.( x + 2).( x − 2)
x . (x − 2)
x 2 − 2x
=
=
x.( x + 2).( x − 2)
x .(x + 2). (x − 2)
Curso de Matemática Básica
1
x+2
Frações Algébricas
61
1 Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
4a a
=
+
6 12
x y
− =
a b
1 5
2
− 2 + 3 =
a a
a
2
a2 + 1
+
=
a
a 2 − 2a
2x − y y 2 + 3xy
+
=
x−y
xy − y 2
3a − 4 a − 5
−
=
a 2 − 16 a − 4
x −1 6 − x − x2
+
=
x + 3 x 2 + 6x + 9
3
2
=
−
x + 2 2x + 4
1
6
=
− 2
x −3 x −9
6a
a
=
−
3x + 6 x + 2
3 Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
3a − 4
1
−
=
2
a − 16 a − 4
3
x 2 − 3x + 2
+
=
x+2
x2 − 4
p
2
p
− 2
+
=
p −1 p −1 p +1
2
2x
1
− 2
+
=
x +1 x −1 x −1
x
y−x
1
+ 2
+
=
2
x−y x −y
x+y
2x
4y
4y 2
+
− 2
=
x + y x − y x − y2
2
30
3
− 2
+
=
y + 5 y − 25 y − 5
3
1
6
+
− 2
=
x +3 x −3 x −9
2x
a
2ax
=
+ − 2
x − 3 x x − 3x
2
b
2a
− − 2
=
2a − b a 2a − ab
Curso de Matemática Básica
2 Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
x2 − 2
2
x2 − 2
+ 2
=
−
x
x + x x +1
x2 + 4
3
x
−
+
=
2
x −4 x−2 x+2
2a
a
2ax
=
+ − 2
x − 3 x x − 3x
x
x 2 − 12
2
+
=
− 2
x−2 x −4 x+2
3
1
2
+
−
=
x + y x − y 2x − 2 y
2
b
2a
− − 2
=
2a − b a 2a − ab
x
x
2x 2
+ 2
−
=
x −1 x +1 x −1
p+2
6
p−2
=
− 2
+
p −1 p −1 p +1
5
3
6x
=
+
− 2
x −3 x +3 x −9
5
3
6x
=
− 2
+
x −3 x +3 x −9
4 Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
x
x 2 − 12
2
+
=
− 2
x−2 x −4 x+2
x 2 − 3x x + 1 x − 1
=
+
−
x2 − 1 x − 1 x + 1
x−2
2
4x − 8
=
+
+ 2
x+2 x−2 x −4
5
4
16
8
− 2
− + 2
=
x + 2 x x − 4 x − 2x
2
2x
1
+ 2
−
=
x +1 x −1 x −1
3a − 4
1
−
=
2
a − 16 a − 4
x − 7 x + 2 x −1
=
+
−
x2 − 1 x − 1 x + 1
2x
x+5 x+2
+ 2
=
−
x +1 x −1 x −1
x2 − 5
2
x−2
=
+
−
2
x −1 x −1 x +1
x
x 2 − 12
2
+
=
− 2
x−2 x −4 x+2
Frações Algébricas
62
Quando uma equação tiver variável no denominador, essa equação será fracionária.
1
2
−
=3
x x −1
Exemplos: a)
b)
4
1
+ =1
x+2 2
c)
x +1 2
=
x −1 x
É bom lembrarmos que equações do tipo:
a)
x +5 1
− =2
2
3
b)
1
y−y = 2
2
c)
x −1 x 1
+ =
3
2 4
são equações de coeficientes fracionários e não equações fracionárias, pois essas equações
não apresentam variável no denominador.
Resolução:
Para a resolução de uma equação fracionária vamos utilizar as mesmas técnicas
estudadas na resolução de equações inteiras. Como toda equação fracionária possui pelo
menos uma variável no denominador, é necessário que se determine a condição de
existência nas frações algébricas.
5 1
− = −2 .
x 3
Condição de Existência (CE): x ≠ 0
a) Resolva a equação:
m.m.c.: 3x
15 - x = - 6x → dividir pelo denominador e multiplicar pelo numerador
- x + 6x = - 15 → separar termos com variável do sem variável
5x = - 15 → juntar os termos semelhantes
−15
→ isolar a variável
x=
5
.x = - 3. → satisfaz a condição de existência, logo:
S = {- 3}
5x
20
= 5−
.
x−4
x
Condição de Existência (CE): x ≠ 4 e x ≠ 0
b) Resolva a equação:
m.m.c.: x.(x - 4)
5x2 = 5x.(x - 4) - 20.(x - 4)
5x2 = 5x2 - 20x - 20x + 80
5x 2 - 5x 2 + 20x + 20x = 80
40x = 80
80
x=
40
.x = 2. → satisfaz a condição de existência, logo:
S = {2}
Curso de Matemática Básica
Equações Algébricas Fracionárias
63
5
6
2
+ 2
=
.
c) Resolva a equação:
x +3 x −9 x −3
Condição de Existência (CE): x ≠ 3 e x ≠ - 3
m.m.c.: (x + 3).(x - 3)
5.(x - 3) + 6 = 2.(x + 3)
5x - 15 + 6 = 2x + 6
5x - 2x = 6 + 15 - 6
3x = 15
15
x=
3
.x = 5. → satisfaz a condição de existência, logo:
S = {5}
d) Resolva a equação:
2
1
1
+
= .
x −4 x+2 x
2
Condição de Existência (CE): x ≠ 2, x ≠ - 2 e x ≠ 0
m.m.c.: x.(x + 2).(x - 2)
2x + x.(x - 2) = (x + 2).(x - 2)
2x + x2 - 2x = x2 - 4
2x + x 2 - x 2 = - 4
2x = - 4
.x = - 2. → - 2 não satisfaz a condição de existência.
S=∅
x+4
10
x+2
.
+ 2
=
x +3 x −9 x −3
Condição de Existência (CE): x ≠ 3, x ≠ - 3
e) Resolva a equação:
m.m.c.: (x + 3).(x - 3)
(x + 4).(x - 3) + 10 = (x + 2).(x + 3)
x 2 - 3x + 4x - 12 + 10 = x 2 + 3x + 2x + 6
- 3x + 4x - 3x - 2x = 6 + 12 - 10
- 4x = 8
x=
8
−4
.x = - 2. → satisfaz a condição de existência, logo:
S = {- 2}
Curso de Matemática Básica
Equações Algébricas Fracionárias
64
1 Resolva as equações:
a)
1
2
1
−
=−
4x 3x
12
f)
2
3
=
2x + 1 4x + 1
b)
x +5 7
5
−
=
2x 3x 12
g)
4
12
=
x−2 x
c)
7
2
=
x −3 x + 2
h)
2x
12
−2=
x +3
x
d)
4
3
=
x −1 x − 2
i)
5
4
=
x −5 x −3
e)
3x
5
1
+ =−
x−4 2
2
j)
3
5
5
− =
−1
x −3 4 x −3
2 Resolva as equações:
a)
5x
2
1
+
=
2
x −1 x −1 x + 1
f)
3x
x + 1 2x 2 + 9
−
=
x − 4 x + 4 x 2 − 16
b)
14
x+4 x+6
+
=
2
x −9 x +3 x −3
g)
x−2
3
2x 2 + 6
+
=
x 2 + 3x x − 3 x 3 − 9x
c)
3
1
4
+
=
x −1 x − 3 x − 2
h)
x − 1 x + 1 2x 2 − 2x
+
= 2
x −3 x +3
x −9
d)
13
x +1
x
+
=
x −4 x −2 x+2
i)
x −3 x −2 x −4
−
=
x + 2 x2 − 4 x − 2
e)
x+ 3
13
x−2
+ 2
=
x −1 x −1 x +1
j)
2x
x+5 x+2
+ 2
=
x + 1 x −1 x −1
2
3 Resolva as equações:
a)
1
1
3x − 2
−
= 2
x − 5 x + 5 x − 25
f)
x − 1 x − 2 3x − 1
−
=
x − 3 x + 3 x2 − 9
b)
3.(2x 2 + 1) 6x + 1
6
−
=
2
x −1
x +1 x −1
g)
x+2 x−2
x
− 2
=
x
x + x x +1
c)
x + 1 2x + 1 3x 2 + 4
+
= 2
x −3 x +3
x −9
h)
2
8x − 1
7
+ 2
=
x + 2 x + 5x + 6 x + 3
d)
x
x
(x + 1).(2x − 3)
+
=
x+2 x−2
x2 − 4
i)
x
2x
3x 2 − x + 2
+
= 2
x −1 x + 2 x + x − 2
e)
3
4
1
=
−
x −1 x − 2 x − 3
j)
x+7 x+6
x
−
= 2
x + 5 x + 4 x + 9x + 20
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Equações Algébricas Fracionárias