CAMPUS PATO BRANCO
CURSO DE MATEMÁTICA PARA ALUNOS INGRESSANTES
Projeto Institucional da Área de Matemática do campus Pato Branco
Pato Branco - PR, 2011
Sumário
1 Números Naturais
1.1 Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
1.2
1.3
Múltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mı́nimo Múltiplo Comum (M.M.C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
6
1.4
1.5
Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Máximo Divisor Comum (M.D.C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
9
2 Frações
11
2.1
2.2
Operações com frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Outras operações com frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3
Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Potenciação e Radiciação
16
3.1
Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.1 Exercı́cios para Fixação! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2
Radiciação e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Propriedades da Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Expressões numéricas
4.1
4.2
21
Ordem das Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Equação do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Expressões Algébricas e Polinômios
25
5.1 Expressões Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2
5.3
5.1.1 Operações com Monômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.1 Operações com Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2.2 Operações com polinômios II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Decomposição de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3.1
Frações Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6 Exponencial e Logaritmo
6.1
6.2
6.3
38
Equações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Inequações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3.1
Propriedades dos logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2
7
Trigonometria
44
7.1 Introdução à trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.1.1
7.1.2
7.1.3
7.2
7.3
7.1.4 Cálculo do seno, cosseno e tangente de 45o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Arcos, ângulos e o cı́rculo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.3.1 Arcos e ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.3.2
7.3.3
7.4
Razões trigonométricas no triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ângulos Notáveis: 30o , 45o e 60o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Cálculo do seno, cosseno e tangente de 30o e 60o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Estudo do Cı́rculo Trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Expressão Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.3.4 Circulo Trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Identidades Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.4.1 Identidades Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8 Respostas dos Exercı́cios
59
8.1 Respostas dos Exercı́cios do Capı́tulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.2
8.3
Respostas dos Exercı́cios do Capı́tulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Respostas dos Exercı́cios do Capitulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.4
8.5
8.6
Respostas dos Exercı́cios do Capı́tulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Respostas dos Exercı́cios do Capı́tulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Respostas dos Exercı́cios do Capı́tulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.7
8.8
Respostas dos Exercı́cios do Capı́tulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Respostas dos Exercı́cios do Capı́tulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Referências
76
Capı́tulo 1
Números Naturais
1.1
Números Naturais
O sistema de numeração mais usados em nossos dias é o indo-arábico, que tem base decimal e é de
caráter posicional, ou seja, o valor de cada algarismo é definido em função da posição que ele ocupa na
expressão do número.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}.
Exemplo 1 Escreva o conjunto dos números naturais menores que 12:
Solução: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
Nota: N∗ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
FAZENDO VOCÊ APRENDE
1) Represente os seguintes subconjuntos de N por seus elementos:
(a) O conjunto dos números naturais que são ı́mpares.
(b) O conjunto dos números naturais que são pares.
(c) O conjunto dos números ı́mpares e menores que 12.
(d) O conjunto dos números ı́mpares menores ou iguais a 11.
2) Escreva em extensão, ou seja, pelos seus elementos, os seguintes conjuntos escritos por uma
propriedade:
(a) A = {n ∈ N|n < 1}
(d) D = {n ∈ N| 2 < n < 10}
(b) B = {n ∈ N∗ |n ≤ 11}
(e) E = {n ∈ N|n ≥ 2 e n ≤ 10}
(c) C = {n ∈ N|n > 2 e n < 10}
(f) F = {n ∈ N|2 ≤ n ≤ 10}
3) Represente por uma propriedade os seguintes subconjuntos de N:
(a) A = {1, 2, 3, 4, 5}
(c) C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(b) B = {0, 2, 4, 6, 8}
(d) D = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
4
5
(e) E = {5, 6, 7, 8, 9, 10, ..., n, ...}
(f) F = {1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}
4) ) Represente em extensão os conjuntos:
(a) A = {2n|n ∈ N}
(c) C = {2n ∈ N|0 < n < 5}
(b) B = {2n ∈ N|n > 0 e n < 5}
(d) D = {2n ∈ N|0 ≤ n ≤ 5}
5) Represente na reta numérica os seguintes subconjuntos dos números naturais:
(a) A = {0, 1, 2, 3}
(d) D = {n ∈ N|n < 10}
(b) B = {0, 2, 4, 6, 8}
(e) E = {n ∈ N∗ |n < 12}
(c) C = {3, 4, 7, 10}
(f) F = {N ∈ N|n > 2 e n < 9}
É LÓGICO !
Num certo planeta, os dias têm 17 horas e 17 minutos. Lá costuma se praticar o zists. As partidas
de zists começam sempre às 13h 10min e duram 2h 15min. A que horas elas terminam?
1.2
Múltiplos
Definição 1 : Chamam-se múltiplos de um número ao produto desse número por um número natural
qualquer. O conjunto dos múltiplos de um número natural não nulo é infinito e podemos conseguı́-lo
multiplicando-se o número dado por todos os números naturais.
Exemplo 2 M (5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, ...}
Observação 1 O número zero (0) é múltiplo de qualquer número.
FAZENDO VOCÊ APRENDE!
1) Determine e indique os conjuntos em N:
1. M(1)
2. M(2)
3. M(6)
4. M(10)
2) Classifique em verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo.
(a) O número zero é múltiplo de qualquer número natural.
(b) O maior múltiplo de um número é o próprio número.
(c) O conjunto dos múltiplos de um número é infinito.
(d) Todo número natural é múltiplo de si mesmo.
(e) O número um só é múltiplo dele mesmo.
5. M(12)
6. M(50)
6
3) Quais são os múltiplos de 12 menores do que 50?
4) Quais são os múltiplos de 13 compreendidos entre 15 e 40?
5) Qual é o menor múltiplo de um número natural?
6) Qual é o nome que se dá ao conjunto dos múltiplos de 2?
7) Considere n ∈ {1, 2, 3}. Sabendo que a = 2n e b = 3n, escreva os múltiplos comuns de a e b
menores que 50.
8) Escreva o conjunto dos números naturais que são múltiplos de 3 e também, de 6.
9) Escreva o conjunto dos números naturais que são múltiplos de 4 e também, de 5.
10) Escreva o conjunto dos números naturais que são múltiplos de 5 e também, de 6.
É LÓGICO!
Na pirâmide abaixo, tem-se que o número de cada tijolo é a soma dos números dos dois tijolos
vizinhos, do andar de baixo.
1. Usando x, como se indica o número do tijolo escuro?
2. Usando x, como se indica o número do tijolo hachurado?
3. Qual é o valor de x?
4. Determine o valor de cada tijolo da pirâmide.
Resp: x = 11
1.3
Mı́nimo Múltiplo Comum (M.M.C)
Definição 2 Tendo-se dois ou mais números naturais não nulos, o m.m.c. deles é o menor número não
nulo que seja múltiplo de todos eles.
7
Exemplo 3 Obter m.m.c de 28 e 36.
Observação 2 Decompor um número composto em fatores primos significa expressar este número como
produto de outros que sejam primos.
Definição 3 Números Primos são aqueles que são divisı́veis apenas por 1 e por ele mesmo.
Definição 4 Números Compostos são aqueles que podem ser escritos através do produto de números
primos elevados a uma potência.
Observação 3 Os números 0 e 1 não são nem primos, nem compostos.
FAZENDO VOCÊ APRENDE !
1) Determine o m.m.c. entre os números:
1. 14 e 21
2. 8,12 e 16
3. 10,15 e 20
4. 12, 18, 30 e 36
5. 2,3, 5,7 e 10
2) O Sr. Joaquim toma um comprimido de 5 em 5 horas e um xarope de 3 em 3 horas. Se à meia-noite
ele tomou os dois remédios, a que horas ele voltará a tomar os dois remédios juntos?
3) Do porto de Santos, partem navios argentinos de 16 em 16 dias e navios uruguaios de 40 em 40
dias. Se, num certo dia, saı́ram navios das duas nações, quantos dias demorará para ocorrer uma nova
partida conjunta?
4) Em uma pista circular dois ciclistas partem juntos de um mesmo ponto e no mesmo sentido. O
primeiro completa cada volta em 24 minutos e o segundo em 18 minutos. Após quantos minutos da
partida os dois vão estar juntos outra vez?
5) Numa estação rodoviária, os ônibus para a cidade A partem de 6 em 6 horas, e para a cidade B
de 8 em 8 horas. Numa ocasião, um ônibus para a cidade A partiu junto com o outro para a cidade B.
Quanto tempo depois isso acontecerá de novo?
6) Um paı́s tem eleições para presidente de 5 em 5 anos, e para governadores de 4 em 4 anos. Em
1988, essas duas eleições coincidiram. Dê os anos das três próximas vezes em que elas voltarão a coincidir.
É LÓGICO !
Um poço tem 10 metros de profundidade. Uma lesma que esta no fundo do poço sobe quatro metros
durante o dia, e durante a noite, enquanto dorme, escorrega, para baixo, três metros. Em quantos dias
sairá do poço?
8
1.4
Divisores
Definição 5 Sendo a e b dois números inteiros, com a 6= 0, dizemos que a é divisor de b quando b é
divisı́vel por a.
Exemplo 4 1) Determine os divisores de 14. Solução: D(14)={1, 2, 7, 14}
FAZENDO VOCÊ APRENDE !
1) Escreva os números naturais que:
1. São divisores de 12.
4. São divisores de 30, mas não de 12.
2. São divisores de 30.
3. São divisores de 12, mas não de 30.
5. São divisores comuns de 12 e 30.
2) Quais são os divisores de um número primo p?
3) O conjunto dos divisores de 10 é indicado por D(10) e os divisores de 24 por D(34). Apresente os
conjuntos:
1. D(10)
2. D(24)
3. D(10) ∩ D(24)
4. D(10) ∪ D(24)
4) A tia Rosa da cantina comprou 200 balas para serem vendidas em pacotes que contenham mais
de 3 balas e menos de 7 balas. Todos os pacotes devem ter o mesmo número de balas e não deve sobrar
nenhuma das 200 balas. Quais são as diferentes maneiras que tia Rosa encontrou para fazer os pacotes?
5) O professor Elder, de artes, quer dividir a classe em grupos que tenha no mı́nimo 3 alunos e no
máximo 6. Sabendo-se que a classe tem 36 alunos e que todos os grupos devem ter o mesmo número de
alunos, quais são as maneiras possı́veis de o professor Elder formar os grupos?
6) Um torneio de futebol de salão vai reunir 24 equipes. O organizador quer formar grupos que
tenham o mesmo número de equipes, com no mı́nimo 2 e no máximo 8 equipes. Quais são as maneiras
possı́veis de formar estes grupos?
7) Encontre todas as maneiras possı́veis para ampliar 20 caixas de refrigerante em pilhas iguais, de
modo que cada pilha tenha no mı́nimo 2 e no máximo 10 caixas.
8) Disse um matemático: “O produto das idades de meus dois filhos é igual a 18 anos.” Quais são
as possı́veis idades (em anos) dos filhos deste matemático?
É LÓGICO !
Usando 32 quadrinhos, de 1 cm de lado, quero formar retângulos como o da figura abaixo:
9
Agora, responda:
(a) É possı́vel formar outros retângulos usando todos os quadrinhos?
(b) Quais as medidas dos lados desses retângulos?
1.5
Máximo Divisor Comum (M.D.C)
Definição 6 Tendo-se dois ou mais números naturais não nulos, o m.d.c. deles é o maior número
natural divisor de todos eles.
Exemplo 5 Determine o m.d.c de 12 e 16.
MDC(12)= {12}
MDC(16)= {16}
Observação 4 O m.d.c. é o produto dos fatores comuns com o menor expoente:
22 = 4.
m.d.c.{12, 16} =
Exemplo 6 Determinar o mdc entre 20 e 9.
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} e D(9) = {1, 3, 9} Assim, mdc{20, 9} = 1
Atenção: Dois números são primos entre si, se o m.d.c. entre os dois for 1.
FAZENDO VOCÊ APRENDE !
1) Obtenha:
1. o m.d.c. (27, 36)
2. o m.d.c. (45, 75)
3. o m.d.c. (20, 26)
4. o m.d.c. (16, 21)
2) Um professor dá aulas numa 7a série, de 30 alunos, e numa 8a série, de 18 alunos. Em cada sala,
ele formou grupos, e todos os grupos (tanto na 7a como na 8a ) tinham o mesmo número de alunos. Qual
é o maior número de alunos que cada grupo pode ter?
3) O que se pode afirmar sobre o m.d.c. de dois números naturais não nulos, quando um deles é
divisor do outro?
4) O que se pode afirmar sobre o m.d.c. de dois números primos diferentes?
5) Na escola de Laura, a 5a série A tem 36 alunos e a 5a série B tem 42. Para participar de uma
exposição de artes, cada classe formará equipes. Todas as equipes devem ter o mesmo número de alunos.
Sabendo que todos os alunos devem participar dessa exposição, responda:
10
(a) Qual o número máximo de alunos por equipe?
(b) Quantas serão as equipes da 5a série A? E da 5a série B?
6) Para confecção de uma tela, dois rolos de arame de 350 cm e 140 cm vão ser divididos em pedaços
da mesma medida e a maior possı́vel (sem sobras). Qual o número de pedaços que serão obtidos de cada
rolo?
7) Para montagem de uma estante, três pedaços de madeira (caibros) medindo 240 cm, 320 cm e 400
cm devem ser divididos em pedaços iguais de maior medida possı́vel (sem sobras). Qual o número total
de pedaços que serão obtidos?
8) A gerente de uma loja de tecidos quer dividir três peças de fazenda em partes iguais e de maior
tamanho possı́vel. Sabendo que essas peças medem 180 m, 216 m e 288 m, determine o número de partes
em que será dividida cada peça e o comprimento dessas partes.
É LÓGICO !
Quantos quadrados há na figura?
Capı́tulo 2
Frações
2.1
Operações com frações
• Adição e Subtração
Exemplo 7
(b)
7
5
−
3
8
=
(a)
7
8
8.7−5.3
40
+
5
6
=
3.7
24
56−15
40
=
+
=
4.5
24
=
21
24
+
20
24
=
41
24
31
40
FAZENDO VOCÊ APRENDE !
1) Efetue as adições e se possı́vel, simplifique os resultados:
5
7
+ 35
(b) 84 + 23
(c) 12
+ 24
(d) 12 + 49
(a) 76
2) Calcule as adições e expresse os resultados na forma de fração irredutı́vel:
(a)
7
18
+
7
8
5
(b) 36
+
1
24
9
(c) 28
+
10
21
(d) 17 +
14
21
3) Efetue as adições:
3
(a) ( 10
+ 53 ) +
(b)
3
10
3
4
(d)
12
25
+ ( 35 +
(e)
10
21
+
7
15 )
+ ( 35 + 34 )
(c) ( 59 + 23 ) +
4
5
6
7
+
3 5
14 6
+
2
5
+4
4) Transforme os números mistos em frações impróprias e efetue as adições:
(a) 2 13 + 5 53 =
9
(b) 2 10
+ 4 54
2.3+1
3
+
5.5+3
5
=
7
3
+
28
5
=
5.7+3.28
15
=
(c) 5 83 + 3 34
119
15
(d) 5 14 + 5 12
11
12
5) Calcule as diferenças:
(a)
5
7
(b)
10
12
−
3
8
(c)
11
12
−
1
7
−
2
3
(d)
13
9
−
5
6
−
1
18
(e) ( 98 − 35 ) −
−
5
18
(f) ( 72 − 2) − (3 − 78 )
1
21
6) Calcule:
(a)
20
5
− ( 34 − 12 )
3
(b) ( 20
5 − 4) −
1
2
(c)Considerando os resultados obtidos em a e b, responda: (1) O que você observa neles? (2) A
subtração de números fracionários é associativa? (Pesquise o que é uma operação associativa).
7) Transforme os números mistos em frações impróprias e efetue as subtrações:
(a) 5 55 − 2 13 =
5.5+5
5
−
2.3+1
3
=
28
5
−
7
3
=
84−35
15
49
(d) 2 56 −
= 15
1
3
(e) 5 15 − 5
(b) 4 58 − 1 43
(f) 3 − 1 34
(c) 3 58 − 1 61
(g) 16 − 12 13
8) No sı́tio de Lucas,
1
3
da plantação é de milho,
1
4
é de arroz e o restante é de soja. Qual é a fração
correspondente à plantação de soja?
9) Rui, Noé e Isa ganharam uma caixa de bombons “Quero-Quero”. Rui comeu
Isa comeu
1
5
1
6
, Noé comeu
1
10
e
. Que fração sobrou dos bombons?
10) Uma praça retangular tem lados medindo 100 m e 60 m. 13 da praça é reservado para a área de
recreação infantil, 14 é constituı́do de calçadas e o restante é gramado. Qual a área, em m2 , reservada
para o gramado?
11) Uma piscina é um bloco retangular de arestas medindo 25 m, 12 m e 1,5 m. Se apenas um terço
da piscina contém água, quantos litros faltam para encher completamente essa piscina?
12) Fábio tem uma barraca de feira onde vende frutas. Das trinta caixas de laranjas que comprou,
1
um meio estavam verdes. Das caixas restantes 15
estavam estragadas e as demais estavam maduras.
Quantas caixas de laranjas maduras Fábio comprou?
É LÓGICO !
Um grupo de seis alunos pediu ao professor que elaborasse mais uma prova para a classe.
O professor disse:
- Vocês são apenas um quinto da classe. Só darei outra prova se a metade da classe pedir.
Vocês não sabem o trabalho que dá para corrigir...
Quantos alunos precisarão se juntar ao grupo para que o professor dê a prova?
13
2.2
Outras operações com frações
• Multiplicação:
Exemplo 8
(a)
7 5
8.3
=
(a)
3
5
6
4
7.5
8.3
=
35
24
(b)
5
2 .(−3)
(b)
5
2
= 25 .( −3
1 )=
−15
2
= − 15
2
• Divisão:
Exemplo 9
÷
= 35 . 46 =
3.4
5.6
=
12
30
=
2
5
÷ (−3) =
5
2
5
÷ ( −3
1 ) = −6
FAZENDO VOCÊ APRENDE !
1) Determine o produto e simplifique quanto puder:
(a)
5
6
×
6
8
(d)
7
2
×
5
3
(g)
(b)
3
4
×
1
3
(e)
6
5
×
7
4
(h) 3 45 × 3
(c)
6
5
×
4
3
(f)
11
8
×
2
5
×
2
3
×
3
5
×
3
8
×
4
9
(i) 1 21 × 2 34
5
33
2) Calcule:
(a) A metade de uma dezena
(d) A metade de um terço
(b) Um terço de uma dúzia
(e) A metade de um quarto
(c) A metade da metade
(f) A terça parte de uma dúzia e meia
3) Determine os quocientes e simplifique se puder:
(a)
5
7
(b)
7
12
÷
(c)
15
4
÷
÷
(d)
5
12
÷
1
3
5
12
(e)
11
15
÷
3
5
3
4
(f)
3
4
4
7
÷
2
5
(g)
7
8
÷
2
3
(h)
2
3
÷
1
2
4) Transforme os números mistos em frações impróprias e efetue as divisões:
(a) 28 ÷ 1 34
(c) 2 14 ÷ 1 35
(b) 7 ÷ 3 14
(d) 6 16 ÷ 2 16
5) Um aluno acertou
4
5
de uma prova de 10 questões. Quantas questões ele errou?
6) Um guardanapo de papel é quadrangular e tem lados medindo
de papel correspondem a 100 guardanapos?
7) Um ladrilho é quadrangular e tem lados medindo
1
4
1
5
m. Quantos metros quadrados
m. Para fazer o piso de uma sala retangular
de lados medindo 10 m e 12 m, quantos ladrilhos iguais a esse serão necessários?
14
8) O piso de um salão, que é quadrado, vai ser coberto por 400 placas de borracha. Essas placas são
quadradas e seus lados medem 25 m .
(a) Qual é a área em m2 , de salão?
(b) Qual o perı́metro, em m, desse salão?
13
9) Uma empresa de transporte coletivo vai muito mal: 20
dos seus ônibus estão quebrados. Isso
corresponde a 520 ônibus quebrados. Quantos ônibus têm essa empresa?
10) Para evitar problema com a coluna, as crianças não devem carregar mais de
1
10
do próprio peso.
1
5
Adultos podem carregar até do próprio peso. Sabendo disso, um adulto e uma criança fizeram seus
cálculos: ele pode carregar até 14 kg e a criança até 4. Quantos quilogramas tem esse adulto e essa
criança?
11) Eu tenho
3
5
da quantia que você tem.
(a) Se você tiver R$1.800, 00, quanto eu terei?
(b) Se eu tiver R$1.800, 00, quanto você terá?
12) Uma estrada de 308 km acaba de ser inaugurada. Só que é a terceira vez que isso acontece. Na
primeira vez, apenas 27 da estrada estavam asfaltadas; na segunda, mais 14 da estrada, e desta vez, mais
2
11 .
Quantos quilômetros da estrada estão sem asfalto?
É LÓGICO !
Dona Ester foi trabalhar e deixou dinheiro para seus três filhos com este bilhete. “Dividam igualmente
o dinheiro. Beijos”. O primeiro filho chegou, pegou 31 do dinheiro e saiu. O segundo chegou e não viu
ninguém. Pensando que era o primeiro, pegou 31 do dinheiro que tinha pela frente e saiu. O terceiro
encontrou 8 notas de R$1, 00. Achou que era o último, pegou tudo e saiu. a) Que fração de dinheiro
deixado pela mãe o segundo filho pegou? b) Que fração do dinheiro deixado pela mãe sobrou, quando o
segundo filho saiu? c) Quantos reais dona Ester deixou? d) Devido ao engano do segundo filho, alguém
saiu beneficiado? E prejudicado? Quem?
2.3
Decimais
Definição 7 As frações com denominadores 10, 100, 1000, 10000 (potências de 10) são frações decimais.
Exemplo 10
(a)
5
10
= 0, 5
(b)
13
100
= 0, 13
(c)
45
1000
= 0, 045
FAZENDO VOCÊ APRENDE !
1) Coloque na forma decimal as seguintes frações:
(a)
2
3
(b)
8
100
(c)
5
100
(d)
234
1000
15
2) Substitua 2 por = ou 6=:
(a)
1
10 20, 1
(b)
1
1000 20, 01
1
(c) 0, 102 10
(d) 0, 720, 700 (e) 21221, 0
(f) 0, 70120, 71
3) Escreva o número decimal correspondente a cada uma das funções decimais:
(a)
3
10
(b)
1
100
(c)
7
1000
(d)
21
100
(e)
43
1000
(f)
1235
10
(g)
57802
1000
(h)
61004
10000
4) Transforme em fração decimal:
(a) 0, 5
(b) 1, 3
(c) 0, 08
(d) 0, 212
(e) 8, 71
(f) 0, 485
(g) 5, 278
(h) 9, 3164
(f) 0, 422
(g) 0, 425
(h) 5, 008
5) Expresse o números na forma de fração irredutı́vel:
(a) 0, 60
(b) 0, 225
(c) 0, 155
(d) 0, 45
(e) 0, 006
É LÓGICO !
Responda:
(1) Qual é o menor número decimal que somado a 6,032 resulta em um número natural?
(2) Qual é o menor numero decimal que subtraı́do de 6,032 resulta em numero natural?
(3) Qual é o menor numero decimal, não nulo, que somado a ele mesmo resulta em um número natural?
Capı́tulo 3
Potenciação e Radiciação
3.1
Potenciação
Definição 8 Potenciação é a operação em que determinamos o produto de fatores iguais:
an = a.a.a....a
| {z }
nf atores
Exemplo 11 28 = 2.2.2.2.2.2.2.2 = 256
Propriedades da Potenciação
(1) Multiplicação: am .an = am+n
(2) Divisão: am ÷ an = am−n
(3) Potenciação: (am )n = am.n
√
n
(4) Radiciação: a m = m an
(5) Potência de um produto: (a.b)n = an .bn
(6) Potência de um quociente: ( ab )n =
an
bn ,
com b 6= 0
(7) Potência com expoente inteiro negativo: a−n =
1
an ,
com a 6= 0
(8) a1 = a, a 6= 0
(9) a0 = 1, a 6= 0
FAZENDO VOCÊ APRENDE !
1) Reduza a uma só potência:
(a) 6.69
(b) 7.70
(c) 72 .73 .75
(d) 103 .102 .104
(c) 310 ÷ 312
(d) 89 ÷ (8.86 )
2) Dê o resultado na forma de potência:
(a) 124 ÷ 123
(b) 28 ÷ 23
3) Reduza a uma só potência:
16
17
(a) (34 )2
(c) (73 )4 ÷ 78
(e) [(102 )3 .(103 )4 ] ÷ (106 )3
(b) (43 )5
(d) (62 )5 ÷ 63
(f) [710 ÷ (78 )2 ].(75 )2
4) Aplique a propriedade de potência de um produto:
(a) (3.a)2
(b) (4.a)5
(c) (x.y)3
(d) (2.x.y)7
5) Use as propriedades da potenciação para transformar cada expressão em uma só potência:
13
(a) (− 13
21 ) × (− 21 )
(d) (− 79 )5 ÷ (− 97 )2
(g) [( 54 )−2 ]3
8 2
8 −3
(b) ( 33
) × ( 33
)
−2
−5
÷ (− 21
(e) (− 21
4 )
4 )
(h) (0, 03)−7 ÷ (0, 03)−4
−2
−3
× ( 17
(c) ( 17
5 )
5 )
11 2 3
) ]
(f) [( 12
(i ) [(0, 03)5 ]−2
6) Resolva as potências abaixo, usando a propriedades 8 e 9:
(a) 31 =
(d) (0, 5)0 =
(b) 30 =
(e) (1/2)1 =
(c) (0, 5)1 =
(f) (1/2)0 =
(g)
√
2 =
(h)
√
2 =
1
0
7) Dê um exemplo de uma potência em que:
(a) A base e o expoente são inteiros, mas a potência não é.
(b) A base não é um número inteiro, mas o expoente e a potência são.
É LÓGICO !
Represente as expressões com uma só potência de base 2:
(a)
1
16
× 0, 25 × 128 ×
1
32
1 3 4
(b) ((0, 5)2 )3 × [( 16
) ]
Outros Exemplos:
1) Calcule as expressões seguintes (sem usar sua calculadora).
(a) 91/2
(c) 8−1/3
(b) 272/3
1 −3/2
(d) ( 100
)
3.1.1
(e) 50
Exercı́cios para Fixação!
1) Usando as propriedades elencadas anteriormente, calcule as seguintes expressões:
(a) 161/2
(c) 23 .25
(b) 4−1/2
(d)
25
23
(e) (34 )2
(f) (5.6)2
18
3
(g) (−3)3
(i) (5) 4
(h) (−1, 2)−2
(j) (π) 4
(l)
102
10−5
1
2) Calcule o valor das potências:
(a) (−5)−1
(e) (0, 01)−2
(b) ( 13 )−3
(f) ( 1012 )−1
(c) (0, 4)
−1
(g)
√
(i) ( 3)−2
(j) ( √32 )−4
(− 32 )−1
(l) [(
(h) ( 83 )−2
(d) 10−2
√
3
9 −2 −3
]
4 )
3) Escreva na forma de potência:
(a)
√
(b)
√
4
7
(c)
23
(d)
√
5
32
1
√
3
4
(e)
1
(−2)3
(f)
1
( 32 )5
4) Escreva na forma de radical:
1
1
3
(c) (a3 b) 4
(a) 2 5
1
(e) m− 4
1
(d) (m2 .n)− 5
(b) 8− 2
5) Fatore os radicandos e escreva na forma de potência com expoente fracionário:
(a)
√
3
32
(b)
√
3
25
3.2
(c)
√
4
√
8
512
√
(f) 8 625
27
√
(d) 7 8
(e)
Radiciação e suas propriedades
√
n
a=b
←→
bn = a,
n≥2
Onde:
n
√
3.2.1
→
Índice.
b
→
Raiz.
→
Sinal radical.
a
→
Radicando.
Propriedades da Radiciação
√
a2 = |a|
√
√
√
2. n a × b = n a × n b, com n par, a ≥ 0 e b ≥ 0.
1.
3.
p
n a
b=
√
n a
√
n ,
b
com n par, a ≥ 0 e b ≥ 0.
19
4.
√
n
√
am = ( n a)m ,n ¿ 1
√
n
an = a, com n > 1
√
√
n÷p
6. n am =
am÷p
p√
√
7. n m a= n×m a
√
m
8. n am = a n
5.
RACIONALIZAÇÃO:
√
√
√
√
b
a
a
a b
a b
a b
= √ =
Exemplo 12 (a) √ = √ . √ = √
b
b
b b
b.b
b2
√
√
√
3 2
3
3
b
a
a
a b2
a b2
√
√
√
=
.
(b) √
=
=
3 3
3
3
b
b
b 3 b2
b
√
√
√
√
7
21 + 7 2
7
3+ 2
21 + 7 2
√ =
√ .
√ =
=
=3+ 2
(c)
9
−
2
7
3− 2
3− 2 3+ 2
√
√
√
√
2
2 a−2 b
2
a− b
√ =√
√ .√
√ =
(d) √
a−b
a+ b
a+ b a− b
√
√
√
3
3 3
3
3
3
=
(e) √ = √ . √ =
2.3
6
2 3
2 3 3
FAZENDO VOCÊ APRENDE!
1) Calcule o valor das expressões:
√
√
(a) 2 3 27 − 3 6 64
√
√
√
(b) 100 − 64 + 3 400 − 8 4 0, 0001
(c)
√
5
√
√
0, 00032 − 4 0, 0064 − 2 3 −0, 027
2) Simplifique os radicais:
(a)
√
7
x17
(b)
√
4
81
(c)
(d)
(e)
√
3
64.b6
p
5
√
1024.x5 .y 10
25a4 x
(f)
1
3
√
45
(l)
√
6
a12 x13
√
(h) 3 81
√
(i) 9 1024
√
(j) 52
(g)
(m)
(n)
(o)
q
288.a2
75.b4
q
3
√
x6 .y 5
a7
x2 + 6x + 9 =
p
y 2 + 10y + 25
3) Efetue as operações com radicais, simplificando o resultado sempre que possı́vel::
√
√
√
√
(a) 3 20 + 3 5 − 45 − 80
q
q
q
8
32
72
(b)
+
2
−
3
27
108
243
√
√
√
√
(c) −3b a + 7 b2 a − 3a a − a3
√
√
(d) 3 81 ÷ 3 9
√
√
(e) 3 6 125 ÷ 5 4 24
√ √ √
(f) 3 b.5 3 b. 31 4 b
(g) ( 2a
b
q
2b 2 2
a )
20
√
(h) (3a a4 b)3
r q
(i) 4 ab 5 ab
(j)
r q
3
x
y
4
4) Racionalize os denominadores das frações:
(a)
a
√
2 b
(d)
22
√
4+ 5
(b)
a2 b
√
ab
(e)
√2a−1
2a−1
(c)
ab
√
5
ab3 c4
(f)
√
3+√3
3− 3
x2
y3
Capı́tulo 4
Expressões numéricas
4.1
Ordem das Operações
• Ordem das operações:
(1) Potência e/ou raiz
(2) Multiplicação e/ou divisão
(3) Soma e/ou subtração
(4) Considere-se as operações na ordem em que aparecem
1
15 3
2
3
1
× ) + 3 − [( )−1 ÷ ] − + 81 2 =
13 5
3
2
4
3 3
1 √
15 × 3
2
) + 3 − [ ÷ ] − + 81 =
(
13 × 5
2 2
4
Exemplo 13 (
3
2
( 3×3
13 ) + 3 − [ 2 × 3 ] −
(
1
4
+9=
9
1
) + 3 − [1] − + 9 =
13
4
9
1
+ −1 − + 9 =
13
4
595
36 + 156 − 52 − 13 + 468
→
52
52
FAZENDO VOCÊ APRENDE !
1) Determine o valor das expressões:
(a) (− 34 ) × (−2) −
3
8
(e) (−4, 7)(6, 8 − 9, 4) − [18, 3 × (−4, 5)]
(f)
(b)
5
6
× (− 43 ) −
(c)
3
4
+ (− 32 ) × (− 35 ) − 4 × [( 34 − 58 ) × 8]
(d)
(− 87 )
÷
3
16
3
2
−
[ 52
÷
(− 12 )]
6
7
−
(− 54 )
(− 78 )
(g) (−198, 07 + 16, 8 − 12, 003) × 0, 006
(h)
2) Calcule o valor das expressões:
21
6
7
(− 53 + 15
) ÷ (1 − 10
)
9
5
4
7
15 ÷ [ 20 − (− 2 ) × 5 ]
22
(a) ( 12 )2 × (− 59 )−1 + (− 32 )2 ÷
7
9
(b) [(− 12 )−2 × 43 ]−1 − ( 35 )−1
8
) − (2−2 )]3
(c) [(− 76 ) ÷ ( 21
(d) −
q
25
81
+
q
(e)
100
9
(f)
q
q
9
4
−
25
36
q
×
9
4
q
×
q
81
100
+
36
81
q
49
64
÷
q
196
144
3) Resolva as expressões:
(d) [(− 23 )(− 34 ) + ( 12 )−1 ]2 ÷ (− 15
8 )
q
q
q
4
4
64
(e)
9 −
25 +
9 ÷ (−16)
(a) (−1) ÷ 1 × 10 + (2 × 5) × 10
(b)
10
4
15
× (− 25 ) × (− 16
10 ) × (− 4 )
4
(c) (−5 58 × 4 23 ) ÷ [1 11
× (−3 19 )]
(f)
(− 21 )2 − 34
(2)−2 + 85
É LÓGICO!
Uma escola tem 354 alunos. Um deles inventou uma fofoca sobre o diretor da escola e, em um minuto,
contou a 3 colegas. Pelo jeito, a fofoca era boa porque, no minuto seguinte, cada um desses 3 contou a
novidade a 3 colegas que ainda não conheciam. Assim, cada um que recebia a notı́cia a transmitia a 3
colegas desinformados, gastando, para isso, um minuto.
a) Quantos alunos ficaram sabendo do boato no terceiro minuto?
b) Quantos alunos ficaram sabendo do boato nos três primeiros minutos?
FALAR, PENSAR E FAZER MATAMÉTICA!
Definição 9 (Módulo ou Valor absoluto de um número)
O módulo ou valor absoluto de um número é o próprio número, se ele for positivo. Caso ele seja
negativo, torna-se o sinal contrário, tornando-o positivo.
|x| =
Exemplo 14
(
x
se
−x se
x≥0
x<0
(1) | − 5| = 5
(2) |5| = 5 ou seja, por definição: -(-5)=5.
Observação 5 (Números Inteiros Opostos) Quando dois números inteiros têm o mesmo valor absoluto e sinais contrários, dizemos que são opostos ⇒ +a o oposto de −a.
Exemplo 15
(1) -3 é oposto de +3.
(2) +100 é o oposto de -100.
Observação 6 Ordenação dos números inteiros (Seja a > 0 e b > 0
1) +a > −b
2) +a > +b ⇒ | + a| > | + b|,
3) −a > −b ⇒ | − a| < | − b|,
4)−a < 0 < +b.
23
4.2
Equação do primeiro grau
Definição 10 Equação é uma sentença matemática, que contém uma ou mais letras com valores desco
nhecidos (incógnitas), formada por duas expressões ligadas pelo sinal de igual.
Equação do primeiro grau é uma equação do tipo ax + b = 0, onde a e b representam números reais
com a 6= 0
Exemplo 16
(1) 3x + 1 = 0
(2) 2x + 3 = 3(x − 1)
→
→
−1
3
3x = −1
→
x=
2x + 3 = 3x − 3
→
2x − 3x + 3 + 3 = 0
x=6
→
−x + 6 = 0
Observação 7 Num dado universo U,dizemos que uma sentença que expressa uma igualdade é uma
equação em U, quando e somente quando essa sentença determina um conjunto verdade V, que está
contido em U. (V ⊂ U ).
Exemplo 17 Se U = {1, 2, 3} e x + 3 = 5 então V = {2}.
FAZENDO VOCÊ APRENDE!
1) Resolva as seguintes equações para U = Q:
(a) 2x + 3 = 19
(c) 2x − 1 =
(b) 8x − 4 = 60
(d)
3
7
− 5x =
5
4
(e)
x−4
3
1
2
(f)
3x−1
5
=
x−2
2
+2=
−1
(g)
4x+1
3
3x
4
(h)
3(x−2)
2
+5
=
5(5x+2)
2
=
4(5−x)
3
2) Escreva uma equação para cada sentença:
(a) O dobro de um número mais seu triplo é igual a 50.
(b) A metade de um número mais sua terça parte é igual a 15.
(c) A diferença entre um número e sua metade é 40.
(d) A soma de dois números consecutivos é 11.
(e) A diferença entre o triplo de um número e sua metade é 25.
(f) A soma de duas idades é 20. O mais moço nasceu 4 anos depois do mais velho. (Use uma só
variável)
(g) A diferença entre duas idades é 20 anos. O mais velho tem triplo da cidade do mais moço.
3) Determine o número que, somado aos seus 3/5, é igual a 24.
4) Determine o número tal que a diferença entre ele e os seus 2/3 seja 8.
5) Um número, somado à sua quinta parte e à sua metade, é igual a 51. Qual é esse número?
6) A soma de dois números é 63 o quociente entre ambos é exato e vale 6. quais são esses números?
7) Na classe de Rosana, 49% dos alunos foram para a praia nos feriados, 25% para as montanhas e
14 alunos não saı́ram da cidade. Quantos alunos têm essa classe?
24
8) Numa fabrica trabalham, 532 pessoas entre homens, mulheres e menores. O número de homens
é o dobro do de mulheres e este é o dobro do de menores. Quantos são os homens, as mulheres e os
menores?
9) Um pai tem 46 anos e um filho tem 10. Daqui a quantos anos a idade do pai será o quádruplo da
idade do filho?
10) A soma das idades de um pai e um filho é de 42 anos. Há três anos, a idade do pai era onze vezes
a idade do filho. Determine as idades.
11) Repartir 36 figurinhas entre dois garotos de modo que um ganhe o dobro do outro.
12) Num estacionamento, há um total de 200 veı́culos, entre motos e carros. Se há 20 motos a mais
que carros, quantas motos e quantos carros estão nesse estacionamento?
É LÓGICO!
Descubra os números do seguinte circuito:
Capı́tulo 5
Expressões Algébricas e Polinômios
5.1
Expressões Algébricas
Definição 11 Expressões que apresentam uma ou mais variáveis e, ainda, as expressões que só têm
números são chamadas expressões algébricas.
Exemplo 18 3x + 2xy − 3.
Definição 12 Monômios, são expressões algébricas que apresentam apenas um número, apenas uma
variável ou multiplicações entre números e variáveis.
Exemplo 19
(a) 5x2 y 3
(b) 2x
(c) x3
(d) 12
Observação 8 (Monômios Semelhantes) São aqueles que tem a mesma parte literal semelhantes.
Exemplo 20
(a) 7x3 y 2 e −5x3 y 2
(b) −6x e x
FAZENDO VOCÊ APRENDE!
(1) Escreva estas sentenças, utilizando variáveis.
(a) Todo número real multiplicado por um resulta no próprio número real.
(b) Todo valor real somado com ele mesmo resulta em duas vezes o seu valor.
(c) Numa multiplicação de dois números reais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto.
(d) Todo número real somado com seu oposto dá zero.
(2) Tenho 35,00 e minha irmã tem x (ela nunca me diz quanto tem!).
(a) Responda com uma expressão algébrica: ganhando 16,00, com quanto minha irmã ficará?
25
26
(b) Qual é o valor numérico dessa expressão quando é igual a 59?
(3) Houve um tempo em que os táxis cobravam 4,00 pela bandeirada, mais 1,40 por km rodado.
(a) Responda com uma expressão algébrica: quantos reais eram pagos num percurso de quilômetros?
(b) Qual é o valor dessa expressão quando vale 10?
(4) Escreva estas sentenças, utilizando variáveis:
(a) Todo número real multiplicado por ele mesmo resulta no quadrado desse número.
(b) Numa adição de dois números reais quaisquer, a ordem das parcelas não altera a soma.
(5) Considere estas adições:
1+1
2+2+2
3+3+3+3
4+4+4+4+4
...
Observe: na 1a adição as parcelas valem 1 e o número de parcelas é 2. Na 2a adição as parcelas
valem dois e número de parcela é 3, e assim por diante.
(a) A terceira adição dá 12. Quanto dá a 30a adição?
(b) Qual é o resultado da enésima adição? Para responder, use a variável .
(6) Escreva a parte literal de cada monômio.
(a) 5x5 y 5
(c) x4 y 2
(b) −2x3
(d) 4, 2y 3
(7) Escreva os coeficientes dos monômios:
(a) 7ax6
(c) − 12 x2 y
(b) −ax4
(d) 31ay 2
5.1.1
Operações com Monômios
(1) Adição e Subtração:
Considerando 7x3 y 2 + 5x3 y 2 , para somá-los, pode-se pensar assim: temos 7 monômios x3 y 2 mais 5
desses monômios, logo, temos 7+5, ou seja, 12 monômios x3 y 2 . Portanto: 7x3 y 2 + 5x3 y 2 = 12x3 y 2 .
Quando falamos em adição algébrica de monômios, podemos estar nos referindo tanto a uma adição
de monômios, quanto a uma subtração.
27
(2) Multiplicação:
Acompanhe a multiplicação do monômio x4 pelo monômio x3 :
Exemplo 21
(6x2 y 3 ).(5x4 y 4 z) = 6.5.x2 .x4 .y 3 .y 4 .z = 30x6 y 7 z
Observação 9 Essa propriedade é a base qualquer da multiplicação de monômios.
(3) Divisão:
Acompanhe a divisão do monômio x5 pelo monômio x3 :
Exemplo 22
x5
x.x.x.x.x
=
= x2
3
x
x.x.x
Exemplo 23
12 x5 y 3 z 4
12x5 y 3 z 4
=
. . . = 4x2 yz 3
3x3 y 2 z
3 x3 y 2 z
(4) Potenciação:
Exemplo 24
(2x3 y 4 )3 = (2x3 y 4 ).(2x3 y 4 ).(2x3 y 4 ) = 2.2.2.x3 .x3 .x3 .y 4 .y 4 .y 4 = 8x9 y 12
Exemplo 25
(−2x3 y)4 = (−2x3 y).(−2x3 y).(−2x3 y).(−2x3 y) = (−2).(−2).(−2).(−2).x3 .x3 .x3 .x3 .y.y.y.y = 16x12 y 4
FAZENDO VOCÊ APRENDE!
1)Efetue as adições e subtrações:
(f) −y − 12y + 3x2 − 18y + x2
(a) 5x2 + 12x2
(b) 8xy 2 − 8xy 2
(g) 5x2 y 2 − 72 x2 y 2 − 52 x2 y 2
(c) −2xy 5 z − 2xy 5 z
(h) 2y 2 − 34 y 2 + y 2 −
(d) 2x3 − 21 x3
3 2
10 y
(i) −7x3 y + 8x3 y − 15x3 y
(e) 12x2 y − 8x2 y − x2 y + x2
2) Efetue as multiplicações e divisões:
(a) 2y 2 .y 3
(c) x2 .(xy)
(e) (−2x2 ).(−4y 2 ).(−5x3 y 4 )
(b) −5y.(−8y 2 )
(d) (3x2 z 2 ).(−2xy).(6z 2 )
(f) ( 25 x2 y 2 ).( 37 x3 y 3 )
28
(g) (4a2 b3 )2
(h) (xy 2 z 3 )8
(i)
x3 y 3
x2 y 2
(j)
63a4 x5
−9a3 x2
(l)
−8a5 y 6
−40ay
(m)
25a3 x2 y 4
5x2
(n)
− 52 a5 b5
4 2
− 15
a b
(o) (2x3 y)4 − (5x6 y 2 )2
2
3
(p) ( x2 y 2 )3 .( xy 3 )2
3
4
(q) x2 .x4 + x.x5 + x3 .x3 − 2x5 .x
(r)
3x2 y−7x2 y+3x2 y
x2
3) Indique com um monômio:
(a) A área do retângulo I
(b) A área do retângulo II
(c) A área do quadrado III
(d) A área total da figura.
4) Escreva o monômio que:
(a) Subtraı́do 3x5 y dá −2x5 y
(c) Somado com 12x3 y 8 resulta zero
(b) Subtraı́do de −6y dá −10y
(d) Somado com 4xy dá 4xy.
5) Calcule o valor numérico das expressões algébricas a seguir, para x = −2 e y = 13. Mas, antes,
efetue as adições dos monômios semelhantes.
x2 y
4
x2 y
2
x2 y
4
(a) 23xy − 18xy + 17xy − 216xy
(c)
(b) 2x5 y + 3x5 y + 5x5 y
(d) 7x − 9y − 9x + 8y
+
+
6) Na figura a seguir, a parte hachurada é formada por quatro retângulos. As medidas estão em
centı́metros. Determine:
29
(a) A área da figura hachurada pode ser obtida como uma adição de monômios. Efetue essa adição.
(b) Calcule a área da figura hachurada nestes dois casos: quando x = 0, 5 e quando x = 2.
(c) Para que valor de x a figura hachurada tem uma área de 82cm2 .
5.2
Polinômios
Definição 13 Um polinômio na variável x é toda expressão P(x) que pode ser reduzida a forma
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + ...a1 x1 + a0
Em que ai ∈ C e n ∈ N
Sendo:
(1)
an xn , an−1 xn−1 , an−2 xn−2 , a1 x1 , a0 , são os termos ou monômios do polinômio, sendo a0 , denominado
termo independente da variável x;
(2)
an , an−1 , an−2 , a1 , a0 , são os coeficientes do polinômio.
(3)
O grau de um Polinômio não nulo é o maior expoente da variável, dentre os termos de coeficientes
não nulos.
(4)
Ao atribuir um valor complexo a variável x, o resultado da expressão obtida é chamado de valor
numérico do polinômio para a x = α. Indica-se esse valor numérico como P (α)
(5)
O grau de um polinômio indica a o número de raizes que existem como solução da expressão.
Sendo que, chama-se de raiz do polinômio P(x) todo número complexo tal que P (α) = 0
(6) Polinômios Idênticos: dizemos que os polinômios p e q são idênticos quando possuem os coeficientes correspondentes iguais, ou seja, sejam
p(x) = an xn + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 e
q(x) = bn xn + · · · + b2 x2 + b1 x1 + b0 .
Assim, p = q ⇔ ai = bi , para todo i ∈ {0, 1, · · · , n}.
Exemplo 26 A expressão 5x4 − 3x3 + 2x2 − 4x + 7 é um polinômio de grau 4.
30
(1)
5, −3, 2, −4 e 7 são seus coeficientes;
(2)
x é sua variável;
(3)
5x4 , −3x3 , 2x2 , −4x, 7 são seus termos ou monômios.
(4)
7 é seu termo independente.
FAZENDO VOCÊ APRENDE!
1) Quais das expressões representam um polinômio na variável x?
(a) x5 + x3 + 2
(b) 0x4 + 0x2
(c) 3
(d) x 2 + 3x2
√
(e) ( x)4 + x + 2
√
(f) x x + x2
(g) x15
(h) x + 2
(i) x2 + 2x + 3
(j)
(k) x + x3 + x6 + x4
(l) (3x2 − 5x + 3)(7x3 + 2)
5
1
+x
x4
2) Determine a, b, c de modo que a função f (x) = (a+b−5)x2 +(b+c−7)x+(a+c) seja identicamente
nula.
5.2.1
(1)
Operações com Polinômios
Adição e Subtração : Ambas consistem no agrupamento de monômios semelhantes, usando a
propriedade distributiva. Veja:
Exemplo 27 (a) (2x3 − 3x2 + 4x − 1) + (x3 + 2x2 − 5x + 3)
(b) (4x2 + 3x − 4) − (2x3 + x2 − x + 2)
Solução:
(a) (2x3 + x3 ) + (−3x2 + 2x2 ) + (4x + (−)5x) + (−1 + 3)=
(b) (0 − 22x3 ) + (4x2 + x2 ) + (3x − (−x)) + (−4 − 2)=
(2)
3x3 − x2 − x + 2
−2x3 + 3x2 + 4x − 6
Multiplicação: Usando-se a propriedade distributiva, expandimos o produto de dois ou mais
polinômios ou monômios. Veja:
(3x + 2)(4x + 5) = 3x(4x − 5) + 2(4x − 5)
−15x + 8x −10 = 12x2 − 7x − 10
= (3x)(4x) − (3x)(5) + (2)(4x) − (2)(5) =
12x 2
31
FAZENDO VOCÊ APRENDE!
1) Dados os polinômios:
f (x) = 7 − 2x + 4x2
g(x) = 5 + x + x2 + 5x3
h(x) = 2 − 3x + x4
Calcule (f + g)(x), (g − h)(x) e (h − f )(x).
2) Sendo dados os polinômios:
f
= 2x2 , g
= 2x2 + 3x4 , h = 3x2 + 2x4 − x6 e
k = 3x6 − 2x4 + 4x2 , obtenha os números reais a, b, c de modo que se tenha k = af + bg + ch.
3) Determine a, b c de modo que se verifique cada identidade:
1. a(x2 − 1) + bx + c = 0
2. a(x2 + x) + (b + c)x + c = x2 + 4x + 2
5.2.2
Operações com polinômios II
Divisão:
Pode-se efetuar a divisão de polinômios se utilizando de 2 diferentes métodos:
BRIOT-RUFFINI (Dispositivo Prático):Utilizado quando o divisor for um polinômio do 1
grau da forma x-a ou x+a. Este processo opera apenas com os coeficientes e a raiz dada pelo polinômio
de grau 1.
Escrevemos os coeficientes do polinômio em questão na parte superior de uma linha traçada, sem
esquecer os termos nulos(grau zero) apartir do grau do polinômio e também o termo independente da
equação.
Exemplo 28 P (x) = 3x5 − 2x4 + 3x2 + 1 dividido por D(x)=x-2
32
Obtendo-se então: Q(x) = 3x4 + 4x3 + 8x2 + 19x + 38 e R(x) = 77.
MÉTODO DAS CHAVES: Se o divisor não for um polinômio de grau 1, pode-se utilizar esse
método. Ao efetuar a divisão de dois polinômios, P (x) e D(x)(6= 0) encontraremos Q(x) e R(x), visto
que:
P (x) = D(x).Q(x) + R(x).
Exemplo 29 Vejamos como obter o quociente e resto da divisão pelo método das chaves do polinômio
P (x) = 2x5 + 4x4 + 4x3 + 9x2 + 3x + 1 por D(x) = x2 + 2.
1 - Dividir o monômio de mais alto grau de P(x) pelo monômio de mais alto grau de D(x)
2 - Subtrair do dividendo o produto do divisor D(x) pelo resultado obtido no primeiro passo, obtendo
o primeiro resto parcial.
3 - Dividimos o monômio de mais alto grau do primeiro resto parcial pelo monômio de mais alto
grau do D(x).
4 - Subtraimos do primeiro resto parcial o produto do divisor D(x) o resultado obtido no terceiro
passo, obtendo o segundo resto parcial.
E assim sucessivamente, até obter o resto final R(x), que deve obedecer a uma das condições:
∂R < ∂D ou R(x) ≡ 0
33
Temos então:
Q(x) = 2x3 + 4x2 + 1 e
R(x) = 3x − 14
Há casos em que se deseja saber apenas o resto da divisão de um polinômio por outro do primeiro
grau. Então utiliza-se o TEOREMA DO RESTO:
Teorema 1 (Resto) O resto da divisão de um polinômio P (z) pelo polinômio ax + b (a 6= 0) é o valor
b
numérico de P (x) para x = − (raiz de ax + b)
a
R = P (− ab )
Observação 10 Existe uma consequência imediata do Teorema do Resto conhecida como:
Teorema 2 (D’Alembert) Um polinômio P(x) é divisı́vel por ax + b (a 6= 0), se, e somente se,
b
P (− ) = 0
a
Exemplo 30 2x3 + 2x2 − 2x + 4 é divisı́vel por 2x + 4?
P ( −4
2 ) = P (−2)
P (−2) = 2.(−2)3 + 2.(−2)2 − 2.(−2) + 4 = 0
Ou seja, O polinômio em questão é divisı́vel por 2x + 4
Observação 11 Divisibilidade pelo produto: Se um polinômio é divisı́vel separadamente pelos binômios
x − a e x − b, então P (x) é divisı́vel pelo produto (x − a).(x − b).
FAZENDO VOCÊ APRENDE!
1) Dados os polinômios: P(x)= 3x4 + 2x3 + x − 1, Q(x) = 5x4 + 3x + 7, A(x) = 6x3 + 2x2 − 3x,
B(x) = 4x2 + 5x − 1 e C(x) = 9x − 2, calcule:
34
2
(a)
P (x) + Q(x)
(d)
A(x) − B(x)
(g)
C(x)
(b)
P (x) − Q(x)
(e)
4A(x)
(h)
2A(x) − 3B(x)
(c)
A(x) + B(x)
(f)
B(x).C(x)
(i)
A(x).C(x) + B(x)
2) Efetue as operações, sendo P (x) = 5x2 − 3x + 2 e Q(x) = 4x − 6
(a)
3P (x)= 15x2 − 9x + 6
(b)
P (x).Q(x) = 20x3 − 42x2 + 26x − 12
3)Utilize os dois métodos citados para encontrar o quociente e confira o resultado do resto pelo
teorema do resto.
P (x) ÷ D(x)
P (x) = x2 + 6x − 1; D(x) = x − 1
4) Dividindo o polinômio P (x) = 6x3 + 4x2 + 2x − 1 pelo polinômio D(x), obtêm-se o quociente
Q(x) = 3x + 2 e o resto R(x) = 11x + 5. Determine D(x).
5) Três polinômios, P (x), Q(x) e T (x), são tais que,∂P = 7, ∂Q = 5, ∂T = 5. Qual das afirmações
seguintes pode ser falsa?
(a)
O grau do polinômio P (x) + Q(x) é 7.
(b)
O grau do polinômio P (x) − Q(x) é 7.
(c)
O grau do polinômio P (x).Q(x) é 12.
(d)
O grau do polinômio Q(x) + T (x) é 5.
6) Sendo x3 + 1 = (x + 1)(x2 + ax + b), para todo x, com x ∈ C, quais são os valores de a e b?
7) Sejam os polinômios f = (x + 1)2 , g(x) = x2 − 1 e h = x4 − 2x3 + x2 − 2x − 1.O polinômio f.g − h
é igual a?
5.3
Decomposição de Polinômios
Teorema 3 Todo polinômio de grau n, com n ≥ 1, P (x) ≡ an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + ... + a0 pode
ser fatorado sob a forma P (x) ≡ an (x − r1 ).(x − r2 ).(x − r3 )...(x − rn ), em que r1 , r2 , r3 , rn , são todas
as raı́zes de P(x).
Exemplo 31 Para fatorar um polinômio, P (x) = 3x3 − 20x2 + 23x + 10, sabendo que uma de suas raizes
é 5, ou seja, este polinômio é divisı́vel por x − 5 e P (x) ≡ (x − 5)Q(x).
Obtem-se o polinômio Q(x) por Briot-Ruffini. Desta forma reduzimos o grau da equação e podemos
encontrar as outras 2 raizes.
P (x) = (x − 5)(3x2 − 5x − 2)
Fazendo, x − 5 = 0 e 3x2 − 5x − 2 = 0, encontramos: x1 = 5,
x2 = 2 , x3 =
decomposição temos que:
−1
, e pelo teorema da
3
P (x) = 3(x − 5)(x − 2)(x + 31 ).
Observação 12 (Multiplicidade de raiz:) Se uma raiz comparecer k vezes(com k > 1), esta é chamada
de raiz de multiplicidade k da equação.
35
5.3.1
Frações Polinomiais
Definição 14 Chama-se fração polinomial toda expressão do tipo
P (x)
, em que P (x) e Q(x) são
Q(x)
polinômios complexos de variável complexa, com Q(x) 6= 0.
Exemplo 32 Dado a identidade:
a
b
5x + 1
+
≡ 2
.
x−1 x+1
x −1
Encontre as constantes a e b
Solução:
5x + 1
a(x + 1) + b(x − 1)
≡ 2
(x − 1)(x + 1)
x −1
(a + b)x + a − b ≡ 5x + 1
e, portanto:
(
(I) a + b =
(II) a − b =
5
1
Somando o membro (I) e (II), obtemos
2a = 6 → a = 3.
Substituindo a = 3 em (I), obtemos:
3 + b = 5 → b = 2.
Exemplo 33 (Você vai utilizar em Cálculo I!!) Decomponha a fração abaixo em uma soma:
x−3
=
x2 + 3x + 2
Fração 1 + Fração 2
1 Passo) Decompor o denominador! Para isso encontra-se as raizes desse polinômio utilizan
do-se de baskhara ou soma e produto (como preferir). Neste caso, as raizes são -1 e -2. Ou seja,
x2 + 3x + 2=(x+1)(x+2)
.
2 Passo) Igualar a fração polinomial a uma soma de frações, cujos numeradores a princı́pio são
desconhecidos, e por isso representa-se por uma incógnita qualquer:
A
B
x−3
=
+
x2 + 3x + 2 x + 2 x + 1
3 Passo) Encontrar o MMC dessa soma, de tal modo que torne possı́vel anular os denominadores
da igualdade em questão. Obtemos assim a seguinte igualdade:
x−3
A(x + 1) + B(x + 2)
=
x2 + 3x + 2
(x + 1)(x + 2)
(...)
A(x + 1) + B(x + 2)= x − 3
4 Passo) Igualar os termos semelhantes da igualdade e montar um sistema para poder descobrir o
valor dos numeradores, ou seja, A e B.
(
Ax + Bx = 1
A + 2B = −3
36
3:
Sabendo que A = 5 e B = −4, substituimos esses valores na igualdade montada inicialmente no passo
x2
x−3
5
4
=
−
.
+ 3x + 2
x+2 x+1
FAZENDO VOCÊ APRENDE!
(1)
Quais são as raizes da equação (x − 2)3 (x − 5)(x − 4)2 = 0 e que multiplicidade apresentam?
(2)
Determine as constantes a e b na identidade:
b
3x
a
+
≡ 2
x−3 x+3
x −9
(3)
Escreva as frações na forma de uma soma:
(a)
(b)
(4)
2x − 1
+ 5x + 6
5x + 3
x2 − 3x + 2
x2
Decomponha P (x) como o produto de uma constante por polinômios de 1 grau, em cada um
dos seguintes casos:
(a) P (x) ≡ 4x2 − x − 3
(b) P (x) ≡ x3 − 8x2 + 12x
(5)
Sabendo que o polinômio P(x)≡ 3x4 − 25x3 + 59x2 − 47x + 10 satisfaz a condição P(1)=P(2)=0,
represente P(x) como o produto de uma constante por polinômios do primeiro grau.
IMPORTANTE:
Produtos Notáveis
2
2
Exemplos
2
(x + 3)2 = x2 + 6x + 9
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
(x − 3)2 = x2 − 6x + 9
(x + 3)(x − 3) = x2 − 9
(a + b) = a + 2ab + b
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
∗(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
∗a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
(x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6
(x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8
x3 + 8 = (x + 2)(x2 − 2x + 4)
x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4)
Observação 13 *Veja como o uso do parêntese muda totalmente o resultado!!
→ Fatore os polinômios a seguir:
(a)
x3 + 2x2 − x − 2 =
(b)
x4 − 3x3 + x2 + 3x − 2 =
(c)
x3 + 2x2 − 3x =
(d)
x3 + 3x2 − 4x − 12 =
37
(e)
x3 + 6x2 + 11x + 6 =
Respostas:
(a)
(x − 1)(x2 + 3x + 2)
(b)
(x − 1)2 (x2 − x − 2) ou (x − 1)2 (x − 2)(x + 1)
(c)
(x − 1)(x + 3)x
(d)
(x + 3)(x2 − 4) ou (x + 3)(x + 2)(x − 2)
(e)
(x + 2)(x2 + 4x + 3) ou (x + 2)(x + 3)(x + 1)
Observação 14 Seja P (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 um polinômio com coeficientes inteiros.
Se α for um número inteiro e uma raı́z de P (x), então α será um divisor do termo independente a 0 .
Capı́tulo 6
Exponencial e Logaritmo
6.1
Equações exponenciais
Definição 15 Chama-se equação exponencial toda equação que contém incógnita no expoente.
Exemplo 34
1. 2x = 16
2. 3x−1 = 27
3. 3x+1 + 3x−2 = 9
4. 4x − 2x = 8
Método da redução a uma base comum
Este método, como o próprio nome já diz, será aplicado quando ambos os membros da equação, com
as transformações convenientes baseadas nas propriedades de potências, forem redutı́veis a potências de
mesma base a (0 < a 6= 1). O método da redução a uma base comum é baseado no seguinte resultado:
Teorema 4 Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1. Então: ax = ay ⇐⇒ x = y.
Demonstração:
ax
ax = ay ⇔ y = 1 ⇔ ax−y = 1 ⇔ x − y = 0 ⇔ x = y
a
FAZENDO VOCÊ APRENDE !
Exemplo 35
1. 2x = 16
2. 3x−1 = 27
1
3. 8x =
32
4. 100x = 0, 001
5. 73x+4 = 492x−3
6. 52x
2
−32
=1
7. 4x − 2x = 56
8. 9x + 3x = 90
9. 4x+1 − 9 . 2x + 2 = 0
38
39
10.
6.2
3x + 3−x
=2
3x − 3−x
Inequações exponenciais
Definição 16 Inequações exponenciais são as inequações com incógnita no expoente.
Seguem alguns exemplos de inequações exponenciais:
1. 2x > 32
x
1
1
2.
<
3
81
3. 4x − 2 > 2x
Método da redução a uma base comum
Este método será aplicado quando ambos os membros da inequação puderem ser representados como
potências da mesma base a (0 < a 6= 1). Faz-se uso do seguinte resultado:
Teorema 5 Sejam x e y números reais. Então:
se a > 1 tem-se ax > ay ⇐⇒ x > y;
se 0 < a < 1 tem-se ax > ay ⇐⇒ x < y.
Demonstração:
Faremos a demonstração para o caso a > 1. O outro caso é análogo.
ax
ax > ay ⇔ y > 1 ⇔ ax−y > 1 ⇔ x−y > 0 ⇔ x > y.
a
Exemplo 36 Classifique em Verdadeiro ou Falso:
1. 32,7 > 1
2. (0, 3)0,2 > 1
√
3. π 2 > 1
−1,5
4
>1
4.
5
FAZENDO VOCÊ APRENDE !
Exemplo 37 Resolva:
1. 2x > 128
2. 32x+3 > 243
3.
x
1
1
>
3
81
4. 3x <
1
27
40
Observação 15 Não aprofundaremos o assunto, para função exponencial, mas deixamos aqui alguns
lembretes sobre:
Função exponencial é função R → R definida por f (x) = ax , onde a ∈ R e 0 < a 6= 1. Ou seja, a
base dessa função sempre deverá ser positiva, e diferente de um.
O domı́nio da função exponencial sempre abragerá todos os números reais. Já a imagem, todos os
números reais positivos, exceto zero.
Quando a base for maior que 1, sabemos que a função é crescente. Quando a base estiver entre 0 e
1, a função será decrescente.
6.3
Logaritmos
Lembremos que no estudo de equações e inequações exponenciais, feito anteriormente, só tratamos
dos casos em que podı́amos reduzir as potências à mesma base.
Se queremos resolver a equação
2x = 3,
por exemplo, sabemos que x assume um valor entre 1 e 2, pois 21 < 2x = 3 < 22 , mas não sabemos qual
é esse valor nem o processo para determiná-lo.
A fim de que possamos resolver este e outros problemas, iniciamos o estudo de logaritmos.
Definição 17 Sejam a e b dois números reais positivos, com a 6= 1, chama-se logaritmo de b na base
a o expoente que se deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b, isto é,
loga b = x ⇐⇒ ax = b
Em loga b = x, dizemos:
a é a base do logaritmo
b é o logaritmando
x é o logaritmo
Exemplo 38
2. log3
1. log2 8 = 3, pois 23 = 8
1
1
= −2, pois 3−2 =
9
9
3. log5 5 = 1, pois 51 = 5
4. log7 1 = 0, pois 70 = 1
Exemplo 39 Resolva:
1. log81 3
2. log0,25 32
3. log0,5 8
√
4. log2 2
41
Teorema 6 Sejam 0 < a 6= 1 e b > 0. Então:
1. loga 1 = 0
3. aloga b = b
2. loga a = 1
4. loga b = loga c ⇐⇒ b = c
Demonstração: Aplicação imediata da definição de logaritmo.
FAZENDO VOCÊ APRENDE !
Exemplo 40
1. Se A = 5log5 2 , determine o valor de A3 .
2. Determine o número cujo logaritmo na base a é 4 e na base
a
é 8.
3
Notações:
log10 x é denotado simplesmente por log x (logaritmo decimal).
loge x é denotado por ln x (logaritmo neperiano ou natural).
6.3.1
Propriedades dos logaritmos
Teorema 7 (Logaritmo do produto) Se 0 < a 6= 1, b > 0 e c > 0, então
loga b.c = loga b + loga c
Demonstração: Fazendo loga b = x, loga c = y e loga b.c = z, provemos que z = x + y.
De fato:
loga b = x ⇒ ax = b;
loga c = y ⇒ ay = c;
loga b.c = z ⇒ az = bc.
Assim, az = bc ⇒ az = ax ay = ax+y ⇒ z = x + y
Teorema 8 (Logaritmo do quociente) Se 0 < a 6= 1, b > 0 e c > 0, então
loga
b
= loga b − loga c
c
Teorema 9 (Logaritmo da potência) Se 0 < a 6= 1, b > 0 e α ∈ R, então
loga (bα ) = α(loga b)
Corolário 1 Se 0 < a 6= 1, b > 0 e n ∈ N∗ , então
loga
√
n
1
b = loga b n =
1
loga b
n
42
CUIDADO! loga (x ± y) 6= loga x ± loga y
FAZENDO VOCÊ APRENDE !
Exemplo 41
2. Seja x =
1. Se m =
bc
, determine log m.
d2
√
a
, determine log x.
bc
3. Se log 2 = 0, 301, calcule o valor da expressão log 20 + log 40 + log 400.
4. Determine a razão entre os logaritmos de 16 e 4 numa base qualquer.
5. Se log2 (a − b) = m e a + b = 8, determine log2 (a2 − b2 ).
Teorema 10 (Mudança de base) Se a, b e c são números reais positivos e a e c são diferentes de 1,
então
loga b =
logc b
logc a
Demonstração:
Consideremos loga b = x, logc b = y e logc a = z e notemos que z 6= 0, pois a 6= 1.
y
Provemos que x = .
z
De fato:
loga b = x ⇒ ax = b;
logc b = y ⇒ cy = b;
logc a = z ⇒ cz = a.
Assim,
x
(cz ) = ax = b = cy ⇒ zx = y.
Corolário 2 Se a e b são reais positivos e diferentes de 1, então
loga b =
1
logb a
Demonstração:
Usando o teorema da mudança de base e observando que, por hipótese, b 6= 1, temos:
loga b =
1
logb b
=
.
logb a
logb a
43
FAZENDO VOCÊ APRENDE !
Exemplo 42
1. Sabendo que log20 2 = a e log20 3 = b, determine log6 5.
2. Calcule o valor de log0,04 125.
3. Determine o valor de:
log3 2 . log4 3 . log5 4 . log6 5 . log7 6 . log8 7 . log9 8 . log 9
Exemplo 43 Resolução de equações exponenciais via logaritmos
1. 2x = 3.
4. 32x+1 = 2.
2. 52x−3 = 3.
5. 4x + 6x = 2.9x .
3. 7
√
x
= 2.
6. log2 (3x − 5) = log2 7.
FAZENDO VOCÊ APRENDE !
Exemplo 44 (Resolução de equações logarı́tmicas)
Nos exemplos seguintes, sempre observar as condições de existência do logaritmo.
1. log3 (2x − 3) = log3 (4x − 5).
4. log22 x − log2 x = 2.
2. log2 (3x − 1) = 4.
3. log3 (x2 + 3x − 1) = 2.
5.
2 + log3 x
log3 x
+
= 2.
log3 x
1 + log3 x
Capı́tulo 7
Trigonometria
7.1
Introdução à trigonometria
A Trigonometria, que é uma palavra de origem grega: trigono (triangular) e metria (medida),
tem por objetivo estabelecer relações entre os elementos básicos (lados e ângulos) de um triângulo.
7.1.1
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos internos é reto. Observando o triângulo
retângulo ABC, (Â = 900 ), temos:
BC = hipotenusa = a;
AC = cateto = b;
AB = cateto = c;
ˆ0 ;
B̂ + Ĉ = 90
AC = cateto oposto ao ângulo B̂;
AB = cateto adjacente ao ângulo B̂;
AC = cateto adjacente ao ângulo Ĉ;
AB = cateto oposto ao ângulo Ĉ;
Considerando o que vimos no triângulo retângulo da figura anterior, temos:
senB̂ =
AC
BC
⇒
senB̂ =
cateto oposto a B̂
hipotenusa
44
⇒
senB̂ =
b
.
a
45
cos B̂ =
tg B̂ =
AB
BC
AC
BA
⇒
⇒
cos B̂ =
tg B̂ =
cateto adjacente a B̂
hipotenusa
cateto oposto a B̂
⇒
⇒
cateto adjacente a B̂
cos B̂ =
c
.
a
b
tg B̂ = .
c
Teorema 11 ( Teorema de Pitágoras) O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos
catetos:
a2 = b 2 + c 2
7.1.2
Ângulos Notáveis: 30o , 45o e 60o
Alguns ângulos, devido ao seu contante uso, merecem um estudo especial. É o caso daqueles que
medem 30o , 45o e 60o .
Vamos considerar que num triângulo equilátero a mediana, a altura e a bissetriz relativas a um mesmo
ângulo interno coincidem.
Observe o triângulo equilátero ABC, cujos lados medem l e alturas medem h.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo AMC, podemos calcular a altura h:
l
h2 + ( )2 = l 2
2
h2 = l 2 −
h2 = 3
l2
4
√
l 3
h=
2
.
l2
4
46
7.1.3
Cálculo do seno, cosseno e tangente de 30o e 60o
Observe o triângulo AMC:
Temos:
sen 30o =
l
2
l
1
=
lq 2
3
2
√
3
=
l √ 2
l
3
2
o
tg 30 = √ =
l 3
3
2q
√
l 23
3
o
=
sen 60 =
l
2
l
1
2
o
cos 60 = =
l
2
√
l 3
√
tg 60o = 2 = 3
2
o
cos 30 =
7.1.4
Cálculo do seno, cosseno e tangente de 45o
Vamos considerar um triângulo retângulo e isósceles ABC cujos catetos medem l e a hipotenusa mede
x.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC:
√
√
x2 = l2 + l2 ⇒ x2 = 2l2 ⇒ x = 2l2 ⇒ x = l 2.
Vamos agora calcular o seno, cosseno e tangente de 45o :
sen 45o =
l
√
l 2
l
√
l 2
=
cos 45o =
=
l
o
tg 45 = l = 1.
√1
√2
2
2
=
√
2
2
Organizando os resultados, construı́mos a tabela:
47
α
sen α
cos α
tg α
300
1
√2
3
√2
3
3
450
√
2
√2
2
2
1
600
√
3
2
1
2
√
3
FAZENDO VOCÊ APRENDE !
Exemplo 45
1. Uma pessoa com 1, 80m de altura está distante 80m da base de um prédio e vê o ponto
mais alto do prédio sob um ângulo de 160 em relação à horizontal. Sabendo-se que tg 160 ∼
= 0, 28,
determine a altura do prédio.
2. Um avião levanta vôo num ponto B, e sobe fazendo um ângulo constante de 15 0 com a horizontal.
Sabendo-se que sen 150 ∼
= 0, 27, determine a que altura estará e qual a
= 0, 26 e que tg 150 ∼
distância percorrida quando passar em linha vertical sobre uma igreja situada a 2km do ponto de
partida B.
3. Calcular a medida z na figura:
7.2
Exercı́cios
1. Calcule os lados de um triângulo retângulo, sabendo que a altura relativa à hipotenusa é h = 4 e
um ângulo agudo é B̂ = 300 .
2. Calcule os lados de um triângulo retângulo, sendo que a altura relativa à hipotenusa mede 4 e
0
forma um ângulo de
com o cateto b. √
√ 15 √
√
2
+
6
6− 2
e cos 750 =
.
Dados: sen 750 =
4
4
3. Uma escada de bombeiro pode ser estendida até um comprimento máximo de 25 m, formando um
ângulo de 700 com a base, que está apoiada sobre um caminhão, a 2 m do solo. Qual é a altura
máxima que a escada atinge?
48
4. Um observador vê um prédio, construı́do em terreno plano, sob um ângulo de 60 0 . Afastando-se
do edifı́cio mais 30 m, passa a ver o edifı́cio sob ângulo de 450 . Qual é a altura do prédio?
5. Calcule a distância entre os parapeitos de duas janelas de um arranha-céu, conhecendo os ângulos
(α e β) sob os quais são observados de um ponto O do solo, à distância d do prédio.
6. Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifı́cio. Para fazer isto, ele colocou um
teodolito a 200 metros do edifı́cio e mediu um ângulo de 30o . Sabendo que a luneta do teodolito
está a 1,5 m do solo, qual o valor aproximado, da altura do edifı́cio?
7.3
7.3.1
Arcos, ângulos e o cı́rculo trigonométrico
Arcos e ângulos
Se dois pontos encontram-se sobre uma circunferência esta fica dividida em duas partes denominadas,
arcos de circunferência, ou arcos. Se dois pontos A e B forem coincidentes, um dos arcos fica reduzido a
um ponto, e outro a própria circunferência.
A medida do comprimento de uma circunferência (2π = 360) é dado por c = 2πr. Para os diversos
arcos que podem ser formados numa circunferência, também é possivel calcular seu comprimento, visto
que eles são proporcionais a essa medida. Veja no exemplo abaixo:
Exemplo 46
A orientação de uma circunferência pode ser no sentido horário (-) ou anti-horário (+). Sendo
possı́vel, portanto, obter equivalância de um arco de sentidos opostos.
Exemplo 47 −90 = 270.
−315 = 45.
−180 = 180.
−225 = 135.
49
7.3.2
Estudo do Cı́rculo Trigonométrico
Definição 18 Dado um arco AM, de medida α, chama-se de cos α e sin α, a abcissa e a ordenada do
ponto M, respectivamente.
A circunferência trigonométrica é dividida em 4 quadrantes de 90 cada, seguindo sentido antihorário.Esses quadrantes são formados na origem do eixo cartesiano, onde se intersepta o eixo da abcissa
(cosseno), com o eixo das coordenas (seno).
Os sinais dos arcos variam conforme o eixo, ou seja, conforme a função. Por exemplo, a função seno
apresenta o 1 e o 2 quadrantes positivos, já o cosseno, tem o 2 e o 3 quadrante positivo, os outros
são negativos. Quanto a tangente, nos quadrantes ı́mpares é positiva, nos pares negativa. Veja, abaixo:
O cı́rculo trigonométrico é simétrico e portanto, um arco pode ser trazido (reduzido), ao primeiro
quadrante. No caso do arco 330 , contido no quarto quadrante, ele pode ser reduzido ao primeiro,
obtendo-se assim um arco de 30 . Isso por que, se andassemos no sentido horário da circunferência
trigonométrica, pode-se verificiar que 330 =-30 . Logo, tem-se que o arco simétrico primeiro quadrante
é 30 .
No caso da medida do arco ser maior que 360 , isto é, ele possui mais de uma volta. Sabemos que
uma volta completa equivale a 360 ou 2π rad, com base nessa informação podemos reduzi-lo à primeira
50
volta, realizando o seguinte cálculo:
1- Dividir a medida do arco em graus por 360 (volta completa),
2- O resto da divisão será a menor determinação positiva do arco.
Exemplo 48 (a) Faça a redução do arco 4380 e diga onde o mesmo se localiza.
4380 ÷ 360 = 4320 + 60
Logo, tem-se que o resto da divisão é 60 , o que indica que a determinação principal do arco,pertence
ao 1 quadrante.
Observação 16 No caso de se desejar as infinitas soluções de uma equação ou inequação trigonométrica,
deve-se observar com atenção o intervalo dado para solução, bem como a divergência de sinais em cada
quadrante! Veja o exemplo que segue...
Exemplo 49 Dado a figura e as afirmações abaixo, identifique quais são verdadeiras e falsas.
(A)
sin(180 − α) = sin α
(D)
sin(180 + α) = − sin α
(B)
sin(180 − α) = − sin α
(E)
sin(360 − α) = sin α
(C)
sin(180 + α) = sin α
(F)
cos(360 − α) = − sin α
51
(G)
cos(180 − α) = cos α
(H)
cos(180 − α) = − cos α
(M)
cos(360 − α) = cos α
cos(180 + α) = cos α
(N)
cos(360 − α) = − cos α
(I)
(J)
cos(180 + α) = − cos α
Observação 17 (Arco Côngruo): Dois arcos são côngruos quando possuem a mesma origem e a
mesma extremidade. Uma regra prática eficiente para determinar se dois arcos são côngruos consiste em
verificar se a diferença entre eles é um número divisı́vel ou múltiplo de 360 , isto é, a diferença entre as
medidas dos arcos dividida por 360 precisa ter resto igual a zero.
Menor determinação α: é o menor arco não negativo dentre todos os congruos, assim, podemos
afirmar 0 ≤ x < 360.
7.3.3
Expressão Geral
A partir de um arco de midade α, pode se obter outros infinitos arcos de mesmas extremidades, quando
consideramos que podemos dar infinitas voltas. Dado isso, torna-se necessário criar uma expressão para
representar todos esses infinitos arcos.
A expressão geral se apresenta da seguinte forma:
AM = 360k + α, k ∈ Z,
ou
AM = 2kπ + α, k ∈ Z.
Portanto fica estabelecida uma correspondencia biunı́voca entre os números reais e os pontos da
circunferência trigonométrica.
FAZENDO VOCÊ APRENDE !
1- Determine a medida de x do arco da primeira volta positiva (0 ≤ x < 360) que possui a mesma
extremidade do arco de:
(a)
7850
(b)
1853
(c)
−50
(d)
1190
2- Verifique o sinal de cada um desses produtos:
(a)
y= cos 110. sin 130
(d)
y= cos π4 . sin π4
(b)
y= sin 200. cos 190
(e)
2π
y= sin 2π
3 . cos 3
(c)
y= sin 300. cos 330
(f)
7π
y= sin 7π
6 . cos 6
3- Como poderiamos escrever a expressão geral para os arcos formados na questão 1, anterior? (qual
intervalo de k?)
52
4- Dois arcos de medidas opostas quaisquer, α e −α, têm extremidades simétricas em relação ao eixo
dos cossenos. Identifique quais das afirmativas abaixo são verdadeiras:
(a)
cos(−α) = cos α
(c)
sin(−α) = sin α
(b)
− cos(α) = cos α
(d)
sin(−α) = − sin α
5- Se F: R → R é uma função definida por F (x) = sin x + cos x, o valor de
f (π) + f ( 3π
2 )
é?
f ( π2 )
6- Determine o valor da expressão:
sin 330 + cos2 300
sin 200 + cos 70 + sin2 240
7- Simplifique a expressão:
A=
7.3.4
cos(π + x) + cos(−x) + cos(π − x)
sin(−x) + sen(π − x) + cos(x)
Circulo Trigonométrico
Como estudado nas seções anteriores, eis que se apresenta o circulo trigonométrico, com suas simetrias e equivalências:
53
7.4
Identidades Trigonométricas
Para iniciar o conteúdo, de identidades trigonométricas, vamos primeiramente entender o significado
das novas relações que irão surgir:
(a)
COTANGENTE:
Seja a reta s tangente à circunferência trigonométrica no ponto B=(0,1). Esta reta é perpendicular
ao eixo OY. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta
tangente s no ponto S=(s’,1). A abscissa s’ deste ponto, é definida como a cotangente do arco AM
correspondente ao ângulo a.
Observação 18 Possui os mesmos sinais da tangente no cı́rculo trigonométrico.
54
(b)
SECANTE:
Seja a reta r tangente à circunferência trigonométrica no ponto M=(x’,y’). Esta reta é perpendicular
à reta que contém o segmento OM. A interseção da reta r com o eixo OX determina o ponto V=(v,0).
A abscissa do ponto V, é definida como a secante do arco AM correspondente ao ângulo a.
Observação 19 Possui os mesmos sinais do cosseno no cı́rculo trigonométrico.
(c)
COSSECANTE:
A interseção da reta r com o eixo OY é o ponto U=(0,u). A ordenada do ponto U, é definida como a
cossecante
do
arco
AM
corres
pondente ao ângulo a. Então a cossecante do ângulo a é dada pelas suas várias determinações.
Observação 20 Possui os mesmos sinais do seno no cı́rculo trigonométrico.
7.4.1
Identidades Trigonométricas
Abaixo, tem-se as principais indentidades trigonométricas. Os exercicios seguintes serão baseadas
nas mesmas. Na seguência, pode-se verificar a demostração de algumas identidades.
(1)
sin2 x + cos2 x = 1
55
Demonstração:
Aplicando o teorema de Pitágoras:
a2 = b 2 + c 2 ,
12 = cos2 x + sin2 x,
cos2 x + sin2 x = 1.
(2)
sec =
1
cos x
(3)
csc =
1
sin x
(4)
cot =
1
=
tan x
(5)
sec2 x = 1 + tan2 x
2
cos x
sin x
Demonstração:
Dividindo ambos os membros da relação fundamental trigonométrica (cos 2 x + sin2 x = 1) por
cos2 x, temos:
cos2
1
sin2
+
=
2
cos
cos2
cos2
↓
tan2 x + 1 = sec2 x.
2
Observação 21 Podemos obter a relação trigonométrica (6), adotando o passo a passo acima,
entretanto, ao invés de dividir a relação fudamental trigonométrica por cos 2 x, divide-se por sin2 x.
(6)
csc2 x = 1 + cot2 x
(7)
sin 2x = 2 sin x. cos x
56
Demonstração:
Através da relação (12), que faz a soma do seno de dois arcos diferentes:
sin(a + b) = sin a. cos b + cos a. sin b, podemos fazer a soma de dois arcos iguais, procedendo
da seguinte forma:
sin(a + a) = sin a. cos a ± cos a. sin a
↓
sin 2a = 2 sin a. cos a.
2
O mesmo procedimento pode ser adotado para obter as relações (8) e (9), entratanto, muda-se a
relação inicial para cada função.
Ou seja, para obter a relaçao (8)
do cosseno de dois arcos.
Para obter a relação (9)
tan 2x =
de dois arcos.
cos 2x = cos2 x − sin2 x, utiliza-se a relação (13), que faz a soma
2 tan x
, utiliza-se a relação (14), que faz a soma da tangente
1 − tan2 x
(8)
cos 2x = cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x = 2 cos2 −1
(9)
tan 2x =
(10)
sin2 x =
1
+ (1 − cos 2x)
2
(11)
cos2 x =
1
+ (1 + cos 2x)
2
(12)
sin(a
±
b) = sin a. cos b ∓ cos a. sin b
(13)
cos(a
±
b) = cos a. cos b
(14)
tan(a + b)=
(15)
tan(a − b)=
2 tan x
1 − tan2 x
∓
sin a. sin b
tan a + tan b
1 − tan a. tan b
tan a − tan b
1 + tan a. tan b
Que tal lembrar das LEI DOS SENOS (16) COSSENOS (17) e a LEI DA ÁREA(18) de um
triângulo ?
57
(16)
(17)
(18)
58
FAZENDO VOCÊ APRENDE !
1 - Encontre o valor da expressão:
(a)
y=
cos 1305 − sin 1305
sec 1740 + tan 855
(b)
2- Determine cos α, sabendo que sin α =
y=
tan 315 × csc 1200
sin 1560 − cos 1650
1
e que α corresponde a uma arco do 2 quadrante.
3
3- Simplifique as expressões abaixo sob as condições de existência.
(a)
E=(sec x − cos x)(csc x − sin x)(tan x + cot x)
(b)
E=
2 tan(180 + α) − tan(180 − α)
5 tan(360 − α)
(tan α 6= 0)
4- Para escorar um muro vertical localizado em um terreno plano e horizontal, foi usada uma barra
de ferro de 2,6 m. de comprimento, reta, apoiada em um ponto P do terreno e em um ponto
√ Q do muro.
−2 3
A medida α do ângulo obtuso que a barra forma com o terreno é tal que sec α =
. Calcule a
3
distância entre o ponto Q e o solo.
5- Dê o conjunto solução de acordo com o intervalo dado para as equações abaixo:
√
3 tan x = 0
(a)
tan2 x −
(b)
(tan2 x − 3)(sin x + 1) = 0
[0, π]
[0, 2π]
6- Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 5cm e 10,cm e formam entre si um ângulo
de 120 . Calcule as medidas das diagonais desse polı́gono.
7- Determine o valor de x nas figuras a seguir:
Capı́tulo 8
Respostas dos Exercı́cios
8.1
Respostas dos Exercı́cios do Capı́tulo 1
SEÇÃO 1.1
1. (a) A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13...}
(b) B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12...}
2.
(a) A = {0}
(b) B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
(c) C = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
(c) C = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
(e) E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
3.
(a) A = {n ∈ N ∗ |n 5 5}
(c) C = {n ∈ N |2 ≤ n ≤ 10}
(e) E = {n ∈ N|n ≥ 5}
(d) D = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
(d) D = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
(f) F = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(b) B = {n ∈ N ∗ |n é par e n ≤ 8}
(d) D = {n ∈ N|2 ≤ n ≤ 10}
(f) F = {n ∈ N|n ≥ 1} ou N∗
4.
(a) A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12...}
(c) C= {2,4,6,8}
(b) B = {2, 4, 6, 8}
(d) D = {0, 2, 4, 6, 8, 10}
5.
(a)
(b)
59
60
(c)
(d)
(e)
(f)
SEÇÃO 1.2
1.
(a) R
(b) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16...}
(c) {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42...}
(d) {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60...}
(e) {0, 12, 24, 36, 48, 60...}
(f) {0, 50, 100, 150, 200, 250...}
2. (V)= a, c, d, e
(F)= b
3. {0, 12, 24, 36, 48}
5. {o}
7.
9.
4.
{6}
0,20,40,60..
{26, 39}
6. números pares
8. {0, 6, 12, 18, 24, 30...}
10. {0, 30, 60, 90...}
SEÇÃO 1.3
1. (a) 42
2. 15 : 00
(b) 48
(c) 60
3. 80 dias
(d) 180
(e) 210
4. 72 minutos
5. 1 dia
SEÇÃO 1.4
1.
(a) {1, 2, 3, 4, 6, 12}
(b) {1, 3, 5, 610, 15, 30}
(d) {5, 10, 15}
(e) {1, 2, 3, 6}
2.
3.
1 e ele mesmo.
(c) {4, 12}
6.{2008, 2028, 2048}
61
(a) {1, 2, 5, 10}
(c) {1, 2}
(b) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
(d) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24}
4. duas maneiras
5. 3 maneiras
6. 5 maneiras
7.
4 maneiras
8.
1,18;2,9;3,6.
SEÇÃO 1.5
1. (a) 9
2. 6
(b) 15
5. (a) 39
(b) a = 6,
6. 20
8.2
(c) 2
3. O menor é o m.d.c
7. 60
(d) 1
4.
Sempre 1
b=7
8. Em 5,6,8 peças; Comprimento= 36 m
Respostas dos Exercı́cios do Capı́tulo 2
SEÇÃO 2.1
1. (a)
17
6
8
3
(b)
17
24
(c)
2. (a)
91
72
3. (a)
33
20
(b)
33
20
(c)
91
45
4. (b)
77
10
(c)
73
8
(d)
43
4
5. (a)
1
21
6. (a)
13
72
(b)
(b)
75
20
11
24
(c)
(c)
11
4
(d)
67
84
61
84
(d)
17
21
(d)
(d)
116
75
10
18
(e)
65
42
89
360
(e)
(f)
(f)
157
30
−5
8
55
20
(b)
(c) (1) O agrupamento diferente gera resultados diferentes.
(2) A operação não é associativa
(Operação que independe da ordem).
7. (b)
8.
23
8
59
24
(c)
5
12
9.
(d)
8
15
10.
15
6
(e)
5
12
1
5
11.
(f)
5
4
300.000 L
SEÇÃO 2.2
1.
5
(a)
8
21
(e)
10
(b)
2. (a) 5u
3.
1
4
(f)
(b)
(c)
11
132
4u
(c)
8
5
(g)
(d)
3
45
1
u
4
(d)
35
6
57
(h)
5
1
u
5
(e)
(i)
1
u
8
33
8
(f) 6u
(g)
11
3
12.
14 caixas
62
(a)
5
4
7
5
(b)
4. (a) 16
(c) 5
28
13
(b)
(c)
1
16
6. 4m2
5. duas questões
5
4
(d)
(e)
(f)
15
8
21
16
(g)
(h)
4
3
37
13
(d)
7.
11
9
1920 ladrilhos
8. (a) 64m2
(b) 40m
9. 800 ônibus
10. Adulto : 70 Kg, Criança: 40 Kg
11. (a) 1.080 reais
12.
87 Km
(b)3.000 reais
SEÇÃO 2.3
1. (a) 0, 66...
2. =:
(b) 0, 08
a),(b),(c),(d),(e)
3.
(a) 0, 3
(b) 0, 01
(e) 0, 043
(f) 123, 5
4.
1
(a)
2
(e)
871
100
5.
3
(a)
5
(e)
(c) 0, 05
3
500
(b)
13
10
(f)
485
1000
(b)
9
40
(f)
211
500
6=:
(d) 0, 234
(b) e (f).
(c) 0, 007
(d) 0, 21
(g) 57, 802
8
100
(c)
(d)
5278
1000
(g)
(c)
(h) 6, 104
212
1000
93, 164
10
(h)
23
200
(d)
9
20
17
40
(h)
626
125
(g)
SEÇÃO ??
1. V= a, c, e
F=
b, d, f
2. (a) 500dcm2
(b)
11.400cm2
3. (a)
61, 17
(b)
5.000.047, 51
4. (a)
10min 45seg
5. (a)
13h 16min 52seg
7.
11 : 53
9. (a)
8.
(b)
(c)
0, 055km2
(c)
90, 5
42min 17seg
(b)
5h 8min
(c)
(d)
735mm2
(e)
6, 47m2
(d)
14.735
(e)
58.684
5h. 10min 49seg
(c)
18h 46min
108dl
100min 10seg
(b)
1h 1min 1seg
(c)
2h 30min
(d)
1h 7min 30s
63
8.3
Respostas dos Exercı́cios do Capitulo 3
SEÇÃO 3.1
1)
(a)
610
(b)
71
(c)
710
(d)
109
121
(b)
25
(c)
3−2
(d)
82
(d)
128x7 y 7
(g)
5
( )−6
4
(h)
(0, 03)−3
(i)
(0, 03)−10
(g)
√
(h)
1
(j)
√
4
π
(l)
107
2)
(a)
3)
(a)
38
(d)
67
(b)
415
(e)
100
(c)
74
(f)
74
(c)
x3 y 3
(e)
(
4)
(a)
9a2
(b)
10245
(c)
(
5)
(a)
(b)
(
(
−13 2
)
21
8 −1
)
33
(d)
(
17 −5
)
5
−7 3
)
9
(f)
(
−21 3
)
4
11 6
)
12
6)
(a)
3
(c)
0, 5
(e)
(b)
1
(d)
1
(f)
7) a)2−3
b)
1
2
1
2
( 21 )−2
SEÇÃO 3.1.1
1)
(a)
4
(d)
4
(g)
(b)
1
2
−27
(e)
6561
(h)
(
(c)
256
(f)
900
(i)
2)
1 2
)
1, 2
p
4
(5)3
64
(a)
−1
5
(d)
0, 01
(g)
(b)
3
(e)
10.000
(h)
(c)
2, 5
(f)
100
(i)
−2
3
64
9
1
3
(j)
4
81
(l)
81
4096
3)
(a)
72
1
(c)
35
2
(e)
(−2)−3
(b)
24
3
(d)
4
−1
3
(f)
3
( )−5
2
4)
(a)
√
5
2
(c)
√
4
a3 b
(b)
1
√
8
(d)
√
5
(e)
1
1
√
4
m3
m2 n
5)
(a)
23
5
(c)
34
3
(e)
28
9
(b)
53
2
(d)
27
3
(f)
52
4
(b)
26
5
(c)
12
25
(f)
√
(a)
17
x7
(l)
√
12 2a
√
5 3b2
(b)
3
(g)
a 6 x8
(c)
4b2
(h)
√
333
p
x2 y 3 y 2
√
(m)
a2 a
(d)
4xy 2
(i)
√
292
(n)
x+3
(e)
√
5a2 x
(j)
√
2 13
(o)
x+5
(h)
3
27a × b 2
(i)
1
(j)
√
√
4
x3y
1
SEÇÃO 3.2
1)
(a)
2)
5
3)
(a)
√
2 5
(b)
0
(c)
(d)
√
(e)
√
4b a − 4a a
3
√
3
3
√
30
20
(f)
p
5b 12 (5b)
(g)
4
9
65
4)
√
a b
2b
√
a b
ab
√
5
a 4 b4 c
c
(a)
(b)
(c)
8.4
(d)
√
8−2 5
(e)
√
(f)
2+
2a + 1
√
3
Respostas dos Exercı́cios do Capı́tulo 4
SEÇÃO 4.1
1)
9
8
−17
(b)
8
−57
20
1
(d)
3
(a)
(e) 94, 57
(c)
(f)
(g) −11, 59
−4
7
(h)
−7
2
2)
(a)
17
140
(c)
−125
8
(e)
1
2
(b)
−17
12
(d)
25
9
(f)
3
2
3)
3267
448
−10
(d)
3
(a) 90
(c)
(b) −6
−3
10
−4
(f)
7
(e)
SEÇÃO 4.2
1)
(a) 8
(c)
9
8
(e) x = 4
(b) 8
(d)
−
70
1
(f) x =
−64
3
(g) x =
(h)
58
17
2)
(a) 2x + 3x = 50
(b) x +
x
= 15
3
n
= 40
2
(d) x + (x + 1) = 11
x
(e) 3x − = 25
2
(c) n −
(f) 2n − 4 = 20
(g) 2n = 20
−28
67
66
3) 15
4) 24
5) 30
152, Menores= 76 9) 2 anos
6) 9
7) 54 alunos
8) Homens= 304, Mulheres=
10) Pai= 36; Filho= 6
11) x1 = 12, x2 = 24
12) Car-
ros= 90; Motos= 110
SEÇÃO ??
1)
(a)
x = 1;
y = −4
(b)
x = 2;
(b)
34
y = −6
2)
(a)
64
3) 36 e 58
8) x=39 e y=12
8.5
4) 24 carros e 4 motos
5)
24
32
06)
63 rosas e 21 margaridas
9) 40 galinhas e 60 coelhos
Respostas dos Exercı́cios do Capı́tulo 5
SEÇÃO 5.1
1)
(a)
x ∈ R/x ∗ 1 = x
(c)
(x, y) ∈ R/x ∗ y = y ∗ x
(b)
x ∈ R/x + x = 2x
(d)
x ∈ R/x + (−x) = 0
x + 16
(b)
75
f (x) = 4 + 1, 4x
(b)
18 reais
x ∗ x = x2
(b)
(x, y) ∈ R/x + y = y + x
930
(b)
n + n2
2)
(a)
3)
(a)
4)
(a)
2
5)
(a)
6)
7) 20 atores e 40 cantores
67
(a)
x5 y 5
(c)
x 2 x2 y 2
(b)
x.x.x
(d)
y.y.y
(c)
− 21
7)
(a)
7
(b)
−1
(d)
3, 1
SEÇÃO 5.1.1
1)
(a)
17x2
(d)
3 3
2x
(g)
−x2 y 2
(b)
0
(e)
x2 (3y + 1)
(h)
39 2
20 y
(c)
−4xy 5 z
(f)
4x2 + 31y
(i)
(a)
2y 5
(g)
16a4 b6
(n)
3 3 4
2a b
(b)
40y 3
(h)
x8 y 16 z 24
(o)
(c)
x3 y
(i)
xy
−9x12 y 4
(p)
1 8 12
6x y
(q)
x6
(r)
−y
−14x3 y
2)
3
(d)
−36x yz
(e)
−40x5 y 6
(f)
6 5 5
35 x y
4
3
(j)
−7ax
(l)
1 4 5
5a y
(m)
5a3 y 4
3)
(a)
3xy
(b)
2xy
(c)
x2
(d) AT = x2 + 3xy + 2xy
−5x5 y
(b)
−4y
(c)
−12x3 y 8
(d)
4xy
5044
(b)
−4160
(c)
52
(d)
−9
4)
(a)
5)
(a)
6)
(a)
10x
SEÇÃO 5.2
(b)
5 e 20
(c)
8, 2cm
68
(1)
R: a, b, c, e, g, h, i, k, l
(2)
a = −1; b = 6 e c = 1
SEÇÃO 5.2.1
(f + g)(x) = 5x3 + 5x2 − x + 12;
(1)
(g − h)(x) = x4 + 5x3 + x2 + 4x + 3;
(h − f )(x) = x4 − 4x2 + x − 5.
31
4
; b = ; c = −3
6
3
(2)
a=
(3)
a = b = c = 0 ou a = b = 1, c = 2.
SEÇÃO 5.2.2
(1)
(a) 8x4 + 2x3 + 4x + 6
(f) 28x2 + 26x + 2
(b) −2x4 + 2x3 − 2x − 8
(g) 81x2 − 36x + 4
3
2
(c) 6x + 6x + 2x − 1
(d) 6x3 − 2x2 − 8x − 1
(h) 12x3 − 8x2 − 21x + 3
(e) 24x2 + 8x2 − 12x
(i) 54x4 + 6x3 − 27x2 − x − 1
(a) 15x2 − 9x + 6
(b) 20x3 − 42x2 + 26x − 12
(2)
(3)
Q(x) = x + 7 e R(x) = 6
(4)
D(x) = 2x2 − 3
(5)
D
(6)
a=b=1
(7)
P (x) = 4x3 − x2
SEÇÃO 5.3
(1)
Raizes : 2, 5, 4, com multiplicidade três, um e dois respectivamente.
(2)
a=b=
(3)
a)
b)
3
2
7
−5
+
;
x+2 x+3
−8
13
+
x−1 x−2
69
(4)
3
(a) (x − 1)(x + )
4
(5)
8.6
(b) (x − 2)(x + 6)x
1
(x − 1)(x − 2)(x − 5)(x − )
3
Respostas dos Exercı́cios do Capı́tulo 6
Exemplo 35:
1
2
−3
2
10
(7)
3
(8)
2
(6)
+−4
(9)
−2 e 1
(2)
x>1
(3)
x<4
(4)
x < −3
(6)
−5
2
(7)
−3
(8)
1
2
(2)
a = 6561
(1)
4
(4)
(2)
4
(5)
(3)
−5
3
(10)
Exemplo 37:
(1)
x>7
Exemplo 38
(5)
1
4
Exemplo 40
(1)
a=8
Exemplo 41
(1)
(2)
log bc − 2 log d
1
log a − log bc
2
(3)
5, 50
(5)
m+3
(4)
2
(2)
−3
2
(3)
lg 2
Exemplo 42
(1)
1 − 2a
a+b
Exemplo 43
(1)
∼
= 1, 58
(3)
∼
= 0, 13
(5)
0
(2)
∼
= 1, 84
(4)
−0, 18
(6)
4
Exemplo 44
70
(1)
8.7
∅
(2)
17
3
(3)
−5 e 2
(1)
h = 24, 2m
(2)
h = 0, 54 Km; d = 2 km
(3)
z = 40 cm
SEÇÃO 7.2
(2)
(3)
(4)
√
√
16 3
8 3
a=
;b=
;c=8
3
3
√ √
√ √
a = 16; b = 4 2( 3 − 1); c = 4 2( 3 + 1)
25, 49m
√
30 3
√
m
3−1
(5)
h = d(tg β − tg α)
(6)
117m
SEÇÃO 7.3
1)
(a)
290
(b)
53
(c)
50
(d)
110
2)
3)
2
Respostas dos Exercı́cios do Capı́tulo 7
Exemplo 45
(1)
(4)
Negativo: A,C, E
Positivo: B, D, F.
360K + 290, com 0 ≤ k ≤ 21
360K + 53, com 0 ≤ k ≤ 5
360K + 50, com k = 0
360K + 110, com com 0 ≤ k ≤ 3
4) VERDADEIRAS: A e D.
FALSAS: B e C.
(5)
1
9
71
5) −2
6)
−1
3
7) −1
SEÇÃO 7.4
(1)
(a)
(b)
(2)
0
−
3
2
−
√ 3
2 2
(3)
(a)
(b)
(4)
1
−
5
3
1, 3 m.
(5)
(a)
S={0, 60, 180}
(b)
S={60, 120, 240, 270, 300}
(6)
√
√
5 7e5 3
(7)
Fig.1: x = 7
8.8
Fig.2: x = 5
Respostas dos Exercı́cios do Capı́tulo 8
SEÇÃO ??
1. (a) −1 + i
(b) −3 +
2. (a) (0, 5)
(c) −2i
(d) −1 − i
3−i
10
(b)
4. z1 = 1 − 5i ;
z2 = 2 − 14i
5. (a) x = 0
e
6. (a) −5 + 6i
−35 − 5i
6
8. (a) i
(g) −5 + 43i
5
(b) (0, −10)
3. (a) −2i − 3,
7. (a)
√
x=1
(b)
(b) x = + − 1
7
i
3
(c)
(b) −2 + 2i
(b) −1
(c) −i
(h) −5 + 10i
(c) x = − + 2
(d) x = 0
2 − 4i
(c) 25
(d) −i
9. Tem-se delta negativo. Resolver Baskhara.
(e) −1
(f) 1 − i
72
SEÇÃO ??
1.
(z1 )
−3 + 3i
(z2 )
1 + 4i
(z3 )
2i
(z4 )
−4i
73
(z5 )
2 − 3i
(z6 )
3
(z7 )
−4
2.
3 − 3i;
3.
(a)
b = −2
−1 − 4i; −2i.
74
(b)
−a = −1 e b > 0
(c)
a=0eb>0
(d)
a ≤ 3 e b ≥ −3
(e)
a>0
75
(f)
a>2eb≥3
SEÇÃO ??
1. (a) 1 − 5i
√
(f)
2 − 2i
2. (a) 25
3.
(b) −2i
(b)
−49
−1 − 2i
4. (a)
8−i
5
5. (a)
−4 − 12i
5
(c) 0
(b)
(e)
(c) 2
3 − 2i
13
(b)
(d) −4 − 2i
(c) 1 − i
(d)
−i
50 − 75i
13
6. 2 ± 3i
SEÇÃO ??
1. (a)
√
2
√
2. (a) 4 5
(b)
√
13
(b) 12 + 5i
3. x2 + 10x + 29 = 0
(c)
√
5
(c) i + 2
(d) 5
(d) −3 + 2i
−1 + i
Referências
BONGIOVANI, Vicenzo; LEITE, Olı́mpico Vissoto; LAUREANO, José Luiz Tavares. Matemática e
Vida. Vol. 1,2,3,4, 1o grau. São Paulo: Ática, 1990.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Vol. 1. São Paulo: Ática, 2009.
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau; IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Coleção Fundamentos
de Matemática Elementar. Vol. 1 a 10. São Paulo: Atual, 2004.
JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Matemática na medida certa. Vol. 1,2,3,4, 1 o grau. São
Paulo: Scipione, 1994.
NETO, Scipione Di Pierrô. Matemática. Vol. 1,2,3,4, 1o grau. São Pauo: Scipione, 1995.