Ministério da Educação - MEC
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica (SETEC)
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará
Técnico em Fabricação Mecânica
Disciplina de Resistência dos Materiais
LORENA BRAGA MOURA
CRÉDITOS
Presidente
Dilma Vana Rousseff
Coordenador Adjunto - Campus
Fortaleza
Fabio Alencar Mendonça
Ministro da Educação
Aloizio Mercadante Oliva
Secretaria de Educação Profissional e
Tecnológica
Marco Antonio de Oliveira
Reitor do IFCE
Cláudio Ricardo Gomes de Lima
Pró-Reitor de Extensão
Gutenberg Albuquerque Filho
Pró-Reitor de Ensino
Gilmar Lopes Ribeiro
Pró-Reitor de Administração
Virgilio Augusto Sales Araripe
Diretor Geral Campus Fortaleza
Antonio Moises Filho de Oliveira Mota
Diretor de Ensino Campus Fortaleza
José Eduardo Souza Bastos
Coordenador Geral - Reitoria
Jose Wally Mendonça Menezes
Coordenador Adjunto - Reitoria
Armênia Chaves Fernandes Vieira
Supervisão - Reitoria
Daniel Ferreira de Castro
André Monteiro de Castro
Elaboração do conteúdo
Lorena Braga Moura
Equipe Técnica
Manuela Pinheiro dos Santos
Kaio Lucas Ribeiro de Queiroz
Vanessa Barbosa da Silva Dias
Edmilson Moreira Lima Filho
Vitor de Carvalho Melo Lopes
Rogers Guedes Feitosa Teixeira
O QUE É O PRONATEC?
Criado no dia 26 de Outubro de 2011 com a sanção da Lei nº 12.513/2011 pela
Presidenta Dilma Rousseff, o Programa Nacional de Acesso ao Ensino Técnico e Emprego
(Pronatec) tem como objetivo principal expandir, interiorizar e democratizar a oferta de
cursos de Educação Profissional e Tecnológica (EPT) para a população brasileira. Para tanto,
prevê uma série de subprogramas, projetos e ações de assistência técnica e financeira que
juntos oferecerão oito milhões de vagas a brasileiros de diferentes perfis nos próximos
quatro anos. Os destaques do Pronatec são:
• Criação da Bolsa-Formação;
• Criação do FIES Técnico;
• Consolidação da Rede e-Tec Brasil;
• Fomento às redes estaduais de EPT por intermédio do Brasil Profissionalizado;
• Expansão da Rede Federal de Educação Profissional Tecnológica (EPT).
A principal novidade do Pronatec é a criação da Bolsa-Formação, que permitirá a
oferta de vagas em cursos técnicos e de Formação Inicial e Continuada (FIC), também
conhecidos como cursos de qualificação. Oferecidos gratuitamente a trabalhadores,
estudantes e pessoas em vulnerabilidade social, esses cursos presenciais serão realizados
pela Rede Federal de Educação Profissional, Científica e Tecnológica, por escolas estaduais
de EPT e por unidades de serviços nacionais de aprendizagem como o SENAC e o SENAI.
Objetivos
• Expandir, interiorizar e democratizar a oferta de cursos de Educação
Profissional Técnica de nível médio e de cursos e programas de formação inicial e
continuada de trabalhadores;
• Fomentar e apoiar a expansão da rede física de atendimento da Educação
Profissional e Tecnológica;
• Contribuir para a melhoria da qualidade do Ensino Médio Público, por meio da
Educação Profissional;
• Ampliar as oportunidades educacionais dos trabalhadores por meio do
incremento da formação profissional.
Ações
• Ampliação de vagas e expansão da Rede Federal de Educação Profissional e
Tecnológica;
• Fomento à ampliação de vagas e à expansão das redes estaduais de Educação
Profissional;
• Incentivo à ampliação de vagas e à expansão da rede física de atendimento dos
Serviços Nacionais de Aprendizagem;
• Oferta de Bolsa-Formação, nas modalidades:
• Bolsa-Formação Estudante;
• Bolsa-Formação Trabalhador.
• Atendimento a beneficiários do Seguro-Desemprego;
2
SUMÀRIO
Apresentação da disciplina .................................................................................................................. 5
Aula 1 – Revisão dos Fundamentos de trigonometria ........................................................................ 6
Tópico 1 – Revisão de Trigonometria ............................................................................................. 7
Aula 2 – Introdução à Mecânica......................................................................................................... 14
Tópico 1 – Conceitos Básicos de Mecânica .................................................................................. 15
Tópico 2 – Fundamentos de Estática ........................................................................................... 19
Aula 3 – Fundamentos de Resistência dos Materiais ....................................................................... 31
Tópico 1 – Principais conceitos da Resistência dos Materiais ..................................................... 32
Aula 4 – Tensão e Deformação .......................................................................................................... 37
Tópico 1 – Tensão e Deformação ................................................................................................. 38
Aula 5 – Propriedades Mecânicas: Fundamentos ............................................................................ 46
Tópico 1 – Propriedades mecânicas e Diagrama tensão-deformação ......................................... 47
Aula 6 – Carga Axial ........................................................................................................................... 55
Tópico 1 – Membros carregados axialmente ............................................................................... 56
Aula 7 – Vasos de pressão de paredes finas ..................................................................................... 63
Tópico 1 – Vasos Cilíndricos e esféricos ....................................................................................... 64
Referências Bibliográficas .................................................................................................................. 67
3
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
O objetivo principal de uma disciplina de resistência dos materiais é o
desenvolvimento das relações entre as cargas aplicadas a um corpo deformável (nãorígido) e as forças internas e deformações nele originadas.
O desenvolvimento de qualquer projeto de máquina ou estrutura na engenharia baseiase nos fundamentos de resistência dos materiais. Sendo necessário primeiro usar os
princípios básicos da estática para determinar as forças que atuam tanto sobre como no
interior dos corpos. A dimensão dos elementos, sua deformação e sua estabilidade
dependem também do tipo de material do qual são feitos. Dessa forma, a compreensão do
comportamento do material quando submetido às solicitações externas é de vital
importância para o desenvolvimento das equações de resistência dos materiais e
consequentemente para a realização de projetos mecânicos.
Esta apostila aborda os conceitos básicos de resistência dos materiais, com o propósito
de tornar o assunto mais acessível aos alunos que estão sendo iniciados em seus estudos
de mecânica dos corpos deformáveis. Revisaremos os conceitos fundamentais da
trigonometria, alguns princípios importantes da estática e mostraremos como eles são
utilizados para determinar os esforços internos resultantes em um corpo. Serão
introduzidos ainda os conceitos de tensão normal, tensão de cisalhamento, tensão
admissível, fator de segurança, deformação, além de uma revisão das propriedades
mecânicas dos materiais.
O estudo da mecânica dos materiais é muito mais amplo e complexo do que o
apresentado neste material, deixando clara a necessidade de mais pesquisas e estudos
para a total compreensão e domínio do assunto. Para isso é sugerida uma bibliografia
básica para que o aluno aprofunde seu conhecimento de resistência dos materiais.
4
AULA 1 – Revisão dos Fundamentos de trigonometria
Nessa primeira aula serão apresentadas algumas definições importantes para
orientar o estudo em questão, abordando uma rápida revisão das relações e
fundamentos básicos de trigonometria para o entendimento geral de conceitos
posteriores relacionados à estática e à resistência dos materiais.
Ao final dessa aula você deverá ser capaz de calcular as relações métricas do
triângulo retângulo, as dimensões de um triângulo retângulo através do teorema de
Pitágoras e os ângulos através das funções trigonométricas especiais.
Objetivos
•
•
•
Revisão das relações métricas de um triângulo retângulo
Revisão do teorema de Pitágoras
Revisão das funções trigonométricas
5
TÓPICO 1 – Revisão de Trigonometria
Objetivos do tópico:
•
•
•
Definir as relações métricas do triângulo retângulo e o teorema de pitágoras
Apresentar as funções trigonométricas especiais e
Apresentar a relação fundamental da trigonometria
1.1 Triângulo Retângulo
Triângulos retângulos são figuras geométricas planas com três lados e três ângulos que
possuem um ângulo reto, ou seja, medindo 90°.
a) Elementos
Considerando-se um triângulo ABC, retângulo em A, podem-se caracterizar os seguintes
elementos:
Lado AB = c: cateto
Lado AC = b: cateto
Lado BC = a: hipotenusa
Lado AD = h: altura relativa à hipotenusa
Lado BD = m: projeção de c sobre a
Lado DC = n: projeção de b sobre a
b
c
h
m
n
D
Figura 1.1
b) Relações métricas
Conduz-se a altura AD relativa à hipotenusa do triângulo ABC, obtem-se dois triângulos
retângulos ABD e ACD semelhantes ao triângulo ABC. Devido à congruência dos ângulos
indicados:
B ≡ 1 (complementos de C)
C ≡ 2 (complementos de B)
Figura 1.2
Com base na semelhança dos triângulos ΔABC, ΔABD e ΔACD, determinam-se as
seguintes relações:
6
Figura 1.3.
(1) b² = a . n
(2) c² = a . m
(3) h² = m . n
(4) b . c = a . h
(5) b . h = c . n
(6) c . h = b . m
1.2. Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras pode ser provado considerando-se as relações (1) e (2)
definidas anteriormente, e somando-se membro a membro, como segue:
(1) b² = a . n
(2) c² = a . m
b² + c² = am + an
b² + c² = a(m + n)
b² + c² = a²
Demonstrou-se que: O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos
a² = b² + c²
1.3. Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo agudo (30°, 45° e 90°)
Sendo θ a medida de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo ΔABC
mostrado, tem-se:
C
b
a
θ
A
c
Figura 1.4.
B
Seno de θ =
Cosseno de θ =
7
tangente de θ =
a) Razões trigonométricas especiais
Tabela 1.1. razões trigonométricas especiais
b) Relação fundamental da trigonometria
Relacionando o teorema de Pitágoras com as funções trigonométricas do seno e do
cosseno, obtemos a seguinte relação:
→ b = a senθ
a² = b² + c² → a² = (a senθ)² + (a cosθ)²
→ c = a cosθ
a² = a² sen²θ + a² cos²θ → a² = a² (sen²θ + cos²θ)
sen²θ + cos²θ = 1
1.4. Alfabeto grego
Nas formulações matemáticas de resistência dos materiais usualmente utilizam-se
letras do alfabeto grego, portanto, é necessário conhece-las.
8
Tabela 1.2. Alfabeto grego
1.5. Exercícios
01. Determine o valor de x nos casos:
a)
b)
c)
9
02. Determine x nos casos abaixo:
a)
b)
c)
03. Utilizando as relações métricas determine o valor de x:
a)
b)
c)
04. Determine x e y nos triângulos abaixo:
a)
b)
05. Determine o valor de x nas figuras planas mostradas:
a) quadrado
b) trapézio isóceles
c) losango
e) paralelogramo
10
06. Determine a altura de um triângulo eqüilátero de perímetro igual a 24m.
07. A altura relativa à base de um triângulo isósceles excede a base em 2m. Determine a
base, se o perímetro é de 36m.
08. Determine o senα nos casos seguintes:
a)
b)
c)
09. Determine o cosα nos casos:
a)
b)
c)
10. Determine a tgα nos casos:
a)
b)
c)
11
11. Determine o valor de x :
a)
b)
c)
d)
12. Determinar x e y nas figuras abaixo:
a) Retângulo
b) Paralelogramo
c) trapézio retângulo
13. Determine a diagonal de um retângulo de perímetro 20m e base 6m.
14. O perímetro de um triângulo isósceles é de 18m e a altura relativa à base mede 3m.
Determine a base.
15. Determine a menor altura de um triângulo cujos lados medem 4m, 5m e 6m.
12
AULA 2 – Introdução à Mecânica
O físco e matemático inglês, Isaac Newton, em 1686, foi o primeiro a apresentar
uma teoria que explicava satisfatoriamente os movimentos, em um trabalho sobre os
princípios da mecânica. O sucesso da Mecânica Newtoniana foi imediato e duradouro,
ela reinou por mais de 200 anos. Houve, na verdade, a necessidade de alguns
aperfeiçoamentos feitos mais tarde por outros físicos, mas a base da mecânica de
Newton permaneceu inalterada até o começo do século XX, com o surgimento da
Mecânica Relativística e da Mecânica Quântica para explicar certos fatos que a
mecânica Newtoniana não consegue. A mecânica relativística é necessária quando os
corpos se movem com velocidades muito altas (v > 3000Km/s), enquanto que a
mecânica quântica é necessária para o estudo dos fenômenos atômicos e nucleares.
Nessa aula abordaremos a definição de alguns conceitos básicos da mecânica
necessários para o entendimento dos princípios da resistência dos materiais. Além da
classificação da mecânica clássica e das unidades de medida utilizadas pelo sistema
internacional de Unidades (SI). Serão abordados também os fundamentos de estática,
com o estudo das forças, momentos, equações de equilíbrio, apoios e suas reações.
Objetivos
•
•
•
•
•
•
Definir conceitos fundamentais de Mecânica
Apresentar a classificação da mecânica
Apresentar o Sistema Internacional de Unidades
Determinar os princípios da estática.
Estudar as forças e momentos
Estudar as equações de equilíbrio , os apoios e suas reações.
13
TÓPICO 1 – Conceitos Básicos de Mecânica
Objetivos do tópico:
•
•
Apresentar a definição e a divisão da mecânica clássica
Apresentar o sistema internacional de unidades
2.1. Introdução
A Mecânica é uma ciência física aplicada que trata dos estudos das forças e dos
movimentos. Descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de corpos sob
a ação de forças.
A finalidade da Mecânica é explicar e prever fenômenos físicos, fornecendo, assim,
os fundamentos para as aplicações da Engenharia e para fenômenos encontrados no
dia a dia.
A Mecânica é subdividida em três grandes ramos: Mecânica dos Corpos Rígidos,
Mecânica dos Corpos Deformável e Mecânica dos Fluídos, como indicado na figura 2.1
abaixo:
Estática
Mecânica dos
Corpos Rígidos
Dinâmica
Cinemática
Mecânica
Mecânica dos
Corpos
Deformáveis
Mecânica dos
Fluidos
Resistência dos
Materiais
Fluidos
incompressíveis
(fluidos)
Fluidos
compressíveis
(gases)
Figura 2.1 Divisões da mecânica clássica.
Mecânica dos corpos rígidos: é subdividida em: Estática, Cinemática e Dinâmica.
A Estática se refere aos corpos em repouso e estuda as forças em equilíbrio,
independentemente do movimento por elas produzido. Na Estática, os corpos
analisados são considerados rígidos, conseqüentemente, os resultados obtidos
independem das propriedades do material.
A Cinemática estuda os movimentos em si e as leis que os regem:
- movimento uniforme – móvel percorrendo espaços iguais em tempos iguais para
quaisquer trechos de trajetória;
14
- movimento uniformemente variado – a velocidade do móvel varia de valores iguais
em tempos iguais. Se houver crescimento da velocidade, o movimento será
uniformemente acelerado; se houver decréscimo, o movimento será uniformemente
retardado;
- movimentos de rotação.
A Dinâmica estuda a relação entre o movimento e a causa que o produz (força).
Mecânica dos corpos deformáveis: as estruturas e as máquinas nunca são
absolutamente rígidas, deformando-se sob a ação das cargas a que estão submetidas.
Estas deformações são geralmente pequenas e não alteram apreciavelmente as
condições de equilíbrio ou de movimento da estrutura considerada.
No entanto, essas deformações terão importância quando houver riscos de ruptura
do material. A Mecânica dos corpos deformáveis é estudada pela Resistência dos
Materiais, também conhecida como Mecânica dos Materiais ou Mecânica dos Sólidos.
O estudo dos corpos deformáveis resume-se na determinação da resistência
mecânica, da rigidez e da estabilidade de elementos estruturais.
Mecânica dos fluídos: A Mecânica dos Fluídos é subdividida no estudo dos fluidos
incompressíveis (líquidos) e fluidos compressíveis (gases). Uma importante subdivisão
do estudo de fluidos incompressíveis é a hidráulica.
2.2. Conceitos fundamentais
Os conceitos fundamentais da mecânica clássica baseiam-se na mecânica
newtoniana, ou seja, nas leis de Newton. Isaac Newton (1642-1727) foi um físico e
matemático inglês quem primeiro apresentou uma teoria que realmente explicava as
causas do movimento.
Algumas definições tornam-se necessária para o melhor entendimento da
mecânica:

Ponto Material – é um corpo cujas dimensões podem ser desprezadas. É
considerado um ponto geométrico em que se concentra toda a massa do corpo;

Corpo Extenso – quando as dimensões do corpo influenciarem no estudo;

Referencial – é um corpo em relação ao qual se analisa o estado de
movimento de um móvel;

Espaço – o conceito de espaço é associado à noção de posição de um ponto
material, o qual pode ser definido por três comprimentos, medidos a partir de um certo
ponto de referência, ou de origem, segundo três direções dadas. Estes comprimentos
são conhecidos como as coordenadas do ponto;

Tempo – para se definir um evento não é suficiente definir sua posição no
espaço. O tempo ou instante em que o evento ocorre também deve ser dado;

Massa – é uma medida da quantidade de matéria contida no corpo;

Força – a força representa a ação de um corpo sobre outro; é a causa que
tende a produzir movimento ou a modificá-lo. A força é caracterizada pelo seu ponto
de aplicação, sua intensidade, direção e sentido; uma força é representada por um
vetor;
15
As três Leis ou princípios da mecânica são: o princípio da inércia (primeira lei de
Newton), o princípio fundamental da dinâmica (segunda lei de Newton) e o princípio da
ação e reação (terceira lei de Newton). Estabelecem que:

Primeira lei de Newton – qualquer corpo em repouso ou em movimento
retilíneo e uniforme tende a permanecer nesses estados, a menos que seja obrigado a
alterá-los por aplicação de forças externas;

Segunda lei de Newton – A força resultante externa, agindo sobre um corpo,
produz uma aceleração, na mesma direção e no mesmo sentido da força, inversamente
proporcional à massa do corpo. F = m.a

Terceira lei de Newton – quando um corpo exerce uma força sobre um
segundo corpo, o segundo corpo reage sobre o primeiro com uma força de mesma
direção, de mesma intensidade e de sentido contrário.
2.3. Sistema Internacional de Unidades
O sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades básicas ou
fundamentais e unidades derivadas.
As grandezas fundamentais adotadas na mecânica são: comprimento, massa e
tempo. As grandezas derivadas podem ser relacionadas com as unidades básicas, que
são entre outras, força, pressão, trabalho, etc.
As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isto significa que as
três unidades básicas escolhidas são independentes dos locais onde são feitas as
medições.
Tabela 2.1. Unidades Básicas
Unidade
Sím
fundamental
bolo
Comprimento
Metro
M
Massa
Quilograma
Kg
Tempo
Segundo
s
Algumas unidades derivadas são importantes para o presente estudo:
Área
Força
Momento
Tensão
Tabela 2.2. Unidades derivadas
Unidade derivada
Metro quadrado
Newton
Newton vezes metro
Pascal
Símbolo
m²
N
N.m
Pa
A força é medida em Newton (N) que é definido como a força que imprime a
aceleração de 1 m/s2 à massa de 1 kg. A partir da Equação F = m.a (segunda Lei de
Newton), escreve-se: 1 N = 1 kg × 1 m/s2.
As medidas estáticas de forças são efetuadas por meio de instrumentos chamados
dinamômetros.
16
O peso de um corpo também é uma força e é expresso em Newton (N). Da equação
P = m.g (terceira Lei de Newton) segue-se que o peso de um corpo de massa 1 kg é = (1
kg)×(9,81 m/s2) = 9,81 N, onde g=9,81m/s2 é a aceleração da gravidade.
A tensão ou pressão é medida no SI em Pascal (Pa) que é definido como a pressão
exercida por uma força de 1 Newton uniformemente distribuída sobre uma superfície
plana de 1 metro quadrado de área, perpendicular à direção da força Pa = N /m² .
Pascal é também unidade de tensões normais (compressão ou tração) ou tensões
tangenciais (cisalhamento).
Múltiplos e submúltiplos das unidades fundamentais e derivadas são utilizados na
forma de potências inteiras de dez. esses múltiplos e submúltiplos são designados por
prefixos. Observe a tabela:
Pre
fixo
ExaPetaTeraGigaMegaQuiloHectoDecaDeciCentiMiliMicroNanoPicoFemtoAtto-
Tabela 2.3. Múltiplos e submúltiplos
Sím
Fator pelo qual a unidade é
bolo
multiplicada
E
1018 = 1 000 000 000 000 000 000
P
1015 = 1 000 000 000 000 000
T
1012 = 1 000 000 000 000
G
109 = 1 000 000 000
M
106 = 1 000 000
K
103 = 1 000
h
102 = 100
da
101 = 10
d
10-1 = 0,1
c
10-2 = 0,01
m
10-3 = 0,001
μ
10-6 = 0,000 001
n
10-9 = 0,000 000 001
p
10-12 = 0,000 000 000 001
f
10-15 = 0,000 000 000 000 001
a
10-18 = 0,000 000 000 000 000 001
17
TÓPICO 2 – Fundamentos de Estática
Objetivos do tópico:
•
•
•
Forças no plano , força resultante e momento de uma força
Equilíbrio de um ponto material e de um corpo extenso rígido
Apoios, reações e tipos de estruturas
A estática é um assunto de grande utilidade na engenharia e mesmo no seu dia a
dia, como por exemplo, ao abrir uma porta, ao usar um alicate ou ao trocar um pneu de
carro, você mesmo sem saber está utilizando os conceitos e aplicações da estática.
3.1. Forças no plano
A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada pelo seu
ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido.
A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de
Unidades (SI).
A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo
da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo,
como indicado na figura 3.1.
Figura 3.1. Definição de força
O sentido da força é indicado por uma seta (vetor).
Denomina-se Grupo de forças, o conjunto de forças aplicadas em um único ponto
de um corpo (figura 3.2).
P
Figura 3.2. Grupo de forças
Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em pontos
diversos de um mesmo corpo (figura 3.3).
F4
F5
F2
α
β
F1
θ
F3
Figura 3.3 sistema de forças
18
3.2. Força Resultante
A força resultante (R) de um grupo de forças é a força que determina o mesmo
efeito que o grupo de forças (figura 3.4 e 3.5).
Formas de determinar a resultante das forças:

Regra do paralelogramo: vale para duas forças de cada vez.
P
P
=
+
=
+
=
+
Figura 3.4. Regra do paralelogramo
+

Método das Projeções: escolhem-se dois eixos ortogonais x e y no plano das
forças aplicadas ao ponto P e que formam com as direções das forças ângulos
conhecidos.
Cada uma das forças é projetada sobre os eixos x e y, encontrando-se as respectivas
projeções ortogonais:
Figura 3.5. Método das projeções
Aplicando as relações trigonométricas para os ângulos α , β e θ, temos:
F1x = - F1senβ
F1y = F1cosβ
F2x = F2cosα
F2y = F2senα
F3x = F3senθ
F3y = - F3cosθ
19
Efetua-se então a soma algébrica das projeções para cada eixo, obtendo-se as
resultantes (Rx e Ry) em cada um desses eixos x e y, respectivamente:
y
Rx = F1x + F2x + F3x = - F1senβ + F2cosα + F3senθ
Ry = F1y + F2y + F3y = F1cosβ + F2senα - F3cosθ
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo
com hipotenusa R, catetos Rx e Ry, temos:
Ry
R
x
R² = R²x + R²y
Rx
Figura 3.6. Representação da resultante
3.3. Equilíbrio de um ponto material
Considere um ponto material P sujeito a um sistema de forças F1, F2, F3, ..., Fn
Figura 3.7. ponto material sujeito a n forças
O ponto material P está em equilíbrio quando é nula a resultante das forças que
atuam sobre ele, isto é:
ΣF=0
ou
R = F1 + F2 + F3 + ...+ Fn = 0
Utilizando o método das projeções ainda pode-se dizer que é nula a soma algébrica
das forças atuando nos dois eixos ortogonais x e y:
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
ou
ou
Rx = F1x + F2x + F3x + ...+ Fnx = 0
Ry = F1y + F2y + F3y + ...+ Fny = 0
A condição de equilíbrio de um ponto material é uma garantia de que o ponto
material não sofrerá translação.
3.4. Momento de uma força
Quando um corpo rígido (extenso) está sujeito a um sistema de forças, ele pode
adquirir movimento de translação ou de rotação.
Para um corpo rígido de peso desprezível, sujeito às forças F1 e F2 de mesma
direção, mesma intensidade, mas sentidos diferentes, como na figura 3.8.
F1
F2
Figura 3.8. Momento de uma força
20
É claro que a resultante das forças é nula, isto é, R = F 1 + F2 = 0 , garantindo que o
corpo não sofre translação. Contudo, o corpo na situação acima pode sofrer rotação em
torno de um eixo perpendicular ao plano da figura (saindo do papel).
Por esse motivo as condições de equilíbrio de um corpo extenso rígido devem levar
em conta também a rotação.
Defini-se, portanto, uma grandeza vetorial denominada momento de uma força em
relação a um ponto, como uma medida da tendência da força provocar uma rotação
em torno daquele ponto.
A intensidade do momento de uma força F, aplicada em um ponto P, em relação a
um ponto O, é calculada por:
Figura 3.9. Equação do momento
Onde:
F – intensidade da força, em Newton (N)
d – distância do ponto O até a linha de ação da força, em metro (m)
Mo – intensidade do momento da força, em Newton . metro (N.m)
O – é o pólo ou centro do momento.
O momento Mo é sempre perpendicular ao plano que contém o ponto O. O sentido
de Mo é definido pelo sentido de rotação imposto pelo vetor F.
Convenciona-se momento positivo se a força F tender a girar o corpo no sentido
anti-horário e negativo, se tender a girar o corpo no sentido horário.
Figura 3.10. Convenção de sinais para momento
No SI, onde a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros (m).
Portanto, o momento é expresso em newtons × metros (N × m).
Momento de um binário
Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e
sentidos opostos formam um binário. A soma das componentes das duas forças em
qualquer direção é zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação
a um dado ponto não é zero. Apesar de as duas forças não transladarem o corpo no
qual atuam, tendem a fazê-lo girar.
21
Figura 3.11. Momento de um binário
3.5. Equilíbrio de Corpos Rígidos
Para garantir o equilíbrio de um corpo extenso rígido devemos impor duas
condições: uma para evitar a translação do corpo e outra para evitar sua rotação.
Então as condições para que um corpo extenso sujeito a um sistema de forças
esteja em equilíbrio, são:
1ª) A resultante do sistema de forças deve ser nula, ou seja, que o somatório das
forças na direção x e na direção y seja igual a zero.
R = F1 + F2 + F3 + ...+ Fn = 0 ( Σ F = 0 )
Equilíbrio da translação
ou
Rx = F1x + F2x + F3x + ...+ Fnx = 0 ( Σ Fx = 0 )
Ry = F1y + F2y + F3y + ...+ Fny = 0 ( Σ Fy = 0 )
2ª) A soma algébrica dos momentos das forças do sistema deve ser nula em relação
a qualquer ponto:
M1 + M2 + M3 + ...+ Mn = 0 ( Σ M = 0 ) Equilíbrio da rotação
3.6. Apoios e suas reações
Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não basta conhecer somente as
forças externas que agem sobre ele, mas também é necessário conhecer como este
corpo rígido está apoiado.
Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das estruturas e
recebem a seguinte classificação:
a)
Apoio móvel:
Figura 3.12.

Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao plano do apoio;

Permite movimento na direção paralela ao plano do apoio;
Permite rotação.
22
b) Apoio Fixo:
Figura 3.13.



Impede movimento na direção normal ao plano do apoio;
Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio;
Permite rotação.
c)
Engastamento:
Figura 3.14.



Impede movimento na direção normal ao plano do apoio;
Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio;
Impede rotação.
Outros exemplos de apoios e suas reações podem ser observados na tabela 3.1.
abaixo:
Tabela 3.1.: Tipos de acoplamentos (apoios) e suas reações
23
3.7. Tipos de Estruturas
As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio ou
vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada.
Para as estruturas planas, a Estática fornece três equações fundamentais:
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
e
Σ Mo = 0
As estruturas são classificadas como: Hipostática, Isostática e Hiperestática. A
definição de cada uma delas é dada a seguir.
a) Estruturas Hipostáticas
São aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos (2) é inferior ao número
de equações (3) fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática.
Figura 3.15.
A figura 3.14. ilustra um tipo de estrutura hipostática. As incógnitas são duas: RA e
RB. Esta estrutura não possui restrição a movimentos horizontais.
b) Estruturas Isostáticas
São aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é igual ao número de
equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática.
No exemplo da estrutura da figura 3.15., as incógnitas são três: RA, RB e HA. Esta
estrutura está fixa; suas incógnitas podem ser resolvidas somente pelas equações
fundamentais da Estática.
Figura 3.16.
c) Estruturas Hiperestáticas
São aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é superior ao número de
equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática.
24
Um tipo de estrutura hiperestática está ilustrado na figura 3.16. As incógnitas são
quatro: RA, RB, HA e MA.
Figura 3.17.
As equações fundamentais da Estática não são suficientes para resolver as equações
de equilíbrio. São necessárias outras condições relativas ao comportamento da
estrutura, como por exemplo, a sua deformabilidade para determinar todas as
incógnitas. Em casos como esse se torna necessário o conhecimento da mecânica dos
corpos deformáveis, ou seja, de resistência dos materiais.
3.8. Exercícios
16. Determinar a Resultante das duas forças P e Q que agem sobre o parafuso A.
sen20°=0,34; cos20°=0,93; sen45°=0,71; cos45°=0,71.
17. Determinar a resultante do sistema de forças indicado. sen50°=0,77; cos50°=0,64;
sen30°=0,5; cos30°=0,86.
25
18. Determinar o valor da força F para que o ponto material esteja em equilíbrio.
sen60°=0,87, cos60°=0,5
a)
b)
c)
d)
e)
f) sen65°=0,91; cos65°=0,99
19. Um ponto material sujeito a duas forças. Determine a força resultante e o ângulo
que ela faz com a horizontal.
a) F1 = 30N
b)
F2 = 40N
F1 = 0,6N
F2 = 0,8N
26
20. determine a resultante de um sistema de forças de um ponto material.
a)
b)
10N
2N
5N
30°
60°
10N
45°
45°
10N
4N
21. Um ponto material P está em equilíbrio. Sendo F1 = 3N, senα = 0,6 e cosα = 0,8.
Determine as forças F2 e F3.
α
F2
F3
F1
22. As forças indicadas agem sobre um ponto material que se encontra em equilíbrio.
Sabendo que F1 = 10N, sen30° = 0,5 e cos30° = 0,87. Determine F2 e F3.
F2
30°
F3
F1
23. Determine as tensões nos cabos, o sistema está em equilíbrio e g = 10 m/s 2
a)
b)
27
24. Nas figuras abaixo determine os momentos das forças dadas em relação ao ponto
A.
a) F = 2,5 N e L = 1,5 m
b)
c)
25. Uma barra homogênea de peso P = 20N está apoiada nos extremos A e B distância
1,0m. A 0,20m da extremidade B é colocado um corpo C de peso Pc = 20N. Determine a
intensidade dos apoios A e B sobre a barra.
26. Uma barra homogênea AB de peso P igual a 10N e comprimento L de 0,5m está
apoiada em um ponto O a 0,1m de A. De A pende um corpo de peso Q1 = 50N. A que
distância X de B deve ser colocado um corpo de peso Q2 = 10N para que a barra fique
em equilíbrio na horizontal.
28
27. Uma barra homogênea de peso 100N é articulada em A e mantida em equilíbrio por
meio de fio BC. Em B é suspenso um peso de 200N. Determine a intensidade da força
que traciona o fio BC e a reação da articulação A (Componente vertical e horizontal).
28. Determine as reações nos apoios A e B da viga.
29. Calcule as reações no apoio A na barra submetida a uma carga distribuída de 2kN/m
e carga concentrada de 5kN.
29
AULA 3 – Fundamentos de Resistência dos Materiais
Nessa aula aplicaremos alguns conceitos da estática e mostraremos como eles são
usados para determinar os esforços internos resultantes em um corpo. Definiremos
resistência dos materiais e sua aplicabilidade na área de projetos de estruturas e
máquinas. As forças aplicadas aos corpos serão também classificadas.
Objetivos
•
•
•
Apresentar definição e história da resistência dos materiais
Classificar as forças
Determinar o método das seções.
30
TÓPICO 1 – Principais conceitos da Resistência dos Materiais
Objetivos do tópico:
•
•
•
Definir alguns Conceitos fundamentais
Apresentar a classificação das forças
Apresentar o método das seções
4.1. Introdução
Resistência dos Materiais é o ramo da mecânica que estuda as relações entre as
cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas
que atuam dentro do corpo. Esse conhecimento é empregado para realizar a análise e o
projeto de qualquer estrutura ou máquina sujeita a diferentes carregamentos.
Importante para o projeto seguro de aviões, navios, espaçonaves, prédios, pontes,
máquinas etc. Aplica-se, por exemplo, no dimensionamento correto dos parafusos
usados no acoplamento de uma estrutura metálica que estão submetidos à tensão.
Os primeiros estudos relacionados à resistência dos materiais surgiram na Antiga
Grécia com os fundamentos da estática dos corpos rígidos, mas nada relativo às
deformações. A origem da resistência dos materiais baseava-se na Teoria e na
Experiência, com as pesquisas realizadas por:
Leonardo da Vinci (1452-1519): apresentou interesse pela estática dos
corpos deformáveis e pelas propriedades mecânicas dos materiais de engenharia;
Galileo Galilei (1564-1642): realizou experiências para estudar os efeitos das
cargas em hastes e vigas e estabeleceu descrições experimentais precisas das
propriedades mecânicas dos materiais.
Robert Hooke (1635-1703): seus estudos levaram a definição da Lei de
Hooke em que as tensões são proporcionais às deformações.
Leonard Euler (1707-1783): Desenvolveu a teoria matemática de colunas e
calculou a carga crítica de uma coluna em 1744.
Outros estudos notáveis foram realizados por: Bernouilli, Navier,
Coulomb,Thomas Young, Poisson entre outros.
Problemas complexos com a utilização de Matémática avançada e
computador, amplia o campo de estudo de resistência dos materiais para disciplinas de
mecânica avançada como as teorias da elasticiadade e da plasticidade.
Suposições introduzidas na resistência dos materiais (hipóteses básicas)
a)
Material homogêneo: possui as mesmas propriedades físicas e mecânicas
em todo o seu volume, afim de que o material sofra deformação uniforme;
b)
Material isotrópico: possui essas mesmas propriedades em todas as
direções. Ex. Aço.
material anisotrópico: possui propriedades diferentes em diferentes direções
31
4.2. Classificação das forças externas e carregamentos Internos
Figura 4.1. Classificação das forças
Força externa: pode ser força de superfície ou força de corpo
a) Forças de superfície: causadas pelo contato direto de um corpo com a superfície
de outro (força distribuída na área de contato entre os corpos).
- Força concentrada: quando a área de contato for pequena em relação à área
total da superfície.
- Carga linear distribuída: se a carga na superfície for aplicada ao longo de uma
área estreita.
c)
Força de corpo: quando um corpo exerce uma força sobre outro sem
contato físico direto. Exemplo: Peso efeito da gravidade.
Diagrama de corpo livre: é desenhado para especificar os efeitos de todas as forças
e conjugados aplicados no corpo e que serão considerados nas equações de equilíbrio.
Carga interna resultante: Determinação da força resultante e do momento em que
atuam no interior do corpo, necessários para manter o corpo unido quando submetido
a cargas externas.
Tipos de cargas internas resultantes:
N (Força Normal) – força que atua perpendicular à área (quando forças externas
tendem a empurrar ou puxar);
V (Força Cisalhante) – força que se localiza no plano da área, ou seja, tangente à
seção transversal considerada;
T (Momento de Torção ou Torque) – Efeito criado quando as cargas tendem a torcer
uma parte do corpo em relação à outra;
M (Momento Fletor) – Provocado pelas cargas que tendem a fletir o corpo em
relação ao eixo localizado no plano da área.
32
4.3. Método das seções: Utilizado para determinar as cargas internas que atuam
em uma região específica no interior do corpo.
1. Faz-se uma seção (seção transversal) ou “corte” através da região em que as
cargas internas devem ser determinadas.
2. As duas partes do corpo são separadas, e o diagrama de corpo livre de uma das
partes é desenhado.
3. Utiliza-se as equações de equilíbrio para relacionar as forças externas sobre o
corpo à força resultante e ao momento em qualquer ponto específico O da área
secionada.
4. O ponto O é comumente escolhido como centróide da área secionada.
Figura 4.2.
Três Dimensões (plano x-y-z):
Força Normal, N.
Força de cisalhamento,V.
Momento de torção ou torque, T.
Momento fletor, M.
Em um sistema de coordenadas x, y, z, cada uma das cargas apresentadas é
determinada diretamente pelas seis equações de equilíbrio aplicadas a qualquer
segmento do corpo.
Cargas Coplanares (plano x-y)
Força Normal, N.
Força de cisalhamento,V.
Momento fletor, M.
Figura 4.3.
33
4.4. Exercícios
30. A barra “AB” é uniforme e tem peso igual a 1 kN. Ela está apoiada nas duas
estremidades e suporta os pesos ilustrados na figura ao lado. Nessas condições e,
considerando que o sistema está em equilíbrio, calcule as reações nos apoios “A” e “B”.
2m
5m
3m
B
A
0,5 kN
1,5 kN
31. A barra representada ao lado é uniforme e tem peso igual a 0,5 kN. Ela está apoiada
nos pontos “A” e “B” e suporta as forças representadas na figura ao lado. Nessas
condições e, considerando que o sistema está em equilíbrio, calcule as reações nos
apoios “A” e “B”.
0,5 kN
1,5 kN
2m
5m
3m
B
A
32. A barra rígida representada na figura ao lado está presa em uma de suas
extremidades e na outra recebe a ação de uma força de 100 N, conforme indicado.
Nestas condições determine as reações vertical e horizontal e a intensidade do
momento no apoio.
100 N
45
10 m
33. Um bloco compacto pesando 20 kN está suspenso, conforme ilustrado ao lado.
Considerando desprezível o peso da barra “AB”, determine a intensidade das forças que
atuam no cabo “BC” e na barra “AB”.
34
34. Na estrutura representada ao lado a esfera pesa 300 N. Qual deverá ser o peso da
barra para que o sistema fique em equilíbrio?
2m
8m
35. Na estrutura representada ao lado, o peso da barra é de 1 kN, sendo que o bloco
pesa 2 kN e, o sistema está em equilibrio. Calcule as reações nos apoios “A” e “B” .
7m
3m
2 kN
A
B
36. Aplicando o método das seções determine as cargas internas no ponto “C” das
estruturas abaixo.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
35
AULA 4 – Tensão e Deformação
Nesta aula abordaremos os conceitos de tensão, sua classificação e como
determina-la. Também apresentaremos os conceitos e classificação de deformação de
um corpo.
Em um projeto de elementos estruturais ou mecânicos deve-se restringir a tensão
do material a um nível segura, é preciso analisar quais cargas adicionais podem ser
suportadas e baseando-se nesses cálculos determina-se uma tensão segura ou
admissível para garantir a segurança do projeto. Nessa aula também definiremos o
conceito de fator de segurança.
Objetivos
•
•
•
•
Apresentar a classificação e definição dos vários tipos de defeitos cristalinos
Calcular o número de lacunas em equilíbrio em um material
Definir defeitos de contorno de grão e de macla.
Definir fator de segurança
36
TÓPICO 1 – Tensão e Deformação
Objetivos do tópico:
•
•
•
•
Definição de tensão
Classificação de tensão
Definição e classificação de deformação
Definição de fator de segurança
5.1. Introdução
Uma TENSÃO descreve a intensidade da força interna sobre um plano específico
(área) que passa por determinado ponto. Considerando que exista uma força finita de
intensidade “F” atuando sobre uma seção da área “A” , a relação F/A é chamada de
tensão.
Devem-se supor duas hipóteses em relação às propriedades do material:
a) contínuo – distribuição uniforme da matéria, sem vazios
b) coeso – todas as suas partes estão bem unidas, sem trincas ou falhas.
Dependendo da direção do carregamento interno com relação à seção transversal
considerada pode-se classificar a tensão em dois tipos: Tensão Normal (σ) e Tensão de
Cisalhamento (τ).
Cada uma dessas tensões será discutida nos tópicos seguintes através de suas
definições, fórmulas, classificações e deformações associadas.
5.2. Tensão normal média ( - sigma).
Define-se como a intensidade da força “P”, ou força por unidade de área, que atua
no sentido perpendicular a “A”, Classifica-se em dois tipos dependendo da
característica do carregamento externo aplicado:
Onde:
 - Tensão normal média em qualquer ponto da área da seção
Transversal (Pa);
P – Resultante da força normal interna, aplicada no centróide
da área da seção transversal. P é determinada pelo método
das seções e pelas equações de equilíbrio (N);
A - Área da seção transversal da barra (m2).
Figura 5.1.
a) tensão de tração - seção transversal submetida a um carregamento de tração.
Considerada positiva;
b) tensão de compressão – seção transversal submetida a um carregamento de
compressão. Considerada negativa.
37
No SI (Sistema Internacional de Medidas) a unidade de medida de tensão é:
ou
5.3. Tensão cisalhante média (τ – tau)
A tensão de cisalhamento atua tangencialmente à área seccionada. Supondo que as
cargas estão distribuídas uniformemente, define-se cisalhamento médio como:
τ – tensão de cisalhamento média na seção;
V – resultante interna da força de cisalhamento;
A – área da seção.
Figura 5.2. Exemplo de uma viga submetida a força cisalhante
Classifica-se o cisalhamento em dois tipos de acordo com a seção transversal que
está submetida ao cisalhamento, são eles:
a) Simples ou direto: é provocado pela ação direta da carga aplicada F com apenas
uma superfície de cisalhamento. Ocorrem frequentemente em vários tipos de
acoplamentos simples que usam parafusos, pinos, material de solda etc. Nesse caso:
38
Figura 5.3. Chapas de aço fixadas por pino e placas de madeira coladas
b) Duplo: quando existem duas superfícies de cisalhamento. Ocorre em
acoplamentos geralmente chamados de juntas de dupla sobreposição. Nesse caso:
Figura 5.4. Juntas de aço e madeira sobre a ação de cisalhamento duplo
5.4. Tensão admissível e fator de segurança
Dentro das aplicações da engenharia, a determinação de tensões não é o objetivo
final, mas um passo necessário no desenvolvimento de dois dos mais importantes
estudos.
1. A análise de estruturas e máquinas: para prever o comportamento sob condições
de carga específicas.
2. O projeto de estruturas e máquinas: que devem ser projetadas de forma
econômica e segura.
É necessário escolher uma tensão admissível que restrinja a carga aplicada a um
valor menor do que a carga que o elemento possa suportar integralmente. Por várias
razões:
- a carga de projeto pode ser diferente do carregamento aplicado;
- erros de fabricação ou montagem em componentes;
- vibrações desconhecidas;
- corrosão atmosférica, deterioração ou desgaste durante o uso;
- variações nas propriedades mecânicas.
39
Quando se aplica a carga admissível, apenas uma parte da capacidade de resistência
do material está sendo utilizada; outra parte é reservada para assegurar ao material
condições de utilização segura.
Para especificar a carga para o projeto ou a análise de um elemento usa-se um
número denominado Coeficiente ou Fator de Segurança (F.S.) que é a relação entre o
carregamento último (carga de ruptura) e o carregamento admissível.
Quando existe uma correspondência linear entre carga aplicada e tensão provocada
pela carga, tem-se:
Tensão Normal:
Tensão Cisalhante:
A escolha de um coeficiente de segurança baixo pode levar à estrutura a
possibilidade de ruptura e a escolha de um coeficiente de segurança alto pode levar a
um projeto não econômico. Deve-se, portanto, fazer uma escolha apropriada para F.S.
Consideração de alguns fatores que influenciam na escolha do coeficiente de
segurança:
- Modificações que ocorrem nas propriedades dos materiais
- O número de vezes em que a carga é aplicada durante a vida da estrutura ou
máquina
- O tipo de carregamento para o qual se projeta, ou que poderá atuar futuramente.
- O modo de ruptura que pode ocorrer
- Métodos aproximados e análise
- Deterioração que poderá ocorrer no futuro devido à falta de manutenção ou por
causas naturais imprevisíveis
- A importância de certo membro para a integridade de toda a estrutura.
5.5. Deformação
São mudanças na forma e no tamanho de um corpo ocasionadas pela aplicação de
uma força. Podem ser perfeitamente visíveis (borracha) ou imperceptíveis (aço) sem o
uso de equipamento para fazer medições precisas. Também pode ser ocasionada por
variação da temperatura.
Para o nosso estudo admitiremos que as barras são prismática, as cargas atuam no
centróide das seções transversais e que o material da barra é homogêneo.
A deformação pode ser classificada em deformação normal e deformação de
cisalhamento dependendo do tipo de tensão aplicada ao material.
40
5.5.1. Deformação Normal (ε )
Ocorre quando uma barra reta muda de comprimento com a aplicação de uma
carga axial tornando-se mais comprida (em tração) e mais curta (em compressão).
Provocando mudança de volume do elemento retangular. Definida como o
alongamento ou contração de um pequeno segmento de reta por unidade de
comprimento, associada a tensão normal
O alongamento (δ) ou variação do comprimento (ΔL) é o resultado do estiramento
ou contração através do volume da barra. Deformação normal é dada pela equação
(medida adimensional, m/m ; mm/mm) :
onde: ΔL = L - Lo
P
δ
Lo
L
Figura 5.5.
Onde: ε – deformação
δ – alongamento ou contração (variação no comprimento)
Lo – Comprimento inicial da barra
L - Comprimento final da barra
5.5.2. Deformação Cisalhante (γ)
A mudança de ângulo ocorrida entre dois segmentos de reta originalmente
perpendiculares entre si. O ângulo é designado por γ (gama) e medido em radianos
(rad). A deformação cisalhante provoca mudança no formato do elemento retangular.
(a) Sem deformação
(b) com deformação cisalhante
Figura 5.6. Deformação por cisalhamento.
Para Materiais da engenharia que apresentam relação linear entre tensão e
deformação na região de elasticidade, isto é, um aumento na tensão provoca um
aumento proporcional na deformação. Esse fato é conhecido como lei de Hooke.
Matematicamente, é expressa por:
(Para tensão normal)
41
(Para tensão cisalhante)
Onde: E – Módulo de elasticidade ou módulo de Young.
G – Módulo de Elasticidade para ao cisalhamento ou módulo de rigidez
5.6. Exercícios
37. Determine a força máxima que pode ser aplicada a um cabo de latão, com 5 mm de
diâmetro, se a resistência do material, à tração, é de 20 MPa.
38. Dimensionar a seção reta de uma barra de latão, de 10 cm de comprimento, se a
resistência do material, à tração, é de 250MPa, sendo a força máxima de ruptura igual a
100 kN. A seção da barra é quadrada.
39. Determine o alongamento total de uma barra de aço, com 80 cm de comprimento,
sendo a tensão de tração for igual a 105 MPa, sendo o Módulo de Elasticidade do
material igual a 210 Gpa.
40. Uma barra de aço, com 100 mm de comprimento foi submetida a uma tensão de
tração de 40 MPa, apresentando uma variação de comprimento de 0,002 cm. Qual é o
valor do Módulo de Elasticidade do material dessa barra?
41. Uma barra de aço ABNT 1020, com 150 mm de comprimento, possui Módulo de
Elasticidade igual a 210 GPa. Determine qual deve ser o diâmetro dessa barra, para que
ela possa resistir a uma carga de tração de 70 kN, apresentando um alongamento de
0,0025 cm
42. Determine o diâmetro que deve ter um cabo de aço ABNT 1030, cujo limite de
escoamento é igual a 180 MPa, para que o mesmo possa resistir, com segurança, a uma
força de tração de 50 kN, adotando-se um coeficiente de segurança igual a 2
43. Um eixo cilindro, oco, de cobre, com diâmetro externo de 80 mm e diâmetro
interno de 60 mm, foi carregado com uma força axial de compressão, de 50 kN. Calcule
a tensão normal induzida no eixo, bem como a variação de comprimento do mesmo. O
eixo tinha 60 cm de comprimento e o Módulo de Elasticidade do material é igual a 120
GPa.
44.Uma barra cilindrica, oca, de ferro fundido, com diâmetro externo de 4 cm e o
interno de 2 cm e, com 100 mm de comprimento, está submetida a uma determinada
força de tração. Sabe-se que esta força produziu, no material, uma tensão de 210 MPa
e que o comprimento da barra aumentou para 100,20 mm, pergunta-se:
a) Qual a intensidade da força aplicada?
b) Qual o Módulo de Elasticidade do material?
c) Qual a deformação linear no material?
42
15 m
45. Determine a tensão normal que atua na seção de engastamento da barra de aço,
representada na figura ao lado, cujo diâmetro é de 200 mm,
tem 15 metros de comprimento e está submetida a uma
força axial, de tração, de 300 kN. Calcule também a variação
de comprimento da barra, sabendo que o peso específico do
material da mesma é 78 kN/m3 e o Módulo de elasticidade
igual a 210 Gpa.
300 kN
46. Determine a tensão normal na haste de seção circular com área de Ahaste = 0,002 m2
e a tensão de cisalhamento no bloco com área Abloco = 0,1 m2 , provocadas pela carga de
50kN.
50 kN
47. A barra de aço da figura foi submetida a uma tensão normal σ = 130MPa, possui
módulo de elasticidade Eaço = 200GPa. Determine a deformação (Є) e a carga (P).
Sabendo que a área A = 0,02m2.
P
P
48. Calcule o diâmetro mínimo para que o pino suporte uma tensão de cisalhamento
admissível τadm = 15Mpa. O pino está sujeito a cisalhamento duplo.
P = 30 kN
43
49. Calcule o valor da tensão e a deformação no cisalhamento para um pino de aço com
diâmetro igual a 10mm carregado como mostra as figuras. Considere o módulo de
rigidez (G) do aço de 75GPa.
a)
b)
F = 12kN
50. Emprega-se um rebite para ligar duas barras de aço, como se indica na figura, Se o
diâmetro do rebite é 19 mm e a carga P = 30 kN, qual a tensão de cisalhamento no
rebite?
51. A barra mostrada é suportada por uma haste de aço AC que tem diâmetro de 20
mm e bloco de alumínio que tem área de 1800 mm². Os pinos de 18 mm de diâmetro
em A e C estão submetidos a cisalhamento simples. Para P = 168kN na estrutura,
considerando a tensão de ruptura do aço e do alumínio (σaço)rup = 680MPa e (σal)rup =
70MPa , respectivamente, e a tensão de cisalhamento de ruptura de cada pino (τ pino)rup
= 900MPa. Aplicas fator de segurança F.S = 2. Determine:
a) as tensões admissível para a haste, o bloco e os pinos.
b) Calcule as cargas suportadas pela haste, bloco e pinos, verifique se a estrutura falha
ou não devido a aplicação de P.
44
AULA 5 – Propriedades Mecânicas: Fundamentos
A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar a carga sem
deformação excessiva ou ruptura. Essa propriedade é inerente ao próprio material e
deve ser determinada através de ensaios mecânicos.
Nessa aula será mostrado como a tensão pode ser relacionada à deformação por
meio experimental determinando o diagrama tensão-deformação par aum material
específico. Será discutido o comportamento descrito pelo diagrama para materiais de
construção mecânica, mostrando a determinação das propriedades mecânicas através
desse diagrama.
Objetivos
•
•
•
Apresentar o diagrama tensão-deformação
Apresentar algumas propriedades mecânicas
Apresentar relação entre a deformação lateral e longitudinal
45
TÓPICO 1 – Propriedades mecânicas e Diagrama tensão-deformação
Objetivos do tópico:
•
•
•
Diagrama tensão-deformação
Materiais dúcteis e frágeis
Lei de Hooke e Coeficiente de Poisson
6.1. Introdução
Quando em serviço, os componentes mecânicos de máquinas e estruturas estão
submetidos à ação de esforços ou cargas.
O projeto adequado desses componentes exige o conhecimento do comportamento
mecânico ou das propriedades mecânicas dos materiais de que são fabricados.
A tensão pode se relacionada à deformação por meio de um diagrama tensãodeformação para um material específico. Algumas propriedades mecânicas
importantes, como a resistência mecânica à tração ou à compressão, a ductilidade, a
dureza, entre outras, podem ser determinadas através de ensaios ou experimentos de
laboratório, cuidadosamente elaborados.
6.2. Diagrama tensão-deformação
A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar a carga sem
deformação excessiva ou ruptura.
Um dos testes mais importantes a realizar nesse sentido é o teste de tração ou
compressão, utilizado principalmente para determinar a relação entre a tensão normal
média e a deformação normal média em muitos materiais da engenharia, tais como,
metais, cerâmicas, polímeros e materiais compostos.
Com os dados do teste pode-se construir um gráfico para os diversos valores de
tensão e deformação. A curva resultante é denominada diagrama tensão-deformação.
Pode ser convencional ou real.
No diagrama tensão-deformação convencional, os dados registrados da tensão (σ)
são obtidos dividindo-se a carga aplicada (P) pela área transversal inicial (Ao) do corpode-prova.
A deformação nominal ou de engenharia é medida diretamente pela leitura do
extensômetro ou dividindo-se a variação do comprimento (δ ou ΔL) pelo comprimento
inicial do corpo de prova (Lo).
Enquanto que o diagrama tensão-deformação real para calcular a tensão e a
deformação usa-se a área real da seção transversal e o comprimento do corpo-deprova no instante em que a carga é medida. Os valores da tensão e da deformação
obtidos com essas medidas são chamados tensão real e deformação real.
As diferenças entre os diagramas começam a aparecer na faixa de endurecimento
por deformação, em que a intensidade da deformação torna-se mais significativa.
Apesar das diferenças entre os diagramas, a maioria dos projetos de engenharia é
feita na faixa de elasticidade onde a distorção do material geralmente não é severa, a
deformação permanece pequena e o erro do uso dos valores do diagrama convencional
46
será muito pequeno (cerca de 0,1%) quando comparado aos valores reais. Essa é uma
das principais razões para usar os diagramas tensão-deformação convencionais.
6.2.1. Diagrama Tensão-Deformação Convencional (ou de engenharia)
Figura 6.1.
Na figura 6.1 apresenta-se um diagrama tensão-deformação para um aço estrutural
(aço mole ou aço de baixo teor de carbono) amplamente utilizado em prédios, pontes,
guindastes, navios, torres, veículos entre outras aplicações. As deformações são
apresentadas no eixo horizontal e as tensões no eixo vertical.
As características da curva serão discutidas identificando-se quatro regiões do
comportamento do material dependendo da deformação nele provocada e
considerando o diagrama tensão-deformação convencional do ponto O ao ponto F.
Comportamento Elástico – ocorre quando as deformações estão na região elástica.
O diagrama começa com uma linha reta de origem em O ao ponto A, de modo que a
tensão e a deformação são proporcionais. O ponto A é chamado de limite de
proporcionalidade e a inclinação da reta é chamada de módulo de elasticidade. Se a
tensão excede ligeiramente o limite de proporcionalidade o material ainda pode
47
responder elasticamente até o limite de elasticidade ponto B. Para o aço o limite de
elasticidade é muito próximo do limite de proporcionalidade.
Escoamento – com um aumento da tensão além do limite de elasticidade, a curva
fica horizontal (trecho C- D), pois um alongamento do corpo ocorre sem um aumento
notável da força de tração. Esse fenômeno é conhecido como escoamento e a tensão
que provoca escoamento é chamada tensão limite de escoamento ou ponto de
escoamento (σE). Na região entre C e D o material fica perfeitamente plástico, ou seja,
ele se deforma sem um aumento da carga aplicada e faz com que ele se deforma
permanentemente.
Endurecimento por deformação – após o escoamento o aço começa a recuperação,
passando por mudanças em sua estrutura cristalina, resultando em um aumento da
resistência do material para mais deformação. O alongamento do corpo de prova na
região D-E exige um aumento na carga de tração o que resulta em uma curva que
cresce continuamente, mas que se torna mais plana até que alcança a tensão máxima
denominada limite de resistência (σLRT ou σr) ou tensão normal última.
Estricção – Ao atingir o limite de resistência, a área da seção transversal começa a
diminuir em uma região localizada do corpo de prova. Forma-se gradualmente uma
estricção ou contração (empescoçamento) nessa região à medida que o corpo se
alonga. Como a área da seção transversal está decrescendo continuamente, a área
menor pode suportar apenas carga decrescentes, portanto o diagrama curva-se para
baixo até que o corpo de prova quebre com a tensão de ruptura (σrup).
6.2.2. Diagrama tensão-deformação real (ou verdadeiro)
Quando esse diagrama é construído, adquire o formato mostrado pela curva do
ponto O até o ponto G, na figura 6.1. Observe que os diagramas convencional e real são
praticamente coincidentes quando a deformação é pequena, até o ponto D. As
diferenças começam a aparecer na faixa de endurecimento por deformação, em que a
intensidade da deformação torna-se mais significativa.
Pelo diagrama tensão-deformação real, a área real na região de estricção é sempre
decrescente até a ruptura, e desse modo, o material suporta realmente tensão
crescente.
Apesar de os diagramas tensão-deformação real e convencional serem diferentes, a
maioria dos projetos de engenharia é feita na faixa de elasticidade, onde para a maioria
dos metais a deformação até o limite de elasticidade permanecerá pequena e o erro do
uso dos valores de engenharia será pequeno. Essa é uma das razões principais para
usar os diagramas tensão-deformação convencionais.
6.3. Materiais Dúcteis e Frágeis
Os materiais dúcteis são caracterizados por sua capacidade de escoar na
temperatura ambiente. Á medida que o corpo de prova é submetido a uma carga
crescente, seu comprimento inicialmente aumenta linearmente com a carga e a uma
taxa muito baixa. Após alcançar um valor crítico de tensão (σE), o corpo de prova sofre
uma grande deformação com aumento relativamente pequeno da carga aplicada. São
materiais dúcteis o aço estrutural e muitas ligas de outros metais.
48
Os materiais frágeis, que incluem ferro fundido, vidro e pedra, são caracterizados
pelo fato de que a ruptura ocorre sem nenhuma mudança prévia notável na taxa de
alongamento. Para materiais frágeis não há diferença entre o limite de resistência e a
resistência à ruptura. E a deformação no instante da ruptura é muito menor para
materiais frágeis do que para materiais dúcteis.
Uma medida padrão da ductilidade de um material é sua deformação percentual,
definida como:
Deformação percentual = L – Lo x 100
Lo
Onde Lo e L são respectivamente, o comprimento inicial do corpo de prova e o seu
comprimento final na ruptura.
Uma outra medida da ductilidade é a redução percentual da área, definida como:
Redução percentual da área = Ao – A x 100
Ao
Onde Ao e A são respectivamente a área da seção transversal inicial do corpo de
prova e sua área de seção transversal mínima na ruptura.
6.4. Lei de Hooke e Módulo de Elasticidade
A relação diretamente proporcional entre a tensão e a deformação específica é
conhecida como lei de Hooke, em homenagem ao matemático inglês Robert Hooke.
Definida como:
=ε E
(Para tensão normal)
τ=γG
(Para tensão cisalhante)
O coeficiente E é chamado de módulo de elasticidade do material envolvido, ou
também módulo de Young, em homenagem ao cientista inglês Thomas Young. O
coeficiente G é chamado de módulo de elasticidade para o cisalhamento ou módulo de
rididez. Como a deformação específica é adimensional, o módulo de elasticidade é
expresso nas mesmas unidades da tensão, ou seja, em pascal (Pa).
Quando um material é deformado por uma carga externa, tende a armazenar
energia internamente em todo o seu volume essa energia é denominada energia de
deformação (ΔU). A formula da energia de deformação por unidade de volume de
material denominada densidade de energia de deformação, pode ser expressa por:
u = ΔU = σε
ΔV
2
Se o comportamento do material for linear elástico, então se aplica a lei de Hooke e
a densidade de energia pode ser expressa em termos da tensão uniaxial:
49
u = σ2
2E
A resiliência de um material é sua capacidade de absorver energia sem sofrer
qualquer dano permanente, ou seja, dentro da região elástica. Quando a tensão atinge
o limite de proporcionalidade, a densidade de energia de deformação é denominada
módulo de resiliência (ur), que equivale à área triangular na regiação elástica do
diagrama σ x ε (figura 6.2-a).
ur = 1 σlp εlp = 1 σlp 2
2
2 E
a)
b)
Figura 6.2. Representação gráfica do módulo de resiliência e de tenacidade
A tenacidade é a capacidade de um material em absorver energia até a ruptura. A
densidade de energia do material um pouco antes da ruptura é denominada módulo de
tenacidade, representada pela área inteira sob o diagrama tensão-deformação (figura
6.2-b).
Ligas de metais também mudam sua resiliência e tenacidade. Os diagramas tensãodeformação da figura 6.3, por exemplo, mostram como os graus de resiliência e
tenacidade podem mudar, conforme muda a porcentagem de carbono no aço.
Figura 6.3. Variação da resiliência e da tenacidade com relação ao percentual de
carbono no aço.
50
6.5. Coeficiente de Poisson
Figura 6.4. Deformação lateral e longitudinal de material carregado por tração.
Quando submetido a uma força de tração axial, um corpo deformável não apenas se
alonga, mas também se contrai lateralmente. Da mesma forma na compressão, que
provoca contração na direção da força e expansão lateral. A razão entre as
deformações na direção lateral e longitudinal é uma constante, denominada
coeficiente de Poisson (ν),
O coeficiente de Poisson é adimensional e seu valor está compreendido em 0 ≤ ν ≤ 0,5.
6.6. Exercícios
52. O teste de tração para uma liga de aço resulta no diagrama tensão-deformação da
figura 6.5. Calcular o módulo de elasticidade e a resistência ao escoamento com base
em uma deformação residual de 0,2%. Identificar no gráfico o limite de resistência e a
tensão de ruptura.
Figura 6.5.
51
53. O diagrama tensão deformação de uma liga de alumínio usada para fabricar peças
de aeronaves é mostrado na figura 6.6. Supondo que um corpo-de-prova desse
material seja tracionado com 600MPa, determine a deformação permanente que ficará
no corpo-de-prova quando a carga for removida. Calcular também o módulo de
resiliência tanto antes como depois da aplicação da carga.
Figura 6.6.
54. A haste de alumínio mostrada na figura 6.7-a tem seção transversal circular e está
submetida a uma carga axial de 10kN. Se uma parte do diagrama tensão-deformação
do material é mostrada na figura 6.7-b, determinar o alongamento aproximado da
haste quando a carga é aplicada. Se a carga for removida, qual será o alongamento
permanente da haste? Suponha que Eal = 70GPa.
Figura 6.7-a
Figura 6.7-b
55. uma barra feita de aço (Eaço = 200GPa) tem as dimensões mostradas na figura 6.8.
supondo que uma força axial de P = 80kN seja aplicada a ela, determinar as mudanças
em seu comprimento e nas dimensões de sua seção transversal depois de aplicada a
carga. O material comporta-se elasticamente.
52
53
AULA 6 – Carga Axial
Nas aulas anteriores desenvolvemos o método para encontrar a tensão normal em
elementos carregados axialmente. Nessa aula discutiremos como determinar a
deformação desses elementos, desenvolvendo um método para encontrar as reações
dos apoios quando elas não poderem ser determinadas com a utilização das equações
de equilíbrio. Analisaremos os efeitos da tensão térmica e a variação no comprimento
provocada pela temperatura.
Objetivos
•
•
•
Apresentar a deformação elástica de um elemento com carga axial
Apresentar determinação das reações problemas estaticamente
indeterminados
Apresentar os efeitos da tensão térmica.
54
TÓPICO 1 – Membros carregados axialmente
Objetivos do tópico:
•
•
•
Determinar o deslocamento provocado por cargas axiais
Analisar membros estaticamente indeterminados
Calcular deslocamento provocado por uma tensão térmica
7.1 Carregamento axial com comportamento elástico.
Componentes estruturais submetidos apenas à tensão ou compressão são
chamados de membros carregados axialmente. Barras sólidas com eixos longitudinais
retos são o tipo mais comum, embora cabos e molas espirais também suportem cargas
axiais. Exemplos de barras carregadas axialmente são membros de suporte, hastes de
conexão em motores, aros em rodas de bicicleta, colunas em prédios entre outras
aplicações.
As barras carregadas axialmente sofrem alongamento sob carga de tração e
encurtamento sob cargas de compressão. Para analisar esse comportamento, vamos
considerar uma barra (Fig.7.1) submetida a uma carga de tração P. A tensão normal
uniforme nas seções transversais é dada pela equação σ = P/A, em que A é a área da
nto inicial da barra. Assumindo que o
material é elástico linear, logo ele segue a lei de Hooke σ = ε.E, em que E é o módulo de
elasticidade.
P
Figura 7.1
Usando a lei de Hooke e as definições de tensão e deformação, desenvolveremos
uma equação para determinar a variação do comprimento (ΔL) de um elemento
submetido a cargas axiais.
e
substituindo na lei de Hooke
Equação 7.1
55
Embora a equação 7.1 tenha sido formulada a partir de um membro em tração, ela
se aplic
encurtamento da barra. Por convenção, o alongamento é usualmente tomado como
positivo e o encurtamento como negativo.
Se a barra for submetida a diversas forças axiais diferentes ou, ainda, a área da
seção transversal ou o módulo de elasticidade mudarem abruptamente de uma região
para outra da barra, a equação 7.1 poderá ser aplicada a cada segmento da barra em
que essa quantidades sejam todas constantes. O deslocamento de uma extremidade da
barra em relação à outra é então determinado pela adição algébrica dos deslocamentos
de cada segmento.
Equação 7.2
Convenção de sinal positivo para carga e deslocamento na figura 7.2
Figura 7.2
Como exemplo considere a barra da figura 7.3 para obter o deslocamento da
extremidade A em relação à extremidade D devemos determinar as forças axiais
internas P pelo método das seções para cada segmento, substituir os respectivos
valores com o sinal adequado, temos:
Figura 7.2
(
)
(
)
(
)
56
7.2. Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Quando as reações e forças internas de determinada estrutura podem ser
calculadas unicamente a partir de diagramas de corpo livre e equações de equilíbrio
sem saber as propriedades dos materiais, classifica-se esse tipo de estrutura em
estaticamente determinada.
A maioria das estruturas é mais complexa e suas reações e forças internas não
podem ser encontradas apenas através da estática. Essas estruturas são classificadas
como estaticamente indeterminadas. Para analisar tais estruturas devemos
suplementar as equações de equilíbrio com equações adicionais de deslocamentos da
estrutura.
As forças desconhecidas dos problemas estaticamente indeterminados são
calculadas satisfazendo-se os requisitos de equilíbrio, compatibilidade e forçadeslocamento do membro. Seguindo os passos do procedimento de análise abaixo é
possível determinar as forças desconhecidas, então:
1.
Desenhar o diagrama de corpo livre do elemento a fim de identificar todas
as forças que atuam sobre ele.
2.
O problema é classificado como estaticamente indeterminado se o número
de reações desconhecidas no diagrama de corpo livre for maior que o número de
equações de equilíbrio disponíveis;
3.
Escrever as equações de equilíbrio do membro;
4.
Para estabelecer as equações de compatibilidade, desenhar o diagrama de
deslocamento a fim de investigar a maneira como o elemento alonga-se ou contrai-se
quando submetido a cargas externas;
5.
Expressar as condições de compatibilidade em termos do deslocamento
provodado pelas forças;
6.
Usar uma relação cargaos deslocamentos desconhecidos com as reações desconhecidas;
7.
Resolver as equações de equilíbrio e compatibilidade para as forças de
reação desconhecidas.
Considerando a figura 7.3, tem-se uma barra dita estaticamente indeterminada
visto que as equações de equilíbrio não são suficientes para determinar as reações de
apoio.
Equação de equilíbrio:
ΣFy = 0
F A + FB – P = 0
57
As condições de compatibilidade especificam as restrições que ocorrem nos apoios
ou outros pontos do membro. Como as extremidades da barra estão fixas em apoios
rígidos a condição de compatibilidade adequada requer que o deslocamento relativo
entre as extremidades seja nulo, logo:
Condição de compatibilidade: δA/B = 0 ; δA/D = δAC + δCB = 0
supondo AE constante, resolvendo as duas equações
(
)
(
)
7.3. Tensão Térmica
Uma mudança na temperatura pode provocar alterações nas dimensões de um
material. Em geral, se a temperatura aumenta, o material se expande; se a temperatura
diminui, o material se contrai. Para material homogêneo e isotrópico, pode-se
T) a partir da
equação 7.3
δT = α.ΔT.L
Onde: α é o coeficiente linear de expansão térmica (1/°C), ΔT é a mudança na
temperatura do elemento e L é o comprimento inicial do elemento.
7.4. Exercícos
56. A barra (figura 7.4) composta de aço A-36 (Eaço = 210 GPa)é composta por dois
segmentos, AB e BD, com áreas de seção transversal AAB = 600 mm2 e ABD = 1200 mm2,
respectivamente. Determine o deslocamento vertical da extremidade A em relação à
extremidade D.
Figura 7.4
Figura 7.5
58
57. Uma viga rígida AB está apoiada nos dois postes curtos (figura 7.5). O poste AC é feito
de aço e tem diâmetro de 20 mm, e o poste BD é feito de alumínio e tem diâmetro de 40
mm. Determine o deslocamento do ponto F em AB se uma carga vertical de 90kN for
aplicada nesse ponto. Considere Eaço = 200GPa, Eal = 70GPa.
58. A coluna de aço (Eaço = 200GPa) é usada para suportar as cargas simétricas dos dois
pisos de um edifício (figura 7.6). Determine o deslocamento vertical de sua extremidade, A
se P1 = 200kN, P2 = 310kN e a coluna tiver área de seção transversal de 14.625 mm2.
Figura 7.6.
59. O eixo de cobre (figura 7.7) está sujeito às cargas axiais mostradas na figura. Determine
o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D se os diâmetros de cada
segmento forem dAB = 20mm, dBC = 25 mm e dCD = 12 mm. Considere Ecobre = 126 GPa.
Figura 7.7
Problemas Estaticamente indeterminados (60 a 62)
60. A haste de aço (figura 7.8) tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede fixa em A.
antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede em B’ e a haste. Determine
as reções em A e B’ se a haste for submetida a uma força axial P = 20kN. Despreze o
tamanho do colar em C e considere Eaço = 200 GPa.
Figura 7.8
59
61. O poste de alumínio (figura 7.9) é reforçado com um núcleo de latão. Se esse conjunto
suportar uma carga de compressão axial resultante P = 45 kN, aplicada na tampa rígida,
determine a tensão normal média no alumínio e no latão. Considere E al = 70 GPa e Elatão =
105 GPa.
Figura 7.9.
Figura 7.10
62. As três barras de aço (figura 7.10) estão conectadas por pinos a um elemento rígido. Se
a carga aplicada ao elemento for 15 kN, determine a força desenvolvida em cada barra.
Cada uma das barras AB e EF tem área de seção transversal de 25 mm 2, e a barra CD tem
área de seção transversal de 15 mm2. Eaço = 200 GPa.
Problemas de Tensão térmica (63 a 65)
63. A barra de aço (figura 7.11) está restringida para caber exatamente entre os dois
suportes fixos quando T1 = 30°C. Se a temperatura aumentar até T2 = 60°C, determine a
tensão térmica normal média desenvolvida na barra.
Figura 7.11
60
64. Os diâmetros e materiais de fabricação do conjunto são indicados na figura 7.12. Se o
conjunto estiver bem ajustado entre seus apoios fixos quando a temperatura é T1 = 12°C,
determine a tensão normal média em cada material quando a temperatura atingir T 2 =
18°C.
Figura 7.12
65. Os dois segmentos de haste circular (figura 7.13), um de alumínio e o outro de cobre,
estão presos às paredes rígidas de modo tal que há uma folga de 0,2 mm entre eles quando
T1 = 15°C. Cada haste tem diâmetro de 30 mm, αal = 24(10-6)/°C, Eal = 70 GPa, αcobre =
17(10-6)/°C, Ecobre = 126 GPa. Determine a tensão normal média em cada haste se T 2 =
150°C. Calcule também o novo comprimento do segmento de alumínio.
Figura 7.13
61
AULA 7 – Vasos de pressão de paredes finas
Nessa aula discutiremos a solução de problemas com análise de tensão
desenvolvida em vasos de pressão de paredes finas. Serão considerados vasos
cilíndricos e esférico.
Objetivos
•
•
•
Apresentar definições e conceitos básicos para vasos de pressão
Analisar tensões em vasos cilíndricos
Analisar tensões em vasos esféricos.
62
TÓPICO 1 – Vasos Cilíndricos e esféricos
Objetivos do tópico:
•
•
•
Definição de vasos de pressão
Análise de tensão em vasos cilíndricos
Análise de tensão em vasos esféricos
8.1. Introdução
Vasos cilíndricos ou esféricos são muito usados na indústria como cadeiras, tanques
ou reservatórios. Quando estão sob pressão, o material de que são feitos é submetido a
cargas em todas as direções. Mesmo que seja esse o caso, o vaso de pressão pode ser
analisado de uma maneira mais simples, contanto que tena paredes finas. Em geral,
“paredes finas” refere-se a um vaso para o qual a relação raio interno-espessura da
parede tem valor igual ou superior a 10 (r/t ≥ 10).
Quando a parede do vaso é “fina”, a variação da distribuição de tensão pela sua
espessura não será significativa, portanto consideraremos que ela é uniforme ou
constante.
8.2 Vasos Cilíndricos
Considere o vaso cilíndrico com parede de espessura t e raio interno r como mostra
a figura 8.1. A pressão manométrica p é desenvolvida no interior do vaso por um gás ou
fluido nele contido, cujo peso consideramos insignificante. As paredes dos vasos
cilíndrico estão submetidas à tensões normais σ1 na direção circunferencial ou do aro e
σ2 no sentido longitudinal ou axial. Ambas essas componentes da tensão exercem
tração sobre o material. Para determinar cada uma dessas componentes em termos da
geometria do vaso e de sua pressão interna. Para isto, temos de usar o método das
seções e aplicar as equações de equilíbrio de força.
Figura 8.1
Para equilíbrio na direção x e na direção y, obtem-se as tensões σ1 e σ2 em função da
pressão interna, do raio e da espessura do cilindro. As equações são:
63
Onde: σ1 e σ2 – tensão normal nas direções circunferencial e longitudinal,
respectivamente;
p –pressão manométrica interna desenvolvida pelo gás ou fluido;
r- raio interno do cilindro
t – espessura da parede
8.3 Vasos esféricos
Podemos analisar um vaso de pressão esférico de maneira semelhante. Por
exemplo, considere que o vaso tem espessura de parede t e raio interno r e que está
sujeito a uma pressão manométrica interna p. Se o vaso for secionado pela metade, o
diagrama de corpo livre é mostrado na figura 8.2. O equilíbro na direção y obtem-se a
equação para tensão:
Figura 8.2
Nos dois casos apresentados o material do vaso também está sujeito a uma tensão
radial, σ3 . Essa tensão tem um valor máximo igual à pressão p na parede interna e
diminui até zero à medida que atravessa a parede e alcança a superfície externa do
vaso. Entretanto, para vasos de paredes finas ignoramos a componente radial, σ3 = 0.
8.4. Exercícios
66. Um vaso de pressão cilíndrico tem diâmetro interno de 1,2 e espessura de 12 mm.
Determine a pressão interna máxima que ele pode suportar de modo que nem a
componente de tensãocircunferencial nem a de tensão longitudinal ultrapasse 140
MPA. Sob as mesmas condições, qual é a pressão interna máxima que um vaso esférico
de tamanho semelhante pode sustentar?
67. Um tanque esférico de gás tem raio interno r = 1,5 m. Se for submetido a uma
pressão interna p = 300 kPa, determine a espessura exigida para que a tensão normal
máxima não ultrapasse 12 Mpa.
64
68. Um tanque esférico pressurizado deverá ser fabricado com aço de 12 mm de
espessura. Se for submetido a uma pressão interna p = 1,4 Mpa, determine seu raio
externo para que a tensão normal máxima não ultrapasse 105 Mpa.
69. O tanque do compressor de ar (vaso cilíndrico) está sujeito a uma pressão interna
de 0,63 Mpa. Se o diâmetro interno do tanque for 550 mm e a espessura da parede for
6 mm, determine as componentes da tensão que agem na parede do cilindro.
70. Um tubo de extremidade aberta tem parede de espessura 2 mm e diâmetro interno
40 mm. calcule a pressão que o gelo exerceu na parede interna do tubo para provocar
uma ruptura na parede. A tensão máxima que o material pode suportar na temperatura
de congelamento é de 360 Mpa.
71. O tubo de extremidade aberta feito de cloreto de polivinil tem diâmetro interno de
100 mm e espessura de 5 mm. Se transportar água corrente à pressão de 0,42 Mpa,
determine as tensões nas paredes do tubo.
65
Resposta dos Exercícios
Aula 1 - Revisão dos Fundamentos de trigonometria
TÓPICO 1 – Revisão de Trigonometria
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
a) 5 b) 12 c) √7
a) 12 b) 24 c)2√29
a) 6 b)3
c)9
a) x =10; y =24/5 b) x = 4;y = 4√3
a) 6√2 b) 4√2 c) 17 d) 5
4√3 m
base = 10 m
a) ½ b) 3/5 c) 3/5
a) ¾ b) ½ c) √11/6
a) 4/5 b) √3 c) 4/3
a) 10 b) 3√2 c) 10 d)16√3
a) x = 6; y = 6√3 b) x=8; y=4√3 c) x=18; y = 6√5
2√13 m
8m
(5√7)/4 m
Aula 2 – Introdução à Mecânica
TÓPICO 2 – Fundamentos de Estática
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
97,6 N
32,3 N
a) 315,3N b) 397,9N c) 200,8N d) 253N e)323,5N f) 266,2 N
a) 50 N ; 37° b) 1 N ; 53°
a) 3,35 N b) 4 N
4N e 5N
5 N e 8,7 N
a) TAC = 724,6 N e TBC = 391,3 N ; b) TAC = 100 N e TBC = 100√3 N
a) 3,75N.m b) M1 = 0 ; M2 = 0,4N.m ; M3 = 0 ; M4 = 0,4N.m c) 2,5N.m
14N e 26N
5 cm
TBC = 416,7N ; Ax = 333,3N ; Ay = 49,98N
RAx = 0; RAy = 9,1kN e RB = 50,9kN
N = 0 ; V = 15kN e MA = 40kN.m
Aula 3 – Fundamentos de Resistência dos Materiais
TÓPICO 1 – Principais conceitos da Resistência dos Materiais
30
31
32
33
34
RA = 1,35 kN; RB = 1,65 kN
RA = 1,5 kN; RB = 1 kN.
RH = RV = 70,7 N; M = 7.070 N.m
FAB = 26,67 kN, FBC = 33,33 kN
200 N
66
35 RA = 1,9 kN; RB = 1,1 kN.
36 a) N = 0; V = 200N; M = 1200N.m
b)N = 100N; V = 100√3N; M = 600√3N.m
c) N = 0; V = 300N; M = 900N.m
d) N = 75√3N; V = 75N; M = 630N.m
e) N = 50√3N; V = 50N; M = 300√3N.m f)N = 50√3N; V = 10N; M = 60N.m
Aula 4 – Tensão e Deformação
TÓPICO 1 – Tensão e Deformação
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
F = 392,7 N.
A = 2 cm x 2 cm.
δ = 0,4 mm.
E = 200 GPa.
d = 50,46 mm.
d = 26,6 mm.
 = 22,72 MPa; δ = 0,1136 mm.
a) 197.820 N; b) 105 GPa; c) 0,002 (0,2%).
 = 10,72 MPa, δ = 0,723 mm.
 = 25 MPa, τ = 250kPa
ε = 0,65 x 10-3 , P = 2600kN
d = 0,08m
a) τ = 63,7MPa , γ = 0,85 x 10-3 rad b) τ = 76,4MPa , γ = 1,02 x 10-3 rad
τ = 10,6 kN/cm2.
a)(σaço)adm = 340MPa , (σal)adm = 35MPa e (τpino)adm = 450MPa.
b)FAC = Fpino = 105kN e FB = 63kN . A estrutura não falha.
Aula 5 – Propriedades Mecânicas: Fundamentos
TÓPICO 1 – Propriedades mecânicas e Diagrama tensão-deformação
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E = 31,2 x 103 ksi; σe = 68 ksi; σresil = 108 ksi e σrup = 90 ksi
εpermanente = 0,0150 ; (ures)inicial = 1,35 MJ/m3 ; (ures)final = 2,40 MJ/m3
δaprox = 18,3 mm e δperm = 17,7 mm
δx = - 2,56 μm e δy = - 1,28 μm e δz = 120 μm
Aula 6 – Carga Axial
TÓPICO 1 – Membros carregados axialmente
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δA = 0,61 mm
δF = 0,225 mm
δAB = - 1,74769 mm
δA/D = 3,8483 mm
FA = 16,6 kN e FB = 3,39 kN
σal = 5,09 MPa e σlatão =7,64 MPa
FA = 9,52 kN , FC = 3,46 kN e FE = 2,02 kN
σ =72 MPa
F = 4,20 kN
σ =185,58 Mpa e Lal = 200,117793 mm
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Aula 7 – Vasos de pressão de paredes finas
TÓPICO 1 – Vasos cilíndricos e vasos esféricos
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p = 2, 8 Mpa e p = 5,6 MPa
t = 18,8 mm
r = 18,875 m
σ1 = 28,88 Mpa , σ2 = 14,44 Mpa
p = 36 MPa
σ1 = 4,2 Mpa , σ2 = 0
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Referência Bibliográfica
1. Dolce, O.; Pompeo, J.N. – Fundamentos de Matemática Elementar: geometria plana
– vol.9 , 7ª edição, Editora Atual, São Paulo, 1998.
2. Bezerra, M.J. – Bezerra Matemática – 2º grau, Editora Scipione, São Paulo, 1994.
3. PENTEADO, P.C.M. – Física: Conceitos e Aplicações - Mecânica – 1ª edição, Vol.1.
Editora Moderna. São Paulo,1998.
4. CALÇADA, C.S.; SAMPAIO, J. C. – Física Clássica (Dinâmica e Estática) – 2ª Edição.
Editora Atual. São Paulo, 1998.
5. HIBBELER, R.C. – Resistência dos Materiais – 7ª Edição, Editora Pearson, São Paulo,
2009.
6. GERE, J.M. – Mecânica dos Materiais – Editora Thomson Learning, São Paulo, 2003.
7. BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E.R.; DeWOLF, J.T. – Resistência dos Materiais – 4ª
Edição, Editora McGraw-Hill, São Paulo, 2006.
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