Análise de decisão
• Decisão em ambiente determinístico - escolher a
alternativa que assume o maior benefício ou o menor
custo
• Decisão em ambiente não determinístico
• decisão com risco
• decisão com incerteza
• Decisão com critérios múltiplos
Sistemas de Apoio à Decisão
1
Modelos de decisão com risco
• Critérios
– Critério do valor esperado ou de Bayes
– Critério da máxima verosimilhança
– Critério da razão insuficiente
• Utilização de árvores de decisão
– Quadrado - ponto de decisão
– Circulo - alternativa onde se originam ramos
representando os estados da natureza possíveis
Sistemas de Apoio à Decisão
2
Modelos de decisão com risco
Critério do valor esperado ou de Bayes
–
calcular valor esperado para cada alternativa soma ponderada dos benefícios da alternativa, em
que os pesos são dados pelas probabilidades
associadas a cada estado da natureza.
Sistemas de Apoio à Decisão
3
Modelos de decisão com risco
Critério do valor esperado ou de Bayes
A1
A2
A3
N1
650
45
250
N2
200
45
100
N3
-25
45
0
N4
-75
45
0
Probabilidades associadas a cada estado de natureza:
N1 - 10%
N2 - 15%
N3 - 25%
N4 - 50%
A1 - 650*0,10 + 200*0,15 - 25*0.25 - 75*0.50 = 51,25
A2 - 45*0,10 + 45*0,15 + 45*0.25 + 45*0.50 = 45
A3 - 250*0,10 + 100*0,15 + 0*0.25 + 0*0.50 = 40
Sistemas de Apoio à Decisão
4
Modelos de decisão com risco
Critério da máxima verosimilhança
–
seleccionar o estado da natureza que apresente a
maior probabilidade de ocorrência e, assumindo
que esse estado vai mesmo ocorrer, escolhe-se a
alternativa que apresenta o maior benefício para
esse estado.
Sistemas de Apoio à Decisão
5
Modelos de decisão com risco
Critério da máxima verosimilhança
A1
A2
A3
N1
650
45
250
N2
200
45
100
N3
-25
45
0
N4
-75
45
0
Estado de natureza com maior probabilidade de
ocorrência - N4
Alternativa qie paresenta maior benefício para
este estado - A2
Sistemas de Apoio à Decisão
6
Modelos de decisão com risco
Critério da razão insuficiente
–
na ausência de informação, admitir que os estados
da natureza são igualmente prováveis.
Sistemas de Apoio à Decisão
7
Modelos de decisão com risco
Critério da razão insuficiente (Laplace)
A1
A2
A3
N1
650
45
250
N2
200
45
100
N3
-25
45
0
N4
-75
45
0
Estados de natureza igualmente prováveis:
N1 – N2 – N3 – N4
25%
A1 - 650*0,25 + 200*0,25 - 25*0.25 - 75*0.25 = 187,5
A2 - 45*0,25 + 45*0,25 + 45*0.25 + 45*0.25 = 45
A3 - 250*0,25 + 100*0,25 + 0*0.25 + 0*0.25 = 87,5
Sistemas de Apoio à Decisão
8
Modelos de decisão com risco
Árvores de decisão
–
–
Quadrado - ponto de decisão
Circulo – nós de mudança - onde se originam ramos
representando os estados da natureza possíveis
Os nós de mudanças:
– São mutuamente exclusivos - só uma das mudanças
possíveis pode ocorrer;
– São exaustivos – todas as mudanças possíveis estão
representadas e uma delas tem que ocorrer;
– Estão representados segundo a sequência temporal
em que ocorrem.
Sistemas de Apoio à Decisão
9
Modelos de decisão com risco
Árvores de decisão
50000
Alternativa 1
Investir
0
Alternativa 2
Não investir
2500
Sistemas de Apoio à Decisão
10
Modelos de decisão com risco
Árvores de decisão - Exemplo:
Uma companhia enfrenta um problema relacionado com um produto (Px) desenvolvido por
um dos seus laboratórios de pesquisa. Têm que decidir se prosseguem com o teste de
mercado deste produto ou se simplesmente descontinuam o seu desenvolvimento. Foi
estimado que o teste de mercado custará 100 mil euros. A experiência indica que apenas 30%
dos produtos passam no teste de mercado.
Se Px passar no teste de mercado, a companhia terá que enfrentar uma nova decisão
relacionada com as dimensões da plataforma de produção do produto. Uma pequena
plataforma custa 150 mil euros a construir e permite a produção de 2000 unidades/ano,
enquanto uma plataforma maior custa 250 mil euros e permite a produção de 4000
unidades/ano.
O departamento de mercado estimou que existe 40% de probabilidade da concorrência
responder com um produto similar e que o preço por unidade vendida será o seguinte (em
Plataforma grande
Plataforma pequena
euros):
35
20
Se a concorrência responder
65
50
Se a concorrência não responder
Assumindo que a vida de mercado para o produto Px está estimada em 7 anos e que os custos
de funcionamento das plataformas é de 50 mil euros/ano, deve a companhia seguir em frente
com o teste de mercado de Px?
Sistemas de Apoio à Decisão
11
Modelos de decisão com incerteza
Critérios clássicos
–
–
–
–
Sistemas de Apoio à Decisão
Maximínimo
Maximáximo
Minimax
Realismo
12
Modelos de decisão com incerteza
Critério maximínimo (Wald)
–
maximizar o mínimo resultado que se pode obter, i.e.,
– identificar o mínimo resultado que se pode obter para
cada possível escolha (30,20,0)
– escolher a alternativa que maximiza este conjunto (30)
A1
A2
A3
–
N1
100
70
10
N2
40
80
0
N3
30
20
110
critério pessimista - o decisor assume que o pior estado da
natureza vai ocorrer
Sistemas de Apoio à Decisão
13
Modelos de decisão com incerteza
Critério maximáximo
–
escolher a alternativa que maximiza o máximo benefício
possível, i.e.
– escolher para cada alternativa o benefício máximo
(100, 80, 110)
– escolher o maior entre estes valores (110)
A1
A2
A3
–
N1
100
70
10
N2
40
80
0
N3
30
20
110
critério optimista - assume que o estado da natureza que vai
ocorrer corresponde à situação que lhe é mais favorável
Sistemas de Apoio à Decisão
14
Modelos de decisão com incerteza
Critério minimax ou do arrependimento
–
–
–
A1
A2
A3
para cada estado da natureza, escolher o maior benefício e
subtraí-lo dos restantes - pôr de parte as soluções ideais para
cada estado da natureza
escolher para cada alternativa, a maior diferença obtida
(80,90,90) - escolher o estado da natureza mais desfavorável
entre os valores assim determinados, escolher o menor (80)tentar minimizar as maiores perdas possíveis
N1
100
70
10
N2
40
80
0
Sistemas de Apoio à Decisão
N3
30
20
110
A1
A2
A3
N1
0
30
90
N2
40
0
80
N3
80
90
0
15
Modelos de decisão com incerteza
Critério do realismo (Hurwicz)
 balanço
entre os critérios optimista (maximax) e pessimista
(maximin)
–
–
–
–
escolher o índice de optimismo entre 0 e 1-a
– a=0 critério pessimista
– a=1 critério optimista
escolher para cada alternativa, o maior e o menor benefícios
possíveis
ponderar da seguinte forma
» (a) benefício máximo + (1-a) benefício mínimo
escolher a alternativa com o maior benefício ponderado
Sistemas de Apoio à Decisão
16
Modelos de decisão com incerteza
Critério do realismo
A1
A2
A3
N1
100
70
10
N2
40
80
0
N3
30
20
110
Supondo a = 0,5
A1 – 0,5*100 + (1-0,5)*30 = 65
A2 – 0,5*80 + (1-0,5)*20 = 50
A3 – 0,5*110 + (1-0,5)*0 = 55
Sistemas de Apoio à Decisão
17
Modelos de decisão com critérios
múltiplos
Modelos que se baseiam na existência de conflictos entre vários
objectivos simultâneos.
Há que definir prioridades entre os vários objectivos.
Estas prioridades podem variar com o tempo e podem ser diferentes
para cada decisor.
Modelos não compensatórios
– comparação atributo a atributo
Modelos compensatórios
– permitem compensações entre atributos
Sistemas de Apoio à Decisão
18
Modelos de decisão com critérios
múltiplos
Modelos não compensatórios
• Maximin- máximo dos mínimos
• Maximax- máximo dos máximos
• Restrições conjuntivas - eliminar alternativas que não satisfazem
os valores mínimos
• Restrições disjuntivas - seleccionar alternativas acima dos
limiares de satisfação
• Lexicográfico - ordenação de alternativas com base no critério
mais importante. Se houver empates utilizar o segundo critério e
assim sucessivamente
Sistemas de Apoio à Decisão
19
Modelos de decisão com critérios
múltiplos
Modelos compensatórios
• Ponderação aditiva
• Análise de concordância – método de Electre
• Método de análise hierárquica – método de Saaty
• Métodos de visualização de valores de Shilling
Sistemas de Apoio à Decisão
20
Modelos de decisão com critérios
múltiplos
• Ponderação aditiva
–
–
A1
A2
A3
exige independência entre atributos
dificil atribuir pesos
Preço
0.3
Fiabilidade
0.3
Preço
10
60
30
Fiabilidade
20
50
30
Potência
0.2
Potência
20
50
30
Aspecto
0.2
Aspecto
30
30
40
A1 - 10*0.3+20*0.3+20*0.2+30*0.2 = 19
A2 - 60*0.3+50*0.3+50*0.2+30*0.2 = 49
A3 - 30*0.3+30*0.3+30*0.2+40*0.2 = 32
Sistemas de Apoio à Decisão
21
Modelos de decisão com critérios
múltiplos
• Análise de concordância – método de Electre
–
–
–
–
–
–
–
criar a matriz de alternativas-impactos
estabelecer pesos para os impactos
normalizar a matriz
determinar os conjuntos de concordância e discordância
criar as matrizes de concordância e discordância a partir
dos conjuntos de concordância e discordância e dos pesos
determinar os índices de concordância e discordância para
as várias alternativas
seleccionar as alternativas com maior índice de
concordância e menor índice de discordância
Sistemas de Apoio à Decisão
22
Modelos de decisão com critérios
múltiplos
• Método de análise hierárquica (AHP)– método de Saaty
–
–
–
matriz cria-se através de comparações emparelhadas
utilizando uma escala de 1 a 10;
obtenção de pesos determinando o vector associado ao
maior valor próprio da matriz;
consistência nas comparações pode ser avaliada através de
um índice
Sistemas de Apoio à Decisão
23
Modelos de decisão com critérios
múltiplos
Escolha de um automóvel
Preço
X
Preço
Fiabilidade
Fiabilidade
Y
Preço
-1
1/3
[ A - lI ] n = 0
Sistemas de Apoio à Decisão
Z
Fiabilidade
3
-1
[ a b]
Vector associado ao maior
valor próprio da matriz
24
Modelos de decisão com critérios
múltiplos
X
Y
Z
X
Y
Z
X
-1
1/3
1/2
Preço
Y
3
-1
1
Z
2
1
-1
[c d e]
X
-1
1/2
1/3
Fiabilidade
Y
2
-1
1/5
Z
3
5
-1
[f g h]
X - (a*c) + (b*f)
Y - (a*d) + (b*g)
Z - (a*e) + (b*h)
Sistemas de Apoio à Decisão
25
Modelos de decisão com critérios
múltiplos
Avaliação de consistência
Se a matriz for 100% consistente apenas tem um valor próprio
não nulo que é igual à sua ordem.
CI = lmax - M
M-1
CR =
CI
RI
M - ordem da matriz
< 0.1
RI - média do valor de CI
se as entradas de M fossem escolhidas aleatoriamente
n
RI
2 3
4
5
6
7
8
9
0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
Sistemas de Apoio à Decisão
26
Modelos de decisão com critérios
múltiplos
• Método de visualização de valores de Shilling
Critérios
Alternativas
100
A2
A3
A1
0
Sistemas de Apoio à Decisão
27
Outros modelos
O primeiro algarismo
Sucessão de potências de 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ...
Consideremos o primeiro algarismo significativo de cada termo:
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, ...
(esta sucessão toma apenas valores entre 1 e 9).
Qual a frequência com que surge nesta sucessão cada um dos inteiros?
- todos surgem com igual frequência: 1/9 = 11,1% ?
Sistemas de Apoio à Decisão
28
Outros modelos
O primeiro algarismo
Resposta:
A frequência com que ocorre cada um dos inteiros aproxima-se de
uma distribuição logarítmica, em que:
 1
P(n) log10 1  
 n
Lei de Benford
onde P(n) é a probabilidade de ocorrência do algarismo n.
O mesmo acontece para as potências de 3, 4, 5, 6, 7, ...; número da
porta do endereço de 307 pessoas ao acaso; pesos moleculares de 1800
compostos químicos; população de 3500 cidades americanas.
Sistemas de Apoio à Decisão
29
Outros modelos
O primeiro algarismo
A distribuição dos primeiros algarismos parece ser sempre a mesma
distribuição logarítmica, independentemente da natureza dos números
e, embora estes não estejam correlacionados entre si.
Descoberta:
Simon Newcomb (1881) e Frank Benford (1938) observam:
As tabelas de logaritmos apresentam muito mais desgaste nas
primeiras páginas.
Sistemas de Apoio à Decisão
30
Outros modelos
O primeiro algarismo
Nem todas as tabelas numéricas verificam a lei de Benford: na lista
telefónica portuguesa todos os números fixos começam pelo
algarismo 2.
A lei de Benford é probabilística. A lei de Benford é a única
distribuição de probabilidade invariante de base (Theodore Hill, 1996).
É um teorema.
Sistemas de Apoio à Decisão
31
Outros modelos
O primeiro algarismo
Tipo de dados
1
2
3
4
5
6
7
8
9
 1
log10 1  
 n
30,1 17,6
12,5
9,7
7,9
6,7
5,8
5,1
4,6
Potências de 2
30,1 17,6
12,5
9,7
7,9
6,9
5,6
5,2
4,5
Moradas de Lisboa
32,5 16,6
14,6
11,4
7,8
6,2
3,9
3,6
3,2
Peso molecular
26,7 25,2
15,4
10,8
6,7
5,1
4,1
2,8
3,2
Populações (EUA)
33,9 20,4
14,2
8,1
7,2
6,2
4,1
3,7
3,0
(Buescu, 2003)
Hill demonstra também que:
Mesmo que cada distribuição individualmente não siga a lei de
Benford, o conjunto de todas as distribuições segue.
(O mesmo acontece em relação às distribuições da tabela acima).
Sistemas de Apoio à Decisão
32
Outros modelos
O primeiro algarismo
Aplicações
• Teste de modelos matemáticos: previsão da evolução das
cotações da bolsa; previsão da evolução de dados demográficos.
• Fiscalização de impostos e auditorias financeiras: detecção de
fraudes fiscais (as pessoas são “más” a inventar dados). A
utilização da lei de Benford na detecção de fraudes fiscais foi
proposta por Mark Nigrini na sua tese de doutoramento
(orientada por Hill). (www.math.gatech.edu/~hill/)
Sistemas de Apoio à Decisão
33
Outros modelos
O primeiro algarismo
Se a declaração de IRS possuir, nos números que apresenta, desvios
estatisticamente significativos em relação à lei de Benford, é provável
que os dados sejam fictícios no todo ou em parte. Ou seja, este
contribuinte deve ser investigado!
Esta técnica, proposta por Nigrini, está em vigor nos EUA, desde 1998.
Nigrini é consultor da administração fiscal de vários paises, incluindo a
Holanda.
Tipo de dados
1
 1
log10 1  
 n
Dados fiscais verídicos
Dados fraudulentos
2
3
4
5
6
7
8
9
30,1 17,6
12,5
9,7
7,9
6,7
5,8
5,1
4,6
30,5 17,8
12,6
9,6
7,8
6,6
5,6
5,0
4,5
0 1,9
0
9,7 61,2 23,3 1,0 2,9
0
Hill, The first-digit phenomenon, American Scientist 86, 1996
Sistemas de Apoio à Decisão
34