Capı́tulo 1
Matrizes e Sistemas Lineares
1.1
Matrizes
Introdução :
Nesta seção , apresentaremos os conceitos básicos sobre matrizes. Estes métodos aparecem
naturalmente na resolução de muitos tipos de problemas e são essenciais, não apenas porque eles
”ordenam e simplificam”o problema, mas também porque fornecem novos métodos de resolução .
Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Exemplo:
Considere dois tipos de alimentos, bananas e laranjas, e dois tipos de vitaminas, vitamina K e
vitamina C. Sabendo que a banana possui 10 unidades de vitamina K e apenas 1 unidade de vitamina
C, e a laranja possui 2 unidades de vitamina K e 9 unidades de vitamina C, podemos organizar esses
dados através de uma tabela:
Vitamina K
Vitamina C
Banana Laranja
10
2
1
9
Os dados dessa tabela estão organizados em linhas e colunas. Este tipo de matriz corresponde
a uma matriz A2×2 , isto é, duas linhas e duas colunas.
Generalização :
1
2
CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Am×n =






a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
am1 am2
. . . a1n
. . . a2n
..
..
.
.
. . . amn






= [aij ]m×n
Sendo: m=linhas e n=colunas, e [aij ] são as entradas da matriz onde ′ i′ corresponde a linha
e ′ j ′ a coluna de cada entrada.
Exemplo:
A2×2 =
"
10 2
1 9
#
a11 = 10 a21 = 2
a12 = 1 a22 = 9
Tipos especias de matrizes
Matriz quadrada: é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n).
Exemplos:
A3×3


1 −2 0


= 3 0 1 
4 5 6
B1×1 =
h
8
i
No caso de uma matriz quadrada Bm×m dizemos que B é uma matriz de ordem m.
Matriz nula: é aquela em que todo aij = 0, ∀ ′ i′ e ′ j ′ .
Exemplos:
3
1.1. MATRIZES
A3×5


0 0 0 0 0


= 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0
B2×2 =
"
#
0 0
0 0
Matriz coluna: é aquela que possui uma única coluna (n = 1).
Exemplos:
A3×1


1

= 4 

−3
B2×1 =
"
x
y
#
Matriz linha: é aquela que possui somente uma linha (m = 1).
Exemplos:
A1×3 =
h
3 0 1
i
B1×2 =
h
0 0
i
Matriz diagonal: é uma matriz quadrada (m = n), onde aij = 0 para i 6= j, isto é, os
elementos que não estão na ’diagonal’ são nulas.
Exemplos:


7 0 0


A3×3 =  0 1 0  ,
0 0 −1




B4×4 = 
3
0
0
0
0
3
0
0
0
0
3
0
0
0
0
3





Matriz Identidade: é uma matriz quadrada em que aij = 1 para i = j, e aij = 0 para i 6= j.
Exemplos:
4
CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES


1 0 0


I3 =  0 0 0  ,
0 0 0
I2 =
"
#
1 0
0 1
Matriz triangular superior: é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da
diagonal são nulos, isto é, m = n e aij = 0 para i > j.
Exemplos:


2 −1 0


A3×3 =  0 −1 4  ,
0 0 3
B2×2 =
"
a b
0 c
#
,




C4×4 = 
4 −3 5 0
0 7 5 9
0 0 2 8
0 0 0 1
Matriz triangular inferior: é aquela em que m = n e aij = 0 para i < j.
Exemplos:
A4×4 =





2 0 0 0
1 −1 0 0
1 2 2 0
1 0 5 4



,

B3×3


5 0 0


= 7 0 0 
2 1 3
Matriz Simétrica: é aquela onde m = n e aij = aji .
Exemplos:
A3×3 =




4 3 −1
3 2 0 
,
−1 0 5




B4×4 = 
a
b
c
d
b c d
c f g 


f h i 
g i k
Igualdade de matrizes






5
1.1. MATRIZES
Duas matrizes Am×n e Br×s são iguais, se elas possuem o mesmo número de linhas (m = r) e
colunas (n = s), e todos os elementos correspondentes são iguais (aij = bij ).
Exemplos:
A2×3 =
"
32 1 log1
2 22
5
#
e B2×3 =
"
9 sen90o o
2
4
5
#
, então A = B.
Operações com matrizes
Adição :
A soma de duas matrizes de mesma ordem Am×n e Bm×n , é uma matriz m×n, que denotaremos
A + B, cujos elementos de A e B são somados.
Exemplo:
Sendo a matriz A3×3




10 18 15
27 12 70




=  9 15 7  e B3×3 =  12 24 13 , encontre a matriz A + B:
14 35 1
14 18 63
Resolução :


27 + 10 12 + 18 70 + 15


A + B =  9 + 12 15 + 24 7 + 13 
14 + 14 18 + 35 63 + 1
Propriedades:
i) A + B = B + A (comutatividade);
ii) A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade);
iii) A + ~0 = A, onde ~0 é a matriz nula m × n.
Multiplicação de um escalar por uma matriz
=


37 30 85


 21 39 20 
28 53 64
6
CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Sendo Am×n uma matriz e α um escalar. Se multiplicarmos a matriz pelo escalar (α.Am×n ),
obteremos uma nova matriz m×n onde α multiplica aij , ∀ij.
Exemplo:
Sendo A3×3


2 1 9


= 5 0 5 
7 3 2
e α = 2, obtenha α · A3×3 :
Resolução :
α · A3×3


2 1 9


=2· 5 0 5 =
7 3 2


2·2 2·1 9·2


 2·5 2·0 2·5 =
2·7 2·3 2·2


4 2 18


 10 0 10 
14 6 4
Propriedades:
i) α · (A + B) = α · A + α · B;
ii) 0 · A = ~0 (se multiplicarmos 0 por qualquer matriz obteremos uma matriz nula).
Tranposição de uma matriz:
A matriz transposta é obtida trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas.
Exemplo:
Sendo a matriz A3×3


2 1 9

=
 5 0 5 
7 3 2
obtenha a sua transposta.
Resolução :
Trocando-se as linhas pelas colunas teremos:


2 5 7


t
A = 1 0 3 
9 5 2
7
1.1. MATRIZES
Propriedades:
i) (A + B)t = At + B t
ii) (At )t = A
iii) (α · A)t = α · At
iv) Uma matriz é simétrica se ela é igual a sua transposta (A = At )
Multiplicação de matrizes:
A multiplicação de duas matrizes Am×n e Bl×p , só poderá ser realizado, se o número de colunas
de Am×n for igual ao número de linhas de Bl×p . Ou seja, n = l. E o resultado de Am×n .Bl×p será
uma matriz Cm×p .
Observe o esquema:
Am×n .Bl×p = Cm×p
Os elementos Cm×p são obtidos multiplicando os elementos da i-ésima linha de primeira matriz,
pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos.
Exemplo:
Sendo as matrizes A3×2


3 5


= 2 3 
1 7
B2×2 =
"
#
3 5
, obtenha uma terceira matriz (A.B)3×2 :
5 9
Resolução :
(A.B)3×2


3.3 + 5.5 3.2 + 5.9


=  2.3 + 3.5 2.2 + 3.9 
1.3 + 7.5 1.2 + 7.9
=


34 51


 21 31 
38 65
Propriedades:
i) Se A2×2 e B2×2 =⇒ (A.B)2×2 e (B.A)2×2 , mas elas possuem resultados diferentes.
8
CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Exemplo:
A2×2 =
"
1 −2
3 6
#
B2×2 =
"
−5 7
3 2
#
será (A.B)2×2 igual a (B.A)2×2 ?
Resolução :
(A.B)2×2 =
"
−11 3
3 33
#
(B.A)2×2 =
"
16 52
9 6
#
As duas são diferentes, ou seja, (A · B)2×2 6= (B · A)2×2 .
ii) A3×3 · I3×3 = A3×3 , onde I3×3 é uma matriz identidade.
iii) A(B + C) = AB + AC (distributividade);
iv) (A + B)C = AC + BC (distributividade);
v) (AB)C = A(BC) (associatividade);
vi) (AB)t = B t At ;
vii) ~0 · A = ~0 e A · ~0 = ~0, sendo ~0 uma matriz nula.
1.2
Sistemas de Equações Lineares
Definição de equação linear:
Chama-se de equação linear de n incógnitas qualquer equação da forma:
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn = b
- a1 , a2 , a3 , . . . an ; são números reais chamados de coeficientes da equação linear.
- x1 , x2 , x3 , . . . xn ; são chamadas de incógnitas.
- b; é uma constante ou termo independente.
Definição de Sistema Linear:
Chama-se de sistema linear o conjunto de m equações com n incógnitas, qualquer sistema da
forma:
9
1.2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES






+ a12 x2
+ a22 x2
..
.
a11 x1
a21 x1
..


.



+ a13 x3
+ a23 x3
..
.
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3
+ ... +
+ ... +
..
.
a1n xn = b1
a2n xn = b2
..
..
.
.
+ . . . + , amn xn = bm
- Os coeficientes das equações tem a forma aij .
- As incógnitas tem a forma xj .
- Os termos independentes a forma bi ,
Tal que:
1≤i≤m e 1≤j≤n
Uma outra forma de se escrever um sistema linear é na forma matricial:






a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
a13
a23
..
.
am1 am2 am3
. . . a1n
. . . a2n
..
..
.
.
. . . amn
 
 
 
·
 
 
x1
x2
..
.
xn






=






b1
b2
..
.
bn






A forma matricial de um sistema pode ser representada por Am×n · Xm×1 = Bm×1 ( sendo m
o número de equações e n o número de incógnitas ). em que:
A=
X=
B=


















a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
a13
a23
..
.
am1 am2 am3
x1
x2
..
.
xn
b1
b2
..
.
bn












. . . a1n
. . . a2n
..
..
.
.
. . . amn






→ é a matriz dos coeficientes
→ é a matriz das incógnitas.
→ é a matriz dos termos independentes.
10
CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Uma outra matriz associável a um sistema é a matriz ampliada, que pode ser representada
por A|B.


..
 a11 a12 a13 . . . a1n . b1 


..
 a

 21 a22 a23 . . . a2n . b2 
A|B =  .
..
..
..
.. .. 
..
 .

.
 .
.
.
.
. . 


..
am1 am2 am3 . . . amn . bm
A matriz ampliada é constituı́da pelos elementos da matriz dos coeficientes e da matriz
termos independendes.
Exemplo: A matriz ampliada do sistema abaixo é:



3x + 7y = 10
7x + 9y = 13


4x + 11y = 8


..
. 10 

.
9 .. 13 

..
4 11 . 8
3


A|B =  7

7
- A matriz ampliada será muito usada na resolução de sistemas lineares, que veremos a seguir:
Resolução de sistemas de equações lineares:
Uma solução de um sistema m×n são n números x1 , x2 , . . . , xn que satisfazem simultâneamente
as m equações .
Método de Solução dos Sistemas Lineares:
Para resolver um sistema linear de duas equações e duas incógnitas o método da substituição
é muito prático.
Mas quando o sistema é formado por três ou mais equações , é conveniente procurar um método
menos trabalhoso. Por esse motivo vamos utilizar o sistema em forma de escada, ou seja, o método
de escalonamento.
Utilizando o método de escalonamento o sistema terá que estar representado na forma de
matriz ampliada. Será usado para a resolução as seguintes operações elementares:
- Trocar a posição de duas linhas da matriz ampliada;
- Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero;
- Somar a uma linha outra linha multiplicada por um escalar;
Exemplo:



2x + 8y + 6z = 20
4x + 2y − 2z = −2


3x − y + z = 11
11
1.2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
A sua matriz aumentada é:


..
. 20 

.
2 −2 .. −2 

..
3 −1 1 . 11
2


A|B =  4

8
6
Depois de usadas as operações elementares citadas acima a forma escalonada do sistema será:

1 4
3


 0 −1 −1

0
0
5

..
. 10 

..
→ Forma escalonada
. 3 

..
. 20
A seguir será demonstrado dois métodos para escalonar um sistema usando operações elementares.
Método de Gauss (eliminação ou zeração )
Esse método consiste em transformar o sistema original que queremos resolver, em um sistema equivalente que possui a forma triangular.
Obs:Dois sistemas m × n são ditos equivalentes se possuirem o mesmo conjunto solução .
1o Exemplo : Resolva o sistema abaixo pelo método de Gauus.
(
10x + 2y = 40
x + 9y = 48
Resolução :
Etapa 1: trocar a 2a linha (L2 ), 1a linha (L1 );

..
10
2
.
40

A|B = 
..
1 9 . 48


..
1
9
.
48

A|B = 
.
10 2 .. 40

Etapa 2: eliminar o primeiro elemento da 2a linha, multiplicando a 1a linha por −10 e somando
à 2a linha.


..
9 . 48 
 1
→ Forma escalonada
.
0 −88 .. −440
A matriz está na forma triangular superior.
O sistema resultante é o seguinte:
(
x + 9y = 48
0x − 88y = −440
12
CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Resolvendo o sistema equivalente pelo método da substituição temos a siguinte solução :
X=
3
5
!
ou ~x =
3
5
!
2o Exemplo: Determine o conjunto solução do seguinte sistema:
.
1
1 2 .. 8


A|B =  −1 −2 3 ... 1

.
3 −7 4 .. 10




x + y + 2z = 8
−x − 2y + 3z = 1


3x − 7y + 4z = 10
Resolução :
Etapa 1: Eliminar o elemento a21 .
(1)
L2
.
1 1 2 .. 8

(0)
(0) 
= L1 + L2  0 −1 5 ... 9

.
3 −7 4 .. 10






Etapa 2: Eliminar o elememto a31 .
(1)
L3

..
. 8
..
−1 5 . 9
.
0 −10 −2 .. −14

.
8
1 1
2 ..
..
9
0 −1 5 .
..
0 0 −52 . −104
1

(0)
(0) 
= (−3)L1 + L3  0

1
2





Etapa 3: Eliminar o elememto a32 .

(2)
(1)
(1)
L3 = (−10)L2 + L3 


A matriz está na forma triangular superior.










13
1.2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
O sistema resultante é o seguinte:



x + y + 2z =
8
− y + 5z =
9


− 52z = −104
Resolvendo por substituição a solução será:




3
3




X =  1  ou ~x =  1 
2
2
Método de Gauus-Jordan
Consiste em operar transformações elementares sobre as equações de um dado sistema linear
até que se obtenha um sistema diagonal equivalente.
Exemplo 1: Resolva o sistema abaixo usando o método de Gauus-Jordan.



x + y + 2z = 4
2x − y − z = 0


x − y − z = −1
Resolução :

..
. 4
..
. 0
.
1 −1 −1 .. −1
1 1
2


A|B =  2 −1 −1

Etapa 1: Eliminar x1 das equações i = 2 e i = 3
(1)
L2
(1)
L3

(2)


..
. 4 

..
. −8 

..
0 −2 −3 . −5
1 1
2

(0)
(0) 
= (−1)L1 + L3  0 −3 −5

Etapa 2: Eliminar x2 da equação i = 3
L3

..
. 4 

..
. −8 

..
1 −1 −1 . −1
1 1
2

(0)
(0) 
= (−2)L1 + L2  0 −3 −5


1 1
2

(1)
(1) 
= (−2).L2 + 3.L3  0 −3 −5

0
0
1

..
. 4 

..
. −8 

..
. 1





14
CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Etapa 3: Eliminar x3 da equação i = 2;

..
1
1
2
.
4


(1)
(1)

.
= 5.L3 + L2 
 0 −3 0 .. −3 


.
0 0 1 .. 1

(2)
L2
Etapa 4: Multiplicar a 2a equação por − 31 ;

1 (2) 
(3)

L2 = − .L2 ; 

3

..
1 1 2 . 4 

.
0 1 0 .. 1 

..
0 0 1 . 1
Etapa 5: Eliminar x3 da equação i = 1 ;
(1)




(1)
L1 = (−2).L3 + L01 ; 

..
1 1 0 . 2 

.
0 1 0 .. 1 

..
0 0 1 . 1
Etapa 6: Eliminar x2 da equação i = 1 ;
(2)
L1

..
.
1
1
0
0


(1)


= (−1).L2 + L11 ;  0 1 0 ... 1 


..
0 0 1 . 1

O sistema resultante desse processo é o sistema diagonal;



x + 0y + 0z = 1
0x + y + 0z = 1


0x + 0y + z = 1
Resolvendo por substituição a solução será:




1
1




X =  1  ou ~x =  1 
1
1
Classificação dos Sistemas Lineares quanto ao número de solução
A solução solução de sistemas lineares pode ser:
15
1.2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Sistemas Linares
↓
↓
Possı́vel: Quando admite solução
Determinado: Quando admite solução única
Impossı́vel: Quando não
admite solução
Indeterminado: Quando admite infinitas
soluções
Por exemplo; em um sistema linear de ordem 2 (possui duas incógnitas) cada equação representa uma reta.
Resolver o sistema significa determinar a intersecção das duas retas, veja.
O sistema
(
a11 x1 + a12 x2 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2
Considerando que a12 6= 0 e a22 6= 0, pode ser escrito na linguagem mais conhecida;
(
ax − y = −b
cx − y = −d
y = ax + b
y = cx + d
Como estamos trabalhando com sistemas, essas duas retas devem ser representadas em um
mesmo sistema de eixos o que nos dá três possibilidades.
LOCAL PARA FAZER AS RETAS
Exemplos de soluções de sistemas lineares:
1o - Sistema possı́vel e determinado (SPD):
16
CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES


.
2 .. −1 

.
1 4 .. −2 

..
2 −1 2 . −4
1


A|B =  4




x + y + 2z = −1
4x + y + 4z = −2


2x − y + 2z = −4

1
1 1
2


Depois de escalonado → A|B =  0 −3 −4

0
0
2
O sistema triangular equivalente será:

..
. −1 

..
. 2 

..
. −4



x + y + 2z = −1
0x − 3y + 4z = 2


0x + 0y + 2z = −4
O sistema terá solução única, portanto ele é um sistema SPD, e a sua solução será:




1
1




X =  2  ou ~x =  2 
−2
−2
2o : Sistema possı́vel e indeterminado (SPI):



x − 2y + z = 1
2x − 5y + z = −2


3x − 7y + 2z = −1




A|B = 


..
1 −2 1 . 1 

.
2 −5 1 .. −2 

..
3 −7 2 . −1
1 −2 1


Depois de escalonado → A|B =  0 −1 −1

0
0
O sistema triangular equivalente será:
0

..
. 1 

..
. −4 

..
. 0



x − 2y + z = 1
0x − y − z = −4


0x + 0y + 0z = 0
O sistema terá infinitas soluções , portanto ele é um sistema SPI, e a sua solução será:




9 − 3α n
9 − 3α
o




X =  4 − α  ou ~x =  4 − α  onde α ∈ IR
α
α
17
1.2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
3o - Sistema impossı́vel (SI):
.
1 2 −3 .. 4
− 3z = 4


+ 5z = 2
A|B =  3 −1 5 ... 2

.
+ 2z = −2
4 1
2 .. −2


..
1
2
−3
.
4




escalonado → A|B =  0 −7 14 ... −10 


..
0 0
0 . −8




x + 2y
3x − 1y


4x + y
Depois de





O sistema triangular equivalente será:



x + 2y − z = 4
0x − 7y + 14z = −10


0x + 0y + 0z = −8
O sistema não terá solução , portanto ele é um sistema SI.
O Posto de uma matriz
O Posto de uma matriz Am×n é o número de linhas não nulas após o escalonamento.É denotado por ’p’.
Exemplo:
(
x + y − z = 5
2x + 2y + 2z = 9
A=
Depois de escalonado →
1 1 1
2 2 2
1 1 1
0 0 0
!
!
Ou seja, o posto da matriz A é igual a 1.
O Posto de uma matriz ampliada é denotado por ’p̃’ e possui a mesma definição do posto de
uma matriz Am×n .
Exemplo:
(
x + y − z = 5
2x + 2y + 2z = 10

..
1
1
1
.
5

A|B = 
..
2 2 2 . 10


..
1
1
1
.
5

Depois de escalonado → 
..
0 0 0 . 0

18
CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Ou seja, o posto da matriz A|B é igual a 1.
Observação : Para classificar um sistema basta observar se:
- p < p̃ → o sistema não possui solução .
- p = p̃ → o sistema tem solução .
Sendo p = p̃ pode ocorrer duas possibilidades;
p < n(números incógnitas)→ o sistema possui infinitas soluções .
(n − p = números de graus de liberdade.)
p = n → o sistema tem solução única.
Sistemas Homogênios
Sistema Linear homogênico, é aquele que os termos independentes das equações são todos
iguais a zero.






a11 x1
a21 x1
..


.



+ a12 x2
+ a22 x2
..
.
+ a13 x3
+ a23 x3
..
.
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3
+ ... +
+ ... +
..
.
a1n xn = 0
a2n xn = 0
..
..
.
.
+ . . . + amn xn = 0
Esse sistema pode ser escrito como A~x = ~0
Todo sistema homogêneo tem solução , e essa pode ser trivial ou nãotrivial.
Sistema Homogêneo: sempre tem solução
↓
Determinado: admite somente solução trivial
↓
Indeterminado: admite solução não trivial
Para resolver um sistema homogêneo, basta usar a matriz A no processo de escalonamento,
visto que a matriz dos termos independentes é nula.
Observação :
- Todo sistema homogêneo com menos equações que incógnitas (m < n) possui infinitas
soluções .
19
1.2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
- Todo sistema homogêneo com menos incógnitas que equações (n < m) pode possuir solução
única ou infinitas soluções .
Exemplo:(m < n)
(
4x + 2y − z = 0
2x − y + z = 0

..
4 2 1 . 0 
A|B = 
.
2 −1 1 .. 0
4 2 1
2 −1 1
A=
!

..
4 2 1 . 0 
Depois escalonando → 
.
0 −2 21 .. 0


A solução do sistema será a seguimte:
− 31 α


X= α 
4α

− 13 α


ou ~x =  α 
4α



∀α ∈ IR.
Exemplo:(n < m) com solução única.




x + y = 0
2x + y = 0


3x + y = 0

..
. 0 

..
. 0 

.
3 1 .. 0
1 1


A|B =  2 1



1 1


A= 2 1 
3 1

1 1


Depois escalonando →  0 −1

0
0
A solução do sistema será a seguinte:
X=
0
0
!
ou ~x =
0
0

..
. 0 

..
. 0 

..
. 0
!
Exemplo:(n < m) com infinitas soluções .




x + y = 0
2x + 2y = 0


3x + 3y = 0

..
. 0 

..
. 0 

..
3 3 . 0
1 1


A|B =  2 2



1 1

A= 2 2 

3 3


..
. 0 

..
. 0 

..
0 0 . 0
1 1


Depois escalonando →  0 0

20
CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
A solução do sistema será a seguinte:
X=
α
−α
!
ou ~x =
α
−α
!
∀α ∈ IR.
Proposição :
Seja A = (aij )m×n :
a) Se X e Y são soluções do sistema homogêneo, AX = ~0, então AX = O e AY = O. Portanto
X + Y também é solução pois;
A(X + Y ) = 0 ⇐⇒ AX + AY = 0
AX + AY = 0 ⇐⇒ ~0 + ~0
b) Se x é solução do sistema homogêneo, AX = ~0, então αX também é solução , pois;
A(αX) = αAX ⇐⇒ α~0 = ~0
1.3
APÊNDICE A
Sistemas Lineares: Método de Gauss-Jordan
Consiste em operar transformações elementares sobre as equações de um dado sistema linear
até que se obtenha um sistema diagonal equivalente. Para operar essas transformações , vamos
considerar:
• um k = 0, 1, 2, 3, ..., n − 1, onde ′ k ′ representa cada etapa do processo de eliminação da
variável xk das equações i 6= k;
(k)
• a notação aij para denotar o coeficiente da linha ′ i′ e da coluna ′ j ′ da k-ésima etapa, bem
(k)
como bi será o i-ésimo elemento da matriz dos termos independentes no final da etapa k;
• aij 6= 0;
• An×n ;
E fazer uso do seguinte esquema:
Etapa ′ k ′ : Eliminar xk das equações i = ..., k − 1, k + 1, ..., n:
21
1.3. APÊNDICE A
• pivô:
(k−1)
akk
(k−1)
• multiplicadores: mik =
aik
(k−1)
aik
• linhas da matriz resultante da Etapa ′ k ′ :
Linhas:
(k)
= Li
(k)
←− Li
Li
Li
(k−1)
, para i = k
(k−1)
− mik .Lk , para i 6= k

• matriz resultante da Etapa’k’: A(k) |B (k)
(k)
((k)
 a11 a12
 (k)
(k)
 a
a22

=  21
..
 ..
 .
.

(k)
(k)
am1 am2
(k)
· · · a1n
(k)
· · · a2n
..
..
.
.
· · · a(k)
mn
.. (k)
. b1 
.. (k) 
. b2 

.. .. 

. . 
.. (k) 
. bm

Exemplo:
Resolva o seguinte sistema pelo método de Gauss-Jordan.



x1 + x2 + 2x3 =
4
2x1 − x2 − x3 =
0


x1 − x2 − x3 = −1
A(0) |B (0)
=⇒
Etapa 1: Eliminar x1 das equações i = 2, 3;
(0)
• pivô: a11 = 1;
(0)
(0)
• multiplicadores: m21 =
• Li :
(1)
(0)
L1 = L1
(1)
(0)
(1)
(1)
(0)
(1)
a21
(0)
a11
= 2,
L2 ←− L2 − m21 · L1
L3 ←− L3 − m31 · L1
• a matriz resultante desta etapa é:
m31 =
a31
(0)
a11
=1

..
.
4
..
.
0
..
1 −1 −1 . −1
1
1
2


=  2 −1 −1






22
CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
A(1) |B (1)

..
4 
1
1
2 .



.
.
=  0 −3 −5 . −8 


..
0 −2 −3 . −5

Etapa 2: Eliminar x2 das equações i = 1, 3;
(1)
• pivô: a22 = −3;
(1)
• multiplicadores: m12 =
• Li:
(2)
(1)
L2 = L2
(2)
(1)
(2)
(2)
(1)
(2)
a12
(1)
a22
=
−1
,
3
(1)
m32 =
a32
(1)
a22
=
2
3
L1 ←− L1 − m12 .L2
L3 ←− L3 − m32 .L2
• A matriz resultante desta etapa é:
A(2) |B (2)

1
1
0
3


=  0 −3 −5

0
1
3
0

..
4
.
3 

..
. −8 

..
1
.
3
Etapa 3: Eliminar x3 das equações i = 1, 2;
(2)
• pivô: a33 = 13 ;
• multiplicadores: mik =
• Li:
(3)
(2)
L3 = L3
(3)
(2)
(2)
(3)
(2)
(2)
(k−1)
aik
(k−1)
akk
=







L1 ←− L1 − m13 · L3
L2 ←− L2 − m23 · L3
• A matriz resultante desta etapa é:
m13 =
m23 =
(2)
a13
(2)
a33
(2)
a23
(2)
a33
=
1
= −15
23
1.3. APÊNDICE A
A(2) |B (2)

..
1
0
0
.
1




=  0 −3 0 ... −3 


1 ..
1
0
0 3 .
3

O sistema resultante desse processo é o sistema diagonal A(3) · x = b(3) :



x1 + 0x2 + 0x3 =
1
0x1 − 3x2 + 0x3 = −3


1
0x1 + 0x2 + 13 x3 =
3


1

A solução do sistema é: ~x = 
 1 
1
24
CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Capı́tulo 2
Matriz Inversa e Determinantes
2.1
2.1.1
Matriz Inversa
Definição de matriz invertı́vel ou não singular
Seja An×n ,tal matriz é dita invertı́vel se existir uma outra matriz B, que satisfaz.
(1) An×n · Bn×n = In×n
ou
(2) Bn×n · An×n = In×n
Caso exista um matriz um matriz B que satisfaz (1) e (2) esta matriz será única. Iremos
denotá-la por:
A−1 · A = I
Se A não tem inversa, dizemos que A é singular ou não invertı́vel.
25
26
CAPÍTULO 2. MATRIZ INVERSA E DETERMINANTES
Exemplo:
Seja:




0
1 −1
1 2 3



A =  1 1 2  e B =  2 −2 −1 

−1
1
1
0 1 2

 






1 0 0
0
1 −1
1 2 3



 

A · B =  1 1 2  ·  2 −2 −1  =  0 1 0 
0 0 1
−1
1
1
0 1 2

 
1 0 0
1 2 3
0
1 −1



 

B · A =  2 −2 −1  ·  1 1 2  =  0 1 0 
0 0 1
0 1 2
−1
1
1
2.1.2
Propriedades da inversa
i) Se An×n tem inversa (A−1 ) e Bn×n tem inversa (B −1 ), então A · B tem inversa, e vale
(A · B)−1 = B −1 · A−1 .
Prova:
(A · B) · (B −1 · A−1 ) = I
A · B · B −1 · A−1 = I
A · I · A−1 = I
A · A−1 = I
Exemplo:
27
2.1. MATRIZ INVERSA
Considere as matrizes A−1 =
"
3 2
1 3
#
e B −1 =
"
2
5
3 −2
#
. A partir delas calcule:
(A · B)−1
Solução :
(A · B)
−1
=B
−1
−1
·A
=
"
2 5
3 −2
# "
·
3 2
1 3
#
=
"
11 19
7 0
#
ii) Se A é invertı́vel, então A−1 também é. Além disso vale:
(A−1 )−1 = A
iii) Se A = (aij )n×n é invertı́vel, antão At também é. Além disso vale:
(At )−1 = (A−1 )t
iv) Se A tem inversa e é simétrica, então A−1 também será simétrica.
A−1 = (A−1 )t
2.1.3
O uso do método de Gauss-Jordan para a inversão de matrizes
Se uma matriz A pode ser reduzida à identidade, por uma sequência de operações elementares
nas linhas, então A é invertı́vel, e a matriz inversa de A é obtida a partir da matriz identidade,
aplicando-se a mesmas operações nas linhas. Aplicando esses processos simultâneamente temos:
28
CAPÍTULO 2. MATRIZ INVERSA E DETERMINANTES
h
An×n
i
..
. In×n
→ Gauss − Jordan →
h
In×n
i
..
. A−1
Exemplo:


1 2 3


Seja A =  1 1 2 
0 1 2
,encontre A−1 caso exista.
Solução :

..
.
1
0
0
1
2
3



.
 1 1 2 .. 0 1 0 
A−1 = 


..
0 1 2 . 0 0 1

.
1
2
3 ..
1

(1)
(0)
(0)

.
L2 = (−1)L1 + L2 →  0 −1 −1 .. −1

.
0
1
2 ..
0

.
1
2
3 ..
1

(1)
(1)
(0)

.
→ L3 = L2 + L3 =  0 −1 −1 .. −1

.
0
0
1 .. −1


0 0 

1 0 

0 1

0 0 

1 0 

1 1
p = 3 e n = 3 ⇐⇒ p = n.
Então a inversa existe. Assim podemos prosseguir...


..
.
1 0 0 
(1)
(1)
(0)

..
→ L1 = (−3)L3 + L1
. −1 1 0 

.
1 .. −1 1 1
1
2
3


 0 −1 −1

0
0
.
4 −3 −3 
1
2 0 ..

(2)
(2)
(1)


.
→ L1 = 2L2 + L1
 0 −1 0 .. −2
2
1 


.
1
1
0
0 1 .. −1


(2)
(1)
(1)
e L2 = L2 + L3 →
(3)
(2)
e L2 = (−1)L2 →
29
2.1. MATRIZ INVERSA

..
1
0
0
.
0
1
−1




.
 0 1 0 ..

2
−2
−1


..
0 0 1 . −1
1
1

2.1.4
→
A−1


0
1 −1


=  2 −2 −1 
−1
1
1
Aplicação a criptografia
Uma maneira de criptografar um mensagem é através de multiplicação de matrizes.
MX = Y
Em que:
M é a matriz codificadora
X é a mensgem que se deseja transmitir
Y é a matriz codificada
Através da tabela de conversão de caracteres em números, pode-se codificar uma mensagem.
30
CAPÍTULO 2. MATRIZ INVERSA E DETERMINANTES
0
o
15
ã
30
F
45
a
1
p
16
ç
31
G
46
b
2
q
17
é
32
H
47
c
3
r
18
ê
33
I
48
d
4
s
19
ı́
34
J
49
e
5
t
20
ó
35
K
50
f
6
u
21
ô
36
L
51
g
7
v
22
õ
37
M
52
h
8
w
23
ú
38
N
53
i
9
x
24
ü
39
O
54
j
10
y
25
A
40
P
55
k
11
z
26
B
41
Q
56
l
12
à
27
C
42
R
57
m
13
a´
28
D
43
S
58
n
14
â
29
E
44
T
59
U
60
V
61
W
62
X
63
Y
64
Z
65
Á
66
A´
67
Â
68
Ã
69
Ç
70
É
71
Ê
72
Í
73
Ó
74
Ô
Õ
Ú
Ü
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
:
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
;
¡
=
¿
?
@
!
”
#
$
%
&
’
(
)
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104
*
+
,
.
/
[
\
]
{
|
}
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117
Exemplo:
Considere a seguinte mensagem codificada:
]Fofrov&!
Sabendo que MX = Y é a matriz codificada e M3×3
descodifique a mensagem Y .


1 2 0


=  0 1 1 ,
0 0 1
Resolução :
Sabe-se que X é a matriz da mensagem que se deseja transmitir. Então temos que:
31
2.1. MATRIZ INVERSA
MX = Y =⇒ X = M −1 Y
1o Passo: Obter a matriz inversa M −1 .
Sabemos pela definição de matriz inversa que M · M −1 = I3 . Usaremos neste caso o Método
de Gauss-Jordan.

..
1
2
0
.
1
0
0




.
 0 1 1 .. 0 1 0 


.
0 0 1 .. 0 0 1

Então M −1
=⇒
após o escalonamento
=⇒

..
1
0
0
.
1
−2
2




.
 0 1 0 .. 0
1 −1 


.
0 0 1 .. 0
0
1



1 −2
2

1 −1 
= 0

0
0
1
2o Passo: Obter a matriz Y
Sabemos que Y é a matriz codificada. Para obtê-la basta substituir (usando a tabela) seus
respectivos valores.


] f v


Y = F r & =
o o !


113 6 22


 45 18 101 
15 15 96
3o Passo: Substituir na fórmula: X = M −1 · Y .
32
CAPÍTULO 2. MATRIZ INVERSA E DETERMINANTES




113 6 22


 45 18 101  =
15 15 96
1 −2
2

1 −1 
X= 0
.
0
0
1


53 18 12

5 

 30 3
0 15 96
Substituindo os números pelos caracteres...


N
l


X =  ã c e 
o o !
Então a frase é: Não cole!.
2.2
Determinantes
Se uma matriz é quadrada, a ela podemos associar um número denominado determinante.
Determinante de uma matriz A1×1
A=
h
i
a ,
então detA = a.
Determinante de uma matriz A2×2
A=
"
a b
c d
#
,
então detA = (a.d) − (b.c)
Determinante de uma matriz A3×3
33
2.2. DETERMINANTES
Para o cálculo do determinante de uma matriz A3×3 (talvez) o mais prático, seria usarmos o
que se denomina Regra de Sarrus.
Exemplo:


a b c


A= d f g 
h i j
Repetimos a 1o e a 2o coluna à direita da 3o coluna.

..
a
b
c
.
a
b



.
 d e f .. d e 
detA = 


..
g h i . g h

Então o det A = (a.e.i + b.f.g + c.d.h) − (c.e.g + a.f.h + b.d.i)
Exemplo:
Calcule o determinante da matriz A3×3


.
0 3 .. 1 0 

.
=
2 3 .. 4 2 

.
−1 1 2 .. −1 1
1


detA =  4



1 0 3


=  4 2 3 ,
−1 1 2
usando a Regra de Sarrus.
(1.2.2+0.3.(−1)+3.4.1)−(3.2.(−1)+1.3.1+0.4.2) = 19
Determinante de uma matriz An×n
Cofator
O cofator de um elemento aij de uma matriz quadrada, é o resultado do produto de (−1)i+j
pelo determinante, obtido pela eliminação da linha e da coluna do elemento aij .
34
CAPÍTULO 2. MATRIZ INVERSA E DETERMINANTES
cof(aij ) = (−1)i+j · det Aij
Sendo que Aij é a matriz que se obtem de A suprindo-se uma i-ésima linha e sua j-ésima
coluna.
Exemplo:
Determine o cofator do elemento a12 da matriz:
cof(a12 ) = (−1)
1+2
· det
"
0 4
−2 6
#
cof(a12 ) = (−1) · [0 · 6 − (−2) · 4]
cof(a12 ) = (−1)(8)
cof(a12 ) = −8
Teorema de Laplace
Seja A = (aij )n × n com n ≥ 2. O determinante de A é obtido da seguinte forma.
i) Escolhemos em A uma linha (ou coluna) qualquer;
ii) Construirmos os produtos de cada elementto dessa linha (ou coluna) pelo seu cofator;
iii) Somamos os produtos, assim obtemos:
detA = cof(a11 ) · cof(a11 ) + cof(a12 ) · cof(a12 ) + cof(a13 ) · cof(a13 )
detA = 2 · 17 + 3 · (−44) + (−1) · (−111)
detA = 34 − 132 + 111
detA = 13
Determinante de uma matriz triangular superior ou inferior
35
2.2. DETERMINANTES
Se os elementos situados abaixo ou acima da diagonal principal de uma matriz são todos nulos,
o determinate dessa matriz é o produto dos elemtos da diagonal principal.
Exemplo:




Seja U = 
−5
0
0
0
6
3 12
3
0 6 

, calcule o determinante:
0 −8 9 
0
0 5

Resolução :
Basta multiplicar os elementos da diagonal principal.
detU = (−5) · 3 · (−8) · 5 = 600
2.2.1
O uso do determinante na resolução de um sistema linear
Regra de Cramer
Seja o sistema
(
a11 x1 + a12 x2 = b1
a12 x1 + a22 x2 = b2
Temos que:
A=
"
a11 a12
a21 a22
#
, é a matriz dos coeficientes e
"
b1
b2
#
, é os termos independentes.
A1 é matriz obtida de A,substituindo-se a coluna dos coeficentes de x1 pela coluna dos termos
independentes.
A1 =
"
b1 a12
b2 a22
#
36
CAPÍTULO 2. MATRIZ INVERSA E DETERMINANTES
A2 é a matriz obtida de A, substituindo-se a coluna dos coeficientes de x2 pela coluna de
termos independentes.
A2 =
"
a11 b1
a21 b2
#
Os valores de x1 e x2 serão obtidos por:
x1 =
det A1
det A
x2 =
det A2
det A
Exemplo: Resolva o sistema de equações lineares pela Regra de Cramer.
(
2x + 3y = 7
x − y = 1
Resolução :
det A =
"
2
3
1 −1
#
= −2 − 3 = −5
det A1 =
"
7
3
1 −1
#
= −7 − 3 = −10
det A2 =
"
2 7
1 1
#
= 2 − 7 = −5
Temos então que:
det A1
det A
det A2
x2 =
det A
x1 =
→
→
−10
=2
−5
−5
x2 =
=1
−5
x1 =
37
2.2. DETERMINANTES
Solução : x1 = 2, x2 = 1
Discussão de um sistema linear pelo determinante
Seja o sistema linear de n equações e n incógnitas AX = B, com A = (aij )n×n para n ≥ 2.
Esse sistema será:
Possı́vel e determinado →
Possı́vel e indeterminado →
Impossı́vel
2.2.2
→
(
detA 6= 0
(
det A = 0
det Aj = 0
det A
= 0
pelo menos um detAj 6= 0
Propriedades de determinantes
i) Seja An×n e Bn×n ;
det (A.B)= det A · det B
ii) O determinante de uma matriz An×n é o de sua transposta sãoiguais;
det A = det At
iii) Ao trocarmos duas linhas (ou colunas) de uma matriz, muda-se o sinal do determinante,
ou seja:
38
CAPÍTULO 2. MATRIZ INVERSA E DETERMINANTES
det B = − det A
Observação :
Se efetuarmos um número ı́mpar de trocas de linhas (ou colunas), o determinante muda o
sinal. Mas se efetuarmos um número par de trocas, o sinal do determinante não altera.
iv) Se duas linhas (ou colunas) forem iguais, o determinante é igual a zero (det = 0);
v) Se uma linha (ou coluna) de uma matriz A é multiplicada por um número α, o determinante
da matriz B resultante será:
det B = α. det A
vi) det(α.An×n ) = αn . det A, em que:
•α é um escalar;
• n é o número de linhas (ou colunas) da matriz An×n .
vii) Se uma linha (ou coluna) de uma matriz An×n é nula, o seu determinante é igual a zero.
Os determinantes e a matriz inversa
A existência da matriz inversa
Uma matriz A é invertı́vel, isto é, existe A−1 , se o determinante detA for diferente de zero
(det A 6= 0).
Propriedades:
39
2.2. DETERMINANTES
Se a matriz A é invertı́vel, det A−1 =
1
.
det A
Demonstração :
Se A é invertı́vel, sabemos que:
A−1 · A = In
det(A−1 · A) = det In
det A−1 · det A = 1
det A−1 = det1 A
Mais exemplos:
Sejam A e B matrizes n × n, tais que o det A = −12 e det B = 4. Calcule o det(At · B)−1 .
Resolução :
det(At · B)−1 =
1
(At ·B)
=
1
det A·det B
=
1
(−12)·4
=
−1
48
Exemplo 2:
Se A é uma matriz 3×3 e det A = 3, então det( 12 .A−1 ) é?
Resolução :
det( 21 A−1 ) =
13
23
· det A−1 =
1
8
·
1
det A
=
1
8
·
1
3
=
1
24
Calculo do determinante de uma matriz usando o escalonamento
Em uma matriz A, se o produto de uma linha (ou coluna) por um número é somado a outra
40
CAPÍTULO 2. MATRIZ INVERSA E DETERMINANTES
linha (ou coluna), então o determinante da matriz B resultante é igual ao det A.
Exemplo:
Calcule o determinante da matriz A2×2 =
"
#
4 6
.
8 5
Resolução :
A2×2 =
"
4 6
8 5
#
=⇒
(1)
L2
=
(0)
(−2)L1
+
(0)
L2
=
"
4
6
0 −7
#
Então det A = 4 · (−7) = −28
Já em outra matriz A, quando o produto de uma linha (ou coluna), por um escalar é somado
a outra linha também multiplicada por um escalar, então o determinante da matriz B resultante é
diferente do determinante de A.
Exemplo:
"
5 3
.
4 1
=
(0)
(−4)L1
Calcule o determinante da matriz A2×2 =
#
Resolução :
A2×2 =
"
5 3
4 1
#
Chamando de B =
"
5
3
, sempre que det B = 5 · det A
0 −7
=⇒
#
(1)
L2
+
(0)
(5)L2
=
"
5
3
0 −7
#