Matrizes – ITA
1. (ITA) Sejam x, y
⎡x 1
A = ⎢⎢ y 0
⎢⎣ z − 1
e z números reais com y ≠ 0. Considere a matriz inversível
1⎤
0⎥⎥
1⎥⎦
Então:
(A) A soma dos termos da primeira linha de A-1 é igual a x + 1.
(B) A soma dos termos da primeira linha de A-1 é igual a 0.
(C) A soma dos termos da primeira coluna de A-1 é igual a 1.
(D) O produto dos termos da segunda linha de A-1 é igual a y.
(E) O produto dos termos da terceira coluna de A-1 é igual a 1.
2. (ITA) Seja A ∈ M2×2 (IR) uma matriz simétrica e não nula, cujos elementos são tais que a11, a12 e a22 formam, nesta ordem,
uma progressão geométrica de razão q ≠ 1 e trA = 5a11. Sabendo-se que o sistema AX = X admite solução não nula X ∈
2
M2×1(IR), pode-se afirmar que a 11
+ q2 é igual a
101
(A)
.
25
121
(B)
.
25
(C) 5.
49
(D)
.
9
25
(E)
.
4
3. (ITA) Sejam A= (ajk) e B= (bjk), duas matrizes quadradas n x n, onde ajk e bjk são, respectivamente, os elementos da linha j e
⎛ j⎞
⎛k⎞
⎝ ⎠
⎝ ⎠
coluna k das matrizes A e B, definidos por ajk= ⎜⎜ ⎟⎟ , quando j ≥ k, ajk= ⎜⎜ ⎟⎟ ,
k
j
jk
quando j < k
e
⎛ jk ⎞
⎟⎟ .
⎝p⎠
bjk= ∑ (−2) p ⎜⎜
p =o
O traço de uma matriz quadrada (cjk) de ordem n x n é definido por ∑np=1 c pp . Quando n for ímpar, o traço de A + B é igual a:
(A) n(n – 1)/3
(B) (n –1)(n + 1)/4
(C) (n2 – 3n + 2) / (n – 2)
(D) 3(n – 1)/n
(E) (n – 1) / (n – 2).
4. (ITA) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB = A e BA = B. Então, [(A + B)t]2 é igual a
(A) (A + B)2
(B) 2(At . Bt)
(C) 2(At + Bt)
(D) At + Bt
(E) AtBt.
5. (ITA) Sejam A e B matrizes n x n, e B uma matriz simétrica. Dadas as afirmações:
(I) AB + BAT é simétrica
(II) (A + AT + B) é simétrica
(III) ABAT é simétrica
temos que:
(A) apenas (I) é verdadeira
(B) apenas (II) é verdadeira
(C) apenas (III) é verdadeira
(D) apenas (I) e (III) são verdadeiras
(E) todas as afirmações são verdadeiras.
6. (ITA) Considere a matriz
⎡1 1 1 1 ⎤
⎢1 2 3 4 ⎥
⎥
A= ⎢
⎢1 4 9 16 ⎥
⎥
⎢
⎣1 8 27 64⎦
A soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A é:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5.
7. (ITA) Sendo x um número real positivo, considere as matrizes
⎛ log x log1 / 3 x 2 1⎞
⎟
A = ⎜⎜ 1 / 3
⎟
⎝
0
− log 3 x
1⎠
e
⎛
0
log1 / 3 x 2 ⎞⎟
⎜
⎟
1
0
B= ⎜
⎜
⎟
⎜ − 3 log1 / 3 x
−4 ⎟
⎝
⎠
A soma de todos os valores de x para os quais (AB) = (AB)T é igual a
25
3
28
(B)
3
32
(C)
3
27
(D)
2
25
(E) .
2
(A)
8. (ITA) Dados A ∈ M3×2 (IR) e b ∈ M3×1(IR), dizemos que X0 ∈ M2×1(IR) é a melhor aproximação quadrática do sistema
AX = b quando
(AX 0 − b) t (AX 0 − b) assume o menor valor possível.
Então, dado o sistema
⎡1⎤
⎡ − 1 0⎤
⎢ 0 1⎥ ⎡ x ⎤ = ⎢1⎥ ,
⎥ ⎢y⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎢⎣ 1 0⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣1⎥⎦
a sua melhor aproximação quadrática é
⎡ 1⎤
(A) ⎢ ⎥ .
⎣−1⎦
⎡1⎤
(B) ⎢ ⎥ .
⎣1⎦
⎡− 2 ⎤
(C) ⎢ ⎥ .
⎣ 0⎦
⎡1 ⎤
(D) ⎢ ⎥ .
⎣0 ⎦
⎡0 ⎤
(E) ⎢ ⎥ .
⎣1 ⎦
9. (ITA) Seja A uma matriz real 2 x 2. Suponha que α e β sejam dois números distintos, e V e W duas matrizes reais 2 x 1
não-nulas, tais que
AV = αV e AW = βW.
Se a, b ∈ R são tais que aV + bW é igual à matriz nula 2 x 1, então a + b vale
(A) 0
(B) 1
(C) –1
1
2
1
(E) – .
2
(D)
10. (ITA) Uma matriz real quadrada A é ortogonal se A é inversível e A–1 = At.
Determine todas as matrizes 2 x 2 que são simétricas e ortogonais, expressando-as, quando for o caso, em termos de seus
elementos que estão fora da diagonal principal.
11. (ITA) Sejam A e B matrizes 2x2 tais que AB = BA e que satisfazem à equação matricial A2 + 2AB – B = 0. Se B é
inversível, mostre que
a) AB-1 = B-1A e que
b) A é inversível
12. (ITA) Se A é uma matriz real, considere as definições:
I. Uma matriz quadrada A é ortogonal se e só se A for inversível e A–1 = AT.
II. Uma matriz quadrada A é diagonal se e só se aij = 0, para todo i, j = 1, …, n, com i ≠ j.
Determine as matrizes quadradas de ordem 3 que são, simultaneamente, diagonais e ortogonais.
Gabarito:
1. C
2. A
3. C
4. C
5. E
6. A
7. B
8. E
9. A