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Resistência dos Materiais 2003/2004
Curso de Gestão e Engenharia Industrial
10ª Aula e 11ª Aula
Duração - 2 Horas
Data - 3 de Novembro de 2003
Sumário: Conceito de viga. Vigas Isostáticas. Equações de Equilíbrio de Forças e
Momentos. Reacções de Apoio. Esforços Transversos e Momentos Flectores. Esforço
Axial. Diagramas de Esforços.
Objectivos da Aula: Rever a forma de Cálculo de Reacções de Apoio em Vigas
Isostáticas e Aprender a traçar os Diagramas de Esforços Transversos e Momentos
Flectores.
Resumo do Conteúdo da Aula
1- Introdução
Uma peça linear pode estar sujeita a forças laterais, esforços transversos e
momentos flectores como se representa na figura 10.1, podendo ser considerada plana ou
tridimensional conforme o tipo de solicitação a que está sujeita. No caso das acções
estarem contidas num plano, o chamado plano de solicitação que também contém o eixo
da peça linear, a viga é dita viga plana, é sobre este tipo de vigas que se vai fazer incidir
a maior parte do estudo sobre peças lineares. O tipo de ligações ao exterior usualmente
consideradas estão também representadas. As peças lineares consideradas são do tipo
viga plana isostática, isto é, são vigas cujo eixo está contido no plano de solicitação e
para as quais as equações da Estática são suficientes para efeitos de cálculo das reacções
de apoio. Os tipos de apoios considerados são: o encastramento, que impede todos os
movimentos de rotação e translação, o apoio duplo que impede dois movimentos de
translação e o apoio simples que impede um movimento de translação. No caso das vigas
planas, no encastramento desenvolvem-se três reacções, duas forças e um momento, no
apoio duplo desenvolvem-se duas reacções que são duas forças e no apoio simples
desenvolve-se uma reacção que é uma força. Nas secções de corte consideradas em B nas
vigas da figura 10.1, estão representados os esforços que se desenvolvem e que são
esforços transversos, T e momentos Flectores, M, estes esforços surgem em
consequência da necessidade de cada um dos sólidos elementares em que a viga foi
decomposta estarem em equilíbrio. Os diagramas de corpo livre para as duas vigas
planas consideradas estão representados na figura 10.2.
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Encastramento
A
B
Apoio Duplo
C
B
A
x
Apoio Simples
P
C
x
P
x
x
L
L
T
M
B
A
B
M
P
T
C
M
P
A
C
B
B T
T
M
Figura 10.1: Esforços Transversos e Momentos Flectores
Encastramento
Apoio Duplo
Apoio Simples
θ
PL sen θ
Pcosθ
P cos θ
P sen θ
P/2 sen θ
θ
P/2 sen θ
θ
Figura 10.2: Diagramas de Corpo Livre
Neste capítulo pretende-se proceder ao cálculo das reacções nos apoios de vigas
planas sujeitas a acções externas e ao cálculo dos esforços transversos e momentos
flectores nas várias secções das vigas.
Os tipos de acções mais frequentes, a que uma viga pode estar sujeita, são as
acções ditas concentradas e as acções ditas distribuídas. A carga concentrada numa viga é
considerada aplicada num ponto para efeitos de cálculo e as cargas distribuídas estão
distribuídas numa parcela da viga. Para efeitos de cálculo, as acções, desde que possível,
são reduzidas a cargas distribuídas por unidade de comprimento e a cargas concentradas.
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2. Esforços Internos e Externos
As cargas exteriores e as reacções de apoio constituem o conjunto dos esforços
externos na viga, as forças directamente aplicadas são em geral conhecidas e as reacções
de apoio necessitam em geral de ser calculadas. Os esforços internos são os esforços que
se desenvolvem numa secção da viga e são obtidos considerando um corte na viga
passando na referida secção e impondo o equilíbrio estático de cada uma das partes em
que a viga ficou dividida.
Para efeitos de cálculo das Reacções de apoio em vigas planas isostáticas é
suficiente considerar as equações de equilíbrio de forças e momentos, conhecidas da
Estática. Considere-se uma viga isostática plana, por exemplo uma das vigas
representadas na figura 10.3. As equações de equilíbrio de forças a considerar são duas,
a equação de equilíbrio de forças segundo x e a equação de equilíbrio de forças segundo y
∑Fx =0
∑F y =0
10.1
O eixo dos xx é considerado coincidente com o eixo da viga, o eixo dos yy é
considerado perpendicular ao eixo dos xx e contido no plano de solicitação e o eixo dos
zz é normal ao plano Oxy.
Além das duas equações de equilíbrio de forças já referidas é necessário
considerar a equação de equilíbrio de momentos segundo z num ponto
∑M z = 0
10.2
y
p(x)
y
p(x)
x
x
P
y
P
P
y
p(x)
P
x
p(x)
P
x
Figura 10.3: Vigas Isostáticas Planas
O número de equações necessárias para efeitos de cálculo das reacções são três,
eventualmente duas no caso de não existirem forças axiais.
As equações de equilíbrio estático a considerar para efeitos de cálculo dos esforços
internos são as equações de equilíbrio de momentos e forças, referidas no cálculo das
reacções, no caso da viga estar sujeita a forças no plano de solicitação.
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A fim de exemplificar o cálculo de reacções e esforços internos, vão considerar-se alguns
casos simples
2.1.Vigas Encastradas
Considerem-se as vigas encastradas representadas na figura 10.4 e calculem-se as
reacções de apoio. No caso das vigas da figura não existem esforços axiais e é necessário
considerar apenas duas equações de equilíbrio, uma equação de equilíbrio de forças
segundo y e uma equação de equilíbrio de momentos segundo z. As duas reacções
existentes são uma reacção R y e um momento M, como se representa na figura.
y
y
B x
A
M
P
Ry
M
p(x)=p
x
A
B
Ry
L
∑ Fy = 0 ⇒ Ry = P
∑ M z = 0 ⇒ M = PL
L
∑ F y = 0 ⇒ R y = pL
∑ M z = 0 ⇒ M = p L 2 /2
Figura 10.4: Reacções de Apoio em Vigas Encastradas
No caso de se tratarem de outras solicitações, as equações de equilíbrio a considerar
ainda seriam as mesmas, mas as forças intervenientes seriam distintas.
Exemplo 10.1
Considere a viga encastrada representada na figura 10.5 e determine
a) As reacções de Apoio.
b)Os Esforços Transversos e os Momemtos Flectores nas Secções B-B eC-C.
Resolução
a) Cálculo das Reacções de Apoio
∑ F y = 0 ⇒ R A = 80 + 20 = 100 kN
∑ M z = 0 ⇒ M A = 20 × 8 + 80 × 4 = 480 kN .m
R A = 100 kN ; M A = 480 kN .m
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B 10kN/m
C
B
20kN
C
2.0m
A
MB
MA
RA
TB
MB
20kN
TB
3.0m
MC
MA
8m
RA
TC
TC
20kN
MC
Figura 10.5: Viga Encastrada
b)Cálculo dos Esforças Transversos em B-B e C-C
O esforço T B é igual à resultante das forças à direita da Secção B-B, ou seja
T B = 20 + 10 × 5 = 70kN
O esforço T C é igual à resultante das forças à direita da Secção C-C, ou seja
T C = 20 + 10 × 2 = 40kN
Cálculo dos Momentos flectores em B-B e C-C
O momento M B é igual ao momento em B-B das forças à direita da Secção B-B, ou seja
M B = 20 × 5 + 10 × 5 × 2.5 = 225 kN .m
O momento M C é igual ao momento em C-C das forças à direita da Secção B-B, ou seja
M C = 20 × 2 + 10 × 2 × 1 = 60kN.m
2.2.Vigas Simplesmente Apoiadas
Considerem-se as vigas simplesmente apoiadas representadas na figura 10.6 e calculemse as reacções de apoio. No caso das vigas da figura não existem esforços axiais e é
necessário considerar apenas duas equações de equilíbrio, uma equação de equilíbrio de
forças segundo y e uma equação de equilíbrio de momentos segundo z. As reacções são
uma reacção R y em A e uma reacção R y em C, como se representa na figura.
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P
y
y
B
A
p(x)=p
Cx
x
A
RA
RC
L/2
C
RA
L
L/2
∑Fy = 0 ⇒ R A+ RC = P
∑ F y = 0 ⇒ R A + R C = pL
∑ M z = 0 ⇒ R C L = PL/2
R A = P/2; R C = P/2
∑ M z = 0 ⇒ R C L = p L 2 /2
R A = pL/2; R C = pL/2
RC
Figura 2.6: Reacções em Vigas Simplesmente Apoiadas
O cálculo das reacções de apoio é em geral necessário para efeitos de cálculo dos
Esforços Transversos e Momentos Flectores.
Exemplo 10.2
Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura 10.7 e determine
a) As Reacções de Apoio.
b) Os Esforços Transversos e os Momemtos Flectores nas Secções B-B eC-C.
Resolução
Equações de equilíbrio de forças e momentos
∑ F y = 0 ⇒ R A + R D = 15 × 7 + 30 = 135 kN
∑ M z = 0 ⇒ 7 × R D = 15 × 7 × 3.5 + 30 × 3.5 = 472.5 kN .m
Resolvendo o sistema de equações obtido, obtém-se:
R A = 67.5; R D = 67.5
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15kN/m B
30kN
A
B
2.0m
3.5m
MB
C
C
30kN
15kN/m
TB
15kN/m
D
MB
T C 15kN/m
TB
2.0m
RA
3.5m
15kN/m
RD
MC
30kN
MC
RD
TC
RA
Figura2.7: Viga simplesmente Apoiada
b)
Cálculo dos Esforças Transversos em B-B e C-C
O esforço T B é igual à resultante das forças à esquerda da Secção B-B, ou seja
T B = 67.5 − 15 × 2 = 37.5kN
O esforço T C é igual à resultante das forças à esquerda da Secção C-C, ou seja
T C = 67.5 − 30 − 15 × 5 = −37.5 kN
Cálculo dos Momentos flectores em B-B e C-C
O momento M B é igual ao momento em B-B das forças à esquerda da Secção B-B, ou
seja
M B = 67.5 × 2 − 15 × 2 × 1 = 105 kN .m
O momento M C é igual ao momento em C-C das forças à direita da Secção B-B, ou seja
M C = 67.5 × 5 − 15 × 5 × 2.5 − 30 × 1.5 = 105 kN .m
2.3.Vigas Simplesmente Apoiadas com tramo em consola
Considerem-se as vigas simplesmente apoiadas com tramo em consola
representadas na figura 10.8 e calculem-se as reacções de apoio. No caso das vigas da
figura não existem esforços axiais e é necessário considerar apenas duas equações de
equilíbrio, uma equação de equilíbrio de forças segundo y e uma equação de equilíbrio de
momentos segundo z. As reacções são uma reacção R y em A e uma reacção R y em C,
como se representa na figura.
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y
P
B
A
p(x)=p
y
C
x
x
A
RA
L/3
L/3
RC
L/3
∑Fy = 0 ⇒ R A + RC = P
∑ M z = 0 ⇒ 2R C L/3 = PL/3
R A = P/2; R C = P/2
C
RC
RA
2L/3
L/3
∑ F y = 0 ⇒ R A + R C = pL
∑ M z = 0 ⇒ 2R C L/3 =
= 4p L 2 /18 + 5p L 2 /18
R A = pL/3; R C = 3pL/4
Figura 10.8: Vigas Simplesmente Apoiadas com tramo em Consola
Exemplo 10.3
Considere a viga simplesmente apoiada com tramo em consola representada na figura
10.9 e determine
a) As Reacções de Apoio.
b) Os Esforços Transversos e os Momentos Flectores nas Secções B-B e C-C.
Resolução
a)
Cálculo das Reações de Apoio
Equações de equilíbrio de forças e momentos
∑ F y = 0 ⇒ R A + R D = 20 × 4.5 + 25 = 115 kN
∑ M z = 0 ⇒ 4.5 × R D = 20 × 4.5 × 2.25 + 25 × 6.5 = 365 kN .m
Resolvendo o sistema de equações obtido, obtém-se:
R A = 33.8( 8 )kN ; R D = 81.1( 1 )kN
b) Cálculo dos Esforças Transversos em B-B e C-C
O esforço T B é igual à resultante das forças à esquerda da Secção B-B, ou seja
T B = 33.88( 8 ) − 20 × 2 = −13.8( 8 )kN
O esforço T C é igual à resultante das forças à direita da Secção C-C, ou seja
T C = 25 kN
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20kN/m B
C
TB
25kN
MB
20kN/m
D
A
B
MB
C
2.0m
2.5m
1.0m
1.0m
25kN
20kN/m
RD
25kN
TB
RA
MC
20kN/m
TC
MC
TC
RA
RD
Figura2.9: Viga simplesmente Apoiada com tramo em consola
Cálculo dos Momentos flectores em B-B e C-C
O momento M B é igual ao momento em B-B das forças à esquerda da Secção B-B, ou
seja
M B = 33.8( 8 ) × 2 − 20 × 2 × 1 = 27.7( 7 )kN .m
O momento M C é igual ao momento em C-C das forças à direita da Secção B-B, ou seja
M C = 25 × 1 = 25 kN .m
3. Diagramas de Esforços
O diagrama de esforços transversos é um gráfico que mostra o valor do esforço
transverso em função da distância x ao longo do eixo da viga e o diagrama de momentos
flectores é um gráfico que mostra o valor do momento flector em função da distância x ao
longo do eixo da viga.
Para traçar os diagramas de esforços (entendidos como esforço transverso e momento
flector) é necessário considerar um corte na viga a uma distância x da origem e
determinar os valores dos esforços transversos e momentos flectores em função de x e
desenhar o gráfico das funções obtidas. Para ilustrar o processo, considerem-se os
exemplos seguintes. No traçado dos diagramas de esforços transversos e momentos
flectores usa-se a convenção de sinais representada na figura10.10.
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Esforços Transversos
Positivos
Esforços Transversos
Negativos
+
-
Momentos Flectores
Positivos
Momentos Flectores
Negativos
+
Figura 10.10: Convenção de Sinais
Exemplo 10.4
Considere a viga encastrada representada na figura 10.11 e desenhe os diagramas de
esforços transversos e momentos flectores.
B
A
RA
MB
A
L
MA
TB
P
C
B
B
P
C
MB
TB
x
TB = P
M B = Px
Figura 10.11: Viga Encastrada- Carga Pontual
Resolução:
Em geral, é necessário calcular as reacções de apoio, no caso da viga encastrada pode
evitar-se o cálculo das reacções de apoio considerando a origem do sistema de eixos na
extremidade livre da viga como se representa na figura 10.11. O esforço transverso
numa secção a uma distância x da extremidade livre são como se representa na figura
T=P e M=Px.
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O traçado dos diagramas é facilmente feito tendo em conta que T é constante e igual a P
e M é linear sendo a recta de inclinação P, como se representa na figura 10.12.
P
C
B
A
y
L
MA
P
+
T =P
RA
x
-
PL
M = Px
Figura 10.12: Viga Encastrada sujeita a uma Carga Pontual
Exemplo 10.5
Considere a viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga pontual, representada na
figura 10.13 e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores.
y
P
B
A
C
x
x
RA
b
a
L
R A = Pb/L; R c = Pa/L
RC
RA
M
T
0<x<a
P
M
a<x<L
T
RA
x
Figura 10.13: Viga Simplesmente Apoiada sujeita a uma Carga Pontual
Resolução:
Determinação das Reacções de Apoio
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∑ F y =0 ⇒ R A + R C = P
∑ M z = 0 ⇒ R C L = Pa
ou
R A = Pb / L; R C = Pa / L
Para efeitos de cálculo dos esforços transversos e momentos flectores a viga tem de ser
dividida em duas partes, uma entre A e B, 0<x<a e outra entre B e C, a<x<L, como se
representa na referida figura.
Os esforços transversos são:
T = RA
=Pb/L para 0<x<a
T = P − R A = R B = Pa / L para a<x<L
sendo este esforço, de acordo com a convenção de sinais, negativo.
Os momentos flectores são:
M = R A x = Pbx / L para 0<x<a
M = R A x − P( x − a ) = Pbx / L − P( x − a ) para a<x<L
De acordo com a convenção de sinais, estes momentos flectores, são positivos.
Os diagramas de esforços estão representados na figura 10.14.
y
P
Esforços Transversos
B
A
C
x
y
R A = Pb/L
+
RA
b
a
RC
-
R C = Pa/L
L
x
Momentos Flectores
Pab/L
R A = Pb/L; R c = Pa/L
y
+
x
Figura 10.14: Diagramas de Esforços- Viga Simplesmente Apoiada-Carga Pontual
Exemplo 10.6
Considere a viga encastrada sujeita a uma carga uniformemente distribuida,
representada na figura 10.15 e desenhe os diagramas de esforços transversos e
momentos flectores.
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TB
p(x)=p
MB
A
MA
C
B
L
A
RA
x
B
B
C
MB
TB
MA
T B = px
RA
M B = P x 2 /2
Figura 10.15: Viga Encastrada Sujeita a uma Carga Uniformemente Distribuída
Resolução:
Cálculo das Reacções de Apoio
∑ F y = 0 ⇒ R A = pL
∑ M z = 0 ⇒ M A = p L2 / 2
O esforço transverso numa secção a uma distância x da extremidade livre da viga é:
T=px
O momento flector numa secção a uma distância x da extremidade livre da viga é:
M = p x2 / 2
Os diagramas de esforços estão representados na figura 10.16.
p(x)=p
A
MA
C
B
pL
L
RA
T = px
+
x
x
x
R A = pL
M A = p L 2 /2
p L 2 /2
-
M = P x 2 /2
Figura 10.16: Diagramas de Esforços - Viga Encastrada - Carga Uniformemente
Distribuída
14/28
Exemplo 10.7
Considere a viga simplesmente apoiada, sujeita a uma carga uniformemente distribuída,
representada na figura 10.17 e desenhe os diagramas de esforços transversos e
momentos flectores.
p(x)=p
y
C
A
p(x)=p
x
MB
B
x
RA
x
RC
L
R A = PL/2; R c = PL/2
TB
RA
p(x)=p
MB
TB
T B = pL/2 − px
M B = pLx/2 − p x 2 /2
Figura 10.17: Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a uma Carga uniformemente
Distribuída
Resolução:
Cálculo das Reacções de Apoio
∑ F y = 0 ⇒ R A + R C = pL
∑ M z = 0 ⇒ RC × L = p L2 / 2
ou seja:
R A = R C = pL / 2
O esforço transverso, numa secção a uma distância x da extremidade A da viga, é igual à
diferença entre a reacção R A e a resultante da carga distribuída ao longo de um
comprimento x:
T = pL / 2 − px
O momento flector, numa secção a uma distância x da extremidade A da viga, é igual ao
momento resultante da reacção de apoio R A menos o momento da resultante da carga
distribuída ao longo de um comprimento x, ou seja:
M = pLx / 2 − p x 2 / 2
Os diagramas de esforços estão representados na figura 10.18.
15/28
y
Esforços Transversos
C x
A
T ( x ) = pL / 2 − px
B
x
pL/2
L
pL/2
Momentos Flectores
M ( x ) = pLX / 2 − p x 2 / 2
p L 2 /8
R A = R C = pL / 2
Figura 10.18:Diagramas de Esforços- Viga Simplesmente Apoiada - Carga
Uniformemente Distribuída
Exemplo 10. 8
Considere a viga encastrada sujeita a uma carga linearmente distribuída, representada
na figura 2.19 e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores.
y
p(x)=px/L
p(x)=px/L
x
A
MA
C
B
RA
x
MB
MA
TB
RA
MB
R A = pL/2
M A = − p L 2 /6
T B = p x 2 /2L
TB
M B = − p x 3 /6L
Figura 10.19: Viga Encastrada sujeita a uma carga linearmente distribuída
Resolução:
Cálculo das Reacções de Apoio
∑ F y = 0 ⇒ R A = pL / 2
∑ M z = 0 ⇒ M A = − p L2 / 6
16/28
A uma distância x da extremidade livre a intensidade da carga p(x) é p(x)=px/L, como se
representa na figura 10.19.
O esforço transverso, numa secção a uma distância x da extremidade livre da viga, é
igual à resultante da carga triangular de altura x e base px/L, ou seja:
T = −( px / L ) × x / 2 = − p x 2 / 2 L
O momento flector, numa secção a uma distância x da extremidade livre da viga, é igual
ao momento resultante da carga triangular de altura x e base px/L:
M = −(px / L) × (x / 2) × x / 3 = − p x 3 / 6L
Os diagramas de esforços estão representados na figura 10.20.
y
p(x)=px/L
Esforços Transversos
x
A
MA
RA
T(x) = p x 2 /2L
C
B
x
pL/2
Momentos Flectores
R A = pL/2
M A = − p L 2 /6
p L 2 /6
M ( x ) = − p x 3 /6L
Figura 10.20: Viga Encastrada sujeita a uma Carga Linearmente Distribuída
Exemplo 10. 9
Considere a viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga linearmente distribuída,
representada na figura 10.21 e desenhe os diagramas de esforços transversos e
momentos flectores.
17/28
y
p(x)= px/L
p(x)=px/L
x
A
R
B
x
R
A
T
R
C
A
L
R
A
R
C
M
C
= pL/2
T
= pL/6
M
B
M
B
= p x 2 /2L - px + 2pL/6
B
B
B
T
B
R
C
= p x 3 /6L - p x 2 /2 + 2pLx/6
Figura 10.21: Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a um Carregamento Linearmente
Distribuído
Resolução:
Cálculo das Reacções de Apoio
∑ F = 0 ⇒ R + R = pL / 2
∑M = 0 ⇒ R L = pL /6
A
y
C
C
y
2
ou seja:
R A = 2 pL / 6; RC = pL / 6
O esforço transverso, numa secção a uma distância x da extremidade A da viga, é
calculado determinando a diferença entre a reacção de apoio e a resultante da carga
distribuida na área trapezoidal de comprimento x, tendo em conta que a carga
distribuída é –px/L+p, ou seja:
T ( x) = R A −
p + (− px / L + p)
× x = p x 2 / 2 L − px + 2 pL / 6
2
O momento flector, numa secção a uma distância x da extremidade A da viga, é obtido
por adição do momento resultante da reacção R A com o momento resultante da carga
trapezoidal de comprimento x:
M ( x) = R A × x −

p + (− px / L + p )
x × (− 2 px / L + 2 p + p ) 

× x ×  x −
2
3(− px / L + p + p) 

M ( x) = p x3 / 6 L − p x2 / 2 + 2 pLx / 6
18/28
Os diagramas de esforços estão representados na figura 10.22.
y
p(x)=px/L
Esforços Transversos
2pL/6
pL/6
+
x
A
B
x
R
RA
-
C
Momentos Flectores
C
L
+
T(x) = p x 2 /2L - px + 2pL/6
M(x) = p x 3 /6L - p x 2 /2 + 2pLx/6
Figura 10.22: Diagramas de Esforços- Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a Carga
Linearmente Distribuida
4. Equações de Equilíbrio
Considere-se uma viga rectilínea sob a acção de forças e momentos exteriores,
como se representa na figura 10.23, um elemento da viga de dimensão dx, a uma
distância x da origem do sistema de eixos deve estar em equilíbrio sob a acção de forças
exteriores e de esforços internos, momentos e esforços transversos.
p(x)
y
pdx
x
x
dx
M+dM
M
T+dT
T
dx
M
T
M+dM
T+dT
Figura 10.23: Esforços Transversos e Momentos Flectores num Elemento de
Dimensão Infinitesimal
19/28
As cargas exteriores aplicadas no elemento de dimensão dx, têm uma resultante igual a
pdx, os esforços de corte ou transversos resultantes nas secções de corte são, T e T+dT,
como se representa na figura 10.23. A equação de equilíbrio de forças segundo o eixo dos
yy é:
(T + dT ) − T + pdx = 0
Simplificando obtém-se:
dT
= −p
dx
10.3
A equação de equilíbrio de momentos no elemento de dimensão dx é:
(T + dT )dx − ( M + dM ) + M + pdx( 12 dx) = 0
Desprezando os infinitésimos de ordem superior à primeira obtém-se:
Tdx − dM = 0
ou no limite
dM
=T
dx
10.4
que representa a equação de equilíbrio de momentos no elemento de dimensão dx.
Substituindo a equação 10.4 na equação 10.3, obtém-se:
2
d M
= −p
d x2
10.5
Observando a equação 10.4 e 10.5, conclui-se que o máximo do momento flector M
ocorre para valores nulos do esforço transverso T, as equações 10.3, 10.4 e 10.5 resultam
só da consideração do equilíbrio estático e são portanto independentes do material da
viga.
A equação 10.3, pode ser integrada entre duas secções, uma a uma distância x1 e outra a
uma distância x2 da origem, obtendo-se:
x= x2
x2
x = x1
x1
∫ dT = − ∫ pdx
Designando por T 1 o esforço transverso a uma distância x1 e por T 2 o esforço transverso
a uma distância x 2 da origem, a equação anterior toma a forma:
x2
=
−
T 2 T 1 ∫ pdx
x1
2.6
20/28
A equação 10.4, pode ser integrada entre duas secções, uma a uma distância x1 e outra a
uma distância x2 da origem, obtendo-se:
x= x2
x2
x = x1
x1
∫ dM = ∫ Tdx
Designando por M 1 o esforço transverso a uma distância x1 e por M 2 o esforço
transverso a uma distância x2 da origem, a equação anterior toma a forma
x2
=
+
M 2 M 1 ∫ Tdx
x1
10.7
O valor de T(x) pode ser obtido considerando a equação 10.6 e considerando x2 = x , ou
seja:
x
T ( x) = T 1 − ∫ pdx
x1
10.8
Substituindo este valor na equação 10.7 obtém-se:
xx



M ( x) = M 1 + T 1 ( x − x1) − ∫  ∫ pdx dx

x1 x1
10.9
As equações 10.8 e 10.9 podem ser utilizadas para calcular as expressões dos esforços
transversos e momentos flectores a uma distância x de um ponto de referência x1 . Estas
equações podem ser utilizadas para efeitos de traçado dos diagramas de esforços em
alternativa ao processo utilizado no parágrafo anterior.
5. Diagramas de Esforços utilizando as Equações de Equilíbrio
Os exemplos anteriormente considerados podem ser refeitos fazendo uso das
equações de equilíbrio estático e da convenção de sinais anteriormente apresentada, estes
exemplos podem ser bastante elucidativos quanto à utilização das referidas equações quer
no que respeita à obtenção dos diagramas quer no que respeita à interpretação dos
mesmos. Alguns dos referidos exemplos serão repetidos considerando agora as equações
de Equilíbrio Estático.
Exemplo 10.10
Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura 10.24 e fazendo uso das
equações de equilíbrio estático, determine:
a) Os diagramas de Esforços
b) O momento máximo e o ponto em que ocorre.
21/28
Resolução
a) O cálculo das reacções de apoio é o primeiro passo, e este cálculo como foi indicado
anteriormente conduz às reacções seguintes:
R A = Pb / L; RC = Pa / L
A viga tem de ser dividida em dois tramas, o tramo 1 que corresponde a 0<x<a e o
tramo 2 que corresponde a a<x<L, no ponto em que está aplicada a carga pontual existe
uma discontinuidade no esforço transverso. A carga p(x) nos dois tramos é p(x)=0.
Para 0<x<a o esforço transverso é:
x
T ( x) = T (0) − ∫ p ( x)dx = T (0)
0
ou seja tendo em conta que T(0)= R A e que p(x)=0,o esforço transverso T(x) é:
T ( x) = R A = Pb / L
P
y
P
T ( x − ∆x / 2)
x
M ( x − ∆x / 2)
dx
a
b
T
L
M ( x + ∆x / 2)
dx T ( x + ∆x / 2)
Esforços Transversos
dT / dx = − p ( x ) = 0
x
+
Pb / L
R A = Pb / L; R B = Pa / L
Pa/L
salto para T=P
dT / dx = 0
0 < x < a ⇒ p( x) = 0
Momentos Flectores
T ( x) = T (0); M ( x) = M (0) + R A × x
a < x < L ⇒ p( x) = 0
x
T ( x) = T ( a + ); M ( x ) = M ( a ) − ∫ T ( x) dx
a+
M
dM / dx = T = − Pa / L
dM / dx = T = Pb / L
+
M = Pbx / L
x
M = Pa ( L − x ) / L
Figura 10.24: Viga Simplesmente apoiada Sujeita a uma Carga Pontual
Para 0<x<a o momento flector é tal que.
dM / dx = T ( x) = R A = Pb / L > 0
ou seja é rectilíneo uma vez que a inclinação é constante e crescente até x=a, uma vez
que a inclinação é positiva, ou seja integrando a equação anterior
22/28
x
M ( x) = M (0) + ∫ T ( x)dx = R Ax = Pbx / L
0
uma vez que M(0)=0, M(x) representa a área do diagrama de esforços Transversos entre
0 e x.
No ponto x=a existe uma discontinuidade de esforços transversos e considerando o
equilíbrio de forças no elemento de dimensão dx representado na figura conclui-se que
é:
∆x
∆x
T (a + ) = T (a − ) − P ou T (a + ) = T (a −) − P = − Pa / L
2
2
Considerando o equilíbrio de momentos no referido elemento conclui-se que:
M (a +) = M (a −)
ou seja existe continuidade de momento para x=a, embora exista uma mudança de
inclinação como resulta do facto de o esforço transverso à direita e à esquerda ter
valores distintos, sendo um valor positivo e outro negativo.
Para a<x<L o esforço transverso é:
x
T ( x) = T (a ) − ∫ p ( x)dx = T (a + ) =-Pa/L
+
0
O momento flector para a<x<L é tal que:
dM / dx = T ( x) = − R B = − Pa / L < 0
ou seja é rectilíneo tendo em conta que a inclinação é constante e decrescente ente x=a
e x=L, atendendo que a inclinação é negativa, integrando a equação anterior obtém-se.
x
x
a
a
M ( x) = M (a + ) + ∫ T ( x)dx = R Aa − ∫ R B dx = Pa ( L − x) / L
Os diagramas resultantes estão representados na figura 10.24.
b)
O momento máximo ocorre no ponto a que corresponde um esforço transverso
nulo, neste caso o referido ponto corresponde a x=a. O momento correspondente é:
M=Pab/L.
Exemplo 10.11
Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura 10.25 e fazendo uso das
equações de equilíbrio estático, determine:
a)Os diagramas de Esforços
b)O momento máximo e o ponto em que ocorre.
23/28
Resolução
a)O cálculo das reacções de apoio é o primeiro passo, este cálculo, como foi indicado
anteriormente, conduz às reacções seguintes:
R A = pL / 2; RC = pL / 2
Neste caso não há necessidade de dividir a viga em troços tendo em conta que a carga é
uniformemente distribuída em todo o tramo, não havendo lugar a discontinuidades de
carregamento ou ligação ao exterior.
A carga p(x) é p(x)=p e consequentemente é:
x
T ( x) = T (0) − ∫ p ( x)dx = T (0) − px
0
Tendo em conta que T(0) é igual à reacção no apoio A, a expressão de T(x) toma a
forma:
T ( x) = T (0) − px = R A − px = pL / 2 − px
y
x
L
T
Esforços Transversos
dT / dx = − p
pL / 2
+
x
pL / 2
R A = pL / 2; R B = pL / 2
p( x) = p
T ( x ) = T (0) − px
x
M ( x ) = M (0) − ∫ T ( x ) dx
0
Momentos Flectores
M
dM / dx = 0
+
dM / dx > 0
x
p L2 / 8
dM / dx < 0
Figura 10.25: Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a uma Carga Uniformemente
Distribuída
O momento flector é obtido por integração da equação dM/dx=T(x), ou seja:
x
M ( x) = M (0) − ∫ T ( x)dx = pLx / 2 − p x2 / 2
0
b) O momento flector máximo ocorre quando for T(x)=0, ou seja para x=T(0)/p. Tendo
em conta que T(0) é igual à reacção em A e que tem o valor de pL/2, a distância x a
24/28
que ocorre o momento máximo é x=L/2.
O momento máximo é:
M ( L / 2) = p L2 / 8
Exemplo 10.12
Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura 10.26 e determine:
a) As Reacções de Apoio
b) b)Os diagramas de Esforços
c) c)Os valores máximos dos Esforços e sua localização
Resolução:
a)Fazendo uso das equações de equilíbrio estático obtém-se:
y
6kN/m
A
B
6.0m
4.0m
Esforços Transversos
x
T
C
dT / dx = − 6
T ( x ) = − 10 .8
25.2 +
x
T ( x ) = − 6 x + 25 .2
Reacções de Apoio
R A = 25 .2 kN ; R C = 10 .8 kN
M ( x ) = M ( 0 ) − 3 x 2 + 25 . 2 x
dT / dx = 0
10.8
Momentos Flectores
M
dM / dx = 0
+
x
M ( x ) = − 10 .8 x − 108
Figura10.26: Viga Simplesmente Apoiada parcialmente carregada com Carga
Uniformemente Distribuída
∑F
∑M
y
= 0 ⇒ R A + RC = 36kN
= 0 ⇒ 10 RC = 36 × 3
ou seja:
R A = 25.2kN e RC = 10.8kN
z
b)
Para 0<x<6 a equação de equilíbrio de forças é:
25/28
dT
= −6 donde se conclui que T ( x) = T (0) − 6 x = −6 x + 25.2
dx
A equação de equilíbrio de momentos para 0<x<6 é:
dM
= T ( x) = −6 x + 25.2
dx
donde se conclui que
M ( x) = M (0) − 3 x 2 + 25.2 x = −3 x2 + 25.2 x
Para 6<x<10 a equação de equilíbrio de forças é:
x
dT
= 0 donde se conclui que T ( x) = T (6) + ∫ p ( x)dx = −10.8
dx
6
A equação de equilíbrio de momentos para 6<x<10 é:
dM
= T ( x) = −10.8
dx
donde se conclui que
x
M ( x) = M (6) + ∫ T ( x)dx = 45.2 − 10.8 x + 10.8 × 6 = 108.0 − 10.8 x
6
Os diagramas que resultam das expressões acabadas de obter estão representados na
figura 10.26.
c) O valor máximo do momento ocorre para T(x)=0 o que corresponde a ser no
intervalo 0<x<6 e ao valor T ( x) = −6 x + 25.2 = 0 , donde se conclui que x=4.2m.
Para este valor de x, o momento é:
M (4.2) = −3 × 4.22 + 25.2 × 4.2 = 52.92kN .m
Exemplo 10.13
Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura 10.27 e determine:
a) As Reacções de Apoio
b) Os diagramas de Esforços
c) Os valores máximos dos Esforços e sua localização.
26/28
20kN
10kN/m
B
A
Esforços Transversos
T ( x ) = 10 − 10 x
RC
4.0m
2.0m
+
C
x
RA
T ( x ) = 20
T
x
M
Momentos Flectores
M ( x ) = 10 x − 5 x 2
R A = 10 kN ; R C = 50 kN
x
M ( x ) = 40 − 20 x
Figura 10.27: Viga Simplesmente Apoiada com Tramo em Consola
Resolução:
a)Fazendo uso das equações de equilíbrio estático obtém-se:
∑ F y = 0 ⇒ R A + RC = 60
∑M
= 0 ⇒ 4 × RC = 6 × 20 + 40 × 2 = 120 + 80 = 200
As reacções de apoio são em consequência das equações anteriores
R A = 10kN RC = 50kN
A
b)No troço 0<x<4 a equação de equilíbrio de forças é
x
dT
= −10 que conduz a T ( x) = T (0) − ∫ 10dx = 10 − 10 x
dx
0
No troço 0<x<4 a equação de equilíbrio de momentos é
x
dM
= T (x) que conduz a M ( x) = M (0) + ∫ (10 − 10 x)dx = 10 x − 5 x 2
dx
0
No troço 4<x<6 a equação de equilíbrio de forças é
x
dT
= 0 que implica que seja: T ( x) = T (4) − ∫ 0dx = T (4+) = −30 + 50 = 20kN
dx
4
tendo em conta que no ponto B existe uma discontinuidade do esforço transverso sendo o
esforço transverso À direita de B igual a –30kN e à esquerda de B igual a 20kN, como
resulta da existência de uma reacção concentrada em B.
No troço 4<x<6 a equação de equilíbrio de momentos é:
dM
= T (x) que
dx
implica que seja:
27/28
x
M ( x) = M (4) + ∫ 20dx = −40 + 20 x − 20 × 4 = −120 + 20 x
4
Os diagramas resultantes das equações obtidas estão representados na figura 10.27.
6. Problemas Propostos para Resolução na Aula
1. Obtenha os diagramas de esforços, N, T e M, para as vigas simplesmente apoiadas
representadas nas figuras 10.28 a) …f)
2000N/m
M=1500N.m
x
y
y
L=1m
a)
y
0.5m
P=3000N
M=1500Nm
y
x
d)
y
1000N/m
4kN/m
2 kN/m
2m
3m
b)
y
0.5m
x
0.25m
0.5 m
x
3kN/m
e)
3kN/m
x
x
0.5m
0.5m
c)
0.25m
0.5m
0.25m
f)
Figura 10.28: Vigas Simplesmente Apoiadas
2. Obtenha os diagramas de esforços, N, T e M, para as vigas simplesmente apoiadas com
tramos em consola representadas nas figuras 10.29 a) …f)
28/28
2000N/m
M=1500N.m
x
y
y
L=1m
x
0.5m
0.5m
a)
M=3kNm
y
P=2kN
0.25 m
y
x
y
2m
3m
y
1000N/m
x
0.5m
4kN/m
2 kN/m
x
0.25m 0.25m
b)
d)
3kN/m
e)
3kN/m
x
0.25m
0.5m
0.5m
0.25m
f)
c)
Figura 10.29: Vigas com tramos em Conso
3. Obtenha os diagramas de esforços, N, T e M, para as vigas encastradas representadas
nas figuras 10.30 a) e b)
4.5kN/m
y
2kNm
y
5kN/m
2kNm
x
0.5m
x
0.5m
0.25m
a)
0.25m 5kN0.5m
b)
7- Leituras a Efectuar nas Horas de Estudo
- V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Materiais, Ediliber Editora, 1995.
- Carlos Moura Branco, Mecânica dos Materiais, Teoria e Aplicação, McGraw-Hill,
1989.
- J. F. Silva Gomes, Apontamentos de Mecânica dos Sólidos, Editorial de Engenharia.