Programa de Ciência e Tecnologia para Gestão de Ecosistemas
Ação "Métodos, modelos e geoinformação para a gestão ambiental”
Técnicas de Suporte a Decisão para Modelagem
Geográfica por Álgebra de Mapas
Fábio Roque Moreira
Gilberto Câmara
Raimundo Almeida Filho
Relatório Técnico
Maio – 2001
RESUMO
Este trabalho apresenta diversas tecnicas de suporte a decisão, envolvendo dados de
natureza geográfica. São abordadas as técnicas de análise hierárquica, modelos bayesianos,
lógica nebulosa, e redes neurais artificiais. Como estudo de caso, comparamos o
desempenho de 8 métodos de análise multi-critério de dados geológicos e radiométricos
na predição de áreas potenciais à ocorrência de minerais radiativos no planalto de Poços
de Caldas. As metodologias empregadas Booleana, Média Ponderada, Fuzzy (MínimoMáximo, Média, Ponderado e Gama), Bayes, Redes Neurais Artificiais, segundo um
modelo prospectivo empírico, definiram cenários com diferentes níveis de prioridades.
O método Booleano gerou dados binários em formato temático, indicando áreas com
potencialidade favorável e não-favorável. Os demais métodos produziram dados em
formato numérico, posteriormente fatiados em 4 classes com diferentes graus de
potencialidades (alta, média, baixa e nula). Nas avaliações dos cenários foram utilizados
48 ocorrências minerais que foram sobrepostas para inspeção visual e cruzadas
(tabulação cruzada) para o cálculo das probabilidades condicionais, utilizadas no
cálculo do grau de confiança. Os cenários gerados indicaram desempenhos diferentes
nas avaliações. O cenário gerado pelo método Fuzzy Ponderado apresentou o melhor
desempenho dentre todos os cenários avaliados, seguido pela inferência por Rede
Neurais e pela Média Ponderada. Os métodos Booleano e Fuzzy Gama mostraram-se
limitados e inadequados para estudos semelhantes. Os demais métodos apresentaram
desempenhos medianos.
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1 – CONSIDERAÇÕES INICIAIS
As atividades de pesquisa mineral nos dias atuais demandam a integração de uma
grande quantidade de dados, para a construção de modelos prospectivos que sirvam de
guias para tomadores de decisão. Essa estratégia de prospecção mineral decorre de uma
maior dificuldade na descoberta de novos depósitos minerais e da maior eficiência dos
sistemas computacionais (SIG’s) que permitem a manipulação de dados de diversas
fontes, de maneira mais rápida, através de diversas técnicas matemáticas. Os aplicativos
dos SIG’s são eficazes ferramentas em exploração mineral quando combinados com
apropriadas análises estatísticas e adequados modelos matemáticos (Turner e Sjoekri,
1999). As técnicas de geoprocessamento permitem a implementação de modelos
matemáticos, heurísticos e probabilísticos como ferramental para a construção de
modelos prospectivos que servirão de guias no mapeamento da potencialidade à
ocorrência mineral de determinada área.
Como os princípios físicos e químicos que governam a formação de depósitos minerais
são na maioria dos casos muito complexos para uma previsão direta segundo teorias
expressas matematicamente, a busca de sítios favoráveis deve basear-se principalmente
em relações empíricas, com a ajuda descritiva do “modelo de depósito”. (BonhamCarter, 1994).
Esses modelos consistem em um número de depósitos conhecidos, considerados como
sendo similares o suficiente em termos de suas características, para serem tratados como
um “modelo descritivo” que pode guiar a pesquisa para novos depósitos do mesmo tipo.
A descrição de um modelo de depósito inclui a avaliação dos processos físicos e
químicos que controlam a sua formação.
Na aplicação de sistemas de informação geográfica (SIG’s) para o mapeamento de
potencialidade à ocorrência mineral, os modelos de depósitos exercem papel importante
tanto na seleção e derivação dos dados que serão considerados como evidências, como
na definição dos pesos que irão ponderar as evidências.
A definição dos pesos pode ser efetuada de duas maneiras. Na primeira eles são
estimados por critérios estatísticos, sendo utilizadas as relações espaciais entre os mapas
de previsão (evidências) e as verdades de campo (depósitos ou ocorrências minerais
conhecidos), ou mesmo zonas de anomalias geoquímicas, geofísicas, etc. Na segunda
maneira, os pesos são estimados segundo a experiência de um especialista. Estes dois
tipos de abordagem são também conhecidos como modelos “data-driven” e “knowledgedriven” respectivamente (Reddy, et al. 1992; Bonham-Carter, 1994; Pendock e
Nedelijkovic, 1996) . No modelo “data-driven” os vários mapas de entrada são
combinados através de diferentes técnicas, tais como, regressões logísticas, ponderação
de evidências (probabilidade bayesiana), ou redes neurais. Os modelos de “knowledgedriven” incluem o uso da lógica booleana, média ponderada, lógica fuzzy, e teoria da
crença de Dempster-Shafer. (Bonham-Carter, 1994).
Outro aspecto a ser considerado durante as análises espaciais desenvolvidas em SIG’s
para a geração de mapas de potencialidade é a qualidade dos produtos gerados.
Burrough e McDonnell (1998) relatam que a qualidade dos mapas gerados em SIG’s é
avaliada, na maioria dos casos, apenas pelo aspecto visual do produto final. Entretanto,
controles de qualidades baseados apenas em aspectos visuais são insuficientes se a
informação presente está errada ou foi violada por erros durante o processamento.
Incertezas e erros são intrínsecos aos dados espaciais e necessitam ser identificados de
modo apropriado e não ignorados ou mascarados por efeitos de visualização gráfica.
Para a avaliação dos produtos gerados através de manipulações espaciais em SIG’s,
técnicas de aferição baseadas em métodos estatísticos, tais como o coeficiente de Kappa e
a probabilidade condicional, demostram ser úteis pois passam uma idéia quantitativa
dos dados, em vez de se fazer apenas uma avaliação qualitativa, o que na maioria dos
casos é um processo subjetivo.
1.2 - OBJETIVO
Considerando as premissas acima, o presente trabalho foi idealizado tendo dois
objetivos principais:
•
Utilizar metodologias de inferência espacial para pesquisa mineral através de análises
multi-critérios de dados geológicos e geofísicos. A avaliação multi-critério visou a
seleção de áreas com maior potencial à ocorrência de minerais radioativos no
complexo alcalino de Poços de Caldas.
•
Análise qualitativa e quantitativa dos mapas temáticos de potencialidade gerados
pela avaliação multi-critério. Na análise quantitativa foram utilizadas as ocorrências
minerais conhecidas, que foram cruzadas com as diferentes classes de
potencialidades dos cenários, para o cálculo da probabilidade condicional. Com as
probabilidades a priore e posteriore foi calculado o grau de confiança de cada classe
de prioridade dos diferentes cenários.
A Figura 1.1 apresenta o fluxograma da metodologia adotada no presente estudo. Na
caixa pontilhada, multi-critério, estão apresentadas as operações desenvolvidas para a
geração dos 8 cenários de potencialidade. A caixa pontilhada, avaliação quantitativa e
qualitativa, demostra as operações envolvidas na aferição dos cenários, onde,
dependendo do resultado, o tomador de decisão
mineral.
pode avançar ou não com a pesquisa
Sendo assim a proposta central do trabalho foi metodológica, ou seja, objetivou-se
utilizar diferentes técnicas de inferência espacial na geração de cenários, os quais
acredita-se, devem indicar as áreas mais favoráveis à ocorrência de minerais radioativos.
Como os cenários são parecidos visualmente, mas não idênticos, uma avaliação
quantitativa dos resultados, aliada à avaliação qualitativa, é de suma importância. Para a
avaliação quantitativa utilizou-se a probabilidade a posteriore, que fornece um
parâmetro numérico estabelecendo um grau de confiança.
Fig. 1.1 – Fluxograma da metodologia proposta para o trabalho.
CAPÍTULO 2
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: TÉCNICAS DE INFERÊNCIA ESPACIAL
A integração de dados geológicos multi-fontes na pesquisa mineral é tarefa moldada
para sistemas de informações geográficas. A tarefa de integração de dados em um SIG
pode ser dividida em cinco etapas: construção do banco de dados; extração das
evidências relevantes à previsão de depósitos minerais; construção de modelos de
potencialidade mineral; visualização do dados de saída; e interpretação dos resultados
(Bonham-Carter, 1990).
Na maioria dos projetos desenvolvidos em SIG com tal objetivo, a principal proposta é a
combinação de dados espaciais, com o objetivo de descrever e analisar interações, de
modo a fazer previsões através de modelos prospectivos empíricos, fornecendo apoio
para a definição de sítios com maiores chances de encerrar depósitos minerais. A
combinação desses dados multi-fontes permite reduzir a ambigüidade de interpretações
que normalmente pode ocorrer na análise individual desse dados (Pendock e
Nedelijkovic, 1996).
O uso da tecnologia de SIG’s na seleção de sítios potenciais envolve a análise de
parâmetros que satisfaçam a um conjunto de critérios. Neste trabalho foram utilizados 8
métodos de inferência espacial para a integração dos dados (evidências): Booleano,
Média Ponderada, Fuzzy (Mínimo-Máximo, Média, Ponderado, Gama), Bayes e Redes
Neurais Artificiais. Para tal foi adotado um modelo prospectivo visando a definição de
áreas potenciais à ocorrência de depósitos minerais radioativos no planalto de Poços de
Caldas. Os métodos geram como resultado planos de informação com diferentes
representações. O método Booleano gera dados com representação temática, sendo a
potencialidade expressa espacialmente em forma de polígonos que representam classes
(favorável e não favorável). Os demais métodos produzem dados com representação
numérica, sendo a potencialidade expressa de forma numérica.
2.1 MÉTODO BOOLEANO
O modelamento segundo operadores de lógica booleana em SIG’s é análogo à
sobreposição de mapas em formato analógico em uma mesa de luz (“overlay”), método
tradicionalmente utilizado em estudos geológicos. Essa semelhança, aliada à
simplicidade operacional, fizeram com que o modelamento booleano fosse e venha
sendo bastante empregado em diferentes estudos ambientais desenvolvidos em SIG’s. Os
trabalhos de Harris (1989), Almeida Filho (1995), Lihao et al. (1997) são bons exemplos
de estudos geológicos que adotaram essa metodologia.
O Modelo Booleano envolve a combinação lógica de mapas binários através de
operadores condicionais. Cada mapa utilizado pode ser entendido como um plano de
informação (evidência). Os vários planos de informação são combinados segundo uma
seqüência lógica para dar suporte a uma hipótese ou proposição definida. Diferentes
operações são testadas, para determinar se as evidências satisfazem ou não às regras
definidas pela hipótese.
Para a aplicação da metodologia booleana é necessário que os planos de informação
(evidências) representem apenas duas classes, ou seja, que apresentem um padrão
binário. Em planos de informação com representação temática a generalização é obtida
através de uma reclassificação das diferentes classes para “favorável” e “não-favorável”.
Para planos de informação com representação numérica a divisão em duas classes é
obtida através da definição de limiares de corte (Lc), que agruparão diferentes valores
numéricos. Esse fatiamento pode ser melhor entendido através da função de pertinência
(Fp) exemplificada na Figura 2.1. Onde função de pertinência, é uma função que, dado
o valor x, ela determina se o elemento avaliado pertence ou não a um determinado
conjunto em análise. No gráfico da Figura 2.2 o eixo x expressa a variação dos valores
do atributo e o eixo y os valores de saída definidos pela função de pertinência (Fp). Os
pontos La e Lb correspondem aos limiares de corte do conjunto. Pela figura fica claro que
o resultado é expresso de forma binária, “0” (hipótese não satisfeita) e “1” (hipótese
satisfeita), não sendo possível a condição talvez.
Fig. 2.1 – Função de pertinência de conjuntos booleanos.
Para a integração de planos de informação binários, a álgebra Booleana utiliza os
ponderadores lógicos “E”, “OU”, “Exclusivo OU (XOR)” e “NÃO”, que determinam se
uma hipótese satisfaz ou não a uma particular condição. Para melhor entendimento,
imagine cada atributo como um conjunto (Figura 2.2). O operador “E” retorna a
interseção entre dois ou mais conjuntos, ou seja, as entidades que pertencem aos
conjuntos A e B. O operador “OU” retorna a união dos conjuntos, cujas entidades que
pertencem tanto ao conjunto A como ao B. O “XOR” recupera as entidades pertencem a
um conjunto e ao outro, mas não aos dois conjuntamente. E o “NÃO” é o operador da
diferença, identificando as entidades que pertencem ao conjunto A mas não ao B.
Embora esse método seja prático, normalmente não é o mais adequado, pois o ideal é
que evidências que apresentem importâncias relativas desiguais recebam pesos
diferentes, o que não ocorre no modelamento booleano que as trata como iguais. Para
esses casos a técnica da Média Ponderada pode ser uma abordagem interessante. Outro
problema com este tipo de modelamento é que assume-se que todas as entidades e seus
atributos podem ser descritos e medidos exatamente. Porém, por razões de variação
espacial, incerteza e limitações de medida, esta suposição não é realística (Burrough e
Heuvelink, 1992).
Fig. 2.2 – Diagrama de Venn mostrando os resultados da aplicação de operadores de
lógica booleana para dois ou mais conjuntos. FONTE: Burrough e McDonnell
(1998).
2.2 MÉDIA PONDERADA
Eastman et al. (1995) citam a Média Ponderada como a técnica mais utilizada em
projetos que envolvem análise espacial. Os trabalhos Harris (1989), Eastman et al.
(1995), Silva (1994) e Almeida Filho (1995) são bons exemplos de estudos de inferência
espacial baseados nessa técnica.
Neste método, cada mapa de entrada será utilizado como uma evidência que receberá
um peso relativo à sua importância para a hipótese sob consideração. Cada plano de
informação receberá pesos diferentes, bem como as respectivas classes desses planos de
informação. O resultado será um mapa com áreas que expressam um grau de
importância relativa através de valores numéricos de saída.
O primeiro passo para a aplicação do método é a ponderação das classes de cada plano
de informação, segundo pesos definidos empiricamente. Isto feito, os planos de
informação são então somados através de uma soma ponderada, onde cada plano de
informação recebe pesos segundo sua importância relativa. A função matemática é
expressa por:
n
r=
∑ wij ∗ y
i =1
n
∑y
i =1
j
(2.1)
j
onde wij é o peso da classe "i" do plano de informação "j" , e yj o peso do plano de
informação "j".
O método de Média Ponderada permite uma maior flexibilidade na combinação de
mapas do que o método Booleano. O mapa ponderado pode ser ajustado para refletir o
julgamento de um especialista, segundo os pesos de importância definidos para cada
critério. A maior desvantagem deste método, entretanto, recai provavelmente no caráter
linear de adição das evidências (Bonham-Carter, 1994).
2.3 MÉTODO FUZZY
A técnica fuzzy tem sido extensamente utilizada em trabalhos de inferência espacial
desenvolvidos em SIG’s (Burrough, 1989; Burrough e Heuvelink,1992; Banai, 1993;
Altman,1994). As vantagens do modelamento fuzzy são inúmeras quando comparadas
aos modelamentos convencionais que forçam os especialistas à definir regras
dicotômicas rígidas com contatos normalmente artificiais que diminuem a habilidade de
articular eficientemente soluções para problemas complexos, tão comum em processos
naturais.
Serão abordados aqui os principais conceitos envolvidos na técnica de inferência fuzzy,
como lógica fuzzy, conjuntos fuzzy ou função fuzzy, variáveis lingüísticas e operadores
fuzzy. Discute-se também: a técnica de representação da importação semântica (IS), para
contatos de polígonos; as vantagens do modelamento Fuzzy sobre o Booleano; e as
diferenças entre os conceitos probabilidade e possibilidade.
2.3.1 Inferência Fuzzy:
Fuzzy: principais conceitos
A introdução dos conjuntos fuzzy para lidar com conceitos inexatos foi primeiramente
proposta por Zadeh (1965). A concepção da lógica fuzzy surgiu da preocupação de
Zadeh com a rápida diminuição da qualidade da informação fornecida por modelos
matemáticos tradicionais, conforme aumenta a complexidade do sistema.
Muito da complexidade, ele descobriu, advém do modo no qual as variáveis do sistema
são representadas e manipuladas. Desde que essas variáveis podem apenas representar o
estado do fenômeno como ou existindo ou não existindo, a matemática necessária para
avaliar operações em vários “contatos” torna-se muito complexa.
Para muitos pesquisadores (Zadeh, 1972; Cox, 1994; Fang, 1997) um benefício
significante dos modelamentos baseados em lógica fuzzy é a habilidade de codificação do
conhecimento, numa forma que se aproxima muito ao modo como os especialistas
pensam em processos de decisão. Os sistemas de inferências baseados em lógica fuzzy
possibilitam, assim, a captura do conhecimento próximo ao “modelo cognitivo”
utilizado pelos especialistas na análise de problemas. Isto significa que o processo de
aquisição do conhecimento é mais fácil, mais confiável e menos sujeito a erros não
identificados.
Nessa visão de modelamento de sistemas complexos, os mecanismos subentendidos são
representados de modo lingüístico, através de variáveis lingüísticas, ao invés de
matematicamente. Isto permite lidar de modo melhor com dados imprecisos,
incompletos, ambíguos, e/ou vagos, tão comuns em sistemas geológicos.
A idéia da variável lingüística é considerada por Cox (1994) como o cerne da técnica do
modelamento fuzzy. Basicamente uma variável lingüística corresponde ao nome de um
conjunto fuzzy. Sendo os conjuntos fuzzy, na prática, funções que indicam o grau de
relacionamento de um valor de entrada (atributo) para com um conjunto fuzzy. Outra
boa definição é dada por Fang (1997) que define um conjunto fuzzy como um conjunto
de pares de valores (Tabela 2.1). O primeiro valor (lingüístico) é o membro do
conjunto; por exemplo, Carlos. O segundo valor (numérico) é o grau de relação do
membro para com o conjunto. Por exemplo, Carlos tem um grau de relação de 0.9 com
o conjunto fuzzy atletas. Neste exemplo a variável lingüística é o “conjunto atleta”.
TABELA 2.1 – CONJUNTO FUZZY ATLETAS
Objeto
João
Aline
Carlos
Grau de relacionamento
0.1
0.7
0.9
O conjunto fuzzy é uma forma de caracterização de classes, que por várias razões não
têm ou não podem definir limites rígidos (contatos) entre classes. Essas classes, definidas
de maneira inexata, são chamadas de conjunto fuzzy. A utilização de um conjunto fuzzy
é indicada sempre que se tiver que lidar com ambigüidade, abstração e ambivalência em
modelos matemáticos ou conceituais de fenômenos empíricos (Burrough e McDonnell,
1998).
Matematicamente um conjunto fuzzy é definido como segue: se Z denota um espaço de
objetos, então o conjunto fuzzy A em Z é o conjunto expresso pelo par ordenado: A = (z,
MFA (z)) para todo z ∈ Z, onde a função MFA(z) é conhecida como uma “graduação”
mapeável do membro z em A. Normalmente MFA(z) é um número que varia de “0” a
“1”, com o “1” representando o membro que se encaixa completamente ao conjunto e o
“0” como o membro que não pertence ao conjunto.
A graduação que mapeia os membros de um conjunto A reflete o tipo de ordenação que
não são baseadas em probabilidade, mas sim numa aceitação de possibilidade. O valor
da função MFA(z) de um objeto z em A pode ser interpretado como um grau de
compatibilidade de um predicado associado ao conjunto A e ao objeto z. Ou seja,
MFA(z) avalia o quanto z pode ser pertencente ao conjunto A (Burrough e McDonnell,
1998).
A função fuzzy deve assegurar que o valor do membro no centro do conjunto é “1”, e
que este decai de maneira lógica através da fronteira fuzzy (zona de transição) para as
regiões fora do conjunto onde o valor deve ser “0”. O ponto onde o valor do membro é
igual a 0,5 é denominado de “ponto de cruzamento” e ele deve coincidir com os
contatos rígidos dos modelos Booleanos. A função deve ser definida de tal modo que esta
condição seja respeitada. As funções mais comuns utilizadas para determinar valores de
membros fuzzy são funções lineares e quadráticas (Burrough e McDonnell, 1998).
A função linear fuzzy é definida por dois segmentos de reta inclinados que se encontram
em um ponto central de valor MFA(z) = 1. Nas bordas o valor é MFA(z) = 0,5 e a
inclinação das retas define a zona de transição fuzzy. A Figura 2.3a ilustra graficamente o
conjunto fuzzy definido por duas funções lineares. Como comparação, a Figura 2.3b
representa o mesmo conjunto, de valor pontual m, porém definido de modo rígido
(booleano). O conjunto fuzzy definido pela função linear é expresso por (Equação 2.2):
MFA ( Z ) = 0
MFA ( Z ) = (1 / α )( z − p)
MFA ( Z ) = 1
MFA ( Z ) = (−1 / β )( z − r )
se z < p
se p ≤ z < q
se z = q
se q < z ≤ r
MFA ( Z ) = 0
se z > r
onde α = q − p e β = r − q
(2.2)
Fig. 2.3 – Representação de números fuzzy e booleanos. Os gráficos b) e d) representam
conjuntos booleanos, pontuais ou lineares e poligonais respectivamente.
Eles apresentam valores rígidos (m) e (n-m), com um único grau de
relacionamento de valor 1. Os gráficos a) e c) apresentam os conjuntos
fuzzy equivalentes aos booleanos b) e d) respectivamente. No gráfico a) o
grau de relacionamento é 1 no ponto q, decaindo para 0 nos pontos p e r.
No gráfico c) os valores d1 e d2 correspondem à largura da zona de transição
e os números b1 e b2 os pontos de cruzamento.
FONTE: adaptado Fang (1997).
A função quadrática é expressa por (Figura 2.4):
MFAF ( z ) =
1
(1 + a(z − c) 2 )
0≤ z≤R
(2.3)
onde o valor de "a " indica o "ponto de cruzamento", no qual a evidência tem 50% de
importância e o valor “c” é o ponto central ideal do conjunto. A faixa abrangida pelo
ponto inicial até o "ponto de cruzamento" indica a faixa onde as evidências têm alta
influência. Nos pontos fora desta faixa a importância decai abruptamente, segundo a
curva quadrática. A Figura 2.3c exemplifica um conjunto fuzzy definido por duas
funções quadráticas. Na Figura 2.3d está representado o conjunto equivalente, definido
por método Booleano. O conjunto fuzzy é expresso por:
MF F ( z ) =
1
 z − b1 − d1 

1 + 
d1


2
se z < b1 + d1
MF F ( z ) = 1 se b1 + d 1 ≤ z ≤ b2 − d 2
MF F ( z ) =
1
 z − b2 + d 2
1 + 
d2




2
se z > b2 − d 2
(2.4a)
(2.4b)
(2.4c)
Fig. 2.4 – Exemplo de curva quadrática de representação dos elementos z em MFA
Os membros fuzzy definidos pelos conjuntos fuzzy são então combinados segundo
análises multi-critérios, definidas através de uma seqüência lógica realizada pelos
operadores fuzzy (Mínimo, Máximo, Média, Ponderado (Técnica AHP) e Gama).
2.3.2 Operadores Fuzzy
Fuzzy Mínimo
Esse operador assemelha-se a operação Booleana “E” (interseção), e é expresso por:
µ=Min (µa,µb, µc, . . .), onde µa eqüivale ao valor do membro fuzzy para um particular
ponto (“pixel”) do plano de informação A; os valores µb e µc correspondem,
respectivamente, aos membros dos planos B e C no mesmo ponto.
O que este operador define como resultado, é que um ponto do plano de informação
resultante terá como valor de saída o menor valor dos membros fuzzy de entrada. Se
tomarmos como exemplo os valores µa = 0,30; µb = 0,17; µc = 0,98, o valor adotado
para o “pixel” do plano de informação final será µfinal = 0,17. Fica claro entender que o
resultado obtido é o mais restritivo possível com os valores dos membros fuzzy, de
modo que este operador é indicado para situações altamente restritivas (“pessimista”),
onde duas ou mais evidências são estritamente necessárias para satisfazer uma hipótese.
Fuzzy Máximo
O operador fuzzy Máximo assemelha-se à operação Booleana “OU” (união), sendo as
evidências combinadas segundo a função µ = Max (µa, µb, µc, ...), onde os valores de
µa, µb e µc correspondem aos valores dos membros fuzzy das evidências. Nessa
operação o valor de saída para um dado ponto será o maior valor de entrada dos planos
de informação. No exemplo acima o valor resultante seria µfinal = 0,98. O operador fuzzy
Máximo é o mais otimista dentre operadores fuzzy, sendo indicado para situações onde
a existência de apenas uma evidência é suficiente para indicar regiões potenciais à
ocorrência de determinada evidência.
Fuzzy Média
O fuzzy Média admite um risco médio com compensação plena entre todos os membros
fuzzy de entrada. O peso de importância é distribuído uniformemente para todas as
evidências, o que indica que os membros fuzzy de entrada não apresentam uma
importância hierárquica entre eles. A função matemática que define este operador é
expressa por:
n
µ = média = ∑
i =1
µi
n
(2.5)
Fuzzy Ponderado
No fuzzy ponderado os pesos de cada membro fuzzy de entrada (evidência) podem ser
definidos empiricamente de modo heurístico ou por processos estatísticos. A avaliação
do peso depende da análise da importância da evidência em relação a um depósito
mineral, por exemplo. Essa ponderação resulta em um escalonamento das evidências
segundo um grau de importância relativa entre elas. Isto permite uma ordenação das
evidências por importância na formulação do modelo prospectivo.
Embora exista uma variedade de técnicas para a definição dos pesos Eastman et al.
(1995) descrevem a técnica do Processo Analítico Hierárquico (Analytical Hierarchy
Process - AHP), desenvolvida por Saaty (1992), como sendo a mais promissora no
contexto do processo de tomada de decisão. O primeiro passo para a aplicação dessa
técnica é a elaboração de uma relação de importância relativa entre as evidências. Essa
relação é utilizada como dado de entrada em uma matriz de comparação par a par, onde
são calculados os autovalores e autovetores da matriz. Os pesos de cada membro fuzzy,
eqüivalem, então, aos autovetores da matriz de comparação par a par. No capítulo 2.6
de suporte a decisão a técnica do Processo Analítico Hierárquico é abordada com maior
detalhe.
Fuzzy Gama
Este operador é definido por dois termos, um produto algébrico fuzzy e uma soma
algébrica fuzzy, expresso pela função:
µ = (soma algébrica fuzzy)γ x (produto algébrico fuzzy)1-γ
(2.6)
O produto algébrico fuzzy é expresso pela função:
µ =
n
∏
i =1
µi
(2.7)
onde µi representa o valor do membro fuzzy para um plano de informação “i”.
O operador executa a multiplicação dos membros dos diferentes planos de informação
(i= 1,2,3,...), sendo que o valor de saída de um dado ponto é sempre menor ou igual ao
valor do menor membro fuzzy. Isto ocorre devido a multiplicação de valores iguais ou
menores que 1.
A soma algébrica fuzzy é definida pela função:
n
µ = 1 − ∏ (1 − µ i )
(2.8)
i =1
onde o termo µi representa o valor dos membros fuzzy para um plano de informação “i”.
O operador executa a multiplicação do termo (1 - µi). Na soma algébrica o resultado é
sempre maior ou igual ao valor de entrada do maior membro fuzzy (µi).
No operador gama pode-se variar a importância de cada termo (soma algébrica e
produto algébrico fuzzy). A importância de cada termo no operador gama é definida
atribuindo-se valores entre (0,1) para o expoente “γ”. Esta distribuição de importância é
melhor entendida através da Figura 2.5.
Na Figura 2.6 pode-se observar que quando o γ=0, o resultado dependerá apenas do
termo “produto algébrico fuzzy”, e quando γ=1, o resultado dependerá apenas do termo
“soma algébrica fuzzy”. Os valores de gama entre 0<γ>0,35 apresentam um caráter
“diminutivo”, ou seja, sempre menores ou iguais ao menor membro fuzzy de entrada
(µi). Na outra extremidade do gráfico os valores gama entre 0,8<γ>1,0 têm um caráter
“aumentativo” onde o valor de saída será igual ou maior que o valor do maior membro
fuzzy de entrada (µi). Por fim, para os valores de gama entre 0,35<γ>0,8, os µi não
apresentam nem um caráter “aumentativo” nem “diminutivo”; os valores dos µi de
saída cairão sempre entre o menor e o maior valor dos µi de entrada (Bonham-Carter,
1994).
Fig. 2.5 – Distribuição da função Fuzzy Gama.
FONTE: Adaptada de Bonham-Carter (1994).
2.3.3 Probabilidade versus Possibilidade
A probabilidade representa uma tentativa de explicar como um evento ocorre em um
espaço aleatório. O primeiro princípio que fundamenta a probabilidade é o seu caráter
aleatório, o que pressupõe a habilidade em medir e ordenar o espaço randômico. Por
outro lado, possibilidade é o cálculo da compatibilidade, ou seja, enquanto a
probabilidade é baseada na freqüência da distribuição aleatória de uma população, a
lógica fuzzy descreve propriedades que têm valores, que variam continuamente, através
da associação de partições desses valores com identidades semânticas.
Esses valores associados à identidade semântica indicam nossa percepção da
possibilidade de aceitação, julgamento ou crença de que um membro pertença a um
conjunto. Muito do poder de descrição da lógica fuzzy advém do fato de ser permitido a
sobreposição dessas partições semânticas. Essa sobreposição corresponde à transição de
um estado para o próximo, a qual surge da ocorrência natural da ambigüidade associada
com o estado intermediário da transição semântica (Cox, 1994).
A declaração a seguir é uma boa maneira de ilustrar a diferença entre possibilidade e
probabilidade: Existe uma chance de 50% que ocorra uma chuva fina amanhã.
Caso se espere até amanhã, saber-se-á se a chuva ocorrerá ou não. A incerteza
probabilística está resolvida, entretanto a incerteza fuzzy permanece. Ainda existe
alguma ambigüidade sobre se a chuva é uma garoa, chuva fina, moderada ou pesada.
2.3.4 Inferência booleana versus Inferência fuzzy
A visão dicotômica (booleana) de modelamento é assumida pela corrente maioria dos
sistemas de informação geográfica que consideram que fenômenos naturais podem ser
modelados por objetos discretos, tais como pontos, linhas e polígonos ou pixels os quais
têm atributos exatos. Essa representação espacial de dados imprecisos para dados rígidos
introduz erros desnecessários em estágio muito inicial do processo de inferência espacial
(Altman, 1994).
Burrough e Heuvelink (1992) demostram como as incertezas nos valores dos atributos
dos mapas causam erros nos resultados das inferências espaciais efetuadas segundo
modelamentos booleanos e fuzzy. Os resultados obtidos por esses autores sugerem que
os métodos Booleanos estão muito mais sujeitos à propagação de erros em
modelamentos do que os equivalentes fuzzy, e que a utilização da técnica fuzzy pode
reduzir drasticamente a propagação de erros através de modelos lógicos, fornecendo
cenários mais confiáveis.
Como exemplificação dos problemas enfrentados por um modelamento booleano,
considere-se o modelo de lógica simples para classificação de solo para risco de erosão,
proposto por Heuvelink e Burrough (1993). O modelo utiliza polígonos ou pixels para a
representação das evidências e considera a seguinte proposição:
CASO Inclinação > 10% E Textura do solo = areia E Cobertura vegetal < 25%
ENTÂO perigo de erosão é severo
Neste proposição a interseção dos três conjuntos (inclinação > 10% ∩ textura de solo =
areia ∩ cobertura vegetal < 25%) fornece o resultado requerido. Cada polígono ou pixel
representa uma localidade que é testada em seus valores de atributo e qualquer objeto
que não case todas as três condições será descartado.
O modelo proposto é deficiente porque assume que a relação entre inclinação, textura
de solo e cobertura vegetal pode descrever através de uma simples expressão booleana o
risco de erosão. Na realidade, esta relação é muito mais complexa, dado que o risco de
erosão continua sendo sério quando o local tem uma inclinação pouco abaixo de 10%
ou a cobertura vegetal é apenas um pouco acima de 25%. Porém, segundo a definição
das classes propostas, inclinações menores que 10% são sempre seguras, um resultado
que a maioria dos cientistas não concordariam. Neste caso seria muito mais intuitivo e
satisfatório substituir o modelo booleano por um modelo no qual o risco de erosão
aumentaria continuamente com a inclinação.
O segundo problema com o modelo lógico descrito é que esse assume que os atributos
podem ser descritos em medidas exatas. Porém, muitos atributos não podem ser
gravados de modo exato, devido a erros de medida e variações espaciais (Burrogh,1986;
Goodchild, 1989). Conseqüentemente, quando dados incertos são utilizados em
modelos lógicos ou quantitativos, são esperados que os resultados também contenham
erros.
De modo a entender como erros em dados podem afetar o resultado tanto em
classificações booleanas e contínuas, Heuvelink e Burrough (1993) substituem o atributo
determinístico z, por uma variável Z. Isto por que quando existe incerteza sobre valores
de atributo não se pode representar com certeza este com um único valor
determinístico. O melhor seria representar este atributo como uma distribuição de
valores, tendo cada valor uma certa probabilidade de ocorrência, sendo então uma
variável aleatória. Heuvelink e Burrough (1993) denotam o desvio padrão como σz o
qual é utilizado como medida de erro.
A Figura 2.6 apresenta algumas situações possíveis que podem aparecer quando uma
observação é para ser feita nas classes de fronteira de um atributo Z definido por b1 e b2.
A Figura 2.6 (a) demostra o caso booleano onde não existe erro, então σz=0. O atributo z
tem um efeito determinístico de modo que a observação individual ou cai totalmente
dentro do limite da classe (barra direita) ou fora (barra esquerda). Os valores
correspondentes da função membro são 1 ou 0 respectivamente. Como σ z é zero, o
valor dos membros da função são também livres de erros. A Figura 2.6 (b) demostra a
mesma situação onde a observação individual é classificada por uma função membro
fuzzy. A observação na barra direita está no centro da classe MF(z) = 1. A observação na
barra esquerda está fora do centro e das fronteiras booleanas, o que retorna um MF(z)
<0.5.
Agora considere a situação em que σ z não é zero. Na Figura 2.6 (c) a função de
probabilidade de densidade pz de Z tem a forma característica de uma normal e coincide
com o limite da classe booleana. A probabilidade de que Z caia fora do limite da classe é
demasiadamente pequena, de modo que para todos os objetivos práticos MF(z) = 1. A
mesma situação ocorre com a função de membros contínuos quando pz cai dentro do
núcleo da classe (Figura 2.6 (d)). Claramente os mesmos resultados ocorrem quando pz
cai bem fora dos limites da classe.
Fig. 2.6 – Exemplificação da distribuição de erro através de classificação booleana e fuzzy
para um atributo Z.
FONTE: Adaptado Burrough e Heuvelink (1992)
O resultado é menos claro quando pz cruza o limite da classe booleana ou a zona de
transição da classe fuzzy. As Figuras 2.6 (e) e (f) mostram a situação quando a média de
Z iguala b1. No caso booleano (Figura 2.6(e)) a distribuição de MF(z) torna-se uma
distribuição discreta com dois possíveis valores, 0 e 1. Nesse caso as chances são iguais
para que Z caia dentro ou fora do limite da classe, de modo que a probabilidade de obter
cada valor é 0.5. No caso fuzzy ilustrado na Figura 2.6 (f) a média de Z iguala b1,
apresentando uma distribuição continua do mesmo modo que Z. A média da MF(z) é
ao redor de 0.5 e devido a função membro variar acentuadamente em b1, o desvio
padrão de MF(z) é muito maior do que para Z, embora este permaneça
substancialmente menor do que o desvio padrão booleano, Figura 2.6 (e).
Heuvelink e Burrough (1993) demonstram assim que o desvio padrão obtido a partir de
uma simulação Monte Carlo, em uma superfície simulada, é consideravelmente grande,
especialmente para o modelo Booleano. Nesse modelo existem grandes áreas onde o
desvio padrão é perto da metade que corresponde ao máximo teórico. Os desvios padrão
são maiores nas localizações onde os valores de atributo estão próximos dos limites da
classe booleana ou dentro da zona de transição contínua. Pixels que estão claramente
dentro ou fora das classes são selecionados ou rejeitados com um baixo nível de
incerteza.
O exemplo acima demostra de modo claro que classes booleanas utilizadas em
modelamento lógico desenvolvido em SIG´s podem gerar resultados insatisfatórios,
porque muitos problemas ambientais não podem ser modelados realisticamente com
regras rígidas. A classificação por membros fuzzy pode fornecer então uma solução para
esse problema pois relaxa os valores dos membros das classes, permitido definir funções
de membros flexíveis que casem com experiências práticas.
2.3.5 Abordagem de Importação Semântica IS (Semantic
(Semantic Import Approach)
Approach) para Contato
de Polígonos
Intérpretes utilizam feições observáveis, tais como mudança de cores, padrão de textura,
quebra de encosta, para inferir contatos durante a elaboração de mapas temáticos.
Cartograficamente esses contatos são definidos por linhas que podem representar uma
limitação na representação espacial das evidências necessárias em um modelamento
desenvolvido em SIG.
Essa imposição cartográfica simples e eficiente suprime a informação sobre a natureza
da mudança espacial e tem criado a idéia em usuários de mapas temáticos, que solos,
vegetação, ou contatos geológicos são sempre abruptamente definidos (precisos), e que
as unidades são sempre homogêneas, livres de erros de classificação ou posicionamento.
Entretanto, sabe-se que variações em solo, vegetação, ou litologia podem ocorrer
abruptamente ou gradualmente. Um dique intrusivo pode formar contatos geológicos
abruptos em uma escala centimétrica, porém variações em textura que expressam
variações litológicas podem ocorrer sobre centenas de metros ou quilômetros. E mais, as
classes (atributos) delimitadas pelos polígonos podem apresentar ambigüidades ou
incertezas que normalmente são mais acentuadas numa zona próxima ao contato (zona
de transição).
O problema de imprecisão dos contatos corresponde à discrepância existente entre as
condições do mundo real e as informações apresentadas pelo traçado dos contatos em
um mapa. Esse problema tem dois aspectos; imprecisão natural e localização (contato
inferido) (Wang e Brent Hall, 1996).
A utilização da lógica fuzzy na representação dos contatos dos polígonos possibilita a
fácil incorporação da informação sobre a natureza dos contatos, bem como da incerteza
associada a classificação e ao posicionamento. Burrough e McDonell (1998) propõem
duas técnicas distintas para a representação da informação semântica de contatos fuzzy,
a “abordagem por unidades de mapa” (map unit approach) e o a “abordagem por
contato individual” (individual boundary approach)
A abordagem por unidades de mapa possibilita uma representação única para os
contatos das unidades ou polígonos. Ou seja, essa técnica assume que o polígono
apresenta um único tipo de contato ao longo do seu perímetro. As informações sobre o
tipo de contato podem ser convertidas nos parâmetros necessários para a definição da
função membro fuzzy, segundo as Equações 2.4, as quais são aplicadas sobre o plano de
informação que contém a grade de distância isotopricamente distribuída ao longo dos
contatos do polígono.
A localização do contato originalmente desenhado coincide com o ponto de cruzamento
MF = 0.5 e os pontos ao centro dos contatos originais apresentam valores de membro
iguais a 1. Os pontos dentro, mas próximos ao contato recebem valores membro entre 1
e 0.5, e aqueles do lado de fora do contato recebem valores de membro menores que 0.5,
conforme o distanciamento do contato. A Figura 2.7 mostra o resultado do contato
fuzzy fatiado da classe A, onde observa-se a graduação da classe A de cor amarela ao
longo dos contatos para a classe A , de cor verde (negativo de A).
Fig. 2.7 – Ilustração da representação de informação semântica para contatos.
A fatia maior amarela representam os membros totalmente contidos na classe A. As
fatias menores indicam a graduação dos demais membros até a fatia maior verde que
representa os membros fora da classe A (A ), conforme ilustra a escala vermelha (0.01.0).
O procedimento pode ser repetido para todas as unidades de um mapa, variando-se na
definição da largura do contato, conforme as características de cada classe. Na Figura 2.8
o gráfico ilustra a aplicação das funções de membro fuzzy sobre um contato inferido
entre dois tipos de rochas.
A abordagem do contato individual assume que uma classe pode apresentar diferentes
distribuições espaciais ao longo dos seus contatos. Ou seja, contatos podem ser abruptos
em algumas partes e difuso em outras. Por exemplo, um terraço elevado de rio pode ter
borda difusa no lado superior e borda abrupta no lado inferior, onde o rio cortou seu
caminho. Nesse caso, aplicam-se duas funções membro fuzzy, cada uma representando
os diferentes comportamentos do contato.
.
Fig. 2.8 – Exemplificação do mapeamento de um contato inferido rígido para um
contato fuzzy.
2.4 – MÉTODO DE BAYES
A metodologia bayesiana consiste em determinar a probabilidade de ocorrer um evento,
dado uma certa condição. Em termos prospectivos pode-se pensar na definição da
probabilidade de um depósito ocorrer, condicionada pela ocorrência de uma certa
evidência (exemplo: litologia favorável). O método bayesiano apresenta uma abordagem
probabilística para o problema, onde o principal conceito do método é a idéia da
probabilidade a priore P(D) e da probabilidade a posteriore P( D | B) (Bonham-Carter,
1994).
P( D) − probabilid ade a priore
P( D | B) = P( D ) ∗
P ( B | D)
− probabilid ade a posteriore
P( B)
(2.9)
(2.10)
Como introdução ao conceito da probabilidade a priore e posteriore, considere o seguinte
exemplo definido por Bonham-Carter (1994). Um indivíduo deseja estimar a
probabilidade de que ocorra chuva no dia seguinte, sabendo-se que na média chove 80
dias por ano na região. Com essa informação, seria razoável considerar que a
probabilidade a priore de que vai chover no próximo dia é de 80/365. Essa probabilidade
inicial pode ser refinada através da agregação de outras fontes de dados, como por
exemplo a estação do ano (verão, inverno, primavera e outono). Com a consideração
dessa nova informação o resultado obtido seria a probabilidade de chuva, dado a estação
do ano vigente. Esta nova informação funciona como um fator multiplicativo e
representa uma melhora na precisão da informação inicial (probabilidade a priore).
Outras fontes de dados podem ser utilizadas em conjunto sendo necessário apenas a sua
multiplicação à probabilidade a priore.
P( chuva | estação do ano) = P (chuva) ∗ Componenteestação do ano
P( chuva) − probabilid ade a priore
P( chuva | estação do ano) − probabilid ade a posteriore
Em estudos voltados à pesquisa mineral a probabilidade a priore seria a probabilidade da
ocorrência mineral considerando-se a área total investigada. A probabilidade a posteriore
seria um refinamento do conhecimento (probabilidade a priore), onde através de uma
ou mais evidências, que possuem uma relação direta com a mineralização, calcula-se o
aumento das chances de sucesso no encontro de um novo depósito mineral. Ou seja,
dado que se está pesquisando sobre uma evidência favorável, determina-se quanto esta
condição aumenta as chances da descoberta de um novo depósito mineral.
A probabilidade a priore para a ocorrência de um dado fenômeno pode ser estimada por
modelos simples de distribuição espacial aleatória ou por análises estatísticas
multivariadas (Agterberg, 1989). Os dados para o cálculo da probabilidade a posteriore
podem ser obtidos através da tabulação cruzada, entre o plano de informação com os
depósitos e os planos de informação com as evidências. Para isso é necessário que os
planos de informação das evidências sejam antes transformados em mapas binários,
subdivididos em classe favorável e não favorável. A definição dos limiares de corte pode
ser baseada tanto no julgamento subjetivo do especialista como por técnicas estatísticas
baseadas em medição de correlação espacial, tal como o parâmetro Contraste (Cw).
Com os mapas binários gerados, faz-se a tabulação cruzada das evidências com os
depósitos (verdades de campo), obtendo-se uma matriz onde cada célula corresponde à
interseção das classes das evidências com as ocorrências minerais. Esses valores são
utilizados nas formulações para a obtenção das probabilidades a posteriore.
Para um melhor entendimento considere o exemplo definido por Bonham-Carter
(1994). Uma área de interesse mineral que totaliza 10.000 Km2 e que contem 200
ocorrências já conhecidas de 1 Km2 cada. Para efeito de análise, esta área é subdividida
em partes iguais de 1 Km2 totalizando assim 10.000 unidades. Utilizando a notação N ( )
para representar a contagem das unidades, tem-se N (T ) = 10.000 unidades para a área
total e N ( D) = 200 unidades para os depósitos. Até o presente momento a
probabilidade de achar-se um depósito a partir de uma escolha aleatória de uma das
unidades é obtida por N ( D) / N (T ) , ou 200 / 10.000 = 0,02 , o que representa a
probabilidade a priore P(D) de se achar um depósito.
No caso da existência de informações adicionais sobre a área, como por exemplo, um
mapa de anomalias radiométricas onde 180 das 200 ocorrências conhecidas ocorrem
associadas às anomalias (Figura 2.9a), a probabilidade de encontrar-se um depósito será
muito maior do que 0,02 caso a pesquisa seja procedida na área delimitada pelo padrão
anômalo (evidência). A área do padrão anômalo é de 3.600 Km2. De modo inverso a
probabilidade será reduzida caso a evidência não esteja presente. A potencialidade de
encontrar um depósito dado a presença da evidência “B” pode então ser expressa pela
probabilidade condicional:
P( D | B) =
P ( D ∩ B)
P( B )
(2.11)
Fig. 2.9 – Tabela de tabulação cruzada e formulações bayesianas para o caso hipotético
de uma área prospectável de 10.000 Km2, onde ocorrem 200 ocorrências
minerais, sendo 180 delas condicionadas a anomalia radiométricas com 3600
Km2 de área.
O primeiro membro da equação é a probabilidade condicional do depósito dada a
evidência P( D | B) . No segundo membro o numerador P( D ∩ B) eqüivale à área de
interseção dos depósitos e da evidência, ou P( D ∩ B) = N ( D ∩ B) / N (T ) .
O
denominador P(B) de modo semelhante eqüivale a N ( B) / N (T ) . Pela substituição
direta no segundo membro da Equação 2.11 obtém-se:
P( D | B) =
N (D ∩ B )
N ( B)
( 2.12)
Na Figura 2.9b o diagrama de Venn ilustra a situação de sobreposição entre os planos
binários dos depósitos e da evidência com a área de interseção demarcada em vermelho.
Os resultados esperados da tabulação cruzada entre os dois planos de informação
encontram-se na matriz da Figura 2.9c, com os depósitos representados nas linhas e a
evidência na coluna. As formulações das probabilidades condicionais com os respectivos
resultados encontram-se na Figura 2.9d.
A partir do exemplo, fica claro que a probabilidade condicional dada a evidência é maior
que a probabilidade a priore considerando-se a área total. No caso 180 / 3.600 = 0,05 , o
que é 2,5 vezes maior do que a probabilidade a priore P( D) = 0,02 . Pode-se concluir
assim que utilizando-se essa evidência, a chance de sucesso em uma possível campanha
prospectiva é aumentada e a área de pesquisa reduzida de 10.000Km2 para 3.600Km2.
Entretanto, até o momento as formulações apresentadas não demostram a possibilidade
da representação da probabilidade condicional em termos da probabilidade a priore
mais um fator multiplicativo (Equação 2.10). A equação é obtida a partir do
desenvolvimento da formulação proposta a seguir. Primeiramente a probabilidade a
posteriore do padrão anômalo dado que se está em um depósito é:
P( B | D ) =
P ( B ∩ D)
P( D )
(2.13)
Pela teoria da probabilidade sabe-se que P( B ∩ D) e P( D ∩ B) são iguais. Então,
combinando-se as Equações 2.11 e 2.13 obtém-se:
P( D | B) = P( D ) ∗
P ( B | D)
P ( B)
(2.14)
No exemplo observa-se que P( B | D) / P ( B) = 0,9 / 0,36 = 2,5 , que corresponde ao fator
multiplicativo da probabilidade a priore P( D) = 0,02 . Pela Equação 2.14
P( D | B) = 0,02 ∗ 2,5 = 0,05 , o que eqüivale ao mesmo resultado obtido pela Equação
2.11.
Bonham-Carter (1994) propõe ainda outro tipo de formulação, expressa pelo cálculo da
chance a priore O(D) e da chance a posteriore O( D | B) . Esta formulação permite a
integração de diferentes evidências como fatores explicativos para a ocorrência mineral
através de uma soma condicional de parâmetros. Esta soma condicional facilita a soma
dos planos de informação em um SIG.
A chance a priore é expressa por:
P( D )
(1 − P( D))
onde P(D) é probabilidade a priore.
O( D) =
(2.15)
A chance a posteriore é obtida a partir do desenvolvimento da probabilidade a posteriore,
apresentado abaixo:
P ( D | B) = P ( D) ∗
P ( B | D)
(2.16)
P( B )
P( D | B) = P( D ) ∗
P( B | D )
P( B)
(2.17)
Dividindo-se os dois termos da Equação 2.16 por P( D | B) vem:
P ( D | B ) P ( D) ∗ P ( B | D )
=
P ( D | B) P( D | B ) ∗ P( B)
(2.18)
Substituindo o P( D | B) do segundo termo pela Equação 2.17 vem:
O( D | B )
O(D)
1
P ( D | B ) P (D ) ∗ P ( B | D) ∗ P (B )
=
P ( D | B ) P( D ) ∗ P ( B | D ) ∗ P ( B)
O( D | B) = O( D) ∗
P( B | D )
P (B | D )
(2.19)
Razão de Suficiência (LS)
(2.20)
De modo semelhante obtêm-se a chance da ocorrência, dado a ausência da evidência.
O( D | B ) = O (D ) ∗
P (B | D)
P (B | D )
Razão de Necessidade (L N)
(2.21)
Extraindo-se o logaritmo natural das Equações (2.20) e (2.21) acima obtêm-se:
Ln[ O( D | B)] = Ln[O( D)] + ω +
(2.22)
Ln[O( D | B )] = Ln[ O( D )] + ω −
(2.23)
As razões de suficiência (LS) ou de necessidade (LN) são computadas dependendo da
presença ou ausência da evidência para um dado ponto. A condição de suficiência de
uma evidência (B) é satisfeita quando a probabilidade de existência do depósito (D) é
maximizada ( P( B | D) = máximo ). A condição de necessidade da evidência é satisfeita
quando a probabilidade de não ocorrência do depósito é maximizada com a não
existência da evidência ( P( D | B ) = máximo ) (Rostirolla, 1997). No caso do padrão não
apresentar nenhuma correlação com o depósito LS=LN=1.
Bonham-Carter (1994) demostra ainda que para um número maior de evidências, estas
seriam integradas através da formulação que computaria a chance a priore, adicionada
ao somatório dos logaritmos naturais das razões de suficiência e/ ou necessidade. Sendo
necessário porém que as evidências consideradas apresentem uma independência
condicional (Agterberg, 1989).
A obrigatoriedade de assumir a independência condicional na combinação de evidências
múltiplas decorre do fato dos ponderadores serem calculados independentemente para
cada evidência, sendo depois combinados em uma única equação. Essa imposição
matemática possibilita uma simplificação na formulação e quando bem empregada
fornece uma boa idéia da contribuição individual de cada evidência.
A probabilidade de um depósito dado duas evidências é expressa por:
P( D | B1 ∩ B2 ) =
P( D ∩ B1 ∩ B2 )
P( B1 ∩ B2 )
(2.24)
P( D | B1 ∩ B2 ) =
P( B1 ∩ B2 | D) ∗ P( D)
P( B1 ∩ B2 )
(2.25)
P( D | B1 ∩ B2 ) =
P( B1 ∩ B2 | D) ∗ P( D)
P( B1 ∩ B2 | D) ∗ P( D) + P( B1 ∩ B2 | D ) ∗ P( D )
(2.26)
Esta é a regra Bayesiana. Perceba-se que existem apenas duas hipóteses exclusivas, D e
D , com P( D) + P( D ) = 1 (Bonham-Carter, 1994). Os efeitos de interseção entre as
duas evidências B1 e B2 podem ser ignorados quando a independência condicional entre
as evidências for respeitada. Isto possibilita uma simplificação ao permitir uma avaliação
individual dos efeitos de cada plano de informação binário, além de permitir a
combinação dos fatores através de uma multiplicação direta.
A independência condicional pode ser expressa por:
P( B1 ∩ B2 | D) = P ( B1 | D) ∗ P( B2 | D)
A Equação 2.27 permite a Equação 2.26 ser simplificada para:
(2.27)
P( D | B1 ∩ B2 ) = P ( D) ∗
P( B1 | D) P ( B2 | D)
∗
P( B1 )
P ( B2 )
(2.28)
A Equação 2.28 possibilita, então, a multiplicação separada dos fatores de contribuição
de cada evidência. A formulação da probabilidade condicional de duas evidências é
expressa em chance por:
O( D | B1 ∩ B2 ) = O( D) ∗ LS 1 ∗ LS 2
(2.29)
Extraindo-se o logaritmo natural da Equação 2.29 obtém-se:
Ln [ O ( D | B 1 ∩ B 2 )] = Ln [ O ( D )] + ω 1+ + ω 2+
(2.30)
A Equação 2.30 apresenta apenas uma das combinações possíveis considerando apenas
duas evidências. Na realidade são possíveis 4 combinações diferentes dos “ω ”
( (ω1+ + ω 2+ ) ou (ω 1+ + ω 2− ) ou (ω 1− + ω 2+ ) ou (ω1− + ω 2− ) ), as quais resultarão num total de
quatro equações semelhantes a Equação 2.30, com as respectivas combinações possíveis
de ω . No caso da existência de n evidências serão possíveis 2 n combinações diferentes.
Esta soma dos ω + ou ω − pode ser efetuada, para todos os pontos em análise, a partir de
uma operação condicional, controlada espacialmente pela presença ou ausência da
classe favorável de cada evidência (Equação 2.31). Ou seja, caso o primeiro ponto do
plano de informação apresente a evidência “i” é computado na soma o valor do ω + ,
caso contrário ω − . O mesmo é efetuado para as demais evidências, até que todas
tenham sido computadas para o mesmo ponto. O valor final no ponto (chance a
posteriore - O( D | B1 ∩ B2 K Bn ) ) é o resultado da somatória condicional dos ω + e ω −
somado a chance a priore O(D) . Este procedimento é repetido para todos os pontos da
grade de modo a completar a grade numérica do plano de informação (MNT).
n
O( D | B1 ∩ B2 K Bn ) = Ln[ O( D)] + ∑ (( µ i = favorável) ? ω i+ : ω i− )
(2.31)
i =1
Com o plano de informação da chance a posteriore gerado é aplicado uma expressão
matemática para a geração do plano de informação com os valores de probabilidade a
posteriore.
P( D | B) =
O ( D | B)
1 + O ( D | B)
(2.32)
O resultado final é uma grade regular com valores de "z" indicando a probabilidade a
posteriore da ocorrência mineral. Essa grade pode ser fatiada em faixas que expressarão o
grau de probabilidade à ocorrência de novos depósitos.
2.4.1 - Independência Condicional
Quando dois ou mais mapas são combinados através de inferência bayesiana uma das
premissas assumidas é a existente da independência condicional (IC) entre eles.
Entretanto, na prática, provavelmente a IC é sempre violada em algum grau, sendo
necessária a utilização de testes estatísticos para mostrar a magnitude do problema e
apontar os mapas que estão causando os maiores problemas. Esses mapas podem então
ser rejeitados na análise ou modificados para minimizarem o problema
Dados espaciais normalmente não satisfazem a suposição de modelos estatísticos
clássicos, particularmente com referência a independência das amostras. Suponha que
dois mapas binários estão para ser comparados em uma série de pontos (localizações)
selecionados aleatoriamente. Caso a distância média entre a localização das amostras dos
dois mapas seja grande, a suposição de independência entre amostras é aceitável. Por
outro lado com o aumento do número das amostras, a separação entre pontos irá
diminuir, não podendo mais as amostras serem consideradas independentes em um
sentido estatístico. Em geral quanto maior for o número de amostras para uma base
espacial, mais próximo elas estarão e maior será sua autocorrelação espacial, o que
significa que elas não são independentes.
Estatisticamente a existência de independência entre dois padrões B1 e B2, pode ser
expressa por: P( B1 | B2 ) = P( B1 ) e P( B2 | B1 ) = P( B2 ) . Essa formulação indica a
probabilidade de B1 estar presente independe de B2 e vice-versa. Por outro lado, a
formulação da independência condicional entre dois mapas de padrões binários, com
respeito a um conjunto de depósitos, é expressa por:
P( B1 ∩ B2 | D) = P ( B1 | D).P( B2 | D)
(2.33)
o que eqüivale a:
N ( B1 ∩ B2 ∩ D) =
N ( B1 ∩ D).N ( B2 ∩ D)
N ( D)
(2.34)
O lado esquerdo da equação eqüivale ao número de depósitos nas regiões onde ocorrem
ambos os padrões B1 e B2. O lado direito define o número de depósitos esperados nas
zonas de sobreposição, que deve igualar o número de depósitos sobre B1, multiplicado
pelo número sobre B2, dividido pelo número de depósitos, caso os dois padrões sejam
independentes (Figura 2.10).
Para caracterizar o grau de associação entre classes de mapas, Bonham-Carter (1994)
sugere a utilização da estatística Qui-quadrado (χ2). No método estatístico χ2, a tabela da
tabulação cruzada é utilizada como uma tabela de contingência. Como exemplo,
imagine-se uma tabela de tabulação cruzada T entre dois mapas A e B (Tabela 2.2), com
elementos Ti, j (classes sobrepostas). Onde existem i = 1,2,..., n classes do mapa B (linha
da tabela) e j = 1, 2,..., m classes do mapa A (coluna da tabela). As margens da tabela Τ
são definidas como Τi. para a soma das i linhas, e Τ.j para a soma das j colunas. Se os
dois mapas são independentes um do outro, sem correlação entre eles, então a área
esperada em cada categoria de sobreposição é dada pelo produto dos totais das margens
dividido pelo total absoluto.
Fig. 2.10 – Diagrama de Venn ilustrando o conceito de independência condicional. O
círculo maior é o conjunto dos depósitos. Dentro deste círculo, os
parâmetros B1 e B2 apresentam independência condicional em relação aos
depósitos caso a área ( B1 ∩ D ) multiplicada pela área ( B2 ∩ D ) seja igual a
área ( B1 ∩ B2 ∩ D /( D).
FONTE: Bonham-Carter (1994).
TABELA 2.2 – MATRIZ DE CONTINGÊNCIA ENTRE DOIS PLANOS DE
INFORMAÇÃO, A E B
B
B
totais
A
T11
T21
T.1
A
T12
T22
T.2
totais
T1 .
T2 .
T..
Então a área esperada Ti*,j para a i linha e a j coluna é:
Ti *, j =
Ti . T. j
(2.35)
T ..
O resultado dessa operação é utilizado na estatística χ2 que é expressa pela formulação
abaixo:
n
m
χ 2 = ∑∑
(Ti , j − Ti *,j ) 2
i =1 j =1
Ti *, j
(2.36)
onde o Ti *, j é o valor esperado da sobreposição entre as classes e Ti , j o valor observado.
Como χ2 é fortemente dependente da unidade de medida, sendo proporcional ao
tamanho da unidade (ex. mudanças em medidas de metros quadrados para centímetros
quadrados representam um fator de aumento de 10.000, que reflete-se também na
magnitude do χ2) Bonham-Carter (1994) propõe a utilização do coeficiente de
contingência (Equação 2.37), que é independente da unidade de medida e varia de 0 a 1.
O valor “0” indica que os mapas não são correlacionados e os valores próximos a “1”
que eles são correlacionados.
C=
χ2
T⋅ ⋅ + χ 2
(2.37)
2.4.2 - Reclassificação Binária - Contraste
O processo de conversão de mapas multi-classes para uma forma binária pode tanto ser
efetuado subjetivamente, usando-se o julgamento geológico, como pode ser efetuado
estatisticamente, determinando-se o limiar de corte que maximiza a associação espacial
entre o mapa com a evidência, resultante da reclassificação binária, e o mapa com as
verdades de campo (ocorrências minerais).
Como ferramenta estatística para a definição do limiar de corte que maximiza a
correlação espacial Bonham-Carter (1994) propõe como um dos parâmetros possíveis a
utilização do Contraste (Cw). Para ilustrar o processo de obtenção do limiar de corte,
considere um plano de informação com lineamentos. Na Figura 2.11 tem-se uma
ampliação dos lineamentos com fatias (“buffers”) e ocorrências minerais sobrepostas.
Sem a necessidade de análise estatística, apenas com análise visual, fica claro que os
pontos de ocorrência caem próximos aos lineamentos. Fato este que corrobora com a
premissa de que ocorrências minerais estão associadas geneticamente a lineamentos.
Fig. 2.11 – Corredores ao longo de lineamentos, com ocorrências minerais sobrepostas.
O objetivo nesta análise é determinar o mapa binário que indique a melhor correlação
entre lineamentos e ocorrências conhecidas. A escolha de uma distância pequena define
uma classe com área reduzida, que não englobará muitas das ocorrências. No caso
oposto, uma distância muito grande define uma classe favorável muito ampla,
diminuindo a efetividade da evidência em prever as áreas alvos. O plano de informação
do exemplo apresenta 28 fatias com espaçamento de 25m cada, num total de 700m.
De modo a evitar esses dois extremos, procede-se o cálculo de ponderadores (Contraste)
para cada fatia. As formulações propostas para o cálculo do Contraste são:
CW = Ln[O( B | A)] − Ln[O( B | A )]
(2.38)
CW = W + − W −
(2.39)
, ou
Contraste
Contraste entre os lineamentos e as ocorrências minerais
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
0
50
100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700
Distância (m)
-1.0
-1.5
Fig. 2.12 – Valores de contraste acumulados das fatias ao longo dos lineamentos
indicando um ponto “ótimo” de corte em 250m.
A computação do contraste para cada fatia gera valores individuais que podem oscilar
muito, conforme a quantidade de ocorrências. Este aspecto pode gerar um gráfico com
uma curva muito ruidosa, devido à grande variação nos valores de contraste, o que
dificulta a definição de um ponto de corte confiável. Este problema pode ser contornado
com o cálculo do contraste acumulado, conforme demostrado na Tabela 2.3 e na Figura
2.12. O gráfico apresenta um pico claro na distância de 250m que é o ponto de corte que
fornece o padrão binário que melhor prediz as ocorrências minerais conhecidas. De
qualquer modo é bom indicar que nem sempre está técnica fornece um ponto de
máximo claro para corte. Em tais situações os limiares são definidos segundo o
julgamento subjetivo do geólogo.
TABELA 2.3 – VALORES UNITÁRIOS E ACUMULADOS DE CONTRASTE
DAS FATIAS AO LONGO DOS LINEAMENTOS, INDICANDO O LIMIAR DE
CORTE DE 250 M COMO AQUELE QUE MAXIMIZA A CORRELAÇÃO
ESPACIAL DOS LINEAMENTOS COM AS OCORRÊNCIAS MINERAIS
Fatia
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Distância
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
275
300
325
350
375
400
425
450
475
500
525
550
575
600
625
650
675
700
Contraste
0.20708
0.19165
0.25186
0.24800
0.19165
0.13637
0.10533
0.10695
-0.01381
0.05937
-0.00553
-0.02101
-0.00716
-0.03870
-0.06596
-0.11612
-0.25675
-0.21505
-0.19254
-0.26399
-0.44979
-0.31204
-0.22130
-0.17127
-0.32883
0.00539
0.07632
0.19028
Contraste acumulado
0.2071
0.3987
0.6506
0.8986
1.0902
1.2266
1.3319
1.4389
1.4251
1.4844
1.4789
1.4579
1.4507
1.4120
1.3461
1.2300
0.9732
0.7582
0.5656
0.3016
-0.1482
-0.4602
-0.6815
-0.8528
-1.1816
-1.1762
-1.0999
-0.9096
2.5 – REDES NEURAIS ARTIFICIAIS
Redes Neurais Artificiais são técnicas computacionais que apresentam um modelo
matemático inspirado na estrutura neural de organismos inteligentes que adquirem
conhecimento através da experiência (Carvalho,1999). O processamento em redes
neurais ocorre na sua maioria de modo paralelo, diferentemente da computação
convencional, que apresenta processamento seqüencial.
Uma rede neural artificial é composta por vários elementos de processamento (EP’s).
Esses elementos geralmente são conectados por canais de comunicação associados a
determinados pesos. Os pesos são coeficientes adaptativos da rede que determinam a
intensidade dos sinais de entrada, ou seja são medidas de força de conexão (Nelson e
Illingworth, 1991). Os elementos fazem operações apenas sobre dados locais, que são as
entradas recebidas pelas suas conexões. O comportamento “inteligente” de uma Rede
Neural Artificial vem das interações entre os EP’s da rede.
As arquiteturas neurais são na maioria das vezes organizadas em camadas, com EP’s que
podem estar conectados aos EP’s da camada posterior (Figura 2.13). Usualmente as
camadas são classificadas em três grupos:
Camada de Entrada:
Entrada onde os sinais (padrões) são apresentados à rede;
Camadas Intermediárias ou Escondidas:
Escondidas onde é efetuada a maior parte do
processamento, através das conexões ponderadas;
Camada de Saída:
Saída onde o resultado final é apresentado.
Fig. 2.13 – Organização em camadas de uma rede neural.
FONTE: Carvalho (1999).
A operação de um EP pode ser entendida da seguinte maneira: sinais são apresentados à
entrada; cada sinal é multiplicado por um peso, que indica a sua influência na saída da
unidade; é efetuada a soma ponderada dos sinais que produz um nível de atividade; se
este nível de atividade exceder a um certo limite (bias) a unidade produz uma
determinada resposta de saída.
Fig. 2.14 – Elemento de processamento – função de soma.
FONTE: Adaptado Nelson e Illingworth (1991)
Matematicamente pode-se pensar nas entradas e nos pesos como vetores (i1 , i 2 , ..., i n ) e
( wi , w2 ,..., wn ) . É efetuada a multiplicação de cada componente i n pelo correspondente
wn , e, posteriormente, a soma de todos os produtos (Figura 2.14). No resultado é
aplicada uma função de transferência (função de ativação), geralmente não-linear
(Figura 2.15). As funções lineares na prática mostram-se pouco eficientes pois fornecem
simplesmente saídas proporcionais às entradas. As funções mais utilizadas são as Hard
limiter, Ramping function e sigmóide, sendo estas as mais utilizadas, devido ao seu
caráter contínuo (Nelson e Illingworth, 1991).
A maioria dos modelos de redes neurais possui alguma regra de treinamento, onde os
pesos de suas conexões são ajustados de acordo com os padrões apresentados (sinais).
Em outras palavras, elas aprendem através de exemplos. Os sinais podem ser positivos
(excitadores) ou negativos (inibidores). Uma entrada positiva promove o disparo de um
EP, enquanto a negativa tende à manter o EP inerte.
Fig. 2.15 – Exemplos de funções de transferência. FONTE: Adaptado de Nelson e
Illingworth (1989).
A propriedade mais importante das redes neurais é a habilidade de “aprender” e, com
isso, melhorar o seu desempenho. Isso é feito através de um processo interativo de
ajustes aplicado a seus pesos, o treinamento. O aprendizado é efetuado através de
algoritmo de aprendizado que é um conjunto de regras bem definidas para a solução de
um determinado problema. Existem muitos tipos de algoritmos de aprendizado
específicos para determinados modelos de redes neurais. O aprendizado ocorre quando
a rede neural atinge uma solução generalizada para uma classe de problemas.
As formas de aprendizado podem ser subdivididas em: supervisionadas; não
supervisionadas; e por reforço. No aprendizado supervisionado são apresentadas à rede
um conjunto de padrões de entrada e seus correspondentes padrões de saída. Durante os
processos sucessivos, a rede realiza um ajustamento dos pesos das conexões entre os
elementos de processamento, segundo alguma lei de aprendizado (algoritmo), até que o
erro entre os padrões de entrada e saída esteja abaixo de um valor mínimo desejado
(Figura 2.16). Dentre os algoritmos de aprendizado supervisionado os mais utilizados
são Perceptron, Adeline e Madaline, Backpropagation (Hetch-Nielsen, 1989). O
aprendizado por reforço é similar ao supervisionado com a diferença que um crítico
externo avalia a resposta fornecida pela rede (Carvalho, 1999).
No aprendizado não-supervisionado a rede analisa os conjuntos de entradas
apresentadas e determina algumas das propriedades dos conjuntos de dados e aprende a
refletir sobre suas propriedades de saída. Os métodos de aprendizado mais utilizados são
Mapa Auto-Organizável de Kohonen, Redes de Hopfield e Memória Associativa
Bidirecional (Hecht-Nielsen,1989).
Fig. 2.16 – Exemplificação do processo de aprendizado.
FONTE: Carvalho (1999).
O primeiro passo do processo de desenvolvimento de redes neurais artificiais são a
coleta de dados relativos ao problema e a sua separação em um conjunto de treinamento
e um conjunto de teste. Os dados de treinamento serão utilizados para o treinamento da
rede e dados de teste serão utilizados para verificar sua performance sob condições reais
de utilização.
O segundo passo é a definição da configuração da rede, que pode ser dividido em três
etapas:
- seleção do paradigma neural apropriado à aplicação;
- determinação da topologia da rede a ser utilizada (número de camadas, número
de unidades em cada camada, etc.);
- determinação de parâmetros do algoritmo de treinamento e funções de ativação
(Carvalho, 1999).
O terceiro passo é o treinamento da rede. Nesta fase, seguindo o algoritmo de
treinamento escolhido, serão ajustados os pesos das conexões. Normalmente, os valores
iniciais dos pesos da rede são números aleatórios uniformemente distribuídos em um
intervalo definido.
O quarto passo é o teste da rede. Durante esta fase o conjunto de teste é utilizado para
determinar a performance da rede com dados que não foram previamente utilizados. O
desempenho da rede, nesta fase, é uma boa indicação de sua performance real
(Carvalho,1999). Finalmente, com a rede treinada e avaliada, ela pode ser integrada a
um sistema do ambiente operacional da aplicação.
2.6 SUPORTE À DECISÃO
Qual o grande desafio da produção de novas informações em um SIG? A
capacidade de comparar e avaliar as diferentes possibilidades de geração de novos
mapas. Como o SIG oferece uma grande quantidade de funções de Álgebra de Mapas,
nem sempre é facil escolher qual a forma de combinação de dados mais adequada para
nossos propósitos. Neste contexto, é muito útil dispor de ferramentas de suporte à
decisão, que nos ajudam a organizar e estabelecer um modelo racional de combinação
de dados. Uma das técnicas mais úteis é o processo analítico hierárquico - Analytical
Hierarchy Process (AHP), desenvolvida por Saaty (1992), considerada como sendo a
mais promissora no contexto do processo de tomada de decisão.
Suporte à Decisão - Conceitos Básicos
Decidir é escolher entre alternativas. Com base nesta visão, podemos encarar o
processo de manipulação de dados num sistema de informação geográfica como uma
forma de produzir diferentes hipóteses sobre o tema de estudo. O conceito fundamental
dos vários modelos de tomada de decisão é o de racionalidade. De acordo com este
princípio, indivíduos e organizações seguem um comportamento de escolha entre
alternativas, baseado em critérios objetivos de julgamento, cujo fundamento será
satisfazer um nível pre-estabelecido de aspirações. O modelo racional de tomada de
decisão preconiza quatro passos que devem ser seguidos para uma escolha apropriada:
•
Definição do problema: formular o problema como uma necessidade de chegar a
um novo estado.
•
Busca de alternativas: estabelecer as diferentes alternativas (aqui consideradas
como as diferentes possíveis soluções do problema) e determinar um critério de
avaliação.
•
Avaliação de alternativas: cada alternativa de resposta é avaliada.
•
Seleção de alternativas: as possíveis soluções são ordenadas, selecionando-se a
mais desejável ou agurpando-se as melhores para uma avaliação posterior.
A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico
Quando temos diferentes fatores que contribuem para a nossa decisão, como fazer para
determinar a contribuição relativa de cada um? Para abordar este problema, Thomas
Saaty propõs, em 1978, o técnica AHP (processo analítico hierárquico). Trata-se de uma
teoria com base matemática que permite organizar e avaliar a importância relativa entre
critérios e medir a consistência dos julgamentos. Requer a estruturação de um modelo
hierárquico, o qual geralmente é composto por meta, critérios, sub-critérios e
alternativas; e um processo de comparação pareada, por importância relativa,
preferências ou probabilidade, entre dois critérios, com relação ao critério no nível
superior. Com base na comparação, a AHP pondera todos os sub-critérios e critérios e
calcula um valor de razão de consistência entre [0, 1], com 0 indicando a completa
consistência do processo de julgamento.
O primeiro passo para a aplicação dessa técnica é a elaboração de uma relação de
importância relativa entre as evidências. Neste procedimento, os diferentes fatores que
influenciam a tomada de decisão são comparados dois-a-dois, e um critério de
importância relativa é atribuído ao relacionamento entre estes fatores, conforme uma
escala pré-definida (veja tabela). A lógica da comparação par a par sugere obter uma
medida relativa do mérito, em situações nas quais exista alguma incerteza sobre o
critério de determinação de padrões desejados em processos de inferência espacial. A
lógica da comparação par a par é uma análise decomposta, por comparação dois a dois
dos elementos, que finaliza com uma síntese de recomposição, pela agregação dos
valores membro dos elementos, em um método de avaliação unificado (Banai, 1993).
TABELA 2.4 – ESCALA AHP DE COMPARAÇÃO PAR A PAR
Intensidade de importância
1
3
5
7
9
2,4,6,8
Definição e explicação
Importância igual – os dois fatores contribuem
igualmente para o objetivo
Importância moderada – um fator é ligeiramente mais
importante que o outro
Importância essencial – um fator é claramente mais
importante o outro
Importância demostrada – um fator é fortemente
favorecido e sua maior relevância foi demostrada na
prática
Importância extrema – a evidência que diferencia os
fatores é da maior ordem possível
Valores intermediários entre julgamento - possibilidade
de compromissos adicionais
A lógica da comparação par a par de n elementos é desenvolvida em uma matriz A =
( a ij ). Os coeficientes desta matriz indicam uma estimativa da magnitude dos elementos
x i , indicado pelos wi , em relação a uma dada propriedade P. Deste modo, uma matriz
de razões é formada com os coeficientes a ij = wi w j . A matriz A é recíproca
(a ji = (1 aij )) , e todas as entradas da diagonal são unitárias a ii = 1 .
W1 W1 W1 W2
W W W W
2
2
A=  2 1
 M
M

W n W1 W n W2
L W1 Wn 
L W 2 Wn 
L
M 

L W n Wn 
(2.40)
As magnitudes wi (i = 1,K , n) são assumidas como conhecidas (i.e., µ s ( xi ) = wi ).
Entretanto, caso estas não sejam conhecidas é possível recuperar seu vetor (coluna): [w1,
w2, …, wn] através da solução da equação característica (A multiplicação de A por w é
definida como proporcional ao w com o fator escalar n):
A.w = n.w
(2.41)
Como a matriz A apresenta rank unitário (na matriz A apenas uma das linhas é
independente, as demais são constantes múltiplas da primeira linha), todos os valores
característicos (autovalores) λi (i=1,…n) são zero, exceto um λi , o qual Saaty (1978)
denomina como λ max ≠ λi = 0 .
Substituindo-se n por λ max na Equação (2.41) obtém-se:
A.w = λ max .w
(2.42)
O primeiro passo para a solução da equação característica é o cálculo do autovalor λ max .
O desenvolvimento abaixo demostra as operações necessárias para o isolamento do
termo da equação do qual o determinante é igualado à zero. Isto é possível uma vez que
é assumido um w ≠ 0.
A.w = λ max .w
(2.43)
[ A − I .λmax ] .w = 0
(2.44)
det [ A − I .λ max ] = 0
w≠0
(2.45)
O próximo passo é a substituição do autovalor, λ max , na formula 2.44. O vetor
característico (autovetor) w é obtido através da solução das equações resultantes da
equação 2.44, onde o resultado único é definido através da normalização de w (cada
posição de wi deve ser dividida pelo somatório de ∑ wi , para i=1,…,n). A escala é
limitada entre [0,1] e é recuperada da matriz das razões, A . Deste modo, a grade de
relacionamento dos elementos x i de um conjunto S em um espaço de propriedade
M=[0,…,1] é definido por wi : 0 ≤ µ s ( x i ) = wi ≤ 1 (Banai, 1993).
A técnica AHP é uma ferramenta de análise multi-critério que permite algumas
melhorias em aplicações desenvolvidas em SIG. Algumas das principais propriedades
que caracterizam a metodologia serão abordadas resumidamente a seguir:
Cálculo da consistência
Quando o vetor dos pesos, w , não é conhecido, pode-se estimá-lo através da matriz de
comparação dois a dois, A , sendo os coeficientes da matriz estimativas dos pesos
relativos. Considerando as estimativas dos atuais, A , w , e n por A ’, w ’, e λmax ,
respectivamente, a equação característica resultante é expressa por:
A'.w' = λ max .w'
(2.46)
Nos casos onde w é conhecido, a condição de consistência a ij . a jk = aik é válida para a
matriz A . Entretanto esta condição de consistência pode não ser válida em situações
onde a matriz foi estimada, A ’; i.e., a ij' . a 'jk ≠ aik' . Uma pequena perturbação nos valores
dos coeficientes de A implica num pequeno desvio dos valores característicos
(autovalores), o que geralmente resulta num λmax >n. Uma boa estimativa dos coeficiente
de A ’ implica num λmax mais próximo de n o que resultaria numa solução onde o w ’ é o
mais próximo de w . Este desvio de consistência é medido pelo índice de consistência, CI:
CI = (λ max − n) ( n − 1)
(2.47)
O índice CI é comparado com sua média, RI (Índice de Consistência Randômica), a
qual é derivada a partir de uma amostra de 500 matrizes recíprocas geradas de forma
randômica e que apresenta as mesmas dimensões de A . O índice de consistência
randômico, RI, utiliza uma escala de 9 pontos mais os valores recíprocos 1/9, 1/8, …,1
(Tabela 2.4), e é dado pelo tamanho da matriz (ou o número de fatores, n, na matriz de
comparação) (Banai, 1993):
N
RI
1
0.00
2
0.00
3
0.58
4
0.90
5
1.12
6
1.24
7
1.32
8
1.41
9
1.45
10
1.49
A comparação dos dois valores via um índice CR=CI/RI indica que a razão estimada
pela matriz A ’ é a mais próxima de ser logicamente consistente, ou de modo contrário, a
mais próxima de ser aleatória. Saaty (1980) sugere um limite de CR igual a 10% como
uma medida de boa consistência. A melhoria da consistência em situações onde o índice
CR excede 0.10 envolve a revisão das razões estimadas na matriz A ’.
2.7 MÉTODOS DE AFERIÇÃO DE QUALIDADE
Para a avaliação dos mapas de potencialidade gerados através das análises multicritérios, pretende-se utilizar a probabilidade condicional. O objetivo é avaliar o caráter
explicativo dos mapas com as verdades de campo (ocorrências minerais) utilizando a
idéia da probabilidade a posteriore. O que se espera nessa análise é uma alta correlação
das ocorrências com as faixas dos mapas de potencialidade definidos como de alto
potencial.
Para um melhor entendimento imagine-se um mapa de potencialidade com diferentes
faixas de potencialidades. Na prática o que se espera é uma alta correlação das faixas
definidas como de alto potencial com as verdades de campo (ocorrências minerais) e
uma baixa correlação com as de baixo potencial. O cruzamento desses mapas com as
verdades de campo fornecerá parâmetros que, substituídos na formulação do grau de
confiança (equação 2.48), permitirão avaliar o caráter explicativo de cada faixa relativa
às verdades de campo.
Na prática o que se obtém são valores que expressam numericamente o quanto se
aumenta em número de vezes (grau de confiança) o encontro de novos depósitos a
partir do momento que se está pesquisando em regiões definidas como de alto potencial.
O grau de confiança é expresso pela razão da probabilidade a posteriori pela
probabilidade a priore.
Grau de confiança =
onde:
p ( depósito | fatia)
p (d )
(2.48)
p ( depósito | fatia) é a probabilidade a posteriore do depósito ocorrer
dado uma certa classe de prioridade;
p (d ) é a probabilidade a priore do depósito ocorrer considerando a área
total de estudo.
CAPÍTULO 3
MATERIAIS
As inferências espaciais basearam-se na aplicação de um modelo de prospecção aplicado
em um banco de dados espaciais, através de técnicas de geoprocessamento. O banco de
dados foi manipulado no SPRING (Sistema de Processamento de Informações
Georreferenciadas), sistema de informação geográfica (SIG) baseado num modelo de
dados orientado a objeto, do qual são derivados sua interface de menus e sua linguagem
espacial LEGAL.
Todos os modelamentos desenvolvidos neste trabalho (com exceção do modelo segundo
teoria de redes neurais) foram desenvolvidos no SPRING. O modelamento por Redes
Neurais utilizou, além do SPRING, o programa de simulação de Redes Neurais
Artificiais SNNS (Stuttgart Neural Network Simulator), para execução do
processamento do banco de dados.
Neste capítulo pretende-se descrever a área de estudo, o Complexo Alcalino de Poços de
Caldas, o banco de dados espaciais utilizado, bem como apresentar algumas das
definições dos sistemas utilizados: SPRING, linguagem de álgebra de mapas LEGAL e o
simulador SNNS.
3.1 ÁREA DE ESTUDO
O maciço Alcalino de Poços de Caldas foi usado como área-teste para a aplicação das
metodologias de integração e análise espacial dos dados. Essa escolha foi motivada pela
disponibilidade de uma base de dados em formato digital, adequada a estudos
metodológicos de análise espacial.
Pesquisas para minerais radioativos no complexo alcalino de Poços de Caldas tiveram
início em 1952, com os trabalhos executados pelo Conselho Nacional de Pesquisa
(Tolbert, 1966). Esse interesse gerou uma boa base de dados de campo e estudos (Ellert,
1959; Tolbert, 1966; Oliveira, 1974; Almeida e Paradella, 1977; Ulbrich, 1984; Fraenkel
et al., 1985; Almeida Filho,1995). A seguir será apresentado um resumo sobre as
características geológicas gerais do maciço de Poços de Caldas e do banco de dados
disponível.
3.1.1 Características Gerais
O platô de Poços de Caldas localiza-se na divisa dos estados de Minas Gerais e São
Paulo, a aproximadamente 300Km da cidade de São Paulo (Figura 3.1). O maciço, de
formato aproximado circular, possui uma área aproximada de 750Km2, com diâmetro
de cerca de 35Km. A altitude média do platô gira em torno de 1300m, bordejado por
diques anelares de 1500 a 1650m de altitude.
Ba
BRASIL
Mg
Es
Sp
Rj
Fig. 3.1 – Localização da área de estudo.
A cidade de Poços de Caldas, com aproximadamente 110.000 habitantes, no limite
norte da cratera, é um importante centro hidrotermomineral do Brasil, também com
importantes atividades de mineração de bauxita e argila.
3.1.2 Geologia
O maciço de natureza intrusiva tem como rochas mais abundantes nefelinas-sienitos
(tinguaítos, fonólitos, foiaítos) de idade Mesozóica-Cenozóica. O embasamento
cristalino apresenta rochas Arqueanas, constituídas na maioria por gnaisses, migmatitos
e granulitos, conforme mapa litológico da Figura 3.2.
Os diversos tipos litológicos de origem alcalina podem ser subdivididos em três grupos
principais: - brechas, tufos e aglomerados; - rochas efusivas e hipabissais; e – rochas
plutônicas (Fraenkel et al., 1985). Brechas, tufos e aglomerados correspondem ao
material vulcânico aflorante na porção noroeste do maciço. As rochas efusivas e
hipabissais são representadas por fonólitos e tinguaítos respectivamente. As rochas
plutônicas são constituídas por foiaítos e por lujaritos, ocorrendo também chibinitos em
menor proporção.
Outro aspecto litológico importante é a existência de uma “rocha potássica”, resultante
da alteração por processos hidrotermais e de intemperismo do tinguaíto (Fraenkel et al.,
1985), a qual constitui importante controle das mineralizações uraníferas no maciço.
Aspectos estruturais
O complexo alcalino apresenta dois grandes sistemas de falhamentos, com direções
predominantes em N60W e N40E, estando o primeiro relacionado com a tectônica
regional e o segundo com o processo formador da caldeira (Fraenkel et al., 1985).
Almeida Filho e Paradella (1977), através da interpretação de imagens Landsat,
identificaram existência de 7 estruturas circulares no interior da caldeira de Poços de
Caldas, possivelmente associadas à presença de cones vulcânicos (Figura 3.3). A presença
de várias ocorrências minerais radioativas ao longo das bordas dessas estruturas, levou
aqueles autores a considerarem que estas feições constituíram controle estrutural dessas
mineralizações.
Evolução do maciço
O complexo alcalino teve as primeiras manifestações no Cretáceo Superior (87m.a.) e
evoluiu através de fases sucessivas até ano 60 m.a.. Estudos realizados por Ellert (1959)
reconhecem 6 fases na formação do complexo alcalino: 1) soerguimento do
embasamento; 2) atividades vulcânicas; 3) formação de caldeiras; 4) atividade
magmática alcalina; 5) formação dos diques anelares; 6) intrusões de foiaítos, chibinitos
e lujaritos.
Mineralizações
As mineralizações radioativas do maciço alcalino podem ser agrupadas em três
associações: urânio-zircônio, tório-terras raras e urânio-molibdênio (Tolbert, 1966;
Fraenkel et al.,1985) Os indícios e mineralizações conhecidos no maciço estão indicados
no mapa da Figura 3.4.
As associações urânio-zircônio constituem as mineralizações mais comuns, ocorrendo
como depósitos aluviais, eluviais e como veios e lentes. As associações tório-terras raras
representam o segundo tipo de mineralizações radioativas do maciço sendo o depósito
de Morro de Ferro o mais significativo (Tolbert,1966). As mineralizações urâniomolibdênio estão associadas à superposição de eventos tectônicos, hidrotermais e
meteóricos, ocorrendo como faixas ou como corpos lenticulares, encaixadas em foiaítos
e tinguaítos hidrotermalizados.
Fig. 3.2 – Mapa litológico do maciço de Poços de Caldas.FONTE: Nuclebrás (1975a).
Fig. 3.3 – Mapa de lineamentos estruturais e estruturas circulares do maciço de Poços de
Caldas. FONTE: Adaptado de Almeida Filho (1995).
Fig. 3.4 – Ocorrências de minerais radioativos no planalto de Poços de Caldas.
FONTE: Nuclebrás (1975b).
3.1.3 Modelo Prospectivo
Para a representação espacial e análise das informações relevantes sobre um alvo a ser
pesquisado, Rostirolla (1997) propõe a definição das seguintes atividades: - mapear a
área e construir o banco de dados georreferenciado; - estudar os depósitos conhecidos
para a elaboração do modelo de depósito; - montar o modelo genético e caracterizar as
variáveis diagnósticas (evidências); - definir os ponderadores para cada variável
diagnóstica; - integrar os mapas ponderados; - construir os mapas de potencialidade; e –
analisar os resultados e a eficiência do sistema de avaliação.
De acordo com as etapas propostas pelo autor acima, a etapa fundamental consiste na
definição do modelo prospectivo a ser adotado para a área de estudo. O poder
explicativo do modelo proposto depende fundamentalmente do conhecimento
geológico prévio da área de estudo, que permitirá a seleção dos critérios diagnósticos
mais importantes para a “alimentação” do modelo. No caso particular da área de estudo,
os critérios diagnósticos (evidências) mais importantes a ser considerados são
características geológicas da área (litologia, estruturas e presença de anomalias
radioativas). Tais parâmetros podem definir isolada ou conjuntamente, sítios potenciais
à ocorrência dos minerais de interesse.
Almeida Filho (1995) relata a dificuldade da elaboração de um modelo prospectivo para
o maciço de Poços de Caldas, devido à alta complexidade dos fenômenos envolvidos no
processo formador do complexo alcalino e das mineralizações associadas. O processo
envolve aspectos tectônicos, estruturais, litológicos e intempéricos, com particularidades
de região para região. Entretanto, aquele autor identifica algumas características comuns
às ocorrências minerais no maciço alcalino, as quais foram preliminarmente assumidas
como critérios diagnósticos à pesquisa de minerais radioativos:
litologias favoráveis : presença de controles litológicos representados por rochas
potássicas, lujaritos/chibinitos, material vulcânico, e corpos intrusivos de foiaítos;
falhamentos/fraturamentos : presença de falhas e fraturas, condicionando o alojamento
de veios e lentes mineralizados;
estruturas circulares : presença de cones vulcânicos no interior da cratera, condicionando
a ocorrência de mineralizações radioativas em suas bordas;
gama-radiometria:
gama-radiometria presença de valores anômalos de radioatividade total, indicativa da
presença de minerais radioativos.
Desse modo, o modelo prospectivo para a definição de áreas potenciais à ocorrências de
minerais radioativos baseia-se em três pontos: dados gama-radioativos, litologias
favoráveis e feições estruturais.
3.2 BANCO DE DADOS ESPACIAIS
As informações relevantes ao processo de inferência espacial foram extraídas do banco
de dados digitais geocodificados (BDDG) construído por Almeida Filho (1995) no
ambiente dos sistemas SITIM (Sistema de Tratamento de Imagens) e SGI (Sistema de
Georreferenciado de Informação), desenvolvidos pelo INPE .
Os planos de informação de interesse foram migrados para o ambiente SPRING, onde
foram realizadas todas as edições e processamentos necessários para a execução das
análises multi-critério com vistas a definir cenários potenciais à ocorrência de minerais
radioativos.
Os dados utilizados estão apresentados na Tabela 3.1, onde estão explicitados os
formatos e respectivos atributos.
TABELA 3.1 – TIPOS, FORMATOS E ATRIBUTOS DOS DADOS
Dados
Formatos
Atributos
Cidade, principais drenagens
Vetorial
Infra-estrutura
Mapa Litológico
Vetorial e matricial
Informações litológicas
Contatos litológicos
Vetorial e matricial
Zonas de contatos
Gama-radiometria
Vetorial e matricial
Radioatividade (contagem total)
Feições estruturais
Vetorial
Falhas/fraturas e estr. circulares
Ocorrências minerais
Vetorial
Verdade de campo
Adaptada de Almeida Filho (1995).
As principais características dos planos de informação são descritas a seguir:
Dados planimétricos – indicação da cidade de Poços de Caldas, principais drenagens e
barragens. Essas entidades foram digitalizadas a partir das folhas descritas
anteriormente.
Dados litológicos – As unidades litológicas foram digitalizadas a partir do mapa
geológico do maciço alcalino (Nuclebrás, 1975a) (Figura 3.2).
Dados gama radiométricos – os dados radiométricos foram coletados pela Comissão
Nacional de Energia Nuclear – CNEN, através de aerolevantamento com helicóptero e
caminhamentos. Nos levantamentos com helicóptero os dados foram coletados em
malhas de 250x250m, enquanto os dados coletados no terreno o foram em malha de
75x250m. Estes dados de radiatividade total encontravam-se integrados no “mapa
radiométrico do planalto de Poços de Caldas” (NUCLEBRAS,1975c), subdivididos em 5
classes de intensidade radioativa, em relação a um background regional de 40 unidades
(background -1,3; 1,3-1,8; 1,8-2,5; 2,5-3,5; 3,5 - background)(Figura 3.4).
Dados estruturais – Os dados estruturais foram obtidos através da interpretação de
imagens multiespectrais (MSS) realizada por Almeida Filho (1995). Eles foram
subdivididos pelo autor em feições lineares e feições circulares. As estruturas circulares
identificadas correspondem a sete feições no maciço alcalino, interpretadas como
associadas a edifícios vulcânicos no interior da cratera (Almeida Filho e Paradella, 1977).
Fig. 3.5 – Mapa de intensidade radioativa total do planalto de Poços de Caldas.
FONTE: Nuclebrás (1975c).
3.3 SUPORTE COMPUTACIONAL UTILIZADO
Dois sistemas foram usados no presente estudo: SPRING e SNNS. O SPRING é um SIG
de 2o geração, desenvolvido pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais – INPE. No
seu modelo conceitual um banco de dados corresponde fisicamente a um diretório onde
são armazenados suas definições de categoria e classe e os projetos pertencentes ao
banco. Os projetos são armazenados em subdiretórios juntamente com seus arquivos de
dados (pontos, linhas, imagens orbitais e aéreas, imagens temáticas, textos, grades e
objetos).
O dados espaciais devem ser representados no esquema conceitual do SPRING como
geo-campos ou geo-objetos. O geo-campo representa a distribuição espacial de variáveis
que possuem valores em todos os pontos pertencentes a uma região geográfica, podendo
ser especializado em modelos: temático, numérico e imagem. O geo-objeto representa
um elemento único que possui atributos não espaciais e está associado a múltiplas
localizações geográficas.
O SPRING provê um ambiente de trabalho amigável e poderoso, através da combinação
de menus e janelas com uma linguagem espacial denominada LEGAL – Linguagem
Espacial para Geoprocessamento Algébrico (Câmara, 1996). É facilmente programável
pelo usuário, possibilitando a realização de análises espaciais através de álgebra de
mapas. A análise espacial utiliza atributos espaciais e não espaciais das entidades gráficas
armazenadas na base de dados espaciais, para fazer análises e simulações sobre
fenômenos do mundo real.
A estrutura de um programa em LEGAL é composta de três partes: declaração,
instanciação e operação. Na “declaração” são definidos os dados, onde cada plano de
informação (PI) a ser manipulado é associado a uma variável de determinada categoria
definida no esquema conceitual. A “instanciação” consiste nas manipulações de banco
de dados, onde PI’s são recuperados ou criados dependendo dessas manipulações. Na
“operação” são realizadas as operações de álgebra de mapas (transformação, booleana,
matemática, classificação contínua, vizinhança, reclassificação por atributos). No Anexo
I estão apresentados os programas em LEGAL construídos para execução dos
procedimentos necessários para a aplicação das diferentes técnicas de inferência espacial,
usadas neste estudo.
O outro pacote utilizado, o SNNS, é um programa de simulação de redes neurais
artificiais, desenvolvido pelo Institute for Parallel and Distributed High Performance
Systems - IPVR da Universidade de Stuttgart.
O simulador é composto por 4 componentes principais: simulador central, interface de
usuário gráfica, interface de execução em grupo e compilador de rede SNN2C. Uma de
suas características mais importantes é a interface gráfica que permite que usuários
inexperientes possam aprender e desenvolver modelos conexionistas com o auxílio do
simulador, de modo que o desenvolvimento de redes neurais complexas seja fácil e
rápido (Zell et al., 1999).
CAPÍTULO 4
MODELAGEM DOS DADOS: RESULTADOS E DISCUSSÕES
Foram utilizados vários métodos de inferência espacial para a integração dos dados
(evidências) relevantes para o modelo prospectivo adotado para o maciço alcalino de
Poços Caldas. Os métodos geraram diferentes planos de informação (geocampos) com
representação Temática ou Numérico - MNT (Modelo Numérico de Terreno). Na
representação Temática (booleano), a favorabilidade para ocorrências minerais
radioativas é expressa espacialmente através de polígonos ou “pixels”. Na representação
Numérica têm-se campos contínuos em forma de grade regular, que expressam
pontualmente o grau de favorabilidade.
Os resultados em formato numérico foram fatiados em quatro classes (nula, baixa,
média e alta), arbitrariamente definidas, que exprimem níveis diferentes de
potencialidade à ocorrência mineral. Os fatiamentos foram efetuados com o objetivo de
definir classes com áreas o mais próximas possíveis em tamanho. O desejo dessa
similaridade entre classes advém do sentimento de que as comparações entre cenários
seriam mais lógicas.
Os mapas com representação Temática, gerados através dos 8 modelamentos (Booleano,
Média Ponderada, Fuzzy Mínimo-Máximo, Fuzzy Média, Fuzzy Gama, Fuzzy Ponderado
(AHP), Bayesiano, e Redes Neurais), foram avaliados qualitativamente e
quantitativamente. Nas análises qualitativas foram observadas as coincidências das
ocorrências minerais com as classes de favorabilidade de cada cenário. A observação foi
executada sobrepondo-se a cada mapa de favorabilidade as ocorrências minerais,
definidas por uma circunferência com 0,2 Km2 de área. Em casos onde existiu a
interseção de mais de uma classe por ocorrência mineral foi assumido a classe de maior
potencialidade como a classe coincidente.
Para a realização das análises quantitativas foi utilizada a probalidade condicional para a
avaliação de cada fatia dos cenários gerados. O objetivo foi avaliar o caráter explicativo
de cada faixa (nula, baixa, média e alta) em relação às ocorrências minerais radioativas.
Ou seja, desejou-se aferir em quanto seria aumentada a chance de ocorrência (grau de
confiança) de um depósito mineral nas classes definidas no mapa de favorabilidade.
Para a definição dos graus de confiança, o primeiro passo foi a tabulação cruzada do PI
das ocorrências minerais com cada um dos diferentes PI’s que continham os cenários
gerados. O cruzamento gerou 8 matrizes de confusão (2x4) que foram editadas. Cada
matriz gerou outras 4 matrizes (2x2), de onde foram extraídos os valores para o cálculo
da probabilidade a priore e a posteriore, necessárias para o cálculo do grau de confiança
( grau de confiança = P( D | B) P( D) ). As matrizes binárias de confusão de cada classe
dos diferentes cenários encontram-se na Tabelas II.1 (Anexo II).
O cálculo do grau de confiança foi obtido para todas as classes (fatias) dos mapas de
favorabilidade gerados e os resultados estão apresentados em tabelas individualizadas
para cada modelamento (Tabelas 4.2, 4.3, 4.6, 4.7, 4.9, 4.10, 4.20, 4.21). A análise dessas
tabelas permitiu a obtenção de algumas conclusões com relação à qualidade dos mapas
de favorabilidade gerados.
Os comentários com relação às avaliações qualitativas e quantitativas foram realizados
individualmente, modelo por modelo, apontando-se os pontos positivos e falhos de cada
modelamento. De modo geral, todos os mapas de favorabilidade apresentaram fatias
com um comportamento coerente em relação à distribuição do grau de confiança. Ou
seja, os valores de grau de confiança variaram de modo crescente, com valores menores
sendo obtidos em classes definidas como de potencial nulo e maiores para classes de alto
potencial. Isso atesta a eficiência desse parâmetro estatístico na aferição dos resultados,
assim como dos modelamentos prospectivos executados.
4.1 INFERÊNCIA BOOLENA
O modelo Booleano envolveu a combinação lógica de mapas binários, através de
operadores condicionais. O primeiro passo para a aplicação do método foi a
reclassificação dos planos de informação para um padrão binário. Os PI’s “Litologia” e
“Intensidade Radioativa” foram reagrupados cada um para apenas duas classes:
favorável e não-favorável. A Figura 4.1 mostra a generalização aplicada ao plano de
informação litológico, onde as unidades (classes) Rocha Potássica, Foiaíto,
Lujaritos/Chibinitos e Material Vulcânico foram agrupadas como favoráveis e as demais,
Fonólito, Tinguaíto, Embasamento e Arenito como não-favoráveis (Programa I.1 Anexo I). O mesmo procedimento foi aplicado ao PI Intensidade Radioativa. Unidades
com valores acima de 1,8 vez o background regional foram consideradas como favoráveis
e abaixo como não-favoráveis. Esse limiar de corte foi definido empiricamente por
Almeida Filho (1995), que tomou como base o valor mínimo encontrado no depósito de
Campo São Agostinho. O resultado encontra-se na Figura 4.2. O programa, em
linguagem LEGAL, para esse procedimento encontra-se no Anexo I, Programa I.2.
Fig. 4.1 – Exemplificação de generalização de mapa temático para padrão binário.
No caso dos lineamentos e estruturas circulares, foi construído primeiramente um mapa
de distâncias isotropicamente distribuído ao longo dos lineamentos e estruturas
circulares, segundo uma grade regular numérica. Estes planos foram, então, fatiados
segundo um limiar de corte definido empiricamente por Almeida Filho (1995). Para os
lineamentos o limiar definido como área favorável foi de 250m e para as estruturas
circulares de 350m (Figura 4.3).
Como os contatos das unidades litológicas são inferidos na sua maioria, foi criado um
buffer de 100m ao longo dos mesmos, de modo a minimizar erros relativos ao
posicionamento. O procedimento de construção do plano de informação binário foi o
mesmo adotado para os lineamentos e estruturas circulares. Com os planos de
informação ajustados para um padrão binário, o próximo passo foi a integração destas
evidências, segundo os operadores de lógica booleana, determinando os locais onde as
evidências satisfaziam ou não às regras definidas pelo modelo. As operações efetuadas
de modo seqüencial foram eqüivalentes às realizadas por Almeida Filho (1995), onde os
operadores utilizados foram “E
E ” (∩ - interseção) e “OU
OU” (∪ - união). Primeiramente as
evidências foram agrupadas com o operador “OU” em três grupos principais à saber:
Grupo A - litologia OU contatos litológicos;
Grupo B - estruturas circulares OU lineamentos;
Grupo C - intensidade gama-radiométrica.
Fig. 4.2 - Tabela e plano de informação de intensidade radioativa reclassificado.
Fig. 4.3 – Planos de informação binários, lineamentos e estruturas circulares, com a
classe favorável em verde e a não-favorável em cinza.
O resultado deste agrupamento são planos de informação que retornam a união das
áreas favoráveis de cada evidência. Com os grupos formados aplicou-se o operador "E
E ",
para definir as áreas potencialmente favoráveis. O PI final apresenta como áreas
potencialmente favoráveis apenas aquelas onde houve coincidência das classes favoráveis
das evidências agrupadas. A formulação está expressa abaixo e o programa LEGAL
encontra-se no Anexo I (Programa I.3).
Grupo A = (litologia) ∪ (contato litológico)
Grupo B= (estruturas circulares) ∪ (lineamentos)
Grupo C=(intensidade de radiometria gama)
R = (Grupo A) ∩ (GrupoB ) ∩ (GrupoC )
No modelamento Booleano, um dos problemas encontrados é a rigidez do resultado
final, que não permite uma nova redistribuição dos dados em um número maior de
classes. O cenário, em termos de distribuição de valores, foi o que apresentou o pior
resultado, visto que os pixels apresentam apenas dois valores, 0 ou 1 (não-favorável e
favorável) (Figura 4.4). Esta característica da técnica dificultou a comparação entre os
outros modelos e pesou contra o modelamento, pois não permitiu variação nos limiares
de tomada de decisão.
Frequência
Distribuição dos pixels segundo as classes "favorável' e "não-favorável"
2000000
1600000
1200000
800000
400000
0
1
favorável
não-favorável
Fig. 4.4 – Distribuição acumulada dos pixels do cenário de potencialidade gerado pelo
modelo Booleano.
A classe “favorável” encerrou 24 das 48 ocorrências minerais em uma área de 32,4 Km2,
ou 4,45% do maciço alcalino (Figura 4.5). O grau de confiança indica um aumento de
5,78 vezes na probabilidade a priore de descobertas de depósitos minerais, caso pesquisas
sejam realizadas nessas áreas. Dentre os principais depósitos, a classe mapeou o Campo
Agostinho e Morro do Ferro. A mina Usamu Utsumi foi encerrada pela classe “nãofavorável”, que compreende uma área de 694,94 Km2 (95,55% do maciço) e obteve 0,78
de grau de confiança (Tabela 4.1).
TABELA
4.1–
SUMÁRIO
DOS
RESULTADOS
DO
MÉTODO
BOOLEANO
Fatia
22
Área (Km )
Área (%)
Prob. Posteriore
Grau de confiança
U-Zr U-Mo Th-Tr
Favorável
Não favorável
32.4
694.94
4.45
95.55
0.0722
0.0097
5.78
0.78 (1.28)
14
21
9
2
1
1
Total
727.34
100.00
Prob. priore
0.0125
35
11
2
Fig. 4.5 – Mapa de favorabilidade à ocorrência de minerais radioativos, obtido segundo
o método Booleano.
4.2 MÉTODO MÉDIA PONDERADA
Neste método, cada plano de informação e suas respectivas classes são ponderados de
acordo com a importância relativa para a hipótese considerada no modelo prospectivo
adotado. A definição dos pesos é a etapa mais crítica desta técnica, pois os pesos
atribuídos às evidências precisam indicar a importância relativa das mesmas para o
modelo. A integração das evidências é realizada através de uma soma ponderada,
procurando refletir a importância relativa dos fenômenos geológicos envolvidos.
Para a aplicação da técnica, o primeiro passo foi a definição dos pesos que iriam
ponderar tanto os PI’s como suas respectivas classes. Os pesos adotados foram os
mesmos definidos de modo heurístico por Almeida filho (1995), segundo sua
experiência pessoal na região:
Gama-radiometria:
peso do plano de informação ⇒ y1= 80;
peso das classes:
background –1.3 ⇒ w11 = 0;
1.3 - 1.8
⇒ w12 = 10;
1.8 - 2.5
⇒ w13 = 60;
2.5 - 3.5
⇒ w14 = 70;
> 3.5
⇒ w15 = 80;
Dados litológicos:
peso do plano de informação ⇒ y2 = 60;
peso das classes:
rochas potássicas ⇒ w21 = 60;
lujaritos/chibinitos
⇒ w22 = 60;
foiaítos
⇒ w23 = 30;
material vulcânico
⇒ w24 = 20;
tinguaítos
⇒ w25 = 0;
fonólitos
⇒ w26 = 0;
arenitos
⇒ w27 = 0;
embasamento
⇒ w28 = 0;
Dados estruturais: peso do plano de informação⇒ y3 = 20;
peso das classes: "buffer" das estruturas circulares e lineamentos ⇒ w31 = 20.
A atribuição dos pesos foi feita através de programas de ponderação em linguagem
LEGAL (Anexo I - Programas I.4, I.5 e I.6). No caso dos lineamentos e estruturas
circulares adotou-se buffers de 250m e de 350m, respectivamente. As classes foram
integradas através do operador lógico (OU), gerando-se um único PI representando a
soma dos buffers dos lineamentos e estruturas circulares.
Os dados resultantes em formato numérico, foram integrados através de uma soma
ponderada, implementada através de um programa em LEGAL (Anexo I - Programa
I.7). O plano de informação resultante apresenta valores numéricos que variam de 0 a
65, espacializados em uma grade regular. Para exemplificação do processamento,
considere um ponto qualquer da grade que apresente: classe de anomalia gamaradiométrica de 2.5-3.5, unidade litologia foiaíto e que encontra-se dentro dos buffers
dos lineamentos e/ou estruturas circulares. O valor de saída é:
r = ((ω 14 ∗ y1 ) + (ω 23 ∗ y 2 ) + (ω 31 ∗ y 3 )) /( y1 + y 2 + y 3 )
r = (( 70 ∗ 80) + (30 ∗ 60) + ( 20 ∗ 20)) /( 80 + 60 + 20) = 48,75
Pontos com valores iguais a "0" indicam áreas de potencial nulo, enquanto pontos com
valores iguais a "65" são áreas de máximo potencial. Para uma melhor visualização, o
plano de informação resultante foi subdividido arbitrariamente em 4 fatias de
favorabilidade (0-29.9 ⇒ Nula; 29.9-52.0 ⇒ baixa; 52.0-55.3 ⇒ média; 55.3-65.0 ⇒
alta).
Dentre as técnicas utilizadas, a Média Ponderada mostrou-se uma das mais eficazes. As
diferentes faixas de potencialidade mostraram coerência na distribuição relativa dos
valores dos graus de confiança, que apresentaram um padrão decrescente da classe
“alto” potencial para a de potencial nulo. O ponto negativo deste modelamento foi a
distribuição não uniforme dos valores de saída, apresentando agrupamentos que podem
ser visualizados no gráfico da Figura 4.6 pelos patamares da distribuição acumulada dos
valores. Esta má distribuição dos valores, na prática, impediu maior flexibilidade no
fatiamento.
Frequência acumulada
Distribuição acumulada dos pixels sobreposta pelas classes de
potencialidade
1600000
1200000
Distribuição acumulada dos pixels
800000
Nulo
Médio
400000
Baixo
0
0
10
20
30
40
50
Alto
60
70
Valores dos pixels
Fig. 4.6 – Distribuição acumulada dos pixels do cenário de potencialidade gerado pelo
modelo Média Ponderada.
O grau de confiança da classe “nula” indica possibilidade de sucesso 2,27 vezes menor
em relação a todo o complexo alcalino. Ou seja, a probabilidade do encontro de
depósitos considerando-se a área total é maior do que se considerarmos apenas essa
classe. Ela cobre uma área de 628,36 Km2 (86,39% da superfície total do maciço
alcalino), contendo 8 mineralizações conhecidas.
As demais classes (baixo, médio e alto potencial) compreendem uma área de 98,98 Km2,
que eqüivalem a 13,61% do complexo alcalino e encerraram 40 das 48, ou 83,33%,
mineralizações conhecidas (Figura 4.7).
As classes “médio” e “alto” potencial encerram 24 mineralizações, sendo 10 das 11
mineralizações de U-Mo e as duas de Th-Tr, totalizando 30,64 Km2 (apenas 4,27% do
total do maciço alcalino). Os valores de grau de confiança das faixas “médio” e “alto”
foram 4,97 e 12,60, respectivamente, sendo o valor da classe “alto” o segundo melhor
valor obtido dentre todos os modelamentos prospectivos executados. Embora essa classe
compreenda uma área de apenas 6,48Km2 (menos de 1% do maciço), ela encerrou as
principais mineralizações conhecidas, como a Mina Usamu Utsumi e os depósitos de
campo Agostinho e Morro do Ferro, atestando a confiabilidade do modelo prospectivo
(Tabela 4.2).
TABELA 4.2 –SUMÁRIO DOS RESULTADOS DO MODELO MÉDIA
PONDERADA
Fatia
Área
(Km2)
Área
(%)
Prob.
Posteriore
Grau de
confiança
UZr
UMo
ThTr
alta (65.0-55,3)
6.48
0.89
0.1574
12.60
7
4
1
média (55.3-52.0)
24.16
3.32
0.0621
4.97
6
5
1
baixa (52.0-29.9)
68.34
9.40
0.0457
3.65
15
1
0
628.36 86.39
0.0055
0.44 (2.27)
7
1
0
727.33 100.00
Prob. priore
0.0125
35
11
2
nula (29.9-0.0)
Total
Fig. 4.7 – Mapa de favorabilidade à ocorrência de minerais radioativos, obtido segundo
o método Média Ponderada.
4.3 – MÉTODO FUZZY
Para a aplicação da metodologia fuzzy torna-se necessário que todas as evidências
(planos de informação) estejam no formato numérico MNT. Assim, os mapas temáticos
foram ponderados para valores que variam entre 0 e 1 (membros fuzzy). A definição dos
pesos, semelhantemente ao método Média Ponderada, é uma das mais difíceis etapas,
pois as evidências devem ser hierarquizadas através dos membros fuzzy. Essa graduação
deve expressar, de um modo semelhante ao modelo cognitivo humano, o grau de
aceitação da evidência com o modelo prospectivo proposto.
Para o mapa de intensidade gama-radiometria, os membros fuzzy foram definidos
através da aplicação de uma função linear sobre os pesos definidos por Almeida Filho
(1995). O objetivo da função foi reescalonar os ponderadores das classes de anomalia
gama-radiométrica para valores entre 0 e 1. A Tabela 4.3 apresenta os pesos do método
Média Ponderada e os valores de membro fuzzy obtidos a partir da equação linear
( f ( x ) = 0,0125 ∗ x ). Com os valores dos membros fuzzy definidos, o próximo passo foi
a atribuição destes valores para o plano de informação através de um programa de
ponderação executado através da linguagem LEGAL (Anexo I - Programa I.8).
No caso das unidades litológicas, a atribuição dos membros fuzzy foi um pouco mais
complexa. Como a maioria dos contatos são inferidos, objetivou-se, além de atribuir os
membros fuzzy para as unidades litológicas, expressar também a informação semântica
dos diferentes contatos (inferido e definido). Sendo assim, foram necessários vários
processamentos para construção de um PI litológico que expressasse também a
informação do tipo de contato.
A primeira etapa foi a construção de um PI em formato temático com polígonos que
serviriam de máscara para os contatos inferidos. Estes contatos correspondem àqueles
mapeados pelos buffers de 100m por Almeida Filho (1995). A seguir foi editado o plano
de informação litológico onde as unidades foram individualizas em PI’s binários, de
modo que em cada PI estivesse apenas uma unidade litológica, confrontada com as
demais, representadas por um único polígono. Ou seja, se o desejo for confrontar a
rocha potássica com as demais unidades litológicas, os contatos das outras unidades
deveriam ser eliminados de modo que fique apenas os contatos da rocha potássica. Em
teoria de conjuntos seria o conjunto A confrontado com o não-A (A = T − A ). No
caso, essa edição foi necessária apenas para as 4 unidades (rocha potássica,
lujarito/chibinito, foiaíto e material vulcânico) consideradas como favoráveis, ou com
grau de aceitação maior que 0.
TABELA 4.3 – VALORES DOS MEMBROS FUZZY DO PLANO DE
INFORMAÇÃO GAMA-RADIOMETRIA
Gama-radiometria ⇒ ƒ(x) = 0,0125.x
Classes
Média Ponderada
Membros fuzzy
background
0
0
1,3 - 1,8
10
0,125
1,8 - 2,5
60
0,750
2,5 - 3,5
70
0,875
> 3,5
80
1
Tomando como ponto de partida os contatos das unidades favoráveis (evidências),
foram construídos 4 mapas de distâncias isotropicamente distribuídos em grades
regulares (superfícies contínuas). A penúltima etapa foi a construção dos 4 planos de
informação que conteriam os valores de membros fuzzy das unidades litológicas,
considerando também a informação semântica dos tipos de contato (inferido e
definido). Os PI’s foram obtidos a partir de processamentos realizados através de
programas em LEGAL (Anexo I - Programas I.9, I.10, I.11, I.12).
Os programas realizaram diferentes funções condicionadas por restrições espaciais. As
operações foram realizadas pontualmente onde em cada ponto da grade, foi verificado o
condicionante espacial e aplicada a respectiva função. A seqüência de operações a seguir
exemplifica o programa executado para a rocha potássica:
MFR . potássica = 0 Se (Classe.Máscara = contato definido E Classe.PI binário = NãoR.potássica);
MFR . potássica = 1 Se (Classe.Máscara = contato definido E Classe.PI binário =
R.potássica);
MFR . potássica = (0.005 ∗ dist ) + 0.5
Se (Classe.Máscara = contato inferido E
Classe.PI binário = R.potássica E distância < 100);
MFR . potássica = (−0.005 ∗ dist ) + 0.5
Se (Classe.Máscara = contato inferido E
Classe.PI binário = Não-R.potássica E distância < 100).
A primeira e a segunda condições das operações têm como objetivo retornar valores de
membro fuzzy que exprimam o grau de possibilidade da existência da rocha potássica,
considerando corpos definidos por contatos rígidos. A terceira e a quarta condição
definem os membros fuzzy dos corpos de rocha potássica que são definidos por contatos
inferidos.
Para expressar a incerteza quanto à possível localização do contato inferido, foi
considerada uma zona de transição onde foi aplicada a função membro fuzzy linear. Esta
graduou os membros de modo decrescente conforme a distância da unidade litológica.
A zona de transição delimita a região onde os membros fuzzy expressam no espaço a
possibilidade da localização do contato.
A Figura 4.8 ilustra o resultado do procedimento aplicado à rocha potássica e ao
material vulcânico. Na figura estão representados os membros fuzzy como grade regular
sobreposta a unidades litológicas separadas por contato rígido. As linhas pontilhadas
demarcam uma zona de transição de 200m em relação a esse contato. As funções
membro fuzzy que graduam os elementos encontram-se no topo da figura.
Fig. 4.8 – Representação dos membros fuzzy da rocha potássica (azul) e material vulcânico
(cinza) em grade regular numérica. A grade sobrepõe as unidades definidas
inicialmente pelo contato rígido. No topo dos dois planos encontram-se as
funções lineares que mapearam os respectivos membros.
O procedimento foi aplicado também para as demais unidades litológicas favoráveis. Os
PI’s litológicos fuzzy com a informação semântica dos contatos foram finalmente
integrados através de soma ponderada. Os pesos foram obtidos através da aplicação de
uma função linear sobre os pesos definidos por Almeida Filho (1995). A Tabela 4.4
apresenta os pesos e os valores de membro fuzzy obtidos a partir da equação linear
( f ( x ) = 0,0167 ∗ x ). Como o peso das unidades não-favoráveis é 0, o procedimento de
representação dos membros fuzzy foi aplicado apenas para as unidades litológicas
favoráveis. A soma ponderada foi executada a partir do Programa I.13 (Anexo I) e a
expressão seguinte ilustra a operação:
MFlitológia = R. potássica + ( Lujarito, chibinito) + ( 0.5 ∗ Foiaíto) + (0.33 ∗ Mat . vulcânico)
Os procedimentos para atribuição dos membros fuzzy das estruturas circulares e
lineamentos foram semelhantes. Para a definição dos membros fuzzy foi necessário a
criação de dois mapas de distâncias, um para cada evidência estrutural. As funções
quadráticas para espacializar os valores dos membros fuzzy foram aplicadas sobre as
grades de distâncias através dos Programas I.14 e I.15 (Anexo I), considerando zonas de
transição de 700m e 500m de largura, respectivamente. As funções espacializam os
membros de uma forma gradual decrescente, conforme a distância das feições
estruturais. A Figura 4.9 demostra a função membro fuzzy para os lineamentos. Essa
função é semelhante à que mapeou os membros fuzzy das estruturas circulares, sendo
diferente apenas os parâmetros de ponto de cruzamento e zona de transição.
TABELA 4.4 – VALORES DOS MEMBROS FUZZY DO PLANO DE
INFORMAÇÃO LITOLÓGICA
Litologia ⇒ ƒ(x) = 0,0167.x
Classe
Média Ponderada (x)
Membro fuzzy (f(x))
Rochas potássicas
60
1
Lujaritos /chibinitos
60
1
Foiaítos
30
0.5
Mat. Vulcânico
20
0,333
Tinguaíto
0
0
Fonólitos
0
0
Embasamento
0
0
Arenito
0
0
O processo de espacialização dos membros fuzzy que representariam os contatos
geológicos foi semelhante ao executado para as estruturas circulares e lineamentos.
Como a informação da incerteza na localização dos contatos já foi considerada na
construção do PI litológico fuzzy, considerou-se apenas a importância os contatos dos
corpos intrusivos de foiaíto. Novamente a função quadrática fuzzy aplicada (Programa
I.16 – Anexo I), modela a importância desses contatos à medida que se distancia dos
mesmos.
Fig. 4.9 – Curva quadrática de espacialização dos membros fuzzy dos lineamentos.
Finalmente os PI’s fuzzy foram integrados, segundo análises multi-critério definidas
através de operadores fuzzy (Mínimo-Máximo, Média, Ponderado (Técnica AHP) e
Gama), gerando diferentes cenários de potencialidade à ocorrência mineral radioativa.
Os procedimentos adotados estão relatados a seguir:
4.3.1 Fuzzy Mínimo-Máximo
Nessa análise multi-critério foram utilizados dois operadores, mínimo e máximo,
combinados numa seqüência lógica semelhante à adotada no método Booleano. O
primeiro passo foi a integração em três grupos principais das evidências fuzzy através do
operador fuzzy máximo, à saber:
•
•
•
Grupo A - Litologia com os contatos dos corpos intrusivos de foiaíto;
Grupo B - Lineamentos com as Estruturas Circulares;
Grupo C - Intensidade Gama-radiométrica.
Nessa primeira integração, o operador fuzzy máximo compara os valores numéricos dos
membros fuzzy, retornando como valor de saída o maior valor dentre as evidências
fuzzy. Posteriormente esses três grupos foram integrados através do operador fuzzy
mínimo que de modo contrário retornou os menores valores da comparação entre os
membros fuzzy. A formulação abaixo exemplifica as operações que foram realizadas no
Programa I.17 (Anexo I).
MFmin - max = Min(Max(MFlitologia , MFcontato ), Max ( MFestrut. circular , MFlineamento s ), MFgama )
O mapa de favorabilidade resultante deste modelamento (Figura 4.11) apresentou
alguns problemas, embora tenha obtido uma boa coincidência da classe “alto” potencial
com as ocorrências minerais. O primeiro problema foi a distribuição não uniforme dos
valores numéricos, o que dificultou o fatiamento. A distribuição dos valores apresentou
picos que indicam pontos com maior concentração de valores. A Figura 4.10 apresenta
a distribuição acumulada dos membros fuzzy onde é possível identificar degraus que
ilustram de modo mais claro esse problema. Na prática, a distribuição não uniforme
impediu que as classes de potencialidade pudessem ser definidas com áreas semelhantes
às dos demais cenários.
Outro problema foi a distribuição não coerente dos valores de grau de confiança, onde a
faixa “alto potencial” (5,44) obteve um valor menor do que a faixa “médio potencial”
(5,87), quando o esperado seria o inverso (Tabela 4.5). A classe nula, com uma área de
575,9 Km2 (79,18% do maciço alcalino), obteve uma coincidência de 8 ocorrências
minerais, sendo uma delas a importante Mina Usamu Utsumi. Embora o número de
coincidências tenha sido baixo, o fato de um importante depósito ter sido mapeado por
esta classe depõe contra o método. O grau de confiança obtido indica que uma pesquisa
mineral dirigida às áreas definidas como de potencialidade nula teria chance de sucesso
1,85 vezes menor do que pesquisas que considerassem todo o complexo alcalino.
Frequência acumulada
Distribuição acumulada dos pixels sobreposta pelas classes de
potencialidade
1600000
1200000
Distribuição acumulada dos pixels
Nulo
800000
Baixo
Médio
400000
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Alto
0.7
0.8
0.9
1.0
Valores dos pixels
Fig. 4.10 – Distribuição acumulada dos pixels do cenário de potencialidade gerado pelo
modelo Fuzzy Mínimo-Máximo.
As demais classes de potencialidade (baixo, médio e alto) compreendem uma área de
151,44 Km2 (20,82% da área total do maciço alcalino) e encerraram 40 das 48
mineralizações conhecidas. Embora a classe “alto” potencial tenha indicado uma
coincidência com 18 mineralizações, seu grau de confiança (5,44) foi menor que as
classes de mesmo potencial dos outros cenários. Dentre os principais depósitos, a classe
“alto potencial” mapeou o Campo Agostinho e Morro do Ferro.
TABELA 4.5 – SUMÁRIO DOS RESULTADOS DO MÉTODO FUZZY
MÍNIMO-MÁXIMO
Fatia
Área
(Km2)
Área
(%)
Prob.
Posteriore
Grau de
confiança
UZr
UMo
ThTr
alta (1.00-0.75)
12.94
1.78
0.0680
5.44
8
9
1
média
0.37)
(0.75-
24.42
3.36
0.0733
5.87
10
0
0
baixa
0.12)
(0.37-
114.08
15.68
0.0222
1.77
10
1
1
nula
0.00)
(0.12-
575.9
79.18
0.0068
0.54 (1.85)
7
1
0
727.33
100.00
Prob. priore
0.0125
35
11
2
Total
Fig. 4.11 – Mapa de favorabilidade à ocorrência de minerais radioativos, obtido segundo
o método Fuzzy Mínimo-Máximo.
4.3.2 Fuzzy Média
O operador fuzzy média define uma soma aritmética onde os pesos de importância são
distribuídos uniformemente para todas os membros fuzzy de entrada. Este operador
admite uma igualdade nas relações entre as evidências. A função matemática que o
define é apresentada a seguir e o programa em Legal encontra-se no Anexo I, (Programa
I.18)
MFmédia =
MFlito log ia + MFgama + MFlineamentos + MFestrut , circular + MFcontato
5
Num contexto geral, esse modelamento apresentou resultados coerentes. Os membros
fuzzy apresentaram distribuição contínua, sem valores concentrados que pudessem
dificultar o fatiamento (Figura 4.12). As classes de potencialidade apresentaram
distribuição coerente dos valores de grau de confiança, sendo de 7,52 o valor obtido
pela classe “alto potencial”. (Tabela 4.6).
Frequênica acumulada
As classes “alto” e “médio” potenciais encerram 26 ocorrências minerais em 30,93 Km2,
ou 4,25%, do complexo alcalino, incluindo os importantes depósitos de Morro do Ferro
e Campo Agostinho (Figura 4.13). O número de ocorrências salta para 36 quando são
consideradas as classes “alto”, “médio” e “baixo” potenciais juntas, o que corresponde a
uma área de 98,74 Km2 (13,57% do maciço alcalino).
Distribuição acumulada dos pixels sobreposta pelas classes de
potencialidade
1600000
Distribuição acumulada dos pixels
1200000
800000
Nulo
400000
Baixo
Médio
Alto
0
0
20
40
60
80
100
Valores dos pixels
Fig. 4.12 – Distribuição acumulada dos pixels do cenário de potencialidade gerado pelo
modelo Fuzzy Médio.
A classe “nulo potencial” obteve coincidência com 12 ocorrências minerais. Esta alta
coincidência com ocorrências minerais, numa classe de potencial nulo, depõe contra o
modelo, pois o esperado seria o inverso. Seu grau de confiança indica uma piora da
chance do encontro de depósitos minerais de 1,54 vezes em relação ao maciço todo.
TABELA 4.6 – SUMÁRIO DOS RESULTADOS DO MÉTODO FUZZY MÉDIA
Fatia
Área
(Km2)
Área
(%)
Prob.
Posteriore
Grau de
confiança
UZr
UMo
ThTr
6.39
0.88
0.0939
7.52
4
4
1
média (0.64-0.50) 24.54
3.37
0.0579
4.64
12
5
0
baixa (0.-0.38)
67.81
9.32
0.0385
3.08
8
1
1
nula (0.38-0.00)
628.59
86.42
0.0071
0.57 (1.54)
11
1
0
Prob. priore
0.0125
35
11
2
alta (0.90-0.64)
Total
727.33 100.00
Fig. 4.13 – Mapa de favorabilidade à ocorrência de minerais radioativos, obtido segundo
o método Fuzzy Média.
4.3.3 Fuz
Fuzzy Ponderado
Nesta inferência fuzzy as evidências foram combinadas através de uma soma ponderada,
com os pesos de cada evidência sendo definidos empiricamente, segundo a técnica de
tomada de decisão AHP (Saaty, 1992). Esta técnica permite a definição de pesos que
expressam de modo hierárquico os membros fuzzy, através de comparação feita dois a
dois entre as evidências.
A primeira etapa para a definição dos pesos foi a elaboração de uma relação de
importância relativa entre as evidências, definida par a par . Essa relação entre as
evidências pretende capturar o conhecimento do especialista que deve indicar o grau de
importância relativo entre evidências comparadas. O modulo de análise espacial do
SPRING (Suporte à decisão AHP) permite a graduação em 9 níveis (igual, um pouco
melhor, algo melhor, moderadamente melhor, melhor, bem melhor, muito melhor,
criticamente melhor e absolutamente melhor) os quais foram utilizados como dados de
entrada da matriz de comparação par a par. As relações consideradas encontram-se
abaixo e a matriz na Tabela 4.7:
Gama algo melhor que Litologia (3 : 1)
Gama melhor que Estruturas circulares (5 : 1)
Gama muito melhor que Lineamentos (7 : 1)
Gama muito melhor que Contatos geológicos (7 : 1)
Litologia algo melhor que Estruturas circulares (3 : 1)
Litologia melhor que Lineamentos (5 : 1)
Litologia melhor que Contato geológico (5 : 1)
Estruturas circulares algo melhor que Lineamentos (3 : 1)
Estruturas circulares algo melhor que Contatos geológicos (3 : 1)
Lineamentos igual Contatos geológicos (1 : 1)
TABELA 4.7 – MATRIZ DE COMPARAÇÃO PAR A PAR
Gama-radiometria
Litologia
Estr. circular
Lineamentos
Cont. geológico
Gama-radiometria
1
1/3
1/5
1/7
1/7
Litologia
Estr. circular
Lineamentos
Cont. geológico
1
1/3
1/5
1/5
1
1/3
1/3
1
1
1
O módulo calcula os autovetores da matriz, os quais correspondem aos ponderadores
das evidências e a razão de consistência, que é um parâmetro que indica a coerência na
estipulação das relações. A razão de consistência obtida foi de 0.03, que indica uma boa
concordância das comparações. Os pesos obtidos de cada membro fuzzy foram:
gama-radiometria = 0,514;
litologia = 0,258;
estruturas circulares = 0,1223;
lineamentos = 0,0529;
contatos litológicos = 0,0529;
As evidências foram então combinadas através de uma soma ponderada executada pelo
Programa em LEGAL I.19 (Anexo I). A formulação foi expressa por:
MF ponderado = (MF gama ∗ 0,514) + ( MFlito log ia ∗ 0,258) + ( MFestrut,circular ∗ 0,1223 ) + ( MFlineamentos ∗ 0, 0529) + (MF contato ∗ 0,0529 )
Em comparação aos demais o modelamento Fuzzy Ponderado foi o que apresentou os
melhores resultados. A distribuição dos valores dos membros fuzzy foi a mais uniforme,
não apresentando concentrações em pontos que pudessem dificultar o fatiamento dos
valores (Figura 4.14).
Os valores de grau de confiança apresentaram distribuição relativa coerente entre as
classes, variando de modo crescente da classe “nulo potencial” (0.45) para a classe “alto
potencial” (12,90) (Tabela 4.8). A classe “alto potencial” obteve o maior valor de grau de
confiança dentre todas as classes de alto potencial dos demais modelamentos e uma
coincidência com 12 ocorrências minerais, incluindo entre estas os importantes
depósitos do Morro do Ferro e Campo Agostinho e a Mina Usamu Utsumi (Figura
4.15).
Frequência acumulada
A classe “médio potencial” apresentou grau de confiança de 5,70 e em conjunto com a
classe “alto potencial” encerraram 27 ocorrências minerais, sendo 10 das 11
mineralizações de U-Mo e as duas mineralizações conhecidas de Th-Tr, numa área
conjunta de 30,43 Km2 (4,18% do maciço alcalino).
Distribuição acumulada dos pixels sobreposta pelas classes de
potencialidade
1600000
1200000
Distribuição acumulada dos pixels
800000
Nulo
400000
Baixo
Médio
Alto
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Valores dos pixels
Fig. 4.14 – Distribuição acumulada dos pixels do cenário de potencialidade gerado pelo
modelo Fuzzy Ponderado.
TABELA 4.8
PONDERADO
Fatia
alta (0.95-0.77)
média (0.77-0.65)
baixa (0.65-0.37)
nula (0.37-0.00)
Total
– SUMÁRIO DOS RESULTADOS DO MÉTODO FUZZY
22
Área (Km )
Área (%)
Prob. Posteriore
Grau de confiança
U-Zr U-Mo Th-Tr
6.14
24.29
67.91
629.0
0.84
3.34
9.34
86.48
0.1612
0.0712
0.0423
0.0056
12.90
5.70
3.38
0.45 (2.22)
6
9
11
9
5
5
0
1
1
1
0
0
727.33
100.00
Prob. priore
0.0125
35
11
2
A classe “nulo potencial” compreendeu uma área de 629,0 Km2 (86,48% do complexo
alcalino) e encerrou 10 das 48 ocorrências minerais. O valor de grau de confiança (0,45)
indica que essas áreas apresentam uma diminuição de 2,22 vezes na probabilidade a
priore do encontro de ocorrências minerais.
Fig. 4.15 – Mapa de favorabilidade à ocorrência de minerais radioativos, obtido segundo
o método Fuzzy Ponderado (AHP).
4.3.4 Fuzzy Gama
Nessa inferência as evidências foram combinadas através de um operador fuzzy definido
por dois termos (controlados pelo parâmetro γ (gama). A escolha do γ determina o
caráter de decisão produto algébrico fuzzy, Equação 2.7 e a soma algébrica fuzzy,
Equação 2.8), do especialista que pode variar de “pessimista”, com γ abaixo de 0,35 e
“otimista”, com γ acima de 0,85.
O valor γ adotado de 0.85 faz com que o termo “soma algébrica” seja mais importante
que o “produto Pag. 32) observa-se que o valor γ encontra-se na região esquerda, o que
garante algébrico”, na computação do resultado final. Pelo gráfico da Figura 2.5 (que o
valor de saída será sempre maior ou igual ao maior valor de entrada das evidências. O
Programa I.20 (Anexo I) realizou as operações que estão ilustradas abaixo:
MFsoma a lg ébrica = 1 − ((1 − MFgama ) ∗ (1 − MFlito ) ∗ (1 − MFest.circular ) ∗ (1 − MFlineam. ) ∗ (1 − MFcont. geol. ))
MFprodutoa lg ébrico = MFgama ∗ MFlito ∗ MFest.circular ∗ MFlineam. ∗ MFcont. geol.
MFgama = ( MFsoma a lg ébrica ) 0 .85 ∗ ( MF produtoa lg ébrico ) (1− 0. 85)
O desempenho do modelo Fuzzy Gama foi parecido ao obtido pelo Fuzzy Média, com
exceção ao padrão de distribuição dos membros fuzzy. A distribuição dos membros
fuzzy de potencialidade à ocorrência de minerais radioativos deste modelo apresentou
grande concentração em valores baixos, onde 86,55% dos membros fuzzy incidiram
abaixo de 0,04. Essa concentração dificultou o fatiamento e gerou classes de
potencialidade com amplitudes muito variadas. Enquanto a classe “alto potencial”
precisou de uma amplitude de 0,41 (de 0,92 até 0,51) para compor uma área de 6,48
Km2, a classe de potencial nulo precisou apenas de 0.04 de amplitude para compor uma
área de 629,52 Km2. Essa distorção fica mais clara no gráfico da Figura 4.16, onde os
valores de membro fuzzy são plotados com distribuição acumulada.
Frequência acumulada
Distribuição acumulada dos pixels sopreposta pelas classes de
potencialidade
1600000
Distribuição acumulada dos pixels
1200000
N
u
l
800000 o
Baixo
Médio
Alto
400000
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Valores dos pixels
Fig. 4.16 – Distribuição acumulada dos pixels do cenário de potencialidade gerado pelo
modelo Fuzzy gama.
A classe “alto potencial” obteve a menor coincidência com as ocorrências minerais
conhecidas (apenas 8), dentre as classes de mesma potencialidade dos demais
modelamentos (Figura 4.17). Os valores de grau de confiança das classes de
potencialidade foram próximos aos obtidos pelo modelamento Fuzzy média (Tabela
4.9), onde as classes “alto”, “médio” e “baixo” potencial encerram 34 ocorrências
minerais em áreas que totalizaram 97,81 Km2. Dentre os principais depósitos, a classe
“alto” potencial mapeou apenas o Morro do Ferro, sendo o depósito Campo Agostinho
e a Mina Usamu Utsumi mapeados pelas classes “baixo” e “nulo” potencial
respectivamente.
TABELA 4.9 – SUMÁRIO DOS RESULTADOS DO MÉTODO FUZZY GAMA
Fatia
alta (0.92-0.51)
média (0.51-0.17)
baixa (0.17-0.04)
nula (0.04-0.0)
Total
22
Área (Km )
Área (%)
Prob. Posteriore
Grau de confiança
U-Zr U-Mo Th-Tr
6.48
22.58
68.75
629.52
0.89
3.10
9.45
86.55
0.0864
0.0540
0.0374
0.0075
6.92
4.33
2.99
0.60 (1.67)
6
5
11
13
1
4
5
1
1
0
1
0
727.33
100.00
Prob. priore
0.0125
35
11
2
A classe “nulo potencial” encerrou 15 ocorrências minerais, o maior número dentre as
demais classes de mesma prioridade. O grau de confiança indicou uma diminuição de
1,67 em relação a probabilidade a priore, que considera todo o maciço.
Fig. 4.17 – Mapa de favorabilidade à ocorrência de minerais radioativos, obtido segundo
o método Fuzzy Gama.
4.4 MÉTODO DE BAYES
Na inferência bayesiana o objetivo foi utilizar as 48 ocorrências minerais, as quais
possibilitaram o cálculo de parâmetros estatísticos que serviram de ponderadores das
evidências consideradas no modelamento. Para assegurar a correta execução do modelo
foram necessárias diferentes etapas de edição dos PI’s, bem como o cálculo de
parâmetros estatísticos que garantissem matematicamente o modelamento.
No modelo bayesiano as evidências devem estar em padrão binário (favorável, nãofavorável), antes de serem calculados os ponderadores. Sendo assim, o primeiro passo
foi um estudo de Contraste (Cw) das evidências com as ocorrências minerais, o qual
possibilitou determinar o limiar de corte que maximizaria a associação espacial entre os
PI’s resultantes da reclassificação binária e o PI com as verdades de campo (ocorrências
minerais).
Para os planos de informação, litologia e intensidade gama-radiometria, foi adotada a
mesma reclassificação definida por Almeida Filho (1995), que considerou as unidades
litológicas, rocha potássica, lujarito/chibinito, material vulcânico e corpos intrusivos de
foiaíto, e as classes radiométricas com anomalia acima de 1.8 vezes o background como
favoráveis. Entretanto, os estudos de Contraste da litologia e do mapa de intensidade
gama-radiometria foram realizados apenas com o intuito de testar a correlação das
evidências com as ocorrências minerais.
O primeiro passo para o cálculo do contraste da litologia foi a tabulação cruzada entre o
PI ocorrências minerais e o PI litológico. Como a tabulação cruzada gera uma matriz de
confusão onde cada célula da matriz indica a interseção (sobreposição) das classes dos
PI’s (ex. N{fonólito ∩ depósito} = 0,73Km2), e como estas interseções devem estar
expressas por unidade de área ou número de elementos (pixel), foi necessário definir
uma área para cada ocorrência mineral. Como não existia informação quanto à área de
cada ocorrência mineral, foi assumida uma área circular padrão de 0,2 Km2, construída a
partir do fatiamento de um mapa de distância adotado-se um raio de r = 252,31 m à
partir de cada ocorrência mineral.
A matriz de confusão gerada foi posteriormente editada em planilha de modo que o
cálculo do contraste fosse efetuado sempre em um padrão binário, ou seja, a classe
estudada era sempre comparada com as demais agrupadas (ex. fonólito versus nãofonólito) (Tabela 4.10 em amarelo).
TABELA 4.10 – MATRIZES DE CONFUSÃO ENTRE AS OCORRÊNCIAS E
AS UNIDADES LITOLÓGICAS AJUSTADAS PARA UM PADRÃO BINÁRIO
COM A CLASSE FONÓLITO EM DESTAQUE
depósitos
não-depósitos
total
depósitos
não-depósitos
total
depósitos
não-depósitos
total
depósitos
não-depósitos
total
fonólitos
0.73
86.72
87.45
r.potássica
3.65
70.34
73.99
foiaíto
1.46
212.25
213.71
lujarito/chibinito
0.21
10.14
10.35
não-fonólito
8.35
631.09
639.44
não-rocha potássica
5.43
647.47
652.9
não-foiaíto
7.62
505.56
513.18
não-lujarito/chibinito
8.87
707.67
716.54
total
9.08
717.81
726.89
total
9.08
717.81
726.89
total
9.08
717.81
726.89
total
9.08
717.81
726.89
depósitos
não-depósitos
total
depósitos
não-depósitos
total
depósitos
não-depósitos
total
tinguaíto
2.84
325.97
328.81
mat.vulcânico
0.19
10.95
11.14
arenitos
0
1.44
1.44
não-tinguaíto
6.24
391.84
398.08
não-mat.vulcânico
8.89
706.86
715.75
não-arenitos
9.08
716.37
725.45
As matrizes de confusão, em padrão binário, forneceram os parâmetros para o cálculo
das razões de suficiência (LS) e necessidade (LN), as quais foram utilizadas no cálculo do
contraste de cada classe litológica (Tabela 4.11). As formulações a seguir ilustram o
cálculo do contraste do fonólito:
N ( D ∩ fonólito)
 0,73 


9,08 
N ( D)

LS =
=
= 0,6655
N ( D ∩ fonólito)  86,72 


N (D )
 717,81 
N ( D ∩ fonólito)
 8,35 


9,08 
N ( D)

LN =
=
= 1,0460
N ( D ∩ fonólito)  631,09 


N (D )
 717,81 
CWfonólito = Ln( LS ) − Ln( LN ) = −0,4522
TABELA 4.11 – VALORES DE RAZÃO DE SUFICIÊNCIA (LS), RAZÃO DE
NECESSIDADE (LN) E CONTRASTE DE CADA UNIDADE LITOLÓGICA
Fonólitos
R.potássica
Foiaítos
Lujaritos/chibinitos
Tinguaítos
Mat.vulcânico
Arenitos
LS
0.6655
4.1022
0.5438
1.6372
0.6888
1.3717
0.0000
LN contraste
1.0460 -0.4522
0.6630 1.8225
1.1915 -0.7844
0.9909 0.5022
1.2589 -0.6031
0.9942 0.3218
1.0020 0.0000 .
total
9.08
717.81
726.89
total
9.08
717.81
726.89
total
9.08
717.81
726.89
O mesmo procedimento foi executado para as demais unidades litológicas e para as
classes do PI de Intensidade Gama-radiométrica. As matrizes de confusão binárias do
mapa de anomalia gama-radiométrica encontram-se na Tabela 4.12 e os resultados do
contraste encontram-se na Tabela 4.13.
Os procedimentos para o cálculo do contraste das estruturas circulares, lineamentos e
contatos dos corpos intrusivos de foiaíto foram idênticos. O objetivo era definir a zona
(buffer) que apresentasse a melhor associação espacial com as verdades de campo.
Inicialmente foram construídos três mapas de distância que tomaram como ponto de
partida os arcos das estruturas circulares, lineamentos e corpos intrusivos de foiaíto.
Esses PI’s foram fatiados em 28 classes (fatias) de 25m cada e então cruzados com as
ocorrências minerais, para a geração das matrizes de confusão. Estas foram reagrupadas
para um padrão binário, onde cada fatia foi comparada com as demais ( A = T − A) . As
matrizes de confusão binárias forneceram os parâmetros para o cálculo dos contrastes,
conforme exemplificado anteriormente com a unidade litológica fonólito.
TABELA 4. 12 – MATRIZES DE CONFUSÃO ENTRE AS OCORRÊNCIAS E
AS CLASSES DE ANOMALIA RADIOMETRIA AJUSTADAS PARA UM
PADRÃO BINÁRIO
background não-background
depósito
1.11
7.97
não depósito
410.48
307.77
total
411.59
315.74
1.3
não (1.3-1.8)
depósito
2.94
6.14
não depósito
233.62
484.63
total
236.56
490.77
1.8
não (1.8-2.5)
depósito
3.13
5.95
não depósito
59.52
658.73
total
62.65
664.68
total
9.08
718.25
727.33
total
9.08
718.25
727.33
total
9.08
718.25
727.33
2.5 não (2.5-3.5) total
depósito
1.12
7.96
9.08
não depósito 11.17
707.08
718.25
total
12.29
715.04
727.33
3.5
não (>3.5)
total
depósito
0.78
8.3
9.08
não depósito 3.46
714.79
718.25
total
4.24
723.09
727.33
TABELA 4.13 – VALORES DE RAZÃO DE SUFICIÊNCIA (LS), RAZÃO DE
NECESSIDADE (LN) E CONTRASTE DE CADA CLASSE DE ANOMALIA
GAMA-RADIOMETRIA
background
1.3 - 1.8
1.8 - 2.5
2.5 - 3.5
> 3.5
LS
0.2139
0.9955
4.1598
7.9315
17.8323
LN contraste
2.0484 -2.2593
1.0022 -0.0067
0.7145 1.7616
0.8905 2.1868
0.9185 2.9660
Para a definição do limiar de corte, os valores de contraste foram plotados em um
gráfico cumulativo. Nas Figuras 4.18, 4.19 e 4.20 encontram-se os gráficos dos contrastes
acumulados para as estruturas circulares, lineamentos e contatos dos corpos intrusivos
de foiaíto, respectivamente.
Contraste
Pela análise dos gráficos de contraste acumulado foram escolhidos os pontos de máximo
valor acumulado como limiares de corte. Os valores de corte foram 625m para as
estruturas circulares, 250m para os lineamentos e 500m para os contatos dos foiaítos.
Os PI’s binários foram obtidos através do fatiamento dos respectivos mapas de distância
nos pontos definidos pelos gráficos de contraste acumulados.
Contraste entre as estruturas circulares e as ocorrências minerias
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
Distância (m)
Fig. 4.18 – Valores de contraste acumulados das fatias ao longo das estruturas circulares,
indicando o valor máximo acumulado usado como limiar de corte.
Contraste
Contraste entre os lineamentos e as ocorrências minerais
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0
-0.5
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
Distância (m)
-1.0
-1.5
Fig. 4.19 – Valores de contraste acumulados das fatias ao longo dos lineamentos,
indicando o valor máximo acumulado usado como limiar de corte.
Contraste
Contraste entre os contatos dos corpos intrusivos de foiaíto
e as ocorrências minerais
12.50
10.00
7.50
5.00
2.50
0.00
0
100
200
300
400
500
600
700
Distância (m)
Fig. 4.20 – Valores de contraste acumulados das fatias ao longo dos contatos dos corpos
intrusivos de foiaíto, indicando o valor máximo acumulado usado como
limiar de corte.
Para a integração final dos planos de informação binários é necessário que a
independencia condiconal entre as evidências não seja violada num grau elevado. Sendo
assim, testes foram realizados com as evidências, medindo-se o grau de independência
entre elas.
Todas as evidências binárias foram comparadas em pares, sendo utilizado como
parâmetro de medida o índice Qui-quadrado, χ2, e o Coeficiente de Contingência, C. O
objetivo foi testar o grau de associação entre classes de cada PI binário. Os
procedimentos foram os mesmos para todas as análises dos pares de evidências, sendo as
etapas envolvidas nos testes ilustradas aqui pelo teste entre o PI Intensidade Gamaradiometria e o PI Litologia.
Primeiramente foi executada uma tabulação cruzada entre as duas evidências, a qual
gerou uma matriz de confusão, também conhecida como tabela de contingência, de
onde foram extraídos os parâmetros necessários para o cálculo do χ2. Na Tabela 4.14, os
valores em preto representam as interseções entre as classes do PI gama-radiometria
binário com o PI litologia binário. Os números em vermelho representam os valores
esperados para as categorias de sobreposição, caso os PI’s gama-radiometria e litologia
fossem independentes. Os valores foram obtidos pelo produto dos totais das margens
dividido pelo total absoluto, conforme demostrado nas formulações abaixo:
( 79.18 ∗ 309,33)
= 33.66
T ..
727.33
T1 .T. 2 (79.18 ∗ 418.10)
=
=
= 45.52
T ..
727.33
T(*gama x lito log ia )1 ,1 =
T(*gama x lito log ia ) 1, 2
T1 .T. 1
=
T(*gama x lito log ia ) 2 ,1 =
T2 .T.1
T(*gama x lito log ia ) 2 , 2 =
T2 .T. 2
T ..
T ..
=
(648.15 ∗ 309.33)
= 275.56
727.33
=
(648.15 ∗ 418.10)
= 372.58
727.33
TABELA 4.14 – TABELA DE CONTIGÊNCIA ENTRE OS PI’S DE INTENSIDADE
GAMA-RADIOMETRIA E LITOLOGIA. OS VALORES EM VERMELHO INDICA
VALORES ESPERADOS DE INTERSEÇÃO (Ti *, j ) NO CASO DE INDEPENDÊNCIA
CONDICIONAL ENTRE OS PI’S
Litologia
favorável
gama
favorável
não-favorável
totais
Não-favorável
Totais
52.27 (33.66)
26.91
(45.52)
79.18
256.96
(275.56)
391.19
(372.58)
648.15
309.23
418.1
727.33
Os valores da interseção entre as classes (gama x litologia), mais o resultado das
operações acima foram utilizados na estatística χ2 e no cálculo do coeficiente de
contingência, conforme demostrado pelas formulações a seguir:
χ
2
2
gama x lito log ia
2
= ∑∑
i =1 j =1
(Ti , j − Ti *,j ) 2
Ti *, j
 (T1,1 − T1∗,1 ) 2 (T1, 2 − T1∗, 2 ) 2 (T2 ,1 − T2∗,1 ) 2 (T2 , 2 − T2∗, 2 ) 2 
=
=
+
+
+
∗
∗
∗
∗


T
T
T
T
1,1
1, 2
2 ,1
2, 2


 (52,27 − 33,66) 2 ( 26,91 − 45,52) 2 ( 256,96 − 257,56) 2 (391,19 − 372,58) 2
= 
+
+
+
33,66
45,52
257,56
372,58

C gama x lito log ia =

 = 20,07

χ2
20,07
=
= 0,164
2
727,33 + 20,07
T⋅ ⋅ + χ
Como mencionado anteriormente, as operações foram repetidas para as demais
evidências, num total de 10 comparações, considerando-se 5 evidências (gamaradiometria, litologia, estruturas circulares, lineamentos e contatos geológicos). As
tabelas de contingência dos cruzamentos encontram-se na Tabela II.2 (Anexo II) e os
resultados de χ2 e Coeficiente de Contingência encontram-se na Tabela 4.15.
TABELA 4.15 – VALORES DE χ 2 E C DAS EVIDÊNCIAS OBTIDOS POR
COMPARAÇÃO PAR A PAR
PI x PI
Gama-radiometria x litologia
Gama-radiometria x estruturas circulares
Gama-radiometria x lineamentos
Gama-radiometria x contatos geológicos
Litologia x estruturas circulares
Litologia x lineamentos
Litologia x contatos geológicos
Estruturas circulares x lineamentos
Estruturas circulares x contato geológico
Lineamentos x contatos geológicos
χ22
20.075
4.880
0.607
13.109
5.202
3.248
19.283
2.575
16.134
1.776
C
0.164
0.082
0.029
0.133
0.084
0.067
0.161
0.059
0.147
0.049
Os resultados dos coeficientes de contingência demostraram que as evidências violaram
o princípio da independência condicional em grau aceitável (valores próximos à 0), não
sendo necessário nenhum ajuste das evidências. Para a integração final o primeiro passo
foi o cálculo da chance a priore ( O(D) ) das ocorrências minerais, que foi obtida a partir
probabilidade a priore ( P(D) ) conforme formulação:
P( D ) =
N ( D) 9.08
=
= 0,01248
N (T ) 727.3
O( D) =
P( D )
0,01248
=
= 0,01264
(1 − P( D)) (1 − 0,01248)
A próxima etapa foi o cálculo das razões de suficiência (LS) e necessidade (LN).
Novamente foi necessário fazer uma tabulação cruzada, porém desta vez, o cruzamento
envolveu as 5 evidências binárias construídas com as ocorrências minerais. As matrizes
de confusão (Anexo II - Tabelas II.3) forneceram os valores para o cálculo das LS e LN
(Tabela 4.16), dos quais foram extraídos os logaritmos naturais, W+ e W –
respectivamente. Os W + e W – foram, então, somados ao logaritmo natural da chance a
priore segundo uma soma condicional controlada pela presença ou não das evidências.
TABELA 4.16 – VALORES DE LS E LN E W+ E W– DAS EVIDÊNCIAS
BINÁRIAS
Evidências binárias
Gama-radiometria
Litologia
Estruturas circulares
LS
5.394
1.435
2.416
LN
0.494
0.681
0.646
W + = Log (LS )
1.685
0.361
0.882
Lineamentos
Contatos foiaíto
1.162
1.895
0.902
0.226
0.150
0.639
W − = Log (LN )
-0.704
-0.384
-0.437
-0.103
-1.488
Como exemplificação do processo, considere um ponto da grade numérica, que
encontra-se dentro dos padrões favoráveis anomalia gama-radiométrica e litologia e fora
dos padrões favoráveis estruturas circulares, lineamentos e contatos dos foiaítos. A
presença ou ausência das evidências serviram de condicionantes espaciais na soma
condicional dos W + e W –, efetuada pelo Programa I.21 (Anexo I). A formulação abaixo
demostra a operação realizada:
( (
))
Ln O D | gama ∩ lito log ia ∩ est .circular ∩ lineamento ∩ cont . foiaíto =
+
+
−
−
−
= Ln(O( D) ) + (W gama
+ W lito
log ia + W est .circular + Wlineamento + Wcont . foiaíto ) =
= −4,3708 + 1,6852 + 1, 2540 + (−0,4020) + (−0,1034) + ( −0,1876) = −2,1246
A última etapa do processo foi o cálculo da probabilidade a posteriore que foi obtida a
partir da chance a posteriore, conforme as formulações abaixo:
O( D | B ) = e Ln (O ( D| B ) )
( (
))
Ln O D | gama ∩ litologia ∩ est .circular ∩ lineamento ∩ cont . foiaíto = −2,1246
(
)
O(D | gama ∩ litologia ∩ est .circular ∩ lineamento ∩ cont . foiaíto) = 0,1195
O D | gama ∩ litolog ia ∩ est .circular ∩ lineamento ∩ cont . foiaíto = e −2,1246
P (D | gama ∩ lito log ia ∩ est.circular ∩ lineamento ∩ cont . foiaíto ) =
(
)
O D | gama ∩ lito log ia ∩ est.circular ∩ lineamento ∩ cont . foiaíto
1 + O D | gama ∩ lito log ia ∩ est.circular ∩ lineamento ∩ cont . foiaíto
(
(
)
)
P D | gama ∩ litolog ia ∩ est.circular ∩ lineamento ∩ cont . foiaíto =
(
0,1195
1 + 0,1195
)
P D | gama ∩ litolog ia ∩ est .circular ∩ lineamento ∩ cont. foiaíto = 0,1067
O cenário resultante do modelamento bayesiano apresentou alguns aspectos positivos e
outros negativos quando comparados aos demais. Um dos aspectos negativos foi que os
valores de probabilidade a posteriore não apresentaram uma distribuição contínua, com
pontos de concentrações que dificultaram a divisão das classes em áreas semelhantes às
mesmas classes dos demais cenários (Figura 4.21). O outro aspecto foi a distribuição
pouco coerente dos graus de confiança. O valor obtido para a classe “alto potencial”
(6,69) foi menor que o da classe “médio potencial (8,39), quando o esperado seria o
contrário.
A classe “alto potencial” encerrou 9 ocorrências minerais, numa área de 5,98 Km2
(0,82% do maciço alcalino) (Tabela 4.17). O depósito do Morro do Ferro foi mapeado
por esta classe (Figura 4.22), que obteve um de grau de confiança de 6,64.
Frequência acumulada
A classe “médio potencial” obteve 18 coincidências com ocorrências minerais
conhecidas. A análise em conjunto das duas classes “alto” e “médio potencial” indicou
que estas encerram 27 ocorrências minerais, em área de 27,54Km2, (3,78% do complexo
alcalino).
Distribuição acumulada dos pixels sobreposta pelas classes de
potencialidade
2000000
1600000
1200000
Distribuição acumulada dos pixels
800000
Nulo
400000
Baixo
Médio
Alto
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Valores dos pixels em probabilidade
Fig. 4.21 – Distribuição acumulada dos pixels do cenário de potencialidade gerado pelo
modelo Bayes.
TABELA 4.17 – SUMÁRIO DOS RESULTADOS DO MÉTODO DE BAYES
Fatia
22
Área (Km )
Área (%)
Prob. Posteriore
Grau de confiança
U-Zr U-Mo Th-Tr
alta (0.344-0.341)
média(0.341-0.12)
baixa (0.12-0.034)
nula (0.034-0.0)
5.98
21.56
64.61
635.18
0.82
2.96
8.88
87.33
0.0836
0.1048
0.0393
0.0060
6.69
8.39
3.15
0.48 (2.08)
6
12
8
9
2
6
2
1
1
0
1
0
Total
727.33
100.00
Prob. priore
0.0125
35
11
2
A classe “nulo potencial”, com 635,18 Km2 de área (87,33% do maciço), apresentou uma
probabilidade de descoberta de depósitos 2,08 vezes menor em relação a probabilidade a
priore e encerrou 10 das 48 ocorrências minerais conhecidas.
Fig. 4.22 – Mapa de favorabilidade à ocorrência de minerais radioativos, obtido segundo
o método Bayesiano.
4.5 INFERÊNCIA POR REDES NEURAIS
Para a realização da análise espacial por redes neurais foram utilizados os planos de
informação, litologia fuzzy, anomalia radiométrica fuzzy, lineamentos fuzzy e estruturas
circulares fuzzy, gerados para a inferência espacial fuzzy. O intuito foi definir uma rede
neural artificial que processasse os dados pontuais dos planos de informação
(evidências), utilizando o resultado (membros fuzzy) da inferência fuzzy ponderada
como padrão de saída (padrão desejado para onde os dados de entrada fossem
mapeados).
A realização da inferência espacial por redes neurais demandou a execução de diferentes
etapas operacionais, bem como a definição de diversos parâmetros e funções, que
estabeleceram o comportamento da rede no processamento dos dados de entrada. De
todas as etapas, as mais complicadas talvez tenham sido as que envolveram a definição
da arquitetura da rede (números de elementos de processamento (EP), tipo de conexão
e número de camadas); o modelo de ativação; o algoritmo de aprendizado e seus
respectivos parâmetros.
A primeira etapa para a realização da inferência espacial foi o ajuste dos planos de
informação para um formato no qual o programa de simulação de rede neural
entendesse. A conversão de formato foi realizada através da função de exportação para
SNNS do pacote SPRING.
Com os dados convertidos, o próximo passo foi a separação dos dados em dois
conjuntos: treinamento e testes. O primeiro foi utilizado para o treinamento da rede,
enquanto os dados de teste foram utilizados para verificar sua performance sob
condições reais de utilização. A escolha dos conjuntos foi arbitrária, onde cada conjunto
de dados definido por uma quadrícula foi escolhido baseado na diversidade da
informação das evidências (Figura 4.23).
A próxima etapa consistiu da definição da rede neural propriamente dita. Sendo assim,
foram definidos: o paradigma neural, a arquitetura da rede, as funções de ativação e
aprendizado e o modo de atualização das ativações. Embora existam metodologias
("dicas") na condução destas tarefas, as escolhas foram feitas de forma empírica. Vale
ressaltar que a definição da configuração de qualquer rede neural é ainda considerada
uma arte que requer certa experiência dos projetistas (Carvalho, 1999).
Fig. 4.23 – Definição dos conjuntos de dados de treinamento e teste da rede sobre o
mapa Litológico.
A rede neural artificial escolhida foi a supervisionada, com fluxo da informação num
sentido unidirecional, ascendente (bottom-up), denominada na literatura como
feedforward. A direção da conexão mostra a direção de transferência da ativação. O EP a
partir da qual a conexão se inicia é chamado de fonte, enquanto o EP, onde a conexão
termina, é chamado de alvo. Cada conexão tem um peso que lhe é atribuído. O efeito da
saída de uma unidade, na sua sucessora, é definido por este valor. No caso do peso ser
negativo, a conexão será inibidora, resultando na diminuição da atividade da unidade
alvo. No caso inverso, positivo, este tem uma excitação, resultando no aumento da
atividade.
A arquitetura da rede foi definida com 17 elementos de processamento divididos em 4
camadas: uma de entrada, duas intermediárias, e uma de saída (Figura 4.24). A camada
de entrada contendo quatro EP’s foi responsável pelo recebimento dos sinais de
entrada, que correspondem aos planos de informação (litologia fuzzy, anomalia
radiométrica fuzzy, lineamentos fuzzy e estruturas circulares fuzzy). Ou seja, os EP11,
EP12, EP13, EP14 podem ser entendidos como vetores, wi j , onde cada localização das
grades numéricas serviu de sinal de entrada processado pela rede neural artificial.
A segunda e terceira camadas contendo seis EP’s cada, corresponderam às camadas
intermediárias, responsáveis por parte do processamento dos sinais de ativação; é onde,
através de seus elementos e suas conexões, parte da informação é aprendida e
armazenada. A última, denominada de camada de saída, com um único EP, indica o
grau de favorabilidade à ocorrência de minerais radioativos.
Fig. 4.24 – Arquitetura da rede neural artificial utilizada.
Os EP’s foram conectados em sentido ascendente, da entrada para a saída, num total de
66 conexões. As conexões, que formam a memória distribuída do classificador,
ocorreram dos EP’s de uma camada com os EP’s da camada subsequente. Ou seja, os
elementos EP11, EP12, EP13, EP14 foram conectados aos elementos EP21, EP22, EP23, EP24 num
total de 24 conexões, que por sua vez foram conectados aos EP31, EP32, EP33, EP34, num
total de 36 conexões, e finalmente estes foram conectados ao EP41 (4 conexões).
Com o paradigma e a topologia da rede neural definidos, o próximo passo foi a
definição da função de ativação, a qual controlaria o comportamento dos sinais na etapa
forward de processamento. A fase forward pode ser resumida da seguinte maneira:
•
Sinais são apresentados à entrada;
•
Cada sinal é multiplicado por um peso que indica a sua influência na saída
do EP;
•
Um nível de atividade é produzindo com a soma dos sinais ponderados;
•
Se este nível de atividade exceder a um certo limite, a unidade produz uma
determinada resposta de saída.
Assim, uma nova atividade (ativação) em um EP é computada, considerando-se a antiga
ativação do EP, seu limiar de corte (bias) e as saídas dos EP’s antecessores, multiplicadas
pelos respectivos pesos das suas conexões com o EP corrente.
A formulação pode ser expressa de modo geral como segue:
a j (t + 1) = f act ( net j (t ), a j (t ),θ j )
(4.1)
onde:
a j (t ) - ativação do elemento j no passo t;
net j (t ) - entrada da rede no elemento j no passo t;
θ j - limiar de corte (bias) do elemento j.
As entradas da rede net j (t ) foram computadas conforme formulação a seguir:
net j (t ) = ∑ wij oi (t )
(4.2)
i
onde:
wi j - peso da conexão do elemento i com o elemento j;
oi (t ) - saída do elemento i no passo t.
No presente modelamento foi utilizada a função default act_logistic do simulador
SNNS, a qual calcula a entrada da rede através da soma ponderada de todas as ativações.
O resultado foi posteriormente compactado com uma função logística, ou de
transferência, f act ( x ) = 1 (1 + e − x ) . A função faz com que o valor de uma nova ativação
em um passo (t+1) recaia dentro da amplitude [0,1]. A formulação, mais detalhada, da
função de ativação logística encontra-se a seguir:
a j (t + 1) =
1
w o ( t ) −θ j )
1 + e ∑ i ij i
−(
(4.3)
onde:
a j (t ) - ativação do elemento j no passo t
oi (t ) - saída do elemento i no passo t;
j - índice para alguns dos elementos da rede;
i - índice do elemento antecessor ao elemento j;
wi j - peso da conexão do elemento i com o elemento j;
θ j - limiar de corte (bias) do elemento j.
Sobre cada nova atividade foi aplicado uma função de saída, que possibilitou o
processamento da ativação de todos os EP’s, gerando, assim, os sinais de saída. A função
de saída utilizada foi a identidade definida por:
o j (t ) = a j ( t )
(4.4)
onde:
a j (t ) - ativação do elemento j no passo t;
o j (t ) - saída do elemento j no passo t;
j – índice para todos os elementos de uma rede.
Para efetuar o cálculo do novo valor de ativação de um EP no passo (t +1), o simulador
SNNS, operando seqüencialmente, tem que visitar todos os EP’s. Esta ordem foi
definida no Módulo de Atualização do SNNS, o qual contem cinco modelos de
atualização. O modelo definido foi o Topológico, no qual o processador central
(Kernell) organiza as visitações aos EP’s pela sua topologia. Essa ordem corresponde à
propagação natural de atividade da rede, da entrada para a saída.
Com a fase forward definida, a próxima fase foi a definição do algoritmo de
aprendizado, responsável pelo ajuste dos pesos das conexões, para obter o
comportamento desejado do sistema. O algoritmo é responsável pela fase de propagação
backward de simulação da rede neural.
O procedimento de simulação total de uma rede neural artificial pode ser resumido
como segue: Um padrão de entrada é apresentado para a rede. A entrada é então
propagada à frente (forward) até a ativação atingir a camada de saída. Isto constitui a
chamada fase de propagação forward (forward propagation phase). A saída é então
comparada com o padrão de saída desejado. O erro, diferença δ j (delta) entre a saída
o j e a padrão de saída desejado t j de um EP alvo de saída j é então utilizado juntamente
com a saída oi do EP fonte i para computar as mudanças necessárias da conexão wij
(Equação 4.5). Para computar os deltas dos EP’s internos (camadas escondidas), para os
quais não estão disponíveis os padrões de saída, são utilizados os deltas das camadas
posteriores, que já foram computados. Deste modo, os erros (deltas) são
retropropagados (fase denominada backward propagation).
A regra backpropagation de atualização do peso, também chamada de “regra delta”, é
escrita como segue:
∆wij = η δ j oi
(4.5)
 f j' ( net j )( t j − o j ) caso o EP j seja um EP de saída
δj = '
 f j ( net j )∑ k δ k w jk caso o EP j seja um EP escondido
onde:
η - fator de treinamento eta (uma constante);
δ j - erro (diferença entre a saída real e a entrada de treinamento) da unidade j;
t j - padrão de saída do EP j;
oi - saída do EP antecessor i;
i - índice de um antecessor de um EP j corrente com conexão wij de i para j;
j - índice de um EP corrente;
k - índice de um sucessor ao EP corrente j com conexão wjk de j para k.
Na presente simulação artificial foi utilizado o algoritmo de aprendizado RPROP
(R
R elisient Backprop
propagation), que é uma variação do algoritmo Backpropagation. O
RPROP é um esquema de aprendizado supervisionado em grupo (batch), o que significa
que a atualização dos pesos e as adaptações são executadas depois que o gradiente de
todos os padrões for computado. A função RPROP conta com um termo de decaimento
do peso, α, com o qual pode-se reduzir tanto o erro da saída como a dimensão do peso,
o que resulta numa melhora da generalização (aprendizado). A função erro é expressa
por:
E = ∑ (t i − oi ) + 10 −α ∑ wi2j
(4.6)
O princípio básico da função RPROP é eliminar a influência destrutiva do tamanho da
derivada parcial do peso de um determinado ciclo. Como conseqüência, apenas o sinal
da derivação é considerado para indicar a “direção” da atualização do peso. O tamanho
da mudança do peso é determinado exclusivamente por um peso específico, também
chamado, “valor de atualização” ∆(it )j :
∆wi(tj)
(t )
 (t )
∂E
>0
− ∆ i j , se
∂wi j

 (t )
∂ E (t )
= + ∆ i j , se
>0
∂wi j

 0 , outros casos


(4.7)
∂E ( t )
denota a informação dos gradientes somados considerando-se todos os
∂wi j
padrões de um conjunto (batch learning).
onde
O segundo passo do aprendizado RPROP é determinar o novo valor de atualização
∆ i j (t ) . Isto é baseado em um processo adaptativo de sinal dependente.
∆(it )j
 +
( t −1)
, se
ç ∗ ∆ i j


= ç − ∗ ∆(it −j 1) , se


∆(it −j 1 )


( t −1)
∂E
∂E
∗
∂wi j
∂wi j
( t −1)
∂E
∂E
∗
∂wi j
∂wi j
, outros casos
(t )
>0
(t )
<0
(4.8)
onde 0 < ç − < 1 < ç +
A regra adaptativa funciona do seguinte modo: toda vez que a derivada parcial do peso
correspondente wi j muda seu sinal, o que indica que a última atualização foi muito
grande e o algoritmo pulou sobre um mínimo local, o valor de atualização ∆ i j (t ) é
decrescido pelo fator η − . No caso da derivada manter seu sinal, o valor de atualização é
levemente aumentado de modo à acelerar convergências em regiões aproximadamente
planas. Os valores dos fatores de aumento e diminuição são: η − = 0.5 ; η + = 1.2 .
Parâmetros
O algoritmo RPROP assume três parâmetros: o valor de atualização inicial ∆ 0 , um
limite máximo de atualização, ∆ max , e o expoente de decaimento do peso α, os quais
devem ser fixados nos campos da função de aprendizado definidos no painel de
controle. A função de cada parâmetro e os respectivos valores adotados estão descritos a
seguir:
O valor inicial, ∆ 0 , adotado foi 0.2. O segundo parâmetro, ∆ max , pretende prevenir o
peso de tornar-se muito grande em um único passo, o valor adotado foi 50.0. O último
parâmetro, termo de decaimento (α), visa diminuir o valor do peso, o que resultaria
numa melhor generalização. Seu valor foi 4.0.
Com os dados subdivididos (conjuntos de treinamento e teste), e a rede devidamente
configurada (arquitetura, paradigma da rede, funções de ativação e aprendizado) deu-se
início à fase de treinamento da rede neural. Esta corresponde à fase de ajuste dos pesos,
treinando a rede a convergir os sinais de entrada para o padrão de saída desejado.
Os dados de treinamento foram apresentados à rede utilizando-se diferentes números de
passos. Ao término de cada processo de treinamento foram apresentados à rede os dados
de teste para aferir seu poder de generalização. O objetivo foi determinar o ponto de
erro mínimo do conjunto de teste. Neste ponto a rede generaliza melhor, evitando assim
o overtraining. Esse pode diminuir a performance de generalização, apesar do erro dos
dados de treinamento continuarem ficando menores. O número de passos que forneceu
a melhor performance foi 800.
Finalmente, com a rede treinada e testada, a última etapa foi a apresentação dos dados
completos. O resultado foi salvo e convertido novamente para o formato SPRING. No
ambiente SPRING foi efetuado o fatiamento dos dados em 4 classes diferentes de
potencialidade à ocorrência de minerais radioativos.
O cenário de favorabilidade gerado pela inferência por Redes Neurais Artificiais
apresentou resultados próximos àqueles obtidos pela técnica Fuzzy Ponderado. As
diferentes faixas de potencialidade apresentaram coerência na distribuição relativa dos
valores dos graus de confiança, que apresentaram um padrão decrescente da classe “alto
potencial” para a de potencial nulo. A distribuição dos valores numéricos foi uniforme
não apresentando agrupamentos que pudessem representar problemas no fatiamento
(Figura 4.25).
A classe “alto potencial”, com uma área de 6,65 Km2 (menos de 1% do maciço alcalino),
obteve o terceiro maior valor de grau de confiança (12,51) dentre todas as classes de alto
potencial dos demais modelamentos e uma coincidência com 14 ocorrências minerais,
incluindo entre elas os depósitos do Morro do Ferro e Campo Agostinho e a Mina
Usamu Utsumi (Tabela 4.18).As classes “médio” e “alto” potencial encerram juntas 25
mineralizações, sendo 9 das 11 mineralizações de U-Mo e as duas de Th-Tr em áreas que
totalizam 28,52 Km2, ou 3,92% do total do maciço alcalino (Figura 4.26). As classes
baixo, médio e alto potencial, juntas compreenderam uma área de 96,04 Km2, o que
eqüivale a 13,2% do complexo alcalino e obtiveram uma coincidência com 38 dos 48
indícios e mineralizações conhecidos. O grau de confiança da classe “nula” indica que
pesquisas realizadas nessas áreas apresentariam uma possibilidade de sucesso 2,22 vezes
menor do que considerando todo o complexo alcalino. A classe “nula” compreendeu
uma área de 631,29 Km2 , a qual encerrou 10 dos indícios e mineralizações conhecidos.
Distribuição acumulada dos pixels sobreposta pelas classes de
potencialidade
Frequência acumulada
1600000
1200000
Distribuição acumulada dos pixels
800000
Nulo
400000
Baixo
Médio
Alto
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Valores dos pixels
Fig. 4.25 – Distribuição acumulada dos pixels do cenário de potencialidade gerado pelo
modelo Redes Neurais Artificiais.
TABELA 4.18 – SUMÁRIO DOS RESULTADOS DO MÉTODO REDES
NEURAIS ARTIFICIAIS
Fatia
Área
(Km2)
Área
(%)
Prob.
Posteriore
Grau de
confiança
UZr
UMo
ThTr
alta (0.95-0.76)
6.65
0.91
0.1564
12.51
7
6
1
média (0.76-0.65)
21.87
3.01
0.0681
5.45
7
3
1
baixa (0.65-0.37)
67.52
9.28
0.0444
3.56
12
1
0
631.29 86.80
0.0056
0.45 (2.22)
9
1
0
727.33 100.00
Prob. priore
0.0125
35
11
2
nula (0.37-0.0)
Total
Fig. 4.26 – Mapa de favorabilidade à ocorrência de minerais radioativos, obtido segundo
inferência por Redes Neurais Artificiais.
CAPÍTULO 5
CONCLUSÕES E DISCUSSÕES
Técnicas de análise e integração multi-critérios de dados espaciais aplicadas no
complexo alcalino de Poços de Caldas mostraram ser ferramentas poderosas em
modelamentos aplicados em pesquisa mineral, na predição das áreas favoráveis à
ocorrência de depósitos minerais. Todavia, o sucesso de tal abordagem depende
diretamente do grau de conhecimento disponível sobre a geologia da região de estudo, o
qual permitirá a definição de parâmetros e relações necessários à definição do modelo
prospectivo a ser adotado.
A concepção do modelo prospectivo normalmente é a etapa mais difícil do trabalho,
onde a definição das evidências e a importância relativa entre elas será de suma
importância para a boa eficiência do modelo adotado. Assim, a elaboração do modelo é
fortemente depende do conhecimento que o especialista tem da geologia da área de
estudo, incluindo “modelos de depósitos”, além do domínio das técnicas mais
adequadas para a integração dos dados.
A utilização da probabilidade condicional (Grau de Confiança) na avaliação quantitativa
dos cenários mostrou-se bastante interessante pois permitiu medir o poder explicativo
dos cenários de favorabilidade às ocorrências minerais. A utilização desse parâmetro em
conjunto com a inspeção visual proporcionou julgamentos mais “precisos”.
A Tabela 5.1 apresenta um resumo sobre o desempenho dos 8 modelos de análise multicritério usados no presente estudo. Ela indica a soma das áreas (Km2 e porcentagem
(%)) e ocorrências minerais radioativas incidentes, nas classes “alto” e “médio”
potencial, além do grau de confiança da classe “alto” potencial e o padrão de saída dos
dados.
O modelamento Booleano é de fácil implementação, sendo indicado para trabalhos de
inferência com dados simplificados em formato temático. Entretanto, a generalização
dos dados num estágio inicial da inferência resultou em desempenho regular, sendo o
cenário de potencialidade gerado o segundo pior dentre todos, em termos dos aspectos
analisados. A rigidez do produto final foi outra característica não favorável, não
permitindo variações na graduação dos níveis de prioridade, que em processos de
tomada de decisão pode implicar em erros de julgamento. Embora seu desempenho
tenha sido moderado, a classe “favorável” encerrou 24 das 48 ocorrências minerais, a
mesma quantidade obtida pelas áreas das classes “”alto” e “médio” potencial do modelo
Média Ponderada.
TABELA 5.1 – SUMÁRIO DO DESEMPENHO DE CADA MODELO
Área
Métodos
Classe
Grau de
confiança
(Classe “alta”)
Ocorrências
Minerais
(48 no total)
Padrão de saída
dos dados
Km 22
%
Favorável
32.40
4.45
5.78
24
ruim
Média Ponderada
Alta + Média
30.64
4.21
12.60
24
regular
Fuzzy Mín-Máximo
Alta + Média
37.36
5.14
5.44
28
regular
Fuzzy Média
Alta + Média
30.93
4.25
7.52
26
bom
Fuzzy Ponderado
Alta + Média
30.43
4.18
12.90
27
bom
Fuzzy Gama
Alta + Média
29.06
3.99
6.92
17
ruim
Bayes
Alta + Média
27.54
3.78
6.69
27
regular
Redes Neurais
Alta + Média
28,52
3.92
12.51
25
bom
Booleano
Os resultados do modelamento baseado em Média Ponderada possibilitaram uma maior
flexibilidade na manipulação dos dados em relação ao método Booleano, o que implicou
numa melhora no processo de inferência. A ponderação dos dados temáticos permitiu
uma graduação da importância relativa das evidências, num acréscimo de informação e,
consequentemente, numa melhora no modelamento dos dados. Todavia, o caráter
discreto dos valores não foi totalmente eliminado, o que impossibilitou a melhora da
mobilidade nos níveis de tomada de decisão (fatiamento). O desempenho do cenário
gerado foi muito bom, o grau de confiança (12,60) foi o segundo melhor entre as classe
“alto” potencial dos demais cenários. Esse cenário e o do Fuzzy Ponderado foram os
únicos, onde os três principais depósitos. (Mina Usamu Utsumi; Campo Agostinho; e
Morro do Ferro) foram mapeados pela classe “alto” potencial.
A teoria da lógica Fuzzy foi a que permitiu o maior refinamento no modelamento dos
dados, permitindo a representação da variação espacial dos atributos em superfícies
contínuas. Entretanto, essas características nem sempre levaram a resultados mais
adequados. As funções membros fuzzy possibilitaram a incorporação do conhecimento
de forma bastante realista, resultando em cenários mais coerentes e menos sujeitos a
erros. A abordagem da importação semântica (IS) permitiu a incorporação sobre a
natureza imprecisa de contatos litológicos, o que representou uma melhoria na natureza
da informação. Outra vantagem da modelagem fuzzy é a maior quantidade de
operadores o que representa maior flexibilidade na combinação das evidências.
Os modelos Fuzzy Mínimo-Máximo e Fuzzy Média geraram cenários com desempenhos
razoáveis em comparações aos demais. O principal problema nos dois modelos foi os
baixos valores de grau de confiança. O moderado desempenho destes modelos está
associado diretamente à simplicidade dos operadores, que não permitem a graduação
das evidências.
O modelo Fuzzy Mínimo-Máximo apresentou problemas também no padrão de saída
dos dados, com pontos de concentração que dificultaram o fatiamento. O resultado
positivo foi a alta incidência de minerais na classe “alto” potencial, 18 no total. Caso
considere-se as classes “alto” e “médio” potencial, o número salta para 28, também a
maior incidência entre os demais cenários.
Os cenários dos modelos Fuzzy Médio, Fuzzy Ponderado e Redes Neurais apresentaram
os padrões mais uniformes de distribuição dos valores de saída. Isto permitiu maior
flexibilidade nos limiares de corte das classes de potencialidade (tomada de decisão).
O modelo Fuzzy Ponderado foi o que obteve o melhor desempenho nos critérios
analisados. A classe “alto” potencial obteve o maior grau de confiança (12,90) e em
conjunto com a classe “médio” potencial, encerrou 27 ocorrências minerais, a segunda
maior coincidência entre os demais cenários. O responsável direto pelo seu sucesso,
além da lógica Fuzzy, foi a técnica AHP que permitiu, de modo eficaz, a hierarquização
das evidências.
O cenário gerado pelo modelo Fuzzy Gama foi o que apresentou desempenho menos
expressivo dentre todos os modelamentos. A classe “alto” e “médio” potencial
encerraram o menor número de ocorrências minerais, 17 no total. E o padrão de saída
dos dados foi um dos menos uniformes, apresentando alta concentração em valores
baixos. Talvez o principal responsável pelo baixo desempenho, tenha sido o segundo
membro do operador (produto algébrico fuzzy), visto que o produto de valores menores
que “1” tende a diminuir consideravelmente os valores numéricos. Optou-se por um
alto valor do expoente gama (γ =0.85), numa tentativa de minimizar a influência do
produto algébrico fuzzy, todavia aparentemente, não houve efeito prático.
Embora nem todos os cenários dos modelamentos Fuzzy tenham tido desempenho
satisfatório, pelas características discutidas acima, na média, pode-se afirmar que o
teoria da lógica Fuzzy é altamente indicada para estudos de fenômenos naturais.
O método Bayesiano constituiu uma abordagem muito interessante ao processo de
inferência espacial. A possibilidade do emprego de parâmetros estatísticos, na definição
dos ponderadores, é altamente indicada para situações onde torna-se difícil hierarquizar
as evidências. Nesses casos o modelo pode servir de guia na definição dos pesos. O
estudo do Contraste, para definição do limiar de corte das evidências, também foi
bastante interessante pois possibilitou correlacionar mais precisamente as evidências
com as verdades de campo. Isso fica claro quando comparamos seus resultados com os
do modelo Booleano. Uma área menor ( Áreabayes = 27,54 Km 2 ) encerrou 27 ocorrências
contra 24 do modelo Booleano numa área maior ( Áreabooleano = 32,4 Km 2 ).
O ponto de destaque desse cenário foi a classe “médio” potencial, que obteve o melhor
grau de confiança (8,39) em comparação com as demais classes de mesma
potencialidade. As classes “alto” e “médio potencial” encerraram 27 ocorrências
minerais, a segunda melhor incidência entre os demais cenários.
Apesar dessas características, o cenário gerado pelo método Bayesiano apresentou
desempenho geral mediano, comparado aos demais. Isso pode estar ligado ao “corte”
rígido das evidências na etapa inicial do processo de inferência. Os cortes significaram
simplificação dos dados e consequentemente redução de informação. Outra
característica desse modelamento é a necessidade da existência de verdades de campo
(ocorrências minerais) para a realização da tabulação cruzada com as evidências,
possibilitando o cálculo de parâmetros de ponderação.
A aplicação das técnicas de Redes Neurais mostrou-se eficiente. O cenário gerado
apresentou o segundo melhor desempenho geral, perdendo apenas para o Fuzzy
Ponderado. A classe “alto” potencial encerrou o segundo maior número de ocorrências
minerais (14) e obteve o terceiro maior grau de confiança (12,51). Paradoxalmente, o
ponto negativo do modelo é também uma de suas maiores vantagens, a grande
quantidade de parâmetros e variáveis que podem ser utilizados, os quais, se não
manejados adequadamente, podem alterar consideravelmente o desempenho do
modelo. Entretanto, ao mesmo tempo em que isto resulta em dificuldades, permite
também simulações muito mais próximas da realidade.
Como sugestão para melhoria em futuros trabalhos de inferência espacial, sugere-se o
incremento de mapas de incerteza, os quais poderiam indicar áreas problemáticas nos
cenários. Essas regiões poderiam ser eliminadas, ou melhor investigadas em campo para
a melhoria do modelo. Adicionalmente, é recomendável o estudo mais aprofundado de
técnicas de fatiamento (migração do ambiente numérico para o ambiente rígido), na
tentativa de definir classes temáticas mais coerentes em relação ao agrupamento dos
valores numéricos de saída. E, finalmente, um estudo mais aprofundado de outras
arquiteturas e paradigmas de aprendizado para redes neurais artificiais, como por
exemplo, o aprendizado não-supervisionado, que elimina a necessidade de um padrão
de saída para o aprendizado da rede.
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APÊNDICE I – PROGRAMAS EM LEGAL
Programa I.1 – Programa de reclassificação das unidades litológicas em
classes favorável e não-favorável.
{//declaração
Tematico
lito, favo ("Litologia");
Tabela
tabfav (Reclassificacao);
//tabela
tabfav = Novo (CategoriaIni = "Litologia" ,
CategoriaFim = "Litologia",
"embasamento" :
"nao-favoravel",
"arenitos" :
"nao-favoravel",
"fonolitos" :
"nao-favoravel",
"tinguaitos" :
"nao-favoravel",
"foiaitos" :
"favoravel",
"R_potassicas" :
"favoravel",
"lujaritos/chibin" : "favoravel",
"mat.vulcanico" :
"favoravel" );
//instanciação
lito = Recupere (Nome = "Litologia");
favo = Novo (Nome = "Litologia favorável: contrast", ResX = 25, ResY =
25, Escala = 50000);
//operação
favo = Reclassifique (lito, tabfav);
}
Programa I.2 - Programa de reclassificação das unidades de intensidade
radioativa em classes favorável e não-favorável.
{//declaração
Tematico
favo , gama ("Gama");
Tabela
tabfav (Reclassificacao);
//tabela
tabfav = Novo (CategoriaIni = "Gama" ,
CategoriaFim = "Gama",
"background < 1.3" :
"nao-favoravel",
"1.3 <x< 1.8" :
"nao-favoravel",,
"1.8 <x< 2.5" :
"favoravel",
"2.5 <x< 3.5" :
"favoravel",
"x>3.5" :
"favoravel");
//instanciação
gama = Recupere (Nome = "Gama");
favo = Novo (Nome = "Gama favorável", ResX = 25, ResY = 25, Escala =
50000);
//operação
favo = Reclassifique (gama, tabfav);
}
Programa I.3 – Programa de integração das evidências através de operadores
lógicos booleanos
{//declaração
Tematico
lito
("Litologia"),
cont
("Contato-geológico"),
circ
("Estruturas-Circulares"),
line ("Lineamentos"), gama ("Gama"), boo ("Integração - Resultados");
//Instanciação
lito = Recupere (Nome = "Litologia-favorável");
cont = Recupere (Nome = "Buffer: 100m");
circ = Recupere (Nome = "Buffer: 350m");
line = Recupere (Nome = "Buffer: 250m");
gama = Recupere (Nome = "Gama-favorável");
boo = Novo (Nome = "Booleano", ResX = 25, ResY = 25, Escala = 50000);
//Operação
boo = (((lito.Classe == "favoravel" || cont.Classe == "favoravel") &&
(circ.Classe == "favoravel" ||
line.Classe == "favoravel") && gama.Classe == "favoravel") ?
Classe ("favoravel") : Classe("nao-favoravel"));
}
Programa I.4 – Programa para ponderação das classes litológicas
{//declaração
Tematico
lito ("Litologia");
Numerico
pond ("Média Ponderada");
Tabela
tablito (Ponderacao);
//tabela
tablito = Novo (CategoriaIni = "Litologia",
"arenitos" , "embasamento", "fonolitos", "tinguaitos" : 0,
"mat.vulcanico" : 20,
"foiaitos" : 30,
"R_potassicas", "lujaritos/chibin" : 60);
//instanciação
lito = Recupere (Nome = "Litologia");
pond = Novo (Nome = "Litologia ponderada",
Escala =50000, Min = 0, Max = 100);
//operação
pond = Pondere (lito , tablito);
}
ResX = 25 ,
ResY = 25 ,
Programa I.5 – Programa para ponderação das classes de intensidade gamaradiométrica
{//declaração
Tematico
gama ("Gama");
Numerico
numg ("Média Ponderada ");
Tabela
tabgama (Ponderacao);
//tabela
tabgama = Novo (CategoriaIni = "Gama",
"background" : 0.0,
"1.3-1.8" : 10,
"1.8-2.5" : 60,
"2.5-3.5" : 70,
">3.5"
: 80);
gama = Recupere (Nome = "Gama");
numg = Novo (Nome = "Gama ponderado", ResX = 25 , ResY = 25 ,
= 50000, Min = 0, Max = 100);
Escala
//operação
numg = Pondere (gama , tabgama);
}
Programa I.6 – Programa para união e ponderação dos “buffers” dos
lineamentos e estruturas circulares.
{//declaração
Tematico
line,
line-circ
("Lineamentos"),
Circulares");
Numerico
line-circ-pond, ("Média Ponderada");
Tabela
tabline-circ (Ponderacao);
circ
("Estruturas-
//instanciação
line = Recupere (Nome = "Buffer: 250m");
circ = Recupere (Nome = "Buffer: 350m");
line-circ = Novo (Nome = "Lineam-estr.circular", ResX = 25,ResY = 25
,Escala =50000);
line-circ-pond = Novo (Nome = "Lineam-estr.circular ponderada", ResX =
25,ResY = 25 ,Escala =50000, Min = 0, Max =100);
//tabelas
tabline-circ = Novo (CategoriaIni = "Lineamentos ",
"nao-favoravel" : 0,
"favoravel" : 20);
//operação
line-circ
=
((line.Classe
==
"favoravel"
||
circ.Classe
"favoravel") ? Classe ("favoravel") : Classe ("nao-favoravel"));
line-circ-pond = Pondere (line-circ , tabline);
}
==
Programa I.7 – Programa de integração dos planos de informação ponderados
através de uma soma ponderada.
{//declaração
Numerico
lito, gama, line-circ, result ("Média Ponderada");
//instanciação
lito = Recupere (Nome = "Litologia ponderada");
gama = Recupere (Nome = "Gama ponderada");
line-circ = Recupere (Nome = "Lineam-estr.circular ponderada");
result = Novo (Nome = "Integração-M.ponderada", ResX = 25 , ResY = 25
, Escala = 50000, Min = 0, Max = 100);
//operação
result =((gama*80) + (lito*60) + (line-circ*20))/160;
}
Programa I.8 – Programa de ponderação das classes de anomalia gamaradiometria para obtenção dos membros fuzzy .
{//declaração
Tematico
gama ("Gama");
Numerico
numg ("numfuzzy");
Tabela tabgama (Ponderacao);
//tabela
tabgama = Novo (CategoriaIni = "Gama",
"background" : 0.0,
"1.3-1.8" : 0.125,
"1.8-2.5" : 0.750,
"2.5-3.5" : 0.875,
"> 3.5" :
1.000);
//instanciação
gama = Recupere (Nome = "Gama");
numg = Novo (Nome = "Gama-fuzzy", ResX = 25 , ResY = 25 ,
50000, Min = 0, Max = 1);
//operação
numg = Pondere (gama , tabgama);
}
Escala =
Programa I.9 – Programa para construção dos membros fuzzy da rocha
potássica
{// programa para espacialização continua e rígida do contato da R.
potássica
// declaração
Tematico
masC ("Contato-geológico"), lito ("Litologia") ;
Numerico
dist ("Mapa de distância") , result ("numfuzzy");
// instanciação
masC = Recupere (Nome = "Máscara:corpos pequenos");
lito = Recupere (Nome = "Litologia-R.potássica");
dist = Recupere (Nome = "contato-R.potássica");
result = Novo (Nome = "R-potássica: fuzzy", ResX = 25,
Escala = 50000 , Min = 0 , Max = 1);
ResY = 25,
// operação
result
=
((masC.Classe
==
"favoravel"
&&
lito.Classe
==
"R_potassicas") ? Digital (1) :
(masC.Classe == "favoravel" && lito.Classe == "naofavoravel") ? Digital (0) :
(lito.Classe == "R_potassicas" &&
dist >= 100) ?
Digital (1) :
(dist
<100
&&
lito.Classe
==
"R_potassicas")
?
(dist*0.005)+0.5 :
(dist < 100 && lito.Classe == "nao-favoravel") ?
(dist*
-0.005)+0.5 : Digital (0));
}
Programa I.10 – Programa para construção dos membros fuzzy do
Lujarito/chibinito
{// programa para espacialização continua e rígido do contato
lujarito/chibinito
// declaração
Tematico
masC ("Contato-geológico"), lito ("Litologia") ;
Numerico
dist ("Mapa de distância") , result ("numfuzzy");
// instanciação
masC = Recupere (Nome = "Máscara:corpos pequenos");
lito = Recupere (Nome = "Litologia - lujarito/chibinito");
dist = Recupere (Nome = "Cont.geológico - lujarito/chibin");
result = Novo (Nome = "Lujarito/chibinito: fuzzy1", ResX = 25 ,
= 25 ,
Escala = 50000 , Min = 0 , Max = 1);
do
ResY
// operação
result
=
((masC.Classe
==
"favoravel"
&&
lito.Classe
==
"lujaritos/chibin") ? Digital (1) :
(masC.Classe == "favoravel" && lito.Classe == "naofavoravel") ? Digital (0) :
(lito.Classe == "lujaritos/chibin" &&
dist >= 100) ?
Digital (1) :
(dist < 100 && lito.Classe == "lujaritos/chibin") ?
(dist*0.005)+0.5 :
(dist < 100 && lito.Classe == "nao-favoravel") ?
(dist*
-0.005)+0.5 : Digital (0));
}
Programa I.11 – Programa para construção dos membros fuzzy do foiaíto
{// programa para espacialização continua e rígida dos contatos do
foiaíto
// declaração
Tematico
masC ("Contato-geológico"), lito ("Litologia") ;
Numerico
dist ("Mapa de distância") , result ("numfuzzy");
// instanciação
masC = Recupere (Nome = "Máscara:corpos pequenos");
lito = Recupere (Nome = "Litologia-Foiaíto");
dist = Recupere (Nome = "Contato - Foiaíto");
result = Novo (Nome = "Foiaíto-fuzzy", ResX = 25
Escala = 50000 , Min = 0 , Max = 1);
,
ResY
=
25
,
// operação
result = ((masC.Classe == "favoravel" && lito.Classe == "foiaitos") ?
Digital (1) :
(masC.Classe == "favoravel" && lito.Classe == "nao-favoravel")
?
Digital (0) :
(lito.Classe == "foiaitos" && dist >= 100) ? Digital (1) :
(dist < 100 && lito.Classe == "foiaitos") ? (dist*0.005)+0.5 :
(dist < 100 && lito.Classe == "nao-favoravel") ? (dist* -0.005)+0.5 :
Digital (0));
}
Programa I.12 – Programa para construção dos membros fuzzy do material
vulcânico
{// programa para
tinguaíto
// declaração
Tematico
Numerico
masC
dist
espacialização
continua
e
rígido
do
contato
do
("Contato-geológico"), lito ("Litologia") ;
("Mapa de distância") , result ("numfuzzy");
// instanciação
masC = Recupere (Nome = "Máscara:corpos pequenos");
lito = Recupere (Nome = "Litologia- Mat. Vulcânico");
dist = Recupere (Nome = "Contato - Mat. vulcânico");
result = Novo (Nome = "Mat. Vulcânico: fuzzy", ResX = 25 ,
,
Escala = 50000 , Min = 0 , Max = 1);
ResY = 25
// operação
result
=
((masC.Classe
==
"favoravel"
&&
lito.Classe
==
"mat.vulcanico") ? Digital (1) :
(masC.Classe == "favoravel" && lito.Classe == "nao-favoravel")
?
Digital (0) :
(lito.Classe == "mat.vulcanico" && dist >= 100) ? Digital (1) :
(dist < 100 && lito.Classe == "mat.vulcanico") ? (dist*0.005)+0.5 :
(dist < 100 && lito.Classe == "nao-favoravel") ? (dist* -0.005)+0.5 :
Digital (0));
}
Programa I.13 – Programa para integração dos PI das unidades litológicas
fuzzy através de uma soma ponderada.
{// programa para integração das litologias fuzzy
// declaração
Numerico
foia , luja , matvul, pota, result ("numfuzzy");
// instanciação
foia = Recupere (Nome = "Foiaíto: fuzzy");
matvul = Recupere (Nome = "Mat. Vulcânico: fuzzy");
pota = Recupere (Nome = "R-potássica: fuzzy");
luja = Recupere (Nome = "Lujarito/chibinito: fuzzy");
result = Novo (Nome = "Litologia-fuzzy", ResX = 25 ,
Escala = 50000 , Min = 0 , Max =2);
ResY = 25 ,
// Operação
result = (matvul*0.3333) + (foia*0.5) + pota + luja ;
Programa I.14 – Programa de mapeamento dos membros fuzzy das estruturas
circulares.
{ //Considerando um ponto cruzamento de350m
//declaração
Numerico est ("Mapa de distância") , fuzzy ("Evidências Fuzzy");
//instanciação
est = Recupere (Nome = "Estrutura circular");
fuzzy = Novo (Nome = "Estr.circular-fuzzy-pc-350m" , ResX = 25, ResY =
25, Escala = 50000,
Min = 0, Max = 1);
//operação
fuzzy = ( est <= 700 ? 1 /( 1 +((1/122500)*(est^2) ) ) : Digital (0));
}
Programa I.15 – Programa de mapeamento dos membros fuzzy dos
lineamentos
{//Considerando um buffer de interesse de 250m
//declaração
Numerico
line ("Mapa de distância") , fuzzy ("numfuzzy");
//instanciação
line = Recupere (Nome = "Lineamentos");
fuzzy = Novo (Nome = "Lineamentos-fuzzy"
Escala = 50000,
Min = 0, Max = 1);
,
ResX
=
25,
ResY
=
25,
//operação
fuzzy = ( line <= 250 ? 1 /( 1 +(0.000064*(line^2) ) ) : Digital (0));
}
Programa I.16 – Programa de mapeamento dos membros fuzzy dos contatos
dos corpos do foiaíto.
{//Considerando um buffer de interesse de 100m
//declaração
Numerico
cont ("Mapa de distância") , fuzzy ("numfuzzy");
//instanciação
cont = Recupere (Nome = "Contato - Foiaíto");
fuzzy = Novo (Nome = "Contato-foiaíto-fuzzy" , ResX = 25, ResY = 25,
Escala = 50000,
Min = 0, Max = 1);
//operação
fuzzy = ( cont <= 100 ? 1 /( 1 +(0.0004*(cont^2) ) ) : Digital (0));
}
Programa I.17 – Programa de integração dos PI fuzzy (evidências) segundo
operadores fuzzy mínimo-máximo.
{//declaração
Numerico gama, lito, circ, cont, line, maxi1, maxi2 ("numfuzzy");
Numerico minfu ("Fuzzy-resultados");
//instanciação
gama = Recupere (Nome
line = Recupere (Nome
cont = Recupere (Nome
lito = Recupere (Nome
circ = Recupere (Nome
minfu = Novo (Nome
Escala = 50000,
Min= 0, Max = 1 );
= Novo (Nome = "f11",
Min= 0, Max = 1 );
maxi2 = Novo (Nome =
Min= 0, Max = 1 );
=
=
=
=
=
=
"Gama-fuzzy");
"Lineamentos-fuzzy");
"Contato-foiaíto-fuzzy");
"Litologia-fuzzy");
" Estr-circular-500-300-fuzzy");
"Fuzzy:min-max", ResX = 250,
ResX = 25,
ResY = 25,
"f12", ResX = 25,
//operação
maxi1 = max (lito, cont);
maxi2 = max (circ, line);
minfu = min (gama, min (maxi1 , maxi2));
}
ResY
=
250,
Escala = 50000,
ResY = 25,
Escala = 50000,
Programa I.18 – Programa de integração dos PI fuzzy (evidências) segundo
operador fuzzy média.
{//declaração
Numerico
gama, lito, circ, cont, line ("numfuzzy");
Numerico minfu ("Fuzzy-resultados");
//instanciação
gama = Recupere (Nome
line = Recupere (Nome
cont = Recupere (Nome
lito = Recupere (Nome
circ = Recupere (Nome
minfu = Novo (Nome =
50000,
Min= 0, Max = 1 );
= "Gama-fuzzy");
= "Lineamentos-fuzzy");
= "Contato-foiaíto-fuzzy");
= "Litologia-fuzzy");
= " Estr-circular-500-300-fuzzy");
"Fuzzy-media", ResX = 25, ResY = 25,
Escala =
//operação
minfu = (gama +lito +circ + cont + line)/5;
}
Programa I.19 – Programa de integração dos PI fuzzy (evidências) segundo
operador fuzzy ponderado.
{//declaração
Numerico
gama, lito, circ, cont, line ("numfuzzy");
Numerico
minfu ("Fuzzy-resultados");
//instanciação
gama = Recupere (Nome
line = Recupere (Nome
cont = Recupere (Nome
lito = Recupere (Nome
circ = Recupere (Nome
minfu = Novo (Nome
Escala = 50000,
Min= 0, Max = 1 );
=
=
=
=
=
=
"Gama-fuzzy");
"Lineamentos-fuzzy");
"Contato-foiaíto-fuzzy");
"Litologia-fuzzy");
" Estr-circular-500-300-fuzzy");
"Fuzzy-ponderado", ResX = 25,
ResY
=
25,
//operação
minfu = (gama*0.514) +(lito*0.258) +(circ*0.1223) + (cont*0.0529) +
(line*0.0529);
}
Programa I.20 – Programa de integração dos PI fuzzy (evidências) segundo
operador fuzzy gama.
{//declaração
Numerico
gama, lito, circ, cont, line, sum, pro ("numfuzzy");
Numerico
result ("Fuzzy-resultados");
//instanciação
gama = Recupere (Nome = "Gama-fuzzy");
line = Recupere (Nome = "Lineamentos-fuzzy");
cont = Recupere (Nome = "Contato-foiaíto-fuzzy");
lito = Recupere (Nome = "Litologia-fuzzy");
circ = Recupere (Nome = " Estr-circular-500-300-fuzzy");
sum = Novo (Nome = "sumfuzzy", ResX = 25, ResY = 25, Escala = 50000,
Min = 0, Max = 1);
pro = Novo (Nome = "profuzzy", ResX = 25, ResY = 25, Escala = 50000,
Min = 0, Max =1 );
result = Novo (Nome = "Fuzzy-Gama (0.85)", ResX = 25, ResY = 25,
Escala = 50000,
Min = 0, Max = 1);
//operação
//soma algébrica fuzzy
sum = 1-((1-lito)*(1-gama)*(1-circ)*(1-line)*(1-cont));
//produto algébrico fuzzy
pro = lito*gama*circ*line*cont;
//valor do gama
g = 0.85;
//operador gama
result = (sum^g)*(pro^(1-g));
}
Programa I.21 – Programa para cálculo da chance a posteriore
{//declaração
Tematico
gama ("Gama"), line ("Lineamentos"),
cont
("Contatogeológico"),circ ("Estruturas-Circulares"), lito ("Litologia");
Numerico
logO , prob ("Bayes");
//atribuição dos valores dos W+ e WWpri = -4.36964279;
WposGama = 1.685188964; WnegGama = -0.704475879;
WposLine = 0.149913968;
WnegLine = -0.103384395;
WposCont = 0.798634581;
WnegCont = -0.187620352;
WposCirc =0.898897373;
WnegCirc = -0.401959283;
WposLito = 1.253996113;
WnegLito = -0.454511882;
//Instanciação
gama = Recupere (Nome = "Gama-favorável");
line = Recupere (Nome = "Buffer-250m");
cont = Recupere (Nome = "Buffer: 500m");
circ = Recupere (Nome = "Buffer: int-500m-ext-300m");
lito = Recupere (Nome = "Lito-favorável");
logO = Novo (Nome = "LN(o(d|p))", ResX = 25, ResY =25,
50000, Min= -10, Max = 1);
prob = Novo (Nome = "prob-datadriven", ResX = 25, ResY =25,
50000, Min= 0, Max = 1);
Escala =
Escala =
//operação
logO = Wpri +
(( line.Classe
==
"favoravel")
?
Digital
(
WposLine)
:
Digital(WnegLine))+
(( gama.Classe == "favoravel") ? Digital ( WposGama) : Digital (
WnegGama)) +
(( cont.Classe == "favoravel")
? Digital ( WposCont) : Digital
(WnegCont))+
(( circ.Classe == "favoravel")
? Digital ( WposCirc) : Digital
(WnegCirc))+
(( lito.Classe == "favoravel")
? Digital ( WposLito) : Digital
(WnegLito));
prob = exp (logO) /( 1 + exp (logO));
}
APÊNDICE II – TABELAS
TABELA II.1 – MATRIZES DE CONFUSÃO DOS CENÁRIOS DE
FAVORABILIDADE COM AS OCORRÊNCIAS MINERAIS.
Booleano
favorável
não-favorável
total
não-depósito
30.1
688.2
718.3
depósito
2.3
6.8
9.1
total
32.4
694.9
727.3
não-favorável
favorável
total
688.2
30.1
718.3
6.8
2.3
9.1
694.9
32.4
727.3
médio
não-médio
total
não-depósito
22.7
695.6
718.3
depósito
1.5
7.6
9.1
total
24.2
703.2
727.3
alto
não-alto
total
não-depósito
5.5
712.8
718.3
depósito
1.0
8.1
9.1
total
6.5
720.9
727.3
médio
não-médio
total
não-depósito
22.6
695.6
718.3
depósito
1.8
7.3
9.1
total
24.4
702.9
727.3
alto
não-alto
total
não-depósito
12.1
706.2
718.3
depósito
0.9
8.2
9.1
não-depósito
depósito
total
Média Ponderada
nulo
não-nulo
total
624.9
93.3
718.3
3.5
5.6
9.1
628.4
99.0
727.3
baixo
não-baixo
total
não-depósito
65.2
653.0
718.3
depósito
3.1
6.0
9.1
total
68.3
659.0
727.3
não-depósito
depósito
total
Fuzzy Mínimo-Máximo
não-depósito
depósito
total
não-depósito
depósito
nulo
não-nulo
total
572.0
146.2
718.3
3.9
5.2
9.1
575.9
151.4
727.3
baixo
não-baixo
total
111.6
606.7
718.3
2.5
6.6
9.1
total
114.1
613.3
727.3
total
12.9
714.4
727.3
médio
não-médio
total
não-depósito
23.1
695.1
718.3
depósito
1.4
7.7
9.1
total
24.5
702.8
727.3
alto
não-alto
total
não-depósito
5.8
712.5
718.3
depósito
0.6
8.5
9.1
total
6.4
720.9
727.3
médio
não-médio
total
não-depósito
22.6
695.7
718.3
depósito
1.7
7.4
9.1
total
24.3
703.1
727.3
alto
não-alto
total
não-depósito
5.2
713.1
718.3
depósito
1.0
8.1
9.1
total
6.1
721.2
727.3
médio
não-médio
total
não-depósito
21.4
696.9
718.3
depósito
1.2
7.9
9.1
total
22.6
704.8
727.3
alto
não-alto
total
Fuzzy Média
nulo
não-nulo
total
624.1
94.1
718.3
4.5
4.6
9.1
628.6
98.7
727.3
baixo
não-baixo
total
não-depósito
65.2
653.1
718.3
depósito
2.6
6.5
9.1
total
67.8
659.5
727.3
não-depósito
depósito
total
Fuzzy Ponderado
nulo
não-nulo
total
625.5
92.7
718.3
3.5
5.6
9.1
629.0
98.3
727.3
baixo
não-baixo
total
não-depósito
65.0
653.2
718.3
depósito
2.9
6.2
9.1
total
67.9
659.4
727.3
não-depósito
depósito
total
Fuzzy Gama
não-depósito
depósito
total
nulo
não-nulo
total
624.8
93.5
718.3
4.7
4.4
9.1
629.5
97.8
727.3
baixo
não-baixo
total
não-depósito
66.2
652.1
718.3
depósito
2.6
6.5
9.1
total
68.8
658.6
727.3
não-depósito
5.9
712.3
718.3
depósito
0.6
8.5
9.1
total
6.5
720.9
727.3
médio
não-médio
total
não-depósito
19.3
698.9
718.2
depósito
2.3
6.8
9.1
total
21.6
705.8
727.3
alto
não-alto
total
não-depósito
5.5
712.8
718.2
depósito
0.5
8.6
9.1
total
6.0
721.4
727.3
médio
não-médio
total
não-depósito
20.4
697.9
718.2
depósito
1.5
7.6
9.1
total
21.9
705.5
727.3
alto
não-alto
total
não-depósito
5.6
712.6
718.2
depósito
1.0
8.1
9.1
total
6.7
720.7
727.3
Bayes
nulo
não-nulo
total
631.4
86.9
718.2
3.8
5.3
9.1
635.2
92.2
727.3
baixo
não-baixo
total
não-depósito
62.1
656.2
718.2
depósito
2.5
6.6
9.1
total
64.6
662.7
727.3
não-depósito
depósito
total
Rede Neural Artificial
nulo
não-nulo
total
627.7
90.5
718.2
3.6
5.5
9.1
631.3
96.0
727.3
baixo
não-baixo
total
não-depósito
64.5
653.7
718.2
depósito
3.0
6.1
9.1
total
67.5
659.8
727.3
não-depósito
depósito
total
TABELA – II.2 – TABELA DE CONTIGÊNCIA DAS EVIDÊNCIAS
CRUZADAS DOIS A DOIS.
favorável
não-favorável
totais
favorável
52.27 (33.66)
26.91 (45.52)
79.18
não-favorável
256.96 (275.56)
391.19 (372.58)
648.15
totais
309.23
418.1
727.33
favorável
não-favorável
totais
23.6 (16.13)
55.58 (63.05)
79.18
124.54 (132.01)
523.61 (516.14)
648.15
148.14
579.19
727.33
favorável
não-favorável
totais
favorável
33.15 (29.97)
46.03 (49.20)
79.18
não-favorável
242.21 (245.38)
405.94 (402.77)
648.15
totais
275.36
451.97
727.33
favorável
não-favorável
totais
favorável
52.33 (37.15)
26.86 (42.04)
79.19
não-favorável
288.9 (304.08)
359.26 (344.08)
648.16
totais
341.23
386.12
727.35
favorável
não-favorável
totais
favorável
75.23 (62.98)
234.0 (246.25)
309.23
não-favorável
72.91 (85.16)
345.19 (332.94)
418.1
totais
148.14
579.19
727.33
lit
gama
Litologia
lineamentos
não-favorável
totais
Estrutura Circular
gama
favorável
não-favorável
totais
gama
lineamentos
gama
contato geológico
a
gi
o
ol
litologia
Estrutura circular
favorável
favorável
128.73 (117.08)
180.5 (192.15)
309.23
não-favorável
146.64 (158.29)
271.46 (259.81)
418.11
totais
275.37
451.96
727.33
favorável
não-favorável
totais
favorável
174.29 (145.07)
134.94 (164.16)
309.23
não-favorável
166.93 (196.15)
251.17 (221.95)
418.11
totais
341.22
386.11
727.33
favorável
não-favorável
totais
64.54 (56.09)
83.6 (92.05)
148.14
210.83 (219.28)
368.36 (359.91)
579.19
275.37
451.96
727.33
estruturas circulares
litologia
contatos geológicos
Lineamentos
favorável
não-favorável
totais
TABELA – II.2 – TABELA DE CONTIGÊNCIA DAS EVIDÊNCIAS
estruturas circulares
CRUZADAS DOIS A DOIS (continuação).
Contato geológico
favorável
não-favorável
totais
91.27 (69.50)
56.87 (78.64)
148.14
249.95 (271.95)
329.24 (307.47)
579.19
341.22
386.11
727.33
favorável
não-favorável
totais
favorável
137.89 (129.19)
137.48 (146.18)
275.37
não-favorável
203.34 (212.04)
248.63 (239.93)
451.97
totais
341.23
386.11
727.34
favorável
não-favorável
totais
lineamentos
contatos geológicos
TABELA II.3 – MATRIZES DE CONFUSÃO DAS EVIDÊNCIAS BINÁRIAS
UTILIZADAS NO MODELAMENTO BAYESIANO.
gama-radiometria
favorável não-favorável total
depósito
5.06
4.03
9.09
não depósito
74.13
644.12
718.25
total
79.19
648.15
727.34
Litologia
favorável não-favorável total
depósito
5.51
3.57
9.08
não depósito
303.72
414.53
718.25
total
309.23
418.1
727.33
Estrutura circular
favorável não-favorável total
depósito
4.39
4.69
9.08
não depósito
143.75
574.50
718.25
total
148.14
579.19
727.33
Lineamento
favorável não-favorável total
depósito
3.99
5.10
9.09
não depósito
271.38
446.87
718.25
total
275.37
451.97
727.34
Contato geológico
favorável não-favorável total
depósito
7.99
1.10
9.09
não depósito
333.24
385.01
718.25
total
341.23
386.11
727.34