LISTA 3-2010
04)(CFT-CE/2007) Se f (g(x)) = 5 x - 2 e
FUNÇÕES
f(x) = 5 x + 4, então g(x) é igual a:
a) x - 2
b) x - 6
01)(UNESP/2008)Segundo a Teoria da
c) x - (6/5)
Relatividade de Einstein, se um astronauta viajar em
d) 5 x + 2
uma nave espacial muito rapidamente em relação a um
e) 5 x – 2
referencial na Terra, o tempo passará mais devagar para
o astronauta do que para as pessoas que ficaram na
05)(UFU/2007) Sejam f : [0,6]  IR a função
Terra. Suponha que um pai astronauta, com 30 anos
quadrática definida por f (x) = x2 - 6 x + 5 e
de idade, viaje numa nave espacial, numa velocidade
g : [-5, 5] IR a função, cujo gráfico está esboçado a
constante, até o planeta recém-descoberto GL581c, e
seguir.
deixe na Terra seu filho com 10 anos de idade. O
tempo t decorrido na Terra (para o filho) e o tempo T
decorrido para o astronauta, em função da velocidade v
dessa viagem (ida e volta, relativamente ao referencial da
Terra e desprezando-se aceleração e desaceleração),
são dados respectivamente pelas equações
40c
t
,
v
Sabendo-se que g o f denota a composição da função g
40c
v 2
1   ,
v
c
onde c é uma constante que indica a velocidade da luz no
T
vácuo e t e T são medidos em anos. Determine, em
com a função f, resolva a equação (g o f) (x) = 0, na
variável x.
06)(UFF/2006) Na produção de determinado
produto, usa-se uma quantidade x de matéria-prima,
função de c, a que velocidade o pai deveria viajar de
modo que, quando retornasse à Terra, ele e seu filho
estivessem com a mesma idade.
para produzir y unidades do produto, ao custo final z.
Quando x  4, as variáveis x, y e z satisfazem as
seguintes relações:
02)(UTF-PR/2007)Sejam as funções f e g de R em
R tais que f(x) = 2 x + 1 e f(g(x)) = 2 x2 - 9, o valor de g(2) é igual a:
z2 = y + 4 e y2 - 4y + 4 = x
a) Determine o valor de z, quando x = 100.
b) Determine uma expressão para z, em função, apenas
de x.
a) 0
b) - 1
07)(UNESP) Uma pessoa parte de carro de uma
c) 1
cidade X com destino a uma cidade Y. Em cada instante
d) - 2
e) 3
t (em horas), a distância que falta percorrer até o
03)(UNIFESP/2006) Se A é o conjunto dos
D, definida por
números reais diferentes de 1, seja f: A  A dada por
x 1
f(x) =
.
x 1
Para um inteiro positivo n, fn(x) é definida por
t 7
D(t)  4  2 1
 t 1 
Considerando o percurso da cidade X até a cidade Y, a
distância, em média, por hora, que o carro percorreu foi:

 f(x), se n 1
f n (x)   n1
f(f (x)), se n 1


Então, f5(x) é igual a
a) 40 km.
a)
x 1
.
x 1
destino é dada, em dezenas de quilômetros, pela função
b)
x
.
x 1
b) 60 km.
c) 80 km.
c) x.
d) x4.
5
x 1
e) 
 .
 x 1
d) 100 km.
e) 120 km.
08)(UFJF/2007)Considere a função f : IR  IR,
12)(UNIFESP/2008) A tabela mostra a distância s
f (x) = - 2 x + bx - 6, onde b  IR.
em centímetros que uma bola percorre descendo por um
a) Para quais valores de b  IR a função f admite pelo
plano inclinado em t segundos.
2
menos uma raiz real?
b) Na figura a seguir está representada uma parábola,
na qual A, B e C são os pontos de interseção da
mesma com os eixos coordenados. Sabendo-se que a
área do triângulo ABC, hachurado, é de 6 unidades,
determine o único valor de b, para que a função f tenha
como gráfico esta parábola.
A distância s é função de t dada pela expressão s(t) =
at2 + bt + c, onde a, b, c são constantes. A distância s
em centímetros, quando t = 2,5 segundos, é igual a
a) 248.
b) 228.
c) 208.
d) 200.
e) 190.
13)(CFT-MG/2007) Considere a equação do 2
o
grau x2 - 3 x - m + 1 = 0 onde x1 e x2 são suas raízes e m
IR. Se x1 < 1 < x2 , então, necessariamente,
a) m > -1
09)(UFSCAR/2007) Considere que a
representação gráfica da função f: IR  IR, dada por
f(x) = mx2 - x + n, com m e n reais, é uma parábola com
ordenada do vértice maior que n. Se m . n > 1/4, uma
possível representação gráfica de f é
b) m < 4
c) m > 3
d) m > 4
14)(UNIFESP/2008) Dado x > 0, considere o
retângulo de base 4 cm e altura x cm. Seja y, em
centímetros quadrados, a área desse retângulo menos a
área de um quadrado de lado x/2 cm.
a) Obtenha os valores de x para os quais y > 0.
b) Obtenha o valor de x para o qual y assume o maior
valor possível, e dê o valor máximo de y.
15)(UNIFESP/2007) De um cartão retangular de
base 14 cm e altura 12 cm, deseja-se recortar um
quadrado de lado x e um trapézio isósceles, conforme a
10)(FUVEST/2008) A soma dos valores de m para
figura, onde a parte hachurada será retirada.
os quais x = 1 é raiz da equação
x2 + (1 + 5m - 3m2)x + (m2 + 1) = 0 é igual a
a) 5/2
b) 3/2
c) 0
d) - 3/2
e) - 5/2
11)(FGV/2008) O menor valor inteiro de k para que a
equação algébrica
2
2x (kx - 4) – x + 6 = 0 em x não tenha raízes reais é
a) -1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
O valor de x em centímetros, para que a área total
removida seja mínima, é
a) 3.
b) 2.
c) 1,5.
d) 1.
e) 0,5.
16)(UFES/2006) Uma pequena localidade é
18)(FGV) Sejam f e g funções quadráticas, com
abastecida com água extraída de 6 poços, cada um
f(x) = ax2 + bx + c. Sabe-se que o gráfico de g é
possuindo uma vazão de 1.100 litros de água por hora.
simétrico ao de f em relação ao eixo y, como mostra a
A prefeitura dessa cidade pretende aumentar o número
figura.
de poços; porém, para cada poço adicional perfurado,
estima-se que a vazão por poço diminui em 25 litros por
hora. Por exemplo, com um poço adicional perfurado, a
vazão de cada um dos 7 poços fica em 1.075 litros por
hora.
a) Calcule o tempo que os 6 poços iniciais levam para
fornecer um volume de 17.600 litros de água.
b) Dê a expressão da vazão por poço em função do
número de poços adicionais perfurados.
Os pontos P e Q localizam-se nos maiores zeros das
funções f e g, e o ponto R é o intercepto de f e g com o
eixo y. Portanto, a área do triângulo PQR, em função
c) Dê a expressão da vazão total em função do número
dos parâmetros a, b e c da função f, é
de poços adicionais perfurados.
a)
d) Determine o menor número de poços que devem ser
perfurados para que a vazão total seja de 9.225 litros
por hora.
e) Determine o número de poços adicionais a serem
perfurados de modo que a vazão total seja a maior
possível e calcule essa vazão máxima.
17)(UFSC) Um projétil é lançado verticalmente para
cima com velocidade inicial de 300 m/s (suponhamos que
não haja nenhuma outra força, além da gravidade, agindo
sobre ele). A distância d (em metros) do ponto de
partida, sua velocidade v (em m/s) no instante t (em
segundos contados a partir do lançamento) e
2
aceleração a (em m/s ) são dadas pelas fórmulas:
d = 300t - (1/2).10 t2, v = 300 - 10t, a = -10
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
(01) O projétil atinge o ponto culminante no instante t =
30s.
(02) A velocidade do projétil no ponto culminante é
nula.
(04) A aceleração do projétil em qualquer ponto da sua
2
trajetória é a = -10m/s .
(08) O projétil repassa o ponto de partida com
velocidade v = 300m/s.
(16) A distância do ponto culminante, medida a partir
do ponto de lançamento, é de 4 500m.
(32) O projétil repassa o ponto de lançamento no
instante t = 60s.
(a  b)  c
2
(a  b)  c
b)
2
(a  b  c)
c) 
2
b c
d) 
2a
c2
e)
2a
19)(UFES/2007)A temperatura de uma certa cidade
num determinado dia foi expressa por uma função
quadrática. Sabendo que nesse dia a temperatura
atingiu o valor de 20 °C nos dois horários, às 8 horas e
às 18 horas, e que a temperatura máxima desse dia foi de
30 °C, determine:
a) a expressão da temperatura em °C em função da hora
t desse dia, para 8  t  18;
b) os horários desse dia, nos quais a temperatura atingiu
o valor de 26,4 °C.
20)(UNIFESP/2006) A porcentagem p de bactérias
em uma certa cultura sempre decresce em função do
número t de segundos em que ela fica exposta à
radiação ultravioleta, segundo a relação
2
p(t) = 100 - 15t + 0,5t .
a) Considerando que p deve ser uma função
decrescente variando de 0 a 100, determine a variação
correspondente do tempo t (domínio da função).
b) A cultura não é segura para ser usada se tiver mais
de 28% de bactérias. Obtenha o tempo mínimo de
exposição que resulta em uma cultura segura.
21)(UNESP/2008)Um grupo de x estudantes se
25)(UNESP/2007) Considere as funções
juntou para comprar um computador portátil (notebook)
polinomiais f(x) = x3 + x2 + 2x - 1 e
que custa R$ 3.250,00. Alguns dias depois, mais três
g(x) = x + 3x + 1, cujos gráficos se interceptam em dois
pessoas se juntaram ao grupo, formando um novo grupo
pontos como esboçado na figura (não em escala).
3
com x + 3 pessoas. Ao fazer a divisão do valor do
computador pelo número de pessoas que estão
compondo o novo grupo, verificou-se que cada pessoa
pagaria R$ 75,00 a menos do que o inicialmente
programado para cada um no primeiro grupo.
O número x de pessoas que formavam o primeiro grupo
é:
a) 9.
b) 10.
c) 11.
d) 12.
e) 13.
22)(FATEC/2007)Os números reais x e y são tais
que:
2x2  5x  3
1 5x
Nessas condições, tem-se y < 0 se, e somente se, x
y
satisfizer a condição
a) - 3 < x < - 1/2 ou x > - 1/5
b) - 3 < x < 1/2 ou x > 1/5
c) - 3 < x < 1/5 ou x > 1/2
d) 1/5 < x < 1/2 ou x > 3
Determine para quais valores reais f(x)  g(x), isto é,
determine o conjunto
S = {x  R | f(x)  g(x)}.
26)(UNICAMP/2008) Sejam dadas as funções
f(x) = px e g(x) = 2x + 5, em que p é um parâmetro real.
a) Supondo que p = - 5, determine para quais valores
reais de x tem-se f(x) . g(x) < 0.
b) Determine para quais valores de p temos g(x) ≤ f(x)
e) x < - 3 ou 1/5 < x < 1/2
para todo x  [- 8, - 1].
23)(FGV)
27)(UFSCAR/2010) O gráfico esboçado
a) Dê o domínio da função
x 1
.
f(x)  2
x  7x 12
b) Resolva a inequação:
representa o peso médio, em quilogramas, de um animal
de determinada espécie em função do tempo de vida t,
em meses.
2  3x
4.
1 x
24)(UERJ/2009) Observe a parábola de vértice V,
gráfico da função quadrática definida por
2
y = ax + bx + c, que corta o eixo das abscissas nos
pontos A e B.
a) Para 0 ≤ t ≤ 10 o gráfico é um segmento de reta.
Determine a expressão da função cujo gráfico é esse
segmento de reta e calcule o peso médio do animal com 6
meses de vida.
b) Para t ≥ 10 meses a expressão da função que
Calcule o valor numérico de  = b2 - 4ac, sabendo que o
triângulo ABV é equilátero.
representa o peso médio do animal, em quilogramas, é
120t 1000
.
P(t) 
t 10
Determine o intervalo de tempo t para o qual
10 < P(t) ≤ 70.
RESPOSTAS
01) 4c/5
02) b
03) a
04) e
05) S = { 0, 2, 4, 6}
06) a) z = 4 b) z  6  x
07) c
08) b  4 3 ou b  4 3
b) b = 8
09) c
10) a
11) b
12) d
13) a
14) a) 0 < x < 16
b) x = 8; y = 16
15) d
16) a) 2h 40 min
b) v(x) = 1100 - 25x, onde v(x) é a vazão de cada
poço (em litros por hora) e x é o número de poços
adicionais perfurados.
c) V(x) = - 25x2 + 950x + 6600, onde V(x) é a vazão
total dos poços perfurados (em litros por hora) e x é
o número de poços adicionais perfurados.
d) x = 3
e) Vmáx = 15.625 litros por hora, para
x = 19 poços adicionais
17) 01 + 02 + 04 + 16 + 32 = 55
18) d
2
19) a) T(t) = - (2/5)t + (52/5)t - (188/5), para
8 ≤ t ≤ 18
b) 10 h e 16 h
20) a) 0  t  10
b) t = 6
21) b
22) c
23) a) Df = {x  IR | 1 ≤ x < 3 ou x > 4}
b) S = {x  IR | 2/7 ≤ x < 1}
24) 12
25) {x  IR | x ≤ -1 ou x  2}
26) a) x < - 5/2 ou x > 0.
t
27) a) f(t)   5 ; 8 kg
2
b) p ≤ - 3.
b) 10 < t ≤ 34
Um abraço!
Grego