Lista 4 – prof. Leduíno – 23/09/2013
Exercício 1: Para as funções abaixo determine o domínio, determine se o domínio é aberto
ou fechado, limitado ou ilimitado, determine a imagem e descreva as curvas de nível
a) f ( x, y)  y 2  y 4  x 2
b) f ( x, y ) 
1
16  x 2  y 2
c) f ( x, y)  arcsen( y  x)
Exercício 2: Encontre a curva de nível da função f ( x, y) que passa pelo ponto dado.
a)
f ( x, y)  16  x 2  y 2
b)
f ( x, y, z )  x  y  ln z
(2 2 , 2 )
3 ,  1 , 1
Exercício 3: Considere as funções f ( x, y) dadas. Calcule as derivadas de primeira ordem,
f x ( x, y) e f y ( x, y) , e as derivadas de segunda ordem, f xy ( x, y) , f yx ( x, y) , f xx ( x, y) e
f yy ( x, y) .
1
x y
a) f ( x, y)  16  x 2  y 2
b) f ( x, y ) 
d) f ( x, y)  sen 2 x  3 y 
e) f ( x, y, z)  arcsen ( xyz )
c) f ( x, y)  e x  y 1
f) f ( x, y, z)  tanh x  2 y  3z 
Exercício 4: Calcule a taxa de variação de f ( x, y)  1  x   y  3x 2 y na direção do eixo x
no ponto (1 , 2) . Calcule também a taxa de variação de f ( x, y) na direção do eixo y no
ponto (1 , 2) .
Exercício 5: Função de três variáveis – Escreva a definição formal da derivada parcial
f z ( x, y, z ) em ( x0 , y0 , z 0 ) . Calcule a taxa de variação de f ( x, y, z )  x 2 y z 2 na direção do
eixo z no ponto (1 , 2 , 3) .
Exercício 6: Encontre o valor de
z
no ponto (1 , 1 , 1) sabendo que a função
x
xy  xz 3  2 yz  0 define z como uma função de duas variáveis independentes x e y .
Exercício 7: Equação de Laplace - A distribuição de temperatura T , no estado estacionário,
em sólidos é descrita pela equação de Laplace, ou seja,
 2T  2T  2T


0 .
x 2 y 2 z 2
Mostre que a função T ( x, y, z )  e 3 x4 y cos 5z é solução da equação de Laplace.
Exercício 8: Para as funções dadas calcule as taxas de variações pedidas nos pontos
indicados.
a) w( x, y, z ) 
x y

z z
onde x  cos 2 t , y  sen 2 t , z  1
b) w( p, q, r ) 
pq
qr
onde p  x  y  z , q  x  y  z , r  x  y  z
dw
dy
e dw
dz
t
para t  3 . Calcule dw
. Calcule dw
dt
dx
em ( 3,2,1) .
Exercício 9: Variações num circuito elétrico – A voltagem em um circuito elétrico é dada
por V  RI e decai lentamente conforme a bateria descarrega. Ao mesmo tempo a
resistência vai aumentando à medida que o resistor esquenta. Use a equação
dV V dI V dR


dt
I dt R dt
para descobrir como a corrente está variando no instante em que R=600 ohms, I=0,04 amp ,
dR
dV
 0,5 ohms/s e
 0,01 volts/s.
dt
dt
Exercício 10: Temperatura em uma curva no espaço – Seja T  f ( x, y) a temperatura no
ponto (x,y) na circunferência x  cos t e y  sen t para t  0,2  . Suponha que
a)
T
T
 8x  4 y e
 8 y  4x .
x
y
Descubra onde ocorrem as temperaturas máxima e mínima na circunferência
 2T
T
examinando
e
.
t
t 2
b)
Supondo que T ( x, y)  4 x 2  4 xy  4 y 2 , sem utilizar a regra da cadeia, calcule os
máximos e mínimos de T na circunferência.
11. Ache as derivadas segundas das seguintes funções:
a)
ax2  bx  c
c)
2x
1 x
( x  1)
b)
4 x4  3x  18
d)
1 x
1 x
( x  1)
12. Use o teste da derivada segunda para achar os máximos e mínimos relativos das seguintes
funções:
a)
y   x2  4 x  91
c)
1
y  x3  3x 2  5 x  3
3
b)
y  2 x3  x 2  1
d)
y
2x
1 x
( x  1)
13. Ache as quatro derivadas parciais de segunda ordem de cada uma das funções.
a)
f ( x, y)  x3  y 3  3xy
c)
f ( x, y)  2 x e y
b)
f ( x, y)  x 2  xy 2
d)
f ( x, y)  7 x ln(1  y)
14. Ache o(s) valor(es) extremo(s) de cada uma das seguintes funções, determinando se eles são
máximos ou mínimos:
a)
z  x2  xy  2 y 2  3
b)
z   x2  xy  y 2  2 x  y
c)
z  ax2  by 2  c , considere cada um dos três casos especiais:
c.1) a  0, b  0
c.2) a  0, b  0
c.3) a e b têm sinais opostos
d)
z  e2 x  2 x  2 y 2  3
15. Que valores de z, y e w satisfazem a condição de primeira ordem para um extremo de uma função
z  ( x, y, w) definida implicitamente pela equação xy  y  3 yw  x 2  2 y 2  z 2  w2  0 ?
16. Ache os valores extremos, se existem, das seguintes funções (indique se são máximos ou
mínimos):
a.
z  x1  3x1 x2  3x2  4 x2 x3  6 x3
b.
z  5  ( x1  x2  x3 )
c.
z  x1  x1 x3  x2  x2  x2 x3  3x3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
17. Ache os valores extremos, se existem, das seguintes funções (indique os máximos ou mínimos):
z  e2 x  e y  ew  2( x  ew )  y
2
a)
z  e2 x  e y  ew  (2 x  2ew  y)
2
b)
18. Use o método do multiplicador de Lagrange para achar o valor estacionário de z:
z  xy , sujeita a x  2 y  2
b) z  x( y  2) , sujeita a x  y  1
c) z  x  3 y  xy , sujeita a x  y  6
a)
19. Determine as dimensões do retângulo de menor perímetro e de área 16 cm2.
20. De todos os triângulos de perímetro fixo, determine o de maior área.
21. Faça pelo menos 10 exercícios, em seu livro de preferência, que peça algo como: calcule a integral
dupla abaixo.
22.