Cálculo Numérico
Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo – FEAU
Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia)
V – Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados
Objetivos: O objetivo desta aula é apresentar o método dos mínimos quadrados (MMQ) como
outra forma de aproximação de funções. Ao contrário do polinômio interpolador visto no
capitulo anterior, agora não é necessário que o ajuste passe exatamente por cima dos pontos
ajustados. Em outras palavras, com esse método encontramos uma função ϕ(x) de um certo
tipo pré-estabelecido (ex. reta, parábola, senoide) que melhor ajusta um conjunto de pontos
ou uma função dada.
1. Introdução
Como vimos na última aula, uma forma de se trabalhar com uma função definida por
uma tabela de valores é a interpolação. Contudo, a interpolação pode não ser aconselhável
quando:
1) É preciso obter um valor aproximado da função em algum ponto fora do intervalo de
tabelamento (extrapolação).
2) Os valores tabelados são resultado de experimentos físicos, pois estes valores poderão
conter erros inerentes que, em geral, não são previsíveis.
Surge então a necessidade de se ajustar a estas funções tabeladas uma função que seja
uma “boa aproximação” para as mesmas e que nos permita “extrapolar” com certa margem de
segurança. Assim, o objetivo deste processo é aproximar uma função f(x) por outra função ϕ(x),
escolhida de uma família de funções ou por uma soma de funções em duas situações distintas:
Domínio discreto: quando a função f é dada por uma tabela de valores.
Domínio contínuo: quando a função f é dada por sua forma analítica.
Veremos nesta aula o método de ajuste de curva aos pontos experimentais (caso discreto)
pelo método dos mínimos quadrados!
V – Método dos Mínimos Quadrados – Cálculo Numérico – Prof. Dr. Sergio Pilling
1
2 Caso Discreto
O problema do ajuste de curvas no caso em que se tem uma tabela de m pontos
com x1, x2, x3 , … , xm ∈[a,b], consiste em: “escolhidas” n funções contínuas g1(x), g2 (x), g3(x),
… , gn(x), contínuas em [a,b], obter n constantes a1, a2, a3, …, an tais que a função
ϕ(x) = a1 g1(x) + a2 g2 (x)+ a3 g3 (x)+ … + an gn (x) se aproxime ao máximo de f (x).
Este modelo matemático é linear pois os coeficientes que devem ser determinados a1, a2,
a3, …, an aparecem linearmente, embora as funções g1(x), g2(x), g3(x), …, gn(x) possam ser
funções não lineares de x, como por exemplo, g1(x)= x2, g2(x)= ex, g3(x)= (1+x)2, etc.
Surge então a primeira pergunta: Como escolher as funções contínuas g1(x), g2 (x), g3(x),
… , gn (x) ?
Esta escolha pode ser feita observando o gráfico dos pontos tabelados (diagrama de
dispersão) ou baseando-se em fundamentos teóricos do experimento que forneceu a tabela.
Portanto, dada uma tabela de pontos (x1, f(x1)), (x2,f(x2)), ...., (xn,f(xn)), deve-se, em primeiro
lugar colocar estes pontes num gráfico cartesiano e a partir daí pode-se visualizar a curva que
melhor se ajusta aos dados.
EXEMPLO 1
Seja a tabela de pontos abaixo:
O diagrama de dispersão para esses pontos é apresentado ao lado:
Esse diagrama se assemelha muito a uma parábola com centro na origem, não e?
Portanto, nesse caso, é natural escolhermos apenas uma função g1(x)=x2 e procurarmos
então ϕ(x) = ax2 (equação geral de uma parábola passando pela origem).
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2
EXEMPLO 2
Se considerarmos uma experiência onde
foram medidos vários valores de corrente
elétrica (i) que passa por uma resistência (R)
submetida a várias tensões (V), colocando os
valores correspondentes de corrente elétrica e
tensão em um gráfico podemos ter a figura ao
lado:
Neste caso, existe uma fundamentação teórica relacionando a corrente com a tensão
(V= R i; Lei de Ohm), isto é, V é uma função linear de i. Assim, g1(i)= i e ϕ(i)= a g1(i) = a i.
Queremos ajustar nesse caso uma reta.
Surge agora a segunda pergunta: Qual parábola com equação αx2 melhor se ajusta ao
diagrama do exemplo 1 e qual reta, passando pela origem, melhor se ajusta ao diagrama do
exemplo 2?
No caso geral, escolhidas as funções g1(x), g2(x), ..., gn(x), temos de estabelecer o
conceito de proximidade entre as funções ϕ(x) e f(x) para obter as constantes a1, a2, a3, …, an.
Uma idéia é impor que o desvio entre f(x) e ϕ(x), ou seja, dk=(f(xk)-ϕ(xk)) seja mínimo
para todos os pontos (k =1, 2, ...., m).
Existem varias formas de impor que os desvios sejam mínimos. Veremos nessa aula o
método dos mínimos quadrados.
ϕ(x)
Seja dk = f (xk) − ϕ (xk) o desvio em xk .
a
a
a
a
ϕ
A derivada tem que ser
igual a zero!
a
a
a
a
ϕ
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3
Para isto é necessário que:
aj
aj
a a a
a
a a a
a
Obs: A derivada tem que
ser zero para acharmos o
valor mínimo de F.
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
^ ^
a
a1
a2
a1
a2
an
an
aa11
a2
an
^
b
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ai
a1, a2, ..., an
Leitura opcional: produto escalar
^ ^
ai b^i
Produto escalar
a1
a2
an
a1 a2 a3
a1 a2 a3
an
an
OBS:
^ ^
ai b^i
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Na prática, o funcionamento do MMQ pode ser dividido em 4 passos:
PASSO 1 – Depois de escolhida a função ajuste ϕ(x) identificar nela as funções auxiliares g(x) tal
que ϕ(x) seja do tipo:
n
φ ( x ) = ∑ ai gi ( x ) = a1 g1 ( x ) + a2 g 2 ( x ) + a3 g3 ( x )... + an g n ( x )
n∈Ι
i =1
PASSO 2 – Montar o sistema de equações. O numero de equações do sistema igual ao numero de
funções auxiliares gi(x) (igual ao numero de incógnitas ai)
Ex 1. No caso da reta: ϕ (x) = a1 + a2 x→ g1(x) = 1 e g2(x) = x
Teremos um sistema com 2 equações. ⎛ a11
⎜⎜
⎝ a21
a12 ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞
⎟×⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
a22 ⎟⎠ ⎜⎝ a2 ⎟⎠ ⎜⎝ b2 ⎟⎠
incógnitas
Ex 2. No caso de uma parábola: ϕ (x) = a1 + a2 x + a3x2 → g1(x) = 1 , g2(x) = x e g3(x) = x2
Teremos um sistema com 3 equações. ⎛ a11
⎜
⎜ a21
⎜a
⎝ 31
a12
a22
a32
a13 ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a23 ⎟ × ⎜ a2 ⎟ = ⎜ b2 ⎟
a33 ⎟⎠ ⎜⎝ a3 ⎟⎠ ⎜⎝ b3 ⎟⎠
incógnitas
Ex 3. No caso de uma exponencial simples: ϕ (x) = a1 ex → g1(x) = ex
Teremos um sistema com 1 equação.
a11 × a1 = b1
incógnita
PASSO 3 – Calcular os coeficientes aij e bi do passo 2. Esses coeficientes são definidos pelos
seguintes somatórios e após seu calculo obteremos números.
número de pontos experimentais.
m
aij = ∑ g i ( xk ) g j ( xk ) =a ji
k =1
m
bi = ∑ f ( xk ) g i ( xk )
k =1
PASSO 4 – Reescrever o sistema de equações do passo 2 (agora os aij e bi são números) e resolvêlo, por exemplo, utilizando o método de eliminação de Gauss ou algum método iterativo (Gauss-Jacobi
ou Gauss-Seidel).
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Exercício 1
ϕ (x) = a1 + a2 x→ g1(x) = 1 e g2(x) = x
ϕ (x) = a1 + a2 x + a3x2 → g1(x) = 1 , g2(x) = x e g3(x) = x2
Solução a)
Nesse caso temos f(x) ≈ ϕ (x) = a1 + a2x o que resulta em termos g1(x) = 1 e g2(x) = x
Para encontrarmos a1 e a2 resolveremos o sistema de 2 equações abaixo:
⎛ a11
⎜⎜
⎝ a21
a12 ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞
⎟×⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
a22 ⎟⎠ ⎜⎝ a2 ⎟⎠ ⎜⎝ b2 ⎟⎠
Escrevendo o sistema em termos dos aij e bi , ficamos assim:
Temos 8 pontos experimentais
8
⎡8
⎤
⎡8
⎤
⎢∑ g1 ( x k ) g1 ( x k )⎥a1 + ⎢∑ g 2 ( x k ) g1 ( x k )⎥a 2 = ∑ f ( x k ) g1 ( x k )
k =1
⎣ k =1
⎦
⎣ k =1
⎦
8
⎡8
⎤
⎡8
⎤
⎢∑ g1 ( xk ) g 2 ( xk )⎥a1 + ⎢∑ g 2 ( xk ) g 2 ( xk )⎥a2 = ∑ f ( xk ) g 2 ( xk )
k =1
⎣ k =1
⎦
⎣ k =1
⎦
Cada somatório da parte esquerda resultará em:
8
8
∑ g1 ( xk ) g1 ( xk ) = ∑ (g1 ( xk )) = 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 = 8
2
k =1
k =1
1
1
8
∑ g ( x ) g ( x ) = 1 ×1 + 2 ×1 + 3 ×1 + 4 ×1 + 5 ×1 + 6 ×1 + 7 ×1 + 8 ×1 = 36
k
2
k =1
k
1
xk
1
8
∑ g ( x ) g ( x ) = 1 ×1 + 1 × 2 + 1 × 3 + 1 × 4 + 1 × 5 + 1 × 6 + 1 × 7 + 1 × 8 = 36
k =1
k
1
k
2
xk
1
8
8
∑ g ( x ) g ( x ) = ∑ (g ( x ))
2
k =1
k
2
xk
k
2
k =1
2
k
= 1 × 1 + 2 × 2 + 3 × 3 + 4 × 4 + 5 × 5 + 6 × 6 + 7 × 7 + 8 × 8 = 204
xk
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7
Cada somatório da parte direita resultará em:
8
∑ f (x
k =1
8
∑ f (x
k =1
1
k
) g1 ( xk ) = 0.5 × 1 + 0.6 × 1 + 0.9 × 1 + 0.8 × 1 + 1.2 × 1 + 1.5 × 1 + 1.7 × 1 + 2.0 × 1 = 9.2
1
k
xk
) g 2 ( xk ) = 0.5 × 1 + 0.6 × 2 + 0.9 × 3 + 0.8 × 4 + 1.2 × 5 + 1.5 × 6 + 1.7 × 7 + 2.0 × 8 = 50.5
xk
Reescrevendo o sistema de equações teremos:
8a1 + 36a2 = 9.2
- 36a1 - 162a2 = -41.5
L1=-4.5L1
36a1 + 204a2 = 50.5
36a1 + 204a2 = 50.5
Subtraindo as duas equações encontramos:
50.5 − 41.5
50 − 204 × 0.214
a2 =
= 0.214 e a1 =
= 0.176
204 − 162
36
Podemos agora escrever a equação que ajusta os pontos experimentais f(x) ≈ϕ (x) = a1 + a2x.
Resposta:
ϕ(x) = 0.176 + 0.214 x
Solução b)
Nesse caso temos f(x) ≈ ϕ (x) = a1 + a2 x + a3 x2 o que resulta em termos g1(x) = 1, g2(x) = x e
g3(x) = x2. De forma análoga ao caso anterior, para encontrarmos a1, a2 e a3 resolveremos o
sistema de 3 equações abaixo:
⎛ a11
⎜
⎜ a21
⎜a
⎝ 31
a12
a22
a32
a13 ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a23 ⎟ × ⎜ a2 ⎟ = ⎜ b2 ⎟
a33 ⎟⎠ ⎜⎝ a3 ⎟⎠ ⎜⎝ b3 ⎟⎠
Escrevendo o sistema em termos dos aij e bi , ficamos assim:
8
⎡8
⎤
⎡8
⎤
⎡8
⎤
⎢∑ g1 ( xk ) g1 ( xk )⎥a1 + ⎢∑ g 2 ( xk ) g1 ( xk )⎥a2 + ⎢∑ g 3 ( xk ) g1 ( xk )⎥a3 = ∑ f ( xk ) g1 ( xk )
k =1
⎣ k =1
⎦
⎣ k =1
⎦
⎣ k =1
⎦
8
8
8
8
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢∑ g1 ( xk ) g 2 ( xk )⎥a1 + ⎢∑ g 2 ( xk ) g 2 ( xk )⎥a2 + ⎢∑ g 3 ( xk ) g 2 ( xk )⎥a3 = ∑ f ( xk ) g 2 ( xk )
k =1
⎣ k =1
⎦
⎣ k =1
⎦
⎣ k =1
⎦
8
⎡8
⎤
⎡8
⎤
⎡8
⎤
g
(
x
)
g
(
x
)
a
+
g
(
x
)
g
(
x
)
a
+
g
(
x
)
g
(
x
)
a
=
⎢ ∑ 1 k 3 k ⎥ 1 ⎢ ∑ 2 k 3 k ⎥ 2 ⎢ ∑ 3 k 3 k ⎥ 3 ∑ f ( xk ) g 3 ( x k )
k =1
⎣ k =1
⎦
⎣ k =1
⎦
⎣ k =1
⎦
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8
Cada somatório da parte esquerda resultará em:
8
8
∑ g1 ( xk ) g1 ( xk ) = ∑ (g1 ( xk )) = 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 = 8
k =1
1
8
2
k =1
1
∑ g ( x ) g ( x ) = 1 ×1 + 2 ×1 + 3 ×1 + 4 ×1 + 5 ×1 + 6 ×1 + 7 ×1 + 8 ×1 = 36
2
k =1
k
1
xk
8
∑ g (x
3
k =1
k
1
) g1 ( xk ) = 12 × 1 + 2 2 × 1 + 32 × 1 + 4 2 × 1 + 52 × 1 + 6 2 × 1 + 7 2 × 1 + 82 × 1 = 204
k
xk2
1
8
∑ g ( x ) g ( x ) = 1 ×1 + 1 × 2 + 1 × 3 + 1 × 4 + 1 × 5 + 1 × 6 + 1 × 7 + 1 × 8 = 36
1
k =1
k
2
xk
1
8
k
8
∑ g 2 ( xk ) g 2 ( xk ) = ∑ (g2 ( xk )) = 1 ×1 + 2 × 2 + 3 × 3 + 4 × 4 + 5 × 5 + 6 × 6 + 7 × 7 + 8 × 8 = 204
2
k =1
8
k =1
xk
xk
∑ g ( x )g ( x ) = 1
2
3
k =1
2
k
k
xk2
8
× 1 + 2 2 × 2 + 32 × 3 + 4 2 × 4 + 52 × 5 + 6 2 × 6 + 7 2 × 7 + 82 × 8 = 1296
xk
∑ g ( x ) g ( x ) = 1×1
1
k =1
k
2
k
xk2
1
8
3
∑ g ( x )g ( x ) = 1×1
2
2
k =1
8
k
k =1
k
xk
xk2
xk2
xk2
∑ g (x
3
3
8
+ 1 × 2 2 + 1 × 32 + 1 × 4 2 + 1 × 52 + 1 × 6 2 + 1 × 7 2 + 1 × 82 = 204
+ 2 × 2 2 + 3 × 32 + 4 × 4 2 + 5 × 52 + 6 × 6 2 + 7 × 7 2 + 8 × 82 = 1296
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k ) g 3 ( x k ) = ∑ (g 3 ( x k ) ) =1 × 1 + 2 × 2 + 3 × 3 + 4 × 4 + 5 × 5 + 6 × 6 + 7 × 7 + 8 × 8 = 8772
2
k =1
Cada somatório da parte direita resultara em:
8
∑ f (x
k =1
8
∑ f (x
k =1
8
∑
k =1
k
) g1 ( xk ) = 0.5 × 1 + 0.6 × 1 + 0.9 × 1 + 0.8 × 1 + 1.2 × 1 + 1.5 × 1 + 1.7 × 1 + 2.0 × 1 = 9.2
1
k
) g 2 ( xk ) = 0.5 × 1 + 0.6 × 2 + 0.9 × 3 + 0.8 × 4 + 1.2 × 5 + 1.5 × 6 + 1.7 × 7 + 2.0 × 8 = 50.5
xk
f ( x k ) g 3 ( x k ) = 0.5 × 12 + 0.6 × 2 2 + 0.9 × 32 + 0.8 × 4 2 + 1.2 × 5 2 + 1.5 × 6 2 + 1.7 × 7 2 + 2.0 × 8 2 = 319.1
xk2
Reescrevendo o sistema de equações teremos:
8a1 + 36a2 + 204a3 = 9.2
36a1 + 204a2 + 1296a3 = 50.5
204a1 +1296a2 + 8772a3 = 319.1
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9
Nesse caso utilizaremos o método direto de eliminação de Gauss para resolver o sistema de
equações.
matriz sanduíche otimizada
204 1296 8772
36 204 1296
8
36
204
1ª etapa de eliminação
319.1
50.5
9.2
2ª etapa de eliminação
204 1296
8772 319.1
0 -24.706 -252 -5.812
0
0
11.193 0.354
204 1296
8772
0 -24.706 -252
0 -14.823 -140
319.1
-5.812
-3.133
re-escrevendo o sistema de equações
204a1 + 1296 a2 + 8772a3 = 319.1
-24.706 a2 - 252 a3 = -5.812
11.193a3 = 0.354
Resolvendo o sistema de baixo para cima encontramos:
a3 = 0.0316, a2 = -0.0871 e a1 = 0.7587
Podemos agora escrever a equação da parábola que melhor ajusta os pontos experimentais
f(x) ≈ ϕ (x) = a1 + a2x + a3x2.
Resposta:
ϕ (x) = 0.7587 -0.0871 x + 0.0316 x2
Exercício 2
Resolveremos agora o exemplo 1 que vimos no inicio da aula.
A partir da função tabelada abaixo, desenhamos o diagrama de
dispersão e percebemos que a melhor curva que ajusta os
pontos seria um a parábola passando pela origem, ou seja,
f(x) ≈ ϕ(x)= a1x2 (neste caso teremos apenas 1 função g1(x) = x2).
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10
Como só temos uma função de g(x) e f(x) ≈ ϕ(x)= a1x2 temos de resolver apenas a
equação e com isso encontramos diretamente o valor de a1
a11 × a1 = b1
11
∑ g (x
1
k =1
xk2
11
k
) g1 ( xk ) × a1 = ∑ g1 ( xk ) f ( xk )
k =1
xk2
xk2
Resolvendo os dois somatórios temos:
11
∑ (g ( x ) )
2
k =1
k
1
= 1 + 0.3164 + 0.1296 + 0.0625 + 0.0081 + 0 + 0.0016 + 0.0256 + 0.0625 + 0.2401 + 1 = 2.8464
(xk2)2
11
∑ f (x
k =1
k
) g1 ( xk ) = 2.05 + 0.6486 + 0.162 + 0.1 + 0.045 + 0 + 0.008 + 0.096 + 0.128 + 0.588 + 2.05 = 5.8756
xk2
Logo nossa equação é 2.8464 a = 5.8756
a = 2.0642
Então ϕ(x) = 2.0642 x é a parábola que melhor se aproxima dos pontos tabelados segundo o método
dos mínimos quadrados.
2
2
ϕ(x) = 2.0642 x
a>2.0642
a<2.0642
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Exercício proposto 1
ϕ (x) = a1 + a2 x→ g1(x) = 1 e g2(x) = x
ϕ (x) = a1 + a2 x + a3x2 → g1(x) = 1 , g2(x) = x e g3(x) = x2
x 0 1 2 3 4
y 27 42 60 87 127
Resp: a) ϕ(x) = 19,6 + 24,5 x
b) ϕ(x) = 28,02 + 7,64 x + 4,21 x2
Exercício proposto 2
DICA: Para usar o método dos mínimos quadrados é necessário termos ϕ(x) no formato abaixo:
n
f ( x ) ≈ φ ( x ) = ∑ ai g i ( x ) = a1 g1 ( x ) + a2 g 2 ( x ) + a3 g 3 ( x )... + an g n ( x )
n∈Ι
i =1
Portanto temos que reescrever a equação proposta para o ajuste y = a ebx
Aplicando ln dos dois lados temos: ln(y) = ln(a ebx) = ln(a) + ln (ebx) = ln(a) + bx
Fazendo ln(y) = y* e ln(a) = a* ficamos com a equação da reta ao lado: y* = a* + bx
Basta agora reescrever a tabela acima usando x e y* = ln(y) e aplicar o método MMQ. Depois
de encontrarmos os valores a*= ln(a) e b escrevemos a função original y = a ebx
Resp: a) y = 3,469 + 0,355 x → y= 32,104 e
*
0,355 x
ln ⎛⎜ y a ⎞⎟
b) x = ⎝ ⎠ = 11,64hs
b
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Exercício proposto 3
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