Resolução UFMG 2005: Questões discursivas
Uma pirâmide de base quadrada é construída recortando-se e dobrando-se uma cartolina quadrada de
100 cm de lado, como mostrado nesta figura:
Considerando essas informações,
1. DETERMINE a altura da pirâmide em função de a.
2. DETERMINE o volume da pirâmide em função de a.
3. DETERMINE os valores de a para os quais se pode construir uma pirâmide da maneira descrita.
Resposta:
1. h2 + (50 – a)2 = a2
h = 10 a − 25 cm
2. Vpir =
V=
1
AB.H
3
10
(100 − 2a)2 a − 25 cm3
3
3.
a − 25 > 0

e
⇒ 25 cm < a < 50cm

100 − 2a > 0

Resolução UFMG 2005: Questões discursivas
(Constituída de três itens.)
Observe esta figura:
Nessa figura, L1 e L2 são segmentos de reta que ligam os pontos (0,2), (2,2) e (4,0).
Uma função f : [0,4] → IR é definida associando-se a cada t ∈ [0,4] o valor da área da região limitada pelas retas
x = 0, x = t, y = 0 e a poligonal formada pelos segmentos L1 e L2 .
Por exemplo, o valor de
5
f 
2
é a área da região sombreada na figura.
Considerando essas informações,
1. DETERMINE os valores de f (1) e f (3).
2. DETERMINE as expressões de f ( t ) para 0 ≤ t ≤ 2 e para 2 < t ≤ 4.
3. ESBOCE o gráfico da função f ( t ).
Resposta :
1. f(1) = 2
f(3) = 11/2
2. f(t) = 2t, 0 ≤ t ≤ 2
f(t) =
3.
−
(6 − t ) ( t − 2)
t2
+ 4t − 2 = 4 +
2
2
, se 2 < t ≤ 4
Resolução UFMG 2005: Questões discursivas
QUESTÃO 03 (Constituída de três itens.)
Sejam C1 e C2 circunferências de, respectivamente, centros O1 e O2 e raios r1 e r2 .
A equação de C1 é x2 + y2 – 10 y + 15 = 0 e a equação de C2 é x2 + y2 + 20 x + 15 = 0.
Sejam A e B os pontos de interseção de C1 e C2.
Considerando essas informações,
1. DETERMINE as coordenadas de O1 e O2 e os raios r1 e r2.
2. DETERMINE as coordenadas de A e B.
3. CALCULE a área do quadrilátero AO1BO2.
Resposta:
O1 (0,5)
1. C1 : x2 + y2 – 10y + 15 = 0 
R1 = 10
O2 (−10, 0)
C2 : x2 + y2 + 20x + 15 = 0 
R 2 = 85
2. Intersecções
x2 + y2 − 10y + 15 = 0 (C1)
 2
2
x + y + 20x + 15 = 0 (C2 )
De C1 e C2:
−10y = 20x ⇒ y = −2x
Substituindo em C2:
x2 + 4x2 + 20x + 15 = 0 ⇒
A ( −1,2 ) e B ( −3, 6 )
3.
x ' = −1
x " = −3
Resolução UFMG 2005: Questões discursivas
Seja p(x) = x3 + ax2 + bx + 2 um polinômio em que a e b são números inteiros.
Sabe-se que 1+ 2 é uma raiz de p(x).
Considerando essas informações,
1. DETERMINE os coeficientes a e b.
2. DETERMINE todas as raízes de p(x).
Resposta:
p(x) = x3 + ax2 + bx + 2, a e b inteiros.
(
1. 1 + 2
)
3
(
+a 1+ 2
)
2
(
)
+ b 1 + 2 + 2 = 0 ⇒ a = −4 e b = 3
2. Como 1 + 2 é raiz e os coeficientes são inteiros então 1 − 2 também é raiz. Soma das raízes = –a = 4
1+ 2 +1− 2 + K = 4 ⇒ K = 2
As raízes são 1 + 2, 1 − 2 e 2
Observe esta figura:
A
t1
t2
C1
T1
C2
1
B
T2
2
Nessa figura, as retas t1 e t2 são tangentes às circunferências C1 e C2 , respectivamente, nos pontos
T1 e T2 . A reta AB é perpendicular à reta que passa pelos centros O1 e O2 das circunferências.
Sabe-se, também, que
• AT1 = AT 2 ;
• o raio de C1 é 5 e o raio de C2 é 1; e
•
O1O2 = 12
.
Assim sendo, CALCULE
O1B e O2B .
Resolução UFMG 2005: Questões discursivas
Resposta:
A
a2+ 25
a
a
h
T1
T2
5
1
1
x
B
2
12-x
a2 + 25
h2 = a2 + 25 – x2 = a2 + 1 – (12-x)2 ⇒ x=7
(duas vezes o teorema de Pitágoras)
O1B = 7
O2B = 5
Observe esta figura:
Nessa figura, os comprimentos dos segmentos AB e AC são iguais. O comprimento do segmento BC é 1.
Considerando essas informações,
1. CALCULE o comprimento do segmento CP.
2. CALCULE a área do triângulo ACP.
Resolução UFMG 2005: Questões discursivas
Resposta:
A
1. Lei dos senos
x
1
=
sen75° sen 60°
30°
x
x=
P
120°
6+ 2
4
3
2
=
2
(3 + 3)
6
x
30°
75°
B
2. A ∆APC =
45°
C
1
1
.x.x.sen120°
2
⇒
A=
2 3 +3
12
DETERMINE todos os números complexos que satisfazem estas condições:
 z + 3 − 2z = 3 + 6i

 z < 4
Resposta:

 z + 3 − 2z = 3 + 6i

 z < 4
Z = a+ bi
⇒
(a + 3) + bi − 2(a − bi) = 3 + 6i
(a + 3)2 + b2 = (3 + 2a) + (6 − 2b)i
6 − 2b = 0 ⇒ b = 3

e


! serve, pois z < 4)
 (a + 3)² + b² = 3 + 2a ⇒ a' = −3 (nao
ou
a'' = 1
z = 1 + 3i
Para um grupo de 12 pessoas, serão sorteadas viagens para três cidades distintas A, B e C. Cinco dessas
pessoas irão para a cidade A; quatro, para a cidade B; e três, para cidade C.
Nesse grupo, estão Adriana, Luciana e Sílvio, que são amigos e gostariam de ir para a mesma cidade.
Considerando essas informações, RESPONDA:
1. De quantas maneiras distintas se podem sortear as viagens de modo que Adriana, Luciana e Sílvio viajem
para a cidade A?
2. De quantas maneiras distintas se podem sortear as viagens de modo que Adriana, Luciana e Sílvio viajem
para a mesma cidade?
3. Qual é a probabilidade de Adriana, Luciana e Sílvio viajarem para a mesma cidade?
Resolução UFMG 2005: Questões discursivas
Resposta:
1. C9,2. C7,4. C3,3 = 1260
2. para A: 1260
para B: C9,5. C4,1. C3,3 = 504
para C: C9,5. C4,4 = 126
Soma: 1890
3. P =
1890
3
=
C12,5 .C7,4 .C3,3 44
Observe esta figura:
Nessa figura, está representada uma seqüência infinita de círculos C1 , C2 , C3 , ..., que tangenciam as retas
s e t. Cada círculo Cn tangencia o próximo círculo Cn + 1. Para todo número natural positivo n, rn é o raio do círculo Cn .
Sabe-se que:
• α = 60° ;
• r1 = 1 .
Considerando essas informações,
r
1
1. MOSTRE que n+1 = para todo n.
rn
3
2. DETERMINE rn em função de n.
3. CALCULE a soma das áreas de todos os círculos C1 , C2 , C3 , ...
Resposta:
rn
rn+1
30°
1.
rn
rn+1
30°
x
rn+ rn+1
Resolução UFMG 2005: Questões discursivas
x = 2rn+1
rn+1
rn
1

sen30° =
=
= ⇒ e
⇒
x
x + rn + rn+1 2
x + r + r = 2r
n
n +1
n

1
2. rk +1 = rk
3
r1=1
1
r2=
3
2
1
r3 =   ….
3
rn +1 1
=
rn
3
n −1
1
rn =  
3
2
4


1
9π
1
1
=
3. Soma = π(r12 + r22 + r32 + ...) ⇒ S = π 1 +   +   + ... = π.
1
3
3
8







1−
9
Resolução UFMG 2005: Questões discursivas
MATEMÁTICA
Equipe de Correção
Prof. Paulo
Prof. Ronney
Prof. Rommel
Soldado
Projeto Gráfico e Coordenação de Produção
Rafael Tunes
Controle de Produção
Antônio A. Vitor
Diagramação
Leandro Verassani
Renata Paganotto
Daniel Reis
Márcio Lara
Letícia Uematu
Internet
Rogério Souza