FUNÇÃO
A ideia de função no cotidiano
Consumo
Quantidade
de pães
1
2
3
4
5
x
Preço (R$)
1,81
3,62
5,43
7,24
9,05
1,81x
O preço é função da quantidade de pães.
Meteorologia
Dia do mês
1
2
3
4
5
6
7
Temperatura
média (oC)
17
18
20
23
23
24
24
A temperatura média é função do dia do mês. Observe que o contrário
não é verdade.
A ideia de função no cotidiano
Dadas as variáveis x e y, dizemos que y é função de x se, a cada
valor atribuído a x, associa-se um único y.
A definição matemática de função
Vamos chamar de A o conjunto da quantidade de pães e de B o
conjunto dos preços.
A definição matemática de função
Consideramos C o conjunto dos dias do mês e D o conjunto das
temperaturas médias.
A definição matemática de função
Considerando dois conjuntos, A e B, não vazios, dizemos que f é
uma função de A em B (ou que y é uma função de x) se, e
somente se, para cada elemento x de A, existe em
correspondência um único elemento y de B. Representamos
assim: f: A → B
Representação de uma função
Escrevemos f(x), ou simplesmente y, para indicar o valor que a
função f assume em x.
A função f transforma x ∈ A em y ∈ B.
Representação de uma função
Exemplo
a)
1º) Todo elemento de T tem
um
correspondente em V.
2o) Um dos elementos de T, o 4, está
associado a mais de um elemento de V:
aos elementos –2 e –1.
Pela segunda afirmação, concluímos
que g não é função de T em V.
Representação de uma função
Exemplo
b)
1º) Nem todo elemento de R tem um
correspondente em S (6 não se
associa a nenhum elemento de S).
2º) Os demais elementos de R
associam-se a um único elemento
de S.
Pela primeira afirmação, h não é
função de R em S.
EXERCÍCIOS
1. Tarifa. Em certa cidade, a tarifa de táxi é calculada da seguinte
forma: R$ 5,00 a bandeirada mais R$ 1,20 por quilômetro rodado.
a) Pode-se estabelecer uma função entre essas grandezas? Em caso
positivo, quais seriam as variáveis (dependente e independente)
dessa função?
a) Sim, é possível estabelecer uma função: para cada número real positivo
que representa o total de quilômetros de uma viagem (variável
independente, que vamos chamar de x), associamos um único valor de
tarifa (variável dependente, que vamos chamar de y).
1. Tarifa. Em certa cidade, a tarifa de táxi é calculada da seguinte
forma: R$ 5,00 a bandeirada mais R$ 1,20 por quilômetro rodado.
b) Qual lei matemática definiria essa função?
b) Essa função é definida pela lei:
y = 5 + 1,2x ou f(x) = 5 + 1,2x, com x  ℝ.
EXERCÍCIOS
2. Distância. Com o auxílio de um cronômetro, marcando-se o tempo em
hora, verificaram-se as distâncias percorridas por um móvel. Essas
distâncias, percorridas em determinados tempos, foram registradas
Tempo
(h)
0,2
0,4
0,8
1,6
2
x
Distância
(km)
10
20
40
80
100
50x
DENNIS MACDONALD/AGE/
GRUPO KEYSTONE
na tabela a seguir:
0,2
0,4
0,8
1,6
2
x
Distância
(km)
10
20
40
80
100
50x
DENNIS MACDONALD/AGE/
GRUPO KEYSTONE
Tempo
(h)
a) Indicar as variáveis (dependente e independente) relacionadas
nessa situação.
a) Assumindo que a distância percorrida varia em função do tempo, a
variável dependente (y) é a distância e a variável independente (x)
é o tempo.
0,2
0,4
0,8
1,6
2
x
Distância
(km)
10
20
40
80
100
50x
DENNIS MACDONALD/AGE/
GRUPO KEYSTONE
Tempo
(h)
b) Expressar a lei matemática que relaciona a distância percorrida
ao tempo.
b) Pelos dados da tabela, percebemos que, para determinar a distância y
em função de certo tempo x, devemos multiplicar por 50 o número real
positivo que representa x.
Temos, então, a seguinte lei: y = 50x ou f(x) = 50x.
Tempo
(h)
0,2
0,4
0,8
1,6
2
x
Distância
(km)
10
20
40
80
100
50x
c) Calcular a distância quando o tempo é igual a 2,8 h.
c) Queremos calcular f(x) para x = 2,8, o que indicamos por f(2,8).
Substituindo o valor de x na lei da função, temos:
f(2,8) = 50 ∙ 2,8 
 f(2,8) = 140.
Portanto, em 2,8 horas, o móvel percorreu 140 quilômetros.
Tempo
(h)
Distância
(km)
x
0,2 0,4
0,8
1,6
10
40
80 100 50x
20
2
d) Calcular o tempo quando a distância é 330 km.
d) Queremos agora calcular x para f(x) = 330.
Substituindo o valor de f(x) na lei da função, temos:
330 = 50x  x =
= 6,6.
Logo, para percorrer 330 quilômetros, o móvel gastou 6,6 horas.
Domínio, contradomínio e conjunto imagem de
uma função
Para definir uma função f, é preciso conhecer o domínio D(f), o
contradomínio CD(f) e a maneira pela qual cada x de D(f) corresponde
a um único y = f(x) de CD(f).
O zero de uma função
Exemplos
a) O zero da função f(x) = 2x – 4 é 2, pois: f(2) = 2 ∙ 2 – 4 = 4 – 4 = 0
b) O zero da função h(x) =
c) A função m(x) =
é 9, pois: h(9) =
=
=0
não tem zero, pois não há valor de x que
anule m(x).
d) O zero da função g(x) =
é 0, pois: g(0) =
=
=0
EXERCÍCIOS
3. Considerar o diagrama da função f abaixo, em que x  A e y ϵ B, e
determinar:
a) D(f).
b) CD(f).
c) Im(f).
d) y quando x = 1.
e) y quando x = 2.
f) f(x) quando x = 3.
g) x quando y = 8.
h) x quando f(x) = 5.
3. Resolução
a) D(f) = A = {1, 2, 3, 4, 5}
b) CD(f) = B = {5, 6, 7, 8, 9}
c) Im(f) = {5, 6, 7, 8}
d) x = 1  y = 5
e) x = 2  y = 5
f) x = 3  f(3) = 7
g) y = 8  x = 4
h) f(x) = 5  x = 1 ou x = 2
EXERCÍCIOS
4. Determinar o conjunto imagem de f: D(f)  ℝ, sabendo que f(x) = 2x e
considerando:
a) D(f) = ℕ;
b) D(f) = [0,3].
Resolução
a) Im(f) = conjunto dos números naturais pares
b) f(0) = 0 e f(3) = 6  Im(f) = [0,6]
EXERCÍCIOS
5. Dada a função h(x) = x3 – 1, determinar:
a) h(3);
b) h(0,5);
c) h(–3);
d) x para h(x) = –1.
Resolução
a) h(3) = 33 – 1 = 27 – 1 = 26
b) h(0,5)= (0,5)3 – 1 = 0,125 – 1 = –0,875
c) h(–3) = (–3)3 – 1 = –27 – 1 = –28
d) h(x) = –1  x3 – 1 = – 1  x3 = 0  x = 0
EXERCÍCIOS
6. Obtenha o domínio de cada função.
a) f(x) = 17x – 5
Resolução
b) g(x) =
a) D(f) = ℝ
c) h(x) =
b) Devemos considerar que o
d) i(x) =
e) j(x) =
denominador não pode ser nulo:
x–4≠0x≠4
Portanto:
D(g) = {x  ℝ|x ≠ 4} = ℝ – {4}
f) k(x) =
Resolução
c) h(x) =
d) i(x) =
c) Em ℝ, o radicando de uma raiz de
d) O radicando de uma raiz de
índice par não pode ser negativo:
índice ímpar pode ser
7x – 21 ≥ 0  7x ≥ 21  x ≥ 3.
qualquer valor real.
Portanto:
Portanto:
D(h) = {x  ℝ|x ≥ 3}
D(i) = ℝ
Resolução
e) j(x) =
f) k(x) =
e) Como o denominador não pode
f) Devemos ter:
ser nulo e o radicando de uma
x – 4 ≥ 0 e 2x – 14 ≠ 0 
raiz de índice par não pode ser
 x ≥ 4 e x ≠ 7
negativo, devemos ter:
Portanto:
–2x + 8 > 0  –2x > –8 
 2x < 8  x < 4
Portanto:
D(i) = {x  ℝ|x < 4}
D(k) = {x  ℝ|x ≥ 4 e x ≠ 7}
EXERCÍCIOS
7. Determinar os zeros das funções de ℝ em ℝ, definidas por:
a) g(x) = x + 9
b) h(x) = x² – 1
Resolução
a) Devemos determinar o valor de x para que g(x) = 0.
g(x) = 0 ⇒ x + 9 = 0 ⇒ x = –9
b) Devemos determinar o valor de x para que h(x) = 0.
h(x) = 0 ⇒ x² – 1 = 0 ⇒ x² = 1 ⇒ x = ± 1