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Determinação do comprimento de onda de um laser e da espessura de um fio por difracção
Este trabalho laboratorial tem por objectivo a determinação do comprimento de onda de um laser1 e do
diâmetro de um fio muito fino a partir da figura de difracção observada num alvo quando se coloca um
fio em frente de um feixe de raios laser.
Noções Introdutórias
Se uma onda encontrar um obstáculo com uma abertura cuja dimensão é da mesma ordem de grandeza do
seu comprimento de onda, a onda espraia-se em todas as direcções para além da abertura. Este fenómeno
designa-se por difracção.
Figura 1: Para um dado λ, a difracção é mais pronunciada quanto menor for a abertura
A propagação de luz através de aberturas ou obstáculos de reduzidas dimensões torna evidentes
fenómenos de difracção, em que se observam desvios apreciáveis às previsões simplistas resultantes de
uma aproximação de Óptica Geométrica à propagação da luz.
Orifícios ou fios de pequeno diâmetro originam distribuições luminosas com zonas alternadamente
iluminadas e escuras, quando observadas a distâncias muito grandes relativamente às dimensões desses
objectos. A análise desses padrões de difracção relaciona, de forma simples, as suas características com
as do objecto difractor, permitindo medir (sem contacto mecânico) as suas dimensões.
Na determinação do c.d.o do laser vamos utilizar uma rede de difracção. Esta pode ser definida como
um arranjo que impõe a uma onda incidente uma variação periódica da amplitude ou da fase, ou de
ambas. De um ponto de vista teórico uma rede a uma dimensão consiste num grande número de fendas
finas, compridas, paralelas e equidistantes, com periodicidade d, localizadas na superfície de uma lâmina
de vidro de faces paralelas. A constante da rede é dada pelo inverso de d e, em geral, é expressa em
número de traços por mm.
A situação que vamos estudar supõe que os raios incidentes são paralelos e que observamos a figura de
difracção a uma distância suficientemente grande, de forma que os raios que chegam ao alvo sejam efectivamente paralelos. Isto pode ser realizado utilizando uma lente que focaliza os raios difractados segundo
a mesma direcção numa mesma posição sobre o alvo. Consideremos uma onda plana monocromática de
comprimento de onda λ que incide segundo θ0 (ângulo de incidência) numa rede de difracção plana de
transmissão a uma dimensão. Vejamos o que se passa com a luz que incide em dois pontos correspondentes, A e B, de duas fendas consecutivas da rede (fig.1).
A diferença de percurso entre a luz que chega aos dois pontos A e B, é a mesma que na ausência de
rede e é igual a:
AK = d sin θ0
1 Nota
Importante: Utilize o laser com as necessárias precauções
1
(1)
Figura 2: Representação da diferença de percurso óptico entre dois raios luminosos que passam por fendas
consecutivas de uma rede
sendo K o pé da perpendicular de B para o raio incidente em A. Além disso o caminho da luz que parte
de B na direcção θ excede o percurso da luz que parte de A em:
BL = d sin θ
(2)
sendo L o pé da perpendicular de A para o raio difractado em B na direcção θ. Então, a diferença total de
percurso entre a luz que chega a um ponto distante de observação proveniente de dois traços consecutivos
da rede é:
BL − AK = d(sin θ − sin θ0 )
(3)
Da interferência das duas ondas nesse ponto, resultará um máximo de intensidade se as duas ondas
estiverem em fase, isto é, se a diferença de percurso for um múltiplo do comprimento de onda.
d(sin θ − sin θ0 ) = mλ
(4)
O inteiro m é designado por ordem de interferência e representa, em comprimentos de onda, a diferença
de percurso entre a luz difractada, na direcção do máximo, por duas fendas consecutivos da rede. Esta
expressão mostra que, para cada direcção de incidência, existem m ângulos distintos satisfazendo a
condição de interferência construtiva (com reforço de intensidade). A interferência destrutiva acontece
quando as ondas, provenientes de A e B, que chegam a um ponto do alvo distante estão em oposição de
fase, ou seja, quando as diferenças de percurso, BL − AK, são iguais a um número semi-inteiro de λ. No
alvo observar-se-ão, deste modo, alternadamente zonas claras e escuras, correspondendo, respectivamente,
às interferências construtivas e destrutivas.
Se em vez de dois traços como foi considerado na figura 1 tivermos um número muito grande de traços
(fig. 2) a condição de máximo continua a ser a mesma, mas os máximos são mais nítidos e têm a forma
de riscas.
Para incidência normal (θ0 = 0) a expressão de máximo de interferência vem simplificada:
d sin θ = mλ
com m = 0, ±1, ±2
(5)
Como o alvo deve estar colocado, a uma distância L, suficientemente longe da rede para que os raios que
atingem um ponto P sejam paralelos ao sair da rede, os valores do ângulo são pequenos (L >> d) , e vem
tan θ ≈ sin θ =
ym
L
(6)
em que ym é a distância do máximo de ordem m ao ponto central.
Como já foi referido também se pode observar uma figura de difracção quando um objecto bloqueia
parcialmente o trajecto de uma fonte de luz monocromática, como por exemplo um fio. O efeito da
interposição de um fio pode ser descrito pelas mesmas equações que descrevem o fenómeno da difracção
2
Figura 3: Rede de difracção
de Fraunhofer para uma uma fenda simples, a distâncias muito grandes da fonte. Pode demonstrar-se
que ondas planas de amplitude A0 incidentes numa fenda de largura a produzem uma figura de difracção
(fig. 4) cuja amplitude A (θ) é descrita por
A (θ) = A0
sin β
β
(7)
com
πa sin θ
λ
e em que a intensidade, I, observada é proporcional ao quadrado da amplitude A (θ) .
β=
(8)
Figura 4: Padrão de difracção de uma fenda de largura a
Os mínimos ocorrem para β = mπ para m = 1, 2, 3...
O diâmetro do fio a está relacionado com a distância, D, entre os dois mínimos de 1a ordem de um e
de outro lado da mancha central através de:
a=
2λL
D
em que L é a distância entre o fio e o alvo.
3
(9)
Lista de material
Rede de difracção da ordem de 140 - 300 traços/mm, fita métrica (3-5 m), laser (λ = 635 nm), sistema
de elevação para o laser e fio.
Realização experimental e análise de resultados
1. (a) Coloque num suporte a rede de difracção e faça incidir o feixe laser na rede, perpendicularmente
à mesma.
(b) Observe no alvo os pontos correspondentes às várias ordens de difracção e registe numa tabela,
a posição desses pontos relativamente ao ponto central e a distância da fonte ao alvo.
(c) Com base na equação (5) determine o valor do c.d.o. do laser e comente o resultado obtido.
2. (a) Coloque num suporte o fio cujo diâmetro se pretende determinar faça incidir o feixe laser
perpendicularmente ao fio.
(b) Observe no alvo o conjunto de manchas luminosas e zonas escuras e registe numa tabela os
valores experimentais de L e D.
(c) Com base na equação (9 )determine o valor do diâmetro do fio.
(d) Compare o resultado obtido com o valor medido utilizando um palmer.
Problemas propostos
1. Calcule, utilizando a relação
mλ = d sin θm
o comprimento de onda λ de um feixe laser a partir da observação feita, com uma rede de difracção
com 100 traços/mm, para a ordem m = 2.
θ2 y2 = 65.0 cm 6.00 m Figura 5:
2. Determine a espessura do fio de cobre que produz uma figura de difracção como a representada
(escala 1:1). O comprimento de onda da radiação laser usada é λ = 632.8 nm e a distância entre o
fio de cobre e o alvo é L = 4.00 m.
Figura 6:
Disciplina de Electromagnetismo e Óptica
Departamento de Física
Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa
Setembro de 2008
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