CO 41: A Trigonometria da Grécia Antiga no Almagesto de Ptolomeu
Márcia Marinelli Pereira Silva
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo
[email protected]
Gilmar Alves de Fonte
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo
[email protected]
Rafael de Souza Santos
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo
[email protected]
RESUMO
Este artigo apresenta os resultados da leitura que buscou compreender e interpretar como
Ptolomeu (100-170 E.C.) desenvolveu a trigonometria plana, contida no Livro I de sua obra o
Almagesto, nos capítulos 10 e 11, necessária para utilizar em seus livros subsequentes sua
discussão sobre astronomia. Ptolomeu construiu uma Tabela de Cordas desenvolvendo um
método sistemático a fim de obter os comprimentos das cordas tomando posse de uma prova de
um método, obtidos com bases em considerações geométricas. Primeiro, apresentaremos o
contexto histórico a fim de entender o que levou o autor a escrevê-la e a influência gerada por
ela. A seguir, analisamos os capítulos 10 e 11 procurando reconstruir a tabela mostrando os
principais passos e teoremas pertinentes, e também fazer um paralelo com os conceitos
trigonométricos atuais. Ptolomeu estruturou esses capítulos de forma que apresentassem as
proposições necessárias, baseadas, principalmente, em Euclides (século IV a.E.C.), para a
construção de uma tabela de cordas que seria usada para cálculos de posições planetárias. No
capítulo 10, ele mostrou, nessa ordem, como calcular as cordas de 36 e 72 e a corda do
suplemento a partir desses resultados, provou o teorema que leva seu nome para que pudesse
calcular a corda da diferença, a corda do arco metade e a corda da soma e, enunciou o lema sobre
as razões entre arcos e cordas para determinar a corda de 1°. Desse modo, ele foi capaz de
construir a Tabela de Cordas, propriamente dita, no capítulo 11. Ao realizarmos nosso estudo,
adotamos a metodologia de pesquisa bibliográfica. Usamos como principal referência a tradução
do Almagesto realizada por Gerald J. Toomer (1984), considerada, segundo Katz (2009), a melhor
disponível em língua inglesa. O Almagesto se destaca por ter tido o mérito de dar impulso à noção
de que se pode criar um modelo matemático, para estabelecer uma descrição quantitativa de
fenômenos naturais. Da pesquisa é possível concluir que muitas das relações estabelecidas por
Ptolomeu são usadas até os dias de hoje e que a trigonometria grega teve um papel central para o
desenvolvimento das ciências, principalmente da astronomia, durante os séculos seguintes.
Palavras-chave: Trigonometria, Almagesto, Ptolomeu.
Introdução
O presente texto tem como objetivo apresentar os resultados da leitura para
compreenção da trigonometria contida nos capítulos 10 e 11 do Livro I, da obra o Almagesto
escrita por Ptolomeu (100–170 E.C.) por volta de 150 E.C, que teve como objetivo descrever o
funcionamento do sistema solar, supondo que a Terra estivesse em seu centro.
A obra é constítuida por 13 livros. O conteúdo do Livro I, do primeiro ao nono capítulo,
possui uma introdução básica do conceito grego do Cosmos. No capítulo 10, encontram-se as
proposições necessárias para a construção de uma Tabela de Cordas, partindo de algumas
proposições dos Elementos de Euclides (século IV a.E.C.), e o capítulo 11 contém a própria tabela.
O objetivo desses dois capítulos foi o de desenvolver a trigonometria necessária para apresentar
em seus livros subsequentes sua discussão sobre astronomia. Dos capítulos 12 ao 16 do Livro I ele
escreveu sobre a trigonometria esférica.
Ao realizarmos nosso estudo, adotamos a metodologia de pesquisa bibliográfica. Usamos
como principal referência a tradução do Almagesto realizada por Gerald J. Toomer, considerada,
segundo Katz (2009), a melhor disponível em língua inglesa.
Ptolomeu e o Almagesto
As origens da trigonometria são incertas. Sabemos que surgiu na Babilônia e no Egito a
necessidade de explorar a trigonometria para a resolução de problemas relacionados à
astronomia, à cronologia do tempo e à agricultura. Foi, principalmente, o interesse no estudo dos
movimentos dos astros que impulsionou a evolução da trigonometria.
Nesse processo os gregos, nas figuras de Hiparco de Nicéia (século II a.E.C.) e Ptolomeu,
criaram uma trigonometria plana e uma esférica, desenvolvendo também, um modelo
matemático do universo, o qual modificariam muitas vezes entre o tempo de Platão (429–347
a.E.C.) e de Ptolomeu (100–170 E.C.).
Hiparco introduziu a divisão do círculo em 360 partes, provavelmente inspirado nos
babilônios, e construiu uma tábua de cordas considerada a primeira tabela trigonométrica da
história. Entretanto, a figura mais importante entre os gregos, para esse fim, foi Ptolomeu.
Astrônomo e geógráfo trabalhou toda sua vida em Alexandria, onde escreveu seu trabalho sobre
astronomia, baseado nos escritos de Hiparco, Mathematiki Syntaxis (Coleção Matemática).
2
Séculos depois, os cientistas islãmicos começaram a chamá-lo de Almagesto. Como os Elementos,
de Euclides, ele substituiu todos os trabalhos anteriores sobre o assunto.
Após Ptolomeu, encontramos estudos sobre trigonometria e astronomia na Índia, por
volta do século III e no Islã, por volta do século VIII. Porém, o Almagesto, como texto de
astronomia, foi o trabalho de astronomia mais influente até o século XVI, sendo, segundo Katz
(2009), copiado e comentado inúmeras vezes e somente superado por novas ideias, observações
e estudos a partir do século XV, através dos trabalhos de Nicolau Copérnico (1473-1543), Tycho
Brahe (1546-1601), Johannes Kepler (1571-1630) e Galileu Galilei (1564–1642). Seu grande mérito
foi o de dar impulso à noção de que se pode criar um modelo matemático para estabelecer uma
descrição quantitativa de fenômenos naturais.
Uma análise para os capítulos 10 e 11
Ptolomeu construiu sua Tabela de Cordas por meio de um método que usou o menor
número possível de proposições baseadas na geometria plana. Vamos, com linguagem atual,
reconstruir tal tabela mostrando os principais passos e proposições.
Antes de tudo, será necessário apresentar um conceito importante para o entendimento
da trigonometria de Ptolomeu, a saber, o conceito da relação da corda ∅ com o
∅. De acordo
com as traduções do Almagesto, numa circunferência dada, ele relacionava cada arco ao
comprimento de sua respectiva corda, que denominaremos
∅, dividindo a circunferência em
360 partes e seu diâmetro em 120 partes. A escolha se justifica pela facilidade dos cálculos
quando é usada a base sexagesimal.
∅
=
2
=
2
2
=
∅ = 120.
=
â
∅
120
∅
2
Para determinar as cordas de 36º e 72º, Ptolomeu construiu
uma circunferência de centro O e por ele baixou a perpendicular OC
ao diâmetro AB. Por D, ponto médio de OB, traçou o arco CE
determinando DE, igual a DC. Ptolomeu afirmou, a seguir, que EO é o
lado de um decágono regular e EC o lado de um pentágono regular.
3
3.1 A determinação das Cordas de 36º e 72º.
Utilizando Euclides II 6: BE.EO + OD² = DE² (1) e DC = DE, por construção.
Por Pitágoras, tomando o triãngulo DOC, temos: DE² = DC² = DO² + OC² (2). Igualando (1) e
(2), obtemos: BE.EO + DO² = DO² + OC²  BE.EO = OC².
Logo, OC² = OB² (raio da circunferência). Portanto, BE.EO = OC² = OB², em que BE é
dividido na média e extrema razão:
=
⇔
=
Então OB e EO são meio e extremo de BE (ou O divide BE em extremo e meio). Em
seguida, por Euclides III 9: o lado do hexágono e o lado do decágono, quando inscritos em um
mesmo círculo são extremo e meio de um segmento. Como o raio OB representa o lado do
hexágono, então EO representa o lado do decágono. Logo, por Euclides III 10, EC é o lado do
pentágono. Portanto, CO² + OE² = EC² ou (crd 72)² = (crd 36)² + (crd 60)².
Como o diâmetro foi dividido em 120 partes, é possível encontrar os valores do lado do
decágono e do lado do pentágono: OE = 30eOE² = 900eOC = 60eOC² = 3600.
DE² = DC² = 4500 
≈ 67; 4, 55
Portanto, o lado do decágono ou a crd 36 = EO = DE – DO ≈ 37; 4,55 ou ainda crd36 ≈
37,0820 em base decimal. E conhecendo o lado do decágono podemos calcular o lado do
pentágono: EC² = 3600 e EC² = 1375; 4,15
EO² + OC² = EC²EC² = 4975; 4,15 ∴ EC ≈ 70; 32,3
Como o lado do pentágono subtende a corda de 72°, temos que
72 ≈ 70; 32,3 ou
72 ≈ 70,5342 em base decimal.
Similarmente, Ptolomeu também calculava o valor das cordas dos ângulos de 90° e 120°
usando um quadrado e um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência. Uma vez que a
área do quadrado inscrito é igual a 7200, pois é duas vezes o quadrado do raio da circunferência e
este valendo 3600. Analogamente, sendo o quadrado do triângulo inscrito igual a três vezes o
quadrado do raio, seu valor é de 10800. Temos então que:
crd90 ≈ 84; 54,10ou84,8528embasedecimal
crd120 ≈ 103; 55,23ou103,9230embasedecimal
Usando a relação entre a corda e o seno deduzida anteriormente podemos concluir que
as cordas encontradas são equivalentes ao seno de sua metade: crd72 = 120. sen36°,
crd36 = 120. sen18°, crd90 = 120. sen45°, ecrd120 = 120. sen60°.
4
A corda do suplemento
Em decorrência dos resultados anteriores, ele observou que o ângulo inscrito que
subtende o diâmetro é reto, e assim aplicou o teorema de Pitágoras para calcular os
comprimentos das cordas de arcos suplementares, como o de 144°. Ele podia, portanto, calcular a
corda do suplemento para qualquer arco cuja corda fosse conhecida. Assim, crd 72, calcular a crd
108, da crd 36, crd144, e assim por diante. Por exemplo:
(
36) + {
(180 − 36)} = (
90)
(144) = (84; 51,10) − (37; 4,55)
144 = 114; 7,37
O teorema de Ptolomeu
“Dado qualquer quadrilátero inscrito em uma circunferência, o produto das diagonais é
igual à soma dos produtos dos lados opostos.” (KATZ, 2009, p. 147, tradução nossa).
Ptolomeu provou que: AC.BD = AB.DC + AD.BC. Após construir
o quadrilátero ABCD, determinou o ponto E, pertencente a AC, de
forma que ∠
~∠
. Nessas condições, os triângulos ABE e DBC
são semelhantes, pois ∠
~
(por construção) e ∠
~∠
(subentendem o mesmo arco).
Então:
=
 AB.DC = AE.BD (1)
Além disso, os triângulos ABD e EBC são semelhantes, pois: ∠
construção) e ∠
Então:
~∠
=
~∠
(por
(subentendem o mesmo arco).
 AD.BC = CE.BD (2)
Somando-se (1) e (2), obtemos: AB.DC+AD.BC = AE.BD + CE.BD. Ou
AB.DC + AD.BC = BD(AE+CE), mas AC = AE+CE. Portanto: AB.DC+AD.BC = BD.AC.
A partir desse resultado, Ptolomeu determinou três cordas, como veremos a seguir.
5
Corda da diferença entre dois arcos
A partir de um semicírculo construído sobre o diâmetro
AD, traçou, por A, duas cordas AB, AC, de comprimentos dados,
sendo AC (crd α) maior que AB (crd β). Unindo BD e CD, obteve as
cordas de arcos suplementares (para os arcos das cordas dadas AB
Unindo
e AC). BC, obteve o quadrilátero ABCD. Pelo teorema acima temos:
AC.BD = AD. BC + AB. CD, mas AC.BD e AB.CD são conhecidos. Portanto:
AD.BC = AC.BD - AB. CD, ou crd 180 .{crd (α-β)} = crd α. crd (180-β)- crd β. crd (180-α).
Em linguagem moderna:
120. sen
Tomando
=
−
2
. 120 = 120. sen . 120. sen
2
180° −
2
− 120. sen . 120. sen
2
180° −
2
sen( − ) = sen . sen 90° −
− sen . sen 90° −
2 2
2
2
2
2
e = , segue: sen( − ) = sen . sen(90° − ) − sen . sen(90° − )
Como cos
= sen(90° − ) e cos = sen(90° − ), o resultado acima torna-se:
sen( − ) = sen . cos − sen . cos .
Segundo Ptolomeu, podemos calcular outras cordas a partir desse resultado como:
crd 12 = crd (72 - 60) = 12;32,36.
Corda do arco metade
A fim de obter as cordas de ângulos ainda menores,
Ptolomeu considerou o problema de encontrar a corda do arco
que é a metade de uma corda dada. Ele construiu um semicírculo
de diâmetro AC, e traçou a corda BC, dada. Sobre o arco BC
determinou o ponto D, em que BD = DC. Traçou o segmento DF
perpendicular a AC, uniu AB, AD, BD, DC e, traçando o arco BE a
partir de A, determinou E tal que AE = AB.
Então, por construção, os triângulos ABD e AED são congruentes, por LAL, e o triângulo
DEC é isósceles, de altura DF. Daí, EF = FC ou FC =
. Por semelhança, temos:
=
 DC²
= AC.FC.
Logo, (crd DC)² = AC. (
) = (
180). {(
180) −
(180 −
)}.
6
Se crd DC = crd
e crd BC = crd (2 ), temos:
(crd )² = (
180). {(
180) −
(180 − crd(2 ))}.
Em linguagem moderna, temos:
(120. sen )² = 120. (120 − 120. cos ) ou (sen )² = (1 − cos )
Por sucessivas aplicações da fórmula, Ptolomeu obteve a crd 6, crd 3 e, finalmente, crd
1½ = 1;34,15 e crd ¾ =0; 47,8. Mas ele queria construir uma tabela cujas medidas tivessem um
intervalo de meio e, então, seriam necessárias mais duas proposições para obter a fórmula da
adição de arcos e o valor da crd 1.
Corda da soma
Para encontrar a fórmula de adição, construiu uma circunferência considerando os arcos
AB, BC e suas respectivas cordas AB (crd α) e BC (crd β). O arco AB, por construção, é igual ao arco
DE e, portanto, a corda AB é igual à corda DE. As cordas CE e BD são as cordas de arcos
suplementares para as cordas AB e BC, e AC é a corda do arco soma.
Aplicando-se o teorema de Ptolomeu ao quadrilátero BCDE,
temos que: BD.CE = BC.DE + BE.CD, mas BD.CE, BC.DE são conhecidos
e BE é o diâmetro. Assim, CD é a corda do arco da soma, e, desse
modo:
crd (180-α). crd (180-β) = {crd (180 -(α+β))}.crd 180+(crd β). (crd α).
(crd (180 -(α+β))).crd 180= crd (180-α). crd (180-β) - (crd β). (crd α).
Em linguagem moderna,:
°
(120.sen
sen(90° −
Se
=
e
Como cos
°
). 120. sen
(
= 120. sen
)
) = sen 90° −
° (
)
. 120 + 120. sen . 120. sen
.sen(90° − ) − sen . sen
= , segue: sen(90° −( + )) = sen(90° − ).sen(90° − ) − sen
= sen(90° − ), cos
. sen .
= sen(90° − ), e cos( + ∅) = sen(90° −( + )), o
resultado acima torna-se:
cos ( + ∅) = cos cos ∅ − sen sen ∅
E, então, Ptolomeu estava apto a calcular os comprimentos das cordas para ângulos entre
0° e 180° com incremento de 1 °, como, por exemplo,
21 =
(18 + 3) = 21; 52,6
7
22 =
21 + 1
= 23; 24,40, e assim por diante.
Lema sobre as razões dos arcos e das cordas
Para completar sua tabela de cordas, além da utilização da soma e da diferença, restou a
Ptolomeu determinar as cordas entre os intervalos de 1 . Mas, segundo ele, dada a corda de um
arco, digamos, de (1 °), a corda de um terço deste arco não podia ser encontrada por métodos
geométricos. Deste modo, obteve a corda de 1 a partir de (1 ) e ( ).
Segue abaixo o lema por ele utilizado, baseado em um método de interpolação de
Aristarco de Samos (310–230 a.E.C.). Apesar de não permitir, em geral, calcular tamanho de
cordas, no caso de pequenas cordas, determina seu comprimento com um erro muito pequeno.
“Afirmo que se duas cordas desiguais são dadas, então a razão entre a maior e a menor é
menor que a razão entre o maior arco e o arco menor,” (FOSSA, 2009, p. 146) ou:
<
.
Tomando duas cordas AB, BC tal que AB = β e BC = α, por hipótese temos que α > β. Ao
traçarmos a bissetriz do ângulo B, que intercepta AC em E e o círculo em D, temos que AD = DC,
pelo ângulo central.
=
Aplicando Euclides VI 3 ao triângulo ABC temos que:
. Como AB < BC, por
hipótese, temos que AE < EC. Traçando por D uma perpendicular sobre AC, com AD = DC.
Logo, F é ponto médio de AC. Observe então que AD > ED > FD. Ao
traçarmos um círculo de raio ED, este interceptará AD em G, e sendo H o
prolongamento de DF até o circulo. Para os setores GDE e EDH, temos
que:
á
∆
á
∆
Assim:
<
á
á
∆
Á
â
Á
â
<
<
á
á
Á
Á
.
(1)
8
Como os triângulos EFD e AED são semelhantes e as áreas dos setores de um círculo têm a
<
mesma razão que os ângulos centrais correspondentes, a desigualdade (1) fica
(
Somando-se 1 a ambos os lados, vem que:
)
<
(∠
∠
∠
<
E como EF + EA = AC e ∠EDH + ∠EDG = ∠ADC, obtemos:
∠
∠
.
)
.
∠
(2).
∠
Usando o fato de que um ângulo em um círculo é metade do arco que ele subentende,
Tomando α = (1 ) e β = 1, temos:
<
podemos reescrever (2) da seguinte forma:
∝
<
.
< (1 ) = .
Logo: crd 1 > crd(1 ) = .1;34,15 = 1;2,50.
E pelo teorema do arco metade temos: crd = 0;31, 25.
A tabela de cordas
Após encontrar o valor de crd 1 e crd ½, Ptolomeu construiu uma tabela com todas as
cordas de ½ em ½ parte de circunferência (equivalente ao ângulo) de 0 a 180. Se convertermos
em seno, é equivalente a uma tabela de ½° em ½° de 0° até 90°.
Em sua tabela, existe uma coluna com 1/30 da diferença entre o valor da corda e de sua
anterior, isto é, a corda do arco 30’ menor que a corda em questão. Assim, se quisermos achar
uma corda 25’ maior que a crd 2½ , basta somarmos 25 vezes o valor encontrado nesta coluna, ou
subtrair 5 vezes o valor da coluna da crd 3.
É importante mencionar alguns valores encontrados na tabela. Sendo
comprimento da circunferência fica como
podemos calcular o valor de
igual a
=
=
1 = 1; 2,50, o
360 = 360(1; 2,50), e sendo o diâmetro 120,
ʹ
ʹ
= 3(1; 2, 50). Escrito em base decimal é
= 3,14166 …
Sendo √3 = 2.
60° e
120 = 2(103; 55,23), usando a relação entre seno e corda,
temos um valor correto até seis casas decimais: √3 =
(103; 55,23) = 1,7320509.
De modo geral, as cordas obtidas na tabela de Ptolomeu estão corretas até cinco casas
decimais.
9
Resultados da pesquisa
Esse texto apresentou os resultados obtidos em nossa leitura sobre os capítulos 10 –
Cálculo da tabela de cordas e 11 – Tabela de cordas, do Livro I do Almagesto de Ptolomeu. Nosso
estudo procurou compreender o conteúdo contido nestes capítulos, comparar seus resultados
com a trigonometria plana atual, e constatar a importância desta obra no desenvolvimento da
matemática.
Ptolomeu estruturou esses capítulos de forma que apresentassem as proposições
necessárias, baseadas principalmente em Euclides, para a construção de uma tabela de cordas
que seria usada para cálculos de posições planetárias. Isto é, utilizando geometria plana, obteve
sua tabela trigonométrica. No capítulo 10, mostrou como calcular as cordas de 36 e 72, e a corda
do suplemento a partir desses resultados, provou o teorema que leva seu nome para que pudesse
calcular a corda da diferença, a corda do arco metade, e a corda da soma e, enunciou o lema
sobre as razões entre arcos e cordas para determinar a corda de 1°. Com isso, construiu a Tabela
de Cordas no capítulo 11.
Como dito anteriormente, o Almagesto teve o mérito de dar impulso à noção de que se
pode criar um modelo matemático, para estabelecer uma descrição quantitativa de fenômenos
naturais. Podemos concluir que muitas das relações que Ptolomeu estabeleceu são usadas na
atualidade, como a relação entre uma corda e o arco que a compreende. A estrutura do
desenvolvimento matemático dessa obra muito se assemelha à estrutura formal dos livros atuais
para o ensino superior de matemática.
A evolução dos conceitos e ideias da astronomia, embora, tenham tornado a obra
ultrapassada em sua aplicação, não a tornou em seu modelo matemático, que foi usado por
estudiosos como Copérnico, Kepler, Galileu, entre outros, mostrando o valor significativo da
trigonometria desenvolvida na Grécia até o século II.
Referências
AABOE, A. Episódios da história antiga da matemática. Tradução João Bosco Pitombeira. 3. ed. Rio
de Janeiro: SBM, 2013.
FOSSA, J. A. et al. Matemática e medida: três momentos históricos. 1. ed. São Paulo: Editora
Livraria da Física/SBHMat, 2009.
10
HEATH, T. L. A history of Greek mathematics 2 ed. New York: Dover Publications, Inc, 1981. v.2
HEATH, T. L. Euclid: The thirteen books of the elements. 2. ed. New York: Dover
Publications, Inc, 1956. 3 v.
KATZ, V. J. A history of mathematics an introduction. 3. ed. Boston: Pearson Education, 2009.
NEUGEBAUER, O. Studies in the history of mathematics and physical sciences: A history of ancient
mathematical astronomy. 1. ed. New York: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 1975. v.1.
PTOLEMY, C. Ptolemy’s Almagest. Tradução: Gerald J. Toomer. 1. ed. London: Gerald Duckworth &
Co. Ltd., 1984.
RONAN, C. A. História ilustrada da ciência. Tradução: Jorge Enéias Fortes. São Paulo: Círculo do
Livro SA, 1983. 4 v.
11