FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICA
José Fernando Fragalli
Departamento de Física – Udesc/Joinville
EXERCÍCIOS
DE
APLICAÇÃO
“Near the end of this decade, when they begin
enumerating the names of the people who had the
greatest impact on the 20th century, the name of John
Bardeen, who died last week, has to be near, or
perhaps even arguably at, the top of the list... Mr. [sic]
Bardeen shared two Nobel Prizes and won numerous
other honors. But what greater honor can there be
when each of us can look all around us and
everywhere see the reminders of a man whose genius
has made our lives longer, healthier and better.” –
Editorial do Chicago Tribune em 03/02/1991.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Introdução
2. Conceitos de Relatividade
3. Radiação de Corpo Negro
4. Propriedades Corpusculares da Radiação
5. Propriedades Ondulatórias da Matéria
6. Conceitos de Mecânica Quântica
7. Modelos Atômicos
8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas
9. Introdução à Física do Estado Sólido
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Introdução
2. Conceitos de Relatividade
3. Radiação de Corpo Negro
4. Propriedades Corpusculares da Radiação
5. Propriedades Ondulatórias da Matéria
6. Conceitos de Mecânica Quântica
7. Modelos Atômicos
8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas
9. Introdução à Física do Estado Sólido
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
1. Uma barra de 1,00 m é projetada ao espaço com
velocidade tão grande que seu comprimento aos olhos de um
observador na Terra parece contraído para apenas 0,500 m.
Determine a velocidade de percurso desta barra.
Trata-se de analisar o comportamento cinemático da
barra que se move com uma velocidade elevada.
Para todos os efeitos, um observador solidário à
barra está em repouso em relação à ela.
Por sua vez, um observador na Terra desloca-se com
a velocidade que queremos determinar em relação à barra
lançada ao espaço.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
Para resolver este problema, usamos a fórmula que
relaciona os comprimentos medidos em dois referenciais que
estão a velocidades diferentes.
Como visto em sala de aula, a relação entre os
comprimentos medidos por um referencial S’ que se move
com velocidade V em relação a um referencial S em repouso
é
∆LS
V
∆LS ' = ∆LS ⋅ 1 − 2 =
c
γ
2
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
É importante ter clareza aqui que neste problema S’ é
o observador na Terra e S o observado solidário à barra.
Assim, temos que
∆LS ' = 0,500
m ∆LS = 1,00
m
Assim, temos que
V 2 1,00
0,500 = 1,00 ⋅ 1 − 2 =
⇒
c
γ
γ = 2,00
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LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
Com o valor de γ determinado, é possível calcular a
velocidade com que se move a barra.
Assim, temos que
γ=
1
2
V
1− 2
c
= 2,00
⇒
V2
1 − 2 = 0,250 ⇒
c
Assim, temos que
V = 0,867 ⋅ c
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
V2
= 0,750
2
c
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
2. Um foguete possui na Terra um comprimento de 100 m.
Quando está voando o seu comprimento é de 99,0 m para um
observador situado na Terra. Determine o valor de sua velocidade.
Trata-se, como no problema anterior, de analisar o
comportamento cinemático do avião que se move com uma
velocidade elevada.
Para todos os efeitos, um observador solidário ao
avião está em repouso em relação à ele.
Por sua vez, um observador na Terra desloca-se com
a velocidade que queremos determinar em relação ao avião.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
Para resolver este problema, usamos a fórmula que
relaciona os comprimentos medidos em dois referenciais que
estão a velocidades diferentes.
Como visto em sala de aula, a relação entre os
comprimentos medidos por um referencial S’ que se move
com velocidade V em relação a um referencial S em repouso
é
∆LS
V
∆LS ' = ∆LS ⋅ 1 − 2 =
c
γ
2
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
É importante ter clareza aqui que neste problema S’ é
o observador na Terra e S o observado solidário ao avião.
Assim, temos que
∆LS ' = 99,0
m ∆LS = 100
m
Assim, temos que
V 2 100
99,0 = 100 ⋅ 1 − 2 =
c
γ
⇒
γ = 1,01
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LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
Com o valor de γ determinado, é possível calcular a
velocidade com que se move a barra.
Assim, temos que
γ=
1
V2
1− 2
c
= 1,01
⇒
2
V2
V
1 − 2 = 0,980 ⇒
= 0,0199
2
c
c
Assim, temos que
V = 0,141 ⋅ c
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LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
3. Um foguete deixa a Terra com uma velocidade de 0,980⋅c.
Um observador situado na Terra mede o tempo que o ponteiro
dos minutos de um relógio da nave leva para efetuar uma
revolução completa. Determine o valor deste tempo.
Trata-se, como no problema anterior, de analisar o
comportamento cinemático do avião que se move com uma
velocidade elevada.
Para todos os efeitos, um observador solidário ao
foguete está em repouso em relação à ele.
Por sua vez, um observador na Terra desloca-se com
a velocidade de 0,980⋅c.
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LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
Neste caso, queremos determinar o tempo medido
por um observador na Terra após o observador no foguete
ter observado que o relógio marcou a passagem de 1 hora
(uma revolução completa no ponteiro dos minutos).
Como visto em sala de aula, a relação entre os
tempos medidos por um referencial S’ que se move com
velocidade V em relação a um referencial S em repouso é
∆t S ' = γ ⋅ ∆t S =
1
2
V
1− 2
c
⋅ ∆t S
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LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
É importante ter clareza aqui que neste problema S’ é
o observador na Terra e S o observado solidário ao avião.
Assim, temos que
∆t S = 1,00
V = 0,980 ⋅ c
hora
Assim, temos que
γ=
1
V 
1−  
c
2
=
1
 0,980 ⋅ c 
1− 

c


2
⇒
γ = 5,03
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
Com o valor de γ determinado, é possível calcular o
tempo que o observador em S’ (na Terra) mede no relógio do
foguete.
Assim, temos que
∆t S ' = γ ⋅ ∆t S = 5,03 ⋅1,00
∆t S ' = 5,03
⇓
horas
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LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
4. Um avião faz a volta em torno da Terra com uma
velocidade de 300 m/s. Determine o número de anos antes que
um relógio no avião e outro na Terra difiram de 1,00 s.
Neste caso trata-se de analisar o comportamento
cinemático de um relógio dentro de um avião viajando a 300
m/s com outro na Terra.
Fazemos a suposição que antes do avião decolar o
relógio na Terra e aquele no avião foram sincronizados.
Também neste caso um observador solidário ao avião
está em repouso em relação a ele.
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LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
Também aqui um observador na Terra desloca-se com
a velocidade de 300 m/s em relação ao avião.
Para resolver este problema, usamos a fórmula que
relaciona os tempos medidos em dois referenciais que estão
a velocidades diferentes.
Como visto em sala de aula, a relação entre os
tempos medidos por um referencial S’ que se move com
velocidade V em relação a um referencial S em repouso é
∆t S ' = γ ⋅ ∆t S =
1
V2
1− 2
c
⋅ ∆t S
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LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
Como o relógio na Terra viaja a 300 m/s em relação ao
relógio no avião, então o tempo se dilatará para o observador
na Terra, tal que
∆tT =
1
 300 
1− 
8 
 3,00 ×10 
2
⋅ ∆t A
⇒
∆tT ≈ ∆t A
∆tT ≠ ∆t A
Em 1 ANO (1 ANO = 3,11×106 s), os dois relógios vão
diferir de
Assim, para que a diferença entre eles seja de 1,00 s,
o número de anos deve ser igual a
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LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
5. Um homem deixa a Terra em um foguete que faz uma
viagem de ida e volta à estrela mais próxima distante 4,00
anos⋅luz com uma velocidade de 0,900⋅c. No seu retorno
determine o tempo que ele é mais jovem do que seu irmão
gêmeo que permaneceu na Terra.
Neste caso trata-se de analisar o comportamento
cinemático do irmão gêmeo que viaja ao espaço com
velocidade 0,900⋅c comparando sua idade com a do irmão
gêmeo que fica na Terra.
Fazemos a suposição que antes do foguete decolar
os dois irmãos gêmeos tenham a mesma idade.
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LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
Neste caso o irmão gêmeo solidário ao foguete está
em repouso em relação a ele.
Por outro lado, o irmão gêmeo que ficou na Terra
desloca-se com a velocidade de 0,900⋅c em relação ao seu
irmão que viaja no foguete.
Para resolver este problema, usamos a fórmula que
relaciona os tempos medidos em dois referenciais que estão
a velocidades diferentes.
Como visto em sala de aula, a relação entre os
tempos medidos por um referencial S’ que se move com
velocidade V em relação a um referencial S em repouso é
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
∆t S ' = γ ⋅ ∆t S =
1
2
V
1− 2
c
⋅ ∆t S
Como o irmão gêmeo que fica na Terra viaja a 0,900⋅c
em relação ao irmão que está no foguete, então o tempo se
dilatará para o irmão gêmeo na Terra, tal que
∆tGT =
1
 0,900 ⋅ c 
1− 

c


2
⋅ ∆tGF
⇒
∆tGT = 2,29 ⋅ ∆tGF
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LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
Precisamos calcular agora quanto tempo durou a
viagem do irmão gêmeo que está no foguete.
Como a estrela para a qual o irmão gêmeo do foguete
se destinou está a 4,00 anos⋅luz da Terra e como ele se desloca
a 0,900c, então o tempo de viagem deste gêmeo (ida e volta
até a estrela) é
∆tGF
4,00
= 2⋅
0,900 ⋅ c
anos ⋅ c
⇒
∆tGF = 8,89
anos
Por sua vez, para o gêmeo que ficou na Terra, o
tempo que seu irmão demorou para ir e vir da estrela a 4,00
anos⋅luz é dado por
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LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
∆tGT = 2,29 ⋅ ∆tGF ⇒ ∆tGT = 20,4
anos
Assim, o diferença entre estes dois tempos é o
quanto o irmão gêmeo que ficou no foguete é mais jovem do
que aquele que ficou na Terra.
∆t = 20,4 − 8,89
⇒
∆t = 11,5
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
anos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
6. Certa partícula possui vida média igual a 1,00×10-7 s
quando medida em repouso. Determine o valor desta vida média
caso a sua velocidade no instante de sua criação for igual a
0,990⋅c.
Neste caso trata-se de analisar o comportamento
cinemático dos “dois relógios” naturais, um no referencial da
partícula em repouso e outro no referencial da partícula em
movimento com velocidade V = 0,990⋅c.
Tanto o tempo medido em repouso quanto aquele
medido em movimento dizem respeito à medidas feitas no
referencial do laboratório.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
Como visto em sala de aula, a relação entre os
tempos medidos por um referencial S’ que se move com
velocidade V em relação a um referencial S em repouso é
∆t S ' = γ ⋅ ∆t S =
1
V2
1− 2
c
⋅ ∆t S
O tempo de vida médio obtido com a partícula em
repouso corresponde ao tempo medido no referencial S’, já
que este referencial está solidário à partícula.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
É importante ter clareza aqui que neste problema S’ é
o observador no laboratório e S o observado solidário à
partícula.
Assim, temos que
∆t S = 1,00 ×10
s V = 0,990 ⋅ c
−7
Assim, temos que
γ=
1
V 
1−  
c
2
=
1
 0,990 ⋅ c 
1− 

c


2
⇒
γ = 7,09
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE
Exercícios da Lista 1
Com o valor de γ determinado, é possível calcular o
tempo que o observador em S’ (na Terra) mede no relógio do
foguete.
Assim, temos que
∆t S ' = γ ⋅ ∆t S = 7,09 ⋅1,00 ×10 −7
∆t S ' = 7,09 ×10
⇓
−7
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s
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Introdução
2. Conceitos de Relatividade
3. Radiação de Corpo Negro
4. Propriedades Corpusculares da Radiação
5. Propriedades Ondulatórias da Matéria
6. Conceitos de Mecânica Quântica
7. Modelos Atômicos
8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas
9. Introdução à Física do Estado Sólido
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LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Exercícios da Lista 2
1. Em que comprimento de onda um irradiador de cavidade
a 6000 K irradia mais energia por comprimento de onda?
Justifique a sua resposta.
Um irradiador de cavidade é uma outra forma de se
referir a um corpo negro.
Por outro lado, a energia por comprimento de onda é
proporcional à radiância espectral Rλ.
Desta forma o problema nada mais pede do que o
comprimento de onda na qual a radiância espectral emitida
por um corpo negro é máxima.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Exercícios da Lista 2
Abaixo mostramos espectros de Rλ(λ) = Iλ(λ) de um
corpo negro para várias temperaturas.
λMAX ⋅ T = b
b = 2,89 ×10
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
−3
m⋅K
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Exercícios da Lista 2
Para determinar este comprimento de onda onde a
radiação emitida seja máxima usamos a Lei de Deslocamento
de Wien.
λMAX ⋅ T = b
b = 2,89 ×10
−3
m⋅K
No problema em questão temos que T = 6000 K, o que
nos conduz ao seguinte resultado para o comprimento de
onda onde a radiação emitida pelo irradiador é máxima
λMAX = 481
nm
azul
455
nm ≤ λazul ≤ 492
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
nm
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Exercícios da Lista 2
3. Um irradiador de cavidade a 6000 K tem um orifício de
0,10 mm de diâmetro feito em sua parede. Determine a potência
irradiada através do orifício
a) no intervalo de comprimentos de onda entre 550 e 552
nm.
Queremos determinar a potência irradiada por um
orifício, que neste caso representa o corpo negro.
A radiância é definida como sendo a energia irradiada
por unidade de área, por unidade de tempo.
Assim, a radiância nada mais é do que a potência
irradiada por unidade de área.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Exercícios da Lista 2
Assim, como a área do orifício é A = π⋅D2/4, onde D é o
seu diâmetro, temos que
R ⋅π ⋅ D2
P = R⋅ A =
4
Por sua vez, a radiância é determinada através da
integração da radiância espectral no intervalo de
comprimentos de onda solicitado, isto é
λ2
R = ∫ Rλ (λ ) ⋅ dλ
λ1
Vamos usar nesta equação a fórmula de Rλ(λ) obtida
por Planck para a radiação de corpo negro.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Exercícios da Lista 2
Desta forma, usamos
Rλ (λ ) =
2 ⋅π ⋅ h ⋅ c2
λ5
⋅
1
  h⋅c  
 − 1
exp
  λ ⋅ kB ⋅T  
Substituímos então a fórmula de Planck e calculamos
a radiância no intervalo de comprimentos de onda solicitado.
λ2
2 ⋅π ⋅ h ⋅ c2
λ1
λ
R=∫
5
⋅
1
  h⋅c  
 − 1
exp
  λ ⋅ kB ⋅T  
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
⋅ dλ
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Exercícios da Lista 2
Aqui nós observamos que o intervalo de
comprimentos de onda solicitado é de apenas 2 nm (de 550 a
552 nm)
Para intervalos de comprimentos de onda
suficientemente pequenos (como é o caso neste problema),
podemos aproximar o resultado da integral por
λ2
2 ⋅π ⋅ h ⋅ c2
λ1
λ
R=∫
5
⋅
1
  h⋅c  
 − 1
exp
  λ ⋅ kB ⋅T  
()
⋅ dλ = Rλ λ ⋅ ∆λ
Nesta equação λ = 551 nm é a média do intervalo de
comprimentos de onda considerado e ∆λ = 2 nm.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Exercícios da Lista 2
Assim, obtemos então o seguinte resultado para a
potência irradiada pelo orifício
P=
2 ⋅π ⋅ h ⋅ c2
λ
5
⋅
1
  h⋅c  
 − 1
exp

  λ ⋅ k B ⋅ T  
⋅
π ⋅ D2
4
⋅ ∆λ
Usamos h = 6,63×10-34 J⋅s, c = 3,00×108 m/s, λ = 551
nm, kB = 1,38×10-23 J/K, T = 6000 K, D = 0,10 mm, ∆λ = 2 nm, e
obtemos
P = 1,50
mW
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Exercícios da Lista 2
3. Um irradiador de cavidade a 6000 K tem um orifício de
0,10 mm de diâmetro feito em sua parede. Determine a potência
irradiada através do orifício
b) no intervalo de comprimentos de onda entre 200 e 800
nm.
Neste caso, não podemos simplificar o cálculo da
integral.
Para tanto devemos resolver a integral nos limites
solicitados pelo problema.
λ2
2 ⋅π ⋅ h ⋅ c2
λ1
λ
R=∫
5
⋅
1
  h⋅c  
 − 1
exp
⋅
k
⋅
T
λ
B
 
 
⋅ dλ
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Exercícios da Lista 2
Esta integral não tem solução analítica e para o seu
cálculo devemos fazê-lo através de métodos numéricos.
Assim, nos limites entre 200 nm e 800 nm, obtemos
P=
π ⋅ D2
4
⋅ 2 ⋅π ⋅ h ⋅ c ⋅ ∫
2
800 nm
200 nm
1
1
λ 
5
 h⋅c  
 − 1
exp
  λ ⋅ kB ⋅T  
⋅ dλ =
Para resolver esta integral, fazemos a seguinte
mudança de variável
h⋅c
x(λ ) =
λ ⋅ kB ⋅T
h⋅c
λ (x ) =
x ⋅ kB ⋅T
h⋅c 1
dλ = −
⋅ 2 ⋅ dx
kB ⋅T x
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Exercícios da Lista 2
Substituímos a expressão para λ e dλ na integral e
obtemos a seguinte expressão para a potência
P=
π ⋅ D ⋅ k ⋅T
2
2
4
B
2 ⋅ h3 ⋅ c 2
4
3
x
⋅∫
⋅ dx
x
3, 00 e − 1
12 , 0
Para determinar os limites de integração, usamos
h⋅c
x(λ ) =
λ ⋅ kB ⋅T
xmin
h⋅c
=
λmai ⋅ k B ⋅ T
λmen = 200
xmax
nm
h⋅c
=
λmen ⋅ k B ⋅ T
λmai = 800
xmin = 3,00
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
nm
xmax = 12,0
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Exercícios da Lista 2
Calculamos a integral numericamente e obtemos
12 , 0
x
⋅ dx = a
x
e −1
∫ [
3, 00
3
]
Usamos h = 6,63×10-34 J⋅s, c = 3,00×108 m/s, D = 0,10
mm, kB = 1,38×10-23 J/K, T = 6000 K e obtemos
P=
π 2 ⋅ D 2 ⋅ k B4 ⋅ T 4
2 ⋅ h3 ⋅ c 2
x3
⋅∫
⋅ dx
x
3, 00 e − 1
12 , 0
P = 8,84 × 10 −2 ⋅ a
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Exercícios da Lista 2
3. Admita que o Sol comporte-se como um corpo negro.
a) Supondo que a temperatura da superfície do Sol é 5700
K, use a Lei de Stefan-Boltzmann para determinar a massa de
repouso perdida por unidade de tempo pelo Sol na forma de
radiação eletromagnética. Para este cálculo, considere que o
diâmetro do Sol seja 1,40×109 m.
A Lei de Stefan-Boltzmann relaciona a intensidade da
radiação eletromagnética irradiada pelo corpo negro com a
temperatura.
R = σ ⋅T
4
σ = 5,67 ×10 −8
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
W / m2 ⋅ K 4
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Exercícios da Lista 2
Calculamos então a intensidade de radiação irradiada
pelo Sol, considerando que sua temperatura seja de 5700 K.
R = 5,99 ×10
7
W /m
Como já visto antes, podemos
calcular a potência irradiada pelo Sol
multiplicando a radiância pela área do Sol.
Em termos do seu diâmetro, a área
do Sol é dada por
Logo, temos que
r=
d
2
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
2
P = R⋅ A
2
A = 4 ⋅ π ⋅ rSOL
P = R ⋅π ⋅ d 2
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Exercícios da Lista 2
Como d = 1,40×109 m, temos que a potência irradiada é
igual a
P = 3,69 ×10 26
W
A hipótese é que a energia irradiada associada a esta
potência seja transformada em perda de massa do Sol.
E = m⋅c
2
∆E = ∆m ⋅ c
2
∆E ∆m 2
P=
=
⋅c
∆t
∆t
Igualamos esta potência relativística com a potência
irradiada pelo corpo negro e determinamos então a taxa de
perda de massa ∆m/∆t.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Exercícios da Lista 2
∆m 2
⋅ c = 9,22 × 10 25
∆t
Usamos c = 3,00×108 m/s, e
obtemos
∆m
9
= 4,08 ×10
∆t
kg / s
b) Que fração da massa de repouso do Sol é perdida cada
ano sob forma de radiação eletromagnética? Para este cálculo
considere a massa do Sol como sendo 2,00×1030 kg.
Com o valor da taxa de perda de massa calculada
acima, podemos determinar a massa do Sol perdida em um
ano.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Exercícios da Lista 2
Para isto, basta fazer ∆t = 1 ano = 3,15×107 s.
Assim, temos que em um ano a massa perdida é igual
a
∆m = 1,29 ×1017
kg
A fração de massa perdida pelo Sol em forma de
radiação é então f = ∆m/MSOL.
Considerando MSOL = 2,00×1030 kg temos que
f = 6,44 ×10
−14
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Introdução
2. Conceitos de Relatividade
3. Radiação de Corpo Negro
4. Propriedades Corpusculares da Radiação
5. Propriedades Ondulatórias da Matéria
6. Conceitos de Mecânica Quântica
7. Modelos Atômicos
8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas
9. Introdução à Física do Estado Sólido
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 3
1. A energia necessária para que um elétron seja removido
do sódio é 2,30 eV. O sódio apresenta Efeito Fotoelétrico para a
luz amarela com comprimento de onda λ = 589 nm?
Queremos saber se ao incidir luz de comprimento de
onda λ = 589 nm (amarela ⇒ 565 nm ≤ λamarela ≤ 590 nm) estes
fótons terão energia suficiente para retirar elétrons de uma
placa de sódio.
Para isto usamos o balanço de energia para o Efeito
Fotoelétrico e calculamos o valor do potencial de corte V0.
Se V0 > 0, então ocorre Efeito Fotoelétrico e se V0 < 0,
então tal efeito não se manifesta.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 3
Abaixo mostramos o gráfico de V0 em função da
frequência da luz ν que incide sobre um dado metal.
e ⋅ V0 = h ⋅ν − E0
ν=
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
c
λ
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 3
O balanço de energia imposto ao Efeito Fotoelétrico
conduz à seguinte relação entre o potencial de corte V0 e o
comprimento de onda da luz incidente λ
e ⋅ V0 =
h⋅c
λ
− E0
Nesta equação E0 é a chamada função trabalho, que
significa a menor energia que prende um elétron ao metal, ou
a menor energia necessária para liberar o elétron do metal.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 3
Deduzimos então que para o problema proposto
temos que E0 = 2,30 eV = 3,68×10-19 J.
Usamos e = 1,6×10-19 C, h = 6,63×10-34 J⋅s, c = 3,00×108
m/s e neste caso temos que λ = 589 nm.
Obtemos então o seguinte valor para V0
V0 = −0,19
V
V0 < 0
Desta forma concluímos que quando incidimos luz de
comprimento de onda 589 nm sobre uma placa de sódio,
NÃO ocorre Efeito Fotoelétrico.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 3
2. Luz de comprimento de onda 200 nm incide sobre uma
superfície de alumínio. Para o alumínio, são necessários 4,2 eV
para remover um elétron.
a) Qual a energia cinética do elétron mais rápido emitido?
Como vimos, elétrons fotoejetados com maior
velocidade (mais rápidos) são aqueles associados ao
potencial de corte V0.
K MAX = e ⋅ V0 = h ⋅ν − E0
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 3
Assim, para determinar a energia cinética do elétrons
mais rápido, precisamos conhecer o valor do potencial de
corte V0.
e ⋅ V0 = h ⋅ν − E0
ν=
c
λ
e ⋅ V0 =
h⋅c
λ
− E0
O problema informa que são necessários 4,2 eV para
retirar um elétron do alumínio.
Isto significa que a função trabalho do alumínio é
igual a este valor, ou seja, E0 = 4,20 eV = 6,73×10-19 J.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 3
Assim, usamos os valores das constantes do
problema e = 1,6×10-19 C, h = 6,63×10-34 J⋅s, c = 3,00×108 m/s e
neste caso temos que λ = 200 nm.
Obtemos então o seguinte valor para e⋅V0
e ⋅ V0 = K MAX = 3,23 ×10
K MAX = 2,02
−19
eV
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
J
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 3
2. Luz de comprimento de onda 200 nm incide sobre uma
superfície de alumínio. Para o alumínio, são necessários 4,20 eV
para remover um elétron.
b) Qual a energia cinética do elétron mais lento emitido?
Elétrons são fotoejetados com uma distribuição de
velocidades que vai desde a mais baixa (v = 0) até a mais
alta, calculada a partir da energia cinética máxima.
Desta forma, o elétron mais
lento (não) sai do alumínio com
velocidade nula, e portanto sua
energia cinética também é zero.
K MIN = 0
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 3
2. Luz de comprimento de onda 200 nm incide sobre uma
superfície de alumínio. Para o alumínio, são necessários 4,2 eV
para remover um elétron.
c) Qual o valor do potencial de corte?
Como vimos, existe uma relação direta entre a
energia cinética máxima dos elétrons fotoejetados e o
potencial de corte Vo.
Já determinamos o valor de
KMAX e obtemos o valor 3,23×10-19 J
ou 2,02 eV.
K MAX = e ⋅ V0
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 3
Assim, usamos os valores das constantes do
problema e = 1,6×10-19 C e determinamos facilmente o valor
de V0.
Obtemos então o seguinte valor para V0
e ⋅ V0 = K MAX = 3,23 × 10
V0 = 2,02
−19
V
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
J
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 3
2. Luz de comprimento de onda 200 nm incide sobre uma
superfície de alumínio. Para o alumínio, são necessários 4,2 eV
para remover um elétron.
d) Qual o comprimento de onda limite para o alumínio?
Para determinar o comprimento de onda de corte do
alumínio, usamos a equação do balanço de energia do efeito
fotoelétrico.
e ⋅ V0 =
h⋅c
λ
− E0
Para
o
caso
limite,
fazemos V0 = 0 e
obtemos então
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
h⋅c
λC =
E0
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 3
Assim, usamos os valores das constantes do
problema e = 1,6×10-19 C, h = 6,63×10-34 J⋅s, c = 3,00×108 m/s e
neste caso para o alumínio temos que E0 = 4,20 eV = 6,72×1019 J.
Obtemos então o seguinte valor para V0
λC = 294
nm
ultravioleta
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 3
3. O potencial de corte para elétrons emitidos por uma
superfície atingida por luz de comprimento de onda 491 nm é
0,71 V. Quando se muda o comprimento de onda da radiação
incidente encontra-se para este potencial um valor de 1,42 V.
Qual é o valor do comprimento de onda da luz?
Neste problema não conhecemos o metal sobre o
qual incidimos luz, mas por outro lado conhecemos tanto o
valor do potencial de corte V0 = 0,71 V, bem como o
comprimento de onda utilizado λ = 491 nm.
Usamos então o balanço de energia para o Efeito
Fotoelétrico para determinar o valor da função trabalho E0.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 3
Abaixo mostramos o gráfico de V0 em função da
frequência da luz ν que incide sobre um dado metal.
e ⋅ V0 = h ⋅ν − E0
e ⋅ V0 =
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
h⋅c
λ
ν=
c
λ
− E0
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 3
Usamos e = 1,6×10-19 C, h = 6,63×10-34 J⋅s, c = 3,00×108
m/s e neste caso temos que V0 = 0,71 V e λ = 491 nm.
Obtemos então o seguinte valor para E0
E0 = 2,91× 10
−19
J
E0 = 1,82
eV
Conhecido o valor da função trabalho E0, voltamos ao
balanço de energia e podemos calcular o valor do
comprimento de onda λ quando V0 = 1,42 V.
e ⋅ V0 =
h⋅c
λ
− E0
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 3
Usamos e = 1,6×10-19 C, h = 6,63×10-34 J⋅s, c = 3,00×108
m/s e neste caso temos que V0 = 1,42 V e E = 2,91×10-19 J =
1,82 eV.
Obtemos então o seguinte valor para λ
λ = 384
nm
ultravioleta
λUV ≤ 390
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
nm
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 3
13. Fótons com comprimento de onda 2,40×10-12 m incidem
sobre elétrons livres.
a) Determine o comprimento de onda de um fóton que é
espalhado de um ângulo de 30° em relação à direção de
incidência, e a energia cinética transmitida ao elétron.
Para resolver este problema começamos usando a
fórmula obtida por Compton para comprovar o efeito que
leva o seu nome.
∆λ = λC ⋅ (1− cos θ )
h
λC =
= 2,43 ×10 −12
m0 ⋅ c
λC ⇒ comprimento de onda de Compton
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
m
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 3
Na equação acima, θ é o ângulo entre a radiação
espalhada (de comprimento de onda λ’)e a radiação incidente
(de comprimento de onda λ), como mostra a figura abaixo, a
qual ilustra o Efeito Compton.
Para θ = 30°, temos então que
∆λ = 3,26 × 10
−13
m
Sabemos que ∆λ = λ’ – λ, logo,
temos que
λ ' = 2,76 ×10
−12
m
Raios-X
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 3
13. Fótons com comprimento de onda 2,40×10-12 m incidem
sobre elétrons livres.
b) Faça o mesmo para um ângulo de espalhamento de 150°.
Repetimos o mesmo procedimento usado na primeira
parte deste problema e encontramos
∆λ = 4,53 ×10
λ ' = 6,96 ×10
−12
−12
Raios-X
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
m
m
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Introdução
2. Conceitos de Relatividade
3. Radiação de Corpo Negro
4. Propriedades Corpusculares da Radiação
5. Propriedades Ondulatórias da Matéria
6. Conceitos de Mecânica Quântica
7. Modelos Atômicos
8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas
9. Introdução à Física do Estado Sólido
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 4
2. O comprimento de onda da emissão espectral amarela de
sódio é 589 nm. Com que energia cinética um elétron livre tem o
mesmo comprimento de onda de De Broglie?
O comprimento de onda de De Broglie é dado por
λDB
h
=
p
Nesta equação h = 6,63×10-34 J⋅s é a
constante de Planck e p é o momento linear
da partícula (neste caso, o elétron).
Neste caso, temos que λDB = 589 nm, e
com isto obtemos
p = 1,13 ×10
−27
kg ⋅ m / s
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 3
Desejamos determinar a energia cinética de um
elétron livre que tem o momento linear determinado acima.
Sabemos que para um elétron livre a sua energia
cinética é dada por
2
p
K=
2 ⋅ me
Consideramos me = 9,11×10-31 kg, e
com isto obtemos
K = 6,96 ×10
K = 4,35
−25
µeV
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
J
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 4
6. O espaçamento planar principal em um cristal de KCl é
0,314 nm. Compare o ângulo de reflexão de Bragg de primeira
ordem por esses planos, de elétrons livres com energia cinética de
40 keV com o de fótons de energia 40 keV.
Como vimos, a condição de reflexão de Bragg é dada
por
θ 
n ⋅ λ = d ⋅ cos 
2
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 4
Nesta equação n é a ordem de
reflexão, λ é o comprimento de onda do
objeto a ser refletido, d é o
espaçamento entre os planos do cristal
usado e θ é o ângulo de reflexão.
θ 
n ⋅ λ = d ⋅ cos 
2
Precisamos então determinar o comprimento de onda
tanto do feixe de fótons, quanto do feixe de elétrons, e a
partir disto, determinar o ângulo de reflexão para cada caso.
EF = h ⋅ν =
h⋅c
λF
Para os fótons a relação entre
energia e comprimentos de onda é
dada por
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 4
Para o cálculo de λF, usamos os valores das
constantes h = 6,63×10-34 J⋅s e c = 3,00×108 m/s, além de
neste caso termos que EF = 40,0 keV = 6,40×10-15 J, e
obtemos
λF = 3,11×10
−11
m
Substituímos este valor de na condição de reflexão de
Bragg com n = 1 e d = 0,314 nm e obtemos
 θF
cos
 2

 = 0,0990

θ F = 169
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
o
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 4
Para o cálculo de λe, usamos o fato que toda energia
do elétron é cinética, e assim podemos determinar o seu
momento linear através da equação
2
p
K=
2 ⋅ me
λDB
h
=
p
Usamos me = 9,11×10-31 kg e para a
energia cinética Ke = 40 keV = 6,40×10-15 J
obtemos
p = 1,08 ×10
−22
kg ⋅ m / s
Usamos então a fórmula de De
Broglie para determinar o comprimento
de onda do elétron.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 4
Usamos h = 6,63×10-34 J⋅s e obtemos então
λe = 6,14 ×10
−12
m
Substituímos este valor de na condição de reflexão de
Bragg com n = 1 e d = 0,314 nm e obtemos
 θe 
cos  = 0,196
2
θ e = 157
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
o
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 4
12. Determine a incerteza na medida da velocidade de uma
partícula quando a incerteza na medida de sua posição é
aproximadamente igual ao seu comprimento de onda de De
Broglie.
Usamos aqui o Princípio da Incerteza de Heisenberg
no limite de sua igualdade, isto é
∆p ⋅ ∆x = h
O texto do problema afirma que
∆x = λDB
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
h
=
p
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 4
Desta forma, temos que
h
h
∆p ⋅ = h =
p
2 ⋅π
p = m⋅v
∆p
1
=
p 2 ⋅π
∆p = m ⋅ ∆v
Sabemos também
que a relação entre o
momento linear de uma
partícula de massa m e
sua velocidade é dada por
Assim, temos que
∆p m ⋅ ∆v
=
p
m⋅v
1
∆v
=
v 2 ⋅π
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
v
∆v =
2 ⋅π
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 4
17. A energia de uma partícula em um movimento
harmônico linear é
p2 1
E=
+ ⋅ m ⋅ω 2 ⋅ x2
2⋅m 2
Nesta equação p é o momento linear da partícula, m a sua massa
e ω a sua frequência angular.
a) Determine o valor da distância a que minimiza a energia
da partícula.
a) Admitimos que a partícula em
harmônico oscila em um intervalo definido.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
movimento
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 4
Este intervalo está associado à curva de energia
potencial associada ao movimento desta partícula.
1
U ( x) = ⋅ m ⋅ ω 2 ⋅ x 2
2
Do gráfico e do tipo de movimento executado pela
partícula, temos que se soltarmos a partícula de uma posição
x = a, ela oscilará em posições no intervalo –a ≤ x ≤+a.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 4
Assim, a incerteza na medida da posição desta
partícula admite o valor do próprio intervalo, isto é
∆x = 2 ⋅ a
Por sua vez, dada a característica do movimento,
também podemos afirmar que a incerteza da medida de seu
momento linear é igual à medida do próprio momento linear,
isto é
∆p = p
Para provar este resultado,
veja o Exercício 12 desta lista.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 4
Usamos então o Princípio da Incerteza de Heisenberg
para procurar uma relação entre o momento linear da
partícula e a amplitude de sua oscilação.
∆p ⋅ ∆x = h
∆x = 2 ⋅ a ∆p = p
h
p=
2⋅a
Lembremos os resultados
encontrados para a incerteza na
medida da posição e do momento
linear da partícula.
Obtemos então a relação entre p e a,
dada ao lado.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 4
Substituímos este resultado na equação da energia
total da partícula em oscilação, e encontramos uma
expressão desta energia em termos do parâmetro a.
h2
2
2
E (a ) =
+
2
⋅
m
⋅
ω
⋅
a
8 ⋅ m ⋅ a2
Para saber qual o valor da distancia a que minimiza
esta energia, basta derivar E(a) em relação ao parâmetro a e
igualar este resultado a zero.
Encontramos então a
relação
dE (a )
h2
2
=−
+
4
⋅
m
⋅
ω
⋅a = 0
3
da
4⋅m⋅a
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 4
Obtemos então o seguinte resultado para o parâmetro
a que minimiza a energia do oscilador
aMIN
h
=
4 ⋅ m ⋅ω
É possível mostrar que este
resultado implica que a segunda
derivada Encontramos então a relação
Para saber qual o valor da distancia a que minimiza
esta energia, basta derivar E(a) em relação ao parâmetro a e
igualar este resultado a zero.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 4
17. A energia de uma partícula em um movimento
harmônico linear é
p2 1
E=
+ ⋅ m ⋅ω 2 ⋅ x2
2⋅m 2
Nesta equação p é o momento linear da partícula, m a sua massa
e ω a sua frequência angular.
b) Determine este valor de mínima energia.
a) Admitimos que a partícula em
harmônico oscila em um intervalo definido.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
movimento
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Introdução
2. Conceitos de Relatividade
3. Radiação de Corpo Negro
4. Propriedades Corpusculares da Radiação
5. Propriedades Ondulatórias da Matéria
6. Conceitos de Mecânica Quântica
7. Modelos Atômicos Clássicos e Semiclássicos
8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas
9. Introdução à Física do Estado Sólido
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 6
2. Calcule a frequência de revolução de um elétron no
Modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio em termos da
energia total do elétron.
No Modelo de Bohr consideramos que o movimento
do elétron ao redor do núcleo seja uma circunferência.
Para este elétron a velocidade escalar é a razão entre
o comprimento da circunferência e o período do movimento
circular uniforme.
2 ⋅π ⋅ r
v=
= 2 ⋅π ⋅ r ⋅ f
T
⇒
fn =
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
vn
2 ⋅ π ⋅ rn
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 6
As expressões para vn e rn foram deduzidas em sala
de aula.
4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ h2 2
rn =
⋅n
2
m⋅e
e2
1
vn =
⋅
4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ h n
Substituímos então os resultados mostrados acima
na equação anterior.
fn =
vn
2 ⋅ π ⋅ rn
m⋅e
h 1
fn =
⋅
⋅ 3
2
(4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ h ) 2 ⋅ π n
4
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 6
Após alguma manipulação obtemos o resultado
abaixo.
2 ⋅ ε 0 2 ⋅ En
fn = 2 ⋅
e
m
3
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 6
3. Mostre que no estado fundamental do átomo de
hidrogênio a velocidade do elétron pode ser escrita como v = α⋅c,
onde α é a constante de estrutura fina. Calcule o valor de α e
comente este resultado..
Para obter a constante de estrutura fina partimos da
expressão da velocidade do elétron no Modelo de Bohr.
2
e
1
vn =
⋅
4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ h n
Multiplicamos o numerador e o
denominador da equação ao lado pela
velocidade da luz c e fazemos n = 1
(estado fundamental) para obtermos o
resultado esperado.
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5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 6
v=
e
2
4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ h ⋅ c
⋅c
⇒
α=
e2
4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ h ⋅ c
Com os valores das constantes fundamentais,
calculamos o valor da constante de estrutura fina.
α = 7,33 ×10
v
α = << 1
c
−3
⇒
1
α≈
<< 1
137
Este resultado mostra que o movimento
do elétron no Modelo de Bohr é não relativístico.
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5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 6
4. Determine a energia, o momento linear e o comprimento
de onda de um fóton emitido por um átomo de hidrogênio ao
fazer uma transição direta de um estado excitado com n = 10
para o estado fundamental. Usando a Lei da Conservação do
Momento Linear, obtenha a velocidade de recuo do átomo de
hidrogênio neste processo.
Os níveis de energia de um elétron no átomo de
hidrogênio são determinados a partir da seguinte fórmula
m ⋅ e4
1
En = −
⋅
2
2
2
2 ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ) ⋅ h n
13,6
En = − 2
n
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eV
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5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 6
A partir desta equação, temos que a diferença de
energia entre dois estados, o inicial com índice ni e o final
com índice nf é dada por
 1

1
∆E = 13,6 ⋅  2 − 2 
n

n
i 
 f
eV
No problema em questão temos que ni = 10 e nf = 1
(estado fundamental); assim, obtemos
∆E = 13,5
eV
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LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 6
Ao mudar do nível de energia correspondente a ni =
10 para o estado fundamental (nf = 1), o elétron perde energia
na forma de um fóton com a mesma energia correspondente
a esta diferença de níveis de energia. Assim, temos que
E F = 13,5
eV
O momento linear do fóton com energia EF é dada por
EF
p=
c
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4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 6
Neste caso usamos c = 3,00×108 m/s e obtemos
pF = 7,20 ×10
−27
J ⋅s/m
Para determinar o comprimento de onda do fóton
emitido usamos a equação
h
λF =
pF
Neste caso usamos h = 6,63×10-34 J⋅s, e
obtemos
λF = 92,1
nm
ultravioleta
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4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 6
Para calcular a velocidade de recuo do átomo ao
emitir o fóton impomos a Lei de Conservação do Momento
Linear.
Supomos que inicialmente o átomo esteja em
repouso, isto é, o momento linear do sistema átomo + fóton é
zero.
Após perder o fóton com momento linear pF o átomo
deve recuar com uma dada velocidade tal que, em módulo,
seu momento linear seja igual ao momento linear do fóton
emitido.
pátomo = p F
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4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO
Exercícios da Lista 6
Mas, para o átomo de hidrogênio, temos que
pH = (me + m p )⋅ vrecuo
Sabemos que mp = 1.838,6⋅me = 1,675×10-27 kg. Assim,
obtemos
vrecuo = 4,30
m/ s
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5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 6
8. Calcule a energia é necessária para remover um elétron
de um átomo de hidrogênio que está em um estado
correspondente a n = 8..
Os níveis de energia de um elétron no átomo de
hidrogênio são determinados a partir da seguinte fórmula
m⋅e
1
En = −
⋅ 2
2
2
2 ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ) ⋅ h n
4
13,6
En = − 2
n
eV
Remover o elétron do átomo significa, no mínimo,
que sua energia final seja igual a zero (n →∞).
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5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 6
Novamente, temos que a diferença de energia entre
dois estados, o inicial com índice ni e o final com índice nf é
dada por
 1

1
∆E = 13,6 ⋅  2 − 2 
n

n
i 
 f
eV
No problema em questão temos que ni = 8 e nf = ∞
(elétron fora do átomo); assim, obtemos
∆E = −0,212
eV
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5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 6
11. Supondo que seja possível colocar uma quantidade de
trítio (hidrogênio com número de massa três) suficiente para
exames espectroscópicos em um tubo contendo hidrogênio
comum, determine a separação entre a primeira linha da série de
Balmer (m =2 e n = 3) para o átomo de hidrogênio normal e a da
mistura.
Levando em conta que o núcleo tenha uma massa
finita, os níveis de energia de um elétron no átomo de
hidrogênio são dados por
1
µ ⋅ e4
Nesta equação µ é a massa
En = −
⋅
2
2
2 ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ) ⋅ h 2 n reduzida do sistema núcleo + elétron.
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5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 6
Lembremos da Mecânica o conceito de massa
reduzida, o qual tem origem no movimento do centro de
massa de sistemas de duas ou mais partículas.
No caso de duas partículas de massa m1 e m2, a
massa reduzida é dada por
µ=
m1 ⋅ m2
m1 + m2
Para o hidrogênio normal m1 = me = 9,11×10-31 kg e
além disso m2 = mp = 1,67×10-27 kg.
Já para o trítio temos que m1 = me = 9,11×10-31 kg e
além disso m2 = 3⋅mp = 5,01×10-27 kg.
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5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 6
Desta forma, para cada caso temos que os níveis de
energia de cada sistema são dados agora por
EnH
EnT
me ⋅ m p
e4
1
13,55
=−
⋅
⋅ 2 =− 2
2
2
(me + m p ) 2 ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ) ⋅ h n
n
3 ⋅ me ⋅ m p
e4
1
13,56
=−
⋅
⋅ 2 =− 2
2
2
(me + 3 ⋅ m p ) 2 ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ) ⋅ h n
n
Para a transição ni → nf , temos que
 1

1
∆E H = 13,55 ⋅  2 − 2 
n

n
i
f


eV
 1

1
∆ET = 13,56 ⋅  2 − 2 
n

n
f 
 i
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eV
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5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 6
Assim, para a transição ni= 3 para nf = 2, temos que
1 1
∆EH = 13,55 ⋅  − 
4 9
eV = 1,882
eV
1 1
∆ET = 13,56 ⋅  − 
4 9
eV = 1,883
eV
Esta transição se dá através da emissão de um fóton,
cujo comprimento de onda é calculado igualando estas
energias à energia do fóton.
∆E =
h⋅c
λ
Calculamos então o comprimento de
onda correspondente a cada elemento na
mistura.
Para este cálculo usamos as constantes
h = 6,63×10-34 J⋅s e c = 3,00×108 m/s.
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5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 6
Obtemos então
λH = 660,5
nm
λT = 660,2
nm
vermelho
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5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 6
16. Determine a probabilidade do elétron no estado
fundamental do átomo de hidrogênio ser encontrado entre a/3 e
2a/3.
A probabilidade de se encontrar uma partícula
quântica é dada por
P = ∫∫∫ Ψ ⋅ dV
2
V
Nesta equação Ψ é a função de
onda que descreve a partícula.
No problema em questão o elétron é descrito pela
função de onda Ψ100 , correspondente a n = 1, l = 0 e m = 0.
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5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 6
Por sua vez, a função de onda Ψ100 é dada por
Ψ100 (r ) =
1
π ⋅ (a
)
2 3
0
⋅e
−
r
a0
Também, sabemos que o elemento de volume dV no
sistema de coordenadas esféricas é dado por
dV = r ⋅ dr ⋅ sin θ ⋅ dθ ⋅ dφ
2
Substituímos então estes resultados na fórmula da
probabilidade.
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5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 6
Por sua vez, a função de onda Ψ100 é dada por
2


 e
 2
P = ∫∫∫ 
⋅ r ⋅ dr ⋅ sin θ ⋅ dθ ⋅ dφ
3 
V  π ⋅ (a0 ) 


r
−
a0
Observamos que o integrando depende apenas da
variável r, o que simplifica bastante o processo de
integração.
2⋅ a 0
1
P=
⋅
3
π ⋅ (a0 )
∫
a0
−
3
3
e
2⋅r
a0
π
2⋅π
π
2⋅π
0
0
0
0
⋅ r ⋅ dr ⋅ ∫ sin θ ⋅ dθ ⋅ ∫ dφ
2
∫ sin θ ⋅ dθ = 2
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∫ dφ = 2 ⋅ π
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5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 6
Substituímos o resultado destas integrais na fórmula
da probabilidade.
4 ⋅π
P=
⋅
3
π ⋅ (a0 )
2⋅a0
∫
a0
−
3
e
2⋅r
a0
2⋅a0
⋅ r 2 ⋅ dr
3
4
P=
⋅
3
(a0 )
∫
a0
−
3
e
2⋅r
a0
⋅ r 2 ⋅ dr
3
Para fazer a integral desta última expressão, fazemos
a seguinte troca de variável
2⋅r
u=
a0
2⋅ a 0
a
r = 0 ⋅u
2
a
dr = 0 ⋅ du
2
3
4
3
∫ dr → ∫ du
a0
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2
3
3
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5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 6
Substituímos também esta troca de variável com as
consequências sobre os limites de integração na fórmula da
probabilidade.
4
4
−u
2  a0 
P=
e
u
⋅
⋅
⋅ 
3 ∫
(a0 ) 2
 2
3
2
4
a 
⋅  0  ⋅ du
 2
1 3 −u 2
P = ⋅ ∫ e ⋅ u ⋅ du
2 2
3
3
Consultamos uma tabela de integrais e obtemos o
seguinte resultado para a integral desta última expressão
∫e
a⋅ x
e a⋅ x  2 2 ⋅ x 2 
⋅ x ⋅ dx =
⋅ x −
+ 2
a 
a
a 
2
a = −1
(
−u
2
−u
2
e
⋅
u
⋅
du
=
−
e
⋅
u
+ 2⋅u + 2
∫
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
)
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA
Exercícios da Lista 6
Impomos os limites de integração e obtemos
4
2
2




2
4
4
2
−







 2   
−u
2
3
3
∫2 e ⋅ u ⋅ du = −e ⋅  3  + 2 ⋅  3  + 2 − − e ⋅  3  + 2 ⋅  3  + 2 

 


3
4
3
−4
4 4
 − 4 3  16 8

−u
2
3 
e
⋅
u
⋅
du
=
e
⋅
+
+
2
−
e
⋅
+
+
2




∫
9 3

9 3

2
3
−2
3
4
3
∫e
2
−u
⋅ u ⋅ du = e
2
−2
3
 34 
⋅  − e
 9 
−4
3
 58 
⋅ 
 9 
3
4
3
3
3
4
−u
2
3
−u
2
∫ e ⋅ u ⋅ du = e
2
−2
3
 4 + 12 + 18  − 4 3  16 + 24 + 18 
⋅
 − e ⋅

9
9




3
4
2
∫2 e ⋅ u ⋅ du = 9 ⋅ 17 ⋅ e
−u
2
3
∫ e ⋅ u ⋅ du = 0,241
2
4
4
1 3 −u 2
P = ⋅ ∫ e ⋅ u ⋅ du
2 2
−2
3
− 29 ⋅ e
−4
3


3
∫e
2
−u
⋅ u 2 ⋅ du =
2
⋅ (1,084)
9
3
P = 0,120 P = 12,0%
3
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Introdução
2. Conceitos de Relatividade
3. Radiação de Corpo Negro
4. Propriedades Corpusculares da Radiação
5. Propriedades Ondulatórias da Matéria
6. Conceitos de Mecânica Quântica
7. Modelos Atômicos
8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas
9. Introdução à Física do Estado Sólido
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
8. INTRODUÇÃO À FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO
Exercícios da Lista 8
1. Faça uma estimativa da largura da banda de condução de
um metal cujo espaçamento interatômico vale 3,5×10-10 m.
Para um metal os níveis de energia dos elétrons são
dados através de
En x n y n z =
π ⋅h
2
2
2 ⋅ m ⋅ (N ⋅ a )
2
(
⋅ nx2 + n y2 + nz2
)
Nesta equação m é a massa do elétron, N é o número
de elétrons do metal, a é o espaçamento interatômico e a
trinca nx,ny,nz são os contadores que definem os estados do
elétron.
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
8. INTRODUÇÃO À FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO
Exercícios da Lista 8
O nível de energia mais baixo corresponde aos
valores nx = ny = nz = 1, logo temos que
Emin
3⋅π 2 ⋅ h2
=
2
2 ⋅ m ⋅ (N ⋅ a )
Já os níveis de energia mais elevados correspondem
a nx = ny = nz = N, logo temos que
Emax
3 ⋅π 2 ⋅ h2
=
2
2⋅m⋅a
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
8. INTRODUÇÃO À FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO
Exercícios da Lista 8
Por sua vez, a largura da banda de condução é dada
pela diferença entre estes dois níveis, isto é
∆E = Emax − Emin
Assim,
usando
anteriormente, obtemos
os
resultados
calculados
3⋅π 2 ⋅ h2
3⋅π 2 ⋅ h2
3 ⋅π 2 ⋅ h2 
1 
=
1− 2 
∆E =
−
2
2
2 
2⋅m⋅a
2⋅m⋅a  N 
2 ⋅ m ⋅ (N ⋅ a )
Para todos os efeitos, consideramos que N >> 1, logo
chegamos a
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
8. INTRODUÇÃO À FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO
Exercícios da Lista 8
3⋅π 2 ⋅ h2
∆E =
2 ⋅ m ⋅ a2
Para os resultados numéricos, usamos h = 6,63×10-34
J⋅s, m = 9,11×10-31 kg e a = 3,50×10-10 m, e obtemos
∆E = 1,48 ×10
∆E = 9,23
−18
J
eV
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
8. INTRODUÇÃO À FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO
Exercícios da Lista 8
2. O cobre é um metal formado a partir de átomos de Cu
monovalentes, cuja densidade vale 8,0 g/cm3. A massa atômica
dos átomos de Cu vale 64,0 g/mol.
a) Determine o Nível de Fermi para este metal.
b) Faça uma estimativa da largura da banda de condução
para este metal.
a) Para determinar o Nível de Fermi do Cu é
necessário conhecer a densidade de elétrons livres, já que
(
2 ⋅ m)
n=
3/ 2
3 ⋅π ⋅ h3
⋅ EF
3/ 2
(
3 ⋅π ⋅ h ⋅ n)
=
3
EF
2⋅m
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
2/3
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
8. INTRODUÇÃO À FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO
Exercícios da Lista 8
Por sua vez, o número de elétrons livres é calculado
pela fórmula.
N AV ⋅ Z ⋅ d m
n=
MOL
Nesta equação NAV = 6,02×1023 é o Número de
Avogadro, Z = 1 é a valência do Cu, dm = 8,00 g/cm3 é a
densidade do Cu e MOL = 64,0 g é a massa molecular do Cu.
Com os valores acima, obtemos
n = 7,52 × 10
28
elétrons / m
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
3
LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
8. INTRODUÇÃO À FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO
Exercícios da Lista 8
Substituímos este resultado na fórmula de EF e com
os valores de h = 6,63×10-34 J⋅s, m = 9,11×10-31 kg, obtemos
(
3 ⋅π ⋅ h ⋅ n)
=
2/3
3
EF
2⋅m
E F = 4,86 ×10
E F = 3,04
−19
eV
Física para Engenharia Elétrica – Lista de Exercícios Resolvidos
J
FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICA
José Fernando Fragalli
Departamento de Física – Udesc/Joinville
APRESENTAÇÃO
DA
DISCIPLINA
“Near the end of this decade, when they begin
enumerating the names of the people who had the
greatest impact on the 20th century, the name of John
Bardeen, who died last week, has to be near, or
perhaps even arguably at, the top of the list... Mr. [sic]
Bardeen shared two Nobel Prizes and won numerous
other honors. But what greater honor can there be
when each of us can look all around us and
everywhere see the reminders of a man whose genius
has made our lives longer, healthier and better.” –
Editorial do Chicago Tribune em 03/02/1991.
Física para Engenharia Elétrica – Exercícios