1
Governador de Pernambuco
Paulo Henrique Saraiva Câmara
Secretário de Educação
Frederico da Costa Amancio
Secretário Executivo de Planejamento e Coordenação
Severino José de Andrade Júnior
Secretária Executiva de Desenvolvimento da Educação
Ana Coelho Vieira Selva
Secretário Executivo de Educação Profissional
Paulo Fernando de Vasconcelos Dutra
Secretário Executivo de Administração e Finanças
Ednaldo Alves de Moura Júnior
Secretário Executivo de Gestão da Rede
João Carlos de Cintra Charamba
Gerente de Políticas Educacionais do Ensino Médio
Raquel de Queiroz
Chefe de Unidade do Ensino Médio
Carolina Araújo
Equipe de Elaboração – Matemática
Aldenita Dias
Cláudio Barros
Edvaldo Braz
Elisângela Espíndola
Fernando Augusto
Ledevande Martins
2
APRESENTAÇÃO
Prezado (a) professor (a):
Elaboramos este material visando subsidiar as atividades dos professores na
Ação de Fortalecimento da Aprendizagem no que se refere ao componente
curricular de matemática, da rede estadual de ensino de Pernambuco, com foco no
ensino-aprendizagem, contemplando os descritores da Matriz de Referência do
SAEPE que apresentaram baixo desempenho no ano letivo 2014.
Apresentamos aqui o material norteador das ações pedagógicas que serão
desenvolvidas ao longo desta ação.
Sua elaboração teve como critérios a análise dos resultados das avaliações
do SAEPE e as propostas apresentadas pelos (as) professores (as) nas discussões
proporcionadas pelas formações de Matemática do Ensino Médio.
Na área Matemática, este caderno foi preparado de modo a contemplar os
cinco eixos da matriz de referência e os dez descritores com os percentuais mais
baixos, conforme apresentado em tabela, mais adiante.
Dessa maneira, esperamos contribuir com o seu trabalho em sala de aula e
também contar com a sua participação para construirmos uma aprendizagem
significativa, eficaz e eficiente que os estudantes da rede estadual de Pernambuco
merecem.
Equipe de Elaboração
3
TABELA
Descritores
(%)
atingido
D4 Identificar a relação entre o número de vértices, faces
e/ou arestas de poliedros expressa em um problema.
(18,5%)
D7 Interpretar geometricamente os coeficientes da equação
de uma reta.
(20,7%)
D8 Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de
dois pontos dados ou de um ponto e sua inclinação.
(19,3%)
D11 Resolver problema envolvendo perímetro de figuras
planas.
(22,2%)
D12 Resolver problema envolvendo área de figuras planas.
(20,1%)
D22 Reconhecer o gráfico de uma função polinomial de 1º
grau por meio de seus coeficientes.
(19,4%)
D23 Reconhecer a representação algébrica de uma função
do 1º grau dado o seu gráfico, ou vice-versa.
(19,0%)
D26 Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma
função exponencial.
(13,6%)
D27 Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma
função logarítmica, reconhecendo-a como inversa da função
exponencial.
(19,5%)
D29 Identificar gráficos de funções trigonométricas (seno,
cosseno, tangente) reconhecendo suas propriedades.
(22,9%)
“Que a tua fala, seja tua prática” (Paulo
Freire)
Que a nossa fala seja refletida nas nossas ações.
(Equipe de Matemática)
4
EIXO GEOMETRIA
Descritor
Percentual de acerto
D2 - Reconhecer aplicações das relações métricas do
18,3%
triângulo retângulo em um problema que envolva figuras
planas ou espaciais.
Para resolver questões que contemplam este descritor, os estudantes precisam
reconhecer as figuras geométricas (planas e espaciais), conhecer as relações
métricas do triângulo retângulo (Teorema de Pitágoras), ter clareza nos conceitos de
cateto e hipotenusa e efetuar os cálculos que as questões necessitam.
1ª QUESTÃO: A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada
colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. O comprimento dessa escada
é de:
a) 12 m.
b) 30 m.
c) 15 m.
d) 17 m.
e) 20 m.
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA D
Para resolver a questão é preciso primeiro perceber o triângulo retângulo formado
pela escada, a altura da parede (do solo até onde a escada alcança) e a distância no
solo (da escada até o edifício). Como em todo triângulo retângulo podemos aplicar o
Teorema de Pitágoras para encontrar um de seus lados, quando dispomos dos
outros dois. E, além desse teorema é necessário utilizar no seu desenvolvimento as
operações de adição, subtração e potenciação.
Considerando: a = ? (comprimento da escada)
b = 8m
c = 15m
Aplicando com os valores o Teorema de Pitágoras:
a 2 = b 2 + c2
a2 = 82 + 152
a2 = 64 + 225
5
a2 = 289
a = √ 289
a = 17, logo o comprimento da escada solicitado é 17m.
2ªQUESTÃO: O Pedro e o João estão a «andar» de gangorra, como indica a figura:
A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm.
Qual o comprimento do gangorra?
a) 150 cm
b) 160 cm
c) 180 cm
d) 190 cm
e) 200 cm
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA D
Através desta questão é possível que o estudante revise conhecimentos relativos à
transformação de unidades de medida de comprimento, Teorema de Pitágoras,
Potenciação, Radiciação e Equação do 2º Grau. Mediante a representação da
gangorra, o estudante pode identificar que as duas crianças nas posições que se
encontram no desenho formam um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é a distância
entre elas e os catetos são respectivamente, a altura em que se encontra a criança à
direita em relação ao solo e à distância da projeção do plano inclinado em relação
ao solo.
6
Podemos aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a linha tracejada forma um ângulo de
90 graus com a "linha" do chão.
1,8 m = 180 cm
H2= 1802 + 602
H2= 32400 + 3600
H2= 36000
H
√
H
Logo, o comprimento da gangorra é de aproximadamente 190 cm.
3ª QUESTÃO: A figura representa um barco à vela.
De acordo com os dados da figura, quais são os valores de x e y ?
RESOLUÇÃO COMENTADA
Nesta questão o estudante precisa perceber que existem dois triângulos retângulos
presentes na figura do barco. O menor desses triângulos, com a hipotenusa e um dos
catetos com medidas disponibilizadas e o outro cateto y desconhecido. O maior dos
triângulos, também possui a hipotenusa e um cateto conhecidos e o outro formado
pela soma de x com y. Essa percepção é fundamental para se definir qual incógnita
que devemos encontrar primeiro, já que os dois triângulos são retângulos e o uso do
Teorema de Pitágoras deve ser usado duas vezes: primeiro para encontrar a =
7
(soma de x com y) e depois para encontrar y. Depois, com os valores de a e y,
utilizando-se de uma equação de 1º grau chegaremos ao valor de x.
Assim, tanto
o Teorema de Pitágoras quanto equação do 1º grau foram usados para resolver a
questão.
Aplicando o Teorema de Pitágoras encontramos y e a. Abaixo, usando equação de
1º grau encontramos o valor de x.
SUGESTÕES DE ATIVIDADE
Orientações para o ensino, de acordo com os Parâmetros na Sala de Aula :
Nesta etapa de escolarização, as relações métricas no triângulo retângulo devem ser
consolidadas. O professor deve deixar que o estudante estabeleça as relações por
meio de semelhança de triângulos, sem induzir às relações e à “nomeação” dos
segmentos, a fim de evitar a memorização de “letras”, sem o devido entendimento de
como a relação foi obtida. No caso do Teorema de Pitágoras, por exemplo, é
importante que seja estabelecida a sua recíproca, ou seja, se os lados de um
triângulo retângulo obedecem à relação (a2 = b2+c2), então esse triângulo será
retângulo. A compreensão da terna pitagórica (triângulos cujos lados derivam de 3, 4
e 5) deve ser destacada, pois permitirá resolver rapidamente problemas envolvendo o
Teorema de Pitágoras. A questão da incomensurabilidade de alguns segmentos deve
ser explorada e discutida com os estudantes e deve-se aproveitar para fazer o elo
8
com a necessidade de ampliação dos conjuntos numéricos. É importante consolidar a
ideia de congruência de figuras planas, a partir da utilização de softwares de
geometria
dinâmica
(GeoGebra,
por
exemplo),
explorando
atividades
com
transformações isométricas. Esse trabalho pode ser articulado ao trabalho com
Números, no que se refere aos segmentos incomensuráveis.
EIXO GEOMETRIA
Descritor
Percentual de acerto
D4 - Identificar a relação entre o número de vértices,
22,6%
faces e/ou arestas de poliedros expressa em um
problema.
O estudante, para resolver questões que contemplem o D4 deverá conhecer as
figuras espaciais, especialmente os sólidos platônicos, identificando suas principais
características vértices, faces e arestas, para assim, a partir desses comprovar o
que determina a relação de Euler e aplicá-la corretamente.
4ª QUESTÃO: (SEAPE) – Observe a figura abaixo, e diga quantos vértices tem a
mesma.
A)24
B) 18
C) 12
D) 10
E) 8
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C
9
Na face frontal vemos 6 vértices. Essa mesma quantidade de vértices encontramos
na face oculta (de traz), logo o total de vértices é 6 + 6 = 12.
5ª QUESTÃO: Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice
se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura.
(A)28
B) 30
C) 32
D) 36
E) 38
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C
Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20. As arestas que saem e
chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número
total de arestas. Veja:
A=
5 x 20
2
A = 50
De acordo com a relação de Euler, temos que:
F+V=A+2
»F + 20 = 50 + 2
F = 52 – 20
F = 32
O poliedro em questão possui 32 faces.
6ª QUESTÃO: Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a
2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de
vértices. O número de faces, de vértices e arestas desse poliedro é:
A) F = 7
A = 15
V = 10
B) F = 7
A = 10
V = 15
C) F = 10
A = 15
V=7
D) F = 15
A = 10
V=7
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A
10
Na questão não foram fornecidos nenhum dos valores solicitados, mas temos
informações suficientes para encontrar as três incógnitas, utilizando-se da resolução
de um sistema de equações.
F=V–3
Admitindo: V =
V: vértice
A: arestas
A = .V
F: faces
F = V – 3 » F = 10 – 3» F = 7
O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices.
A equação dessa reta é:
EIXO GEOMETRIA
Descritor
D7 Interpretar geometricamente os coeficientes da
Percentual de acerto
(20,7%)
equação de uma reta.
Através da observação do gráfico, encontramos os valores dos coeficientes
angulares representado pela interceptação do eixo x e lineares representado pela
11
intersecção do eixo y. Daí, de posse destes valores substituindo na forma da
equação da reta y= mx+n encontraremos a representação algébrica.Recomendamos
no trabalho com questões deste tipo associar as representações algébricas e
geométricas.
7ª QUESTÃO: (SAEB- adaptada) Mateus representou uma reta no plano cartesiano
abaixo.
A equação representada nesta reta é:
A) y = – x + 1
B) y = – x - 1
C) y = x – 1
D) y= 2x-1
E)y= -x
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C
Os valores m e n são respectivamente coeficientes angular e linear e nesta questão
o m= tg 45º. e n= -1 sendo a expressão y= mx+n.Sendo assim, m=1 e n= -1, a
alternativa C
y= x-1 é a que representa a equação da reta.
12
EIXO GEOMETRIA
Descritor
Percentual de acerto
D8 - Identificar a equação de uma reta apresentada a
19,3 %
partir de dois pontos dados ou de um ponto e sua
inclinação.
Para resolver questões relacionadas ao D-8 é necessário que o estudante consiga
identificar pelo menos dois dos pares ordenados
representação gráfica ou avaliar os
(x, y)
disponíveis na
coeficientes da equação da reta
de forma
y=mx+n,onde m e n são inclinações angular e n linear respectivamente.
8ª QUESTÃO: O gráfico abaixo
mostra
uma reta em um plano cartesiano.
A
equação da reta representada no
gráfico é:
A) x – y – 5 = 0
B) x + y – 5 = 0
C) x + y + 5 = 0
D) x + y – 4 = 0
E) x + y = 6
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA B
Para encontrar a solução basta usarmos os pares (x,y) que dão origem a reta.
Para chegar à alternativa B basta substituir as coordenadas cartesianas (4,1) e (2,3)
nas equações dadas e obter como resultado o valor zero.
X+y–5= 0
x+y–5=0
4+1–5=0
2+3–5 =0
Em nenhuma das outras equações encontramos resultado zero.
13
9ª QUESTÃO: (Prova Brasil)- Um engenheiro quer construir uma estrada de ferro
entre os pontos de coordenadas (2,3) e (4,7), devendo a trajetória da estrada ser
retilínea. Qual é a equação dareta que representa essa estrada de ferro?
A) y= 2x + 3
B) 4x = 7y
C) Y = 2x – 1
D) Y =
+2
E) Y =
+5
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C
Para resolver esta questão pode-se utilizar a fórmula do coeficiente angular da reta
, e em seguida aplicar a fórmula da equação da reta a partir de um dos dois
pontos, por exemplo
. Assim encontramos a equação da reta
,
conforme mostram os cálculos abaixo.
10ª QUESTÃO: (Saresp). A reta r, representada no plano cartesiano da figura, corta
o eixo y no ponto (0,4) e corta o eixo x no ponto (–2, 0). Qual é a equação dessa
reta?
A) Y = x + 4
B) Y = 4x +
2
C) Y = x – 2
D) Y = 2x + 4
14
E) Y = x - 4
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA D
Para resolver esta questão também pode-se utilizar a fórmula do coeficiente angular
da reta
e, em seguida escolhendo-se um dos dois pontos. O ponto
por
exemplo pode ser usado, e aplicando-se a fórmula da equação da reta, encontra-se
a equação da mesma
Assim demonstram os cálculos abaixo.
SUGESTÃO DE ATIVIDADES
Orientações para o ensino, de acordo com os Parâmetros na Sala de Aula:
O trabalho relativo às projeções ortogonais deve ser iniciado de forma bastante
intuitiva, a fim de facilitar o entendimento por parte dos estudantes e possibilitar, nas
etapas futuras, uma eficaz articulação entre geometria e álgebra. Por exemplo, a
queda de um giz pode simbolizar a projeção ortogonal de um ponto (giz) no plano
representado pelo piso da sala de aula. O professor pode improvisar um jogo de luz
e sombra, em uma vareta ou uma folha de papel, para facilitar o entendimento de
que existem outras projeções (e começar a distinguir, dentre elas, a ortogonal) e as
possibilidades de obtenção de diferentes formas projetadas que uma figura (a
vareta, a folha de papel) pode produzir no plano representado pelo piso ou parede
da sala. Após a realização desse trabalho, o professor deve levar o estudante a
concluir que, para localizar um ponto no plano, são necessárias duas informações
(no mínimo). É importante discutir a questão dos referenciais. O estudante deve ser
levado a concluir que, para informar a outro aluno onde foi feita uma marcação bem
pequena na parede, não basta ele dizer que o ponto está a 60 cm do piso (tomando
o piso como referência); é preciso dizer, também, que está a 1 metro da parede do
quadro, por exemplo. Em seguida, o sistema de eixos cartesiano deve ser retomado
e a representação de pontos, por meio de suas coordenadas, aprofundada. Nesse
15
momento, pode-se retomar o uso do jogo de “Batalha Naval” e a localização de
cidades no mapa, por meio de suas coordenadas geográficas e do uso do GPS. A
explicação do termo “par ordenado” deve ser discutida com o estudante. Por que
par? Por que ordenado? (x,y) é o mesmo que (y,x)? O sentido geométrico dos
coeficientes da equação de uma reta pode ser facilmente explorado com a utilização
de um software que represente (desenhe) a reta a partir de sua equação (usar o
software Winplot, por exemplo). Na impossibilidade de se utilizar o software, o
estudante deve ser levado a representar diferentes retas em um mesmo plano
cartesiano, a partir de equações previamente (e convenientemente) selecionadas
pelo professor. O estudante deve ser levado a perceber o efeito do coeficiente
angular (se positivo ou negativo) na representação da reta no plano. Deve, ainda,
reconhecer que, em retas paralelas, o coeficiente angular permanece constante e
que existe uma relação entre os coeficientes angulares de duas retas
perpendiculares. Nesta etapa de aprendizagem, um sistema de equações pode ter
sua solução interpretada sob o olhar da geometria; um sistema de duas equações e
duas incógnitas pode e deve ser associado ao estudo da posição relativa de duas
retas no plano. A existência ou não de soluções desse sistema deve ser interpretada
geometricamente e associada ao caso de retas coincidentes, secantes e paralelas.
EIXO GEOMETRIA
Descritor
D29
Percentual de acerto
Identificar gráficos de funções trigonométricas
(seno,
cosseno,
tangente)
reconhecendo
19,3 %
suas
propriedades.
O estudante deverá ter informações sobre as funções: seno, cosseno e
tangente quanto ao domínio e a imagem, além de interpretar dados contidos em
tabelas que referenciam os pontos dos gráficos das funções trigonométricas.
16
11ª QUESTÃO: Qual a função que melhor representa esse gráfico no intervalo [0 ,
2pi ] ?
(A) y =cos x
(B) y =sen x
(C) y =sen(2x)
(D) y =sen2x
(E) y =2. senx
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA E
No gráfico verificamos que seu ponto de origem é uma característica da função
seno, e analisando a imagem verificamos que a mesma sofre uma ampliação do
dobro, em decorrência disso a alternativa y= 2 sen x é a correta.
EIXO GRANDEZAS E MEDIDAS
Descritor
D 12 - Resolver problema envolvendo área de figuras
Percentual de acerto
16,7 %
planas.
O estudante deverá reconhecer dentre as figuras planas aquelas cujas áreas
poderão ser calculadas diretamente e utilizando-se das formulas encontrar estas
áreas. Nas figuras onde não é possível encontrar suas áreas diretamente, o
estudante deverá ser capaz de dividir a figura dada, em duas ou mais figuras que
17
possibilitem o cálculo de suas áreas para logo após serem somadas ou subtraídas
de acordo com o problema apresentado. É importante no trabalho com área das
figuras planas, associar o conceito de perímetro.
12ª QUESTÃO: (PUC-RIO 2008). A área da figura abaixo:
A) 24 cm2
B) 30 cm2
C) 33 cm2
D) 36 cm2
E) 48 cm2
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA B
Para resolver esta questão, primeiro é preciso perceber que na figura acima não
é possível encontrar sua área com um único cálculo, com uma única fórmula.
Assim, ele deve identificar pelo menos uma possibilidade para dividir a figura, de
modo que possa encontrar as áreas dessas partes e soma-las, obtendo assim a
área total da figura dada. Pode-se encontrar nessa divisão da figura duas
possibilidades: um triângulo e um retângulo, ou um trapézio e um retângulo.
Logo, se mobilizará os conhecimentos de Multiplicação, Adição, Cálculo de Área
(trapézio, triângulo, retângulo) para resolver a questão de duas formas diferentes.
1ª Solução: (dividindo a figura em triângulo e retângulo)
Área do triângulo: A =
=
Área do retângulo: A=
Área total: Área do triângulo + Área de triângulo retângulo
18
2ª Solução: (dividindo a figura em trapézio e retângulo)
Área do trapézio: A=
Área do retângulo: A=
Área total = Área do trapézio + Área do retângulo
13ª QUESTÃO: (UDESC 2010). O projeto de uma casa é apresentado em forma
retangular e dividido em quatro cômodos, também retangulares, conforme ilustra a
figura.
Sabendo que a área do banheiro (wc) é igual a 3m² e que as áreas dos quartos 1 e 2
são, respectivamente, 9m² e 8m², então a área total do projeto desta casa, em
metros quadrados, é igual a:
A) 24 m2
B) 32 m2
C) 44m2
D) 72 m2
E) 56 m2
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C
Essa questão é de Lógica, não envolve grandes cálculos.
19
O objetivo da questão é descobrir as medidas dos lados do retângulo maior.
Nesse tipo de questão a base é sempre a menor célula, o WC (o banheiro).
1- A área do WC =1 x 3 ou 3 x 1
2 - o quarto 2 tem uma das paredes igual a do WC, logo não pode medir 3m (3 não é
divisor de 8 ), então é 1m.
3 - o quarto 2 mede 1m x 8m , daí, o quarto 1 mede 3 vezes o WC
4-Logo, podemos concluir que o retângulo maior tem largura = 1+1+1+1= 4m e o
comprimento = 8+3 =11m.
5-Assim, a área completa da planta é igual a 4 x 11 = 44 m2
14ª QUESTÃO: Qual é a medida da área em centímetros, do triângulo abaixo?
A) 16√3
B) 8√
C) 16√
D) 8√
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A
Na questão o que é solicitado é que encontre a área do triângulo dado. Para
encontra-la precisamos da base dada (4 +4) = (8) e da altura h (desconhecida).Para
determinar a altura podemos utilizar o Teorema de Pitágoras, considerando a= 8, b=
h e c = 4.
Assim,
a 2 = b 2 + c2
82 = h 2 + 42
20
64 = h2 + 16
H2 = 64 – 16
H2 = 48
H = √
H = 4√
Logo, a área do triângulo é;
A=
√
A=
A=
√
: 2
A= 16√
15ª QUESTÃO: (UFMG 2008). O octógono regular de vértices ABCDEFGH, cujos
lados medem 1 dm cada um, está inscrito no quadrado de vértices PQRS, conforme
mostrado nesta figura:
Então, é CORRETO afirmar que a área do quadrado PQRS é:
A) 1 + 2√2 dm²
B) 1 + √2 dm²
C) 3 + 2√2 dm²
D) 3 + √2 dm²
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C
Para resolver a questão, inicialmente precisa-se perceber que o octógono da figura é
regular, portanto
possui os lados e os
ângulos internos congruentes
(iguais).
21
Utilizando-se dessa propriedade e considerando, como podemos observar que
quatro dos lados do octógono que valem 1 dm formam com os quatro vértices do
quadrado triângulos retângulos isósceles.
Utilizado-se de um desses triângulos, considerando o
lado do octógono como a
hipotenusa e os outros dois como os catetos (de mesma medida) que chamamos
de “a” nos cálculos abaixo utilizando o Teorema de Pitágoras obtêm-se o valor de
“a” igual
√
. De onde podemos observar o lado do quadrado que está circunscrito ao
octógono regular da figura dada correspondente ao lado 2a +1.
Assim, obtemos a área desse quadrado, desenvolvendo o produto notável e
fazendo as substituições devidas, chegamos à solução (
√
(
√
)
√
√
√ )
√
√
(
.
√
√
√ )
16ª QUESTÃO: (PUC-RIO) Num retângulo de perímetro 60, a base é duas vezes a
altura. Então a área é:
A) 200
B) 300
C) 100
D) 50
E) 30
SOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A
22
A questão só fornece o perímetro = 60 e a indicação de que a altura é uma medida
desconhecida (que chamaremos de x) e a base é o dobro dessa medida (que
chamaremos de 2x).
Partindo do valor do perímetro encontramos os lados desse retângulo.
Assim: P = x + 2x + 2x + x P = 6x »
60 = 6x »
X = 10
é a altura do
retângulo, e a base é seu dobro 2x = 2 x 10 = 20.
Assim, tendo base e altura podemos calcular a área.
A=bxh
A = 20 x 10
A = 200
17ª QUESTÃO: (UFPR 2010). A soma das áreas dos três quadrados ao lado é igual
a 83 cm². Qual é a área do quadrado maior?
A) 36 cm²
B) 20 cm²
C) 49 cm²
D)42 cm²
E) 64 cm²
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C
A figura é composta por três quadrados, todos com as medidas de seus lados
desconhecidas.
A área total 83 cm² e as medidas 4, 2 e x, são as bases que
teremos para
responder à pergunta.
23
A questão envolve além do cálculo da área do quadrado,
semelhantes, produtos notáveis,
redução de termos
radiciação, fração, multiplicação, adição e
subtração.
Organizando a soma das áreas dos três quadrados e igualando à 83, temos:
x2 + (x + 2)2 + ( x + 2 – 4)2
x2 + (x + 2)2 + ( x – 2)2
= 83
= 83
x2 + x2 + 4x + 4 + x2 - 4x + 4 = 83
3x2 + 8 = 83
3x2 = 83 – 8
3x2 = 75
x2 =
x2
= 25, logo o valor de x é 5, já que só pode assumir valores positivos.
O quadrado maior tem lado igual a x + 2, portanto seu lado é 5+2 = 7.
Logo a área desse quadrado é: A = L x L
A= 7 x 7 = 49 cm2
EIXO GRANDEZAS E MEDIDAS
Descritor
D11
Resolver problema envolvendo perímetro de
Percentual de acerto
16,7 %
figuras planas.
Para responder questões relacionadas ao descritor acima é necessário a
compreensão do que é perímetro, e o reconhecimento das figuras planas, além de
efetuar as operações de adição e multiplicação. Recomendamos que no trabalho
com cálculos de perímetros associar ao conceito de área.
24
18ª QUESTÃO: André possui um terreno retangular de perímetro 96 m, cujo
comprimento é o triplo da largura. Qual é a medida da largura e do comprimento,
respectivamente, desse terreno?
A) 8,0 cm e 24,0 cm.
B) 12,0 cm e 36,0 cm.
C) 22,5 cm e 25,5 cm.
D) 24,0 cm e 72,0 cm.
E) 46,5 cm e 49,5 cm.
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA B
Perímetro desta figura será a+a+3a+3a=8ª, então 8a=96. Isto implica que o valor de
a será a=12m.
Largura= a então, L=12m
Comprimento=3a, C=3.12=36m
SUGESTÃO DE ATIVIDADES
Orientações para o ensino, de acordo com os Parâmetros na Sala de Aula:
O estudo com as grandezas geométricas, nesta etapa, deve favorecer que o
estudante reconheça as diferentes grandezas que descrevem, qualitativamente, os
diferentes conceitos ou figuras geométricas e que, nas medições, as grandezas são
expressas por um número real, representando, quantitativamente, as unidades de
medida apropriadas dessas grandezas. Por exemplo, em um quadrado de lado
medindo 4 cm, podemos considerar o lado do quadrado, representado por um
segmento de reta, cuja grandeza a ele associada é o comprimento. A unidade de
medida adotada é o cm e o número real que expressa quantitativamente essa
grandeza é 4. Para estabelecer as fórmulas e determinar a medida da área e do
volume de figuras geométricas, é recomendável que o professor retome, ainda que
brevemente, o trabalho de composição e decomposição de figuras, já realizado em
etapas anteriores, e a planificação de sólidos (área lateral e área total). Ao visualizar
que todo retângulo, cuja área é dada por Base x Altura, pode ser dividido em dois
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triângulos, fica claro perceber e formalizar que a área do triângulo é dada por base ×
altura 2 . Essa mesma ideia ajuda a calcular a medida da área e do perímetro de
figuras planas limitadas por segmentos de reta e/ou arcos de circunferência. Para
retomar os estudos sobre área do círculo, de setores circulares e coroas, o professor
deve
considerar
as
ideias
de
ângulo
central,
comprimento
do
raio
e
proporcionalidade, que já vinham sendo relacionadas em anos anteriores, para
formalizar os resultados. Por exemplo, metade do círculo, um quarto do círculo
(ângulos de 180°, 90°). Além disso, especial atenção deve ser dada ao número p
nas fórmulas do comprimento e área do círculo. Embora possa aparecer, a partir da
fórmula do comprimento da circunferência (C = 2pR), a expressão p = C 2R , isso
não é uma contradição. O professor deve alertar para o fato de que se trata de um
valor aproximado para p, já que este é um número irracional (e, portanto, não pode
ser escrito como uma razão). Ainda nesta etapa, o professor deve levar o estudante
a mobilizar conceitos e propriedades já trabalhados em anos anteriores (como
cálculo de áreas e alturas), a fim de torná-lo apto a estabelecer as fórmulas para o
cálculo da medida de volumes de prismas e cilindros, a exemplo do que já vinha
sendo feito no 9° ano. O recurso à História da Matemática pode ajudar bastante
nessa compreensão.
EIXO ALGEBRA E FUNÇÕES
Descritor
Percentual de acerto
D23 – Reconhecer a representação algébrica de uma
22,3 %
função do 1º grau dado o seu gráfico ou vice-versa .
Esse descritor aborda o conceito de função e suas diferentes representações,
enfatizando a relação algébrica e gráfica. O estudante necessita para resolver
questões relacionadas ao D23, a este necessita saber que toda representação de
função do 1º grau é uma reta inclinada transversal, conseguir representar
graficamente e algebricamente. Esse descritor aborda o conceito de função e suas
diferentes representações.
26
19 ªQUESTÃO: O gráfico a seguir representa a altura (h) de uma planta, dada em
centímetros, em função do tempo (t), expresso em meses.
A expressão algébrica
que representa a função
esboçada é:
A) H = 5t
B) H = t + 5
C) H = 2t + 10
D) H = 5t + 10
E) H = 10t + 2
SOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A
Para responder a questão basta observar no gráfico os pontos:
(0,0) – a origem, onde não contamos o tempo e portanto, não há crescimento;
(2,10) _ quando o tempo é dois a altura passa a ser 10.
Assim, usando os valores do segundo par ordenado nas expressões dadas como
opções encontramos a solução da questão, conforme cálculo abaixo.
H=5xt
H=5x2
H = 10 (quando t = 2, h = 10), logo h = 5t.
20ª QUESTÃO: Em uma promoção de venda de camisas, o valo (P) a ser pago pelo
consumidor é calculado pela expressão
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P(x) = - x + 35 , onde x é a quantidade de camisas compradas (0 ≤ x ≤ 20).
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A
Para chegar a alternativa correta basta utilizar o ponto x = 0 para encontrar P = 35 e
o valor do coeficiente angular (- ⁄ ) para identificar que a função é decrescente e
também utilizar o que diz o enunciado: a função é válida dentro do intervalo de (0 ≤
x ≤ 20). Assim procedendo identificamos o primeiro gráfico como resposta.
21ª QUESTÃO: Na figura a seguir está representada uma reta num plano
cartesiano:
Essa reta é o gráfico da função
Resposta: Como a reta apresentada passa pela origem do sistema de coordenadas,
ela é o gráfico de uma função linear, que tem a forma y = ax. Como o ponto (3, 2)
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pertence ao gráfico, tem-se que essa equação é verdadeira para x = 3 e y = 2.
Nesse caso, obtém-se 2 = 3a, ou seja,
. Logo, alternativa C.
Por outro lado, podemos pensar em situações que envolvam contextos para
ser analisados nas diferentes representações. Veja a atividade a seguir.
EIXO ALGEBRA E FUNÇÕES
Descritor
Percentual de acerto
D26 – identificar a representação algébrica e/ou gráfica
20,1 %
de uma função exponencial.
22 ª QUESTÃO: Entre os gráficos abaixo, aquele que representa adequadamente a
função y= 7x é:
A)
B)
C)
D)
E)
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA E
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O gráfico a função A representa uma parábola, função quadrática. O gráfico da
função B representa uma reta, função afim. O gráfico da função C representa uma
hipérbole, função recíproca. O gráfico da função D é uma reta paralela ao eixo das
abscissas, função constante. E finalmente, o gráfico da função E é uma curva com
característica com comportamento de função crescente com fator de aumento
positivo, portanto, o gráfico da letra E é uma função exponencial.
23ª QUESTÃO: (Vunesp). Certa substância se decompõe aproximadamente
segundo a lei
, em que K é uma constante, t indica o tempo em
minutos e Q(t) indica a quantidade da substância, em gramas, no instante t.
Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico,
determine o valor de a.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C
30
A função exponencial
passa pelos pontos (a, 512) e (0, 2048).
Substituindo esses pontos na função, temos:
SUGESTÕES DE ATIVIDADE
Orientações para o ensino:
No estudo de funções, ao considerar o modelo linear (f(x) = ax), devem-se
evidenciar as ideias de crescimento e proporcionalidade direta. Características dos
gráficos da função linear e da função afim devem ser trabalhadas simultaneamente,
de preferência com o auxilio de softwares (Winplot ou Geogebra, por exemplo). O
estudante deve ser levado a reconhecer que, na função linear, o gráfico passa pelo
ponto (0,0) e, na função afim (f(x) = ax + b), a intersecção com o eixo das ordenadas
é o ponto (0,b). Deve-se ressaltar o significado de “zero da função” e, igualmente,
devem ser discutidos os significados do coeficiente linear e do coeficiente angular de
uma função afim, no que se refere aos seus significados no plano cartesiano.
Situações abordando a realidade e o meio social do aluno (conta de luz, preço de
estacionamento etc.) podem ser utilizadas para o estudo das funções definidas por
mais de uma sentença polinomial do primeiro grau. No estudo da função polinomial
do segundo grau, é importante que os alunos compreendam o significado dos
principais elementos do gráfico, como zeros, intersecção com o eixo das ordenadas,
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eixo de simetria, concavidade e pontos de máximo/mínimo. Sugere-se que esses
conceitos sejam abordados a partir de desafios em que é preciso encontrar um certo
ponto de máximo (problemas clássicos de determinação de área máxima, por
exemplo). Quanto aos coeficientes, preferencialmente com a utilização de softwares,
o professor deve explorar a construção e análise de gráficos, variando os seus
valores e discutindo com o estudante as transformações ocorridas. Por exemplo, o
estudante deve ser levado a concluir que, ao variar o valor do coeficiente c na
representação algébrica y=ax2+bx+c, a parábola sofre translações ou, ainda, que a
concavidade da parábola está relacionada com o “sinal” de a. O vértice da parábola
é um ponto importante e merece uma atenção especial para sua determinação ou
identificação. É importante, nesse momento, recuperar a ideia de eixo de simetria da
parábola; com essa ideia e conhecendo os zeros da função, caso existam, é
possível determinar as coordenadas do ponto de máximo ou mínimo (a abscissa
desse ponto é a média aritmética das raízes). Recomenda-se a não apresentação
de fórmulas de imediato (muitas vezes, desnecessárias), mas explorar exemplos
apropriados que levem o estudante a concluí-las.
No que se refere ao estudo da função exponencial, deve-se ressaltar seu padrão de
crescimento e levar o estudante a perceber diferenciações entre o modelo de
crescimento/decrescimento da função exponencial em relação às funções lineares e
quadráticas. Assim como foi feito para a função quadrática, com o auxílio de
software, o professor deve estimular o estudante a perceber as transformações
sofridas pelo gráfico da função exponencial com modificações nos coeficientes de
sua expressão algébrica. Uma articulação natural entre o estudo da progressão
aritmética e a ideia de crescimento linear de uma função de domínio discreto deve
ser estimulada pelo
EIXO ALGEBRA E FUNÇÕES
Descritor
Percentual de acerto
D27 – Identificar a representação algébrica e/ou gráfica
18,6%
de uma função logarítmica, reconhecendo-a como
inversa da função exponencial.
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24ª QUESTÃO: Observe o gráfico abaixo:
Que função esse gráfico representa?
a) y = log₂x
b) y = -log₂x
c) y = 2x
d) y = -2x
e) y = 2x
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A
A questão solicita que se estabeleça a relação entre a representação algébrica e a
representação gráfica de uma função logarítmica. A função logarítmica representada
pelo gráfico é padrão log x com o ponto P (1,0) e crescente de onde podemos
deduzir que a base do logaritmo é positivo (2) ilustrado pelo comportamento
crescente da função. Daí, podemos concluir que a representação algébrica da
função é y = log₂x .
25ª QUESTÃO: Abaixo estão representados dois gráficos:
33
De acordo com os gráficos:
A) Y = 2x está representado no gráfico 1
B) Y = x2 + 1 está representada no gráfico 2.
C) Y =
está representada no gráfico 2.
D) Y = 2x está representada no gráfico 2.
E) Y = log x está representada no gráfico 2.
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C
A opção A diz que o gráfico 1 representa y = 2x, que é uma função de 1º grau,
portanto deveria ser uma reta. Não é reta, portanto a afirmação é falsa.
A opção B diz que o gráfico 2 representa y = x2 + 1, que é uma função de 2º grau,
portanto deveria ser parábola. Não é parábola, portanto a afirmação é falsa.
A opção C diz que o gráfico 2 representa y = log₂x o que é correto, tornando a
alternativa verdadeira.
A opção D diz que o gráfico 2 representa y = 2x que é uma função exponencial, mas
ele é uma função logarítmica, portanto a alternativa é falsa.
A opção E diz que o gráfico 2 representa Y = log x função logarítmica diferente da
representada no gráfico 2, portanto a alternativa é falsa.
26ª QUESTÃO: Um automóvel parte da cidade de “Monte Verde” em direção a
cidade de “Alegre”.
Durante as 3 primeiras horas de viagem, ele mantém uma
velocidade constante de 80km/h. Daí em diante, começa a aumentar sua velocidade
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até atingir 110km/h e permanece nessa velocidade. Dentre os gráficos abaixo,
aquele que ilustra a velocidade do automóvel em função do tempo é
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA B
Resposta: Do enunciado temos que durante as três primeiras horas o automóvel
mantém sua velocidade constante de 80km/h, após esse período sua velocidade vai
aumentando até atingir 110km/h, ou seja é crescente, permanecendo nessa
velocidade.
Diante destes dados, o único gráfico que ilustra a velocidade do
automóvel em função do tempo é a alternativa B.
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REFERÊNCIAS
INEP. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira.
Matriz de Referencia ENEM. Disponível em http://enem.inep.gov.br/.
PERNAMBUCO. SECRETARIA DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DE PERNAMBUCO.
Matriz
de
Referencia
do
SAEPE.
Disponível
em
http://www.saepe.caedufjf.net/saepe-inst/.
PARÂMETROS NA SALA DE AULA - MATEMÁTICA (ENSINO FUNDAMENTAL E
MÉDIO). Secretaria de Educação do Estado de Pernambuco. Recife, 2013.
Sites consultados
www.portaleducacao.com.br
www.sitesistec.mec.gov.br
www.infoescola.com
www.matematicadidatica.com.br
www.brasilescola.com
files.gracinhaprof.webnode.com/.../EXERCICIOS%20DESCRITOR%207...
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