Avaliação continua em Mecânica e Ondas
Ficha de Problemas de TPC Nº 2
2º Sem
2013/14
Nº de aluno
Prof. Responsável: João Carlos Fernandes
Curso
Nome
Taguspark
Nota
A B C D E
Problema 1
Um corpo de massa m escorrega, sem atrito, sobre um
prisma da massa M e ângulo α . Por sua vez o prisma
escorrega sobre um plano horizontal, sem atrito. Nas
alíneas a) e b) queremos encontrar uma força exterior F
que mantenha o prisma parado enquanto o bloco m
escorrega. Nas alíneas c) e d) queremos encontrar uma
força exterior F que mantenha o bloco m parado em cima
do prisma enquanto o prisma deslisa no chão.
M = A + C + E ( Kg ) =
Dados: m = D + E + 2 ( Kg ) =
α = 30º +B + C =
Perguntas
a) Qual a força F que devemos aplicar?
b) Qual a aceleração de m em relação ao prisma?
c) Qual a força F que devemos aplicar?
d) Qual a aceleração de M em relação ao chão?
Problema 2
Um corpo de massa m escorrega, com atrito de
coeficiente µ , sobre um prisma da massa M e ângulo α .
Por sua vez o prisma escorrega sobre um plano
horizontal, sem atrito. Nas alíneas a) e b) queremos
encontrar uma força exterior F que mantenha o prisma
parado enquanto o bloco m escorrega. Nas alíneas c) e
d) queremos encontrar uma força exterior mínima F que
mantenha o bloco m parado em cima do prisma enquanto
o prisma deslisa no chão.
M = A + C + E ( Kg ) =
Dados: m = D + E + 2 ( Kg ) =
α = 30º +B + C =
µ = (10* D + E +1) /100 =
Perguntas
a) Qual a força F que devemos aplicar?
b) Qual a aceleração de m em relação ao prisma?
c) Qual a força F que devemos aplicar?
d) Qual a aceleração de M em relação ao chão?
O seu Nº de aluno é formado por 5 dígitos decimais que são identificados por 5 letras A, B, C, D e E que vão ser
utilizadas para obter os valores numéricos do enunciado do problema. É obrigatório preencher, nesta página,
esses mesmos valores antes mesmo de iniciar a resolução.
Ficha de TPC Nº2
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Prof. J C Fernandes
2º Sem 2013/14
Problema 3
Duas massas iguais m estão ligadas por um fio
inextensível, através de uma roldana de massa
desprezável, encostadas sem atrito a um corpo de massa
M , que deslisa sem atrito sobre um chão horizontal. Nas
alíneas a) e b) queremos encontrar uma força exterior F
que mantenha M parado enquanto os 2 blocos m
escorregam. Nas alíneas c) e d) queremos encontrar uma
força exterior mínima F que mantenha os 2 blocos m
parados em cima de M, enquanto M deslisa no chão.
Dados: m = D + E + 2 ( Kg ) =
M = A + C + E ( Kg ) =
Perguntas
a) Qual a força F que devemos aplicar?
b) Qual a aceleração de m em relação a M?
c) Qual a força F que devemos aplicar?
d) Qual a aceleração de M em relação ao chão?
Problema 4
Duas massas iguais m estão ligadas por um fio
inextensível, através de uma roldana de massa
desprezável, encostadas com atrito de coeficiente µ a
um corpo de massa M , que deslisa sem atrito sobre um
chão horizontal. Nas alíneas a) e b) queremos encontrar
uma força exterior F que mantenha M parado enquanto os
2 blocos m escorregam. Nas alíneas c) e d) queremos
encontrar uma força exterior mínima F que mantenha os 2
blocos m parados em cima de M, enquanto M deslisa no
chão.
Dados: m = D + E + 2 ( Kg ) =
M = A + C + E ( Kg ) =
µ = (10* D + E +1) /100 =
Perguntas
a) Qual a força F que devemos aplicar?
b) Qual a aceleração de m em relação a M?
c) Qual a força F que devemos aplicar?
d) Qual a aceleração de M em relação ao chão?
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2
Ficha 2
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Prof. Responsável: João Carlos Fernandes
Taguspark
Resolução
O problema 2 porque tem atrito é mais geral que o problema 1 (sem atrito), por isso vou
resolver para o caso mais geral, com atrito e ambas as massa com aceleração.
Um corpo de massa m escorrega, com atrito de coeficiente
µ , sobre um prisma da massa M e ângulo α . Por sua vez
o prisma escorrega sobre um plano horizontal, sem atrito.
Nas alíneas a) e b) queremos encontrar uma força
exterior F que mantenha o prisma parado enquanto o
bloco m escorrega. Nas alíneas c) e d) queremos
encontrar uma força exterior F que mantenha o bloco m
parado em cima do prisma enquanto o prisma deslisa no chão.
Sobre o corpo de massa m actuam: o peso mg com componentes vertical mg cos α e horizontal
mg sin α ; a força de inércia ma2 com componentes vertical ma2 senα e horizontal ma2 cos α ; a
normal N e força de atrito Fa = µ N . O sistema de equações para ele vem:
ma1 = mgsenα − ma2 cos α − µ N
. Tirando N da 2ª equação e substituindo na 1ª obtenho uma

 0 = N − mg cos α − ma2 senα
equação entre as duas acelerações a1 = g ( senα − µ cos α ) − a2 ( cos α + µ senα ) .
Sobre prisma actuam as forças: Fa = µ N com componentes vertical µ Nsenα e horizontal
µ N cos α ; a força F o peso Mg e a normal com o solo N 2 . O sistema de equações para ele
 Ma2 = F − Nsenα + µ N cos α
vem: 
. A 2ª equação não interessa. Usando N do anterior
0 = N 2 − N cos α − µ Nsenα − Mg
sistema obtemos uma equação entre a aceleração de M e a força F:
Ma2 = F − ( senα − µ cos α )( mg cos α + ma2 senα ) .
Com estas 2 equações podemos resolver os 2 problemas.
Problema 2 - alíneas a) e b)
a2 = 0 ; a1 = ? ; F = ?
 a1 = g ( senα − µ cos α ) − a2 ( cos α + µ senα )
 a1 = g ( senα − µ cos α )
.
⇒

 Ma2 = F − ( senα − µ cos α )( mg cos α + ma2 senα )  F = ( senα − µ cos α ) mg cos α
Problema 1 - alíneas a) e b)
µ = 0 ; a2 = 0 ; a1 = ? ; F = ?
 a1 = g ( senα − µ cos α ) − a2 ( cos α + µ senα )
 a1 = gsenα
⇒

 Ma2 = F − ( senα − µ cos α )( mg cos α + ma2 senα )  F = mg cos α senα
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Problema 2 - alíneas c) e d)
Prof. J C Fernandes
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a1 = 0 ; a2 = ? ; F = ?
senα − µ cos α

a2 =
g

 a1 = g ( senα − µ cos α ) − a2 ( cos α + µ senα )

g ( senα − µ cos α ) = a2 ( cos α + µ senα )
cos α + µ senα

⇒
⇒

 Ma2 = F − ( senα − µ cos α )( mg cos α + ma2 senα )  F = Ma2 + ( senα − µ cos α )( mg cos α + ma2 senα )  F = ( M + m ) a = ( M + m ) senα − µ cos α g
2
cos α + µ senα

Problema 1 - alíneas c) e d)
µ = 0 ; a1 = 0 ; a2 = ? ; F = ?
senα

a2 =
g

gsenα = a2 cos α
 a1 = g ( senα − µ cos α ) − a2 ( cos α + µ senα )

cos α
⇒
⇒

 Ma2 = F − ( senα − µ cos α )( mg cos α + ma2 senα )  F = Ma2 + ( senα )( mg cos α + ma2 senα )  F = ( M + m ) a = ( M + m ) senα g
2

cos α
---------------------------------------------------------------------------------------------------------O problema 4 porque tem atrito é mais geral que o problema 3 (sem atrito), por isso vou
resolver para o caso mais geral, com atrito e ambas as massa com aceleração
Duas massas iguais m estão ligadas por um fio
inextensível, através de uma roldana de massa
desprezável, encostadas com atrito de coeficiente µ a
um corpo de massa M , que desliza sem atrito sobre um
chão horizontal. Nas alíneas a) e b) queremos encontrar
uma força exterior F que mantenha M parado enquanto
os 2 blocos m escorregam. Nas alíneas c) e d) queremos
encontrar uma força exterior mínima F que mantenha os
2 blocos m parados em cima de M, enquanto M desliza
no chão.
Sobre o corpo de m pendurado actuam verticalmente o
peso mg a tensão no fio T e a força de atrito Fa1 = µ N1 e horizontalmente a força de inércia ma2
ma = mg − T − Fa1
ma = mg − T − µ ma2
e a normal N1 . As suas equações são :  1
⇔ 1
.
N1 = ma2
 0 = N1 − ma2

Sobre o corpo de m de cima actuam verticalmente o peso mg e a normal N 2 , horizontalmente
a tensão no fio T e a força de atrito Fa 2 = µ N 2 e a força de inércia ma2 . As suas equações são
ma = T − ma2 − Fa 2
ma = T − µ mg − ma2
: 1
⇔ 1
.
0 = N 2 − mg
N 2 = mg


Para o corpo M actuam horizontalmente a força F força de atrito Fa 2 = µ N 2 a normal N1 e a
tensão T na roldana. A sua equação escreve-se: Ma2 = F + Fa 2 − T − N1 = F + µ mg − T − ma2 .
Ficamos assim com um sistema de 3 equações a 3 incógnitas (a1 ; a2 ; T ) :
 ma1 = mg − T − µ ma2

 ma1 = T − µ mg − ma2 que nos permite resolver todos os casos.
 Ma = F + µ mg − T − ma
2
 2
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2
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Problema 4 - alíneas a) e b)
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a2 = 0 ; a1 = ? ; F = ?
1− µ

 a1 = g 2
2ma1 = mg (1 − µ ) 
 ma1 = mg − T − µ ma2
 ma1 = mg − T
1+ µ




.
 ma1 = T − µ mg − ma2 ⇒  ma1 = T − µ mg ⇒  2T = mg (1 + µ ) ⇒  T = g
2
 Ma = F + µ mg − T − ma
0 = F + µ mg − T


F = ma1
2
 2


1− µ

 F = mg 2

Problema 3 - alíneas a) e b)
µ = 0 ; a2 = 0 ; a1 = ? ; F = ?
g

 a1 = 2
 ma1 = mg − T − µ ma2
ma1 = mg − T
2ma1 = mg 
g




.
 ma1 = T − µ mg − ma2 ⇒  ma1 = T ⇒  2T = mg ⇒  T =
2
 Ma = F + µ mg − T − ma
 0 = F −T
 F = ma

2
1
 2


mg

F = 2

Problema 4 - alíneas c) e d)
a1 = 0 ; a2 = ? ; F = ?
 ma2 (1 + µ ) = mg (1 − µ ) 
1− µ
 ma1 = mg − T − µ ma2
 0 = mg − T − µ ma2



 a2 = g
1+ µ .
⇒
T = µ mg + ma2
⇒
 ma1 = T − µ mg − ma2 ⇒  0 = T − µ mg − ma2



 F = ( M + 2m ) a
Ma2 = F − 2ma2
2

 Ma2 = F + µ mg − T − ma2
 Ma2 = F + µ mg − T − ma2

Problema 3 - alíneas c) e d)
µ = 0 ; a1 = 0 ; a2 = ? ; F = ?
0 = mg − T
 ma1 = mg − T − µ ma2

 ma2 = mg
a2 = g




.
⇒
T = ma2
⇒
 ma1 = T − µ mg − ma2 ⇒  0 = T − ma2
F
=
M
+
2
m
g
(
)

 Ma = F + µ mg − T − ma
 Ma = F − T − ma
 Ma = F − 2ma
2
2
2
 2
 2
 2
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3
Ficha 2