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Resumo com exercícios resolvidos do assunto:
Rotação de Corpos Rígidos
(0)- CONSIDERAÇÕES INICIAIS:
𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
(0.1)
(0.2)
𝒓 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒋 -->vetor na direção do raio da circunferência,
apontando para fora.
𝜽 = 𝒅𝒓 𝒅𝒕 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒋--> vetor tangente à circunferência, apontando
para o sentido anti-horário (+).
(1)- DESLOCAMENTO E VELOCIDADE ANGULAR:
(1.1) 𝑺 = 𝜽𝑹 , onde:
S= Distancia percorrida (tamanho do arco de ângulo 𝜃)
𝜃= deslocamento angular EM RADIANOS, R= distância 𝑂𝑃 (raio)
Atente para o fato de que o deslocamento angular é o mesmo para todos os
pontos do corpo rígido, diferente da distancia percorrida por eles.
A velocidade angular média é definida pela variação de deslocamento angular sobre
a variação do tempo, ou seja:
𝝎𝒎 = ∆𝜽 ∆𝒕
A velocidade angular instantânea é definida como o limite da velocidade média,
quando a variação de tempo tende ao valor zero, também chamada de derivada temporal do
deslocamento angular, ou seja:
(1.2) 𝝎 = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝜽 ∆𝒕 = 𝒅𝜽 𝒅𝒕
∆𝒕→𝟎
Analisando 𝜔 vetorialmente e considerando o eixo de rotação fixo, percebemos que
pela regra da mão direita, caso a rotação seja no sentido anti-horário (+), 𝝎 possui a direção
do eixo Z e sentido positivo. Quando a rotação ocorre no sentido horário (-), 𝝎 possui a
direção do eixo Z e sentido negativo.
(2)- COMPARANDO VELOCIDADES ANGULAR E ESCALAR:
Como já sabemos: 𝑣 = 𝑑𝑆 𝑑𝑡 , substituindo (1.1):
𝑣 = 𝑅(𝑑𝜃 𝑑𝑡 ), ou seja: (2.1) 𝒗 = 𝑹𝝎
Analisando 𝑣 vetorialmente, percebemos que a direção e sentido de 𝑣 são dados pelo
produto vetorial: 𝒗 = 𝝎 × 𝒓. Portanto, podemos concluir que 𝒗 é tangente à trajetória,
𝒗 = 𝒗𝜽
Algo que precisamos ter em mente é que na rotação de corpos rígidos, todos os
pontos do corpo possuem a mesma velocidade angular, entretanto possuem velocidades
escalares distintas. Isso é facilmente observável, quando analisamos as fórmulas. A velocidade
escalar depende da distancia do ponto até o eixo de rotação (R), enquanto a velocidade
angular depende apenas do deslocamento angular.
Exercícios:
(Young and F.) a) Calcule o ângulo em graus subentendido por um arco de 1.5m em uma
circunferência de 2.5m de raio.
b) Um arco de 14 cm subentende um ângulo de 128° em uma circunferência,
qual é o raio dessa circunferência?
c) O ângulo entre dois raios de uma circun. de comprimento 3π é de 0,7 rad.
Qual é o comprimento do arco correspondente a esse ângulo?
Respostas: a)34.4° , b)6.27cm , c)1.05m
(3)- ACELERAÇÃO:
Definimos como aceleração angular média, a variação de velocidade angular sobre a
variação de tempo, ou seja:
𝜶𝒎 = ∆𝝎 ∆𝒕
Definimos como aceleração angular, o limite da aceleração angular média, quando a
variação de tempo tende ao valor zero, também chamada de derivada temporal da
velocidade angular, ou seja:
(3.1) 𝜶 = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝝎 ∆𝒕 = 𝒅𝝎 𝒅𝒕
∆𝒕→𝟎
Analisando a aceleração angular vetorialmente e considerando a rotação em um eixo
fixo, chegamos à conclusão de que 𝜶 possui o mesmo sentido do vetor 𝝎. Uma vez que 𝜔 é
linear e só possui componente na direção z, a variação nesse vetor só poderia ser dada nessa
direção. Analisando o sentido de 𝜶 e 𝝎, podemos concluir que possuem a mesmo sentido,
quando o movimento é acelerado e sentidos opostos quando o movimento é retardado.
Obs.: esse é um caso específico aonde o módulo da aceleração angular é igual ao módulo da
velocidade angular. Nem sempre isso acontecerá, mas usamos esse caso apenas para ilustrar
direção e sentido.
(4)- COMPARANDO ACELERAÇÕES ANGULAR E ESCALAR:
Como já sabemos, 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 =
𝑎=
𝑑𝜔
𝑑𝑡 × 𝑟 +
𝑑𝑟
𝑑(𝜔 × 𝑟)
𝑑𝑡 , pela derivada do produto:
𝑑𝑡 × 𝜔 , analisando as partes separadas:
𝑎 = 𝛼 × 𝑟  (4.1) 𝒂𝒕 = (𝜶𝒓)𝜽 , chamaremos essa aceleração de aceleração
tangencial.
𝑎 = 𝜔 × 𝑣  𝒂𝒏 = −(𝝎𝟐 𝒓)𝒓 , chamaremos essa aceleração de aceleração normal
ou aceleração radial.
Obs.: Lembre-se da definição de produto vetorial: 𝑣 × 𝑠 = 𝑣 𝑠 sin 𝜃, seguindo na
direção perpendicular tanto a 𝑣 , quanto a 𝑠.
Exercício:
(Y.F.) A velocidade angular de um volante obedece à equação: 𝜔𝑧 𝑡 = 𝐴 + 𝐵𝑡 2 , com t em
segundos, A=2.75 e B= 1.5. Qual é a aceleração angular do volante em t=0s e t=5s?
Resposta: 0(Zero) 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝟐 , 15 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝟐
(5)- COMPARANDO AS FÓRMULAS (LINEAR vs. ROTACIONAL):
É muito interessante para o aluno, fazer a analogia das formulas já aprendidas
(movimento linear), com as “novas” (movimento rotacional). Note as aspas, porque, na
verdade são as mesmas! Com algumas poucas modificações.
Uma equação muito conhecida é a equação do M. U. V:
1
𝑆 = 𝑆𝑜 + 𝑣0 𝑡 + 2 𝑎𝑡 2 , substituindo (1.1), (2.1) e (4.1):
1
𝜃𝑅 = 𝜃𝑜 𝑅 + 𝜔0 𝑅𝑡 + 2 𝛼𝑅𝑡 2 , dividindo por R:
𝟏
𝟐
𝜽(𝒕) = 𝜽𝒐 + 𝝎𝟎 𝒕 + 𝜶𝒕𝟐 , mov. rotacional com aceleração constante.
Analogamente, temos:
𝜽(𝒕) = 𝜽𝒐 + 𝝎𝒕 , mov. rotacional com velocidade constante.
𝝎𝟐 = 𝝎𝟎 𝟐 + 𝟐𝜶∆𝜽 , “Torricelli” para rotações.
Exercícios:
(Y.F.) Uma roda com diâmetro de 40 cm parte do repouso e gira com uma aceleração angular
constante de 3 rad./s^2. No instante em que a roda completou sua segunda revolução, calcule
a aceleração radial de um ponto na borda.
Resposta: 15.1 𝒎/𝒔𝟐
(5)- ENERGIA CINÉTICA ROTACIONAL:
A energia cinética de um corpo, composto de partículas puntiformes, realizando
apenas rotações é dada pela soma da energia cinética de todas as suas partes, ou seja:
1
1
𝑚 𝑣 2 + 2 𝑚2 𝑣2 2 + … =
2 1 1
1
termo 2 𝜔, pois os pontos possuem
𝐸𝑐𝑖𝑛 = 𝐾 =
em evidencia o
1
𝑚 𝑣 2,
2 𝑖 𝑖
substituindo (2.1) e colocando
a mesma velocidade angular:
1
2
𝐾 = 𝜔[ 𝑚𝑖 𝑟𝑖 2 ] , sendo o termo entre colchetes chamado de momento de inércia
(I).
Concluindo:
(5.1) 𝑰 =
𝟏
𝒎𝒊 𝒓𝒊 𝟐 e (5.2) 𝑲 = 𝟐 𝑰𝝎𝟐
(6)- CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA:
Como vimos no item anterior (5.1), para um conjunto de partículas puntiformes:
𝑰=
𝒎𝒊 𝒓𝒊 𝟐 .
Para um corpo formado por uma distribuição contínua de massa, observamos a
quantidade de pontos irem para o infinito, ou então o tamanho dos pontos ir para um
infinitesimal. Levando isso em conta, o somatório não faz mais sentido, por isso o substituímos
por uma integral:
𝑰=
𝒓𝟐 𝒅𝒎
Vale acrescentar que o momento de inércia é também interpretado como “o quão
difícil é colocar um corpo para girar em torno de um eixo”, ou seja:
 Corpos com um grande momento de inércia precisam receber mais energia para entrar
em movimento, quando comparados com corpos com um pequeno momento de inércia.
Também é crucial atentar para o fato de que o momento de inércia depende da
escolha de um eixo, logo:
 Uma mesma figura pode possuir diversos momentos de inércia, dependendo do eixo
escolhido para a rotação.
Antes que você pense que precisará sempre resolver essa integral, fique tranquilo! Os
momentos de inércia em relação ao centro de massa das figuras, 𝐼𝑐𝑚 , serão dados da questão
e por meio de uma formula, poderão relacionar 𝑰𝒄𝒎 com os outros momentos.
(7)- TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS:
O teor. dos eixos paralelos afirma que em um ponto P qualquer:
𝑰𝒑 = 𝑰𝒄𝒎 + 𝑴𝒉𝟐
Sendo:
𝐼𝑐𝑚 = momento de inercia de um eixo que passe pelo centro de massa.
𝐼𝑝 = momento de inercia de um eixo paralelo que passe por P.
𝑀ℎ2 = massa do corpo multiplicado pela distancia entre os eixos elevada ao quadrado.
A demonstração desse teorema não fica muito clara, sem a utilização de imagens,
imagens essas que não podemos copiar, devido aos direitos autorais. Entretanto, segue um
link de um site que contém tal demonstração:
http://neemiasenpfm.wordpress.com/2010/10/21/teorema-dos-eixos-paralelos/. Você
também pode encontrar a prova desse teorema no seu livro de Fisica1 (Young and Freedman,
Moysés, Halliday), no capítulo de rotação de corpos rígidos.
Abaixo, vocês encontrarão uma lista com alguns momentos de inércia para consulta:
Exercícios:
(Y.F.) Uma barra uniforme possui duas pequenas bolas coladas às suas extremidades. A barra
possui 2m de comprimento e massa de 4 kg, enquanto as bolas possuem 0.5kg cada uma e
podem ser tratadas como pontos de massas. Ache o momento de inércia desse sistema em
relação aos seguintes eixos:
a) um eixo perpendicular à barra, que passa pelo seu centro.
b) um eixo perpendicular à barra, que passa por uma das bolas.
c) um eixo paralelo à barra, que passa por ambas as bolas.
Dica: pense em cada parte separadamente e depois some as partes. Utilize tabelas de
momentos de inércia, caso ache necessário.
Respostas: a)0.0640 kg.m², b)0.0320 kg.m², c) 0.0320 kg.m²
Exercícios Propostos:
1)(UFRJ-2014.1-Modificada) Um carro tem uma roda de massa M e raio R com momento de
3
inércia 𝐼𝐶𝑀 = MR² relativo ao seu eixo de simetria que passa pelo seu centro de massa. O carro
4
arranca em movimento retilíneo com a roda patinando na pista de modo que a velocidade
𝑣𝐶𝑀 de seu centro de massa esteja relacionada com a sua velocidade angular de rotação ω por
meio de 𝑣𝐶𝑀 = ωR/2. Nesse caso,qual a energia cinética da roda?
2)(UFRJ-2014.1-Modificada) Um corpo rígido gira em torno de um eixo fixo com velocidade
angular constante ω quando, a partir do instante t = 0, passa a ter uma aceleração angular
constante de módulo α e sentido oposto ao da velocidade angular.Denotando por 𝑡1 o tempo
gasto pelo corpo para sua velocidade angular atingir o valor nulo e por 𝜃1 o seu deslocamento
angular do instante t = 0 até o instante𝑡1 . Calcule 𝑡1 e 𝜃1 .
3)(UFRJ-2013.2-Modificada) Uma barra fina e homogênea de massa M e comprimento ℓ é
liberada na posição horizontal a partir do repouso e gira em torno de um eixo horizontal fixo,
perpendicular a ela e que passa por uma de suas extremidades. Sabendo que não há atrito
entre a barra e o eixo e que o momento de inércia da barra relativo ao eixo é igual a
(1/3)ML², qual a velocidade do centro de massa da barra quando ela atinge a posição vertical?
4)(UFRJ-2013.1-Modificada) Uma partícula de massa m está girando em torno de um eixo
(perpendicular a página) com movimento de rotação uniformemente variado com aceleração
a, como mostra a figura; vista de cima. O raio da trajetória é R e o vetor aceleração da partícula
tem a sua direção formando um ângulo δ com a direção radial.Num dado instante ela tem
velocidade angular ω e aceleração o angular α. Qual a tangente do ângulo δ?
5)(UFRJ-2012.1-Modificada) Uma esfera de raio R e massa M rola sem deslizar sobre
uma mesa horizontal com velocidade angular ω constante.Sabendo-se que o momento de
inércia de uma esfera segundo um eixo que passa pelo seu centro é 𝐼𝐶𝑀 = (2/5)MR², qual a
energia cinética desta esfera?
6)(IEF-ITA)-
7) (Halliday) Mostre que um cilindro vai derrapar num plano inclinado com inclinação θ se o
coeficiente de atrito estático entre o plano e o cilindro for menor do que 1/3 tan θ.
1
Gabaritos : 1) 2 𝑀𝑅²𝑤² | 2) 𝑡1 =
𝜔
𝛼
𝑒 𝜃1 =
𝜔2
𝛼
| 3)
3𝑔𝐿
4
𝛼
7
𝑀
|4) 𝜔 2 |5)10 𝑚𝑅²𝑤² |6) 2 (𝑅12 + 𝑅2 ²
7) Para obter a resolução, mande um email para nós que enviaremos a resolução completa.
Bons Estudos!!
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