GEOMETRIA ESPACIAL: SÓLIDOS INCRITOS E CIRCUNSCRITOS
1. (Unicamp 92) Dado um cubo de aresta Ø, qual é o volume do octaedro cujos vértices são os
centros das faces do cubo?
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2. (Uerj 2001) O modelo astronômico heliocêntrico de Kepler, de natureza geométrica, foi
construído a partir dos cinco poliedros de Platão, inscritos em esferas concêntricas, conforme
ilustra a figura abaixo:
A razão entre a medida da aresta do cubo e a medida do diâmetro da esfera a ele circunscrita,
é:
a) Ë3
b) (Ë3)/2
c) (Ë3)/3
d) (Ë3)/4
3. (Unicamp 94) Em uma pirâmide de base quadrada, as faces laterais são triângulos
eqüiláteros e todas as oito arestas são iguais a 1.
a) Calcule a altura e o volume da pirâmide.
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b) Mostre que a esfera centrada no centro da base da pirâmide, e que tangencia as arestas da
base, também tangencia as arestas laterais.
c) Calcule o raio do círculo intersecção da esfera com cada face lateral da pirâmide.
4. (Fuvest 95) Na figura a seguir, X e Y são, respectivamente, os pontos médios das arestas
AB e CD do cubo. A razão entre o volume do prisma AXFEDYGH e o do cubo é:
a) 3/8.
b) 1/2.
c) 2/3.
d) 3/4.
e) 5/6.
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5. (Ita 95) Um cone circular reto tem altura 12cm e raio da base 5cm. O raio da esfera inscrita
neste cone mede, em cm:
a) 10/3
b) 7/4
c) 12/5
d) 3
e) 2
6. (Unicamp 95) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem altura igual a 20cm. Sobre a
base dessa pirâmide constrói-se um cubo de modo que a face oposta à base do cubo corte a
pirâmide em um quadrado de lado igual a 5cm. Faça uma figura representativa dessa situação
e calcule o volume do cubo.
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7. (Ita 96) Numa pirâmide triangular regular, a área da base é igual ao quadrado da altura H.
Seja R o raio da esfera inscrita nesta pirâmide. Deste modo, a razão H/R é igual a:
a) Ë(Ë3 + 1)
b) Ë(Ë3 - 1)
c) 1 + Ë(3Ë3 + 1)
d) 1 + Ë(3Ë3 - 1)
e) Ë3 +1
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8. (Ufmg 94) Observe a figura.
Nessa figura, um cone reto e um cilindro de bases comuns estão inscritos em uma esfera. O
volume do cilindro é igual ao volume do cone.
A distância do centro da esfera à base comum, em função da altura H do cone, é
a) H/2
b) H/3
c) H/4
d) H/5
e) H/6
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9. (Ufmg 95) Dois cones circulares retos de mesma base estão inscritos numa mesma esfera
de volume 36™. A razão entre os volumes desses cones é 2.
A medida do raio da base comum dos cones é
a) 1
b) Ë2
c) Ë3
d) 2
e) 2Ë2
10. (Mackenzie 96) Num cone reto de altura 12 inscreve-se um cilindro de área lateral máxima.
Então a altura do cilindro é:
a) 3.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 10.
11. (Ufba 96) O apótema da base de um prisma reto hexagonal regular P mede 6Ë3cm, e a
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altura de P mede 8Ë3cm. Nesse prisma inscreve-se um cone reto, e a esse mesmo prisma
circunscreve-se um cilindro reto; o cone e o cilindro têm a mesma altura de P. A área total do
cilindro é 8(3+2Ë3)x™cm£, a área lateral do cone é 90y™cm£, e o volume do prisma é 648zcm¤.
Determine a medida do volume de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são, em cm,
x, y e z, indicando, de modo completo, toda a resolução do problema.
12. (Udesc 96) Um cubo de lado h é inscrito num cilindro de mesma altura. A área lateral desse
cilindro é:
a) ™.h£/4
b) ™.h£ Ë2/4
c) ™.h£ Ë2/2
d) ™.h£ Ë2
e) 2.™.h£
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13. (Fuvest 97) Um cubo de aresta m está inscrito em uma semi-esfera de raio R de tal modo
que os vértices de uma das faces pertencem ao plano equatorial da semi-esfera e os demais
vértices pertencem à superfície da semi-esfera. Então, m é igual a
a) R Ë2/3
b) R Ë2/2
c) R Ë3/3
d) R
e) RË3/2
14. (Mackenzie 96) Seja 36™ o volume de uma esfera circunscrita a um cubo. Então a razão
entre o volume da esfera e o volume do cubo é:
a) Ë3 . ™/2
b) 8™/3
c) 2™/3
d) Ë3 . ™/4
e) Ë3 . ™
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15. (Mackenzie 96) A razão entre os volumes dos cilindros inscrito e circunscrito num prisma
triangular regular é:
a) 1/2
b) 1/4
c) 1/8
d) 1/3
e) 2/3
16. (Puccamp 97) Uma pirâmide reta, cuja base é um quadrado de lado Ø e cuja altura é h, está
inscrita num cilindro reto com raio da base r e altura H. Nessas condições, é verdade que
a) Ø = r
b) Ø = Ë(2r)
c) Ø = 2r
d) 2H = h
e) H = 2h
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17. (Fuvest 98) Numa caixa em forma de paralelepípedo reto-retângulo, de dimensões 26cm,
17cm e 8cm, que deve ser tampada, coloca-se a maior esfera que nela couber. O maior
número de esferas iguais a essa que cabem juntas na caixa é
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
18. (Mackenzie 97) A área da superfície lateral de um cone eqüilátero inscrito numa esfera de
raio R é:
a) ( ™ R£ Ë3) / 2
b) ( ™ R£ Ë3) / 3
c) (3 ™ R£) / 4
d) (3 ™ R£) / 2
e) 3 ™ R£
19. (Ufrrj 99) Determine o volume da região compreendida por uma esfera de raio ¤Ë(3/4) e por
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um cubo circunscrito à esfera.
20. (Ufsm 2000) Bolas de tênis são vendidas, normalmente, em embalagens cilíndricas
contendo 3 unidades.
Supondo-se que as bolas têm raio a em centímetros e tangenciam as paredes internas da
embalagem, o espaço interno dessa embalagem que NÃO é ocupado pelas bolas é, em cm¤
a) 2™a¤
b) (4™a¤)/3
c) (™a¤)/3
d) a¤
e) (2™a¤)/3
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21. (Ufsc 2000) O volume, em cm¤, de um cubo circunscrito a uma esfera de 16™cm£ de
superfície é:
22. (Ufrs 2001) A figura abaixo representa um cilindro circunscrito a uma esfera.
Se V é o volume da esfera e V‚ é o volume do cilindro, então a razão V / V‚ - V• é
a) 1/3.
b) 1/2.
c) 1.
d) 2.
e) 3.
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23. (Ufrs 2001) Um octaedro tem seus vértices localizados nos centros das faces de um cubo
de aresta 2.
O volume do octaedro é
a) 2/3.
b) 4/3.
c) 2.
d) 8/3.
e) 10/3.)
24. (Ufrj 2002) Considere uma esfera E•, inscrita, e outra esfera E‚ circunscrita a um cubo de
aresta igual a 1cm. Calcule a razão entre o volume de E‚ e o volume de E.
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25. (Uerj 2001) Observe a figura abaixo, que representa um cilindro circular reto inscrito em
uma semi-esfera, cujo raio OA forma um ângulo š com a base do cilindro.
Se š varia no intervalo ]0, ™/2[ e o raio da semi-esfera mede r, calcule a área lateral máxima
deste cilindro.
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26. (Ufpe 2003) Um cubo está inscrito em um cone circular reto, como ilustrado a seguir (uma
base do cubo está contida na base do cone e os vértices da base oposta estão na superfície do
cone). Se o cone tem raio da base medindo 4 e altura 8, assinale o inteiro mais próximo da
medida do volume do cubo.
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27. (Fatec 2003) A intersecção de um plano ‘ com uma esfera de raio R é a base comum de
dois cones circulares retos, como mostra a região sombreada da figura abaixo.
Se o volume de um dos cones é o dobro do volume do outro, a distância do plano ‘ ao centro
O é igual a
a) R/5
b) R/4
c) R/3
d) 2R/5
e) 2R/3
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28. (Uel 2003) Seja g a geratriz de um cone circular reto inscrito num cilindro circular reto de
mesma area lateral, base e altura. O volume V desse cone é:
a) V = ™g¤/24
b) V = ™g¤/8
c) V = ™g¤/12
d) V = 2™g¤/3
e) V = 3™g¤/2
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29. (Ufrn 2004) Um artista esculpiu a metade de uma esfera de pedra-sabão, transformando-a
num cone, ilustrado na figura abaixo.
Supondo que a esfera tem raio R e a altura do cone esculpido também é R, calcule:
a) o volume do cone esculpido;
b) o volume do material retirado da metade da esfera para formar o cone.
30. (Ufg 2005) Considere um cone circular reto de altura h e raio r, h > r, inscrito em uma esfera
de raio R. Determine a altura do cone quando r = 3/5 R.
31. (Ufrrj 2005) Em uma caixa d'água cúbica vazia de lado 2m, é colocada, cheia de água, uma
esfera inscrita, com espessura da parede desprezível. Estoura-se a esfera e retiram-se seus
resíduos. Qual a altura de água que permanecerá dentro da caixa?
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32. (Unifesp 2005) A figura representa um lápis novo e sua parte apontada, sendo que D, o
diâmetro do lápis, mede 10 mm; d, o diâmetro da grafite, mede 2 mm e h, a altura do cilindro
reto que representa a parte apontada, mede 15 mm. A altura do cone reto, representando a
parte da grafite que foi apontada, mede s mm.
a) Calcule o volume do material (madeira e grafite) retirado do lápis.
b) Calcule o volume da grafite retirada.
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33. (Pucpr 2005) A área total de um octaedro regular inscrito numa esfera de àrea 36™ cm£ é:
a) 18Ë3 cm £
b) 24Ë3 cm£
c) 36Ë3 cm£
d) 48Ë3 cm£
e) 54Ë3 cm£
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34. (Fuvest 2006) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de
base quadrada, como mostra a figura. A razão b/a entre as dimensões do paralelepípedo é 3/2
e o volume do cone é ™.
Então, o comprimento g da geratriz do cone é
a) Ë5
b) Ë6
c) Ë7
d) Ë10
e) Ë11
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35. (Uel 2006) Um joalheiro resolveu presentear uma amiga com uma jóia exclusiva. Para isto,
imaginou um pingente, com o formato de um octaedro regular, contendo uma pérola inscrita,
com o formato de uma esfera de raio r, conforme representado na figura a seguir.
Se a aresta do octaedro regular tem 2cm de comprimento, o volume da pérola, em cm¤, e:
a) (Ë2)™/3
b) 8™/3
c) 8(Ë2)™/9
d) 4(Ë6)™/9
e) 8(Ë6)™/27
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GABARITO
1. V = ؤ/6
2. [C]
3. a) h = (Ë2)/2, v = (Ë2)/6
b) Sendo r o raio da esfera de centro O, que tangencia as arestas da base e r' o raio da esfera
de centro O, que tangencia as arestas laterais da pirâmide, tem-se:
1Ž) r é o apótema de um quadrado de lado 1.
Assim: 2r = 1 ë r = 1/2 (I)
2Ž) r' é a altura relativa à hipotenusa do triângulo retângulo, cujos catetos são a altura da
pirâmide e metade da diagonal da base e a hipotenusa e a aresta lateral da pirâmide. Assim:
hip. OH = cat . cat
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1 . r' = Ë2/2 . Ë2/2 ë r' = 1/2 (II)
De (I) e (II) conclui-se que a esfera centrada em O, que tangencia as arestas da base da
pirâmide, também tangencia as arestas laterais dessa pirâmide.
c) (Ë3)/6
4. [D]
5. [A]
6. O volume do cubo é de 1000 cm¤
7. [C]
8. [E]
9. [E]
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10. [C]
11. 192 cm¤
12. [D]
13. [A]
14. [A]
15. [B]
16. [B]
17. [D]
18. [D]
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19. V = 6 - ™
20. [A]
21. 64
22. [D]
23. [B]
24. 3Ë3
25. ™r£
26. 36
27. [C]
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28. [B]
29. a) ™R¤/3
b) ™R¤/3
30. h = (9/5) R.
31. h = ™/3 m
32. a) 250™ mm¤
b) 2™ mm¤
33. [C]
34. [D]
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35. [E]
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