1
3º Unidade
Capítulo XI
Geometria Espacial________________________________________________________________3
Capítulo XII
Analise Combinatória______________________________________________________________18
Capítulo XIII
Probabilidade____________________________________________________________________24
Capítulo XIV
Matemática Financeira_____________________________________________________________32
Capítulo XV
Trigonometria no Circulo____________________________________________________________51
Questões do ENEM e Vestibulares__________________________________________________55
Organização:
Apoio:
2
Capítulo XI
Nesta unidade introduziremos figuras espaciais (não planas).
Nestas figuras, os sólidos geométricos, você terá a oportunidade de enxergar suas três
dimensões, isto é, as verá tridimensionalmente – comprimento, altura e profundidade.
Esses sólidos geométricos são limitados por superfícies planas ou planas e curvas.
No caso de serem limitados apenas por superfícies planas, recebem o nome de
sólidos poliédricos. Quando limitados por superfícies curvas ou planas e curvas, recebem o
nome de sólidos não poliédricos, mais conhecidos como corpos redondos.
Poliedros
Chamamos de poliedro ao sólido limitado por uma superfície poliédrica.
A superfície poliédrica é formada por um número finito de polígonos planos e convexos
que, dois a dois tem um lado em comum.
Elementos de um Poliedro
Os elementos de um poliedro são:
a. Faces - são os polígonos convexos.
b. Arestas - são as interseções de duas faces.
c. Faces adjacentes - são faces que tem uma aresta em comum.
3
Capítulo XI
d. Ângulos sólidos - são ângulos formados pelas faces que concorrem no mesmo
plano.
e. Vértices - são os vértices dos ângulos sólidos.
f. Diagonal - é o segmento que une dois vértices e que não pertence à mesma face.
Classificação dos Poliedros
Os poliedros podem ser classificados em poliedros convexos e não convexos.
Um poliedro é convexo quando qualquer uma de suas faces fica inteiramente situada
no mesmo plano. Quando isto não acontece, ele é não convexo (ou côncavo).
Classificam-se, ainda, os poliedros em: regulares e não regulares. Um poliedro é
regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes e seus ângulos sólidos são
do mesmo número de faces e, também, congruentes; quando isto não acontece, o poliedro é
não regular. Só existem cinco poliedros regulares: o tetraedro, o hexaedro, o octaedro, o
dodecaedro e o icosaedro. Existem vários sólidos que não são regulares, e que são de
grande importância na Geometria. São eles: o prisma, os paralelepípedos e as pirâmides.
Poliedro Convexo
Poliedro Regular
Poliedro Não Convexo
Poliedro Não Regular
Há, ainda, a classificação dos poliedros segundo o seu número de faces.
4
Capítulo XI
Número de faces
Nome
4
Tetraedro
5
Pentaedro
6
Hexaedro
7
Heptaedro
8
Octaedro
10
Decaedro
12
Dodecaedro
20
Icosaedro
Os outros poliedros são designados pelo número de faces: poliedro de 16 faces,
poliedro de 30 faces etc.
Prisma
Prisma é um poliedro ou um sólido limitado por
superfícies planas, em que duas das faces são polígonos iguais
e paralelos (bases), e as demais são paralelogramos,
determinados pelos pares de lados iguais e paralelos, um de
cada base.
B
A
C
E
D
Elementos do Prisma
a. Bases - são os polígonos ABCDE e A'B'C'D'E'
B'
C'
A'
b. Arestas da base - AB , BC ,CD , DE , EA e
A 'B' , B'C' , C'D' , D'E' , E'A'
E'
D'
c. Arestas laterais - AA' , BB' ,CC' , DD' , EE'
d. Faces laterais - são os paralelogramos ABB'A'; BCC'B'; CDD'C'; DEE'D'; EAA'E'
5
Capítulo XI
e. Altura - é a distância entre as bases
Classificação dos Prismas
Prisma reto é o prisma cujas arestas laterais são perpendiculares às bases. Veja:
Observe que as bases são polígonos
congruentes, as faces laterais são retângulos e a
altura e a aresta lateral tem a mesma medida.
Prisma oblíquo é o que tem arestas
laterais oblíquas às bases. Suas faces são
paralelogramos e a altura é menor que a aresta
lateral.
Prisma regular é o prisma reto que tem polígonos regulares como bases. O
exemplo mostra um prisma regular cuja base é um triângulo e outro cuja base é um
quadrado (cubo).
6
Capítulo XI
Os prismas são classificados de acordo com o número de lados dos polígonos das
bases e conforme a inclinação das arestas laterais em relação aos planos das bases (oblíquos
ou retos).
Com relação à base, os prismas classificam-se em:
1. Triangular: as bases são triângulos.
2. Quadrangular: as bases são quadriláteros.
3. Pentagonal: as bases são pentágonos.
4. Hexagonal: as bases são hexágonos.
5. Heptagonal: as bases são heptágonos.
6. E assim por diante.
Paralelepípedo
É um prisma cujas bases são paralelogramos.
As seis faces de um paralelepípedo (as quatro laterais e as duas bases) são
paralelogramos.
Um prisma reto cujas bases são retângulos é um paralelepípedo retângulo (ou
paralelepípedo reto-retângulo, ou ortoedro).
As seis faces de um paralelepípedo retângulo são retângulos.
Vejamos alguns exemplos de paralelepípedos:
Paralelepíped
o Oblíquo
Paralelepíped
o Reto
Cubo
7
Capítulo XI
Paralelepípedo Retângulo
Dado um paralelepípedo retângulo cujo retângulo da base
tem lados a e b e cuja altura é c, dizemos que o paralelepípedo
tem dimensões a, b e c.
Notemos que ele possui quatro arestas de medida a,
quatro de medida b e quatro de medida c, e ainda que a, b e c são
as medidas das três arestas que concorrem num mesmo vértice.
c
a
b
Vejamos como obter a área total S e o volume V do paralelepípedo retângulo de
dimensões a, b e c.
Cálculo de S
A área total é a área da superfície total: seis retângulos, dos quais dois tem dimensões
a e b, dois a e c e dois a e b.
Assim:
S = 2(ab + ac + bc)
Cálculo de V
Preliminarmente vamos colocar o seguinte:
a. um cubo de 1 cm de aresta tem 1 cm³ de volume;
b. um cubo de 1 dm de aresta tem 1 dm³ de volume;
c. um cubo de 1 m de aresta tem 1 m³ de volume.
Essas sentenças praticamente traduzem a definição: um cubo de aresta unitária (de
aresta 1) é o cubo unitário, e seu volume é a unidade de volume (seu volume é 1).
Consideremos agora um paralelepípedo retângulo de dimensões 5 cm, 2 cm e 3 cm
representado nas figuras abaixo
3 cm
2 cm
5 cm
8
Capítulo XI
Decompondo cada dimensão em unidades de comprimento (cm), teremos cinco
unidades (5 cm), duas unidades (2 cm) e três unidades (3 cm), respectivamente. Isso nos
sugere que o paralelepípedo pode ser dividido em 5 x 2 x 3 cubos unitários (cm³) e então o
volume desse paralelepípedo é 5 cm x 2 cm x 3 cm = 30 cm³.
De modo geral, o volume V de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é
dado pela fórmula:
V = a . b. c
E notando que a . b é a área da base (Ab) e c é a altura (h) do paralelepípedo, podemos
também colocar:
V = Ab . h
Cubo
O cubo é um paralelepípedo retângulo cujas seis faces são quadrados.
Um cubo possui todas as 12 arestas congruentes entre si.
Vejamos como obter a área total S e o volume V de um cubo de aresta a.
Cálculo de S
A superfície total de um cubo, é a reunião de seis quadrados congruentes. Se o cube
tem aresta a, cada face tem área a².
Portanto:
S = 6a²
Cálculo de V
Analogamente ao cálculo do volume de um paralelepípedo, podemos calcular a área de
um cubo de aresta a assim:
V = a³
9
Capítulo XI
Áreas e Volumes de um Prisma
Área da Base (AB)
A área da base de um prisma é a área de um polígono.
Por exemplo, se a base do prisma for um quadrado de lado a, temos A b = a², se for um
2 3
triângulo equilátero de lado a, temos A b =a ⋅ .
4
Área Lateral (AL)
A superfície lateral de um prisma é a reunião de suas faces laterais. A área dessa
superfície é chamada área lateral do prisma e é indicada por A l.
Al = soma das áreas das faces laterais
Área Total (AT)
A superfície total de um prisma, assim como a de qualquer outro sólido geométrico, é a
reunião da superfície lateral com as bases. A área dessa superfície é chamada área total do
prisma e é indicada por At.
At = Al + 2 . Ab
Para facilitar o entendimento da área total de um prisma,
poderemos planificar a superfície afim de sabermos quais as figuras
que o compõe.
Por exemplo, se considerarmos um prisma regular hexagonal.
Assim, teremos:
• Área da base: Ab
É a área de um hexágono regular.
• Área total: At
Para visualizar a superfície total, vamos planificá-la.
10
Capítulo XI
De acordo com a planificação, podemos perceber claramente que o prisma hexagonal
é formado por 6 retângulos (faces laterais) e dois hexágonos (bases).
Volume (V)
O volume de um prisma, assim como o de um paralelepípedo retângulo, é igual ao
produto da área da base ela medida da altura:
V = Ab . h
Pirâmide
Consideremos um polígono (ou região poligonal) ABCDE de
cinco lados e um ponto V. Tomemos segmentos de reta, todos com
uma extremidade em V e a outra extremidade nos pontos de
ABCDE. A reunião desses segmentos é um sólido chamado
pirâmide pentagonal.
Se em lugar de um pentágono tivermos um triângulo, a
pirâmide obtida será uma pirâmide triangular; se for um quadrilátero,
teremos uma pirâmide quadrangular; e se for um polígono genérico
(de n lados), teremos uma pirâmide genérica.
V
D
E
C
B
A
Elementos
V
Considerando a pirâmide representada ao lado,
temos que:
a. V é o vértice da pirâmide;
b. o polígono ABCDEF é a base da pirâmide;
c. os lados AB , BC ,CD , DE , EF e FA são as arestas
da base;
d. os
segmentosVA , VB ,VC ,VD ,VE e VF são
arestas laterais;
as
F
h
E
A
D
B
C
11
Capítulo XI
e. os triângulos VAB, VBC, VCD, CDE, VEF e VFA são as faces laterais;
f. a distância do vértice da pirâmide ao plano da base é a altura da pirâmide.
Classificação
As pirâmides podem ser classificadas de acordo com as bases:
• pirâmide triangular: a base é um triângulo;
• pirâmide quadrangular: a base é um quadrilátero;
• pirâmide pentagonal: a base é um pentágono;
• pirâmide hexagonal: a base é um hexágono;
• e assim por diante.
Vejamos alguns exemplos de pirâmides:
Pirâmide Triangular
(tetraedro)
Pirâmide
Quadrangular
Pirâmide Pentagonal
Pirâmide Regular
Uma pirâmide é dita regular quando sua base é um
polígono regular. No caso da figura ao lado, um pentágono.
A projeção ortogonal do vértice de uma pirâmide regular
sobre o plano da base é o centro da base.
Numa pirâmide regular, as arestas laterais são
congruentes e as faces laterais são triângulos isósceles
congruentes.
Volume
Observe o paralelepípedo abaixo e à esquerda. Ele foi cortado por um plano (área
12
Capítulo XI
hachurada) que o dividiu em 2 prismas triangulares. Na figura seguinte à direita destacamos
um desses prismas.
De acordo com a figura abaixo, percebemos que o prisma foi divido em três pirâmides
triangulares. A pirâmide de vértices CDEF, a pirâmide de vértices ABCD e a pirâmide de
vértices BCDE.
E
F
D
B
C
A
Portanto, se um paralelepípedo divide-se em 2 prismas que se dividem em 3 pirâmides
cada, podemos dizer que em um paralelepípedo cabem 6 pirâmides. Então:
1
V PIR ÂMIDE = ⋅volume do paralelepípedo
6
ou
1
1
V PIRÂ MIDE = ⋅v olume do prisma ⇒ V P IRÂ MIDE = ⋅A b⋅h
3
3
13
Capítulo XI
Cilindro
Os cilindros podem ser classificados conforme a sua inclinação em relação aos planos
das bases.
Cilindro Oblíquo
Cilindro Reto
Área Total
A área total de um cilindro é a soma da superfície lateral com os círculos das bases.
O comprimento das bases é o comprimento de um círculo, que vale 2πr. Se cortarmos
verticalmente o cilindro e o planificarmos perceberemos que sua superfície lateral é um
retângulo de dimensões 2πr e h.
r
h
h
2πr
Então, A t =A l 2A b . Substituindo Al = 2πrh e Ab = πr², vem:
Volume
O volume de um cilindro é obtido da mesma forma que o volume do prisma:
V = Ab . H
Substituindo Ab = πr², vem:
V = πr²h
14
Capítulo XI
Cone
Área Total
A área total do cone será a reunião da área da base (círculo) com a área lateral.
Fazendo-se um corte transversal do vértice do cone até a circunferência e planificando
encontramos um setor circular de raio g e cujo comprimento do arco é 2πr (perímetro da base)
g
g
2πr
r
Notemos que o raio do setor é g e comprimento do arco do setor é 2πr.
Comprimento do arco
Área do setor
2πg
πg²
2πr
Al
g πg 2
Dai, sai que r = A . Então: Al = πrg.
l
Assim, a superfície total do cone é:
A t =2 πr  h + r 
At = πrg + πr²⇒ At = πr(g + r)
Volume
O volume do cone é obtido da mesma forma que o volume da pirâmide:
15
Capítulo XI
1
V= ⋅A b⋅h
3
Substituindo Ab por πr², temos:
1
V CONE = ⋅πr 2 h
3
Esfera
Elementos
Considerando a superfície de uma esfera de eixo e, temos que:
Pólos são as interseções da superfície com o
eixo;
Equador
é
a
seção
(circunferência)
perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície;
Paralelo é uma seção (circunferência)
perpendicular ao eixo. É “paralela” ao equador;
Meridiano é uma seção (circunferência) cujo
plano passa pelo eixo.
Seção da Esfera
Toda seção plana de uma esfera é um círculo.
Sendo r o raio da esfera, d a distância do plano secante ao centro e s o raio da seção,
vale a relação:
s² = r² - d²
Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como seção um círculo máximo
da esfera.
16
Capítulo XI
Área da Esfera
A área de uma superfície esférica de raio r é igual a 4πr².
A = 4πr²
Volume da Esfera
4
3
O volume de uma esfera de raio r é igual a 3 πr .
4 3
V = r
3
17
Capítulo XII
Consideremos o seguinte problema: uma lanchonete oferece a seus clientes apenas
dois tipos de sanduíche: cachorro quente e hambúrguer. Como sobremesa há três opções:
sorvete, torta ou salada de frutas.
Quantas são as possibilidades para uma pessoa fazer uma refeição incluindo um
sanduíche e uma sobremesa?
De acordo com o enunciado, podemos ter as seguintes refeições:
a. cachorro quente e sorvete
d. hambúrguer e sorvete
b. cachorro quente e torta
e. hambúrguer e torta
c. cachorro quente e salada de
frutas
f. hambúrguer e salada de frutas
A determinação de tais possibilidades pode ser simplificada através de um diagrama,
em que, na 1ª coluna, representaremos as possibilidades de escolha do sanduíche e, na 2ª
coluna, as possibilidades de escolha da sobremesa.
Cachorro quente
Hambúrguer
Sorvete
Refeição 1
Torta
Refeição 2
Salada de frutas
Refeição 3
Sorvete
Refeição 4
Torta
Refeição 5
Salada de frutas
Refeição 6
Esse esquema é conhecido como diagrama da árvore. Fazendo a leitura ao longo de
18
Capítulo XII
todas as “ramificações” da árvore, obtemos as possíveis refeições.
Notemos que fazer uma refeição completa representa uma ação constituída de duas
etapas sucessivas:
• Escolha do tipo de sanduíche: há duas possibilidades de fazer tal escolha.
• Escolha da sobremesa: para cada uma das possibilidades anteriores, há três
maneiras de escolher a sobremesa.
Assim, a realização da ação (duas etapas sucessivas) pode ser feita de 2 x 3 = 6
maneiras distintas que foram anteriormente indicadas.
Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas. A 1ª etapa
pode ser realizada de n maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a 2ª etapa
pode ser realizada de m maneiras distintas. Então, o número de possibilidades de se efetuar a
ação completa é dado por n x m.
Esse princípio pode ser generalizado para ações constituídas de mais de duas etapas
sucessivas.
Exemplo
Há quatro estradas ligando as cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C.
De quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando por B?
Fazer a viagem de A a C pode ser considerado uma ação constituída de duas etapas
sucessivas:
•
Ir de A até B: temos quatro possibilidades.
•
Ir de B a C: para cada uma das possibilidades anteriores, há três maneiras
de chegar a C, a partir de B.
Assim, pelo PFC, o resultado procurado é 4 x 3 = 12.
Arranjos
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos,
tomados k a k, a qualquer sequência ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n
existentes.
19
Capítulo XII
Exemplo 1
Dado o conjunto A = {1,2,3,4}, vamos escrever todos os arranjos desses quatro
elementos tomados dois a dois:
Devemos escrever todas as sequências ordenadas de dois elementos distintos
escolhidos entre os elementos de A. Assim, temos:
(1,2); (1,3); (1,4); (2,1); (2,3); (2,4)
(3,1); (3,2); (3,4); (4,1); (4,2); (4,3)
Notemos que (2,3) ≠ (3,2), isto é, a troca na ordem dos elementos de um possível
agrupamento gera um agrupamento diferente.
Cálculo do Número de Arranjos
Seja um conjunto com n elementos distintos. Vamos encontrar uma expressão para o
número de arranjos dos n elementos tomados k a k (indica-se An,k).
Escrever um arranjo dos n elementos tomados k a k significa escrever uma sequência
ordenada de k elementos distintos (k ≤ n), escolhidos entre os n disponíveis. Assim, pelo PFC,
a ação pedida consta de k etapas sucessivas, que correspondem às escolhas dos k elementos.
1ª etapa: há n elementos para serem escolhidos
2ª etapa: como os elementos devem ser distintos, há n-1 possibilidades
3ª etapa: n-2
4ª etapa: n-3
5ª k-ésima etapa: n – (k-1)
Dessa forma, o número total de arranjos dos n elementos tomados k a k é:
An,k = n.(n-1)(n-2)...(n–k+1)
Multiplicando e dividindo a expressão acima por (n-k)! = (n-k)(n-k-1)...3 . 2 . 1, vem:
 n −k  n −k −1  . .. 3⋅2⋅1
An,k = n.(n-1)(n-2)...(n–k+1). A n,k =n .  n −1   n−2  . ..  n–k +1 ⋅ n −k  n −k −1  . .. 3⋅2⋅1
isto é:
A n,k =
n!
 n −k  ! n ≥ k
20
Capítulo XII
Exemplo 2
A senha de um cartão eletrônico é formada por duas letras distintas seguidas por uma
sequência de três algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser “confeccionadas”?
Como importa a ordem em que são escolhidas as letras, o número de maneiras de
escolhê-las é dado por A26,2.
Analogamente, a sequência de três algarismos distintos pode ser escolhida de A 10,3
maneiras.
Pelo PFC, o número de senhas que podem ser confeccionadas é:
A 26,2 ×A 10,3 =650 ×720=468 .000
Permutações
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se permutação dos n elementos a
todo arranjo desses n elementos tomados n a n.
O número total de permutações de n elementos, indicado por Pn, é dado por:
P n =An,n =
n!
n!
= =n!
 n−n  0 !
Notemos que a permutação é um caso particular de arranjo, pois, dado um conjunto
com n elementos distintos, selecionamos exatamente n elementos para formar a sequência
ordenada.
Exemplo
Oito pessoas, entre elas Antônio e Pedro, vão posar para uma fotografia. De quantas
maneiras elas podem ser dispostas se Antônio e Pedro recusam-se a ficar lado a lado?
Sem levar em conta a restrição apresenta, o número total de possibilidades é
P 8 =8 ! = 40 . 320 .
Para determinar o número de possibilidades em que Antônio e Pedro aparecem juntos,
vamos considerá-los “uma só pessoa”, que irá permutar com as seis restantes, num total de
P 7 =7 ! = 5 . 040 maneiras. Porém, para cada uma das possibilidades acima, Antônio e Pedro
podem trocar de lugar entre si, num total de P 2 =2! = 2 maneiras. Dessa forma, 2 x 5.040 =
10.080 é o número de maneiras em que eles aparecem juntos.
Por fim, a diferença 40.320 – 20.080 = 30.240 fornece o número de situações em que
Antônio e Pedro não aparecem lado a lado.
21
Capítulo XII
Combinações
Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n
elementos de A, tomados k a k, a qualquer subconjunto de A formado por k elementos.
Tanto arranjo como combinação são agrupamentos
de k elementos distintos escolhidos a partir de um
conjunto de n elementos. A diferença, é que, no arranjo, se
mudarmos a ordem dos elementos de certo agrupamento,
obteremos um novo agrupamento; na combinação,
mudando a ordem dos elementos de certo agrupamento,
obtemos o mesmo agrupamento.
Cálculo do Número de Combinações
Considere o seguinte problema: Uma classe é formada por 10 alunos. Deseja-se
formar uma comissão de três alunos para representação discente na escola. De quantas
maneiras poderemos fazer tal escolha?
Calculemos inicialmente o número de triplas ordenadas de alunos. Como vimos, temos
10 !
um total de A 10,3= 7 ! =720 sequências ordenadas .
Suponhamos que A, B e C estejam entre os 10 alunos da classe. Essas 720
possibilidades incluem, entre outras, os seguintes arranjos:
(A,B,C), (A,C,B), (B,A,C), (B,C,A), (C,A,B), (C,B,A)
Em cada um desses casos – que diferem entre si apenas pela ordem dos elementos
escolhidos – os alunos A, B e C farão parte da comissão. Assim, os seis arranjos acima
passam a ser “equivalentes entre si”, correspondendo a uma única combinação {A,B,C}, pois
determinam sempre a mesma comissão.
Dessa forma, aos seis arranjos corresponde uma combinação; então, para os 720
arranjos, teremos x combinações:
6 arranjos
__________
1 combinação
720 arranjos
__________
x
Resolvendo a proporção acima, vem:
x=
720
6
22
Capítulo XII
isto é:
x = 120 comissões
De modo geral, qualquer permutação de uma determinada sequência ordenada dá
origem a uma única combinação.
Genericamente, o número de combinações de n elementos distintos, tomados k a k,
que se indica por Cn,k, é dado por:
C n,k =
A n,k
n!
=
Pk
k!  n −k  !
,n≥k
Exemplo
Uma pizzaria oferece 15 diferentes sabores de pizza a seus clientes.
a. De quantas maneiras uma família pode escolher três desses sabores?
Escolher as pizzas {P1, P2, P3} é o mesmo que escolher as pizzas {P2, P1, P3}.
Assim, cada possível escolha da família é uma combinação das 15 pizzas tomadas três a
três.
O resultado procurado é, portanto:
C 15,3 =
15 !
15⋅14⋅13⋅12 !
=
=455
3 ! 12!
3⋅2⋅1⋅12 !
b. Suponhamos, agora, que uma família sempre opta por mussarela. Como poderão
ser escolhidos os outros dois sabores?
Como um dos sabores já foi definido, os outros dois sabores serão escolhidos entre os
14 restantes.
Dessa forma, o número de possibilidades é dado por:
C 14,2 =
14 !
=91
12 ! 2 !
23
Capítulo XIII
Experimento Aleatório
Todo experimento que, repetido em condições idênticas, pode apresentar diferentes
resultados recebe o nome de experimento aleatório. A variabilidade de resultados deve-se ao
acaso.
São exemplos de experimentos aleatórios o lançamento de uma moeda, o lançamento
de um dado, a extração de uma bola de uma urna que contém bolas de diferentes cores, etc.
Espaço Amostral
Consideremos um experimento aleatório. O conjunto de todos os possíveis resultados
desse experimento é chamado espaço amostral e indicado por Ω (letra grega que se lê:
“ômega”).
Indicaremos o número de elementos de um espaço amostral por n(Ω).
Exemplo 1
Lançamos uma moeda honesta e observamos a face voltada para cima. Temos:
Ω = {K, C}, onde K: cara e C: coroa
n(Ω) = 2
Chamaremos cada um dos dois resultados possíveis de ponto amostral.
Exemplo 2
Uma urna contém cinco bolas vermelhas e quatro brancas. Duas bolas são extraídas,
ao acaso, sucessivamente e sem reposição. Observamos a sequência de cores das bolas
sorteadas.
Para determinar Ω, vamos construir um diagrama de árvore:
24
Capítulo XIII
1ª extração
2ª extração
Vermelha
Vermelha
Branca
Vermelha
Branca
Branca
Indicando vermelha por V e branca por B, temos:
Ω = {(V,V), (V,B), (B,V), (B,B)}; n(Ω) = 4
Cada par acima é um dos pontos amostrais de Ω.
Evento
Consideremos um experimento aleatório cujo espaço amostral é Ω. Chamamos evento,
e indicamos por E, a qualquer subconjunto de Ω.
Exemplo
Lançamos um dado e observamos o número da face voltada pra cima. Vamos
determinar os seguintes eventos:
a. E1: ocorrência de número impar.
b. E2: ocorrência de número maior ou igual a 4.
Temos:
Ω = {1,2,3,4,5,6}
f. E1 = {1,3,5}; observe que E 1 ⊂
g. E2 = {4,5,6}; observe que E 2⊂
Probabilidade em Espaço Amostrais Equiprováveis
Consideremos um espaço amostral Ω, formado por k pontos amostrais:
Ω = {a1, a2, a3, …,ak}
Vamos associar a cada um desses pontos amostrais um número real, p{a i}, ou
simplesmente pi, chamado probabilidade do evento {ai} (ou probabilidade de ocorrência do
ponto amostral ai) tal que:
1. 0 ≤ pi ≤ 1
25
Capítulo XIII
k
2. ∑ p i =1 , isto é, p1 + p2, + … + pk = 1
i=1
Consideremos aqui os espaços amostrais equiprováveis, isto é, aqueles cujos
pontos amostrais tem a mesma probabilidade de ocorrer.
Assim, se denotarmos por p a probabilidade de ocorrência de cada um dos pontos
amostrais de Ω, temos, em II:
p + p + . .. + p =1 ⇒ k⋅p =

1⇒ p =
k vezes
1
k
A probabilidade de ocorrência de um evento E, formado por r pontos amostrais E = {a1,
a2, a3, …,ar}, com r ≤ k, é dada por:
1 1
1
r número de elementos de E n  E 
p  E  =p1 + p 2 ⋯ + p r ⇒ p  E =  ⋯ ⇒ p  E  = =
=
k k
k
k número de elementos de  n  

r vezes
n E 
Como E ⊂ , temos que n(E) n(Ω). Dessa forma, p  E  = n    é tal que 0 ≤ p(E) ≤ 1.
Essa definição de probabilidade é intuitiva, isto é, a probabilidade de ocorrer
determinado evento é dada pela razão entre o número de casos favoráveis (ou número de
casos que nos interessam) e o número de casos possíveis (ou número total de casos).
Assim, p  E  =
n  E  número de casos favoráveis
=
n    número de casos possíveis
Exemplo 1
Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso da
urna. Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 11?
Temos:
Ω = {1,2,3,...,15}
Seja o evento E: “o número da bola sorteada é maior ou igual a 11”. Temos: E =
{11,12,13,14,15}. Assim:
p  E =
n E  5 1
= = ≃ 33,3
n    15 3
Exemplo 2
Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada pra cima. Qual a
probabilidade de esse número ser:
a. menor que 3?
26
Capítulo XIII
b. maior ou igual a 3?
Resolução
Ω = {1,2,3,4,5,6}
a. Seja E o evento “o número é menor que 3”. Temos:
E = {1,2}. Então, p  E  =
n E  2 1
= =
n   6 3
b. Basta considerar o evento complementar em relação ao evento anterior, isto é, E c =
{3,4,5,6}.
c
Assim, p  E =
n  Ec 4 2
= =
n   6 3
Note sempre que p(E) + p(Ec) = 1.
Exemplo 3
Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente. Qual a probabilidade de
observarmos:
a. exatamente uma cara?
b. No máximo duas caras?
Vamos construir um diagrama de árvore onde na 1ª, 2ª e 3ª colunas, respectivamente,
representaremos os possíveis resultados para o 1º, 2º e 3º lançamentos.
K
(K,K,K)
C
(K,K,C)
K
(K,C,K)
C
(K,C,C)
K: cara
K
(C,K,K)
C: coroa
C
(C,K,C)
K
(C,C,K)
C
(C,C,C)
K
K
C
K
C
C
O espaço amostral é formado pelas oito sequências indicadas.
a. O evento E1 que nos interessa é:
27
Capítulo XIII
{(K,C,C), (C,K,C), (C,C,K)}
Assim, p  E 1 =
n  E 1
3
= =37,5%
n   8
b. As sequências que nos interessam são aquelas que apresentam nenhuma, uma ou
duas caras. Assim, o evento pedido é:
E2 = {(C,C,C), (K,C,C), (C,K,C), (C,C,K), (K,K,C), (K,C,K), (C,K,K)}
7
Logo, p  E 2  = 8 =87,5%
Nos três exemplos anteriores, foi possível construir o espaço amostral,
representando cada um de seus pontos amostrais. Muitas vezes, porém, fica
muito trabalhoso descrever todos os elementos ou pontos amostrais. Dessa
forma, as técnicas estudadas em análise combinatória nos permitirão
determinar o número de elementos tanto do espaço amostral Ω como do
evento E, sem que seja necessário apresentar Ω e E explicitamente.
Exemplo 4
Uma classe tem 20 meninos e 25 meninas. Deseja-se formar uma comissão de cinco
alunos para representantes de classe. Qual a probabilidade de essa comissão vir a ser
formada exclusivamente por meninos?
Resolução
O número de elementos de Ω é igual ao número de maneiras de se escolher uma
comissão qualquer de cinco pessoas, a partir dos 45 alunos. Como vimos, n(Ω) = C45, 5.
O evento E que nos interessa é aquele em que todos os alunos da comissão são
meninos. O número de comissões assim existentes é C20, 5.
Assim, a probabilidade pedida é:
p  E =
C 20,5
≃ 0,0126=1,26%
C 45,5
Exemplo 5
Escolhe-se, ao acaso, um dos anagramas da palavra XADREZ. Qual a probabilidade
de a “palavra” escolhida começar por XA?
28
Capítulo XIII
O número de elementos de Ω é o número de permutações da palavra XADREZ.
Então: n(Ω) = P6 = 6! = 720.
O evento E que nos interessa é “a palavra começa por XA”. Temos:
X A

definidas as duas primeiras letras, háP =4 ! maneiras de se preencherem as lacunas restantes
4
Assim, n(E) = 4! = 24.
Logo, a probabilidade pedida é
p  E =
n  E  24
1
=
= ≃ 3,33%
n    720 30
Probabilidade da União de Dois Eventos
Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral Ω. Vamos encontrar uma
expressão para a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, isto é, a probabilidade da
ocorrência do evento A∪B .
Consideremos dois casos:
A∩B= ∅
Temos:
Ω
A
n(A∪B) = n(A) + n(B)
B
Como n(Ω) ≠ 0, podemos escrever:
n  A∪B  n  A  n  B 
=

n  
n   n   
Da definição de probabilidade apresentada, segue que:
p(A∪B) = p(A) + p(B)
Nesse caso, A e B são chamados eventos mutuamente
exclusivos.
A∩B≠∅
A
A∩ B
B
Da teoria dos conjuntos, temos que:
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∪B)
De modo análogo ao 1º caso, segue que
29
Capítulo XIII
p(A∪B) = p(A) + p(B) – p(A∪ B)
O evento A∪B representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.
Exemplo 1
Uma urna contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso
dessa urna.
a. Qual é a probabilidade de o número da bola sorteada ser múltiplo de 2 ou de 3?
Consideremos os eventos A, “o número é múltiplo de 2”, e B, “o número é múltiplo de
3”. Queremos encontrar p(A∪B).
Resolução
A = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24} p  A  =
B = {3,6,9,12,15,18,21,24} p  A  =
n  A  12
=
n   15
n B 8
=
n   25
AB = {6,12,18,24}: é o evento formado pelos números que são múltiplos de 2 e 3 ao
4
mesmo tempo, isto é, pelos múltiplos de 6. Temos: p  A∩B  =25
p  A∩B  =
12
8
4 16
 − = =0,64=64%
25 25 25 25
b. Qual é a probabilidade de o número da bola sorteada ser múltiplo de 5 ou de 7?
Sejam os eventos:
• A: “o número é múltiplo de 5”;
5
A = {5,10,15,20,25} e p  A  = 25
• B: “o número é múltiplo de 7”;
3
B = {7,14,21} e p  B = 25
Como A∩B= ∅ , segue que:
5
3
8
p(A∪ B) = p(A) + p(B)  p  A∪B  =25 25 ⇒ p  A∪B = 25 =0,32 =32%
Exemplo 2
A probabilidade de um guarda rodoviário aplicar quatro ou mais multas em um dia é de
30
Capítulo XIII
63%; a probabilidade de ele aplicar quatro ou menos multas em um dia é de 56%. Qual é a
probabilidade de o guarda aplicar exatamente quatro multas em um dia?
Consideremos os eventos:
• A: “o guarda aplica quatro ou mais multas”;
p(A) = 0,63
• B: “o guarda aplica quatro ou menos multas”;
p(B) = 0,56
:
Resolução
I.
A∪B é o evento “o guarda aplica exatamente quatro multas”. Queremos
determinar p(AB).
II. A∪B = Ω (pois em um dia o guarda aplica menos de quatro multas, ou
quatro multas, ou mais de quatro multas).
Assim, p(A∪B) = p (Ω) = 1 (pois A B é o evento certo)
Daí:
p(A∪B) = p(A) + p(B) – p(A∪B)
1 = 0,63 + 0,56 - p(A∪B) p(A∪B) = 0,19 = 19%
31
Capítulo XIV
Razão
Considere a situação a seguir.
Num exame, 1.200 candidatos disputam 400 vagas.
Se compararmos esses dois números através de uma divisão, obteremos:
1200 3
1200 ÷400 =
=
400
1→
Dizemos que há 3 candidatos para cada vaga ou que a razão entre
o número de candidatos e o número de vagas é de 3 para 1.
400
1
Dizemos que para cada vaga há 3 candidatos ou que a razão entre
400÷1200 =
=
1200 3 →
o número de vagas e o número de candidatos é de 1 para 3.
Quando comparamos dois números através da divisão, como fizemos nessa situação,
o resultado obtido chama-se razão entre esses dois números.
Assim:
Sendo a e b dois números racionais,
com b ≠ 0, denomina-se razão entre a e
b ou razão de a pra b o quociente
a
ou a ÷b
b
a
A razão b ou a ÷b pode ser lida de uma das seguintes maneiras:
Razão de a para b
ou a está para b
ou a para b
32
Capítulo XIV
Exemplo
Calcular a razão da área do primeiro retângulo para a área do segundo retângulo.
2
1m
1
40 cm
60 cm
1,2 m
A1 = 60 x 40 = 2.400 cm²
A2 = 120 x 100 = 12.000 cm²
A1 2400
1
=
= →
A 2 12000 5
1 para 5, ou seja, a área do retângulo 2 é cinco vezes a
área do retângulo 1.
Escala
Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução
ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala.
Quando queremos representar com um desenho certos objetos (móveis, automóveis
etc.), a planta de uma casa, a maquete de um o prédio ou fazer um mapa, usamos uma escala.
Denomina-se escala de um
desenho a razão entre o comprimento
considerado
no
desenho
e
o
correspondente
comprimento
real,
medidos com a mesma unidade. Em
geral, utilizamos as medidas em
centímetro para determinar uma escala.
escala =
comprimento no desenho
comprimento real
33
Capítulo XIV
No mapa acima, a escala é de 1 : 25.000.000 para a região do
Brasil e 1 : 4.000.000 para a região do Rio de Janeiro.
Isto significa que 1 cm no desenho corresponde a 25.000.000 cm
ou 250 km no real para o Brasil e 4.000.000 cm ou 40 km no real para o
Rio de Janeiro.
Assim, se a distância entre duas cidades no mapa do Brasil é de
2,5 cm, a distância real será de 2,5 . 250 = 625 km. E se a distância real
entre dois municípios cariocas é de 140 km, no mapa que corresponde à
região do Rio de Janeiro, esta distância será de 140 : 40 = 3,5 cm.
Proporção
Vamos analisar a seguinte situação:
Um posto de gasolina oferece um desconto de R$ 1,00 para cada 10 litros
completos de gasolina. Se uma pessoa colocar 50 litros de gasolina no carro, que
desconto irá obter?
Com os dados do problema, podemos montar uma tabela:
Litros
Desconto (em R$)
10
1
20
2
30
3
40
4
50
5
→ o desconto será de R$ 5,00
Nesta tabela podemos destacar:
34
Capítulo XIV
Litros
Desconto (em R$)
10
1
20
2
30
3
40
4
50
5
1
→ razão entre desconto e litros: 10
5
→ razão entre desconto e litros: 50
1
5
1
5
Verificamos que as razões 10 e 50 são iguais. Então 10 =50 .
Uma sentença matemática que expressa uma igualdade entre duas razões é chamada
proporção.
Daí definimos:
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
a
c
Na proporção b = d , temos:
• Os números a, b, c e d são denominados termos da proporção.
• O primeiro e o quarto termos são denominados extremos, enquanto que o
segundo e o terceiro são denominados meios.
extremos
a c
=
b d
a ÷b = c÷d
meios
meio
extremo
meio
extremo
35
Capítulo XIV
1
5
Considerando a proporção anterior 10 =50 temos:
a. produto dos extremos 1⋅50=50
b. produto dos meios: 5⋅10 =50
Esse fato se repete sempre que tomamos uma proporção.
Daí, podemos definir a propriedade fundamental das proporções.
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao
produto dos meios e vice-versa.
Grandezas Proporcionais
Números Diretamente Proporcionais
Consideremos a seguinte situação: uma torneira é aberta para encher um reservatório.
De tempos em tempos, é medida a altura da água no reservatório, e o resultado dessa
medição encontra-se na tabela seguinte:
Tempo (em min)
Altura da água (em cm)
10
12
15
18
20
24
25
30
30
36
Vamos observar o que ocorre quando consideramos um número da 1ª coluna e o seu
correspondente na 2ª coluna.
10 5
=
12 6
15 5
=
18 6
20 5
=
24 6
25 5
=
30 6
30 5
=
36 6
36
Capítulo XIV
Podemos então escrever:
10 15 20 25 30 5
= = = = =
12 18 24 30 36 6
Quando isso acontece, dizemos que os números da 1ª coluna são diretamente
proporcionais aos números correspondentes da 2ª coluna.
Dizemos que:
Os números racionais x, y e z são diretamente proporcionais aos
x y z
números racionais a, b e c quando se tem
= =
a b c
Números Inversamente Proporcionais
Consideremos a seguinte situação: uma bolinha deve se deslocar de um ponto A até
um ponto B. A velocidade da bolinha e o tempo correspondente que ela gasta nesse
deslocamento estão na tabela seguinte:
Velocidade (em m/s)
Tempo (em s)
20
60
40
30
60
20
80
15
Vamos observar o que ocorre quando consideramos um número da 1ª coluna e o seu
correspondente na 2ª coluna:
20⋅60 =1200
40⋅30=1200
60⋅20 =1200
80⋅15 =1200
Podemos, então, escrever:
20⋅60 =40⋅30=60⋅20=80⋅15=1200
Quando isso acontece, dizemos que os números da 1ª coluna são inversamente
proporcionais aos números correspondentes da 2ª coluna.
Dizemos, então, que:
37
Capítulo XIV
Os números racionais x, y e z são inversamente proporcionais
aos números racionais a, b e c quando se tem x . a = y . b = z. c
Regra de Três Simples
• Consideremos as seguintes situações: na extremidade de uma mola é colocado
um corpo com massa de 10 kg e verifica-se que o comprimento da mola é de 42 cm. Se
colocarmos uma massa de 15 kg na extremidade dessa mola, qual será o comprimento
da mola?
Vamos representar pela letra x o comprimento pedido.
Estamos relacionando dois valores da grandeza massa (10 kg e 15 Kg) com dois
valores da grandeza comprimento (42 cm e x cm).
Queremos determinar um desses quatro valores, conhecidos os outros três. Para isso,
vamos organizar os dados numa tabela.
Massa (em kg)
Comprimento (em cm)
10
42
15
x
Se duplicarmos a massa inicial do corpo, o comprimento da mola também duplicará.
Logo, as grandezas são diretamente proporcionais. Assim, os números 10 e 15 são
diretamente proporcionais aos números 42 e x.
Daí, temos:
10 42
630
=
10x =42⋅15 10x =630  x =
⇒ x = 63
15
x
10
O comprimento da mola será de 63 cm.
• Ao participar de um treino de Fórmula I, um competidor, imprimindo velocidade
média de 200 km/h, faz o percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240
km/h, qual o tempo que ele teria gasto no percurso?
Vamos representar pela letra x o tempo procurado.
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (200 km/h e 240 km/h) com
dois valores da grandeza tempo (18 segundos e x segundos).
38
Capítulo XIV
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três.
Velocidade (em km/k)
Tempo gasto para fazer o percurso (em s)
200
18
240
x
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto par fazer o percurso cairá
para a metade; logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 200 e
240 são inversamente proporcionais aos números 18 e x.
Daí, temos;
200⋅18=240⋅x
⇒ 3600=240⋅x
⇒ 240⋅x =3600
⇒x =
3600
240
⇒ x =15
O corredor teria gasto 15 segundos no percurso.
Regra de Três Composta
Consideremos algumas situações:
a. Trabalhando durante 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças
desse mesmo tipo serão produzidas por 7 operários, trabalhando durante 9 dias?
Vamos organizar os dados no quadro seguinte, indicando com a letra x o número de
peças pedido:
Número de operários
Número de dias
Número de peças
5
6
400
7
9
x
A
B
C
b. Fixando a grandeza A, vamos relacionar as grandezas B e C. Se dobrarmos o
número de dias, o número de peças também dobrará. Logo, as grandezas B e C são
39
Capítulo XIV
diretamente proporcionais.
c. Fixando a grandeza B, vamos relacionar as grandezas A e C. Se dobrarmos o
número de operários, o número de peças também dobrará. Logo as grandezas A e C são
diretamente proporcionais.
Então, a grandeza C é diretamente proporcional às grandezas A e B. Logo, seus
valores serão diretamente proporcionais aos produtos dos valores das grandezas A e B, ou
seja:
5 6 400
⋅ =
7 9
x
⇒
30 400
=
63
x
⇒ 30⋅x = 25.200
⇒x =
25.200
⇒ x = 840
30
Se as máquinas funcionarem durante 9 dias, serão produzidas 840 peças.
d. Um motociclista percorre em média 200 km em 2 dias, se rodar durante 4 horas
por dia. Em quantos dias esse motociclista percorrerá 500 km, se rodar 5 horas por dia?
Indicando o número de dias pela letra x, vamos colocar os dados do problema no
seguinte quandro:
Número de km
Número de h/dia
Número de dias
200
4
2
500
5
x
A
B
C
e. Fixando a grandeza A, vamos relacionar as grandezas B e C. Dobrando-se o
número de horas que ele roda por dia, o número de dias cairá para a metade. Logo, as
grandezas B e C são inversamente proporcionais.
f. Fixando a grandeza B, vamos relacionar as grandezas A e C. Dobrando-se o
número de quilômetros percorridos, o número de dias também dobrará. Logo as
grandezas A e C são diretamente proporcionais.
Então, a grandeza C é diretamente proporcional à grandeza A e inversamente
40
Capítulo XIV
proporcional à grandeza B. Isso nos leva a escrever a razão inversa dos valores que
representam a grandeza B.
Daí temos:
200 5 2
⋅ =
500
4 x
Razão Inversa
⇒
1000 2
=
2000 x
⇒1000⋅x = 4000
⇒x =
4000
⇒x =4
1000
O motociclista levará 4 dias para percorrer 500 km, se rodar 5 horas por dia.
Razões Escritas Na Forma Percentual
Praticamente todos os dias você vê na televisão ou lê nos jornais alguma coisa
relacionada com a expressão por cento.
A expressão por cento vem do latim per centum, que quer dizer por um cento. Assim,
quando você lê ou escuta uma afirmação como “Grande liquidação de verão: 40 por cento de
desconto em todos os artigos”, significa que você tem um desconto de 40 reais para cada 100
reais do preço de um artigo.
40
Isto nos leva, então, a estabelecer a razão 100 .
Além da forma fracionária e da forma decimal, uma razão também pode ser
representada na forma percentual, com o simbolo %.
Esse símbolo foi criado há quatro séculos por comerciantes ingleses, para simplificar a
linguagem nas transações comerciais.
a
Podemos, então, dizer que toda razão b , na qual b = 100, pode ser escrita na forma de
porcentagem e chama-se taxa de porcentagem.
Assim:
30
=0,30 =30  ou 30 porcento
100
Exemplo 1
41
Capítulo XIV
Em um jogo de basquete, Oscar cobrou 20 lances livres, dos quais acertou 65%.
Quantos lances livres ele acertou?
65
Este problema se resume em calcular 65% de 20. Sabemos que 65% = 100 = 0,65.
Representando por x o número de acertos, temos a equação:
x = 65% de 20
x = 0,65 . 20
x = 13
Oscar acertou 13 lances livres.
Exemplo 2
Durante o ano de 1997, uma equipe de basquete disputou 75 jogos, dos quais venceu
63. Qual é a taxa de porcentagem correspondente aos jogos que essa equipe venceu?
Vamos indicar por x o número que representa essa porcentagem. De acordo com o
problema, podemos escrever:
x⋅75=63
75x =63
x=
63
75
84
x = 0,84 ou 100 ou 84%
A equipe venceu 84% dos jogos que disputou.
Exemplo 3
Comprei 60 figurinhas e aproveitei apenas 45 em meu álbum. As restantes eram
repetidas. Qual foi a taxa de porcentagem de figurinhas repetidas?
Vamos calcular quantas figurinhas eram repetidas: 60 – 45 = 15
Representando por x o número que indica a porcentagem procurada, montamos a
equação:
x⋅60 =15
60x =15
42
Capítulo XIV
x=
63
75
25
x = 0,25 ou 100 ou 25%
Então, 25% das figurinhas que comprei eram repetidas.
Exemplo 4
Em um colégio 1400 alunos estudam no período da manhã. Esse número representa
56% do número de alunos que estudam nesse colégio. Quantos alunos estudam, ao todo,
nesse colégio?
Vamos representar por x o número total de alunos do colégio. Sabendo que 56% =
56
100 = 0,56, podemos escrever a equação:
0,56⋅x =1400
0,56 x = 1400
x=
1400
0,56
x = 2500
No colégio estudam ao todo 2500 alunos.
Exemplo 5
Na compra de um objeto, obtive um desconto de 15%. Paguei, então, R$ 76,50 pelo
objeto. Nessas condições, qual era o preço original desse objeto?
Como obtive um desconto de 15%, paguei o correspondente a 100% - 15% = 85% do
objeto.
Indicando o preço original por x, podemos escrever:
85% de x é igual a 76,50, ou seja:
0,85⋅x=76,50
0,85 x = 76,50
x=
76,50
0,85
x = 90
O preço original do objeto era 90 reais.
43
Capítulo XIV
Juros
• Quando uma pessoa pede dinheiro emprestado a uma outra pessoa ou a um
banco, ela paga uma compensação em dinheiro pelo tempo que fica com o dinheiro
emprestado.
• Quando uma pessoa compra uma mercadoria a prestação, ela paga um
acréscimo pelo tempo correspondente ao número de prestações.
• Quando uma pessoa aplica dinheiro em um banco, ela recebe uma compensação
pelo tempo em que está emprestando o dinheiro ao banco.
Essa compensação ou esse acréscimo a que estamos nos referindo chama-se juro e
corresponde sempre a uma porcentagem do valor do empréstimo ou da compra.
Suponhamos que uma pessoa deseje comprar uma geladeira e não disponha de
dinheiro suficiente para pagamento à vista. Nessas condições, ela pode efetuar a compra a
prazo ou tentar um empréstimo em um banco. Em qualquer um dos casos, a pessoa
geralmente paga uma quantia – além do preço da geladeira – a título de juros. O valor desses
juros é justificado pelo prazo obtido para o pagamento ou pelo “aluguel” do dinheiro
emprestado.
Há outras situações em que aparecem juros. Por exemplo, se uma pessoa dispõe de
uma importância em dinheiro, ela pode aplicá-la em uma caderneta de poupança ou em algum
outro investimento. Ao fim de certo período, ela recebera do banco a importância aplicada
acrescida de um valor referente aos juros da aplicação.
Normalmente, quando se realiza alguma operação desse tipo, fica estabelecida uma
taxa de juros por um período (mês, dia, ano), a qual incide sobre o valor da transação,
chamado de capital.
Juros Simples
Suponhamos que sobre uma quantia devam ser calculados juros simples, a uma taxa
fixa por período, durante certo número de períodos.
Isso significa que os juros correspondes a cada um dos períodos serão sempre
calculados sobre a quantia inicial. E só serão incorporados a ela ao final do último período.
Dizemos, portanto, que nesse regime há pagamento de juros constantes por períodos
iguais.
Atualmente, a maioria dos investimentos financeiros – como caderneta de poupança e
fundos de aplicações -, além de dívidas e reajuste de preços, não obedece ao princípio de
juros simples. A exceção principal é o mecanismo de desconto simples, que estudaremos
adiante.
44
Capítulo XIV
Exemplo 1
Um comerciante contraiu de um amigo um empréstimo de R$ 600,00,
comprometendo-se a pagar a dívida em 3 meses, à taxa de juros simples de 5% a.m. (ao
mês).
Para calcularmos os juros a serem pagos, fazemos:
a. Em um mês, os juros são de:
5% de 600,00 = 0,05 x 600 = 30,00
b. Como o prazo é de 3 meses, o total de juros é:
J = 3 x 30,00 = 90,00
Assim, ao final de 3 meses o comerciante deverá pagar:
600,00
 90,00
 =690,00
Capital
Juros
O valor total a ser pago (R$ 690,00) é chamado montante.
De modo geral, um capital C, empregado durante n períodos, à taxa i, produz juros J
dados por:
J=C⋅i⋅n
e montante M igual a:
M = C + J = C + Cin ⇒ M = C (1 + in)
A taxa deve ser sempre compatível com a
unidade de tempo considerada. Por exemplo, se a taxa
for de 4% a.m., para um prazo de 60 dias adotaremos
n = 2 (2 meses).
Exemplo 2
Um capital de R$ 210,00, aplicado em regime de juros simples durante 4 meses, gerou
um montante de R$ 260,40.
Para calcularmos a taxa mensal de juros considerada, fazemos:
M = C (1 + in), isto é,
260,40=210  1 +i⋅4 
45
Capítulo XIV
⇒
260,40
=14i
210
⇒1,24 =14i
⇒ 0,24=4i
⇒i= 0,06
⇒i= 6  a . m .
A taxa mensal de juros é de 6% ao mês.
Exemplo 3
À taxa anual de 30% (30% a.a.), certo capital, em 8 meses, produziu, a juros simples,
um total de R$ 1500,00. Calculemos o capital C aplicado.
30
Uma taxa de 30% a.a. Equivale a 12 = 2,5% a.m. Assim, devemos adotar i = 0,025.
Daí:
1500 =C  10,025⋅8 
⇒1500 =C⋅ 10,2 
⇒1500=1,2 C
⇒C=
1500
1,2
⇒C= 1250,00
O capital aplicado foi de R$ 1250,00
Juros Compostos
A existência de juro e de inflação gerou o estudo das operações financeiras. Esse
estudo, basicamente, acompanha os fluxos de dinheiro e analisa a variação do valor do
dinheiro, em função do tempo.
As operações financeiras – investimentos, empréstimos ou financiamentos – são objeto
de estudo da Matemática financeira. Essas operações formam o chamado mercado financeiro
ou mercado de capitais.
O regime de capitalização mais utilizado nas transações comerciais e financeiras é o
de juros compostos, que se baseia no seguinte princípio:
a. Ao final do 1º período, os juros incidentes sobre o capital inicial são a ele
incorporados, produzindo o 1º montante.
46
Capítulo XIV
b. Ao final do 2º período, os juros incidem sobre o 1º montante e incorporam-se a
ele, gerando o 2º montante.
c. Ao final do 3º período, os juros, calculados sobre o 2º montante, incorporam-se a
ele, gerando o 3º montante; e assim por diante.
De modo geral, um capital C, a juros compostos, aplicado a uma taxa fixa i, durante n
períodos produz:
7. ao final do 1º período: M1 = C + Ci ⇒ M1 = C(1 + i)
8. ao final do 2º período: M2 = M1 + M1i = M1(1 + i) ⇒ M2 = C(1 + i)²
9. ao final do 3º período: M3 = M2 + M2i = M2(1 + i) ⇒ M3 = C(1 + i)3
10.
ao final do n-ésimo período: Mn = C(1 + i)n
Devido à sua natureza, o sistema de juros compostos é chamado capitalização
acumulada.
Exemplo 1
Joana aplicou R$ 400,00 num investimento que rende 2% a.m., a juros compostos.
c. O montante, ao final de 3 meses, é dado por:
3
M 3 =400  10,02  =400⋅1,02 3=424,48
d. Ao final de 6 meses:
6
M 6 =400  10,02  =400⋅1,02 6 =450,46
e. Ao final de 1 ano (12 meses):
12
M 12 =400  10,02  =400⋅1,02 12 =507,29
Exemplo 2
Considerando os dados do exemplo anterior, suponhamos que Joana deseje saber o
tempo necessário para que o montante seja R$ 600,00.
Temos:
{
}
M n =600
n
600
n
n
C= 400 ⇒ 600=400  10,02  ⇒ 400 =1,02 ⇒1,5=1,02
i= 0,02
A determinação do expoente n é feita através de logaritmos:
47
Capítulo XIV
lo g1 ,5 =log1,02 n ⇒ n⋅log1,02 =lo g1 ,5 ⇒n=
lo g1 ,5
0,1761
=
⇒ n≈20,47 meses
log1,02 0,0086
O valor obtido, entre 20 e 21 meses, significa que:
a. caso Joana efetue o resgate após o final do 20º mês ou no decorrer do 21º mês,
20
ela não terá o valor desejado, mas apenas M 20 =400⋅1,02 =594,37 ;
b. caso Joana efetue o resgate ao final do 21º mês, ela terá disponível o valor de
M 21 =400⋅1,02 21 =606,26
Em geral, o prazo de resgate de uma aplicação
financeira é determinado pelo governo federal. Na maioria
das vezes, o prazo é mensal, e o resgate antecipado
(antes do vencimento da aplicação) acarreta a perda de
juros correspondentes àquele mês, cabendo ao poupador
sacar apenas o montante acumulado até o mês anterior.
Exemplo 3
No dia 1º de junho, Cristiano abriu um caderneta de poupança no valor de R$ 200,00.
nesse mês, a taxa de rendimento da poupança foi de 1,2% e, em julho, foi de 1,4%. Qual
será o saldo de Cristiano em 1º de agosto?
Em problemas como esse não podemos aplicar a fórmula do montante de juros
compostos, pois as taxas de rendimento não são iguais; entretanto, o princípio de
capitalização acumulada é mantido. Vejamos:
d. Em 1º de julho, serão capitalizados os juros correspondentes ao rendimento de
junho e incidentes dobre o valor inicialmente aplicado, produzindo um total de
2001,2  de 200=200 0,012⋅200=1,012⋅200=202,40
e. Em 1º de agosto, serão capitalizados os juros correspondes ao rendimento de
julho e incidentes sobre seu último “saldo”, gerando um total de:
202,401,4  de 202,40 =202,40 0,014⋅202,40=1,014⋅202,40=205,23
Desconto Simples
Suponhamos que um fabricante de tecidos tenha efetuado uma venda à rede Tecidos
Brasil no valor de R$ 80.000,00, a quantia a ser paga três meses após a entrega.
48
Capítulo XIV
Passado um mês da data da entrega, o fornecedor, precisando de dinheiro, procurou o
Banco da Nação para tentar descontar a duplicata (documento comprobatório da dívida
contraída pela rede Tecidos Brasil). O banco ofereceu em troca do título a quantia de R$
76.000,00. Tendo sido aceita a proposta, o fornecedor recebeu do banco a importância de R$
76.000,00, e o banco passou a ser credor da dívida,que será saldada pela Tecidos Brasil; ou
seja, na data inicialmente estabelecida, a Tecidos Brasil fará o pagamento de R$ 80.000,00
diretamente ao Banco da Nação, e não mais ao fornecedor.
Esse tipo de operação recebe o nome de desconto de título.
O valor do título na data do vencimento – R$ 80.000,00 – é chamado valor nominal.
O valor pago pelo Banco da Nação – R$ 76.000,00 – é chamado valor atual ou valor
descontado.
A diferença entre o valor nominal e o atual:
R$ 80.000,00 – R$ 76.000,00 = R$ 4.000,00 é chamado desconto.
Normalmente, nesse tipo de operação, o valor proposto pelo banco decorre da
aplicação de uma taxa de desconto simples, que incide sobre o valor nominal do título, em
regime semelhante ao de juros simples.
No exemplo, a taxa de desconto simples usada teria sido de 2,5% a.m., e por 2 meses,
que corresponde ao número de meses de antecipação:
d=  2,5 de 80. 000  ×2
d= 0,025×80 . 000×2 =R$ 4 . 000,00
Exemplo 1
Um título de valor nominal R$ 900,00, com vencimento para 150 dias, será
descontado em um banco que opera com a taxa de desconto de 6% a.m.
a. Se o prazo de antecipação for de 3 meses, o desconto será dado por:
d= 0,06 ×900×3 =R$ 162,00 e o valor atual será:
VA = 900 – 162 = R$ 738,00
b. Se o resgate for feito 48 dias antes do vencimento, o prazo de antecipação será
48
=1,6 mês, e o desconto será:
30
d= 0,06 ×900×1,6 =R$ 86,40 produzindo o valor atual de:
VA = 900 – 86,40 = R$ 813,60
Exemplo 2
49
Capítulo XIV
Levando em consideração os dados do exemplo anterior, para um resgate de R$
862,20 podemos determinar o prazo de antecipação. Temos:
d = 900 – 862,20 = 37,80.
Assim:
37,80 =0,06×900×n ⇒ n= 0,7 mês, o que corresponde a 21 dias de antecipação.
50
Capítulo XV
Arco
Seja uma circunferência de centro O e raio r, e dois pontos distintos A e B sobre essa
circunferência.
Chamamos de arco da circunferência a cada uma das partes em que uma
circunferência fica dividida por dois de seus pontos A e B.
O arco de extremidades A e B é representado por
.
Os arcos também possuem dimensões. Suas principais medidas são o grau e o
radiano.
Veja a que parte da circunferência correspondem essas duas medidas:
1
Um grau é o arco unitário que corresponde a 360 da circunferência; um grau tem
sessenta minutos (60') e um minuto de grau tem sessenta segundos (60''), porém esses
minutos e segundos nada tem a ver com os minutos e segundos do tempo. Seu símbolo é °.
Um radiano é o arco unitário que corresponde ao raio da circunferência, ou seja, é o
51
Capítulo XV
1
arco cujo comprimento é igual ao comprimento do raio; corresponde a 2π da circunferência.
Seu símbolo é rad.
Em consequência das definições podemos relacionar grau e radiano de acordo com o
quadro abaixo:
Grau
Radiano
360°
2π rad
180°
π rad
90°
π
rad
2
Conversão de Unidades
De acordo com o quadro e as definições acima verificamos que 360° corresponde a 2π
radianos ou que 180° corresponde a π radianos, portanto para realizarmos a conversão de
graus em radiano ou vice-versa, basta fazermos uma simples regra de 3.
Exemplo
Determinemos a medida correspondente em radianos de um arco que mede 30°.
Então:
Graus
Radianos
180°
π
30°
x
Resolução
180° 30°
30 π
π
=
⇒ 30⋅π = 180⋅x ⇒ x =
⇒x =
π
x
180
6
Medidas de Ângulos
Dado um ângulo de vértice O, vamos construir uma
circunferência de centro O e raio r. Sejam A e B os pontos onde a
circunferência intercepta os lados do ângulo.

Por definição, a medida do ângulo A O B é igual à medida do arco
.
52
Capítulo XV
Por exemplo:
• a um arco de 1° corresponde um ângulo central de 1°;
• a um arco de 30° corresponde um ângulo central de 30°;
• a um arco de 2 rad corresponde um ângulo central de 2 rad.
Comprimento de um Arco
Consideremos a figura anterior, seja α a medida em radianos do ângulo A O B ,
procuremos calcular o comprimento ℓ do arco
supondo r e α conhecidos.
Sabemos que a medida de um arco em radianos é o número que indica quantas vezes
ℓ
um arco, de comprimento igual ao raio, cabe no arco medido, isto é, α = r e, então: ℓ = r⋅α isto
é, o comprimento do arco
é o produto do raio da circunferência que o contém pela medida
(em radianos) do ângulo central correspondente.
Por exemplo, se a circunferência tem raio r = 2 cm e o ângulo A O B mede 1,5 rad,
então temos:
ℓ = r⋅α = 2⋅1,5 = 3 cm
Para o arco de uma volta (circunferência toda), α = 2π e ℓ = r⋅2 π = 2 πr .
Introdução ao Ciclo Trigonométrico (ℓ)
Fixemos, em um plano, um sistema cartesiano ortogonal xOy e consideremos a
circunferência, de centro O e raio r = 1. Observemos que:
• Os pontos A = (1,0), B = (0,1), C = (-1,0), D = (0,-1) pertencem à circunferência e
a dividem em quatro partes iguais, que chamaremos quadrantes. Os quadrantes são
53
Capítulo XV
numerados conforme a figura indica.
• O comprimento da circunferência é ℓ = 2 πr = 2π (pois r = 1).
Para cada número real x vamos associar um ponto P na circunferência, ou seja, P se
desloca sobre ela a partir de A, do seguinte modo:
• Se x = 0, P coincide com o ponto A, isto é, P = A.
• Se x > 0, partimos de A e realizamos sobre a circunferência um percurso de
comprimento x, no sentido anti-horário (sentido de A para B para C). O ponto final do
percurso é P.
• Se x < 0, fazemos o percurso no sentido horário.
Pontos do Ciclo Associados a Números Reais
Como r = 1, o comprimento da circunferência é 2π, o que garante que a cada número
real x, com 0 ≤ x ≤ 2π, podemos associar uma posição de P sobre a circunferência (ou, mais
especificamente, um ponto da circunferência). Por exemplo, ao número π associa-se o ponto
π
3π
C, denominado imagem de π; B é associado ao número 2 ; e D, a 2 .
2π
Qual seria o ponto P, correspondente ao número real 3
Lembrando que a volta completa corresponde ao valor de 2π, o
ponto P descreveria a terça parte de uma volta

2π 1
= ⋅2π
3 3
?
e
ocuparia uma posição do segundo quadrante.
π
1
Ao número 4 , que pode ser escrito como 4⋅ π
,
MEIA VOLTA
corresponde o ponto Q da figura.
54
Questões
(ENEM 2009) As figuras a seguir exibem um trecho de um quebra-cabeças que está sendo
montado. Observe que as peças são quadradas e há 8 peças no tabuleiro da figura A e 8
peças no tabuleiro da figura B. As peças são retiradas do tabuleiro da figura B e colocadas
no tabuleiro da figura A na posição correta, isto é, de modo a completar os desenhos.
É possível preencher corretamente o espaço indicado pela seta no tabuleiro da figura A colocando a
peça:
A) 1 após girá-la 90° no sentido horário.
B) 1 após girá-la 180° no sentido anti-horário.
C) 2 após girá-la 90° no sentido anti-horário.
D) 2 após girá-la 180° no sentido horário.
E) 2 após girá-la 270° no sentido anti-horário.
(ENEM 2009) Suponha que, na escultura do artista Emanoel Araújo,
mostrada na figura a seguir, todos os prismas numerados em
algarismos romanos são retos, com bases triangulares, e que as faces
laterais do poliedro II são perpendiculares à sua própria face superior,
que, por sua vez, é um triângulo congruente ao triângulo base dos prismas. Além
disso, considere que os prismas I e III são perpendiculares ao prisma IV e ao
poliedro II.
Imagine um plano paralelo à face α do prisma I, mas que passe pelo ponto P
pertencente à aresta do poliedro II, indicado na figura. A interseção desse plano
imaginário com a escultura contém:
A) dois triângulos congruentes com lados correspondentes paralelos.
B) dois retângulos congruentes e com lados correspondentes paralelos.
C) dois trapézios congruentes com lados correspondentes perpendiculares.
D) dois paralelogramos congruentes com lados correspondentes paralelos.
E) dois quadriláteros congruentes com lados correspondentes perpendiculares.
55
Questões
(ENEM 2009) Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de
madeira, na forma de um cubo, para transportá-las.
Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm³ então o número máximo de esferas que podem
ser transportadas em uma caixa é igual a:
A) 4
B) 8
C) 16
D) 24
E) 32
(ENEM 2009) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de
pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta
da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura —
3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —,
espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é
igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando
pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da
parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo
molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?
A) 156 cm³
B) 189 cm³
C) 192 cm³
D) 216 cm³
E) 540 cm³
(ENEM 2009) Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a
seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos
números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília – DF, sem
escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4.
56
Questõesccc
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um
ângulo de 135° graus no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais
brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a
direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir
de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com
origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o
passageiro Carlos fez uma conexão em:
A) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.
B) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.
C) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.
D) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.
E) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
(ENEM 2009) Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de
base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter,
ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal.
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?
A) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide
intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados.
B) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa
pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.
C) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um
segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem
5 lados.
D) D O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é
igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados.
E) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual
ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4
lados.
(ENEM 2009) A cisterna é um recipiente utilizado para armazenar água da chuva. Os
principais critérios a serem observados para captação e armazenagem de água da chuva são:
a demanda diária de água na propriedade; o índice médio de precipitação (chuva), por região,
em cada período do ano; o tempo necessário para armazenagem; e a área de telhado
necessária ou disponível para captação. Para fazer o cálculo do volume de uma cisterna, deve-se
acrescentar um adicional relativo ao coeficiente de evaporação. Na dificuldade em se estabelecer um
coeficiente confiável, a Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (EMBRAPA) sugere que sejam
adicionados 10% ao volume calculado de água.
Desse modo, o volume, em m³, de uma cisterna é calculado por V c = Vd × Ndia, em que Vd = volume
de demanda da água diária (m³), Ndia = número de dias de armazenagem, e este resultado deve ser
acrescido de 10%.
Para melhorar a qualidade da água, recomenda-se que a captação seja feita somente nos telhados
das edificações.
Considerando que a precipitação de chuva de 1 mm sobre uma área de 1 m² produz 1 litro de água,
pode-se calcular a área de um telhado a fim de atender a necessidade de armazenagem da seguinte
maneira: área do telhado (em m²) = volume da cisterna (em litros)/precipitação.
Disponível em: www.cnpsa.embrapa.br.
Acesso em: 8 jun. 2009 (adaptado).
57
Questões
Para atender a uma demanda diária de 2.000 litros de água, com período de armazenagem de 15 dias e
precipitação média de 110 mm, o telhado, retangular, deverá ter as dimensões mínimas de:
A) 6 metros por 5 metros, pois assim teria uma área de 30 m²
B) 15 metros por 20 metros, pois assim teria uma área de 300 m²
C) 50 metros por 60 metros, pois assim teria uma área de 3.000 m²
D) 91 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de 2.730 m²
E) 110 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de 3.300 m²
(ENEM 2008) O jogo-da-velha é um jogo popular, originado na Inglaterra. O nome “velha”
surgiu do fato de esse jogo ser praticado, à época em que foi criado, por senhoras idosas que
tinham dificuldades de visão e não conseguiam mais bordar. Esse jogo consiste na disputa de
dois adversários que, em um tabuleiro 3×3, devem conseguir alinhar verticalmente,
horizontalmente ou na diagonal, 3 peças de formato idêntico. Cada jogador, após escolher o formato da
peça com a qual irá jogar, coloca uma peça por vez, em qualquer casa do tabuleiro, e passa a vez para
o adversário. Vence o primeiro que alinhar 3 peças.
No tabuleiro representado ao lado, estão registradas as jogadas de dois
adversários em um dado momento. Observe que uma das peças tem formato
de círculo e a outra tem a forma de um xis. Considere as regras do jogo-davelha e o fato de que, neste momento, é a vez do jogador que utiliza os
círculos. Para garantir a vitória na sua próxima jogada, esse jogador pode
posicionar a peça no tabuleiro de:
A) uma só maneira
B) duas maneiras distintas
C) três maneiras distintas
D) quatro maneiras distintas
E) cinco maneiras distintas
(ENEM 2008)
A CONTAGEM DE BOIS
Em cada parada ou pouso, para jantar ou dormir, os bois são contados, tanto na chegada
quanto na saída. Nesses lugares, há sempre um potreiro, ou seja, determinada área de pasto cercada
de arame, ou mangueira, quando a cerca é de madeira. Na porteira de entrada do potreiro, rente à
cerca, os peões formam a seringa ou funil, para afinar a fila, e então os bois vão entrando aos poucos
na área cercada. Do lado interno, o condutor vai contando; em frente a ele, está o marcador, peão que
marca as reses. O condutor conta 50 cabeças e grita: — Talha! O marcador, com o auxílio dos dedos
das mãos, vai marcando as talhas. Cada dedo da mão direita corresponde a 1 talha, e da mão
esquerda, a 5 talhas. Quando entra o último boi, o marcador diz: — Vinte e cinco talhas! E o condutor
completa: — E dezoito cabeças. Isso significa 1.268 bois.
Boiada, comitivas e seus peões. In: O Estado de São Paulo,
ano VI, ed. 63, 21/12/1952 (com adaptações)
Para contar os 1.268 bois de acordo com o processo descrito acima, o marcador utilizou:
A) 20 vezes todos os dedos da mão esquerda
B) 20 vezes todos os dedos da mão direita
C) todos os dedos da mão direita apenas uma vez
D) todos os dedos da mão esquerda apenas uma vez
58
Questões
E) 5 vezes todos os dedos da mão esquerda e 5 vezes todos os dedos da mão direita
(ENEM 2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura
do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o
Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo
de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo
seria o time visitante.
A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do
jogo de abertura podem ser calculadas através de:
A) uma combinação e um arranjo, respectivamente
B) um arranjo e uma combinação, respectivamente
C) um arranjo e uma permutação, respectivamente
D) duas combinações
E) dois arranjos
(ENEM 2009) A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de
acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de
pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores
altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02,
03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50.
Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em
acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse
caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco
números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a
quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente:
1
A) 1 2 vez menor
1
B) 2 2 vezes menor
C) 4 vezes menor
D) 9 vezes menor
E) 14 vezes menor
(ENEM 2008)
A vida na rua como ela é
O Ministério do Desenvolvimento Social e Combate à
Fome (MDS) realizou, em parceria com a ONU, uma
pesquisa nacional sobre a população que vive na rua,
tendo sido ouvidas 31.922 pessoas em 71 cidades
brasileiras. Nesse levantamento, constatou-se que a
maioria dessa população sabe ler e escrever (74%), que
apenas 15,1% vivem de esmolas e que, entre os
moradores de rua que ingressaram no ensino superior, 0,7% se diplomou. Outros dados da pesquisa
são apresentados nos quadros abaixo.
No universo pesquisado, considere que P seja o conjunto das pessoas que vivem na rua por motivos de
59
Questões
alcoolismo/drogas e Q seja o conjunto daquelas cujo motivo para viverem na rua é a decepção
amorosa. Escolhendo-se ao acaso uma pessoa no grupo pesquisado e supondo-se que seja igual a
40% a probabilidade de que essa pessoa faça parte do conjunto P ou do conjunto Q, então a
probabilidade de que ela faça parte do conjunto interseção de P e Q é igual a:
A) 12%
B) 16%
C) 20%
D) 36%
E) 52%
(ENEM 2009) O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares
aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de
fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente,
qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?
A) 2 × (0,2%)4
B) 4 × (0,2%)²
C) 6 × (0,2%)² × (99,8%)²
D) 4 × (0,2%)
E) 6 × (0,2%) × (99,8%)
(ENEM 2009) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de
câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada
dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais
observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos
sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do
medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir.
Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos
colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?
A) 3 doses
B) 4 doses
C) 6 doses
D) 8 doses
E) 10 doses
(ENEM 2009) A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade
diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados
obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da
quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da
direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60
anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países
desenvolvidos.
60
Questões
Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade,
na população dos países desenvolvidos, será um número mais próximo de:
1
A) 2
7
B) 20
8
C) 25
1
D) 5
1
E) 5
(ENEM 2008) A figura ao lado mostra um reservatório de água na forma de um cilindro circular
reto, com 6 m de altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é suficiente para
abastecer, por um dia, 900 casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de água.
Suponha que, um certo dia, após uma campanha de conscientização do uso da água, os moradores
das 900 casas abastecidas por esse reservatório tenham feito economia de 10% no consumo de água.
Nessa situação:
A) a quantidade de água economizada foi de 4,5 m³
B) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, no final do dia, foi
igual a 60 cm.
C) a quantidade de água economizada seria suficiente para abastecer, no
máximo, 90 casas cujo consumo diário fosse de 450 litros.
D) os moradores dessas casas economizariam mais de R$ 200,00, se o custo
de 1 m³ de água para o consumidor fosse igual a R$ 2,50.
E) um reservatório de mesma forma e altura, mas com raio da base 10%
menor que o representado, teria água suficiente para abastecer todas as
casas.
(ENEM 2009) A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de
pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa
possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses,
houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos
por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir:
61
Questões
De acordo com as informações do gráfico:
A) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas
inversamente proporcionais
B) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se
relacionam
C) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente
proporcionais
D) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão
E) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão
relacionadas, mas sem proporcionalidade
(ENEM 2009) O mapa ao lado representa um bairro de
determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das
mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que
cada quadra representada na figura é um terreno quadrado, de lado
igual a 200 metros.
Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em
minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a 40 km/h,
partindo do ponto X, demoraria para chegar até o ponto Y?
A) 25 min
B) 15 min
C) 2,5 min
D) 1,5 min
E) 0,15 min
(ENEM 2009) Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é
composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d1d2, em
que os dígitos d1 e d2 são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são
calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são
multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim
sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações
por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário d1 = (11 – r). O dígito d2 é calculado pela
mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do
segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto s da divisão por 11 das
somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d2 = (11 – s).
Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da
62
Questões
perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se
apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d 1 e
d2 esquecidos são, respectivamente:
A) 0 e 9
B) 1 e 4
C) 1 e 7
D) 9 e 1
E) 0 e 1
(ENEM 2009) Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho
nos seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um
regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao
custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel diário de
cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares
de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00.
Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas
seja constante, a cooperativa deveria:
A) manter sua proposta
B) oferecer 4 máquinas a mais
C) oferecer 6 trabalhadores a mais
D) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias
E) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina.
(ENEM 2009) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30
dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos
aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de
alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e
passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha.
Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados
ao final do prazo estipulado seria de:
A) 920 kg
B) 800 kg
C) 720 kg
D) 600 kg
E) 570 kg
(ENEM 2009) Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do carro, de tanque vazio, com
o piloto, é de 605 kg, e a gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre
os circuitos nos quais ocorrem competições dessa categoria, o mais longo é SpaFrancorchamps, na Bélgica, cujo traçado tem 7 km de extensão. O consumo médio de um
carro da Fórmula 1 é de 75 litros para cada 100 km.
Suponha que um piloto de uma equipe específica, que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750
g/L, esteja no circuito de Spa-Francorchamps, parado no box para reabastecimento. Caso ele pretenda
dar mais 16 voltas, ao ser liberado para retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo:
A) 617 kg
B) 668 kg
63
Questões
C) 680 kg
D) 689 kg
E) 717 kg
(ENEM 2009) O quadro apresenta informações da área aproximada de cada bioma brasileiro.
É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários, o uso de múltiplos da área de um campo
de futebol (com as medidas de 120 m x 90 m) para auxiliar a visualização de áreas consideradas
extensas. Nesse caso, qual é o número de campos de futebol correspondente à área aproximada do
bioma Pantanal?
A) 1.400
B) 14.000
C) 140.000
D) 1.400.000
E) 14.000.000
(ENEM 2009) Nos últimos anos, o volume de petróleo exportado pelo Brasil tem mostrado
expressiva tendência de crescimento, ultrapassando as importações em 2008. Entretanto,
apesar de as importações terem se mantido praticamente no mesmo patamar desde 2001, os
recursos gerados com as exportações ainda são inferiores àqueles despendidos com as
importações, uma vez que o preço médio por metro cúbico do petróleo importado é superior ao do
petróleo nacional. Nos primeiros cinco meses de 2009, foram gastos 2,84 bilhões de dólares com
importações e gerada uma receita de 2,24 bilhões de dólares com as exportações. O preço médio por
metro cúbico em maio de 2009 foi de 340 dólares para o petróleo importado e de 230 dólares para o
petróleo exportado. O quadro a seguir mostra os dados consolidados de 2001 a 2008 e dos primeiros
cinco meses de 2009.
64
Questões
Considere que as importações e exportações de petróleo de junho a dezembro de 2009 sejam iguais a
7
5 das importações e exportações, respectivamente, ocorridas de janeiro a maio de 2009. Nesse caso,
supondo que os preços para importação e exportação não sofram alterações, qual seria o valor mais
aproximado da diferença entre os recursos despendidos com as importações e os recursos gerados
com as exportações em 2009?
A) 600 milhões de dólares
B) 840 milhões de dólares
C) 1,34 bilhão de dólares
D) 1,44 bilhão de dólares
E) 2,00 bilhões de dólares
(ENEM 2009) Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE)
estabeleceu a obrigatoriedade de adição de biodísel ao óleo dísel comercializado nos postos. A
exigência é que, a partir de 1.º de julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja formada
por biodísel. Até junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda
de biodísel, bem como possibilita a redução da importação de dísel de petróleo.
Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br.
Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado).
Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodísel ao dísel, serão consumidos 925 milhões de
litros de biodísel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa estimativa, para o mesmo
volume da mistura final dísel/biodísel consumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo
de biodísel com a adição de 3%?
A) 27,75 milhões de litros
B) 37,00 milhões de litros
65
Questões
C) 231,25 milhões de litros
D) 693,75 milhões de litros
E) 888,00 milhões de litros.
(ENEM 2009) O gráfico a seguir mostra a evolução, de abril de 2008 a maio de 2009, da
população economicamente ativa para seis Regiões Metropolitanas pesquisadas.
Considerando que a taxa de crescimento da população economicamente ativa, entre 05/09 e 06/09,
seja de 4%, então o número de pessoas economicamente ativas em 06/09 será igual a:
A) 23.940
B) 32.228
C) 920.800
D) 23.940.800
E) 32.228.000
(ENEM 2009) João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu
banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe
ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida
imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na
dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00.
Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse
necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado.
A opção que dá a João o menor gasto seria:
A) A renegociar suas dívidas com o banco
B) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas
C) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos
D) D pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas
do cartão de crédito
E) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas
66
Questões
do cheque especial
(ENEM 2009) Considere um ponto P em uma circunferência de raio
r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo
x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no
sentido anti-horário, uma distância d ≤ r sobre a circunferência.
Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por:



d
A) r⋅ 1−sen r
d
B) r⋅ 1−cos r
d
C) r⋅ 1−tg r



d
D) r⋅sen r
d
(E) r⋅cos r
(ENEM 2009) A resolução das câmeras digitais modernas é dada em megapixels, unidade de
medida que representa um milhão de pontos. As informações sobre cada um desses pontos
são armazenadas, em geral, em 3 bytes. Porém, para evitar que as imagens ocupem muito
espaço, elas são submetidas a algoritmos de compressão, que reduzem em até 95% a
quantidade de bytes necessários para armazená-las. Considere 1 KB = 1.000 bytes, 1 MB = 1.000 KB, 1
GB = 1.000 MB.
Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo de compressão é de 95%, João fotografou 150
imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las de modo que o espaço restante no
dispositivo seja o menor espaço possível, ele deve utilizar:
A) A um CD de 700 MB
B) um pendrive de 1 GB
C) um HD externo de 16 GB
D) um memory stick de 16 MB
E) um cartão de memória de 64 MB
(ENEM 2009) Joana frequenta uma academia de ginástica onde faz exercícios de
musculação. O programa de Joana requer que ela faça 3 séries de exercícios em 6 aparelhos
diferentes, gastando 30 segundos em cada série. No aquecimento, ela caminha durante 10
minutos na esteira e descansa durante 60 segundos para começar o primeiro exercício no
primeiro aparelho. Entre uma série e outra, assim como ao mudar de aparelho, Joana descansa por 60
segundos.
Suponha que, em determinado dia, Joana tenha iniciado seus exercícios às 10 h e 30 min e finalizado
às 11 h e 7 min. Nesse dia e nesse tempo, Joana:
A) não poderia fazer sequer a metade dos exercícios e dispor dos períodos de descanso especificados
em seu programa
B) poderia ter feito todos os exercícios e cumprido rigorosamente os períodos de descanso
especificados em seu programa
C) poderia ter feito todos os exercícios, mas teria de ter deixado de cumprir um dos períodos de
67
Questões
descanso especificados em seu programa
D) conseguiria fazer todos os exercícios e cumpriria todos os períodos de descanso especificados em
seu programa, e ainda se permitiria uma pausa de 7 min
E) não poderia fazer todas as 3 séries dos exercícios especificados em seu programa; em alguma
dessas séries deveria ter feito uma série a menos e não deveria ter cumprido um dos períodos de
descanso
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