FICHA PARA CATÁLOGO
PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
Título: Datas Comemorativas
Autora
Vanda Barbosa Vieira Fermino
Escola de Atuação
Colégio Estadual Dr. João Ferreira Neves
Município
Palmital
Núcleo Regional de Educação
Pitanga
Orientador
Soliane Moreira
Instituição de Ensino Superior
Unicentro
Disciplina/Área
Matemática
Produção Didático-Pedagógica
Unidade Didática
Relação Interdisciplinar
Arte, História, Português, Ciências
Público Alvo
3ª Série Informática Integrado–Período Vespertino
Localização
Colégio Estadual Dr. João Ferreira Neves
Apresentação
O princípio norteador desta Produção Didática Pedagógica é contribuir para uma
educação de qualidade, influindo substancialmente no desenvolvimento dos estudantes,
busca uma forma de ensino diferenciada das habitualmente empregadas nas aulas de
matemática. Partindo dessa premissa básica, faz-se repensar a dinâmica de sala de aula:
conhecer, compreender e estabelecer relações de aprendizagem em uma turma com
estudante surdo. Nesse contexto, trabalhar as datas comemorativas de forma
contextualizada e articulada com os conteúdos de matemática, visa mediar e refletir a
busca do conhecimento pela cultura humana, de modo a desenvolver o senso crítico,
ensejando, inclusive, a participação em situações de interações entre o estudante surdo,
professor, intérprete e demais estudantes, usando, para tanto, como intermediário inicial
o recurso da dobradura numa perspectiva pedagógica, para avaliar se este recurso de
fato proporcionará uma influência positiva no processo de ensino-aprendizagem. Deste
modo, busca-se vivenciar uma nova experiência, no desafio de criar melhorias na
construção de hipótese, valores éticos, minimizar a discriminação, e compreender os
conceitos geométricos. As atividades serão investigadas mediante apresentação de
seminários, o grupo ao qual o surdo fizer parte, irá apresentar o seu tema em LIBRAS.
Todas as atividades serão apresentadas na Gincana do Dia Nacional da Matemática.
Palavras-chave
Surdez, Matemática e Dobradura.
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO - SEED
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO - SUED
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE - UNICENTRO
NÚCLEO REGIONAL DE EDUCAÇÃO DE PITANGA
PROPOSTA DE MATERIAL DIDÁTICO
UNIDADE DIDÁTICA
DATAS COMEMORATIVAS
VANDA BARBOSA VIEIRA FERMINO
GUARAPUAVA
2012
"Não há ensino sem pesquisa e pesquisa sem ensino.
Esses que-fazeres se encontram um no corpo do outro.
Enquanto ensino continuo buscando, reprocurando.
Ensino porque busco, porque indaguei, porque indago e
me indago. Pesquiso para constatar, constatando,
intervenho, intervindo educo e me educo. Pesquiso para
conhecer o que ainda não conheço e comunicar ou
anunciar a novidade”. (FREIRE, 2004, p. 29)
AGRADECIMENTOS
À DEUS, por ter me permitido saúde e sobriedade durante as leituras e
planejamento das ações.
À MINHA FAMÍLIA, que me apoiou nos momentos mais difíceis dessa empreitada.
À SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO - SEED, pela oportunidade e
garantia de afastamento de 100% das minhas atividades escolares, para a
realização deste Projeto de Formação Continuada.
À UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE - UNICENTRO, que nos
garantiu uma formação continuada, dando suporte teórico e prático para a
elaboração dos Projeto de Intervenção, Produção Didática Pedagógica e Artigo
Final, durante o processo de afastamento das atividades escolares.
AO NÚCLEO REGIONAL DE EDUCAÇÃO DE PITANGA, na pessoa da Priscila
Aparecida Anunziato e Lúcia Grande Conrado, pelo apoio em todos os momentos de
dúvidas.
À MINHA ORIENTADORA, Soliane Moreira, pela coragem de orientar-me nos
momentos de desorientação.
À MINHA AMIGA, Roeli Antunes de Souza, pelo apoio nas leituras dos trabalhos.
SUMÁRIO
1 Apresentação......................................................................................................... 10
1.1 Justificativa .................................................................................................11
1.2 Objetivo Geral ..............................................................................................11
1.3 Objetivos Específicos...................................................................................12
1.4 Estratégias das ações em sala de aula.......................................................12
1.5 Previsão do Desenvolvimento das Ações e Metodologias..........................13
1.6 Avaliação......................................................................................................14
2 Fundamentação Teórica........................................................................................14
2.1 Inclusão.......................................................................................................14
2.2 História do Origami......................................................................................17
2.2.1 Tipos de Origami...............................................................................20
2.2.1.1 Origamis Comestíveis............................................................23
2.2.2 Tipos de papel usados para fazer origami........................................24
2.2.3 Dicas para iniciantes …...................................................................25
2.2.4 Cinco perguntas sobre benefícios de fazer origami........................25
2.2.5 Dez Motivos para fazer origami.......................................................26
2.2.6 Símbolos do Origami …...................................................................28
2.2.7 Origem do origami e a sua importância pedagógica.......................30
2.2.8 Origami e a Matemática ..................................................................30
2.2.9 Os mestres do origami.....................................................................31
2.2.10 História do Tsuru.............................................................................31
2.3 Geometria.....................................................................................................32
2.3.1 Geometria Plana..............................................................................34
2.3.2 Geometria Espacial..........................................................................36
2.3.2.1 Tipos de Cilindro reto e oblíquo...........................................36
2.3.2.2 Paralelepípedo reto-retângulo e oblíquo..............................36
2.3.2.3 Pirâmide de base quadrada.................................................36
2.3.2.4 Pirâmide de base triangular.................................................36
2.3.2.5 Pirâmide de base Hexagonal...............................................37
2.3.2.6 Tronco de Pirâmide...............................................................37
2.3.2.7 Cone......................................................................................37
2.3.2.8 Esfera....................................................................................37
2.3.3 Geometria Analítica..........................................................................37
2.3.4 Geometria Fractal.............................................................................38
2.4 Investigação Matemática.............................................................................39
3 Cronograma das ações..........................................................................................42
4 Aplicação do questionário para os estudantes ….............................................43
4.1 Justificativa..................................................................................................43
4.2 Objetivo Geral..............................................................................................43
4.3 Estratégias...................................................................................................43
4.4 Cronograma................................................................................................43
4.5 Público Alvo.................................................................................................43
4.6
Avaliação....................................................................................................43
5 Aplicação do questionário para os professores.................................................44
5.1 Justificativa..................................................................................................44
5.2 Objetivo Geral..............................................................................................44
5.3 Estratégias...................................................................................................44
5.4 Cronograma.................................................................................................44
5.5 Público Alvo.................................................................................................44
5.6 Avaliação.....................................................................................................44
6 Dobradura livre.......................................................................................................45
6.1 Justificativa...................................................................................................45
6.2 Objetivo Geral..............................................................................................45
6.3 Estratégias...................................................................................................46
6.4 Recurso........................................................................................................46
6.5 Cronograma ….............................................................................................46
6.6 Público Alvo..................................................................................................46
6.7 Avaliação .....................................................................................................46
7 Dobradura do Copo, com ouvidos tampados, com borracha nadador............47
7.1 Justificativa...................................................................................................47
7.2 Objetivo Geral …..........................................................................................47
7.3 Estratégias…................................................................................................47
7.4 Cronograma ….............................................................................................47
7.5 Público Alvo..................................................................................................47
7.6 Materiais ......................................................................................................47
7.7 Avaliação ….................................................................................................48
7.8 Passo-a-passo da dobradura do copo ........................................................48
8 Dobradura do avião, com olhos vendados com (TNT preto).............................50
8.1 Justificativa...................................................................................................50
8.2 Objetivo Geral …..........................................................................................50
8.3 Estratégias...................................................................................................50
8.4 Conteúdos....................................................................................................51
8.5 Cronograma.................................................................................................51
8.6 Público Alvo .................................................................................................51
8.7 Materiais.......................................................................................................51
8.8 Avaliação .....................................................................................................51
8.9 Passo-a-passo da dobradura do Avião .......................................................51
9 Atividades sobre a folha sulfite A4.......................................................................52
9.1 Justificativa..................................................................................................52
9.2 Objetivo Geral ............................................................................................52
9.3 Estratégias..................................................................................................53
9.4 Conteúdo.....................................................................................................53
9.5 Público Alvo.................................................................................................53
9.6 Cronograma................................................................................................53
9.7 Materiais Necessários ................................................................................53
9.8 Recursos....................................................................................................53
9.9 Avaliação....................................................................................................53
9.10 História do papel no mundo.......................................................................53
9.10.1 História do papel no Brasil.............................................................54
9.10.2 História da folha A4........................................................................55
9.11 Como obter as dimensões da folha A0......................................................56
9.12 Exercícios sobre a Folha Sulfite A4 …......................................................58
9.13 Passo-a-passo de como atravessar por dentro de uma folha...................60
10 Dobradura do Tsuru.............................................................................................64
10.1 Justificativa................................................................................................64
10.2 Objetivo Geral ..........................................................................................65
10.3 Estratégias ...............................................................................................65
10.4 Cronograma .............................................................................................65
10.5 Público Alvo...............................................................................................66
10.6 Materiais....................................................................................................66
10.7 Recursos ..................................................................................................66
10.8 Avaliação ..................................................................................................66
10.9 Passo-a-passo da dobradura do Tsuru ....................................................66
11 1ª Data Comemorativa - Dia Internacional da Mulher......................................68
11.1 Justificativa...............................................................................................68
11.2 Objetivo Geral..........................................................................................68
11.3 Objetivos Específicos ..............................................................................69
11.4 Conteúdos................................................................................................69
11.5 Metodologia..............................................................................................69
11.6 Estratégias ..............................................................................................69
11.7 Cronograma ............................................................................................70
11.8 Público alvo .............................................................................................70
11.9 Recursos..................................................................................................70
11.10 Avaliação..................................................................................................70
11.11 Como surgiu o Dia Internacional da Mulher.............................................70
11.11.1 Conquistas das Mulheres brasileiras ..........................................71
11.11.2 Marcos das Conquistas das Mulheres na História.......................71
11.11.3 A mulher e a matemática através dos tempos. ...........................72
11.11.4 Passo-a-Passo da dobradura da tulipa.......................................73
11.12 Cilindro.....................................................................................................75
11.13 Semi-esfera e Esfera...............................................................................77
11.13.1 Exercícios sobre semi-esfera.......................................................79
12 2ª Data Comemorativa - Dia do pi.......................................................................82
12.1 Justificativa................................................................................................82
12.2 Objetivo Geral............................................................................................82
12.3 Estratégias.................................................................................................83
12.4 Conteúdos.................................................................................................83
12.5 Público Alvo...............................................................................................83
12.6
12.7
12.8
12.9
Cronograma...............................................................................................83
Recursos...................................................................................................83
Avaliação....................................................................................................83
Texto Informativo sobre a história do pi ....................................................84
12.9.1 Onde se encontrar o pi...................................................................85
12.9.2 Mas de onde surgiu a ideia de calcular o pi...................................85
12.9.3 Uma aproximação do Pi com 100 casas decimais........................87
12.9.4 Para comemorar o dia do Pi..........................................................88
12.10 Passo-a-passo da dobradura do Icosaedro ...........................................88
12.11 Sugestão de exercícios sobre o pi, foi usado o CD como molde............90
13 3ª Data Comemorativa - Páscoa.........................................................................92
13.1 Justificativa...............................................................................................92
13.2 Objetivo geral...........................................................................................93
13.3 Objetivos específicos...............................................................................94
13.4 Metodologia .............................................................................................94
13.5 Recursos .................................................................................................94
13.6 Conteúdo..................................................................................................94
13.7 Público Alvo..............................................................................................94
13.8 Cronograma ............................................................................................95
13.9 Avaliação..................................................................................................95
13.10 História da Páscoa...................................................................................95
13.10.1 Origem do nome..........................................................................96
13.10.2 Cálculo da Páscoa.......................................................................96
13.10.3 Algoritmo genérico para descobrir a data da Páscoa..................97
13.10.4 Um algoritmo fácil........................................................................98
13.10.5 Um algoritmo mais complexo ...................................................100
13.10.6 Páscoa em 2013........................................................................102
13.11 Passo-a-passo da dobradura da cesta de Páscoa ...............................102
13.12 Tronco de pirâmide regular ....................................................................103
13.13 Exercícios sobre a cesta de Páscoa ......................................................105
14 4ª Data Comemorativa - Dias das Mães...........................................................105
14.1 Justificativa.............................................................................................105
14.2 Objetivo Geral........................................................................................106
14.3 Objetivos Específicos.............................................................................106
14.4 Metodologia............................................................................................107
14.5 Estratégias.............................................................................................107
14.6 Conteúdo................................................................................................107
14.7 Cronograma ….......................................................................................107
14.8 Público Alvo............................................................................................107
14.9 Materiais.................................................................................................107
14.10 Avaliação................................................................................................108
14.11 Culminância............................................................................................108
14.12 História do Dia das Mães …..................................................................108
14.12.1 Dicas de presente para deixar uma mãe feliz ..........................110
14.13 Prismas...................................................................................................110
14.14
14.15
14.16
14.17
Vídeo sobre o favo de abelha.................................................................111
Passo-a-passo da dobradura da caixa Hexagonal Modular .................112
Sugestões de Vídeo passo-a-passo .....................................................114
Exercícios sobre a caixa de presente hexagonal..................................114
15 5ª Data Comemorativa - Dia Nacional da Matemática....................................114
15.1 Justificativa...............................................................................................114
15.2 Objetivo Geral …......................................................................................116
15.3 Objetivos Específicos...............................................................................116
15.4 Metodologia..............................................................................................116
15.5 Estratégias................................................................................................117
15.6 Cronograma…..........................................................................................117
15.7 Público Alvo ….........................................................................................117
15.8 Avaliação …..............................................................................................117
16 Referências Bibliográficas................................................................................118
17 ANEXOS...............................................................................................................125
17.1 ANEXO A - Decreto nº 5.626, de 22 de dezembro de 2005....................126
17.2 ANEXO B - Lei nº 10.436, da oficialização da LIBRAS …......................127
17.3 ANEXO C - Lei nº 12.319, de 1º de setembro de 2010...........................128
17.4 ANEXO D - Texto Informativo sobre as mulheres através dos tempos. .129
17.5 ANEXO E - Texto Informativo sobre a historia do pi …...........................133
17.6 ANEXO F - Texto Informativo sobre a Páscoa........................................144
17.7 ANEXO G - Texto Informativo sobre o Dia Nacional da Matemática......149
18 APÊNDICES.........................................................................................................154
18.1 Apêndice A - Questionário para os professores.....................................155
18.2 Apêndice B - Questionário Inicial para os estudantes.............................156
18.3 Apêndice C - Questionário Final para os estudantes..............................157
18.4 Apêndice D - Questionário após cada atividade estudantes..................158
Datas Comemorativas
Vanda Barbosa Vieira Fermino1
Soliane Moreira2
1 Apresentação
A presente Unidade Didática será utilizada como suporte pedagógico
durante o Projeto de Implementação no Colégio Estadual Dr. João Ferreira Neves,
localizado no centro do município de Palmital-Pr, numa turma de 3ª série de
Informática no período vespertino. Existem dois focos que precisam ser centrados: a
introdução do conteúdo de geometria utilizando como recurso inicial a dobradura; e
o estudante surdo inserido na sala regular.
No ensino tradicional se dá pouca ênfase à geometria, embora esteja esta
presente irremediavelmente nas mais diversas situações cotidianas dos estudantes,
os quais não conseguem associar os fundamentos propostos pelo livro didático,
através do professor, no desenvolvimento das atividades que se valham da
matemática no seu dia a dia. Nos moldes tradicionais há poucas atividades
interativas, dificultando a forma visual e lúdica da qual não se favorece o estudante
surdo. Assim, deixa-se de oferecer a possibilidade de testar diversos caminhos,
comparar hipóteses, relacionar conceitos e despertar a curiosidade do estudante,
sendo as atividades realizadas de forma mecânica, onde se têm a ilusão de que os
estudantes estão aprendendo geometria, quando na verdade estão apenas
decorando/ fórmulas, teoremas e nomes de figuras geométricas, impedindo a
formação do pensamento geométrico. As propostas de ações planejadas para esta
Unidade, partem de pesquisas bibliográficas e na rede mundial de computadores
(internet), leituras de artigos, revistas e periódicos para embasar os processos
metodológicos voltados à prática na sala de aula.
1
Professora PDE da rede Pública do Estado do Paraná. E-mail: [email protected]
2
Professora Interprete de Libras da Unicentro - Paraná. E-mail: [email protected]
10
1.1 Justificativa
Para Vygotsky, "O aluno não é tão somente o sujeito da aprendizagem, mas
aquele que aprende junto ao outro, o que seu grupo social produz" (1989, p.130).
O objetivo maior deste tipo de atividade é fazer com que os estudantes se
sintam motivados a estudar o conteúdo de geometria previsto para sua série,
encontrados a partir das dobras de papel, com o intuito de aplicar em outros
momentos outros recursos que venham de encontro com as expectativas do projeto.
A cada atividade pretende-se fazer a construção da autonomia do estudante
surdo e do grupo. Procura-se em todas as atividades contextualizar com a
matemática para uma melhora das aulas e do ensino e aprendizagem dos
conteúdos de geometria, buscar desta maneira um diálogo entre o conhecimento
científico e o recurso metodológico. A aplicação de todas as atividades aqui
planejadas visa resgatar a cultura dos estudantes e desenvolver o senso crítico, a
participação em situações que integram e interagem com o colega surdo.
1.2 Objetivo Geral
Contextualizar a prática da disciplina de matemática, não para ser
proficiente em metodologias para estudantes surdos, mas refletir e analisar como a
inclusão e os processos de aprendizagem dos estudantes têm influenciado nas
mudanças de comportamentos, atitudes e procedimentos dos mesmos e dos demais
estudantes ouvintes, buscando instrumento facilitador no processo de aprendizagem
de geometria, por meio de materiais concretos. Adaptar um recurso já existente,
para iniciar um estudo sobre Geometria Plana e Espacial, adaptando ao plano de
aula previsto para o ano letivo.
11
1.3 Objetivos Específicos
Investigar se ocorre com maior facilidade a aprendizagem dos conteúdos de
geometria através do recurso da dobradura nas turmas regulares com estudante
surdo, e aplicar, após o uso deste recurso, outros recursos didáticos que atendam a
primeira colocação.
- Abordar as datas comemorativas nacionais e internacionais objetivando o resgate
dos valores culturais, através de seminários e aula expositiva, de modo a
desenvolver a criatividade, as habilidades de criar e recriar peças decorativas ou
descobrir talentos artísticos. Visa, ainda, incentivar o gosto pela leitura, desenvolver
a expressão verbal e não-verbal, aprimorar a coordenação motora grossa e fina,
explorar a habilidade de trabalhar em grupo, facilitar a perspectiva gráfica e
cognitiva, a apreciação estética, desencadear as percepções geométricas,
interpretando as formas planas e espaciais, proporcionando a organização
sequencial, reconhecendo e relacionando os objetos produzidos com os que fazem
parte de seu espaço de convivência, para promover a socialização dos estudantes
surdos nos grupos de estudantes ouvintes.
- Providenciar que todos os eventos de matemática tenham atividades em LIBRAS.
1.4 Estratégias das ações em sala de aula
Os estudantes formarão equipes de 4 a 5 componentes, para os quais serão
distribuídas as tarefas, e a equipe do estudante surdo irá apresentar o Seminário em
LIBRAS, e nas demais atividades o surdo muda de grupo. Nesse momento,
atividades comparativas são possíveis também para analisar como foi a produção do
grupo que apresentou o seminário em LIBRAS, e se surtiu os resultados esperados.
12
1.5 Previsão para o Desenvolvimento das Ações e Metodologias
1º Momento: na distribuição de aulas, optar pela turma do estudante surdo.
2º Momento: apresentar o Projeto de Implementação para a Equipe Pedagógica e
Direção da escola.
3º Momento: apresentar o Projeto de Implementação aos pares, em Reunião
Pedagógica ou em outra reunião, mediante autorização do Diretor da escola,
aplicando questionário aos mesmos.
4º Momento: explicar aos estudantes como serão distribuídos os grupos de
trabalho; como serão as atividades de pesquisa e apresentação dos trabalhos em
sala de aula e na Gincana do Dia nacional da Matemática; Aplicar o questionário, e a
partir desse momento, nos comprometermos em cada aula, aprender pelo menos
duas palavras em LIBRAS. Serão desenvolvidas todas as ações sobre as datas
comemorativas até maio para o projeto, porém, objetivamos conduzir até dezembro
os trabalhos sobre datas, seguindo este esquema: Março - Dia Internacional da
Mulher (08) e dia do Pi (14), Abril – Páscoa (08) e Dia do Índio (19); Maio - Dia
Nacional da Matemática (06) e Dia das Mães (13); Junho - Dia dos Namorados (12)
e Dia de São João - Festa Junina (24); Agosto - Dia do Estudante (11) e Dia dos
Pais (12); Setembro - Independência do Brasil (07) e Dia Nacional do Surdo (26);
Outubro - Dia da Criança (12); Novembro - Dia da Bandeira (19); Dezembro –
Natal (25).
5º Momento: fazer as dobraduras livres, e socializa-las entre colegas e professor.
6º Momento: distribuir texto e passar vídeo sobre a história do papel, abordar a
matemática do papel sulfite formato A4.
07º Momento: fazer a dobradura do Tsuru, seguindo as regras da dobradura
clássicas.
08º Momento: fazer a dobradura do copo, com ouvidos tampados e do avião com
olhos vendados e socializa-las.
09º Momento: começar as Dobraduras sobre as datas conforme escrito no 4º
momento.
10º Momento: na gincana do Dia Nacional da Matemática, fazer uma atividade de
dobradura com olhos vendados, com ouvidos tampados e uma atividade com
13
cadeira de rodas.
11º Momento: o registro das ações executadas durante o projeto será feito por meio
de registro de respostas de questionários, fotos, exposição de todos os trabalhos
confeccionados pelos alunos na gincana do Dia Nacional da Matemática; entrevistas
com a equipe pedagógica sobre os pontos positivos e negativos das atividades.
Esses registros constituem coleta de dados que serão usados na elaboração do
Artigo Final.
1.6 Avaliação
O Professor que é capaz de fazer uma auto-avaliação, e ensinar seus
estudantes a fazerem o mesmo, dá a liberdade ao grupo de construir um saber que
lhes é próprio, consequentemente constrói um aprendizado mais significativo, cria
uma autonomia pedagógica enquanto sujeitos ativo do processo.
A função maior da unidade é avaliar se há aceitação desses moldes de
atividades, onde serão observados a participação e o interesse dos estudantes, a
integração do estudante surdo com os colegas, a opinião dos colegas professores.
2 Fundamentação Teórica
2.1 Inclusão
Para que uma sociedade se torne inclusiva, onde todos estejam num mesmo
patamar de igualdade, no que diz respeito à educação, todos os elementos
envolvidos neste contexto devem ter a preocupação com o indivíduo nela inserida,
cabe salientar que a simples inserção do estudante surdo em classe regular não
garante sua inclusão, é preciso que todos adquiram um saber que lhes permita
analisar como a inclusão e os processos de ensino tem influenciado na
aprendizagem, e na mudança de seu comportamento.
No processo educativo inclusivo, o indivíduo deve adquirir um conhecimento
qualificado, que lhe permita reconhecer seus direitos e suas obrigações, tornando-o
cidadão atuante na sua comunidade, capaz de exigir que se cumpram as leis. Na
14
visão de Oliveira (2005, p. 52): “Para que o educador atenda às expectativas desses
estudantes, é preciso colocar-se em seu lugar, imaginar como se dá a construção do
conhecimento para um indivíduo desprovido do sentido da audição”.
Nesse aspecto:
As pessoas que acreditam no paradigma da inclusão social como o caminho
ideal para se construir uma sociedade para todos e por ele lutam para que
possamos juntos na diversidade humana cumprir nossos deveres de
cidadania e nos beneficiar dos direitos civis, políticos, econômicos, sociais,
culturais e de desenvolvimento. (SASSAKI, 1997 p. 03)
Ao se apresentar no Iº Seminário Internacional Sociedade Inclusiva em Belo
Horizonte, o Presidente do Centro Vida Independente da Suécia, afirmou que:
Sociedade inclusiva é para todos, independente de sexo, idade, religião,
origem étnica, raça, orientação sexual ou deficiência. Uma sociedade não
apenas acessível a todos, mas que estimula a participação, acolhe e
aprecia a diversidade da experiência humana e cuja meta principal é
oferecer oportunidades iguais para todos realizarem seu potencial humano.
(RATSKA, 1999, p. 01)
A inserção do intérprete na sala de aula, sem um apoio pedagógico que
facilite a interpretação dos conteúdos, pode ser entendida como uma maneira de
minimizar as dificuldades dos surdos, mas estas não garantem a efetiva
aprendizagem dos estudantes, já que esses convivem com uma desigualdade
linguística dentro da sala de aula, por não ter uma língua compartilhada com seus
colegas e professores ouvintes. Segundo Lacerda (2002, p. 30), ainda são poucas
as escolas atentas a essa problemática, que têm permitido ou proposto a inserção
do intérprete em sala de aula como possibilidade de solucionar, ou ao menos
minimizar, problemas linguísticos enfrentados pela comunidade surda no cotidiano
escolar.
As dificuldades enfrentadas tanto pela escola, como pelo professor ouvinte,
bem como pelo aluno surdo são bastante visíveis e assustadoras quando não se
tem uma intérprete para auxiliar as aulas, de modo que todos acabam por dissimular
um comportamento inclusivo que não acontece efetivamente.
15
Quando se oportuniza a presença de um intérprete de LIBRAS em uma sala
de aula, as chances do estudante com deficiência auditiva apreender os conteúdos
ministrados se ampliam, porquanto ele recebe a informação de forma Inteligível,
podendo interpretar a seu modo o que lhe é repassado através da sua própria
linguagem.
Nesse mesmo tempo, o professor ouvinte pode ministrar as suas aulas sem
se preocupar necessariamente em como passar a informação em sinais. Pode-se
afirmar que, nesse caso, a condição linguística especial do surdo é respeitada, o que
aumenta as possibilidades dele se desenvolver e construir novos conhecimentos
satisfatoriamente (LACERDA, 2000).
Segundo o artigo 12, inciso 2º da Resolução CNE/CEB nº2 de 11 de
setembro de 2001:
Deve ser assegurada, no processo educativo de alunos que apresentam
dificuldades de comunicação e sinalização diferenciadas dos demais
educandos, a acessibilidade aos conteúdos curriculares, mediante a
utilização de linguagens e códigos aplicáveis, como o sistema Braille e a
língua de sinais, sem prejuízo do aprendizado (...) que julgarem adequada,
ouvidos os profissionais especializados em cada caso. (BRASIL, 2001).
arrumar segundo a lei utilizada).
Posteriormente, a Lei nº 10.436 de 24 de abril de 2002, em seu artigo 1º,
reconheceu como meio legal de comunicação e expressão a Língua Brasileira de
Sinais – Libras (BRASIL, 2002). Ademais, o seu artigo 4º prevê expressamente que
“O sistema educacional (...) devem garantir a inclusão nos cursos de formação de
Educação Especial, de Fonoaudiologia e de Magistério, em seus níveis médio e
superior, do ensino da Língua Brasileira de Sinais - Libras, como parte integrante
dos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCNs, conforme legislação vigente”.
Entende-se que não basta somente a escola colocar duas línguas nas suas
salas de aula. Precisa-se, também, repensar suas metodologias, para que esta
forneça subsídios e adequações, que atenda satisfatoriamente o estudante com
surdez, ou mesmo de outra diversidade.
Segundo Skliar, “Usufruir da língua de sinais é um direito do surdo e não
uma concessão de alguns professores e escolas” (2005, p. 27). Nesse diapasão, é
interessante a posição de Chalita (2001) para o qual “a relação de afeto entre
16
estudantes e professores deve se estabelecer no momento da aprendizagem." Ainda
para CHALITA, (2001)
“O desafio do aprender a aprender é enorme, é o desafio de formar seres
aptos a se governar, a desenvolver a liderança participativa, a aprender a
dizer sim e a dizer não sem servir de massa de manobra. De que serve uma
multidão de seres repetidores de ideias alheias sem capacidades de pensar
por si mesmos?( CHALITA , 2001, p. 65)
2.2 História do Origami
A palavra japonesa Origami é composta por dois caracteres. O primeiro ori
(vem do verbo oru), que deriva do desenho de uma mão e significa dobrar. O
segundo kami, deriva do desenho de seda e significa papel, quando ditas juntas a
letra “K” é substituída pelo “g”. A palavra kami também significa espírito e Deus.
Em sua essência, a arte de dobrar papel, é uma arte milenar japonesa
nascida há quase mil anos na Corte Imperial, foi encarada primordialmente como um
passatempo, e foi transmitida ao povo. Na atualidade no Japão, esta arte é bastante
divulgada entre crianças, jovens e idosos, mas nas tradições de séculos passados,
era permitido somente para nobreza.
No princípio o origami era utilizado somente pelas classes nobres e nas
cerimônias religiosas xintoístas, sob a forma de ornamentos (atashiro).
Entre os origamis mais utilizados em cerimônias tem-se como exemplo duas
borboletas ou mariposas, que até hoje ornamentam garrafas de saquê para
representar a união. No período Muromachi (1338-1573), o papel tornou-se
um produto mais acessível, e surgiram certos adornos com significados
distintos que revelavam, por exemplo, a classe social do seu portador. Por
meio do origami podia-se distinguir um agricultor de um guerreiro samurai,
um seguidor de um mestre, bastando observar as dobraduras que eles
possuíam (DA CRUZ, 2006, p.134).
Não se sabe com exatidão o seu surgimento, mas alguns historiadores
acreditam que tenha surgido após a invenção do papel, pois sua história milenar
leva-nos até a China no momento em que o papel de celulose foi inventado, e
17
quando o mesmo foi introduzido no Japão por volta dos séculos V e VI.
Origamistas profissionais do Rio de Janeiro consideram que o simples fato
de curvar o papel já se constitui uma dobra ou vinco, ampliando o conceito de
origami. (EGIDO; GOZER, 2009, p. 23).
É interessante enfatizar que:
A popularização do origami se deu no período Tokugawa (1603- 1867). Aí
surgiu a dobradura original do tsuru (cegonha), sem dúvida a mais popular
no Japão. No ano de 1876 o origami passou a fazer parte do currículo
escolar, onde a geometria já era estudada nas formas e nas dobras dos
papéis pelos mouros, pois sua religião não admitia a criação de figuras
simbólicas (DA CRUZ, 2006 p. 134).
Em sua dissertação de Mestrado, Da Cruz afirma que origami chegou no
Brasil com colonizadores portugueses, e com os:
preceptores europeus que vieram ao país com o intuito de orientar os filhos
das famílias mais abastadas. No século XIX foi utilizado pelo educador
alemão Friedrich Froebel, como um método pedagógico, e o inglês Arthur H.
Stone em 1939 registrou como exemplo de aplicação do origami, os
flexágonos, um tipo de recreação que permite verificar certos conceitos
matemáticos. (DACRUZ, 2006 p. 134).
Sabe-se que até metade do século XIX, a arte das dobraduras era restrita
aos adultos pelo alto custo do papel, porém, em 1876, passou a ser ensinado nas
escolas, fazendo parte da educação dos japoneses. (PERCILIA, Eliene, s/a p. 01).
Esta arte milenar só passou a ser vista de um ponto de vista pedagógico, atraindo
pesquisadores, provavelmente porque o “origami instigou seus talentos matemáticos
e científicos” (SHENG et al, 2006, p.03). O origami desenvolve um papel muito
importante no desenvolvimento intelectual da criança, pois exige concentração,
estimula a criatividade, a concentração motora fina, estética, imaginação e
desenvolve a destreza manual.
Esta arte também pode ser vista pela “topologia e pela geometria
combinatória.(...) na topologia as figuras podem ser esticadas ou
deformadas de seu estado original sem passarem a ser consideradas
objetos diferentes, desde que não se faça nenhum buraco ou qualquer
remendo nelas. (SHENG, et al, 2006 p. 03).
18
Para confeccionar as peças mais simples de origami, existem regras básicas
para serem seguidas, não constituindo como lei, mas como qualquer recurso
pedagógico, algumas dicas são bem vindas.
A maioria das dobraduras são feitas com papel quadrado de 15 cm de lado,
mas exstem dobraduras que se partem papéis retangulares, circulares, triangulares
etc. O tipo de papel é importante, mas não significa que este deve ser de alto custo,
pode ser papel de revista, sulfite ou presente, não dever ser nem muito grosso, nem
fino demais. Querendo trabalhar com papel próprio para dobraduras, que possui
uma face colorida e outra branca, conhecido com papel espelho, encontrados em
livrarias. Devemos realizar os vincos com firmeza, calma e precisão, sobre uma
superfície plana e lisa, evitar o uso da cola e da tesoura, com mãos limpas fazer as
dobras passando a unha do polegar ao longo da cada vinco, para acentuar as
dobras. Mas não são regras absolutas, há peças que não seguem essas mesmas
regras.
Corroborando essas afirmações, Sheng preconiza que:
Ao contrário da crença popular, o origami tradicional japonês, que é
praticado desde o Período Edo (1603-1897), frequentemente foi menos
rígido com essas convenções, permitindo até mesmo o corte do papel
durante a criação do desenho, ou o uso de outras formas de papel que não
a quadrada (rectangular, circular, etc.).(WIKIPÈDIA). Estas, porém, eram a
mistura de origami com kirigami (arte de formar figuras através de recortes
de papéis), eram confeccionados com papéis manufaturados unicamente
para o uso dos sacerdotes xintoístas. Com a intenção de honrar o espírito
das árvores que davam vida ao papel, os sacerdotes xintoístas passaram a
pregar regras rígidas para a arte do origami como, por exemplo, não cortar
ou colar as folhas. (SHENG, et al, 2006 p. 03).
Segundo os estudos de Da Cruz (2006):
Neste contexto, vem sendo observado que a utilização do origami
juntamente com idéias do construtivismo e com o modelo de Van Hiele,
contribui para o desenvolvimento de habilidades manuais e criativas do
indivíduo, melhorando a sua coordenação psicomotora, agilizando o
raciocínio e proporcionando noções de espaços bi e tridimensionais, onde a
visualização dos objetos estudados é de grande importância (DA CRUZ,
2006, p.134).
19
2.2.1 Tipos de Origami
Tradicional: utiliza uma folha de papel quadrado, sem cortes
e sem o uso de cola.
Fonte do desenho: http://www.japaoemfoco.com/origem-do-origami-significado
Modular: é construído de várias peças feitas separadamente
para encaixar. Um dos modelos mais tradicionais de
modulares são as Kusudamas (kusu-remédio e dama–
bola).Fonte:http://oficinadoorigami.blogspot.com.br/2011/03/tipos-deorigami.html:http://www.behance.net/gallery/Origami-Modular-Icosaedro/4080953
Arquitetônico ou Pop-ups: são modelos projetados para
serem abertos em ângulos, formando objetos tridimensionais,
a maioria das criações apresentada são em ângulos de 90°,
180° e 360° graus. Usa-se cortes e dobras para causar este
efeito de projeção. Esta técnica pode ser encontrada em
cartões e em livros infantis. o livro.
Fonte: http://engenhariadepapel.blogspot.com.br/2011_02_01_archive.html
Kusudama: é origami criada como enfeite para festas e
ocasiões especiais. Ele faz uso da técnica do origami modular
para possibilitar a introdução de ervas aromáticas em seu
interior. Nos seus primórdios, este origami estava associado
com a cura e ervas medicinais. Kuso significa remédio e
dama, bola. Fonte: http://zhongdao.com.br/actions/index.php?
Bill Folding: origami Dollar Bill Folding, esta modalidade de
origami consiste em usar notas de dinheiro para criar suas
peças de arte, ela se tornou muito popular nos Estados
Unidos e depois ganhou o mundo.
Fonte:http//www/papercratfcentral.net/2011/03/ornament-monev-origami-rose-withpot/id=34&tipo+ativ
20
Block folding: é dobrar centenas de módulos em forma de
triângulos, e criar peças tridimensionais com esses módulos.
Os mais populares são o pavão e o cisne.
Fonte: http://biogere-esav.blogspot.com.br/2011_04_01_archive.html
Aerogami: Para que uma dobragem de papel seja
considerada um Aerogami ela tem que ser um modelo
aerodinâmico. O principal lema do Aerogami: “dobrar e
voar”. Fonte:http//bethcccruz.blogspot.com.br/2010/08/origami-arte-com-papel.html
Tesselation: funciona por meio de uma grade de linhas
bases, estas grades em forma de figuras geométricas
hexágonos, quadrados, triângulos. Basicamente, seria o
mesmo que desenhar em um papel utilizando apenas
dobras.
Fonte:http://www.scoop.it/t/algorithm/p/2696186789/recitymagazine-origami-
tessellation-dress-
Wet Folding: é uma técnica de fazer origami com o papel
molhado. Consiste em passar uma esponja úmida ou
borrifar água em um origami pronto para poder fazer curvas
no papel e criar modelos mais vivos. Utiliza papéis grossos
que são mais resistentes e aguentam diversas dobras
quando úmidos.
Fonte:http://www.womansday.com
Crease Pattern ou CP: imagine que depois de dobrar uma
peça de origami você resolva desdobrar tudo para ver
como ficou o papel. As marcas que você vai ver formam o
CP. CP é a abreviatura e Crease Pattern, do inglês,
significa "Padrão de Dobras" ou "Padrão de Vincos".
Fonte: http://newblog.oribotics.net/index
21
Kirigami: É
uma
variação
do
origami
tradicional,
conhecida como POP-UP, 3D ou arquitetura em papel,
que visa construir modelos tridimensionais. Ele é muito
usado pela indústria imobiliária para construir miniaturas
de prédios e casas.
Na Polônia, os modelos mais
tradicionais são as reproduções de galhos e árvores
frutíferas, também é conhecido como Wichinanki.
O
número de vezes que este é reproduzido depende do
número de dobras feitas no papel.
Fonte: http://flickrhivemind.net/Tags/
Paper Craft: é um método de construção de objetos
tridimensionais a partir de papel, semelhante ao
origami. Distingue-se porque a construção geralmente é
feita com vários pedaços de papel, e esses pedaços
são cortados com tesoura e fixados uns aos outros com
cola. Fonte: http://indulgy.com/post/2hT2Y0ZNO1/origami-paper-flowers
Oribana: é a junção de duas artes: a Ikebana, arte de
arranjar as flores em estilo oriental e o Origami, arte
construir formar e objetos através de dobraduras em
papel. No Oribana tudo é confeccionado em papel:
vasos, folhas e flores!
Fonte:http://www.oriland.com/store/custom/main.asp
Orijouteria: o nome é a junção de origami e bijuterias.
Em outras palavras, são bijuterias feitas confeccionadas
com figuras de origami.
Fonte:http://origami.em.blog.br/archives/mais-ideias-de-bijouteria-com-origami/
22
Toilegami: Origami com papel higiênico, artistas criam
dobraduras para decorar banheiros de hotéis e eventos.
Fonte:http://oficinadoorigami.blogspot.com.br/2011/03/origami-em-papelhigienico.html
Origami Fashion: Essa técnica milenar pode agora
também ser vista em vestidos com as dobraduras em
tecidos estrategicamente localizadas valorizando a
sensualidade feminina.
Fonte:
http://m-meghraoua0912-dc2.blogspot.com.br/2011/03/origami-fashion-1-
35-
2.2.1.1Origamis Comestíveis
O material mais comum usado são as folhas de algas (nori) que podem ser
produzidas não somente a base de algas, mas de legumes e frutas. Além destas
folhas, outras experiências foram feitas com massa para pastel, dobrada e depois
frita, e até mesmo com folhas finíssimas de glacê de foundant, fazendo figuras para
enfeitar bolos e doces.
Papel comestível– eat-it: papel com sabor de frutas.
Fonte: http://carolhoffmann.blogspot.com/2009/06/cha-com-origami-comestivel.html
Origami comestível sobre sorvete: g & g dobras em
parceria com a chef letícia krause.
Fonte: http://www.flickr.com/photos/ggdobras/2362510150/in/photostream/
Tsurus de alfenin ou massa de açúcar: brancos sobre
a torta de chocolate, g&g dobras em parceria com a chef
letícia krause.
Fonte:http://www.flickr.com/photos/ggdobras/2362503166/in/photostrea
23
Saquinhos de chá, criados sob os princípios do origami,
enquanto o chá está em infusão a forma aparece
gradualmente.
Fonte:”http://carolhoffmann.blogspot.com/2009/09/cha-e-origami.html
Croutons de tsuru frito ou
assado
para
sua
salada.
Fonte:http://www.evilmadscientist.com/article.php/edibleorigami
Origami de açúcar
Fonte: http://sugarworksllc.com/page4.html
Doces
finos
enfeitados
com
tsuru
tsurus dourados em origami comestível sobre bombons da
lebombom da chef letícia krause.
Fonte:http://origamibylu.blogspot.com.br/2009/10/origami-folhas-de-arte-origami.html
2.2.2 Tipos de papel usados para fazer origami
Podemos usar qualquer tipo de papel, com treino as técnicas da melhoram
apresentando um resultado satisfatório. Ao escolher o tipo de papel, observe a sua
espessura, ou seja, a gramatura (se é mais fino ou mais grosso). Papéis mais finos
estão entre 30g e 60g, o papel sulfite A4 e oficio, são de 75g, papéis médios estão
entre 90g e 120g, e papéis mais pesados de 150g, 180g a até 240g.
Os papéis grossos acabam quebrando ao serem vincados, e os muito finos
são moles, podem rasgar facilmente, têm a rigidez necessária. Dentre os mais
utilizados na escola é o papel sulfite A4, o papel presente ou fantasia, o papel
espelho, ou de dobradura, os importados para origami, o Color Plus, o Color Set, o
24
laminado ou metalizado, o vegetal e o sanduíche. O tamanho mais usado é 15 cm,
por 15 cm ou o tamanho 7,5x7,5cm para kusudamas.
2.2.3 Dicas para iniciantes
Faça as dobras em uma superfície lisa e plana, bem iluminada. Utilize o
papel sulfite por ser fácil de encontrar, barato e não e muito fino e nem grosso;
principalmente se for fazer uma dobradura com muitas dobras, mantenha as mãos
limpas e secas; quando for fazer uma dobradura verifique se conhece os passos;
comece a fazer a dobradura com 15 cm por 15 cm e um tamanho bom de papel, para
mais tarde fazer de tamanho menores; acentue os vincos passando a unha sobre
eles; não tenha pressa, a paciência é fundamental para que o trabalho seja perfeito;
2.2.4 Cinco perguntas sobre os benefícios de se fazer do Origami
1- Quando dobramos recebemos quais os estímulos?
Nível corporal: as duas mãos se movimenta ao mesmo tempo enviando impulsos
para o cérebro, ativando concomitantemente os hemisférios direito e esquerdo. As
zonas táteis, visuais e motoras estão ativas.
Nível emocional: suas emoções estão ativas, o trabalho é feito com alegria,
satisfação e orgulho. Esses sentimentos desenvolvem sua autoestima.
Nível mental: sua memória, raciocínio não-verbal, atenção, compreensão espacial e
a imaginação estão trabalhando duro.
2- Qual a idade ideal para a prática do origami? Qualquer idade, crianças, jovens
e adultos que gostam de desenvolver a sua própria individualidade.
3- Quem pode praticar o origami? Todos aqueles que gostam: de desafios, de
estudar algo novo, amam a beleza, de fazer trabalhos manuais.
4- Quais áreas o origami pode ser trabalhado? Educação, Desenvolvimento,
terapias, etc.
5- Quais áreas podem usar o origami? Educador, Professor, Psicólogo, Médico,
pais, etc. Fonte das dicas::www.regina.ribeiro.nom.br
25
2.2.5 Dez Motivos par fazer Origami
Segundo VASCONCELOS (2007), há “10 motivos para trabalhar origami em
sala de aula”. Acrescento mais dois: custo e acessibilidade.
1- Amplia a memória: raciocínio não-verbal, compreensão espacial e a imaginação
estão trabalhando duro. Estimula a mente, na medida em que o estudante segue os
passos da dobradura vai sendo estimulado a registrar na memória os passos até
chegar ao resultado final.
2- Estimula a concentração e a participação: desenvolve a atenção, ao realizar as
atividades do origami, o estudante adquire maior concentração, ampliando, seu nível
de participação em outras atividades.
3- Desenvolve a criatividade: a dobradura impele e estimula o uso da criatividade
pelo estudante, aprimorando a criatividade, a capacidade de criar, a habilidade que
cada pessoa tem de encontrar uma solução para os seus problemas, de criar
recursos para melhorar a aparência, o ambiente.
4- Favorece a socialização: o estudante que consegue realizar sua dobradura
compartilha o que aprendeu com os colegas, orienta quem tem dificuldades,
participando, da vida social na sala de aula.
5- Aumenta a auto-estima: suas emoções estão ativas e o trabalho é feito com
alegria, satisfação e orgulho. Quando o estudante consegue realizar o seu trabalho,
mesmo com ajuda do colega, fica alegre e satisfeito com seu próprio trabalho.
6- Contribui para a construção do conhecimento: através das dobraduras o
estudante é instigado ao processo de construção do conhecimento e da
necessidade de compartilhar este conhecimento.
7- Oportuniza a formação e uso de valores éticos e morais: na medida em que o
estudante vai se orientando, participando, respeitando as dificuldades, valorizando o
seu trabalho e dos colegas, vai compreendendo e aprendendo os valores
necessários para construção de uma sociedade igualitária e promotora da paz.
8- Auxilia na interdisciplinaridade: em Português é um ótimo recurso ilustrativo
nos diferentes textos, fábulas, redações, contos, entre outros. Em Matemática um
excelente material didático para trabalhar simetria, ângulos, geometrias, frações,
teoremas, áreas, volume, etc. Nas Ciências Biológicas pode-se usa-los como
26
matérias ilustrativas na cadeia alimentar e em outros conteúdos. Em Artes se
constitui em um ótimo recurso para confecções de mural, quadros, caixas e outras
criatividades. Em História conhecimentos sobre outros povos.
9- Trabalha a psicomotricidade e a afetividade: o ato de dobrar os origamis e
chegar ao resultado final desenvolve a paciência. Assim, o estudante se acalma e se
torna menos agressivo; ativam os hemisférios direito e esquerdo. As zonas táteis,
visuais e motoras estão ativas, desenvolvendo a imaginação e a atenção, trazendo
para as peças as habilidades intelectuais, experiências estéticas e emocionais de
cada um.
10- É um excelente material didático: um ótimo recurso para confecção de painéis,
mural de datas comemorativas, peças decorativas e geométricas.
11- Material acessível: Pode ser encontrados em todas as escolas ou papelarias
locais.
12- Barato: O preço da folha de papel sulfite A4, é barato em relação a outros
papeis. Fonte: http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/origami/origami-2.php
27
2.2.6 Símbolos baseados no livro de Rêgo, Rêgo e Gaudêncio, pag. 37, 2003, e Marcelino,
Oficina de Origami Fonte: http://www.educacaopublica.rj.gov.br/oficinas/matematica/origami/03.html
dobrar e voltar
Linha do
Vale
Linha da
Montanha
dobrar na direção da seta, justapondo
lado com lado ou vértice com vértice
Dobra do
Vale
Dobra da
Montanha
Vincar a bissetriz do ângulo
Empurrar a base ou topo da figura
para dentro
Virar a figura
Dobrar juntando os pontos
Dobra feita em passos anteriores
Inserir a “ponta” por baixo da parte
indicada pela seta
Ampliação
Fazer uma prega
Abrir ou puxar a figura na direção
indicada
28
Abrir a dobra
Fazer uma
Dobra
Fazer uma Dobra por cima da outra
Fazer uma
Prega
Dobrar e
Desdobrar
Virar o
Papel
Por cima da
outra
obrar e desdobrar o papel
Abrir a
Dobra
Virar a Dobra para
dentro
Virar a
Dobra
para fora
Puxar na
direção da
seta
Empurrar
na direção
da seta
29
2.2.7 Origem do origami e a sua importância pedagógica
Fazer trabalhos com origami vai muito além de criar animais ou peças
decorativas. Podemos estudar geometria através das figuras geométricas bi e
tridimensionais, frações, decimais, porcentagens, eixo de simetria, congruências,
paralelismo, perpendicularismo, arestas, vértices, ângulos, faces dos poliedros,
bissetrizes, entre outras aplicabilidades, permitindo a oportunidade de se fazer
explorações e representações das áreas e volumes, investigar e descobrir as
propriedades das figuras. Nesse contexto, Rego, Rego e Gaudêncio (2003, p.18) já
apontaram que:
O Origami pode representar para o processo de ensino/aprendizagem de
Matemática um importante recurso metodológico, através do qual os alunos
ampliarão os seus conhecimentos geométricos formais, adquiridos
inicialmente de maneira informal por meio da observação do mundo, de
objetos e formas que o cercam. Com uma atividade manual que integra,
dentre outros campos do conhecimento, Geometria e Arte, tem-se a
oportunidade de apresentar e discutir uma grande variedade de conteúdos
matemáticos, relacionando-os a outros campos de conhecimento.
2.2.8 Origami e a Matemática
Rego (2003, p.29) aponta muitas coisas que poderemos fazer com
dobraduras produzidas pelos estudantes nas aulas de matemáticas, entre elas
podemos citar: decoração de cartões personalizados para o dia da mulher, dia das
mães, dos pais, cartões natalinos, cartões os namorados, também podem ser
criados painéis para sala de aula ligados às datas comemorativas, campanhas
publicitárias, etc.
A prática e o estudo do Origami envolve vários tópicos de relevo da
matemática, o problema do alisamento da dobragem (se um modelo pode ser
desdobrado) tem sido tema de estudo matemático considerável. A dobragem de um
modelo alisável foi provado por Marshall Bern e Barry Hayes como sendo um
problema completo. O problema do origami rígido ("se o papel for substituído por
metal será ainda possível construir o modelo?") é de grande importância prática. Por
exemplo, a dobragem Miura é uma dobragem rígida que tem sido usada para levar
para o espaço grelhas de painéis solares para satélites. Ainda em Matemática, o
30
origami pode ser tratado com o intuito de estudar noções de topologia (geral,
algébrica e geométrica), geometria combinatória, espacial, plana, fractal e analítica.
Na topologia, as figuras podem ser esticadas ou deformadas de seu estado original,
sem passar a ser considerados objetos diferentes, desde que não se faça nenhum
buraco ou qualquer remendo nelas. (Fonte: pt.wikipedia.org).
Um princípio importante na matemática do origami é o Teorema de
Kawasaki, segundo o qual a soma dos ângulos alternados formados por dobraduras
em volta de um único vértice em um origami desdobrado será sempre 180º. Isso vale
para cada vértice do papel desdobrado de uma figura plana, e não necessariamente
de formas não achatadas. Fonte da figura e texto: http://revistagalileu.globo.com/Galileu
1+a 3 +a 5 +. .. .+a 2n−1 =180 º
e a2 + a 4 + a6 + .. .+a 2n=180 º
Pode-se ver que sempre teremos um número par de ângulos para cada
vértice. Outra propriedade matemática importante no origami se concerne aos
padrões de dobradura de figuras planas. Pode-se colorir o papel inteiro desdobrado
somente com duas cores, sem que se repita a mesma cor lado a lado.
Fonte http://pt.wikipedia.org
2.2.9 Os mestres do origami
Akira Yoshizawa, Makoto Yamaguchi e Satoshi Kamiya
2.2.10 História do Tsuru
O Tsuru (grou) surgiu há séculos, que é definido como um dos símbolos do
Origami japonês que representa a paz, saúde, boa sorte, longevidade, felicidade e
fortuna. Inicialmente o Tsuru tinha apenas função decorativa, mais tarde, foi
associado às orações, sendo oferecido nos templos, para pedir proteção.
Atualmente,
nas
festas
de Ano
Novo,
casamento,
nascimento
e
outras
comemorações festivas, a figura do Tsuru está presente nos enfeites ou nas
31
embalagens de presentes. Diz-se que ao dobrarmos mil tsuru todos os nossos
desejos serão realizados, se oferecê-los a uma pessoa doente, estaremos
transmitindo-lhe o nosso desejo para o seu pronto restabelecimento. Sendo
considerado o pai do origami moderno, Akira Yoshizawa, inventou os símbolos
usados nas instruções “passo-a-passo”.
2.3 Geometria
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, “as
atividades geométricas são propícias para que o professor construa junto com seus
alunos um caminho a partir de experiências concretas, leve-os a compreender a
importância e a necessidade da prova para legitimar as hipóteses levantadas”.
(PCN, 1998, p. 126).
A Geometria é o ramo da matemática que estuda as figuras geométricas
planas e espaciais e as relações entre elas e suas propriedades. A palavra é de
origem grega, formada por geo (terra) e metria (medida).
Há muitos séculos atrás a geometria era uma ciência de medir terrenos,
suas áreas e seus perímetros. A geometria plana ou geometria euclidiana teve sua
gênese na Grécia antiga, estudando as diferentes formas de objetos, baseando em
três conceitos básicos: ponto, reta e plano. Ela baseia-se nos chamados conceitos
geométricos primitivos. Define-se conceito geométrico primitivo todo aquele conceito
que não admite definição, isto é, que é aceito por ser óbvio ou conveniente (senso
comum). Desta feita, para uma determinada teoria esses conceitos primitivos
servem de base para a construção de postulados (ou axiomas) que formarão, por
sua vez, a estrutura lógica e formal da teoria. São conceitos intuitivos.
Nesse sentido, já se afirmou que “a geometria é particularmente propícia,
desde os primeiros anos de escolaridade, um ensino fortemente baseado na exploração de situações de natureza exploratória e investigativa” (PONTE et al, 2006, p.
71).
Para explicar o que é a geometria, teóricos construíram uma infinidade de
conceitos. Dentre eles, uma definição deveras interessante é a apresentada por Miguel e Miorim citados por Dumont, para os quais a geometria:
32
É o estudo das propriedades dos objetos e das transformações a que
podem ser submetidos desde as transformações mais simples, que alteram
apenas a posição de um objeto, as mais complexas que destroem a sua
forma até caracterizá-lo por completo.(MIGUEL e MIORIM, apud DUMONT
2008, p. 07).
O professor que não conhece geometria, não conhece seu poder, sua beleza
e a importância importância que ela possui para a formação do futuro cidadão, “tudo
indica que (…) que o dilema é tentar ensinar Geometria sem conhecê-la ou então
não ensiná-la”. (Lorenzato, 1995, apud Dumont p 06)
Os prejuízos para o estudante ignorar o estudo da geometria são irreparáveis, visto que:
sem estudar geometria, os alunos acabam por não desenvolver bem o pensamento geométrico e o raciocínio visual, e sem essa habilidade, eles terão
dificuldades para resolver situações de vida que forem geometrizadas, também não poderão se utilizar da geometria como fator facilitador para a compreensão e resolução de questões de outras áreas do conhecimento humano sem a geometria, a leitura interpretativa do mundo torna-se incompleta, a
comunicação das ideias fica reduzida a visão da matemática torna-se distorcida. (LORENZATO 1995, apud DUMONT 2008, p.7).
“Considerando que para os matemáticos, não haver dúvidas de que os elementos geométricos pertencem ao mundo das ideias matemáticas, estes elementos
tiveram sua origem no mundo físico e representam abstrações de objetos materiais”.
(KALEFF,1998, p.16).
As ideias geométricas abstraídas das formas da natureza, que aparecem
tanto na vida inanimada como na vida orgânica e nos objetos produzidos
pelas diversas culturas, influenciaram muito o desenvolvimento humano. Em
torno dos anos 300 a.C., Euclides sistematizou o conhecimento geométrico,
na obra já citada Elementos. (DCE,2008,p 56).
33
2.3.1 Geometria Plana
Os estudos iniciais sobre Geometria Plana estão relacionados à Grécia
Antiga, também pode ser denominada Geometria Euclidiana em homenagem a
Euclides de Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.), grande matemático educado na cidade
de Atenas e frequentador da escola fundamentada nos princípios de Platão.
Os princípios que levaram à elaboração da Geometria Euclidiana eram baseados
nos estudos do ponto, da reta e do plano. O ponto era considerado um elemento que
não tinha definição plausível, a reta era definida como uma sequência infinita de
pontos e o plano, por sua vez, definido através da disposição de retas.
As definições teóricas da Geometria de Euclides estão baseadas em
axiomas, postulados, definições e teoremas que estruturam a construção de
variadas formas planas. Os polígonos são representações planas que possuem
definições, propriedades e elementos. Podemos relacionar à Geometria plana os
seguintes conteúdos programáticos: Ponto, reta, plano, Posições relativas entre
retas, Ângulos, Triângulos, Quadriláteros, Polígonos, Perímetro e Áreas de regiões
planas. Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/geometria-plana.htm,
Os conceitos geométricos primitivos da geometria Plana e Espacial são os
seguintes:
A
Ponto: não tem dimensão, nem massa, nem volume, é o conceito geométrico
primitivo fundamental. Euclides o definiu como "aquilo que não tem parte". Diz-se
que o ponto não tem dimensão. A única propriedade do ponto é a localização. Dizse que o ponto não tem dimensão (é adimensional). Toda a figura geométrica é
considerada um conjunto de pontos. Representa-se o ponto por uma letra maiúscula
qualquer do alfabeto latino. (A,B,C....)
Reta: não tem origem, nem extremidade; é infinita, por isso não é
possível determinar o seu comprimento; é um conjunto infinito de pontos. Dois
pontos determinam uma reta. Representa-se uma reta por letra latinas minúscula do
alfabeto (a,b,c....r) .
34
Plano: não tem espessura nem fronteiras. Um plano é uma
superfície plana que se estende infinitamente em todas as
direções. A superfície de uma mesa é plana. Representa-se
um plano por letras gregas minúsculas (α, β, γ ..).
r
s
Observação: espaço é o conjunto de todos os pontos.
P∈ r
Q ∈ s∩ r
s⊂α e r ⊂α
Linha: imagine um pedaço de barbante sobre uma mesa, formando curvas ou nós
sobre si mesmo: este é um exemplo de linha.
Axiomas
Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem
demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. Temos
como axioma fundamental: existem infinitos pontos, retos e planos.
Postulados sobre pontos e retas
P1 – A reta é infinita contém infinitos pontos
P2 –Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.
P3 – A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.
P
Q
P4 Por dois pontos distintos determinam uma única
P
reta. Um ponto qualquer de uma reta divide-a em
duas semi-retas
Fontes: http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial.php
http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital1/04_geometria_plana/conteudo01.html,
35
2.3.2 Geometria Espacial
A geometria espacial trabalha com a ampliação da geometria plana e trata dos
mesmos conceitos geométricos (ponto, reta, plano e linha), conforme definição de
cada um deles nesta matéria. Estudamos dentro da geometria espacial os cálculos
de áreas, o cálculo do volume ou capacidade dos objetos que apresentam três
dimensões – chamados de sólidos geométricos – bem como, a compreensão da
posição de elementos como reta e plano no espaço tridimensional.
A
geometria
espacial
estuda
os
seguintes
sólidos
geométricos:
paralelepípedos, cubos, prismas, pirâmides, cones, cilindros e esferas.
2.3.2.1 Tipos de cilindro reto e oblíquo
base
altura
h
geratriz
h
2.π .r
base
2.3.2.2 Paralelepípedo reto-retângulo e oblíquo
h
2.3.2.3 Pirâmide de base quadrada
2.3.2.4 Pirâmide de Base triangular
36
2.3.2.5 Pirâmide de Base Hexagonal
V
Apótema da
pirâmide
O
M
Ponto médio
2.3.2.6 Tronco de Pirâmide
Base menor
altura
Face lateral
base maior
2.3.2.7 Cone
g
h
r
r
r
2.3.2.8 Esfera
D
2.3.3 Geometria Analítica
É uma parte da matemática que, através de processos particulares,
estabelecem relações entre a álgebra e a geometria. Também chamada geometria
de coordenadas ou geometria cartesiana, é o estudo por meio de um sistema de
coordenadas e dos princípios da álgebra e da análise, onde contrasta com a
abordagem sintética da geometria euclidiana, em que certas noções geométricas
são consideradas primitivas, e é utilizado o raciocínio dedutivo a partir de axiomas e
37
teoremas para obter proposições verdadeiras. É muito utilizada na física e na
engenharia, e é o fundamento das áreas mais modernas da geometria, incluindo
geométrica algébrica, diferencial, discreta e computacional. Os estudos iniciais estão
ligados ao matemático francês René Descartes (1596 -1650), criador do sistema de
coordenadas cartesianas. Descartes, ao relacionar a Álgebra com a Geometria,
criou princípios matemáticos capazes de analisar por métodos geométricos as
propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre
eles, localização e pontos de coordenadas.
Fonte:http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_anal
%C3%ADtica
Uma característica importante da geometria analítica se apresenta na
definição de formas geométricas de modo numérico, extraindo dados informativos da
representação. Com base nesses estudos, a Matemática passa a ser vista como
uma disciplina moderna, capaz de explicar e demonstrar situações relacionadas ao
espaço. As noções intuitivas de vetores começam a ser exploradas de forma
contundente, na busca por resultados numéricos que expressem as ideias da união
da Geometria com a Álgebra. Podemos relacionar os seguintes tópicos ao estudo da
geometria analítica:
Estudo Analítico do Ponto: Plano Cartesiano; Distância entre dois pontos; Ponto
médio de um segmento; Condição de alinhamento de três pontos.
Estudo da Reta: Equação geral e reduzida da reta, Intersecção entre retas,
Paralelismo, Perpendicularidade, Ângulos entre retas, Distância entre ponto e reta.
Estudo da Circunferência: Equação geral e reduzida da circunferência, Posições
relativas entre ponto e circunferência, Posições relativas entre reta e circunferência;
Problemas relacionados à tangência.
Estudo das Cônicas: Elipse, Hipérbole, Parábola, Intersecção entre cônicas, Retas
tangentes a uma cônica. Fonte: Marcos Noé http://www.brasilescola.com/matematica/geometria-analitica.htm
2.3.4 Geometria Fractal
A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as
propriedades e comportamento dos fractais. A palavra fractais
vem (do latim fractus, fração, quebrado) são figuras da
geometria não-euclidiana. É um objeto geométrico que pode ser
38
dividido em partes, cada uma das quais semelhantes ao objeto original. Ou seja,
cada parte é uma imagem do todo. Em muitos casos, um fractal pode ser gerado por
um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo. Descreve
muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica,
e foram aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes
conceituais dos fractais remontam às tentativas de medir o tamanho de objetos para
os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham.
Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente autos similares
e independem de escala. O termo foi criado em 1975 por Benoît Mandelbrot,
matemático francês nascido na Polônia, que descobriu a geometria fractal na
década de 70 do século XX, a partir do adjetivo latino fractus, do verbo frangeres,
que significa quebrar. Vários tipos de fractais foram originalmente estudados como
objetos matemáticos. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Fractal.
São exemplos comuns de fractais: Conjunto de Mandelbrot, Fractal de
Lyapunov,
Conjunto de Precentor, Tapete de Sierpinski, Triângulo de Sierpinski,
Menger sponge, Curva de dragão, Curva de Peano e Curva de Koch. Um exemplo
de um belo fractal natural é um tipo de couve flor chamado brócolis romanesco.
Cada flor tem essencialmente a mesma forma que o brócolis inteiro, e tudo está
disposto em uma série de espirais de Fibonacci cada vez menores.
Fonte: http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/02/um
2.4 Investigação Matemática
“Investigar é procurar o que não se sabe” (Ponte et al 2006, apud DCE, p.
68). O trabalho com geometria, através do recurso do origami, pode corroborar este
preceito de investigação.
Em contextos de ensino e aprendizagem, investigar não significa
necessariamente lidar com problemas muito sofisticados na fronteira do
conhecimento. Significa, tão só, que formulamos questões que nos
interessam, para as quais não temos resposta pronta, e procuramos essa
resposta de modo tanto quanto possível fundamentado e rigoroso.(PONTE,
BROCARDO & OLIVEIRA 2006, p. 09)
“prática pedagógica de investigações matemáticas, tem sido recomendada
por diversos estudiosos como forma de contribuir para uma melhor compreensão da
39
disciplina em questão” (DCE, 2008 p.76) elas são semelhantes às realizadas pelos
matemáticos mas que podem ser desencadeadas a partir da resolução de simples
exercícios e se relacionam com a resolução de problemas. As investigações matemáticas envolvem, naturalmente, conceitos, procedimentos e representações matemáticas, mas o que mais fortemente as caracteriza é este estilo de conjectura testedemonstração” (PONTE et al, 2006, p.10).
“As pesquisas em Educação Matemática têm permitido a discussão e reflexão sobre a prática docente e o processo de avaliação” essas praticas têm sido marcadas pela pedagogia do exame em detrimento da pedagogia do ensino e da aprendizagem” (LUCKESI, 2002 apud DCE 2008 p. 69).
Na teoria das inteligências múltiplas, dentre as sete, este trabalho se pauta
em quatro, quais sejam, as Inteligências Linguística, a Lógico-Matemática, a Corporal-Cinestésica e a Espacial. Deste modo, “Em contraste com capacidades linguísticas e musicais, a competência que estou denominando ‘lógico-matemática’ não se
origina na esfera auditivo-oral” (GARDNER,1994, p.100).
Sob o ponto de vista idealista, acreditando que essas inteligências podem se
apresentar nas atividades com dobradura e favorecer a aprendizagem dos conceitos
e propriedades da geometria, e a interação por meio de outras formas de linguagem.
Conforme recomendação dos Parâmetros Curriculares Nacionais.
Utilizar as diferentes linguagens, verbal, matemática, gráfica, plástica e
corporal como meio para produzir, expressar e comunicar suas ideias,
interpretar e usufruir das produções culturais, em contextos públicos e
privados, atendendo a diferentes intenções e situações de comunicação
(PCN, 2001, p. 9).
“Os historiadores gregos, sem exceção, procuram colocar no Egito o berço
da geometria, e atribuir, portanto aos habitantes do vale do Nilo a invenção desta ciência. As periódicas inundações do celebre rio forçaram os egípcios ao estudo da
geometria (TAHAN, 1999 p. 28-9).
“O pensamento geométrico desenvolve-se inicialmente pela visualização: as
crianças conhecem o espaço como algo que existe ao seu redor. As figuras geomé tricas são reconhecidas por suas formas, por sua aparência física, em sua totalidade, e não por suas partes ou propriedades”. (PCN, 2001, p.127).
40
“As atividades geométricas podem contribuir também para o desenvolvimento de procedimentos de estimativa visual,... Isso pode ser feito, por exemplo, por
meio de trabalhos com dobraduras (...)” (PCN, 2001, p.128).
A importância da leitura e da visualização, especificamente no ensino da
geometria, é fundamental, pois o indivíduo passa a ter controle sobre o
conjunto das operações mentais básicas exigidas no trato da geometria ao
praticar o exercício da visualização dos objetos geométricos.
(KALEFF,1998,17).
“O estudante surdo possui habilidade e memória visual superior, devido ao
uso de uma língua visual-espacial que se identifica com a linguagem visual universal
contida nos esquemas de origami”. (Oliveira, 2005 p.10), por meio da manipulação
de objetos concretos, os estudantes surdos criarão os sinais adequados aos objetos geométricos. Tais sinais só aparecem mediante a compreensão dos conceitos.
“O significado de cada palavra é uma generalização ou um conceito”(Vygotsky,
1993, p.104). “Penrose, ele próprio geômetra, conclui que as palavras são quase
inúteis para o pensamento matemático (...)” (SACKS, 1998, p. 54).
Os princípios teóricos das dobraduras de papel (axiomas de Huzita-Hatori)
afirmam que estas contêm toda a geometria de Euclides, e ainda vão além. (LUCERO, 2008 p. 01).
O origami e suas sequências de dobras são estudados na engenharia computacional, criando uma área de pesquisa conhecida como computacional origami.
Ela é a intersecção entre a ciência da computação e a matemática do origami, e de senvolve algoritmos que resolvem problemas relacionados à dobragem de papéis.
Fonte: http://revistacontemporartes.blogspot.com.br/2012/04/arte-milenar-do-origami-contribuindo.html
41
3 Cronograma das ações
Meses
Fevereiro
Aulas
Atividades
02 hrs
Apresentação do Projeto ao Diretor e Equipe Pedagógica
02 hrs
Apresentação do Projeto aos pares e distribuição do questionário
02 hrs
Apresentação do Projeto, explicando como serão as
atividades, a
montagem das equipes, distribuindo todos os Temas do Projeto.
Logo
após as discussões aplicar o questionário para os alunos.
Fevereiro
02 hrs
Dobradura livre
Fevereiro
01 hrs
Socialização das dobraduras
Fevereiro
04 hrs
Planejamento das atividades com ouvidos tampados e olhos vendados
Fevereiro
02 hrs
Fazer dobradura com ouvidos tampados
Fevereiro
01hrs
Discussão sobre a atividade dos ouvidos tampados
Fevereiro
02 hrs
Fazer dobraduras com olhos vendados
Fevereiro
01 hrs
Discussões sobre as atividades com olhos vendados
Fevereiro
02 hrs
Planejamento das atividades da folha A4
Fevereiro
02 hrs
Aula expositiva sobre a folha A4 e distribuir folha com atividades de cálculos
Fevereiro
01 hrs
Fazer as correções das atividades sobre a folha
Fevereiro
02 hrs
Preparação dos materiais sobre a historia do papel
Fevereiro
01 hrs
Distribuir folha sobre a historia do papel e passar o vídeo, discussão em
sala sobre a historia do papel e sobre o meio ambiente.
Fevereiro
01 hrs
Correção das atividades de cálculos sobre o papel
Fevereiro
02 hrs
Dobradura do Tsuru e socialização sobre a historia do Tsuru
Março
02 hrs
Planejamento e preparação das atividades do dia da mulher e do Pi
Março
04 hrs
Apresentação do Seminário e dobradura Dia da Mulher
Março
01 hrs
Aula expositiva sobre história e a música do Pi, e fazer alguns cálculos
demostrando onde se encontra o Pi.
Março
04 hrs
Planejamento dos trabalhos sobre a Páscoa e o
Abril
04 hrs
Seminário e dobradura da cesta de Páscoa
Abril
10 hrs
Planejamento das atividades da Gincana e Dia da Mães
Abril
02hrs
Seminário Sobre a Malba Than
Maio
04 hrs
Seminário e dobradura Dia das Mães
Maio
12 hrs
Exposição dos trabalhos Gincana do Dia Nacional da Matemática
Total de Horas Presenciais 49
Total de Horas não presenciais 24 aulas
42
4 Aplicação do questionários para os estudantes
4.1 Justificativa
Fazer uma coleta de dados para uma avaliação diagnóstica, e no final de
todas as atividades aplicar um novo questionário comparativo.
4.2 Objetivo Geral
Verificar o nível de conhecimento no que tange à geometria, inclusive, se já
fizeram ou utilizaram o recurso de dobradura para fins pedagógicos.
4.3 Estratégias
Nesse primeiro momento os estudantes receberam impresso o questionário e
responderão com a finalidade de coletar informações, as quais serão guardadas
com o intuito de fazer um levantamento de possíveis mudanças de postura. Após a
realização de todas as atividades previstas para este caderno temático, responderão
um novo questionário para verificar se os objetivos iniciais foram atingidos.
4.4 Cronograma
1 aula
4.5 Público Alvo
3ª Informática
4.6 Avaliação
Verificar se há interesse dos alunos em responder perguntas sobre
matemática.
43
5 Aplicação de questionário para os professores
5.1 Justificativa
Verificar se os professores conhecem e aplicam alguma metodologia que
facilitam o aprendizagem do surdo, se tem alguma formação especifica, e se podem
socializar essa prática.
5.2 Objetivo Geral
Coletar informações a respeito de sua formação acadêmica, condições de
trabalho, metodologias aplicadas com sucessos em sala de aula com estudante
surdo, para que aconteça a troca de experiências.
5.3 Estratégias
Ao entregar o questionário, avisar que a pesquisa será para avaliar as
nossas condições de trabalho, de modo que só irão se identificar se assim desejar.
5.4 Cronograma
1 aula
5.5 Público Alvo
Professores da classe dos surdos
5.6 Avaliação
Verificar se os professores se sentem bem em responder questionário, e se
dão informações compatíveis com as observações.
44
6 Dobradura Livre
6.1 Justificativa
O trabalho com dobradura livre, tem intenção de verificar os conhecimentos
que os estudantes já possuem sobre dobraduras envolvendo a matemática, mais
especificamente em geometria plana e espacial, para isso sugere-se alguns
questionamentos oralmente sobre as dobraduras livres, e depois encaminhar-se-ão
as dobraduras escolhidas para estudar o conteúdo proposto para turma.
“Na investigação matemática o aluno é chamado a agir como um
matemático, não apenas porque é solicitado a propor questões, mas, principalmente,
porque fórmula conjecturas a respeito do que está sendo investigado” (PARANÁ,
2008, p.41). Outrossim, pode-se apontar como finalidade subsidiária a de
proporcionar uma reflexão de todos os envolvidos no processo sobre a repercussão
destas atividades, de forma positiva ou negativa, no cumprimento das crença iniciais
de inserir a matemática de maneira menos traumática, com compromisso de não
deixar de lado a parte científica da disciplina, utilizando do recurso das dobraduras
como uma atração inicial, focado nas datas comemorativas, e no final destas
atividades, aplicar novamente o questionário para o verificar se os objetivos inicias
foram alcançados.
6.2 Objetivo Geral
Conhecer, verificar, comparar, e socializar as experiências trazidas da
infância, através das dobraduras, soltando a imaginação de uma forma nostálgica,
configurando-se uma verdadeira brincadeira pedagógica para os estudantes
relembrarem, por exemplo, como faz: aviões, barcos, balões, estaladores, etc. Isto
porque não há tempo para essas atividades no cotidiano letivo, sendo raras as
vezes em que é possível parar, discutir e fazer trocas de experiências entre os
sujeitos envolvidos no contexto da sala de aula.
"Todo o origami começa quando pomos as mãos em movimento. Há uma
grande diferença entre compreender alguma coisa através da mente e conhecer a
45
mesma coisa através do tacto." (Tomoko Fuse).
Explicar que um simples amassar a folha já caracteriza uma dobradura.
6.3 Estratégia
Entregar uma folha de papel sulfite e pedir que deem vida à sua folha, isto é,
faça a dobradura que vier na sua cabeça, e depois socialize as produções com os
colegas.
Fazer perguntas sobre características de cada dobradura, quem fez
dobradura de mais lados? Quem fez um animal? Quem fez uma dobradura ou
aerogami? Quem fez barco? O faz lembrar esta dobradura? A partir de suas
criações, o que podemos explorar de matemática.
6.4 Recurso
folha de papel sulfite.
6.5 Cronograma
2 aulas.
6.6 Público Alvo
3ª Informática
6.7 Avaliação
Será mediante observação do interesse dos estudantes nesse tipo de
atividade, além de se tomar nota quanto ao capricho, à criatividade e à autoavaliação.
46
7 Dobradura do copo
7.1 Justificativa
Pretendemos trabalhar os processos matemáticos de comunicar, raciocinar,
relacionar, classificar, calcular, interpretar, deduzir e construir atitudes de iniciativa,
persistência,
autonomia,
concentração,
atenção,
confiança,
auto-estima
e
motricidade.
7.2 Objetivo Geral
Buscar expandir este conhecimento, e também para que os estudantes
ouvintes percebam as dificuldades sofridas pelo surdo, e estudar geometria.
7.3 Estratégias
Antes de iniciar a dobradura do copo, mostrar o copo pronto, explicar que
como o surdo tem dificuldades de audição, ele pode nos orientar quanto à melhor
forma de participar da atividade. Fazer a dobradura do copo com ouvido tampado
(borracha de natação), só lendo os lábios, depois destampar o ouvido e fazer de
novo, ouvindo a explicação dos conteúdos de matemática, e a intérprete fará a
tradução em LIBRAS. Para a realização desta tarefa, os alunos trabalharão
individualmente. Cada estudante receberá uma folha de papel sulfite.
7.4 Cronograma
2 aulas
7.5 Público Alvo
3ª Informática
7.6 Materiais Necessários
Papel sulfite, tesoura
47
7.7 Avaliação
Será feita a partir da observação das atitudes perante a execução da
atividade com ouvidos tampados, e depois com ouvidos destampados, fazer
socialização entre professor e estudantes, para lembrar alguns conceitos de
polígonos, relembrar as fórmulas do trapézio e tronco de pirâmide.
7.8 Dobradura do copo (passo a passo) – Metodologias
1º - Pegue uma folha de sulfite A4, dobre o vértice superior até a
aresta da folha, formando um trapézio retângulo. Recorte na
linha pontilhada e retire o quadrado. Observar: as diferenças e
semelhanças
entre
o
retângulo,
trapézio,
quadrado
e
paralelepípedo retângulo, ângulos, medida dos lados, vértices,
arestas, razão entre as áreas e dimensões das figuras planas e
tridimensionais.
2º - Dobrar o quadrado na diagonal, unindo os dois vértices
opostos formando dois triângulos retângulos isósceles. Observar:
as características do triângulo retângulo, pirâmide, quadrado e
prisma de base quadrada, estabelecer elo entre a trigonometria e
teorema de Pitágoras, bissetriz do ângulo de 45º, fórmulas das
áreas das figuras plana e espacial.
3º - Dobrar o vértice superior e inferior do quadrado até o centro.
Observar as diferenças entre triângulo retângulo
isósceles e
outros triângulos.
4º - Após dobrar para centro da diagonal, formando um trapézio
retângulo, dividindo os ângulos de 90º em três segmentos de
retas. Observar: as propriedades do trapézio e área, a divisão do
trapézio em triângulo retângulo e triângulo isóscele, para vincar.
48
5º - Desdobrar o trapézio voltando na posição do quadrado.
a
b
Observar por meio dos vincos, as retas, a bissetriz, a
diagonal, os ângulos, os 4 triângulos que se formaram, 2
triângulos retângulos e 2 escalenos. A divisão de um ângulo
c
d
de 90° em 4 partes iguais, que podem ser medidos e
classificados, comparados, somados e subtraídos, ângulos
consecutivos e complementares.
6º - Dobre o quadrado ao meio na forma de triangulo isósceles,
e traga os vértices superiores para o vinco formado no centro,
dobrando na bissetriz do ângulo de 45º da parte inferior como
mostra a figura, para vincar, desdobre e vire para o outro lado
fazendo a mesma coisa.
7º - Volte fazer os vincos, retorne para o triângulo isósceles.
8º - Dobre a ponta (vértice) inferior direita do triângulo, até a
lateral, onde se localiza o vinco marcado pela dobra da bissetriz
formando um quadrilátero irregular.
9º - Após formar um quadrilátero, desdobrar e fazer a mesma
coisa para o outro lado, formando um trapézio. Vire e faça do
outro lado.
10º - Após formar um pentágono irregular composto de três
triângulos, um retângulo e dois escalenos. Observar a composição
do pentágono, triângulo escaleno e trapézio, relembrar a fórmula da
área de cada um deles.
11º – Pegar a ponta o do triângulo retângulo(superior), e dobre para
baixo para vincar, faça para os dois lados formando um trapézio,
desdobre e dobre para dentro no triângulo pequeno.
49
12º - Puxar a ponta de um triângulo superior trazendo para dentro do
triângulo que está a frente do copo, conforme a figura. Vire e faça o
mesmo procedimento do outro lado.
13º - Após formar o copo, verificar que ele tem o formato de um
tronco de pirâmide. Observar a área e as propriedades do tronco da
pirâmide.
14º – O copo ou vaso está pronto é decorar. Da
para trabalhar desde a Educação Infantil até a
terceira idade.
Fonte das fotos: Marli Leskios
8 Dobradura do avião, com os olhos vendado com fita (TNT preto)
8.1 Justificativa
Chamar a atenção dos estudantes para as dificuldades sofridas por pessoas
que tem a falta de um sentido. Serem sensíveis a elas, respeitando as pessoas, ser
solidários e atentos a seus direitos.
8.2 Objetivo Geral
Fazer com que os estudantes percebam a dificuldades sofridas pelos cegos.
8.3 Estratégia
Vendar os olhos dos os estudantes com uma faixa preta, e distribuir uma
folha de papel sulfite, eles seguirão as regras da dobragem da folha somente pela
fala da professora. O surdo fará esta atividades conforme a sugestão dele e da
intérprete.
50
8.4 Conteúdos
Propriedades do Retângulo, eixo de simetria, triângulo retângulo, soma dos ângulos
internos de um triângulo, triângulo isóscele, pentágono, trapézio retângulo.
8.5 Cronograma
2 aulas
8.6 Público Alvo
3ª Informática
8.7 Materiais Necessários
Papel sulfite
8.8 Avaliação
Será mediante a socialização entre o professor, a interprete e os estudantes.
8.9 Passo a passo do Avião – Metodologias
1º - Dobre uma folha de papel sulfite A4 pelo lado maior, em duas
partes simétricas. Observar a divisão do inteiro em duas partes
iguais
1
=0,5=50 %, propriedades do retângulo.
2
2º- Trazer para o eixo de simetria os dois vértices superiores
para
formar
um
triângulo
isósceles
no
centro,
e
consequentemente formando um pentágono. Observar as
propriedades do pentágono e do triângulo.
3º - Dobre a ponta do triângulo isóscele superior, para o centro,
um pouco a baixo do vértice do triângulo, formando um trapézio
no meio. Observar as propriedades do trapézio.
51
4º- Dobrar para o centro em cima do trapézio um novo triângulo, ficará um triângulo
pequeno em baixo, em seguida dobrar este triângulo menor, para cima fechando os
dois triângulos grandes. Dobre ao meio formando um trapézio retângulo. Observar as
propriedades do trapézio retângulo lembrando o teorema Pitágoras.
Fonte das fotos: Marli Leskios
7º - Após formar um trapézio retângulo, dobrar as duas hipotenusas do triângulo
retângulo para baixo no lado maior do trapézio, formando o avião(aerogami), só abrir
as asas.
9 Atividades sobre a folha sulfite ou A4?
9.1 Justificativa
Levar os estudantes a tomar consciência de que nem tudo o que parece
impossível e desconhecido no primeiro momento, pode ser definitivo, conhecer a
origem do papel, nome, dimensão e qualidade, verificar a matemática da folha.
9.2 Objetivo Geral
Levar os estudantes a verificar através da visualização, construção e
classificação, fazer as seguintes indagações sobre a folha sulfite A4: Existe
Matemática numa simples folha de papel sulfite A4? Você sabe por que a folha tem
esse nome? Qual é o seu formato? Você pega num retângulo? Você sabe o que
quer dizer retângulo? Você conhece a história do papel, sabe de onde ele vem? Tem
geometria numa folha sulfite A4?
52
9.3 Estratégias
Será distribuído o texto sobre a história do papel, sulfite A4. Passaremos o
vídeo sobre a história e a origem do papel, e após estas atividades, discutir sobre a
importância do papel na vida cotidiana.
9.4 Conteúdo
Geometria plana e espacial, potências, progressão geométrica, frações, potências.
9.5 Público Alvo
3ª Informática Integral
9.6 Cronograma
4 aulas
9.7 Materiais necessários
Papel sulfite, lápis, régua e calculadora.
9.8 Recursos
Vídeo De onde vem o papel
Fonte:http://www.youtube.com/watch?v=jqty_zMgQRM&feature=related
9.9 Avaliação
Será feita mediante socialização entre professor e estudantes.
9.10 História do Papel no Mundo
Antes da criação do papel, o material mais utilizado para escrita foi o
pergaminho, feito com peles de animais. Os antigos egípcios utilizavam o talo do
papiro. Sua fabricação era penosa e rudimentar, a medula do talo era cortada em
tiras que eram colocadas transversalmente, umas sobre as outras, formando
camadas que eram batidas com pesadas marretas de madeira, resultando numa
espessura uniforme, produzindo um suco que impregnava e colava as tiras entre si.
Oficialmente, foi fabricado pela primeira vez na China, no ano de 105, por
53
Ts'Ai Lun que fragmentou em uma tina com água, cascas de amoreira, pedaços de
bambu, rami, redes de pescar, roupas usadas e cal para ajudar no desfibramento.
Na pasta formada, submergiu uma forma de madeira revestida por um fino tecido de
seda - a forma manual - como seria conhecida. Esta forma coberta de pasta era
retirada da tina e com a água escorrendo, deixava sobre a tela uma fina folha que
era removida e estendida sobre uma mesa. Esta operação era repetida e as novas
folhas eram colocadas sobre as anteriores, separadas por algum material; as folhas
então eram prensadas para perder mais água e posteriormente colocadas uma a
uma, em muros aquecidos para a secagem. A ideia de Ts'Ai Lun seria "A
desintegração de fibras vegetais por fracionamento, a formação da folha retirando a
pasta da tina por meio de forma manual, procedendo-se ao deságue e posterior
aquecimento
para
secagem",
continua
válida
até
hoje.
Fonte:
http://www.bracelpa.org.br/bra/saibamais/historia/index.html
9.10.1 História do papel no Brasil
A primeira presença do papel no Brasil foi com a carta de Pero Vaz de
Caminha, escrita logo do descobrimento de nosso país. Mas a primeira referência à
produção nacional consta em um documento escrito em 1809 por Frei José Mariano
da Conceição Velozo ao Ministro do Príncipe Regente D. João, Conde de Linhares:
"... lhe remeto uma amostra do papel, bem que não alvejado, feito em primeira
experiência, da nossa embira. A segunda que já está em obra se dará alvo, e em
conclusão pode V.Exa. contar com esta fábrica...". Este documento cujo trecho
extraímos do livro: O Papel - Problemas de Conservação e Restauração de Edson
Motta e Maria L.G. Salgado, encontra-se no Museu Imperial.
Na amostra encaminhada com o documento constava: "O primeiro papel,
que se fez no Rio de Janeiro, em 16 de novembro de 1809". É também em 1809 que
tem início a construção de uma fábrica no Rio de Janeiro, cuja produção
provavelmente iniciou-se entre 1810 e 1811. Ainda no Rio de Janeiro temos notícias
de mais três fábricas em 1837, 1841 e, em 1852, nas proximidades de Petrópolis, foi
construída pelo Barão de Capanema a Fábrica de Orianda que produziu papel de
ótima qualidade para os padrões da época até a decretação de sua falência em
1874. Em 1850, o desenvolvimento da cultura do café, traz grande progresso para a
54
então Província de São Paulo e, com a chegada dos imigrantes europeus, passa a
vivenciar um grande desenvolvimento industrial gerador de vários empreendimentos.
Um deles, idealizado pelo Barão de Piracicaba, na região de Itu, pretendia
criar condições para a instalação de indústrias aproveitando a energia hidráulica
possível na região em função da existência da cachoeira no rio Tietê e, é neste local
que, em 1889 a empresa Melchert & Cia deu início à construção da Fábrica de Papel
de Salto que funciona até hoje, devidamente modernizada, produzindo papéis
especiais, sendo uma das poucas fábricas do mundo fabricante papéis para a
produção de dinheiro. Fonte:http://www.bracelpa.org.br/bra/saibamais/historia/index.html
9.10.2 História da folha A4
É uma folha de papel que chamamos de sulfite ou apergaminhado. O
nome sulfite é devido a adição do sulfito de sódio na sua fabricação, com formato
de um retângulo que é a relação entre seus lados, o nome sulfite refere a qualidade
do material, exemplo: papel dobradura, papel laminado, papel paraná, cartolina,
papel manteiga, papel cartão, papel ofício, letter, etc. A mais usada é a de cor
branca, mas existem diversas cores, no entanto tem pessoas que as chamam de A4,
quando na verdade existem diferenças, A0, A1, A2, A3, A4,…..A10, e assim
sucessivamente referem-se às dimensões da folha. Na A4, a razão é 297 mm por
210 mm ou 297/210 = 1,4142... que é a raiz quadrada de 2. Essas mesmas
dimensões são iguais em todo o mundo, são medidas standart da ISO (International
Organization for Standardization). Em 1768 o cientista alemão Georg C. Lichtenberg
escrevia, em uma carta a um amigo, as vantagens de se ter um formato de papel
retangular no qual a relação entre seus lados fosse a raiz quadrada de 2.
Em 1922, as normas alemãs adotaram essa proporção para todos os papéis
desde um cartão de visita até folhas de desenho para finalidades arquitetônicas e de
engenharia. Em 1975, o padrão foi adotado pelas normas ISO. Somente nos USA e
no Canadá o papel de carta tem outro formato, o “letter”, com 8,5 x 11 polegadas.
O A4 se cortado ao meio por uma linha paralela aos seus lados menores,
produz um retângulo proporcional ao original, dessa forma ao se reduzir uma figura
ou desenho técnico de um formato para outro, mantém-se as proporções. Esses
55
formatos, em desenho técnico permitem que um desenho, ocupando sempre o papel
todo, tenha sua escala duplicada a cada dois formatos. Assim um desenho feito na
escala 1:50 no formato A0, quando impresso num formato A2, ficará rigorosamente
na escala 1:100. Fonte: http://bikeco.blogspot.com.br/2012/07/o-papel-formato-a4.html
As máquinas Xerox possuem essa redução, de 70% que é o valor
0,70710..., inverso de raiz de 2. No padrão A, o lado maior divido pelo menor resulta
na raiz de dois
√ 2 = (1,41), e tem início pelo A0 tem exatamente a área 1 m², e as
áreas (A0, A1, A2, ... , A10) formam uma progressão geométrica de razão ½.
9.11 Como obter as dimensões do A0?
a
b
axb= 1 m 2
b
=√ 2 a=b. √ 2
a
b . √ 2 . b=1 b 2 √ 2=1
1
1
2
2
2
b 2=
b 2=
x √ = √ =√
√2
√2 √2 √4 2
√ 2 = 1,4142 = 0,7071=0,840 m
b=
√
2
2
a=b √ 2
a= 0,840 .1,41
a= 1,1844 m
√ √
Em milímetros 840 mm, 896 mm ou aproximando-se para inteiro b= 841 mm e a =
841 x √2 = 1189,2 mm ou 1189 mm. As áreas (A0, A1, A2, A3, A4, ..., A10) formam
uma progressão geométrica de razão ½, os tamanhos padronizados são,
aproximando para milímetro.
56
Nome
Largura mm
Altura mm
Utilidades do papel
A0
841 mm
1 189 mm
A1
594 mm
841 mm
Painéis, desenhos técnicos e pôsteres.
A2
420 mm
594 mm
Diagramas,
Desenhos técnicos e pôsteres.
tabelas
grandes,
painéis
de
Apresentação, Desenhos e pôsteres.
A3
297 mm
420 mm
Jornais, desenhos, diagramas, tabelas grande
A4
210 mm
297 mm
Cartas,
revistas,
formulários,
catálogos,
impressoras caseiras e máquinas de copiar.
A5
148 mm
210 mm
Caderno de notas e livros
A6
105 mm
148 mm
Cartões postais e livros
A8
52 mm
74 mm
Cartas de jogos
B3
Jornais
B5
Livros
B6
Livros
B8
Cartas de jogos
Ao fazermos a impressão de um trabalho ou documento digitado no
computador temos que definir o estilo da página: padrão, o formato (A4, A3,
A6....carta, ofício, etc) largura, altura; orientação: (retrato ou paisagem).
Paisagem ela fica na posição horizontal, ou seja, 297mm de largura e 210mm de
altura.
210 mm
297 mm
Retrato ela fica na posição vertical, ou seja, são 210 mm de largura por 295 mm
altura.
297 mm
210 mm
Mas afinal a folha é um retângulo? Não, ela tem um formato retangular, mas
57
como tem espessura, mesmo que pequena, então ela é um paralelepípedo
retângulo.
297 mm
0,1mm
210 mm
9.12 Atividades sobre a Folha Sulfite A4
1- O tamanho de uma folha sulfite A0 é definido pela Norma Internacional ISO 216.
Na série A, uma folha sulfite A4 consiste em um retângulo construído de forma a se
manterem as razões entre o lado maior e lado menor quando é divido ao meio.
Assim, o papel A0 que tem 1 m² de área, quando dividido ao meio, dá origem a duas
folhas de papel A1. Cada folha de papel A1, por sua vez, dá origem a duas folhas de
papel A2, e cada folha de papel A2 dá origem a duas folhas de papel A3 e assim
sucessivamente.
a) Observe as figuras e analise as dimensões das folhas de papel A 0 e A1 e escreva
uma proporção que as relacione.
Papel A1
Papel A1
x
x
2
Papel A0
Papel A1
y
Papel A1
x
2
y
Resolução:
x y
=
y x
2
b) Escreva uma fórmula que expresse o valor de x a partir do valor de y. x=y . √ 2
c) O tamanho do papel mais utilizado pelas pessoas em casa e nos escritórios é o
tamanho A4, cuja menor dimensão é 210 mm. Determine a maior dimensão de uma
folha A4.
58
(Use
√ 2 ≃ 1,414 )
x=y . √ 2
x= 210 x 1,414
x= 296,94 = 297 mm
Fonte do problema: http://www.cp2.g12.br/concurso/alunos/ensino_medio/200506/regular/gabaritos/Prova%20e
%20Gab_1a_serie_do_EM_Matematica_Diurno.pdf
2- (UNICAMP-SP - 2007) Por norma, uma folha de papel A 4 deve ter 210 mm x 297
mm. Considere que uma folha A 4 com 0,1 mm de espessura é seguidamente
dobrada ao meio, de forma que a dobra é sempre perpendicular à maior dimensão
resultante até a dobra anterior.
a) Escreva a expressão do termo geral da progressão geométrica que representa a
espessura do papel dobrado em função do numero K de dobras feitas.
b) Considere que o papel dobrado tem o formato de um paralelepípedo. Nesse caso,
após dobrar o papel seis vezes, quais serão as dimensões do paralelepípedo?
Fonte do problema: http://www.comvest.unicamp.br/vest2007/F2/provas/matcoment.pdf
Resolução:
a) A espessura da folha dobra a cada dobra do papel. Como a espessura inicial é de
0,1mm, teremos o termo geral da progressão geométrica é: e k =0,1 x 2k
b) Após a sexta dobra a espessura será igual a e k
m= 0,1 x 26
m= 0,1 x 64
m= 6,4 mm
Cada uma das demais dimensões será dividida por 2³ = 8, de modo que teremos
210
=26 , 25 mm
8
a) 37,125 mm
297
=31 , 125 mm
8
b) 26,25mm
c) 6,4mm
59
3-
Você será capaz de
atravessar uma folha papel
de sulfite A4 sem rasgar? 10
minutos para pensar.
Fonte da figura: http://marciachagasaprofessorinha.blogspot.com.br/2010/09/dia-do-professor-havera-desfile.html
9.13 Passo a passo de como atravessa por dentro de uma folha
2,5
1º Dobrar a folha de papel ao meio (eixo de simetria).
Fazer 8 cortes perpendiculares ao vinco e paralelos
entre si com intervalos de aproximadamente 3 cm,
parando a 2,5 cm da borda.
2º Faça 7 cortes ao longo da extremidade oposta,
entre os 8 cortes anteriores, e pare de cortar, a 2,5
cm da borda.
3º Desdobre a folha com cuidado para não rasgar,
alise bem e corte nos vincos do meio começando
pelo segundo, deixando as bordas sem cortar.
Fonte das Fotos: Marli Leskios
60
Estas curiosidades geométricas estão na parte da Matemática designado
por Topologia, que é o estudo das formas e daquilo que acontece quando são
dobradas, entortadas ou deformadas.
4- A partir das medidas padrão da folha A4, conforme a tabela em mm, calcule o
perímetro em metros e área em m² .
Nome
Altura mm
Largura mm
A0
1189
841
A1
841
1189/2=594
A2
594
841/2=420
A3
420
594/2=297
A4
297
420/2=210
A5
210
297/2=148
A6
148
210/2=105
A7
105
148/2=74
A8
74
105/2=52
A9
52
74/2=37
A10
37
52/2=26
Perímetro m
Área m²
Resolução: A área das folhas são
A0 é de 1,189 m x 0,841m = 0,999949= 1 m² = 100%
1
A1 é de 0,841m x 0,594m = 0,499554 =
= 2−1 = 0.5 m² = 50%
2
1 −2
A2 é de 0,549m x 0,420m = =2 = 0,25 m² = 25%
4
1 −3
A3 é de 0,420m x 0,297m = =2 = 0,125 m² = 12,5%
8
1
=2−4 = 0,0625 m² = 6,25%
A4 é de 0,297m x 0,210m =
16
1
=2−5 = 0.03125 m²= 3,125%
A5 é de 0,210m x 0,148m =
32
1
=2−6 = 0,015625 m² = 1,56%
A6 é de 0,148m x 0,105m =
64
1
=2−7 = 0,0078125 m² = 0,78%
A7 é de 0,105m x 0,074m =
128
1
=2−8 = 0,0039062 m² =0,39%
A8 é de 0,074m x 0,052m =
256
1
=2−9 = 0,0019531 m² =0,19%
A9 é de 0,052m x 0,037m =
512
1
=2−10 = 0,0009765 m² = 0,09%
A10 é de 0,037m x 0,026m =
1024
61
5- (Univag-MT) Uma folha de papel sulfite A4 tem um comprimento de 297 mm e
uma largura de 210 mm. Sabendo que sua densidade superficial é de 75 g/m², qual
é a massa de uma resma de papel (500 folhas)?
Fonte do Problema: http://www.csajaboticabal.org.br/imagens/userfiles/files/FTD%202%C2%BAano/V1eV2/FisV119_48.
a) 1,11 kg
b) 4,67 kg
c) 2,34 Kg
d) 0,47 Kg
e) 23,4 Kg
Resolução:
Dados
A0= 16 folhas A4
A0= 1m²
Cada papel A0 pesa 75 gramas
75:16 = 4,6875 A4
4,6875 x 500 folhas = 2343,75 gramas : 1000 = 2,34 Kg
6- Dada uma folha de sulfite A4 com dimensões expressa na figura, ao juntarmos as
pontas das folhas temos dois cilindros. É possível fazer o cálculo de volume dos
cilindros? Será que existem diferenças entre as áreas e volumes, devido a
mudanças de posição.
297 mm
210 mm
210 mm
Cilindro I
Distância de I
210 mm
Distância de II
297 mm
A4
Cilindro
II
297 mm
62
Resolução do Cilindro I
Comprimento da circunferência
C o =2 . π . r
297=2x3 ,14 ,r
297=6,28 xr
297
=r
6,28
r= 47 , 29
Volume
V=π . r 2 xh
V=3,14 x ( 47 , 29 )2 x 210
V=3,14 x 2236 ,6271 x 210
V=147464,2 mm 3 ou 1,47
Resolução Cilindro II
Comprimento da circunferência
C 0 =2 . π . r
210=2 x 3,14 ,r
210=6,28 x r
210
=r
6,28
r= 33 , 43
Volume
V=π . r 2 . h
V=3,14 x (33 , 43 )2 x 297
V=3,14 x 1117 ,82829 x 297
V=1042464 , 8 mm3 ou 1,04 litros
7- Qual é a espessura de uma folha A4, sabendo que na embalagem de papel com
500 folhas, tem as seguintes informações: 210 mm x 297 mm, 75g/m² , com 5 cm
de espessura a medida do pacote.
Resolução
50 mm : 500 =0,1 mm
8– Uma livraria precisa empilhar 100 caixas de folha de papel sulfite A4, em seu
almoxarifado. Cada caixa tem 10 pacotes com 500 folhas. Qual o espaço que a
livraria precisa dispor? Sabendo que uma folha A4 é um paralelepípedo retângulo
com dimensões de 210 mm x 297 mm e 0,1 mm, qual é o volume de uma resma?
297 mm
0,1 mm
210 mm
63
Resolução
Área total
St= 2.( a . b+a. c+bc ) St=500 x 124844
St= 2.( 210 .0,1+ 210 . 297+ 0,1. 297 ) St= 6242200 mm
St= 2.( 21+62370+29,7 ) St= 10 x 6242200
St= 2.(62420,7 )
St=62422000 mm2
St= 124841,4 mm2
Volume
V= a.b.c
V= 210.297.0,1
V=6237 mm³
V= 6235 x 500
V= 3110500 mm³
10 Dobradura do Tsuru
10.1 Justificativa
Trabalhar a tolerância e o convívio com a pluralidade cultural dentro e fora
da escola, discutir a respeito das diferenças, reconhecendo que a contribuição de
outros povos torna nossa cultura muito mais rica. Exemplos disso estão na
alimentação, no vestuário, nos costumes, nos valores, entre outros elementos.
Deste modo, a atividade oportuniza aos estudantes a pesquisa e execução
de atividades que proporcionem contato com a cultura japonesa e a geometria,
decorrendo daí, reflexamente, a possibilidade de se fazer uma reflexão acerca da
violência de maneira geral, tema este que tem preocupado muitos educadores e
pais. “Paz – como se faz? Semeando cultura de paz nas escolas ” Lia Diskin e Laura
Gorresio Roizman (2008).
Consoante ensina Paulo Freire (2000, p. 67):
(...) não é possível refazer este país, democratizá-lo, humanizá-lo, torná-lo
sério, com adolescentes brincando de matar gente, ofendendo a vida,
destruindo o sonho, inviabilizando o amor. Se a educação sozinha não
transformar a sociedade, sem ela tampouco a sociedade muda.
Em novembro de 2001, a Unesco, vinculada à Organização das Nações
64
Unidas (ONU), aprovou a Declaração Universal sobre a Diversidade Cultural, no seu
Artigo 4º – Os direitos humanos, garantias da diversidade cultural declara:
A defesa da diversidade cultural é um imperativo ético, inseparável do
respeito à dignidade humana. Ela implica o compromisso de respeitar os
direitos humanos e as liberdades fundamentais, em particular os direitos das
pessoas que pertencem a minorias e os dos povos autóctones. Ninguém
pode invocar a diversidade cultural para violar os direitos humanos
garantidos pelo direito internacional, nem para limitar seu alcance.
10.2 Objetivo Geral
Preparar, sensibilizar, divulgar, distribuir ideias, experiências e informações
aos estudantes sobre cultura de outros povos, sobre a paz, para que estes sejam
capazes de promover debates sobre os atos de violência na vida cotidiana e a
solidariedade entre as diversas raças, e consequentemente estudar geometria na
dobradura do tsuru.
10.3 Estratégias
Solicitar que os estudantes façam equipes de 4 alunos. Distribuir uma folha
sobre a história de Sadako Sasaki e o Monumento da Paz – a fábula do Tsuru – para
leitura silenciosa dos textos. Após a leitura, promover a socialização dos grupos,
rogando que eles expressem o que compreenderam da leitura das histórias. Fazer a
discussão sobre ave sagrada do Japão, símbolo da saúde, fortuna, boa sorte,
felicidade e longevidade. Depois, passar um vídeo sobre a fábula do tsuru em libras.
Distribuir folha do passo-a-passo da dobradura do tsuru, e folha sulfite A4 para que
cada estudante faça sua ave de papel, e explicar que a sua forma básica serve de
base para outras figuras de papel, desde animais até plantas, e será dobrada pela
regra da dobradura.
10.4 Cronograma
2 aulas
65
10.5 Público Alvo
3ª Informática
10.6 Materiais
Folha de sulfite e tesoura
10.7 Recursos
Passar um vídeo em libras sobre A Fábula do Tsuru - Apresentada por Vanessa Vidal
(Fonte do video: http://www.youtube.com/watch?v=9JsvCFVsXDk).
10.8 Avaliação
Será mediante socialização dos grupos sobre o texto e sobre a dobradura,
geometria do tsuru.
10.9 Passo-a-passo do Tsuru – Metodologias
1º Dobre um vértice de uma folha de papel sulfite A4, trazendo
na aresta lateral, para formar um quadrado, recorte na linha
pontilhada, conforme figura.
2º Dobre a folha quadrada nos eixos simétricos, após vincar o
quadrado pelas diagonais, formando 8 triângulos retângulos.
Observar as diagonais do quadrado, a divisão do inteiro em oito
partes
1
=0,125 = 12,5 %. As propriedades do quadrado, as
8
características do prisma de base quadrada.
3º Coloque na posição de um triângulo isósceles certifiquese que parte aberta fique para baixo, junte as mediatrizes do
dois triângulos, para formar um trapézio retângulo. Observar
as propriedades do triângulo e teorema de Pitágoras.
66
4º Após formar trapézio, vire e faça o mesmo procedimento no outro lado, para
formar um losango. Observar que este trapézio retângulo é formado por três
triângulos retângulos. Trazer a para o centro do losango, todos os lados 2 dois de
frente, vire e faça o mesmo procedimento do outro lado.
6º Após formar o quadrilátero, puxar para cima o triângulo inferior e vincar, voltar a
posição inicial.
7º Puxar para fora um lado do triângulo, com a ponta do dedo e deixando a outro
lado no centro do quadrilátero, conforme as figuras, virar e fazer o mesmo
procedimento do outro lado, voltando na posição de losango.
8º Dobrar para cima o vértice do triângulo, depois faça com o outros para vincar.
Volte a posição 1 e coloque os dois triângulos para dentro, para dar o formato da
cabeça do rabo.
Fonte das fotos: Marli Leskios
67
11 1ª Data Comemorativa – Dia Internacional da Mulher
11.1 Justificativa
Este trabalho sobre o Dia Internacional da mulher tem cunho matemático
centrado na atividade de dobradura da tulipa, com enfoque na geometria, na busca
constante de novos conhecimentos no ato de educar como educador/aprendiz, não
ficando somente na parte prosaica, questionando sempre os métodos, incorporando
novos elementos, mas respeitando sempre o que já foi construído, conservando a
sua essência científica.
Todas as ações do professor devem ir além da transmissão de conteúdos
engavetados. Suas atividades devem visar sempre, mesmo que de modo reflexo, a
construção de um cidadão consciente, a par de seus direitos e deveres e, sobretudo,
capaz de transformar e lutar pela transformação de sua comunidade.
As atividades previstas precisam ser pensadas e direcionadas para que o
estudante se envolva, e que estas despertem seu interesse pela sociedade e suas
transformações, dando oportunidades de crescimento intelectual e social. Tem-se
crenças que poderá contribuir com uma parcela na desmistificação que dia 08 de
março, data cooptado pelo comércio, como data para dar e receber presentes, e não
como um marco da história das conquistas das mulheres do decorrer dos séculos.
Elas enfrentaram e ainda enfrentam muitos preconceitos, mas são capazes de
desempenharem funções importantes na sociedade.
Apesar de para alguns a matemática ser vista como disciplina para os
cálculos, tal assertiva não a isenta da responsabilidade de sensibilizar os estudantes
sobre a importância de ampliar discussões no que concerne à contribuição da
mulher na história da matemática e nos mais diversos campos profissionais em que
atuam tais como gastronomia, medicina, lides domésticas, moda, administração,
política, magistério, maternidade, e tudo mais que for possível para “ o sexo frágil”.
11.2 Objetivo Geral
O objetivo norteador é proporcionar um momento de reflexão crítica, com
percepção voltada na tolerância, diversidade e diálogo intercultural, nas situações
68
que interagem com respeito às diferenças, onde a vivência e prática trazidas para a
sala de aula vise resgatar valores culturais das mulheres locais.
11.3 Objetivos Específicos
- Conscientizar, sensibilizar, compreender, desmistificar, constatar, analisar,
introduzir, identificar, como foi, e é a luta das mulheres para conquistar seus direitos
e espaço na sociedade, no campo do trabalho e na matemática.
- Conceituar Geometria na folha quadrada de 15 cm por 15 cm, no palito e no
bombom.
11.4 Conteúdos
Secção esférica, cilindro, propriedades do quadrado, do triângulo e do losango.
11.5 Metodologias
Será explicado como encontrar os subsídios teóricos para pesquisa sobre o
tema “Mulheres”, e através da troca de informações com os estudantes,
motivaremos a pensarem em diferentes atividades para enriquecer a apresentação
do seminário, como usar recursos audiovisuais: cartazes, retroprojetor, datashow,
microfone, som, televisão, pendrive, entre outros. Serão divididos em grupos de 4
alunos, todos irão pesquisar nos sítios indicados, em jornais, revistas, bibliotecas,
etc. As apresentações serão com data marcada, e o grupo do surdo apresentará o
seminário em libras. Faremos a confecção e explanação da geometria na flor tulipa
de dobradura.
11.6 Estratégias
Na distribuição dos subtemas sobre o Dia Internacional das Mulheres, cada
equipe receberá os textos suportes em anexo, para nortear as pesquisas sobre as
temáticas (História do Dia Internacional da Mulher, significado do dia 8 de março,
importância da data e comemoração, participação política das mulheres, o papel da
69
mulher na sociedade e suas contribuições, história das Mulheres nos diferentes
momentos históricos, mulheres e a matemática, profissões das mulheres).
11.7 Cronograma
8 aulas
11.8 Público alvo
3ª série II
11.9 Recursos
- Biblioteca; TV pendrive; vídeo; aparelho som; CD; laboratório de informática; Papel cartão dupla face vermelho e verde, palito de churrasco, cola, bombom sonho
de valsa, papel crepom verde; - Vídeo: Cor De Rosa Choque - Rita Lee – fonte do
vídeo: https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=5CMWOcGBQ7s
11.10 Avaliação
Verificar a capacidade e desenvoltura, argumentação individual e do grupo
com base no referencial teórico pesquisado.
11.11 Como surgiu o Dia Internacional da Mulher?
No Dia 8 de março de 1857, operárias de uma fábrica de tecidos, situada
na cidade norte americana de Nova Iorque, fizeram uma grande greve. Ocuparam a
fábrica e começaram a reivindicar melhores condições de trabalho, tais como,
redução na carga diária de trabalho para dez horas (as fábricas exigiam 16 horas de
trabalho diário), equiparação de salários com os homens (as mulheres chegavam a
receber até um terço do salário de um homem para executar o mesmo tipo de
trabalho) e tratamento digno dentro do ambiente de trabalho.
A manifestação foi reprimida com total violência e as mulheres foram
trancadas dentro da fábrica, que foi incendiada. Aproximadamente 130 tecelãs
morreram carbonizadas, num ato totalmente desumano.
70
Durante o Congresso Internacional de Mulheres realizado em 1919, na
cidade de Copenhague, Dinamarca, essa data foi escolhida e oficializada como o dia
ideal para o Dia Internacional da Mulher em homenagem ao assassínio de 129
mulheres, que foram queimadas em resposta a uma greve realizada na fábrica têxtil
Cotton, em Nova York, em 8 de março de 1857.
Mas somente no ano de 1975, através de um decreto, a data foi oficializada
pela ONU (Organização das Nações Unidas).
Fonte do texto: http://educaja.com.br/2011/02/dia-internacional-da-mulher-atividades.html
http://www.fichasdesenhos.com/8-de-maro-dia-internacional-da-mulher.html
http://wata-eh-legal.blogspot.com/2008/02/educao-infantil-dia-da-mulher.html
11.11.1 Conquistas das Mulheres Brasileiras
Podemos dizer que o dia 24 de fevereiro de 1932 foi um marco na história da
mulher brasileira, nesta data foi instituído o voto feminino, onde as mulheres
conquistavam, depois de muitos anos de reivindicações e discussões, o direito de
votar e serem votadas para cargos no executivo e legislativo.
11.11.2 Marcos das Conquistas das Mulheres na História
1788 - o político e filósofo francês Condorcet reivindica direitos de participação
política, emprego e educação para as mulheres.
1840 - Lucrécia Mott luta pela igualdade de direitos para mulheres e negros dos
Estados Unidos.
1859 - Surge na Rússia, na cidade de São Petersburgo, um movimento de luta pelos
direitos das mulheres.
1862 - Durante as eleições municipais, as mulheres podem votar pela primeira vez
na Suécia.
1865 - Na Alemanha, Louise Otto, cria a Associação Geral das Mulheres Alemãs.
1866 - No Reino Unido, o economista John S. Mill escreve exigindo o direito de voto
para as mulheres inglesas
1869 - É criada nos Estados Unidos a Associação Nacional para o Sufrágio das
Mulheres
71
1870 - Na França, as mulheres passam a ter acesso aos cursos de Medicina.
1874 - Criada no Japão a primeira escola normal para moças
1878 - Criada na Rússia uma Universidade Feminina
1901 - O deputado francês René Viviani defende o direito de voto das mulheres.
11.11.3 A mulher e a história da Matemática através dos tempos
Theano: Foi a primeira mulher a produzir um impacto nesta disciplina, no
século VI a.C. Ela começou sua carreira como uma das estudantes de Pitágoras e
acabou se casando com ele. Pitágoras é conhecido como “o filósofo feminista”
porque ativamente encorajou mulheres estudantes. Theano foi uma das vinte e oito
irmãs da Irmandade Pitagórica.
Hipácia ( século IV de nossa época)
Maria Agnesi:Após a morte de Hipácia a Matemática entrou num período
de estagnação e somente depois da Renascença foi que outra mulher escreveu seu
nome nos anais da Matemática. Maria Agnesi nasceu em Milão em 1718 e, como
Hipácia, era filha de um matemático.
Emmy Noether (1882 -1935):A discriminação institucionalizada contra as
mulheres continuou até o século XX, quando Emmy Noether foi descrita por Einstein
como “o mais significante gênio matemático criativo já produzido desde que as
mulheres começaram a cursar os estudos superiores“, e teve negado seu pedido
para dar aulas na Universidade de Göttingen.
Marie Sophie Germain (1776 -1831):Somente uma mulher conseguiu
escapar da prisão imposta pela sociedade francesa em parte do século XVIII e XIX,
firmando-se como uma grande teórica dos números. Sophie Germain revolucionou o
estudo do Último Teorema de Fermat e fez uma contribuição ainda maior do que
todos os homens que a antecederam. No início do século XIX o Último Teorema de
Fermat era o mais famoso problema da Teoria dos Números. Muitos matemáticos,
inclusive Euler, tinham fracassado ao tentar demonstrá-lo gerando um certo
desânimo. Todavia, uma descoberta de Marie Sophie Germain fez com que os
matemáticos retomassem a busca pela demonstração.
Sofia Vasilyevna Kovalevskaja:Foi a primeira mulher a ser nomeada para
72
a Academia de Ciências da Rússia. Nasceu em 1850 em Moscovo, na Rússia. Atuou
como professora em Estocolmo, sendo que, quando aluna, assistia aulas
informalmente na Universidade de Moscovo, a qual não aceitava matricular
mulheres na época.
Emmy Noether:Era filha de um professor de matemática, foi umas das
maiores matemáticas da época se destacando principalmente na área de álgebra
moderna.
Elza Furtado Gomide:Em 27 de novembro de 1950, sua tese intitulada
"Sobre o teorema de Artin-Weil”, na área de Análise Matemática foi orientada pelo
professor Omar Catunda, discípulo de Luigi Fantappié. Atualmente duas grandes
matemáticas brasileiras contemporâneas, atuantes e reconhecidas mundialmente
em suas áreas de pesquisas: Profª Dra Shirlei Serconek (Álgebra) – Universidade
Federal de Goiás e Profª Dra Keti Tenenblat (Geometria) – Universidade de Brasília.
Fontes do texto: http://educaja.com.br/2011/02/dia-internacional-da-mulher-atividades.html
http://www.fichasdesenhos.com/8-de-maro-dia-internacional-da-mulher.html
http://wata-eh-legal.blogspot.com/2008/02/educao-infantil-dia-da-mulher.html
11.11.4 Passo-a-Passo da flor da tulipa
Materiais por equipe de 4 alunos
4 Palitos de churrasco, folha de
papel crepom verde, folha de papel
cartão dupla face vermelha e verde,
tesoura, cola, um bombom, papel
manteiga.
1º Pegar uma folha quadrada de 18 cm/18 cm, Dobrar na
diagonal, separando o ângulo de 90º em duas partes, unindo os
dois vértices opostos formando dois triângulos retângulos
isósceles. Observar: as características do triângulo retângulo, pirâmide, quadrado e
prisma de base quadrada, bissetriz do ângulo de 45º, fórmulas das áreas das figuras
plana e espacial.
73
2º Dobre a folha nos eixos de simetrias, ficando o
quadrado divido em oito partes iguais. Observar as
diagonais do quadrado, a divisão do inteiro em oito
1
=0,125 = 12,5 %. As propriedades do quadrado, as
8
partes
características do prisma de base quadrada.
3º Traga o vértice superior para baixo, no vértice inferior como mostra a figura,
formando um triangulo retângulo isósceles. Observar a divisão do quadrado em oito
triângulo retângulos isósceles menores.
Fonte das fotos: Marli Leskios
4º trazer para o centro as mediatriz dos dois triângulos laterias, virar e fazer a
mesma coisa. Passar cola e montar a tulipa. Passar a tesoura nas pontas para fazer
para dar acabamento de flor.
Passo-a-passo da folha
Metodologias
1º Recortar uma folha quadrada de 10 cm/10cm de lados, e dobrar na diagonal.
Puxar os dois vértices para o centro, para formar um quadrilátero.
2º Dobre uma pequena parte da a aresta lateral do quadrilátero, para o centro em
74
cima da sequência anterior, conforme figura. Agora é só fechar em forma de um
triângulo escaleno para dar formato de uma folha.
Passo-a-passo do cabo da flor
1º Pegar um pedaço pequeno de papel crepom verde, de 1 cm de largura, passar
cola no palito de churrasco, e enrolar o papel crepom no palito, deixando mais ou
menos 5 cm sem cobrir, é onde vai o bombom, depois passar cola nas folhas e
arrumar no formato de uma flor.
Fonte das fotos: Marli Leskios
Formato do palito de churrasco
11.12 Cilindro Circular
Denomina-se cilindro como um objeto tridimensional gerado pela superfície
de revolução de um retângulo em torno de um de seus lados. É um corpo alongado
e de aspecto roliço, com o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento, sua
função geradora é: para o cilindro circular, os valores de a e b, na equação são
iguais.
x 2 y 2
+
=1
a
b
() ()
Cilindro equilátero ocorre quando a sua altura, também chamada de geratriz,
equivale ao diâmetro da base.
Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta s secante a esses
planos e um círculo C de centro O contido em α. Consideremos todos os segmentos
de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente
ao círculo C e o outro extremo pertencente a β.
75
x
β
o
o
α
o
₵
Fórmulas do Cilindro
A área do retângulo do cilindro é equivalente à superfície lateral do cilindro Aℓ.
Área lateral
Área Total
Volume
At =2 . AB +Al
ou
At =2 . π . r ( h+r )
V= π . r 2 . h
Al =2 . π . r . h
Área
da
base
A B =π . r 2
Cilindro circular reto
Eje
Base
No cilindro circular reto, a geratriz forma com o plano da base
Altura
Generatrix
Base
um ângulo de 90º, a medida h de uma geratriz é a altura do
cilindro. Pode ser chamado de cilindro de revolução, pois
pode ser obtido pela revolução de 360º de uma região
retangular em torno de um eixo.
Cilindro equilátero
O cilindro que possui as seções meridianas quadradas é chamado de
cilindro equilátero, a altura é igual ao diâmetro da base h = 2r
h=2r
Cilindro equilátero
secção meridiana
Área Lateral e Área total de um cilindro circular reto
A superfície de um cilindro reto de altura h e raio da base r é equivalente à
área lateral é igual 2. π .r.h, e a área total do cilindro é a soma da área lateral, mais
área das duas base.
76
Planificação do cilindro.
base
At =2 . AB +Al
ou
At =2 . π . r ( h+r )
base
Formato do bombom- semi- esfera
11.13 Esfera
Na matemática, o termo se refere à superfície de uma bola. Na física, esfera
é um objeto capaz de colidir ou chocar-se com outros objetos que ocupam espaço. A
esfera pode ser definida como um objeto tridimensional perfeitamente simétrico, um
sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua cujos pontos estão
equidistantes de um outro fixo e interior chamado centro; ou seja, é uma superfície
fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu
centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro
é a mesma.
Quanto a geometria analítica, uma esfera é representada pela equação: (x a)²+(y - b)²+(z - c)² = r² em que a, b, c são os deslocamentos nos eixos x, y, z
respectivamente, e r é o raio da esfera. A esfera é obtida através da revolução da
semicircunferência sobre um eixo. Podemos considerar que a esfera é um sólido.
Alguns conceitos básicos estão relacionados à esfera, se considerarmos a superfície
esférica destacamos os seguintes elementos básicos: Polos, Equador, Paralelo e
Meridiano.
polo
paralelo
equador
meridiano
77
4
3
Volume da esfera V= . π . r
3
Área de uma superfície esférica é obtida pela fórmula:
A= 4 . π . r 2
Posição relativa entre plano e esfera
Plano secante à esfera
Plano secante
Secção plana
O plano intersecciona a esfera formando duas partes,
se o plano corta a esfera passando pelo centro temos
duas partes de tamanhos iguais.
Calota x segmento esférico
Calota seria metaforicamente " meio bombom”, demonstrada
R
pela parte azul e vermelho no desenho.
h
Área da calota: AC =2 . π . r . h
Área do Segmento Esférico
A S =At− Ac
O volume do segmento
2
π .h
V=
.(3 . R−h )
3
Plano tangente à esfera
Plano tangente
O plano tangencia a esfera em apenas um ponto,
formando um ângulo de 90º graus com o eixo de simetria.
α
T
78
Plano externo à esfera
Plano exterior
O plano e a esfera não possuem pontos em comum.
α
A esfera possui inúmeras aplicações, podem citar a Óptica (Física), a
seção de uma esfera forma uma lente esférica, que são objetos importantes na
construção de óculos. Corpos esféricos possuem grande importância na Engenharia
Mecânica, a parte interior de inúmeras peças capazes de realizar movimentos
circulares sobre eixos é constituída de esferas de aço. Um bom exemplo dessas
peças é o rolamento.
Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/esfera.htm Por Marcos Noé
11.13.1 Exercícios sobre semi-esfera
1º Um silo tem a forma de um cilindro circular reto (com fundo) encimado por uma
semi-esfera. Determine o volume e a área da superfície deste silo, sabendo-se que o
raio do cilindro mede 2m e que a altura do silo mede 8m.
Solução e comentários: Observe que o raio do cilindro é igual ao raio da esfera.
Logo, a altura da parte cilíndrica do silo mede 6 m. Portanto, o volume da parte
2
3
3
cilíndrica é V C =π . 2 . 6 m =24 . π . m
2
3
3 16
3
O volume da semi-esfera é V e = . π . 2 m = π m
3
3
16
88
π+ 24 π = π m3
O volume total do silo é V S =
3
3
(
)
2
2
A área da superfície da semi-esfera é A l =2 . π . 2 =8π m
A área da superfície da parte cilíndrica (com fundo e sem tampa) é
Ac =2 . π . 2 .6 +π . 22 =28 π m 2
2
A área da superfície do silo é A S =8 . π+ 28. π= 36. π m
Fonte: http://educaterra.terra.com.br/vestibula…
79
2 Um fabricante decidiu produzir luminárias no formato de uma semi-esfera com raio
de 20 cm. A parte interior, onde será alojada a lâmpada, receberá uma pintura
metalizada que custa R$ 40,00 o metro quadrado; já a parte externa da luminária
receberá uma pintura convencional que custa R$ 10,00 o metro quadrado.
Desconsiderando a espessura da luminária e adotando o valor de π= 3,14 o custo,
em reais, da pintura de cada luminária é:
a)3,14
b)6,28
c)12,56
d)18,84
e)25,12
Área da Semi-esfera
4. π . r 2
A sc=
2
O raio está em centímetros, passamos para metros então fica 20cm = 0,2m
substitui na fórmula.
Resolução
4 . 3,14. 0,2 2
2
0,5024
A=
=0,2512 m2
2
A=
A sc=2 . π . r 2
6,28. 0,2 2=
6,28. 0,04=0,2512
10 ,048+ 2,512=12 ,56
Resolução pela regra de três simples
1 m²
40,00
0,2512
x
x .1=0,2512. 40 , 00
x= 10 , 048
m²
10,00
0.2512
y
1.y = 0, 2512. 10,00
y=2,512
soma x + y = 10,048+ 2,512= 12,56
Fonte do problema: http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110111073742AACuIPv
80
3- Um reservatório tem a forma de uma semi-esfera. A base que está assentada no
solo possui área interna de 36 π m². Qual é o volume de gás que comporta esse
reservatório, em metro cúbico?
O Volume da semi-esfera
1 4
V= . . π . r 3
2 3
4
V= . π . r 3
6
2
V= . π . r 3
3
área da base
A B =π . r 2
A B =36 . π
36 π=π . r 2
36 =r 2
√ 36=r
r= 6 m
Volume da semi-esfera
2
V s = . π . 63
3
2
V s = π . 216
3
432
V s=
.π
3
V s =144. π m3
O volume da esfera
4
V= . π . r 3
3
4- Qual é o volume do miolo da tulipa do trabalho, sabendo que é um bombom
sonho de valsa, com a diâmetro de 3,3 cm, no formato de semi-esfera?
Resolução
Foto: Vanda
2
V s = . π . 3,33
3
2
V s = π . 35,937
3
71,874
V s=
.π
3
V s =112,884 cm 3
81
12 2ª Data comemorativa Dia do
π
12.1Justificativa
Melhorar a capacidade para compreender os conteúdos mais complexos de
geometria, iniciando com atividades lúdicas que envolvem vários domínios
anteriores, servindo também de revisão de conteúdos, reforçando as estratégias de
trabalho interdisciplinar, que na maioria das vezes envolve arte, português, história,
ciências etc. A partir de atividades diversificadas, uma nova forma para se construir
conhecimento seja aflorada, consequentemente melhorando os resultados em
matemática. Relacionar o número pi com a matemática cotidiana, alargando os
horizontes no conhecimento da história da matemática com reforço das
competências sociais e trabalho em grupo.
12.2 Objetivo Geral
Desenvolver o raciocínio abstrato dos estudantes em ligar os conteúdos
matemáticos a aspetos comuns do dia a dia; as competências artísticas; aprender-a
-aprender; desenvolver, conhecer e compreender o contexto histórico e cultural da
historia da matemática, utilizando como estratégia a pesquisa sobre o pi, com texto
anexo contendo informação sobre sua história e aplicação na vida cotidiana; resolver
exercícios que envolvam o pi para melhor aprendizado de matemática; tomar
consciência sobre
semelhanças e diferenças entre cilindro e círculo, esfera,
semiesfera, triângulo inscrito etc, para que haja a construção de conhecimento
relacionado entre diferentes conteúdos; aprender a habilidade de utilizar o recurso
lúdico para proporcionar aos estudantes ouvintes, professor e o surdo técnicas
diversificadas para promoção do espírito crítico e comunicação; melhorar
o
82
interesse na execução da tarefa sobre o icosaedro e o trabalho de equipe.
12.3 Estratégias
Será mediante perguntas orais para os estudantes sobre o que é o pi, seu
valor, onde se encontra, com as respostas coletadas oralmente será possível uma
sondagem do conhecimento prévio, para um melhor diagnóstico. Faremos coleta
das medidas dos objetos da tabela ou outros sugeridos pelos estudantes, para
visualizar o pi em diversos contextos. Após a leitura do texto informativo em anexo
sobre o pi, faremos a socialização onde todos poderão fazer suas considerações, e
após esta etapa faremos a dobradura do icosaedro.
12.4 Conteúdos
Geometria Plana (círculo, triângulo equilátero inscrito, área do setor circular,
radianos, graus da circunferência, circunferência trigonometria, arco trigonométrico,
quadrantes etc. Geometria Espacial (Esfera, semiesfera,
cilindro e icosaedro,
calculo de área e volume) e relação de Euler..
12.5 Público Alvo
3ª II
12.6 Cronograma
4 aulas
12.7 Recursos
Texto Informativo sobre o pi em anexo e folha de exercícios.
12.8 Avaliação
Será através da auto-avaliação onde professor e estudantes poderão julgar a
atividade e empenho pessoal, o nível de cooperação do grupo, a motivação, a
comunicação entre os estudantes e a criatividade.
83
12.9 Texto Informativo sobre a historia do π
O dia 14 de março é chamado do dia do Pi, no Brasil escrevemos como
14/3, porém nos Estados Unidos esse dia é escrito de maneira inversa 03/14. Mas
afinal quem é esse pi? É um número especial uma constante Pi começa como
3,1496... É a razão entre o perímetro e o diâmetro de um círculo. O momento pi
definitivo da história foi em 14 de março de 1592 às 6:53 e 58 segundos,
corresponde
aos
doze
dígitos
do
número
3.14159265358...
.A
primeira
comemoração sobre o Dia do Pi foi no Exploratorium de São Francisco em 1988. Foi
criada pelo Físico Larry Shaw, que atualmente está aposentado, mas se sustenta
com essas celebrações. Após a solenidade foram servidas tortas redondas e pizzas,
com pessoas marchando em círculos para celebrar este dia. Esta data só foi
reconhecida em 2009 como o Dia Nacional do Pi, porém não é valida em todos os
países. Os ocidentais comemoram no dia 22/07, ela representa a aproximação
fracional do Pi,
22
= 3,14, que é próximo do número cabalístico, ou no dia 10 de
7
novembro, que é o 314º dia do ano. O número π também foi calculado por várias
outras civilizações antigas, sendo conhecido nos estudos de Arquimedes (287/212
a.C.), Tsu Chung-Chi (430/501 d.C.). Chineses, Hindus e árabes também realizaram
cálculos importantes para a determinação de uma aproximação de
π
na
antiguidade.
A história do cálculo de π tem registros desde a Babilônia (1800 a.C) que
consideravam o valor 3 como uma boa aproximação. Em 1700 a.C., matemáticos no
Egito Antigo descobriram que a razão entre o comprimento de uma circunferência e
seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência. Eles definiram o que
chamamos hoje de π como um número "um pouco maior que 3", chegando a
aproximação de que um círculo de diâmetro 9 unidades tem a mesma área de um
quadrado cujo lado tem 8 unidades ( π = 3,1228), com um erro inferior a 1%. Ainda
no Egito, o papiro de Ahmes, (cerca de 1600 a.C.) dá o valor 3,16 para a constante
π .
Matematicamente falando, definimos o π como uma proporção numérica
84
entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro, ou seja, se a circunferência
tiver perímetro igual a P e diâmetro d, o π será
p
. A origem de seu nome veio da
d
palavra grega, "περίμετρος", que significa perímetro. Historiadores acreditam que foi
William Jones o responsável por esse nome em 1706, porém sua popularização
ocorreu por Leonhard Euler anos mais tarde.
12.9.1 Onde se encontrar o pi?
Se pegarmos um círculo de qualquer medida, medirmos o seu
Diâmetro
contorno(circunferência),
dividirmos
pelo
seu
centro(diâmetro),
encontraremos um número constante, chama-se o pi, representado
pela letra grega π .
c
= 3,14...
d
O diâmetro é um segmento de reta com origem na circunferência(corda) que
passa pelo seu centro. A circunferência de qualquer círculo é maior do que três
vezes seu diâmetro, e o excesso é menor do que a sétima parte do diâmetro e maior
do que dez vezes sua septuagésima primeira parte ou seja: 3.
10
3
< π < 3.
71
7
,
equivale a dizer em frações decimais: 3,1408 < π < 3,1428.
12.9.2 Mas de onde surgiu a ideia de calcular o pi?
Desde a Antiguidade, o homem percebeu que esta divisão (circunferência
pelo diâmetro) era um número fixo. Foram encontradas várias aproximações de pi
para o cálculo da área do círculo. Entre os egípcios, por exemplo, no papiro de
3
4 
3 
Ahmes, o valor atribuído a pi seria   , embora também seja encontrado o valor
3.
1
. Até na Bíblia existe uma referência sobre esta relação entre a circunferência e
6
o diâmetro. Numa passagem, conta-se que o rei Salomão mandou que um artesão
85
de nome Hirão, especialista em trabalhos em bronze, fizesse um trabalho num
templo em Jerusalém, construído entre 1014 e 1007 a.C., consta à descrição de um
tipo de reservatório de forma circular: a referência na magnitude do valor do pi esta
em I Reis (7:23-27), e II Crônicas (4:2).
“E passou a fazer o mar de fundição, dez côvados de borda à sua outra
borda, circular em volta; e tinha a altura de cinco côvados, e requeria um
cordel de trinta côvados pra circundá-lo em toda a volta” nessa divisão
encontra se o valor 3, já um valor aproximação do pi.
O côvado era uma unidade de comprimento adotada na época, é possível
encontrar que os hebreus utilizavam o valor 3 como aproximação de pi. Entre os
babilônios, era comum o uso do valor 3 para calcular a área do círculo, apesar de o
valor 3.1/8 já ser conhecido como aproximação. “...dez côvados de borda a borda...”
– diâmetro =10 “...requeria um cordel de trinta côvados para circundá-lo em toda a
volta.” – circunferência = 30. De acordo com a Bíblia o perímetro da circunferência é
igual a 3 vezes a medida do diâmetro. C = 3 d, ou a razão entre o perímetro C e o
diâmetro d é igual a
C
= 3.
D
A descoberta de que pi é um número irracional (infinitas casas decimais, não
pode ser colocado na forma de fração) só aconteceu no século XVII (isto quer dizer,
que durante mais de 2.000 anos, muitos matemáticos tentavam achar o valor exato
de pi, o que é impossível). Uma vez que pi é um número irracional, seu uso prático
só é possível através de valores aproximados. Num papiro egípcio atribuído ao
escriba Ahmes, o valor da área do círculo é calculada a partir da fração
aproximadamente 3,16 (era a sua aproximação para o pi).
Mesopotâmia Antiga usaram p=
256
, que é
81
Os povos da
25
22
. Arquimedes usou a fração
como valor para
58
7
a constante pi (veja bem: todos estes valores são aproximados, o pi não pode ser
escrito na forma de fração, mas isto não era sabido).
Mas, Arquimedes foi mais longe, e descobriu que o valor de pi é um número
86
que está entre as frações
223
220
e
(os antigos não conheciam números decimais
71
7
só frações). Para chegar a esse grau de precisão, Arquimedes construiu um
polígono regular de 96 lados. Tal polígono estava muito próximo de uma
circunferência, então ele calculou a razão do perímetro do polígono de 96 lados pelo
diâmetro. Quanto maior o número e lados, mais o perímetro do polígono se
aproxima do perímetro da circunferência.
Geômetras chineses encontraram uma fração que dava um valor mais preciso
para p=
355
. Mais foi somente em 1761 que o francês Lambert provou que pi é um
113
número irracional, ou seja, tem uma expansão decimal infinita e não periódica.
12.9.3 Uma aproximação do Pi com 100 casas decimais:
3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679.
Em outubro de 1995, os japoneses Yasumasa Kanata e Yoshiaki Tamura,
da Universidade de Tóquio, calcularam o número pi com 6.442.450.938 de casas
decimais, auxiliados por um potente computador. Estes dois matemáticos desde
1981 se empenham em calcular casas decimais do número pi, começaram
calculando “apenas” 2 milhões de casas decimais. De 20 de junho até 26 de
setembro de 1999, Kanada e Daisuke Takahashi, calcularam o pi com
206.168.430.000 casas decimais, usando um computador Hitachi SR 8000. Uma vez
que pi é um número irracional e só é possível trabalhar com aproximações, não é
necessário memorizar mais do que 2 ou 4 casas decimais, pois para a maioria das
atividades escolares use o valor aproximado π =3,14.
Operações matemáticas que dependem de π para algumas aplicações do
pi, se tivermos a medida do raio r de um círculo, seu perímetro c mede c=2. π .r. No
mesmo caso, a área S do círculo mede S= π .r². O volume de um cilindro de altura h
e raio da base r é V= π .r.h. O volume de um cone de altura h e raio da base r é
1
4
V= . π . r . h . O volume de uma esfera é de raio r é S= . π . r 3
3
3
87
Fontes:http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/aplcom1a.html
http://www.tecmundo.com.br/matematica/20701-feliz-dia-do-pi.htm
12.9.4 Para comemorar o dia do Pi
Enfeite meio esférico, meio icosaedro, feito a partir de círculos com
triângulos equiláteros inscritos.
Bola de papel
Materiais utilizados
4 folhas de papel folha de papel cartão dupla face, régua, tesoura,
compasso, CD para molde, cola, fita de cetim ou barbante, lápis e
tesoura.
12.10 Passo-a-passo da dobradura do icosaedro
1º Recorte um círculo de papel grosso (papelão, cartão uma face, ou use um CD,
como molde. Corte 20 círculos com 12,2 cm de diâmetro (CD), dobre todos os
círculos pelos diâmetros para vincar, formando ½ círculo e depois em 4 partes.
Observar divisão do círculo em 4 partes, setor circular, ângulo raso, cilindro.
2º Desdobre o círculo e dobre a extremidades do círculo inferior para o diâmetro,
dividindo a metade do círculo em duas partes e a outra parte permanece sem
divisão. Dobre as partes superiores do círculo trazendo para o centro, formando um
de triângulo equilátero inscrito. Observar as características do triângulo equilátero
inscrito.
88
3º Após dobrar todos os círculos em formato de triângulos equiláteros. Posicione
sobre a mesa cinco triângulos inscritos e passe cola na lateral direita do triângulo, e
em seguida cole um no outro triângulo, com o vértice para cima, conforme imagem
abaixo.
4º Repita o mesmo procedimento, com mais quatros triângulos, ai faça um suporte
de fita ou barbante, dobrado(a) ao meio com um nó na ponta para colocar dentro da
semi-esfera, faça esse procedimento duas vezes para ter duas semiesfera (tampa e
fundo). Observar as características da semiesfera
unindo os cincos
triângulos
inscritos.
5º Para fazer a lateral, cole 10 triângulos restantes lado a lado, formando uma tira,
conforme mostra a figura, ai é só colar a tira na semiesfera tampa.
6º Após colar a lateral na tampa cole o fundo para formar a esfera-icosaedro.
Fotos: Marli Leskios
89
12.11 Exercícios, foi usado um CD como molde.
1- Calcule a área e volume do enfeite, ao considerar como sendo esférico, sabendo
que seu diâmetro (altura) após ele pronto mede 17 cm ?
Volume do enfeite esférico
4
V= . π . r 3
3
4
V= . 3,14 .(0,85 )3
3
4
V= . 3,14 . 0,6144125
3
7,71341
V=
3
V=2,57 dm3
Área do enfeite esférico
S= 4 . π . r 2
S= 4 . 3,14 .(0,85) 2
S= 4 . 3,14 . 0,7225
S= 9,0 dm 2 ou 0,9 m2
2- Calcule a área total de todos os círculos usado para fazer o enfeite esférico,
sabendo que seu diâmetro é aproximadamente 122 mm? Agora levando em conta a
espessura do círculo, que é de 1 mm, calcule o volume?
Área da Base
Volume
S=π . r 2
S= 3,14 .( 61)2
S= 3,14 . 3721
S= 11683 , 94 mm2
S T =20 . 111683 , 94
V=π . r 2 . h
V= 3,14 .(61) 2 .1
V= 3,14 . 3721. 1
V= 11683 , 94 mm3
S T =233678,8 mm 2
3- Após a 2ª dobrada, o círculo ficou dividido pelos meios (diâmetros),
transformando-se em setores circulares, de 90º, qual é área do setor sombreado.
90
α . π . r2
3600
900 . 3,14 .( 6,1) 2
S=
3600
900 . 3,14 .( 37 , 21)
S=
3600
641 , 44
S=
3600
S= 1. 781 cm2
S=
.
c
r = 6,1
4- Diga em qual (ais) quadrante(s) se localiza o terceira dobra, na execução da
dobradura. Resposta: III Q e IV Q
IQ
III Q
II Q
IV Q
5- Após a 4ª e 5ª dobra, ao formar um triângulo equilátero inscrito, de lado valendo
10,9. Calcule a área desse triângulo, e a área não sombreada do círculo? (lembrese: que no triângulo inscrito o lado é l 3 =r √ 3 , h=
Lado do Triângulo
6, 1 cm
O
l 3=6,1 . √ 3
l 3=6,1 . 1,73
l 3=10 , 56 cm
l √3
)
2
Área do triângulo
l 2 √3
4
( 10 , 56 )2 . √3
S t=
4
111 ,51 .1,73
St=
4
192 , 91
St=
4
St= 48 , 22 cm 2
S t=
6- Quantos arestas possui um esse poliedros que se formou, sabendo que ele tem
vinte faces triangulares, e 12 vértices. Pela Relação de Euler (lembrar sobre Euler)
91
Resolução
A=?
F=20
V= 12 A + 2 = V + F
A + 2 =12 + 20
A + 2 = 32
A = 32 – 2 = 30 arestas
7 - Para a verificação e construção dos cálculos da tabela, devemos tirar as medidas
dos contornos dos objetos da tabela (esses são apenas sugestões iniciais), mas os
estudantes poderão indicar outros. Com uma fita métrica ou um barbante fazer a
medição do contorno de cada um dos objetos tabela e também medir o diâmetro.
Usar a régua, fita métrica ou barbante(depois é só medir o tamanho o comprimento
do barbante).
Objetos
Contorno cm Diâmetro cm Contorno dividido pelo diâmetro
Lata de refrigerante
Moeda
Copo
Tampa de panela
Bola de futebol
Cd ou DVD
13 3ª Data Comemorativa - Páscoa
13.1 Justificativa
Levar os estudantes a conhecer e compreender o real significado do
conceito Páscoa, que é um evento religioso importante para a sociedade brasileira,
além de um fenômeno comercial na venda de ovos de chocolates. Agora, por se
tratar de uma celebração religiosa em ambiente escolar, e esta sendo laica,
tomaremos medidas cautelosas para não perder tempo precioso da aula com
frivolidades, deixando de lado a parte científica da matemática, e muito menos
enfatizar somente o aspecto religioso.
92
A escola tem um papel fundamental na formação do cidadão, tornando-o
consciente, críticos e participativos, levando o conhecimento das principais
manifestações culturais do seu meio. Desta forma, cabe a instituição escolar
fornecer informações relevantes a seus estudantes de forma que estes possam
ampliar seus conhecimentos, e da sua cultura e dos conteúdos científicos que é a
questão em destaque. Apesar do tema ser propício para um momento de
reconstrução interior, de reflexão de formação de caráter e de personalidade, não se
pode negar a influência social dos meios de comunicação, principalmente, no
incentivo ao “consumismo” que já faz parte da cultura contemporânea, quase que
inerente aos costumes de nossa época.
Sendo assim, buscando o equilíbrio entre consumo e cultura, torna-se
necessário a junção desses valores culturais, sociais, religiosos, históricos,
considerando os símbolos da páscoa com significados, dentre eles, o chocolate.
Busca todas as áreas da formação do sujeito (intelectuais, cognitivas, sociais,
culturais e etc) indo além das paredes da escola, uma escola pública, não consegue,
por si só, dar conta das demandas necessárias para fazer o mínimo pelos
estudantes.
Assim, pode-se proporcionar momentos de igualdade e de inserção de todos
a um mesmo contexto social, cultural e religioso levando-os a se sentirem parte do
mundo em que vivem, percebendo-se valorizados, despertando potencialidades para
participar da construção de sua própria história, e valorizar as diversas
manifestações culturais em nosso meio, e que deve ser resgatada através de um
fazer, conhecer e reinterpretar através textos e confecção da cesta de Páscoa.
13.2 Objetivo geral
Contribuir e incentivar a pesquisa e a leitura para uma melhoria no processo
de ensino-aprendizagem, onde o estudante entre em contato com os conteúdos de
geometria espacial(tronco de pirâmide), desfragmentado da gaveta plano de aula,
tornando a aula dinâmica, onde o estudante deixe de ser passivo, para se tornar
participativo nas atividades, levantando hipóteses em relação ao objeto de estudo.
93
13.3 Objetivos Específicos
- Melhorar interação e comunicação entre os estudantes do grupo;
- Descobrir lideranças, onde o líder tenha autonomia para delegar funções a cada
membro dentro do trabalho coletivo, reconhecendo a importância do trabalho
individual na coletividade;
- Consiga resolver situações problema sobre o tronco de pirâmide;
13.4 Metodologia
Após as discussões prévias em sala de aula sobre a Páscoa, chocolate,
ovos, coelho, símbolos, religião, consumo e tronco de pirâmide (cesta), após esta
conversa pedir uma pesquisa bibliográfica sobre a Páscoa, que poderá ser feito na
biblioteca da escola, ou na internet, nos períodos contrário ao turno da série, como
atividades extraclasse.
A turma será dividida em grupos de 4 a 5 estudantes para que as tarefas e
as despesas sejam divididos igualmente. Após a confecção da cesta e apresentação
do seminário, entregar lista de exercícios sobre área e volume do tronco, como
tarefa extraclasse e fazer a correção em aula normal prevista no calendário escolar.
13.5 Recursos utilizados
Papel cartão uma única face, fitas, tesoura, grampeador, cola quente, e folha de
papel manteiga.
13.6 Conteúdos
Frações, quadrado, eixo de simetria, tronco de pirâmide de base quadrada.
13.7 Público Alvo
3ª Informática
94
13.8 Cronograma
6 aulas
13.9 Avaliação
Será feita pelo próprio grupo com o objetivo de verificar o desempenho na
elaboração e execução do seminário sobre o tema, fazer reajuste nas próximas
atividades se forem necessárias. Também farei colocações sobre a criatividade e
originalidade de cada grupo, o empenho e participação coletiva e individual nas
aulas de matemática relativa ao conteúdo de tronco de pirâmide,
13.10 História da Páscoa
Páscoa (do hebraico Pessach, significando passagem através do grego
Πάσχα) é um evento religioso cristão, normalmente considerado pelas igrejas
ligadas a esta corrente religiosa como a maior e a mais importante festa da
Cristandade. Na Páscoa, os cristãos celebram a Ressurreição de Jesus Cristo
depois da sua morte por crucificação que teria ocorrido nesta época do ano em 30
ou 33 d.C. A Páscoa pode cair em uma data, entre 22 de março e 25 de abril. O
termo pode referir-se também ao período do ano canônico que dura cerca de dois
meses, desde o domingo de Páscoa até ao Pentecostes. A Páscoa sendo a principal
festa dos judeus celebra-se o êxodo e a libertação do povo de Israel da escravidão a
que foi sujeito pelos egípcios. Durante a Semana Santa acontecem procissões e
novenas que representam os momentos mais dolorosos da vida de Jesus. Os rituais
normalmente representam a Crucificação, a Morte e a Ressurreição de Cristo. O
domingo anterior ao domingo de Páscoa é o domingo de Ramos, e é quando se
benzem os ramos de palmeiras e se celebra a entrada de Jesus Cristo em
Jerusalém. Em muitas regiões do Mundo, a Sexta-feira Santa e o Domingo de
Páscoa são celebrados com manifestações de figurantes vestidos como no tempo
de Jesus ou com imagens de Jesus crucificado.
Fonte do texto: http://www.fontedeluz.com/index.php?
ver=2&id=878
95
13.10.1 Origem do nome
Os eventos da Páscoa teriam ocorrido durante o Pesah, data em que os
judeus comemoram a libertação e fuga de seu povo escravizado no Egito.
A palavra Páscoa advém exatamente do nome em hebraico da festa judaica
à qual a Páscoa cristã está intimamente ligada, não só pelo sentido simbólico de
“passagem”, comum às celebrações pagãs (passagem do inverno para a primavera)
e judaicas (da escravatura no Egito para a liberdade na Terra prometida), mas
também pela posição da Páscoa no calendário, segundo os cálculos que se indicam
a seguir.
No português, como em muitas outras línguas, a palavra Páscoa origina-se
do hebraico Pesah. Os espanhóis chamam a festa de Pascua, os italianos de
Pasqua e os franceses de Pâques. Os termos "Easter" (Ishtar) e "Ostern" (em inglês
e alemão, respectivamente) parecem não ter qualquer relação etimológica com o
Pessach (Páscoa). As hipóteses mais aceitas relacionam os termos com
Estremonat, nome de um antigo mês germânico, ou de Eostre, uma deusa
germânica relacionada com a primavera que era homenageada todos os anos no
mês de Eostremonat, de acordo com o Venerável Beda, historiador inglês do século
VII. Porém, é importante mencionar que Ishtar é cognata de Inanna e Astarte
(Mitologia Suméria e Mitologia Fenícia), ambas ligadas a fertilidade, das quais
provavelmente o mito de "Ostern", e consequentemente a Páscoa (direta e
indiretamente), tiveram notórias influências.
13.10.2 Cálculo da Páscoa
A Páscoa tem origem judaica, quando Moisés livrou o povo hebreu do Egito
(conforme uns 40 capítulos do livro do Êxodo, na Bíblia). Para os católicos, a Páscoa
tem outro sentido e significado: quando Jesus, o Cristo, morre e ressuscita para
salvar a humanidade.
Nos primeiros séculos do Catolicismo, o povo usualmente celebrava a
Páscoa Católica próximo à Páscoa dos judeus. Entretanto, como existiam
divergências entre grupos da própria Igreja, o Concílio de Nicéia (325 d. C.) definiu a
96
data como sendo o domingo seguinte ao primeiro dia da lua cheia após o equinócio
da primavera (equinócio é o dia do ano que tem o tempo com luz ao tempo sem luz).
Como essa definição é uma definição com base num calendário lunar (dado que é
uma observação da lua), e o calendário que nós usamos é o solar, o dia de Páscoa
sempre está entre 22 de março e 25 de abril (incluindo-se esses dois dias; cálculo foi
feito pelo astrônomo Jean Meeus.
Uma vez que essa data é importante (dado que a partir dela é calculado o
Carnaval e outras datas como, por exemplo, o dia de Pentecostes e o dia de Corpus
Christi).
Desde a idade média, usam-se algoritmos para fazer esse tipo de cálculo. O
nome desses algoritmos é Computus, computação em latim. Não existe uma
maneira tão simples de calcular a Páscoa, da qual derivam as outras festas,
inclusive o carnaval, embora possa-se fazer de várias formas. Vamos aqui
apresentar algumas.
13.10.3 Algoritmo genérico para descobrir a data da Páscoa
Este algoritmo trata do cálculo da data de Páscoa de qualquer ano após
1583, quando foi instituído o calendário como sendo o Gregoriano. Foi desenvolvido
pelo astrônomo Jean Baptiste Joseph Delambre:
Seja Y (de year, ano em inglês) o ano o qual deseja descobrir quando será a
Páscoa. Então:
a = Y mod 19
b = floor(Y / 100)
c = Y mod 100
d = floor(b / 4)
e = b mod 4
f = floor((b + 8 ) / 25)
g = floor((b – f + 1) / 3)
h = (19a + b – d – g + 15) mod 30
i = floor(c / 4)
k = c mod 4
97
L = (32 + 2e + 2i – h – k) mod 7
m = floor((a + 11h + 22L) / 451)
Mês da Páscoa = floor((h + L – 7m + 114) / 31)
Dia de Páscoa = ((h + L – 7m + 114) mod 31) + 1
Alterações dos dias de Páscoa se repetem a cada 532 anos (indiction). De
acordo com a tabela a Páscoa cristã que acontece mais cedo, cai no dia 22 de
março pelo antigo calendário (Juliano), dia 04 de abril pelo novo calendário
(Gregoriano), e a mais tardia dia 25 de abril pelo antigo calendário, 08 de maio pelo
novo calendário.
• O calendário Juliano recebeu o nome a causa do Imperador Júlio César iniciandose no ano de 46 a.C e introduzindo a contagem em 12 meses. Vigorou por 1.600
anos.
• O calendário Gregoriano (referencia ao Papa Gregório XIII), adotado em 1.512 em
reforma ao calendário Juliano, é tido hoje como o calendário universal.
• A diferença entre os dois calendários é de 13 dias a mais para o Gregoriano.
Fonte do texto: http://fabio.freesandbox.net/calculo-do-carnaval-e-da-pascoa/
Fonte : http://www.somatematica.com.br/mundo/pascoa.php
13.10.4 Um algoritmo fácil
O dia da Páscoa varia de ano para ano, por ser uma festa móvel. Para se
calcular o dia da Páscoa, utiliza-se do seguinte algoritmo: este algoritmo não calcula
com exatidão o dia da Páscoa, mas é fácil de calcular e bem prático. Foi
desenvolvido pelo matemático e jesuíta Christopher Clavius.
Sugestão: fazer com lápis é melhor.
1. divida o ano de interesse por 19 e tome o resto;
2. some 1 ao resto obtido, a A Páscoa é celebrada ao domingo seguinte a esta.
O número final é o "número dourado" (que não tem a ver com o "número de
ouro" 1, 61...) corresponde a uma data específica dada na tabela a seguir (vale para
os anos de 1900 a 2199).
Em que mês e dia será Páscoa em 2013, é só dividir o ano de 2013 por
19, e somar o resto 1.
98
2013 19
18
105
18 + 1=19 (que o número dourado)
No calendário 2013 o número 19 (número dourado), caia na data de 27 de
março, que correspondente uma quinta-feira, então a Páscoa será no próximo
domingo dia 31 de abril de 2013.
Número dourado
data
19
27
Calendário- Março de 2013
D
S
T
Q
Q
S
S
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Número Dourado
Data
Número Dourado
Data
1
14 de abril
11
25 de março
2
3 de abril
12
13 de abril
3
23 de março
13
2 de abril
4
11 de abril
14
22 de março
5
31 de março
15
10 de abril
6
18 de abril
16
30 de março
7
8 de abril
17
17 de abril
8
28 de março
18
7 de abril
9
16 de abril
19
27 de março
10
5 de abril
99
13.10.5 Um algoritmo mais complexo
O matemático Johann Friederich Carl Gauss propôs um método para
determinar as datas de Páscoa, cujas regras foram definidas no Concílio de Nicéia
(325 d.C.). A Páscoa deve ser celebrada no domingo seguinte à primeira lua cheia
da Primavera (na Europa). Gauss desenvolveu uma regra prática para calcular a
data da Páscoa no calendário gregoriano, a partir de 1583. Considere A como sendo
o ano, e m e n dois números que variam ao longo do tempo de acordo com a
seguinte tabela:
Ano
Valores
1583-1699
m=22, n=2
1700-1799
m=23, n=3
1800-1899
m=23, n=4
1900-2099
m=24, n=5
2100-2199
m=24, n=6
Este algoritmo desenvolvido pelo matemático alemão Karl Friederich Gauss,
grande matemático, astrônomo e físico (1777, 1855) que deixou obra tão importante
como o inicio da Análise Matemática, o método dos mínimos quadrados (ainda muito
utilizada, em que o “mais provável” de algo que é medido é obtido apos várias
medições), a lei de Gauss (relação entre o fluxo eléctrico e a quantidade de carga), a
descoberta de Ceres (que todos pensavam ser um cometa), bem como a invenção
de vários dispositivos (como um aparelho que permitia a observação de pequenos
astros).
O método de Gauss para a determinação do dia em que cai o Domingo de
Páscoa é muito simples e não envolve mais do que o cálculo de restos de divisões
inteiras. Esta é a fórmula válida entre 1900 e 2099.
a = Y mod 4
b = Y mod 7
c = Y mod 19
d = (19c + 24) mod 30
e = (2a + 4b – d + 34) mod 7
100
Mês da Páscoa = floor ((d + e + 114) / 31)
Dia de Páscoa= ((d + e + 114) mod 31) + 1
Soma D com E.
Se D+E≤9, então a Páscoa cai a 22+D+E de Março.
Se D+E>9, então a Páscoa cai a D+E-9 de Abril
Duas correções à formula:
Se D=28, E=6 e C>10 então a Páscoa é no dia 18 de Abril(e não a 25 de Abril).
Se D+E=35 então é em 19 de Abril (e não a 26 de Abril).
Assim o dia de Páscoa cairá sempre num dia entre 22 de Março e 25 de Abril.
a = MOD (ANO,19)
b = MOD (ANO,4)
c = MOD (ANO,7)
d = MOD [(19 a + M), 30]
e = MOD [(2 b + 4 c + 6 d + N), 7]
Os valores de M e N são dados pela tabela:
ANO
M
N
1582 a 1699
22
2
1700 a 1799
23
3
1800 a 1899
23
4
1900 a 1999
24
5
2000 a 2099
24
5
2100 a 2199
24
6
2200 a 2299
25
0
2300 a 2399
26
1
2400 a 2499
25
1
Operações:
1) Calcula-se o valor de P é 22 + d + e se P for inferior ou igual a 31, a Páscoa será
no dia P de Março. Mas se P for maior que 31, então calcula-se P'= d + e - 9 e a
Páscoa será no dia P' de Abril. Mas, se P' for superior a 25, então, calcula-se P'' = P'
- 7 e a Páscoa será a P'' de Abril, já que não pode ser celebrada em data posterior a
25 de Abril.
101
13.10.6 Páscoa em 2013
a= 2013 MOD 19 = 18
b= 2013 MOD 4 = 1
c= 2013 MOD 7 = 4
d=(19 * 18 + 24) MOD 30 =6
e=(2 * 1 + 4 * 4 + 6 * 6 + 5) MOD 7 = 3
(d + e) =26 + 3 = 9
Logo o Domingo de Páscoa é 31/3/2013
13.11 Cesta para a Páscoa
Materiais
1 folha de papel cartão uma única face, régua, tesoura,
cola, fitas, papel manteiga e grampeador
Passo a Passo
10 cm 10 cm
10 cm
1º Riscar no verso de um quadrado com 30 cm de lado, e
dividir em 9 partes iguais, com 10 cm entre os
cruzamentos de retas. Observar
10 cm
quadrado,
retas
as propriedades do
paralelas,
concorrentes
e
perpendiculares. Divisão do inteiro em nove partes iguais
10 cm
10 cm 10 cm
1/9=0,111=11%, relembrar as dizimas.
2º Recortar os segmentos de retas, com
intervalos de 10 cm, entre eles, na parte
pontilhada como mostra a figura, e dobrar
para vincar.
3º Após dobrar para em todos os segmentos, recorta a alça da cesta .de 5cm de
largura por 45 cm de comprimento, pode enfeitar a gosto, colocar a alça da cesta
102
com cola ou grampeador. Amasse um papel ceda e cole dentro, enfeitar com fitas,
para dar um acabamento bonito na cesta que dá ideia de tronco de pirâmide.
Foto: Marli Leskios
13.12 Tronco de pirâmide regular (bases paralelas)
Tronco é uma "fatia" cortada de um sólido geométrico (prisma, pirâmide,
cilindro ou cone) por um plano que não intersecta as bases.
Cálculo das áreas do tronco de pirâmide.
Num tronco de pirâmide temos duas bases, base maior e base menor, e a
área da superfície lateral. De acordo com a base da pirâmide, teremos variações
nessas áreas. Mas observe que na superfície lateral sempre teremos trapézios
isósceles, independente do formato da base da pirâmide. Por exemplo, se a base da
pirâmide for um hexágono regular, teremos seis trapézios isósceles na superfície
lateral.
103
Fórmulas
Volume
k
V= . [ B+b+ √ B . b ]
3
B= área maior; b= área menor; K= altura do tronco
Area total= S T =S B +S b +S l
Area lateral =
( B+b ) . h
2
2
Área da base maior = S B =l
2
Área da base menor= S b =l
Na face lateral do tronco (trapézio)
h= altura da lateral; B= base maior; b= base menor
Planificação do Tronco de base quadrada
Modelos de tronco encontrados em embalagens
Fonte da foto: Vanda
104
13.13 Exercícios sobre a cesta
1- Calcule o volume da cesta de Páscoa que dá uma ideia de tronco de pirâmide,
com dimensões descrita na figura.
10 cm
h= 8 cm
21 cm
Resolução
Área das Bases
Volume
k
V= . [ SB+Sb+ √ SB . Sb ]
3
SB= 212
SB= 441
2
Sb= 10
Sb= 100
8
V= . [ 441+100+ √ 441 .100 ]
3
8
V= . [ 541+ √ 44100 ]
3
8
V= . [ 541+ 210 ]
3
8
V= . [ 751 ]
3
V=2002,6 cm 3 V=2,00 dm 3
14 4ª Data Comemorativa - Dias das Mães
"Os filhos são para as mães as âncoras da sua vida". (Sófocles- Poeta Grego).
14.1 Justificativa
O tema é de suma importância para conscientizar os estudantes, sobre mais
uma data cooptado pelo comércio para venda de presentes, mas também sobre a
real importância da data para a valorização da figura da mãe em nossas vidas,
principalmente neste período do ensino médio, onde a grande maioria são
105
adolescentes, idade que mais surgem conflitos, entre pais e filhos.
Devemos lembrar que mãe não é somente as biológicas, mas quem cuida,
dá amor, protege e faz as mesmas coisas que as biológicas fazem, aliás tem
algumas que fazem muito melhor, que são as avós, as irmãs, as tias, irmãs mais
velhas, as mães voluntárias, os pais que assumem papel de mãe.
Discutir sobre o papel que as mães desempenham na família, na sociedade
de hoje.
Existem jovens na faixa etária dos estudantes do ensino médio que já são
mães, outras serão, qual a real responsabilidade de uma mãe gerar e cuidar de
filhos?
Existem muitos jovens que perderam o respeito e o valor, que devemos dar
a pessoa que cuidou ou ainda cuida de seus filhos. Esse um bom momento para
refletir sobre todos o quesitos levantados sobre mãe, ainda estudar geometria, com
a confecção de uma caixa no formato de um prisma hexagonal. Colocar em pauta
quanto deveria ser o salário de uma mãe, se ela fosse contratada para fazer todas
as tarefas que uma mãe faz, fazendo uns cálculos por cima (783,20x30=23496)sem
horas+horas extras(300,00)+sábado+domingo (56 dias 1461,97 anual)+feriados(10
dias
261,06)+salário
babá(783,20x30=23496)+salário
enfermeira
plantão
(3000,00)+psicologa (2.000,00)+esposa (5.000,00)+ salário de professora plantão
para ajudar nas tarefas ( 5000.00) em média seria de anual de 59.015,03 anual ou
mensal de 4.917,91.!!!!!!!
14.2 Objetivo Geral
Proporcionar uma reflexão sobre a importância da mãe na vida das pessoas,
seja biológica ou não, e contribuir para formação humana.
14.3 Objetivos Específicos
- Reconhecer a importância da pessoa que cuida do ser humano, para ter um bom
desenvolvimento de caráter.
- Estabelecer e ampliar as relações sociais entre escola e comunidade;
106
- Contribuir no desenvolvimento do gosto pela leitura;
- Construir e reconstruir conceitos geométricos, desenhando e interpretando as
formas planas e espaciais através do origami da caixa hexagonal.
14.4 Metodologias
Inicialmente será lido o informativo em anexo sobre mães, após a leitura e
discussões, todos farão suas colocações sobre: mãe do lar, mãe solteira, mãe
jovem, mãe idosa, sobre seus trabalhos fora de casa, trabalho dentro de casa, etc.
Haverá um trabalho de motivação para os estudantes se dedicarem na
confecção da caixa de presente, pois é artesanato barato e simples, mas é um
presente memorável, a maioria só fez um presente com suas próprias mãos na
Educação Infantil.
14.5 Estrategias
Será divido a turma em grupos, para leituras e confecção da caixa de presente.
14.6 Conteúdo
Prisma de base hexagonal
14.7 Cronograma
4 aulas
14.8 Público alvo
3ª A II
14.9 Materiais para equipe de quatro alunos
Papel sulfite A4 de seis cores, tesoura e régua.
107
14.10 Avaliação
Será através da observação das leituras e desenvolvimento do grupo onde o
líder tem a função de delegar e assumir responsabilidades sobre todo
desenvolvimento da dobradura. Serão verificados o desenvolvimento pessoal, a
criatividade e capricho na execução da dobradura. Será proposto uma autoavaliação e avaliação da atividade.
14.11 Culminância
Pretende-se fazer um chá para recepcionar as mães desta turma, na quadra
da escola, ou se a direção quiser estenderemos o convite a outras turmas. Será feito
apresentação musical ensaiada e apresentada pelos estudantes, terá sorteio de
brindes, (produtos do boticário, da natura, cesta de chocolate, cestas de flores,
escova de cabelo, tratamento de pele, massagem, manicure, pendicure, rodízio de
pizzas, e outros brindes). Faremos arrecadações no comércio local de todas as
prendas. Todas as, todas as mães receberá um brinde.
14.12 História do Dia das Mães
Segundo Duarte (2011, apud Ferreira, Wagner Augusto et al). As mais
antigas celebrações do Dia das Mães que se tem notícias, ligam-se
às
comemorações primaveris da Grécia Antiga, em honra de Rhea, mulher de Cronos e
Mãe dos Deuses. Em Roma, as festas comemorativas do Dia da
Mãe eram
dedicadas a Cybele, a Mãe dos Deuses romanos, e as cerimônias em sua
homenagem começaram por volta de 250 anos antes do nascimento de Cristo.
Durante o século XVII, a Inglaterra celebrava no 4º Domingo de Quaresma
40 dias antes da Páscoa) um dia chamado “Domingo da Mãe”, que pretendia
homenagear todas as mães inglesas. Neste período, a maior parte da classe baixa
inglesa trabalhava longe de casa e vivia com os patrões. No Domingo da Mãe, os
servos tinham um dia de folga e eram encorajados a regressar a casa e passar esse
dia com a sua mãe. Para dar sentido a essa confraternização e a união, elaborava-
108
se, conforme a tradição, um bolo especial, o mothering cake.
À medida que o Cristianismo se espalhou pela Europa passou a
homenagear-se a “Igreja Mãe” – a força espiritual que lhes dava vida e os protegia
do mal. Ao longo dos tempos a festa da Igreja foi-se confundindo com a celebração
do Domingo da Mãe. As pessoas começaram a homenagear tanto as suas mães
como a Igreja. Nos Estados Unidos, a comemoração de um dia dedicado às mães
foi sugerida pela primeira vez em 1872 por Julia Ward Howe e algumas apoiantes,
que se uniram contra a crueldade da guerra e lutavam, principalmente, por um dia
dedicado à paz.
A maioria das fontes é unânime acerca da ideia da criação de um Dia da Mãe. A
ideia partiu de Anna Jarvis, que em 1904, quando a sua mãe morreu, chamou a
atenção na igreja de Grafton para um dia especialmente dedicado a todas as mães.
Três anos depois, a 10 de Maio de 1907, foi celebrado o primeiro Dia da Mãe, na
igreja de Grafton, reunindo praticamente família e amigos. Nessa ocasião, a Sra.
Jarvis enviou para a igreja 500 cravos brancos, que deviam ser usados por todos, e
que simbolizavam as virtudes da maternidade. Ao longo dos anos enviou mais de
10.000 cravos para a igreja de Grafton – encarnados para as mães ainda vivas e 7
brancos para as já desaparecidas – e que são hoje considerados mundialmente com
símbolos de pureza, força e resistência das mães.
Segundo Anna Jarvis seria objetivo deste dia tomarmos novas medidas para
um pensamento mais ativo sobre as nossas mães. Através de palavras, presentes,
atos de afeto e de todas as maneiras possíveis deveríamos proporcionar-lhe prazer
e trazer felicidade ao seu coração todos os dias, mantendo sempre na lembrança o
Dia da Mãe. Face à aceitação geral, a Sra. Jarvis e os seus apoiantes começaram a
escrever a pessoas influentes, como ministros, homens de negócios e políticos com
o intuito de estabelecer um Dia da Mãe a nível nacional, o que daria às mães o justo
estatuto de suporte da família e da nação. A campanha foi de tal forma bem
sucedida que em 1911 era celebrado em praticamente todos os estados. Em 1914, o
Presidente Woodrow Wilson declarou oficialmente e a nível nacional o 2º Domingo
de Maio como o Dia da Mãe.
Em Portugal, até anos atrás, o dia da mãe era comemorado a 8 de
Dezembro, mas atualmente o Dia da Mãe é no 1º Domingo de Maio, em
109
homenagem a Maria, Mãe de Cristo. No Brasil a introdução desta data se deu no Rio
Grande do Sul, em 12 de maio de 1918, por iniciativa de EULA K. LONG, em São
Paulo, a primeira comemoração se deu em 1921. A oficialização se deu por decreto
no Governo Provisório de Getúlio Vargas, em 5 de maio de 1932, assinou o decreto
nº 21.366, no artigo art. 1º, como: O segundo domingo de maio é consagrado às
mães, em comemoração aos sentimentos e virtudes que o amor materno concorre
para despertar e desenvolver no coração humano, contribuindo para seu
aperfeiçoamento no sentido da bondade e da solidariedade humana.
Em 1947, a data foi incluída no calendário oficial da Igreja Católica por
determinação do Cardeal Arcebispo do Rio, Dom Jaime de Barros Câmara.
Fonte: http://www.aadp.com.br/PROJETOS/PROJETO%20Dia%20das%20%20M%C3%A3es-%20AMEL.pdf
http://www.dombosco.com.br/pdf/maes_pad_1.pdf
14.12.1 Dicas de presente para deixar uma mãe feliz
1. Lembre-se ela é gente. Como tal, tem todo direito de errar e tentar acertar, como
você. Caso você erre, ela sempre está disposta a perdoá-lo. Basta confiar, ser
sincero.
2. Respeite-a. Como gente ela merecesse respeito, a liberdade de um vai até onde
começa a liberdade do outro.
3. Não fique na eternamente defensiva. Afinal ela e sua amiga, não sua inimiga, a
careta, a que não entende de nada, mais a única amiga para todos os momentos.
4. Tire tempo para ela. Não são apenas seus amigos que precisam de sua
companhia, para um bate papo, ela também precisa disso.
5. Ajude na tarefas de casa. Como é bom ver um filho se interessando pelas
tarefas domésticas, e na maioria dos casos é sua sujeira.
6- Cultive a sua amizade. Nos piores momentos da nossa vida, que vai nos pegar
pela mão adivinhe? (adaptado de Mocidade, 5 a 92, p. 31)
14.13 Prismas
Um prisma é todo poliedro convexo tem duas faces paralelas e congruentes
(também chamadas de bases), e as demais em forma de paralelogramos ligadas por
110
arestas (chamadas de faces laterais). A nomenclatura dos prismas é dada de acordo
com a forma das bases. Assim, se temos hexágonos nas bases, teremos um prisma
hexagonal, se temos triângulos chamamos de triangular e assim sucessivamente.
O prisma pode ser classificado em reto quando suas arestas laterais são
perpendiculares às bases, e oblíquo quando as arestas laterias não são
perpendiculares a base.
Exemplo de prisma reto, e oblíquo
h
Planificação de um prisma de base hexagonal
base
h
base
Formulas do Prisma de Base Hexagonal
Área da Base S b =6 .
l2. √3
4
Areal Total S t =2. S b + S l
Área Lateral S l =6 . a . b
Volume V =S b . h
14.14 Vídeo sobre o favo de abelha vídeo
Fonte:http://www.slideshare.net/mathfms/volume-do-prisa-reto-hexagonal-descobrindo-e-vivendo-a-matemtica
111
14.15 Passo-a-passo, da dobradura da caixa Hexagonal Modular (autoria de
Tomoko Fuse)
Materiais
12 folhas de papel sulfite colorido, tesoura. Será construída
com 12 quadrados de 21 cm de lado, com seis cores para
tampa e seis para a base.
Fotos: Marli Leskios
Passo-a-passo
1º Dobrar uma folha de sulfite A4, retirar um quadrado, vincar nas diagonais, e
desdobrar as retas perpendiculares. Trazer para os três vértices do quadrado para o
centro formando um pentágono. Virar o pentágono em 180º. Trazer para cima o lado
inferior dobrando, e depois dobrar de novo em cima desta dobra, conforme figura
abaixo.
2º Dobrar o vértice do triângulo central para baixo até o encontro de retas
perpendiculares e desdobrar. Dobrar o lado direito até o coincidir com o triângulo
central. Desdobrar o triângulo central por cima desta dobra, em seguida dobrar a
peça no meio para reforçar o vinco.
112
3º Dobrar de novo ao meio o mesmo lado direito trazendo até o outro lado para
vincar e voltar na posição. Dobrar o a ponta superior para o centro conforme foto e
abrir a peça.
4º Abrir o lado superior para fora e vincar o meio, em seguida abrir a peça e dobrar
ao meio para o vinco central, desdobrar e inverter a posição, saindo da dobra de
vale para a dobra de monte, virando a ponta para o lado direito. Após a execução
dos passos acima dobrar ao contrário virando o encaixe da peça para direita.
5º Faça o mesmo procedimento com outros 11 quadrados, para obter 12 peças
iguais com cores diferentes. Agora é só encaixar as peças uma nas outras para
formar a tampa. Faça o mesmo com outras 6 peças para fazer a base.
6º Agora e só encaixar uma peça na outra, até a sexta peça fechando a tampa da
caixa em formato hexagonal. Fazer dois moldes de tampa para ficar essa caixa.
113
14.16 Sugestões de Vídeo
Vídeo passo a passo http://www.youtube.com/watch?v=GzysoBUegr0
14.17 Exercício sobre a caixa de presente hexagonal
1- Calcule quantos cm de papel serão usados para construir uma caixa de presente
em formato de um prisma de base hexagonal, sabendo que a face é composta por 6
triângulos de lado 7 cm, e altura igual a 4 cm. Considerando que a caixa partiu de 12
quadrados de 21 cm de lado. Qual é a área desses quadrados?
Área do papel quadrado, sem dobrar
S = l² = 21² = 441 x 12 = 5292 cm² de papel
Considerando a caixa pronta em formato de prisma hexagonal
Área da base do triângulo equilátero e Área lateral
Área da Base de um hexágono
l2. √3
4
72 . 3
S b= √
4
49 √3
S b=
4
S b =21 , 21 cm2
S b=
S l =6 . a . b
S l =6 . 7 . 4
S l =168 cm2
Volume
V =S b . h
V =127 , 30 . 4
V =509,2 cm3
V =0,5092 dm 3
Área Total
127,30 + 168 = 295,30
S bh=6 . 21 , 21=127 , 30 cm2
15 5ª Data Comemorativa – Dia Nacional da Matemática
15.1 Justificativa
Nós professores, lidamos diariamente com estudantes desmotivados para
estudar e aprender os conteúdos propostos no plano de aula, com metodologias
muitas vezes inadequadas a essa juventude contemporânea. Em qualquer
114
instituição de ensino a disciplina de matemática é vista como algo enfadonho, odiada
por alguns, considerada uma das disciplinas que mais retém estudantes.
“Qualquer um pode aprender bem a matemática” Castro (2010 s/p), ela é
para todos, sendo essas premissas verdadeiras, é preciso dar oportunidades para a
quebra do mito, que ela é reservados para os mais “inteligentes”, sabemos que cada
pessoa possui sua inteligência, e esta se aflora de maneira diferente, a nossa meta
para minimizar esse quadro é propormos atividades diferenciadas, motivadoras e
compromissadas com os conteúdos previstos para o Ensino Fundamental e Médio,
onde todos tenham privilégio de se expressar, escolher e exercê-las da maneira que
julgar melhor, tais como:
teatros, músicas, danças, resolução de charadas,
resolução de problemas matemáticos, relato sobre biografias e caraterização de
matemáticos, declamações, exposições das dobraduras etc, indo além, fazendo uma
viagem pela história da matemática, valorizando os percursores da nossa disciplina.
É preciso mostrar que a Matemática, não é só para resolver problemas complexos,
calcular áreas e volumes ou fazer “continhas”, suas finalidades vão muito além, ela é
responsável pelo desenvolvimento de algumas inteligências e do raciocínio lógico.
A escolha pelo Dia Nacional da Matemática, justifica-se por respeito a um
professor, que em suas publicações centrou-se em histórias divertidas e educativas,
onde o intuito era extinguir mitos, que a disciplina é muito difícil, e não dá para ser
aplicada na vida cotidiana.
Júlio César de Mello e Souza, com o pseudônimo de Malba Tahan, Nasceu
no dia 06 de maio de 1895, no Rio de Janeiro, criado em Queluz, interior de São
Paulo, faleceu no dia 18 de maio de 1974 em Recife aos 79 anos, defendia a
Matemática como uma área do conhecimento humano, onde formação científica e
lúdica podem caminhar juntos na construção do aprendizado.
O Dia Nacional Nacional da Matemática, é uma data adequada para a
culminância de todos os trabalhos realizados pelos estudantes no decorrer do
Projeto de Implementação. A Gincana em comemoração a esta data já acontece
desde 2008, este ano não aconteceu devido o meu afastamento para o PDE. Darei
continuidade em 2013 na Gincana e todas as atividades idealizadas para este
Projeto de Implementação será aliadas a uma dinâmica pedagógica, onde juntos
iremos propor novas atividades aliadas as já existentes.
115
Mostraremos que matemática pode ser divertida com resolução de
problemas fora de sala de aula contextualizado com os conteúdos estudados. Todas
as provas devem proporcionar momentos competitivos, prazerosos e significativos,
mostrando que brincando também se aprende.
15.2 Objetivo Geral
Promover a integração entre professores, estudantes, direção, equipe
pedagógica e pais, dando significado à relação escola-comunidade, tendo como
centro a comemoração do Dia Nacional da Matemática, com uma gincana que irá
para o IV episódio. Sempre teve e terá um caráter lúdico educativo com todas ações
pensadas, repensadas e preparadas, para estimular o raciocínio e habilidades de
expressões, serão garantidos que todas elas apresentem um potencial didático,
divididos por etapas, que exigem a solidariedade entre a equipe de trabalho.
15.3 Objetivos Específicos
- Divulgar a disciplina de Matemática mostrando que ela é essencial para o
conhecimento humano.
- Refletir sobre sua história e integrar em todas as provas os eixos temáticos.
- Perceber que os conceitos e procedimentos matemáticos estudados são úteis e
tem ligações com outras disciplinas.
- Despertar o espírito de competição saudável, liderança, organização, atitude de
respeito e a tolerância aos colegas;
15.4 Metodologia
Os estudantes serão motivados a fazer leitura e socialização do texto
informativo em anexo sobre o porque do Dia Nacional da Matemática. Após a leitura
os estudantes serão igualmente divididos em equipes para elaboração do
regulamento, provas, e estrategias da Gincana, onde ficaram responsáveis para
execuções de todas as provas, tendo como guia os professores de matemática da
116
escola João Ferreira Neves. Apresentarei as propostas do ano de 2011, e a partir
destas mudaremos o que não deu certo.
15.5 Estratégias
Todas as provas serão elaborados para conhecimento da história da
matemática,
onde
escolheremos
algumas
biografias
de
matemáticos
que
contribuíram para o crescimento histórico da disciplina, e abordar os conteúdos
estruturantes. Após as discussões com a turma responsável: pelo regulamento; as
provas; o Convite; a Divisão da Turma do colégio em equipes por cores; a
Elaboração e distribuição de folhetos com todas as provas para as equipes;
15.6 Cronograma
10 aulas
15.7 Público Alvo
3ª Informática
15.8 Avaliação
Os estudantes serão avaliados: pela desenvoltura na elaboração e execução
de toda a gincana; exposição de seus trabalhos; liderança, critérios de envolvimento,
de produção individual; cooperação.
117
16 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
OLIVEIRA, Janine Soares de. A comunidade surda: perfil, barreiras e caminhos
promissores no processo de ensino-aprendizagem em matemática. Rio de
Janeiro: CEFET, 2005. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e
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PCN 1998 http://www.conteudoescola.com.br/pcn-esp.pdf acesso em 05/07/2012.
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2010. Disponível em: http://www.aprender.blog.br/2010/08/matematica-e-para-todosentrevista-ao.html. Acessado em:22/05/2012.
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http://www.webdesignerdepot.com/2009/05/100-extraordinary-examples-of-paper-art/
http://www.linguajaponesa.com.br/as-varias-faces-do-origami.html
124
17 Anexos
125
17.1 ANEXO A
DECRETO Nº 5.626, DE 22 DE DEZEMBRO DE 2005.
Regulamenta a Lei no 10.436, de 24 de abril de 2002, que dispõe sobre a
Língua Brasileira de Sinais- Libras, e o art. 18 da Lei n o 10.098, de 19 de dezembro
de 2000. O PRESIDENTE DA REPÚBLICA, no uso das atribuições que lhe confere
o art. 84, inciso IV, da Constituição, e tendo em vista o disposto na Lei n o 10.436, de
24 de abril de 2002, e no art. 18 da Lei n o 10.098, de 19 de dezembro de 2000,
DECRETA:
CAPÍTULO I
DAS DISPOSIÇÕES PRELIMINARES
Art.1º Este Decreto regulamenta a Lei no 10.436, de 24 de abril de 2002, e o art. 18
da Lei no 10.098, de 19 de dezembro de 2000.
Art. 2º Para os fins deste Decreto, considera-se pessoa surda aquela que, por ter
perda auditiva, compreende e interage com o mundo por meio de experiências
visuais, manifestando sua cultura principalmente pelo uso da Língua Brasileira de
Sinais-Libras.
CAPÍTULO II
DA INCLUSÃO DA LIBRAS COMO DISCIPLINA CURRICULAR
Art. 3º A Libras deve ser inserida como disciplina curricular obrigatória nos cursos de
formação de professores para o exercício do magistério, em nível médio e superior,
e nos cursos de Fonoaudiologia, de instituições de ensino, públicas e privadas, do
sistema federal de ensino e dos sistemas de ensino dos Estados, do Distrito Federal
e dos Municípios.
CAPÍTULO VI
DA GARANTIA DO DIREITO À EDUCAÇÃO DAS PESSOAS SURDAS OU
COM DEFICIÊNCIA AUDITIVA
Art. 22. As instituições federais de ensino responsáveis pela educação básica devem
garantir a inclusão de alunos surdos ou com deficiência auditiva, por meio da
organização de:
Art.23. As instituições federais de ensino, de educação básica e superior, devem
proporcionar aos alunos surdos os serviços de tradutor e intérprete de Libras Língua Portuguesa em sala de aula e em outros espaços educacionais, bem como
equipamentos e tecnologias que viabilizem o acesso à comunicação, à informação e
à educação.
Fonte: http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/_ato2004-2006/2005/decreto/d5626.htm
126
17.2 ANEXO B
LEI DA OFICIALIZAÇÃO DA LIBRAS
Lei N° 10.436 de 24 de abril de 2002
Dispõe sobre a Língua Brasileira de Sinais – Libras e dá outras providências.
O PRESIDENTE DA REPÚBLICA Faço saber que o Congresso Nacional decreta e
eu sanciono a seguinte Lei:
Art. 1° É reconhecida como meio legal de comunicação e expressão a Língua
Brasileira de Sinais – Libras e outros recursos de expressão a ela associados.
Parágrafo único. Entende-se como Língua Brasileira de Sinais – Libras a forma de
comunicação e expressão, em que o sistema lingüístico de natureza visual-motora,
com fatos, oriundos de comunidades de pessoas surdas do Brasil.
Fonte: http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/Leis/2002/L10436.htm
127
17.3 ANEXO C
LEI Nº 12.319, DE 1º DE SETEMBRO DE 2010.
Mensagem de veto
Regulamenta a profissão de Tradutor e Intérprete da Língua Brasileira de Sinais –
LIBRAS.
O PRESIDENTE DA REPÚBLICA Faço saber que o Congresso Nacional decreta e
eu sanciono a seguinte Lei:
Art. 1º Esta Lei regulamenta o exercício da profissão de Tradutor e Intérprete da
Língua Brasileira de Sinais - LIBRAS.
Art. 2º O tradutor e intérprete terá competência para realizar interpretação das 2
(duas) línguas de maneira simultânea ou consecutiva e proficiência em tradução e
interpretação da Libras e da Língua Portuguesa.
Fonte: http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/_Ato2007-2010/2010/Lei/L12319.htm]
128
17.4 ANEXO D
A mulher e a história da matemática através dos tempos
Apesar da discriminação, houve mulheres matemáticas que lutaram contra
os preconceitos gravando seus nomes na história da ciência.
Theano: Foi a primeira mulher a produzir um impacto nesta disciplina, no
século VI a.C. Ela começou sua carreira como uma das estudantes de Pitágoras e
acabou se casando com ele. Pitágoras é conhecido como ”o filósofo feminista”
porque ativamente encorajou mulheres estudantes. Theano foi uma das vinte e oito
irmãs da Irmandade Pitagórica. Na antiguidade, na Grécia, destacou-se os estudos
de Hipácia (século IV de nossa época): filha de Teon um Professor de Matemática
da Universidade de Alexandria, ficou famosa por ser uma grande solucionadora de
problemas. Matemáticos que haviam passado meses sendo frustrados por algum
problema em especial escreviam para ela pedindo uma solução, e Hipácia
raramente desapontava seus admiradores. Ela era obcecada pela matemática e pelo
processo de demonstração lógica. Quando lhe perguntavam por que nunca se
casara ela respondia que já era casada com a verdade., que dedicou-se, além da
Matemática, à Medicina e à Filosofia sendo a primeira mulher a constar na história
da Matemática por seus estudos na área da aritmética e secções cônicas. Na
universidade de Alexandria, passou a lecionar Matemática e Filosofia atraindo
muitos alunos. Defendia o paganismo contra o cristianismo, dedicando-se ao estudo
de várias religiões, sendo considerada herege. Assim, um dia, quando voltava para
casa, foi arrancada de sua carruagem, onde arrancaram-lhe os cabelos,
descarnando-a e colocando fogo sobre o seu corpo. "Com a morte de Hipatia, a
histórica da matemática passa por um vazio de 12 séculos sem que uma mulher seja
registrada, contudo, devemos levar em consideração que, segundo Morais Filho
(200-), muitas mulheres trabalharam auxiliando alguns homens em trabalhos
matemáticos, dos quais podemos citar Viète, Descartes e Leibniz."
Maria Agnesi: Logo após a morte de Hipácia a Matemática entrou num
período de estagnação e somente depois da Renascença foi que outra mulher
escreveu seu nome nos anais da Matemática. No século XVIII, destacaram-se Maria
Gaetana Agnesi, nasceu em Milão em 1718. Com apenas nove anos de idade teve
129
seu discurso em latim, que defendia a educação superior para mulheres, publicado.
Seu pai era professor de Matemática na universidade de Bolonha e a incentivava.
Tanto que aos vinte anos publicou Propositiones Philosophicae, uma coletânea de
190 ensaios de matemática, lógica, mecânica, hidromecânica elasticidade,
gravitação, etc. Foi reconhecida como um dos melhores matemáticos da Europa e
ficou famosa por seus tratados sobre as tangentes às curvas. Embora os
matemáticos de toda Europa reconhecessem as suas habilidades, muitas
instituições acadêmicas, em especial a Academia Francesa, continuaram a lhe
recusar uma vaga como pesquisadora. Após a morte de seu pai, em 1752,
abandonou a vida acadêmica e se dedicou a religião. Fundou uma casa de caridade
e ali trabalhou até sua morte, em 1799, com 81 anos de idade. Agnesi ficou
conhecida por uma curva de 3º grau chamada "Curva de Agnesi". Muitos nunca
souberam que Agnesi se tratava de uma mulher.
Emmy Noether (1882 -1935): A discriminação institucionalizada contra as
mulheres continuou até o século XX, quando Emmy Noether foi descrita por Einstein
como “ o mais significante gênio matemático criativo já produzido desde que as
mulheres começaram a cursar os estudos superiores“, e teve negado seu pedido
para dar aulas na Universidade de Göttingen. Elaborou o Teorema de Noether, que
explica as relações entre simetria e as leis de conservação em Física Teórica.
Marie Sophie Germain nasceu em Paris em 1776. Vivia confinada na
biblioteca da família a estudar. Decidiu estudar matemática após ler a história da
morte de Arquimedes, o qual foi morto por soldados quando absorto desenhava
figuras geométricas na areia. Autodidata do latim e do grego estudou trabalhos de
Newton e Euller. Por ser mulher, não pode estudar a Escola Politécnica de Paris,
contudo conseguiu algumas notas de aula de Análise que Lagrange ministrara lá, e
sob pseudônimo de M. Le Blanc, enviou notas de Análise que havia escrito para ele,
o qual ficou impressionado com o escrito e, a partir daí, tornou-se mentor
matemático de Blanc. Sophie se comunicou com muitos cientistas, entre os quais
podemos citar Legendre e Gauss. Na invasão de Napoleão Hannover, próximo de
onde Gauss estava, Sophie conseguiu contato com um General do Exército amigo
da família e conseguiu que Gauss fosse protegido. Gauss não entendeu nada, já
que não conhecia nenhuma Mademoiselle Germain. Após ser esclarecido dos fatos,
130
Gauss escreveu uma carta de agradecimento a Sophie e tentou persuadir a
Universidade de Göttingen para conceder-lhe um doutorado honoris causa, contudo
ela morreu antes que isso pudesse acontecer. Sophie também resolveu alguns
casos particulares do "Ultimo Teorema de Fermat". Somente uma mulher conseguiu
escapar da prisão imposta pela sociedade francesa em parte do século XVIII e XIX,
firmando-se como uma grande teórica dos números. Sophie Germain revolucionou o
estudo do Último Teorema de Fermat e fez uma contribuição ainda maior do que
todos os homens que a antecederam. No início do século XIX o Último Teorema de
Fermat era o mais famoso problema da Teoria dos Números. Muitos matemáticos,
inclusive Euler, tinham fracassado ao tentar demonstrá-lo gerando um certo
desânimo. Todavia, uma descoberta de Marie Sophie Germain fez com que os
matemáticos retomassem a busca pela demonstração. O teorema enunciado por
Sophie Germain diz que “ se p é um primo de modo que 2p+1 também seja primo,
então não existem inteiros x, y e z, diferentes de zero e não múltiplos de p, tais que
x^p + y^p = z^p“. Os números p tais que 2p + 1 é primo são conhecidos como primos
de Sophie Germain. Esse resultado causou um choque no estudo do Último
Teorema de Fermat e era superior aos obtidos pelos matemáticos da época. O
choque não foi apenas matemático, mas social também, pois Sophie Germain teve
que adotar um pseudônimo
masculino Antoine August Le-Blanc para ser aceita
pelos matemáticos. Durante muito tempo Sophie Germain se correspondeu com Carl
Friedrich Gauss (1777 – 1855) usando pseudônimo masculino. Porém, em 1807 ela
revelou sua identidade e
Gauss escreveu-lhe uma carta encantadora. Outro
matemático da época que a aprovou foi Adrien-Marie Legendre ( 1752 – 1833).
Acredita-se que existem infinitos primos de Sophie Germain.
Nascida na Escócia, em 1780, Mary Fairfax Greig Somerville teve seu
primeiro contato com uma escola aos 10 anos, onde aprendeu o necessário para
uma mulher da época. Contudo, Somerville, curiosa para saber o que eram aqueles
símbolos que apareciam nas revistas de moda feminina, apenas descobriu que se
tratava de uma aritmética que usava letras ao invés de números. Por intermédio de
seu irmão mais novo, conseguiu um exemplar dos Elementos de Euclides e um
exemplar da Álgebra de Bonnycastle.
Mesmo com a indignação do pai em estudar matemática, Somerville estudou
131
Newton e Laplace, entre outros. Foi a primeira mulher a ser admitida na Sociedade
Real Inglesa de Astronomia. Morreu em 1872, com 92 anos de idade quando estava
analisando um problema de Álgebra Abstrata.
Sofia Vasilyevna Kovalevskaja foi a primeira mulher a ser nomeada para a
Academia de Ciências da Russia. Nasceu em 1850 em Moscovo, na Russia. Atuou
como professora em Estocolmo, sendo que, quando aluna, assitia aulas
informalmente na Universidade de Moscovo, a qual não aceitava matricular
mulheres na época. Em Berlim, estudou com Karl Weierstrass e ao retornar a
Russia, passou por dificuldades financeiras, quando seu marido se suicídou. Após
cinco anos de afastamento, e dois anos alocada na Academia de Ciências da
cidade, foi convidada para lecionar na Universidade de Estocolmo.
Suas principais contribuições foram nas áreas de derivadas parciais e
funções abelianas. Nascida em Erlangen, na Alemanha, em 1882, Emmy Noether
era filha de um professor de matemática, foi umas das maiores matemáticas da
época se destancando principalmente na área de algebra moderna.
Emmy obteve permissão para frequentar as aulas, primeiro em Erlangen e
depois em Göttingen. Foi a segunda mulher a obter um doutorado, após Sofia
apenas. Sua tese abordou a teoria dos invariantes aplicada ao teorema de Hilbert.
Foi admitia no corpo docente dos quadros de Göttingen em 1919, após muita
insistência por parte de Hilbert e dos outros matemáticos da universidade.
Fontes: http://www.acheiox.com.br/mulheres-matematicas/
http://www.artigonal.com/ensino-superior-artigos/a-mulher-e-a-historia-da-matematica-atraves-dos-tempos2528967.html
132
17.5 ANEXO E
Texto Informativo sobre a historia do π
O dia 14 de março é chamado do dia do Pi, no Brasil é escrevemos como
14/3, porém nos Estados Unidos esse dia é escrito de maneira inversa 03/14. Mas
afinal quem é esse pi? É um número especial, uma constante Pi começa como
3,1496... é a razão entre o perímetro e o diâmetro de um círculo. O momento pi
definitivo da história foi em 14 de março de 1592 às 6:53 e 58 segundos,
corresponde aos doze dígitos do número 3.14159265358... .
A primeira comemoração do Dia do Pi foi no Exploratorium de São Francisco
em 1988, e foi criada pelo Físico Larry Shaw, atualmente está aposentado mas se
sustenta com essas celebrações. Logo após a solenidade foram servidas tortas
redondas e pizzas, com pessoas marchando em círculos para celebrar este dia. Mas
esta data só foi reconhecida em 2009 como o Dia Nacional do Pi, mas não é valida
em todos os países, os ocidentais comemoram no dia 22/07, ela representa a
aproximação fracional do Pi,
22
= 3,14, que é próximo do número cabalístico, ou
7
no dia 10 de novembro, que é o 314º dia do ano. O número π também foi calculado
por várias outras civilizações antigas, sendo conhecidos nos estudos de Arquimedes
(287/212 a.C.), Tsu Chung-Chi (430/501 d.C.). Chineses, Hindus e árabes também
realizaram cálculos importantes para a determinação de uma aproximação de π na
antiguidade. A história do cálculo de π tem registros desde a Babilônia (1800 a.C)
que consideravam o valor
3 como uma boa aproximação. Em 1700 a.C.,
matemáticos no Egito antigo descobriram que a razão entre o comprimento de uma
circunferência e seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência. Eles
definiram o que chamamos hoje de π como um número "um pouco maior que 3",
chegando a aproximação de que um círculo de diâmetro 9 unidades tem a mesma
área de um quadrado cujo lado tem 8 unidades ( π = 3,1228), com um erro inferior a
1% 1. Ainda no Egito, o papiro de Ahmes, (cerca de 1600 a.C.) dá o valor 3,16 para
a constante π .
Matematicamente falando, definimos o π como uma proporção numérica
133
entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro, ou seja, se a circunferência
p
. A origem de seu nome veio da
d
tiver perímetro igual a P e diâmetro d , o π será
palavra grega, "περίμετρος", que significa perímetro. Historiadores acreditam que foi
William Jones o responsável por esse nome em 1706, porém sua popularização
ocorreu por Leonhard Euler anos mais tarde.
Questões sem resposta
A questão em aberto mais importante é a de saber se π é um número
normal, isto é, se qualquer sucessão de algarismos aparece nas decimais de π ,
como seria de se esperar em uma sequência infinita e completamente aleatória de
algarismos. Isso deveria ser verdadeiro em qualquer base, e não somente na base
10. Também não se sabe que algarismos aparecem um número infinito de vezes na
constituição de π . A principal razão é que π não é uma fração, se π pudesse ser
escrito como uma fração
m
, seu cálculo poderia se resumir em buscar do valor de
n
tais números inteiros m e n, ou explorar a periodicidade de sua representação
decimal (por exemplo, se fosse verdade que π =
22
= 3.142857 142857 142857 ...,
7
então nos bastaria achar o valor da parte inteira, 3, e o bloco 142857 que se repete
indefinidamente). O fato de que, por mais de 2000 anos, ninguém tivesse
conseguido explorar nenhuma das duas possibilidades acima é exatamente o que
sugeriu que π não deva ser uma fração. A verificação rigorosa desse fato, ou seja,
a demonstração da irracionalidade de π , veio só com Lambert, em 1761. Em
verdade, por si só, a irracionalidade de π não seria suficiente para determinar a
dificuldade de seu cálculo, existem irracionais de representação decimal previsível, e
fáceis de calcular, como é o caso de 3.10110111011110... . Já o π é difícil de
calcular porque é um irracional imprevisível e sua representação decimal não mostra
nenhuma
previsibilidade,
acredita-se
que
seus
algarismos
se
distribuam
aleatoriamente.
O mais antigo matemático que se preocupou com a obtenção de
134
aproximações práticas do π , foi Arquimedes 200 a. C, em seu trabalho sobre a
medida do círculo, usando o método dos polígonos, na proposição desse trabalho
ele mostra que se pegarmos em um círculo de qualquer medida, medirmos o seu
contorno(circunferência), e dividirmos pelo seu centro(diâmetro), encontraremos um
número constante, chama-se pi, representado pela letra grega π ,
c
= 3,14........ O
d
diâmetro é um segmento de reta com origem na circunferência (corda) que passa
pelo seu centro. A circunferência de qualquer círculo é maior do que três vezes seu
diâmetro, e o excesso é menor do que a sétima parte do diâmetro e maior do que
dez vezes sua septuagésima primeira parte ou seja: 3.
10
1
< π < 3 , equivale em
71
7
frações decimais igual a 3, 1408< π < 3,1428.
Mas de onde surgiu à ideia de calcular o pi?
Desde a Antiguidade, o homem percebeu que esta divisão (circunferência
pelo diâmetro) era um número fixo. Foram encontradas várias aproximações de pi
para o cálculo da área do círculo. Entre os egípcios por exemplo, no papiro de
Ahmes, o valor atribuído a
3.
π
seria
4
3
3
( ) , embora também seja encontrado o valor
1
. Até na Bíblia existe uma referência sobre esta relação entre a circunferência e
6
o diâmetro. Numa passagem, conta-se que o rei Salomão mandou que um artesão
de nome Hirão, especialista em trabalhos em bronze, fizesse um trabalho num
templo em Jerusalém, construído entre 1014 e 1007 a.C., consta a descrição de um
tipo de reservatório de forma circular: Esta referência na magnitude do valor do
π,
esta em I REIS (7:23-27) e em II CRÔNICAS (4:2).
“E passou a fazer o mar de fundição, dez côvados de borda à sua outra
borda, circular em volta; e tinha a altura de cinco côvados, e requeria um
cordel de trinta côvados pra circundá-lo em toda a volta” nessa divisão
encontra se o valor 3, já um valor aproximação do pi.
135
O côvado era uma unidade de comprimento adotada na época, é possível
encontrar que os hebreus utilizavam o valor 3, como aproximação de pi. Entre os
babilônios, era comum o uso do valor 3, para calcular a área do círculo apesar de o
valor 3.
1
já ser conhecido como aproximação. “...dez côvados de borda a borda...”
8
– diâmetro = 10 “..requeria um cordel de trinta côvados para circundá-lo em toda a
volta.” – circunferência = 30. De acordo com a Bíblia o perímetro da circunferência é
igual a 3 vezes a medida do diâmetro. C = 3.d, ou: a razão entre o perímetro do
comprimento c e o diâmetro d é igual a
c
=3. Portanto, já há alguns milênios, que a
d
razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência é um número constante,
ou seja tem sempre o mesmo valor.
A descoberta de que pi é um número irracional (infinitas casas decimais,
não pode ser colocado na forma de fração) só aconteceu no século XVII (isto quer
dizer, que durante mais de 2.000 anos, muitos matemáticos tentavam achar o valor
exato de pi, o que é impossível). Uma vez que pi é um número irracional, seu uso
prático só é possível através de valores aproximados. Num papiro egípcio, atribuído
ao escriba Ahmes, o valor da área do círculo é calculada a partir da fração
aproximadamente 3,16 . Os povos da Mesopotâmia Antiga usaram p=
Arquimedes usou a fração
256
é
81
25
. Já
8
22
como valor para a constante pi. Arquimedes foi mais
7
longe, e descobriu que o valor de pi é um número que está entre as frações
223 220
e
(os antigos não conheciam números decimais, só frações). Para chegar
71
70
a esse grau de precisão, Arquimedes construiu um polígono regular de 96 lados. Tal
polígono estava muito próximo de uma circunferência, então calculou a razão do
perímetro do polígono de 96 lados pelo diâmetro. Note que quanto maior o número e
lados, mais o perímetro do polígono se aproxima do perímetro da circunferência.
Geômetras chineses encontraram uma fração que dava um valor mais preciso
136
para π =
355
. Mais foi somente em 1761 que o francês Lambert provou que pi é
113
um número irracional, ou seja, tem uma expansão decimal infinita e não periódica.
Em outubro de 1995, os japoneses Yasumasa Kanata e Yoshiaki Tamura,
da Universidade de Tóquio, calcularam o número pi com 6.442.450.938 de casas
decimais, auxiliados por um potente computador. Estes dois matemáticos desde
1981 se empenham em calcular casas decimais do número pi, começaram
calculando “apenas” 2 milhões de casas decimais. De 20 de junho de até 26 de
setembro de 1999, Kanada e Daisuke Takahashi, calcularam o pi com
206.168.430.000 casas decimais, usando um computador Hitachi SR 8000. Uma vez
que pi é um número irracional e só é possível trabalhar com aproximações, não é
necessário memorizar mais do que 2 ou 4 casas decimais, pois para a maioria das
atividades escolares use-se valor aproximado pi=3,14. Operações matemáticas que
dependem de π para algumas aplicações do pi, se tivermos a medida do raio r de
um círculo, seu perímetro c mede c=2. π .r. No mesmo caso, a área S do círculo
mede S= π .r². O volume de um cilindro de altura h e raio da base r é V = π .r.h. O
1
volume de um cone de altura h e raio da base r é V= . π . r . h . O volume de uma
3
4
3
esfera é de raio r é V= . π . r .
3
“Arquimedes usou o método da exaustão: precursor dos métodos do cálculo
diferencial (limites, derivadas, essas coisas...) para tentar calcular o valor de π
preenchendo o círculo com polígonos de um número cada vez maior de lados. O
quociente formado pela área desses polígonos dividido pelo quadrado do raio do
círculo pode ser tão arbitrariamente próximo do real valor de π tanto quanto for
grande o número de lados do polígono. ”Arquimedes foi um dos maiores
matemático, físico e inventor grego,
um dos mais importantes cientistas e
matemáticos da Antiguidade.
137
Fonte das figuras: http://divulgarciencia.com/categoria/pi/
Onde se encontrar o pi?
Se pegarmos em um círculo de qualquer medida, medirmos o seu
Diâmetro
contorno(circunferência), dividirmos pelo seu centro (diâmetro),
encontraremos um número constante, chamado pi, representado
pela letra grega π .
C
=3,14.....O diâmetro é um segmento de reta
D
com origem na circunferência (corda) que passa pelo seu centro. A circunferência de
qualquer círculo é maior do que três vezes seu diâmetro, e o excesso é menor do
que a sétima parte do diâmetro e maior do que dez vezes sua septuagésima
primeira parte, ou seja 3.
10
1
< π < 3. , o equivale a dizer, em frações decimais:
71
7
3.1408< π < 3.1428.
Uma aproximação do Pi com 100 casas decimais:
3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307
8164062862089986280348253421170679...
Em outubro de 1995, os japoneses Yasumasa Kanata e Yoshiaki Tamura,
da Universidade de Tóquio, calcularam o número pi com 6.442.450.938 de casas
decimais, auxiliados por um potente computador. Estes dois matemáticos desde
1981 se empenham em calcular casas decimais do número pi, começaram
calculando “apenas” 2 milhões de casas decimais. De 20 de junho de até 26 de
setembro de 1999, Kanada e Daisuke Takahashi, calcularam o pi com
206.168.430.000 casas decimais, usando um computador Hitachi SR 8000. Uma vez
que pi é um número irracional e só é possível trabalhar com aproximações, não é
necessário memorizar mais do que 2 ou 4 casas decimais, pois para a maioria das
atividades escolares use o valor aproximado p=3,14. Operações matemáticas que
dependem de π . Se tivermos a medida do raio r de um círculo, seu perímetro c
mede c = 2. π .r. ·No mesmo caso, a área S do círculo mede S= π .r². O volume de
138
um cilindro de altura h e raio da base r é V= π .r².h ·O volume de um cone de altura h
1
4
V= . π . r² . h
S= . π . r 3
3
3
e raio da base R é
. O volume de uma esfera de raio r é
.
Curiosidades sobre o pi
No famoso Guiness Book – o livro dos Recordes, existe uma seção para
“Valor mais preciso de pi”, todos os anos, aparece um novo valor, calculado por
Kanada e Tamura. Apesar destes matemáticos se empenharem em bater recordes
das casas decimais de pi, hoje não há mais utilidade em calcular tantas casas, já
que é sabido que existem infinitas e existem métodos para calcular estas casas
decimais. Calcular pi com muitas casas hoje é brincadeira. Em 1615, o matemático
Ludolph Van Ceulen calculou o pi com 35 casas decimais precisas usando um
polígono de 15 quadrilhões de lados. O trabalho foi tanto que ele mandou gravar as
35 casas decimais do pi em seu túmulo. O matemático Leonardo Euler disse que os
números mais famosos do número eram o pi, o e (outro número irracional), o i
(número complexo), o 0 e o 1 eram os números mais importantes e elaborou a
expressão e ip +1=0 . E dizia que com esta expressão Deus criou o mundo.
Na música ele foi usado na obra de Michael Blake, através de uma
composição feita pelos algarismos do número Pi. A obra se chama "What Pi Sounds
Like".
Para
cessar
o
vídeo
da
música:
http://www.youtube.com/watch?
feature=player_embedded&v=XRM4h0tquCw#!
Outra aplicação do Pi é feita em computadores. Como sua representação é
infinita, ela demanda uma quantidade de memória quase infinita em um computador.
Por isso o Pi, precisa ser calculado pelas máquinas com uma certa rapidez, e tal
rapidez gera um relatório bastante preciso do quanto o processador pode fazer em
um determinado espaço de tempo.
Mais curiosidades sobre o pi
Fonte: http://www.slideshare.net/sonita131/curiosidades-sobre-o-nmero-pi
139
Fonte de vídeo sobre o pi. http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=TlY-Sh9Rzas
Software para encontrar seu nome, no interior do número do pi.
Fonte: http://www.atractor.pt/fromPI/index.html
Software para descobrir a data de aniversário.
Fonte: http://mj-matemagia.blogspot.com.br/2012/03/o-teu-aniversario-no-pi.html
Fonte: http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=kZSHr5E7fZY#!
Utilidades feitas com o pi
Bracelete com os dígitos do pi
Cortador de pizzas
Forma de gelo no formato de pi
Cantil para bebidas
140
Fonte dos desenhos: http://ubmatematica.blogspot.com.br/2012/03/dia-do-pi-2012-uma-homenagem-da-ubm.html
Fonte:http://tallis-shop.loja2.com.br/10555-Perfume-Givenchy-Pi-Neo-30-Ml-Masculino-Curitiba
Fonte: http://www.catapreco.com.br/perfume-givenchy-pi-eau-de-toilette-masculino-50-ml_CP-1477359#rmcl
Além do pi tem Celebridades aniversariando neste Dia
Além das celebrações no mundo todo sobre o número Pi, comemora-se a
data de nascimento de um gênio, uma das maiores mentes humanas de todos os
tempos - Albert Einstein. Nasceu em 14 de março de 1879 em Ulm, Württemberg,
Alemanha e Faleceu em 18 de abril de 1955 em Princeton, New Jersey, EUA. Cerca
de 1886 Albert Einstein iniciou a sua carreira escolar, em Munique. Assim como as
lições de violino que ele tinha de seis a treze anos de idade, ele também teve
educação religiosa em casa, onde foi ensinado o judaísmo. Dois anos mais tarde ele
entrou no Luitpold Gymnasium e depois desta sua educação religiosa foi dada na
escola. Ele estudou matemática, em particular o Cálculo, começando por volta de
1891.
Em 1894 a família de Einstein mudou-se para Milão, mas Einstein
permaneceu em Munique. Em 1895, Einstein falhou um exame que teria lhe permitiu
estudar para um diploma de engenheiro elétrico no Eidgenössische Technische
Hochschule, em Zurique. Einstein renunciou a cidadania alemã em 1896 e ficou sem
pátria por muitos anos. Após a falha do vestibular para o ETH, Einstein frequentou a
escola secundária em Aarau planejando usar esta via para entrar na ETH em
Zurique. Enquanto em Aarau, ele escreveu um ensaio, em que ele escreveu sobre
seus planos para o futuro.
“Se eu tivesse a sorte de passar nos meus exames, iria para Zurique.
Gostaria de ficar lá por quatro anos para estudar matemática e física.
Imagino-me tornando professor naqueles ramos das ciências naturais,
141
escolhendo a parte teórica deles. Aqui estão as razões que me levam a
este plano. Acima de tudo, é minha disposição para o pensamento abstrato
e matemático, e minha falta de imaginação e habilidade prática” . (Albert
Einstein)
Fonte dos Textos acessado em 15/11/2012
http://www.geocities.ws/ommalbatahan/pi.htm
http://www.tecmundo.com.br/curiosidade/9077-dia-do-pi-comemore-voce-tambem.htm
http://pt.wikipedia.org/wiki/Pi
Matemáticos Acreditam que o Número PI está Errado!
Esse é o título sensacionalista que está sendo difundido pela
Internet. O número π não está errado. Na verdade, querem
dizer que a relação entre a circunferência e o diâmetro não
seria a melhor relação
a ser utilizada, mas sim a
circunferência pelo raio. Isso nos levaria a um valor igual a 2.
π . “Eu sei que vai ser chamado de blasfêmia por alguns, mas acredito que PI está
errado.” Essa é a linha de abertura de um ensaio escrito pelo matemático Bob
Palais, da Universidade de Utah. Argumenta que durante milhares de anos, os seres
humanos concentram sua atenção e adulação sobre uma constante matemática
errada. A constante, que hoje é obtida pela relação da circunferência pelo diâmetro
(3,1415) deveria ser o dobro, obtida pela relação entre a circunferência e o raio
(6,283). Apoiá-se no ponto que o raio é muito mais relevante que o diâmetro, em
Geometria. Em 2010, os seguidores de Palais deram um nome à nova constante
equivalente a 2. π =TAU ( τ ). Desde então o movimento TAU tem crescido
constantemente com a esperança de que π seja substituído por τ. Vejam o vídeo
produzido por Kevin Houston, da Universidade de Leeds, onde pretende explicar as
vantagens de se usar TAU a PI. Houston diz ainda que uma mudança como esta
seria gradual, devido ao fato de PI estar enraizada em nossa cultura matemática e
seria impossível sucumbir ao TAU da noite para o dia. Vejam também os vídeos
sobre a Música do PI e a Música do TAU: A meu ver, só querem utilizar τ para
facilitar a escrita, já que substitui 2. π . No entanto, TAU não muda quaisquer
resultados físicos ou matemáticos, apenas fornece uma métrica mais intuitiva, mas
142
também é questionável. Sem falar que se TAU fosse adotado como substituição de
PI, teríamos que reimprimir milhões de livros que implicaria no consumo
desnecessário de recursos naturais. O que vocês acham?
143
17.6 ANEXO F
História da Páscoa
Páscoa (do hebraico Pessach, significando passagem através do grego
Πάσχα) é um evento religioso cristão, normalmente considerado pelas igrejas
ligadas a esta corrente religiosa como a maior e a mais importante festa da
Cristandade. Na Páscoa os cristãos celebram a Ressurreição de Jesus Cristo depois
da sua morte por crucificação que teria ocorrido nesta época do ano em 30 ou 33
d.C. A Páscoa pode cair em uma data, entre 22 de março e 25 de abril. O termo
pode referir-se também ao período do ano canônico que dura cerca de dois meses,
desde o domingo de Páscoa até ao Pentecostes. A Páscoa sendo a principal festa
dos judeus, celebra-se o êxodo e a libertação do povo de Israel da escravidão a que
foi sujeito pelos egípcios.
Durante a Semana Santa acontecem procissões e
novenas que representam os momentos mais dolorosos da vida de Jesus. Os rituais
normalmente representam a Crucificação, a Morte e a Ressurreição de Cristo. O
domingo anterior ao domingo de Páscoa é o domingo de Ramos, e é quando se
benzem os ramos de palmeiras e se celebra a entrada de Jesus Cristo em
Jerusalém. Em muitas regiões do Mundo, a Sexta-feira Santa e o Domingo de
Páscoa são celebrados com manifestações de figurantes vestidos como no tempo
de
Jesus
ou
com
imagens
de
Jesus
crucificado.
Fonte
do
texto:
http://www.fontedeluz.com/index.php?ver=2&id=878
Origem do nome
Os eventos da Páscoa teriam ocorrido durante o Pesah, data em que os
judeus comemoram a libertação e fuga de seu povo escravizado no Egito.
A palavra Páscoa advém, exatamente do nome em hebraico da festa judaica
à qual a Páscoa cristã está intimamente ligada, não só pelo sentido simbólico de
“passagem”, comum às celebrações pagãs (passagem do inverno para a primavera)
e judaicas (da escravatura no Egito para a liberdade na Terra prometida), mas
também pela posição da Páscoa no calendário, segundo os cálculos que se indicam
a seguir. No português, como em muitas outras línguas, a palavra Páscoa origina-se
144
do hebraico Pesah. Os espanhóis chamam a festa de Pascua, os italianos de
Pasqua e os franceses de Pâques. Os termos "Easter" (Ishtar) e "Ostern" (em inglês
e alemão, respectivamente) parecem não ter qualquer relação etimológica com o
Pessach (Páscoa). As hipóteses mais aceitas relacionam os termos com
Estremonat, nome de um antigo mês germânico, ou de Eostre, uma deusa
germânica relacionada com a primavera que era homenageada todos os anos, no
mês de Eostremonat, de acordo com o Venerável Beda, historiador inglês do século
VII. Porém, é importante mencionar que Ishtar é cognata de Inanna e Astarte
(Mitologia Suméria e Mitologia Fenícia), ambas ligadas a fertilidade, das quais
provavelmente o mito de "Ostern", e consequentemente a Páscoa (direta e
indiretamente), tiveram notórias influências.
A Páscoa cristã celebra a Ressurreição de Jesus Cristo. Depois de morrer
na cruz, seu corpo foi colocado em um sepulcro, onde ali permaneceu por três dias,
até sua ressurreição. É o dia santo mais importante da religião cristã. Muitos
costumes ligados ao período pascal originam-se dos festivais pagãos da primavera.
Outros vêm da celebração do Pessach, ou Passover, a Páscoa judaica, que é uma
das mais importantes festas do calendário judaico, celebrada por 8 dias e onde é
comemorado o êxodo dos israelitas do Egito, da escravidão para a liberdade. Um
ritual de passagem, assim como a "passagem" de Cristo, da morte para a vida.
A última ceia partilhada por Jesus Cristo e seus discípulos é narrada nos
Evangelhos e é considerada, geralmente, um “sêder do pesach” – a refeição ritual
que acompanha a festividade judaica, se nos ativermos à cronologia proposta pelos
Evangelhos sinópticos. O Evangelho de João propõe uma cronologia distinta, ao
situar a morte de Cristo por altura da hecatombe dos cordeiros do Pessach. Assim, a
última ceia teria ocorrido um pouco antes desta mesma festividade.
A festa tradicional associa a imagem do coelho, um símbolo de fertilidade, e
ovos pintados com cores brilhantes, representando a luz solar, dados como
presentes. De fato, para entender o significado da Páscoa cristã atual, é necessário
voltar para a Idade Média e lembrar os antigos povos pagãos europeus que, nesta
época do ano, homenageavam Ostera, ou Esther – em inglês, Easter quer dizer
Páscoa. Ostera (ou Ostara) é a deusa da Primavera, que segura um ovo em sua
mão e observa um coelho, símbolo da fertilidade, pulando alegremente em redor de
145
seus pés nus. A deusa e o ovo que carrega são símbolos da chegada de uma nova
vida. Ostara equivale, na mitologia grega, a Deméter. Na mitologia romana, é Ceres.
Segundo a Bíblia (Livro do Êxodo), Deus mandou 10 pragas sobre o Egito.
Na última delas (Êxodo cap 12), disse Moisés que todos os primogênitos egípcios
seriam exterminados (com a passagem do anjo da morte por sobre suas casas),
mas os de Israel seriam poupados. Para isso, o povo de Israel deveria imolar um
cordeiro, passar o sangue do cordeiro imolado sobre as portas de suas casas, e o
anjo passaria por elas sem ferir seus primogênitos. Todos os demais primogênitos do
Egito foram mortos, do filho do Faraó aos filhos dos prisioneiros. Isso causou intenso
clamor dentre o povo egípcio, que culminou com a decisão do Faraó de libertar o
povo de Israel, dando início ao Êxodo de Israel para a Terra Prometida. A Bíblia
judaica institui a celebração do Pessach em Êxodo 12, 14: Conservareis a memória
daquele dia, celebrando-o como uma festa em honra de Adonai: Fareis isto de
geração em geração, pois é uma instituição perpétua .
Tradições pagãs na Páscoa - A Tradição do Ovo
Na Páscoa, é comum a prática de pintar ovos cozidos, decorando-os com
desenhos e formas abstratas; em grande parte dos países ainda é um costume
comum, embora que em outros, os ovos tenham sido substituídos por ovos de
chocolate. No entanto, o costume não é citado na Bíblia e portanto, este é uma
alusão a antigos rituais pagãos. A primavera, lebres e ovos pintados com runas eram
os símbolos da fertilidade e renovação associados a deusa nórdica Gefjun.
O ovo é um dos mais antigos símbolos da Páscoa. Significa fertilidade e
recomeço da vida. Alguns historiadores garantem que o costume de cozinhar e
depois colorir ovos de galinha para depois presenteá-los surgiu entre os antigos
egípcios, persas e algumas tribos germânicas. Hoje atribui-se aos chineses o
costume milenar de presentear parentes e amigos com ovos nas festas de
primavera. Mas foram os reis e príncipes da Antiguidade que confeccionaram ovos
de prata e ouro recobertos de pedras preciosas. O povo, sem recursos para tais
luxos, manteve a tradição de presentear ovos de galinha confeccionados.
Fonte: http://www.fontedeluz.com/index.php?ver=2&id=878
146
A tradição do Coelho
No antigo Egito, o coelho era o símbolo da fertilidade. Por ser um animal que
apresenta condições de gerar grandes ninhadas, a imagem do coelho simboliza a
capacidade da Igreja de produzir novos discípulos constantemente. A lebre (e não o
coelho) era o símbolo de Gefjun. Suas sacerdotisas eram ditas capazes de prever o
futuro observando as entranhas de uma lebre sacrificada. Claro que a versão
“coelhinho da páscoa, que trazes pra mim?” é bem mais comercialmente
interessante do que “Lebre de Eostre, o que suas entranhas trazem de sorte para
mim?”, que é a versão original desta rima.A lebre de Eostre pode ser vista na Lua
cheia e, portanto, era naturalmente associada à Lua e às deusas lunares da
fertilidade. Seus cultos pagãos foram absorvidos e misturados pelas comemorações
judaico-cristãs, dando início a Páscoa comemorado na maior parte do mundo
contemporâneo. Fonte do Texto: http://pt.wikipedia.org/wiki/P%C3%A1Pascoa
As festividades de páscoa em alguns países do mundo
A Páscoa festeja-se em todo o mundo, mas nem sempre da mesma maneira
e muitas vezes com significado diferente, no Brasil e América Latina - As crianças
montam os seus próprios ninhos de Páscoa, sejam de vime, madeira ou papelão, e
enchem-nos de palha ou papel picado. Os ninhos são deixados num certo sítio para
o coelhinho colocar doces e ovinhos na madrugada de Páscoa. A "caça ao ovo" ou
"caça ao cestinho" também é uma brincadeira utilizada. Na China - O "Ching-Ming" é
uma festividade que ocorre na altura da Páscoa, onde são visitados os túmulos dos
ancestrais e feitas oferendas, na forma de refeições e doces, para que estes fiquem
satisfeitos com os seus descendentes. Na Europa Central - Os festejos remontam
aos antigos rituais pagãos do início da Primavera. A tradição da Páscoa inclui a
oferta de amêndoas e a decoração de ovos cozidos com os quais são presenteados
os familiares e amigos mais próximos. Também são feitas brincadeiras com ovos da
Páscoa como, rolá-los ladeira abaixo, onde será vencedor aquele ovo que conseguir
chegar mais longe sem partir. Na Europa do Leste - (Ucrânia, Estónia, Lituânia e
147
Rússia) - Faz-se a decoração de ovos com os quais se presenteiam os amigos e os
parentes. A tradição diz que, se as crianças forem bem comportadas, deixam na
noite anterior ao domingo de Páscoa um boné de tecido num lugar escondido, e o
coelho deixará doces e ovos coloridos nesses "ninhos". Estados Unidos da América
- A brincadeira mais tradicional é a "caça ao ovo", onde os ovos de chocolate são
escondidos pelo quintal ou pela casa para serem descobertos pelas crianças na
manhã de Páscoa. Em algumas cidades a "caça ao ovo" é um evento da
comunidade e é usada uma praça pública para esconder os ovinhos.
Fonte: http://www.fontedeluz.com/index.php?ver=2&id=878
Saudação pascal em diversas línguas:
Em Português FELIZ PÁSCOA! ,
Na Tchecoslováquia VESELE VANOCE!,
Na Alemanha SCHÖNE OSTERN!,
Na Itália BUONA PASQUA!,
Na Macedônia SREKEN VELIGDEN!,
Em Inglês HAPPY EASTER!,
Na França JOYEUSES PÂQUES!,
Na Grécia KALO PASKA!,
Na China FOUAI HWO GIE QUAI LE!,
Em Árabe EID-FOSS'H MUBARAK!,
Na Croácia SRETUN USKRS!
148
17.7 ANEXO G
Texto Informativo - Dia Nacional da Matemática
A comemoração do Dia Nacional da Matemática foi instituída para
homenagear o educador matemático e escritor brasileiro Julio Cesar de Mello e
Souza, professor ousado para sua época, ele gostava de ir além do ensino teórico e
expositivo, elaborava enigmas para iniciar suas explicações dando vida a aula,
nunca atribuía nota zero aos seus estudantes, dizia que existem outras notas, era
contra reprovações e criticava duramente professores de matemática, alegando que
em geral são uns sádicos tendo prazer em complicar tudo. Travou uma luta para
mostrar que é possível aprender os conteúdos de matemática de maneira lúdica,
através de suas historias tentava derrubar o mito que aprender matemática é difícil,
sendo para poucos, com essa intenção divulgou a disciplina de maneira positiva,
sendo uma área de conhecimento importante na formação do raciocínio, na
construção da história, suas aplicações no cotidiano, e sua ligação com outras áreas
de conhecimento. Dizia que os números são como seres vivos, alegres e bem
humorados, frações tristes, multiplicações carrancudas e tabuadas sonolentas.
Em suas obras, é possível aprender conceitos de Matemática de maneira
divertida, numa desafiante aventura quando estudada de forma dinâmica e criativa.
Contribuiu para o desenvolvimento da educação matemática, ao exercer atividades
de ensino e pesquisa, em seus 50 anos de atividades literárias publicou centenas de
livros, vários referentes à Matemática.
A iniciativa de instituir o dia 6 de maio como Dia Nacional da Matemática,
partiu da comissão organizadora do Centenário de Malba Tahan em 1995, formada
por Pedro Paulo Salles (educador musical e sobrinho neto), André Pereira
(historiador e neto), professor Bigode, Valdemar Vello (editor e especialista em
Malba Tahan) e Atílio Bari (teatrólogo), todos conhecedores de sua vida e obras.
Esta escolha se deu por coincidir com o aniversário de nascimento de Júlio César de
Mello e Souza, nascido em 06 de maio 1895 no Rio de Janeiro, criado em Queluz,
interior de São Paulo, teve 8 irmãos e uma infância pobre, ainda criança já redigia
com facilidade, tendo fundado no colegial o “Erre” seu próprio jornal manuscrito,
149
tiragem limitada a um único exemplar.
Essa proposta sobre a comemoração do Dia Nacional da Matemática, foi
apresentada pelo educador Darcy Ribeiro, na época ele era senador pelo estado do
Rio de Janeiro e pela Câmara Municipal de São Paulo. Mais tarde a direção da
SBEM deu continuidade à campanha, que acabou sendo aprovado na Câmara
Federal. Este dia foi instituído em 2004, com um Projeto de Lei nº 3.482/2004, de
autoria da deputada professora Raquel Teixeira PSDB-Goias em tramitação no
Senado, foi aprovado por unanimidade pela Comissão de Educação e Cultura,
encontra-se desde 2008, na Comissão de Constituição e Justiça para homologação
final.
Recentemente a Assembleia Legislativa da Bahia também instituiu a data,
que tem entre seus objetivos mobilizar alunos e professores para desenvolver
projetos, explorar e promover a matemática em suas várias dimensões entre elas a
recreativa, a cultura, a utilitária e outras que lhe dão significado.
Julio Cesar de Mello e Souza, formou-se professor primário, seu interesse
pelo magistério, pode ter nascido da influencia de seus pais, ambos professores de
primeiro grau. Começou a lecionar aos 18 anos, ensinava nas turmas suplementares
no Colégio D. Pedro II, passando por escolas particulares, oficiais e profissionais,
ensinou para delinquentes. Formou-se em Engenharia, esta formação lhe deu a
oportunidade de chegar ao magistério superior. Foi professor catedrático e emérito,
mesmo o pai desejando que seguisse a carreira militar.
Casou-se com uma ex-aluna e tiveram 3 filhos, gostava de fazer a barba e
cortar os cabelos diariamente, auxilava as vítimas de hanseníase, a ponto de sua
esposa dizer que ele conhecia mais doentes que gente sadia. Andava pela casa,
madrugada adentro a procura de inspiração, a sua mesa de trabalho era tomada por
dicionários, cartas, livros, artigos incompletos e papéis em branco, após sua morte, a
família doou todo o seu acervo (biblioteca, documentos, objetos pessoais), para o
Museu Malba Tahan, na cidade paulista de Queluz, onde Mello e Souza viveu sua
infância, faleceu em 18 de maio 1974 em Recife, aos 79 anos. A notícia de sua
morte foi acompanhada pelos jornais com uma nota de sua autoria, redigida anos
antes, onde ele pede perdão a todos pelas faltas, ingratidões e injustiças, e pedem
que rezem por ele.
150
No início do século era bastante difícil os escritores nacionais conseguirem
publicar suas obras, livreiros e donos de jornais tinham medo de ficar no prejuízo.
Assim, procurando-se lançar-se como escritor, Mello e Souza resolveu criar
uma figura exótica e estrangeira, o Malba Tahan, essa inspiração árabe veio de
leituras de contos, por exemplo o conto das Mil e Uma Noites, quando menino havia
apaixonado-se pela cultura árabe, partindo desse conhecimento e melhorando-o
com outras leituras e inclusive curso de árabe. Em 1918, utilizou o pseudônimo de
Slady, com esse nome falso ele conseguiu publicar uma história no mesmo jornal,
que havia recusado seus contos anteriormente. Como a estratégia funcionou, ele
decidiu usar sempre um pseudônimo estrangeiro, em 1925 auxiliado pela inspiração
de Irineu Marinho, forjando essas biografias cria o pseudônimo de Malba Tahan, e
Breno de Alencar Bianco, como suposto tradutor de seus contos. Mas a verdade
sobre os pseudônimos só foi revelada em 1933, um ano após a publicação de sua
obra mais conhecida: O Homem que Calculava.
O seu personagem Ali Iezid Izz-Edim Ibn Salim Hank Malba Tahan, era uma
rara figura, nascido em 1885 numa pequena aldeia persa de Musalith, na Arábia
Saudita, já muito moço fora nomeado prefeito de El Medina pelo emir, foi estudar em
Istanbul e Cairo, aos 27 anos recebeu uma grande herança do pai, saiu em viagem
de aventuras pelo mundo afora, tais como: Rússia, Índia e Japão, em cada aventura
acabava envolvendo-se com algum engenhoso problema matemático, que resolvia
magistralmente, peregrino por muitos anos, escreve suas memórias, faleceu na
África, vítima da luta pela liberdade de um pequeno povoado. Apesar do
conhecimento de Julio Cesar de Mello e Souza sobre o Oriente, ele não viajou além
da Argentina e Portugal.
O sucesso dessa ideia foi imediato e ele acabou escrevendo dezenas de
livros para seu Malba Tahan: A Sombra do Arco-Iris (seu livro predileto), Lendas do
Deserto, Céu de Allah e outros, o mais famoso O Homem que Calculava, foi
traduzido para várias línguas, vendeu mais de 2 milhões de exemplares só no Brasil
e está na 42ª edição. Em 1952, o nome de Malba Tahan é anexado oficialmente ao
de seu criador.
Além de produzir uma vasta obra literária Malba Tahan, tem escritos e
publicados livros sobre Matemática Recreativa, Didática da Matemática, História da
151
Matemática e Literatura Infanto-juvenil. A centralidade de suas histórias está em
aventuras misteriosas, com beduínos, xeiques, vizires, magos, princesas e sultões, o
mais o famoso romance O Homem que Calculava, traduzido em doze idiomas,
nessa mesma obra pode-se ler as aventuras de Beremis, um árabe que gostava de
resolver os problemas do cotidianos com soluções matemáticas, e o problema mais
famoso dos 35 camelos criado pelo autor.
Mello e Souza, sozinho ele escreveu
sobre Geometria Analítica, Trigonometria Hiperbólica, Funções Moduladas, etc., e
outras obras com colaboradores, Irene de Albuquerque, Euclides Roxo, J. Paes
Leme.
Atualmente
o
valor
pedagógico
dessas
obras
é
reconhecido
internacionalmente, não menos meritória de aplausos é a criatividade entretecedora
dos livros de Mello e Souza. Foi um crítico severo da didática usual dos cursos de
matemática da primeira metade deste século, existem comentários sobre episódios
de violentas discussões que travou em congressos e conferências. Foi pioneiro no
uso didático da História da Matemática; defesa de um ensino baseado na resolução
de problemas não-mecânicos; na exploração didática das atividades recreativas e
no uso de material concreto no ensino da Matemática. Não podemos deixar de
mencionar que foi um dos primeiros a explorar a possibilidade do ensino por rádio e
televisão. Ministrou muitos cursos e realizou conferências no Brasil e exterior. Os
cargos mais importantes que teve foram: catedrático na escola Nacional de Belas
Artes; catedrático na Faculdade Nacional de Arquitetura e catedrático no Instituto de
Educação do Rio de Janeiro.
Não é só no Brasil que é comemorado o Dia da Matemática, mas em outras
partes do mundo, na Espanha é comemorado no dia 12, em homenagem ao
nascimento de um dos mais importante educador e matemático espanhol Pluig
Adam.
Algumas Produções de Malba Tahan
O Homem que Calculava; Antologia da Matemática; Didática da Matemática; O
Professor e a Vida Moderna; A Arte de ser um Perfeito Mau Professor; Malba Tahan
e o Ensino de Matemática, há 50 anos ele recomendava; O jogo como situação de
152
aprendizagem; A montagem do laboratório de ensino de Matemática; 70 sugestões
de materiais didáticos; A utilização de paradoxos, falácias e recreações, bem como a
apresentação de problemas interessantes e narração de histórias; A integração de
língua materna com a linguagem matemática.
Fonte do texto:
J.F.Porto da Silveira, http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/histo1.htm, acessado em 29/11/2012
Dia Nacional da Matemática- Portal Dia a Dia Educação, acessado em 29/11/2012,
http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=201
Bendita Matematica – Blog do Professor Carlos Bino, http://www.benditamatematica.com/2009/04/dia nacional-da-matematica.html, acessado em 29/11/2012
153
18 APÊNDICES
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18.1 APÊNDICE A - Questionário para os professores
Qual a sua formação Acadêmica?________________________________________
Qual a Instituição de Ensino ?___________________________________________
Quanto tempo tem de magistério?________________________________________
Você foi orientado sobre a possibilidade de ter estudante surdo em sala de aula, ou
qualquer outra diversidade? ( ) Sim
( ) Não Qual foi o tipo de orientação?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Você acredita que acontece a inclusão de estudante surdos na sala regular.( ) sim
( ) não Justifique sua resposta___________________________________________
Que mudanças seriam adequadas para que o estudante aprimore o seu
conhecimento?_______________________________________________________
Você se sente preparado para atender estudante surdos. ( )sim ( )não.
Justifique sua resposta: _______________________________________________
Você já fez algum curso de Libras? ( )sim( ) não
Você fez alguma Pós-Graduação na área da Educação Especial com foco no surdo?
( ) sim ( ) não Se sua resposta for afirmativa, qual tipo de curso?
Você acredita na afirmação de que o estudante surdo não consegue aprender igual
os demais colegas? ( ) sim ( )não. Justifique sua resposta:
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Como são conduzidas as suas aulas para a melhoria do aprendizado?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Você tem alguma metodologia especial para esse estudantes? Qual (ais)
metodologia(s) você utiliza?
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18.2 APÊNDICE B – Questionário Inicial para os estudantes
Colégio Estadual Dr João Ferreira Neves EFMNP
Nome:.............................................................................................................Nº …...
01) Você gosta de estudar matemática? ( ) sim ( ) não ( ) às vezes
02) Como são você considera as aulas de matemática?............................................
03) Você tem facilidade para aprender matemática? ( )sim( )não ( )as vezes
04) Como é o seu relacionamento com o professor de matemática.............................
05) A maneira como seu professor explica os conteúdo de matemática facilita sua
aprendizagem? ( ) sim ( ) não ( ) às vezes
06) Você faz perguntas ao professor quando não entende o conteúdo de
matemática? ( ) sim ( ) não ( ) às vezes
07) Na sua opinião existe matemática nas dobraduras? ( )sim( )não () as vezes
08) Você conhece, alguma dobradura ( ) sim ( ) não
09) Já fez alguma ( ) sim ( ) não Qual? …...................................................................
10) O que seus pais falam sobre a matemática?..........................................................
11)Você acredita que é possível aprender matemática fazendo dobradura?
( ) sim ( ) não ( ) as vezes
12) Quem já ouviu falar de geometria? ( ) sim ( ) não
12)Já estudou geometria, através das dobraduras?.( )sim( )não ( ) as vezes
13) Você já visualizou a geometria no seu dia a dia?.( )sim( )não ( ) as vezes
14) Você já pesquisou sobre geometria?( )sim( )não
15) Você sabe quando e onde surgiu as dobraduras?( )sim( )não
16) Você já estudou com amigo surdo( )sim ( )não
17) Você tem algum dialogo com ele( )sim ( )não ( ) as vezes
18) Na sua opinião o que deveria se fazer para termos uma melhor comunicação
com o surdo?.................................................................................................................
19)Você sabe o quer dizer folha A4, e folha sulfite ….................................................
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18.3 APÊNDICE C - Questionário Final para os estudantes
1- Após todas as atividades você passou a gostar de matemática?
2- Os objetivos previstos para as atividades foram atingidos?
3- As atividades foram organizadas de maneira satisfatória?
4- Durante as explicações do professor, ficou bem claro todas as atividades?
5-Você consegui ficar no ritmo da sua equipe durante a apresentação dos
seminários?
6- Foi viável aprender geometria através das dobraduras?
7- As dobraduras só servem para o lúdico?
8- Como foi trabalhar num grupo com surdo?
9- Aprendeu a se comunicar em LIBRAS?
10- O grupo foi eficiente ao relacionar cada data com a matemática?
11- Os membros do grupo estavam interessado em aprender a matemática de
maneira diferente?
12- O professor conseguiu motivar os alunos a aprender?
13- Os conteúdos propostos nas dobraduras tinha a ver com o plano de aula da
turma?
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18.4 APÊNDICE D - Questionário será após cada atividade
a) Com esta dobradura você aprendeu o quê?
b) Existe conteúdo de matemática nessa dobradura, Qual(ais)?
c) Na opinião do grupo a apresentação de deste Seminário contribui na melhoria da
formação do cidadão conhecedor de crenças, religiões, valores e leis?
d) Você concorda com a este tipo de atividade?
e) Como foi apresentar o Seminário em Libras?
f) Esta apresentação ajudou a grupo na comunicação com o amigo surdo?
g) Quais as dificuldades em aprender LIBRA com o amigo e com a interprete?
e) Que outras formas poderiam ter sido empregadas para estudar os mesmos
conteúdos?
f) Como foi seu desempenho nesta atividade, e a do grupo?
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