ATRIBUINDO SIGNIFICADO AOS CONCEITOS DE ÁREA E VOLUME DE
CILINDROS A PARTIR DO USO DE MATERIAIS RECICLÁVEIS
Alberis Cardoso de Queiroz
[email protected]
José Roberto da Silva – UPE; FAINTVISA/PE; FUNESO/PE
[email protected]
1- Introdução
A educação matemática tem se desenvolvido muito nos últimos anos e varias são
as formas que se tem buscado nesta direção. Uma dessas formas tem sido o uso do
laboratório para o ensino de matemática, neste ambiente como subsídio à aquisição do
conhecimento matemático pode-se desenvolver e produzir materiais didáticos, os quais
tem desempenhado papel fundamental no processo de desenvolvimento do ensino de
matemática seja no contexto educacional ou mesmo cientifico.
Pode se caracterizar diversas decorrências importantes do uso de laboratório na
formação matemática dos alunos, dentre elas, proporcionar o desenvolvimento da
capacidade de resolver problema, tomar decisões, criticar e avaliar soluções, raciocinar.
Além disso, pode-se trazer também segundo França (1999), que para desenvolver
algumas capacidades como as trazidas anteriormente, é primordial que o professor
valorize o conhecimento prévio de seus alunos para poder proporcionar situações que
favoreçam a ampliação desse conhecimento tão importante na construção de
significados.
A grande intenção da valorização dos conhecimentos prévios dos alunos pode
ser entendida pela conseqüência da utilização de problemas que conduza a construção
do conhecimento matemático. Segundo os PCN (1998), a resolução de problemas, que
vem sendo apontada como um bom caminho para trabalhar conceitos e procedimentos
matemáticos, tem sido objeto de interpretações equivocadas, pois ainda se resume em
uma mera atividade de aplicação ao final do estudo de um conteúdo matemático. Isso
caracteriza, inclusive, o que Kuhn chama de exemplares que está mais para exercícios
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enquanto atividades do que para um problema, isso apontando a necessidade de aclarar
o que vem ser um problema e não confundir estes com exercícios.
O que poderia ser feito para rever tais desconsiderações no processo ensinoaprendizagem de matemática? Tentar responder a esta indagação nos leva a repensar a
importância do conhecimento prévio dos alunos visando redirecionar a resolução de
problemas como meio e não como parte final do processo educativo.
Também há algo nesta direção que poderia ser apresentado como estratégia para
construir habilidades referentes à resolução de problemas que seria explorar ao máximo
o raciocínio dos alunos e neste estudo se fará isso a geometria métrica espacial
utilizando-se recursos didáticos, a partir de materiais reciclados.
2.- Aspectos Importantes Sobre o Ensino da Geometria Métrica Espacial
Segundo Lorenzato (1995) a geometria é apresentada de forma rígida e
separadamente da aritmética e da álgebra. Isto parece não ser grave, uma vez que boa
parte dos professores o faz, mas o que de certo modo promove isso nos livros didáticos
e que não são recomendadas nos PCN´s parece sobrexistir por que para atender as
exigências de mercado às editoras solicitam que os autores sigam as propostas
curriculares sem se afastarem muito dos padrões consagrados nos mercados.
Ao refletirmos no que diz os PCN´s (1998 p.37): é relativamente recente a
atenção ao fato de que o aluno é agente da construção do seu conhecimento pelas
conexões que estabelece com seu conhecimento prévio num contexto de resolução de
problemas”. Com isso, percebe-se o quanto longe estão alguns L. D desta proposta.
A geometria métrica espacial tem como objeto de estudo preocupar-se em
explorar os elementos dos sólidos geométricos que lhe dizem respeito para o cálculo das
áreas de suas superfícies (faces) bem como os volumes a tais sólidos.
Por outro lado, a cultura atual concebe que a constituição destes objetos decorre de
aplicações evidentes do mundo físico, como aponta Lima (1998): “Assim, o cálculo de
áreas e volumes é um assunto milenar, cuja importância se revelou muito cedo,
mesmo em civilizações organizadas de modo simples em relação aos padrões atuais”.
Um outro aspecto importante partilhado, inclusive, pela comunidade dos
matemáticos é a importância da geometria para imersão no mundo matemático. Isto
pode ser trazido segundo os PCN´s como segue: “Os conceitos geométricos constituem
parte importante do currículo de matemática no ensino fundamental, porque, por meio
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dele, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender,
descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive” (PCN, 1998).
Em acréscimo se pode trazer a incontestável importância da geometria espacial
para o homem diante a sua aplicação no mundo do trabalho enquanto funcionalidade
nas questões que envolvam os conceitos de áreas e volumes que neste estudo se
restringira ao cilindro.
Reportando-se mais uma vez Lorenzato (1995) as tendências para o ensino da
geometria para o Ensino Fundamental são as seguintes:
1) Apresentar a geometria como meio de descrever o mundo físico;
2) Utilizar a geometria como auxiliar para resolver problemas;
3) Aplicar propriedades geométricas;
4) Favorecer a emissão e a verificação de hipóteses;
5) Integrar a geometria com a aritmética e a álgebra;
2.1 O uso de Recursos na Resolução de Problemas/Exercicios
Tratando-se de recursos didáticos os PCN (1998), recomendam incluir nos
processos de ensino alguns materiais específicos. Porém, na prática nem sempre há
clareza do papel desses recursos, havendo, inclusive falta de adequação do uso desses
materiais e isto acaba conduzindo a alguns resultados indesejados.
Sobre os recursos didáticos, Bardera (2000), afirma que: “o recurso didático é
todo ato do professor que como apoio ao manejo do conhecimento e, fora deste, o faz
compreensível na ação do ensino”.
Diante o que se foi trazida até o presente momento, nossa intenção agora passa a
se procurar adequar três pontos julgados importantes no ensino de matemática, são eles:
1) Considerar o conhecimento prévio dos alunos na construção de significados;
2) Redirecionar a resolução de problemas ao ensino-aprendizagem de matemática;
3) Propor situações didáticas referentes aos pontos anteriormente citados.
Em se tratando de considerar o conhecimento prévio dos alunos como já foi dito
na construção de significados parece ser um caminho bastante sensato, o qual é
defendido pelos PCN´s, no entanto está presente nas propostas de alguns L. D. Portanto,
é preciso está atento ao utilizar um L. D. instrumento que tente fazer uso do
conhecimento prévio dos alunos principalmente se o professor em seus planos de ensino
persegue uma aprendizagem significativa.
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Sendo considerada a possibilidade de implantar nos livros didáticos os três
pontos antes tratados no sentido de que os professores de matemática os tornem
presentes nos seus projetos didáticos, quem sabe a resolução de problemas/exercícios
seja melhor considerada fazendo sentido a busca para os alunos de estratégias de
resolução enquanto aprendizagem e para os professores enquanto ensino com certa
solvência.
2.2- O Uso De Recursos Na Resolução De Problemas/Exercícios
Tratando-se de recursos didáticos os PCN (1998), recomendam incluir nos
processos de ensino alguns materiais específicos. Porém, na prática nem sempre há
clareza do papel desses recursos, havendo, inclusive falta de adequação do uso desses
materiais e isto acaba conduzindo a alguns resultados indesejados.
Sobre os recursos didáticos, Bardera (2000), afirma que: “o recurso didático é todo ato
do professor que como apoio ao manejo do conhecimento e, fora deste, o faz
compreensível na ação do ensino”.
Diante o que se foi delineada até o presente momento, nossa intenção agora
passa a se procurar adequar três pontos julgados importantes no ensino de matemática,
são eles:
1) Considerar o conhecimento prévio dos alunos na construção de significados;
2) Redirecionar a resolução de problemas ao ensino-aprendizagem de matemática;
3) Propor situações didáticas referentes aos pontos anteriormente citados.
Em se tratando de considerar o conhecimento prévio dos alunos como já foi dito
na construção de significados parece ser um caminho bastante sensato, o qual é
defendido pelos PCN´s, no entanto está presente nas propostas de alguns L. D. Portanto,
é preciso está atento ao utilizar um L. D instrumento que tente fazer uso do
conhecimento prévio dos alunos principalmente se o professor em seus planos de ensino
persegue uma aprendizagem significativa.
O que aponta esta proposta é que ela esta alerta de que o incentivo aos
professores investirem em propor situações didáticas como essa sobre a resolução de
problemas envolvendo o cilindro pode conduzir os alunos a uma maior compreensão
sobre a geometria métrica espacial. Porém, conforme foi trazido acima sobre os
problemas não terem promovido um desempenho satisfatório, acredita-se dentre outros
aspectos, que precisamos elucidar a confusão sobre o que é um problema versos o que é
um exercício.
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Por exemplo, objetos recicláveis que se assemelhem a um cilindro pode
estimular a criatividade e a iniciativa, estes objetos podem ser tais como latas e garrafas
cilíndricas. Propor alguns momentos de afrontamento com atividades matemáticas
abertas1 com a utilização dos objetos recicláveis já mencionados pode de certo modo
valorizar as considerações levantadas nesta proposta.
Diante de tais considerações pode-se evidenciar que este estudo se propõe a
apontar um caminho não muito explorado na maioria das práticas pedagógicas ao que se
refere o estudo de resolução de problemas envolvendo a geometria métrica espacial do
cilindro utilizando sucatas na contextualização e descontextualização deste ensino.
3- Metodologia
O estudo da geometria métrica espacial assim como boa parte da geometria
clássica não deve ser de forma desarticulada, distanciada do mundo vivido pelos alunos
e professores, pois isso o torna vazios e pode empobrecer a aquisição de boa parte do
seu significado. Por outro lado sabemos que, não existem soluções simples ou únicas,
nem muito menos receitas prontas que garantam o sucesso de uma proposta pedagógica,
mas que há algumas que podem possibilitarem aos alunos uma negociação que se torne
mais acessível.
Os PCN (1998) ressaltam uma matemática cujo significado o aluno possa
perceber no momento em que aprende, e não em um momento posterior ao aprendizado.
Neste estudo ira se procurar unir tais considerações didáticas na exposição a partir de
objetos recicláveis que se assemelham a cilindros em acréscimo que os alunos busquem
estratégias que solucione problemas conceituais. Pois se apoiando em Lorenzato (1995)
os conceitos geométricos, que constitui parte importante do currículo de matemática no
ensino fundamental, devem possibilitar aos alunos articular e estimular à iniciativa e
criatividade na construção de tais conceitos.
O estudo de objetos sólidos semelhantes à cilindros, pode de algum modo
contribuir para a aprendizagem da geometria métrica espacial, pois estimulam o aluno a
observar, perceber semelhanças e identificar faces, e a vislumbrar futuras planificações.
Isto pode ser mais esclarecido segundo o PCN (1998 p.51): “é fundamental que em
1
Estamos chamando de atividades matemáticas abertas as que não super valorizar a
mensuração, formulação e a utilização de implementos tais como régua graduada.
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estudos do espaço e forma sejam explorados a partir de objetos do mundo físico, de
modo que permita ao aluno estabelecer conexões entre a matemática e outras áreas do
conhecimento”.
Diante os argumentos apresentados espera-se que ao atribuir a tais
procedimentos no desenvolvimento de habilidades de percepção espacial, o trabalho
com materiais recicláveis pode ser visto como um importante recurso didático. No caso
dos objetos sólidos citados a cima acredita-se que eles podem favorecer a construção de
diferentes vistas do objeto freqüentemente indispensáveis na resolução de problemas.
Ao lembrarmos o que os livros de matemática do ensino fundamental e médio
apresentam em sua seqüência de estudo, a formalização, exercícios resolvidos,
exercícios propostos e problemas de vestibulares. Tal procedimento didático mostra-se
como um simples ato de memorização e repetição, o que não garante êxito na
aprendizagem, fortalecendo nossa intenção de construção de significados.
4- Apresentação da Proposta
Inicialmente, se recorrerá a materiais concretos de formas cilíndricas propondo
que os alunos identifiquem e sistematizem os conceitos geométricos subjacentes a tais
formas, trata-se de uma investida a fim de levantar os conhecimentos prévios dos
alunos. Em seguida, a partir desses conhecimentos prévios se busca a mudança
conceitual qual seja a passagem do conhecimento empírico para o conhecimento
matemático, acadêmico. Com isso, se tem por expectativa ajustar os conceitos e
sistematização do conhecimento empírico para o conhecimento aceito pela comunidade
matemática. Partindo da resolução de um problema aberto para situações que leve os
alunos à formulação gerais e específicas.
Para fundamentar esta proposta, enquanto resultados esperados do ensino, cabem
lembrar que sobre resolver problemas os PCN´s (1998, p.42) pressupõe que o aluno seja
capaz de:
1) elaborar um ou vários procedimentos de resolução (como realizar simulações, fazer
tentativas, formular hipóteses );
2) comparar seus resultados com os dos outros alunos;
3) validar seu procedimento.
Estes pressupostos percebe-se que não são freqüentemente encontrados em
livros didáticos utilizados pela maioria dos professores de matemática se comparados os
seus objetivos com as suas formas didáticas propostas, mas mesmo assim tem sido. Isto
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evidencia a falta de projetos didáticos aplicados aos livros didáticos e conseqüentemente
inexistentes em nossas escolas, não devemos esquecer das propostas alternativas de
vários professores que muito tem contribuído ao ensino da geometria.
Neste afrontamento entre os livros didáticos e o conhecimento prévio dos alunos
que construiremos em nossa proposta, o conhecimento matemático abordado sobre
estudo da geometria métrica espacial cilíndrica.
4.1- Momento de Familiarização com o Material
Expondo aos alunos materiais recicláveis semelhantes a cilindros conforme a
figura 1 abaixo (leitura da esquerda para a direita), é possível explorar os conceitos
matemáticos subjacentes à geometria nestes objetos de forma criativa e dinâmica.
Fig. 1: latas de óleo e leite em pó.
Espera-se com tal exposição e concepções levantadas dos alunos despertar neles
uma visão espacial sobre o objeto cilíndrico em termos particulares e generalísticos no
que se refere aos cálculos das áreas das bases e lateral, para facilita-lo se executará
cortes seqüenciados das faces como está apresentado nas figuras 2 3,4 e 5 que seguem:
1o Passo: Solicitam-se os cortes das bases, inferior e superior (tampas) nesta ordem das
latas de óleo e leite em pó da figura 1 anterior que da esquerda para a direita, conforme
as figuras 2 e 3 são respectivamente bases, inferior e superior.
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Neste momento nota-se que estas bases são parecidas por figura e por isso elas
apresentam a mesma área. Porém, cabe informar que independe das dimensões das áreas
das figuras 2 e 3 serem diferentes o volume poderá ser o mesmo dependendo das suas
respectivas alturas.
Fig. 2: Bases inferiores e
superior da lata de óleo
Fig. 3: Bases inferiores e superior
da lata de leite em pó
2o Passo: Neste momento são solicitados um corte longitudinal no corpo da lata e o
estiramento do mesmo a fim de obter-se áreas laterais como mostram as figuras 4 e 5
que correspondem respectivamente as latas de óleo e leite em pó da já mencionada
figura 1.
Fig. 4: Superfície lateral da lata de
óleo
Fig. 5: Superfície lateral da lata de leite
em pó
Estas planificações geométricas acima se limitam neste primeiro passo auxiliar a
visualizar que o envolto lateral possui área uma vez que tais decomposições
representam retângulos enquanto que as tampas mesmo sem decomposição já lembram
áreas de círculos.
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3o Passo: Segundo a composição da lata de óleo figura 1 com as figuras 2 e 4 e da lata
de leite em pó com as figuras 3 e 5 se pode vislumbrar que as áreas destas figuras
geométricas planas constituídas por círculos e quadriláteros formam cilindros.
4.2- Momento de Especulação
Ao se olhar às planificações dos cortes das latas cilíndricas se pode notar que
suas representações são compostas por figuras geométricas planas e que podem ser
decompostas por círculos (faces das bases) e quadrilátero (face lateral).
4.3- Momento de Levantar as Percepções
Estas decomposições podem ser feitas primeiramente explorando a visão
espacial dos alunos solicitando o rabisco no papel das faces laterais e das bases do
objeto. Em seguida estes rabiscos devem ser considerados em todos os aspectos, mesmo
que apresentem erros na planificação, pois é neste momento que identificaremos o
pensamento geométrico dos alunos e sua relação com o mundo físico.
Com isso se pretende valorizar as construções dos alunos enquanto
representações, neste sentido segundo os PCN´s (1998) no que diz respeito aos sistemas
de representação plana das figuras espaciais, entendem-se que as principais funções do
desenho representado em si são as seguintes:
1) Visualizar e fazer ver, resumir:
Nesta etapa se dá a importância para despertar nos alunos a visualização
geométrica e suas representações no plano e no espaço. É o que no momento de
familiarização com materiais recicláveis busca-se instigar na apreciação destes objetos.
2) Ajudar a provar:
A partir das planificações do corpo cilíndrico e de suas bases poderia ser
deduzida e provada as fórmulas apresentadas nos livros didáticos as quais contribuem
para as resoluções de problemas, é neste sentido que o momento de especulação se faz
presente.
3) Ajudar a fazer conjecturas (o que se pode dizer):
Ao inter-relacionar os dois momentos anteriores se tenta a partir do confronto
entre o concreto e o abstrato abrindo assim caminho para a elaboração da concepção
cientifica.
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4.5- Momento Intersubjetivo
Inicialmente, pode-se discutir a cerca das serem figuras geométricas planas que
se assemelham a circunferências perifericamente, mas que tem uma área como sendo
um círculo. A utilização de pedaços de cordão para circular o corpo cilíndrico do objeto
mostra que o comprimento da base se assemelha a uma das dimensões da face lateral
planificada conforme as figuras 4 e 5. Durante este processo não é preciso usar régua
graduada, pode-se desprover da preocupação da mensuração graduada visando às
representações puramente geométricas.
A intenção em síntese é tentar fazer os alunos confrontarem suas idéias entre si
na busca de um argumento consensual que explique as construções geométricas
(planificações) e a relação entre o concreto e o abstrato. É também neste momento que o
professor busca articular um procedimento metódico avaliativo e regulador que poderia
ser neste caso o método Socrático com indagações tipo:
1) Qual a representação da superfície lateral deste sólido?
2) Esta representação se aproxima de qual figura da geometria plana após um corte
perpendicular à base?
3) Quais são as dimensões desta figura
4) Estas dimensões são representadas por quais figuras da geometria plana antes do
corte?
5) Qual é a área desta figura?
6) A que figura se assemelha às bases?
7) As bases têm mesma área?
8) Como calcular a área das bases?
9) Qual é a área total destas figuras?
10) A geometria plana tem a ver com a geometria espacial?
5- Momento de Matematização do Discurso Intersubjetivo
Segundo os PCN´s (1998), estabelecer relações entre figuras espaciais e suas
representações planas, envolvendo a observação das figuras sob diferentes pontos de
vista, construindo e interpretando suas representações.
As figuras 8 e 9 demonstram a manipulação das figuras 6 e 7 em outra disposição.
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Fig. 9
Fig. 8
Diante as idéias estruturadas consensualmente no momento anterior pode se
caracterizar a área da superfície lateral como sendo o produto do comprimento ( c )
caracterizado pela medida do comprimento do cordão que envolveu circularmente o
cilindro pela altura ( h ) que é a medida de uma das faces da base a outra; então a área
da superfície lateral do objeto será : Sl = c ⋅ h
como
c = 2 ⋅ π ⋅ r , obtém-se: sr = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h
como expressão para o calculo da área de um cilindro.
Note, portanto, que isso se trata das bases do objeto cilíndrico, daí a área da
superfície inferior igual a área da superfícies superior, logo: Sb = π ⋅ r 2 , como as bases
são iguais teremos: 2Sb = 2 ⋅ π ⋅ r 2 .
Finalmente, somando-se as áreas das superfícies lateral 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h e da base
2 ⋅ π ⋅ r 2 chegaremos a área total St , assim representada:
St = Sl + 2Sb = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h + 2 ⋅ π ⋅ r 2 , logo: St = 2 ⋅ π ⋅ r (h + r ) .
Pode acontecer de termos um objeto cilíndrico em que a seção meridiana resulta
em um quadrado, neste caso será chamado de cilindro eqüilátero. No cilindro eqüilátero
o diâmetro (d = 2 ⋅ r ) tem igual valor numérico a altura (h ) do próprio objeto, assim a
área da superfície lateral será
dada pela expressão Sl = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ 2 ⋅ r , então,
St = 4 ⋅ π ⋅ r 2 . E sua área total será dada pela expressão Sl = 6 ⋅ π ⋅ r 2 .
A partir destas decomposições que forneceram as áreas laterais e das bases
conforme planificação mostram que compõe um novo elemento chamado volume. Esta
planificação fica bastante evidente ao submetermos uma lata de óleo ao recorte das suas
bases (tampas) e um corte longitudinal em relação a sua base. Ao recompormos este
objeto cilíndrico temos a apresentação geométrica dos seus elementos.
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A área da base inferior é igual à área da base superior pela comparação das bases
o que nos leva ao conceito de semelhança entre as bases. A área da face lateral fica
bastante evidente ao vislumbrarmos os cortes das bases da lata de óleo e um corte
longitudinal na parte cilíndrica agora oca.
“O volume de um sólido é a quantidade de espaço por ele ocupado. (Isto não é
uma definição matemática, mas apenas uma idéia intuitiva.) Estamos interessados em
medir a grandeza “volume” e para isso deveremos compará-la com uma unidade. O
resultado dessa comparação será um número: a medida do volume” (Lima,1998p.61).
A idéia de volume a partir da composição deste objeto é o preenchimento de seu
espaço, por exemplo, com arroz, aclara de forma sucinta e criativa. Caminhando ainda
neste sentido o volume pode ser percebido pelo produto da área da base (Sb ) pela altura
(h ) o que resulta em: V
= Sb ⋅ h , como, Sb = π ⋅ r 2 , vem, V = π ⋅ r 2 ⋅ h V = Πr2.
O estudo da geometria métrica espacial cilíndrica concebida a partir de materiais
recicláveis traz entre outras vantagens, o barateamento, a iniciativa e a valorização da
criatividade como ponto de partida ao reconhecimento do conhecimento prévio dos
alunos na construção de significado à resolução de problemas. Em acréscimo se poderia
também escrever algumas fórmulas que representem a área lateral e da base para
quaisquer objetos sólidos similares a cilindros?
Bibliografia
BARDERAS, S. Didáctica de la Matemática: El libro de los recursos. Madrid: La
Muralla, 2000.
LIMA, E.. Medidas e Formas em Geometria, comprimento, Área, volume e semelhança.
Rio de Janeiro: SBM, 1998.
LORENZATO, S. A Educação Matemática em Revista. SBEM – nº 4 – 1º Semestre
1995.
PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS. Matemática, Ensino Fundamental
II, Brasília, MEC/SEF, 1998.