Revisão Matemática
Prof. Luciano Stropper
UFRGS 2013
Distribuição das questões
26
E.FUNDAMENTAL
40
GEO. PLANA (TALES)
27
E.FUNDAMENTAL
41
GEO. ESPACIAL
28
E.FUNDAMENTAL
42
GEO. PLANA+TRIGONOMETRIA+GEO. ANALÍTICA
29
FUNÇÕES
43
GEO. PLANA
30
EQUAÇÕES
31
GRÁFICOS (INTERPRETAÇÃO)
44
GEO. PLANA
32
PA e LOG
45
GEO. ESPACIAL
33
GEO. ANALÍTICA e PA
46
GEO. ANALÍTICA
34
PG e GEO. PLANA
47
GEO. ANALÍTICA
48
SISTEMAS LINEARES
35
FUNÇÕES
36
LOG
37
POLINOMIOS
49
PROBABILIDADE
38
TRIGONOMETRIA
50
PROBABILIDADE
39
GEO. PLANA
PIRÂMIDE
V
A pirâmide tem dois tipos de
faces
 A base
(polígono ABCDEF).
F
 Faces laterais (triângulos).
E
A
D
B
C
 Superfície total da pirâmide é a união da base com a superfície lateral.
Elementos principais da pirâmide
V
A pirâmide tem dois tipos de
arestas
 arestas da base
(AB, BC, CD, DE, EF e FA).
F
E
A
D
B
C
 arestas laterais
(VA, VB, VC, VD, VE e VF ).
Elementos principais da pirâmide
V
h
F
E
A

D
B
C
 A distância h do vértice ao plano da base é a altura da pirâmide.
Classificação
• Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono
que constitui sua base.
Polígono da base
Pirâmide
triângulo
P. triangular
quadrado
P. quadrangular
pentágono
P. pentagonal
hexágono
P. hexagonal
Veja algumas dessas pirâmides
Pirâmide triangular
Pirâmide Pentagonal
Pirâmides regulares
V
V
h
h
O
A base da pirâmide é um
quadrado
A base da pirâmide é um
hexágono regular
⇒
⇒
Pirâmide quadrangular regular
O
Pirâmide hexagonal regular
Apótema da pirâmide
V
VM é o apótema (p) da
pirâmide
p
⇒
D
C
M
A
B
BM = MC
Segmentos notáveis na pirâmide regular
V
 VO = h, altura;
 VA = a, aresta lateral;
 AB = b, aresta da base;
p
h
a
B
m
O
M
r
A
b
Segmentos notáveis na pirâmide regular
V
 OM = m, apótema da base;
 OA = r, raio da base;
 VM = p, apótema pirâmide;
p
h
a
B
m
O
M
r
A
b
A pirâmide e o teorema de Pitágoras
V
p2 = h2 + m2
p
h
B
O
m
A
M
A pirâmide e o teorema de Pitágoras
V
a2 = h2 + r2
h
a
O
r
A
A pirâmide e o teorema de Pitágoras
V
a2 = p2 + (b/2)2
p
a
B
M
b/2
A
Volume da pirâmide
• Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e
suas bases têm a mesma área, então o volume da
pirâmide é a terça parte do volume do prisma.
V=
1
3
AB.h
Tronco de Pirâmide
R
h’
h
D’
C’
B’
A’
D
C
B
A
R
h’
D’
D’
A’
Tronco de
pirâmide
C’
A’
h – h’
C’
B’
D
B’
A
C
B
Razão de semelhança - Comprimentos
R
R
h’
h
D
A’
C
A
D’
=
AB
A’B’
B’
Razão de
semelhança
B
RA
RA’
C’
=... =
h
h’
=k
Razão de semelhança - Áreas
R
R
h’
h
D
A
A’
C
B
AB
A’B
=
AL
A’L
=
D’
AT
A’T
C’
B’
CONES
ESFERAS
Área: A = 4πr2
Volume:
Cilindro
Base
eixo
R é raio da base
h é altura
g é geratriz
R
*O
b
g
g
h
A Fig. mostra um Cilindro
Oblíquo.
*O

Base

90º
Cilindro Circular Reto
ou Cilindro de Revolução
A
g
C
* O’
B
h
g
R
R
*O
D
1) o eixo é perpendicular aos
planos das bases.
2) g = h
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
A
B
D
C
D
C
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
Seção Meridiana
Retângulo ABCD é a seção meridiana do cilindro.
Seção
Meridiana
A
* O’
h
B
Se ABCD
é um quadrado 
cilindro eqüilátero
C
2R
*O
D
Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em que h = 2R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação :
h
x
R
Planificação
Planificação: :
h
x
R
Planificação :
R
h
x
R
p
2
R
R
Áreas e Volumes
Área Base
( Ab )
Área Lateral
( AL )
Ab = p R2
AL = 2p Rh
Área Total
( At )
At = AL+ 2 Ab
Volume
( V)
V = p R 2. h
UFRGS 2012
Tomando a aresta da base a e a
altura h temos o volume V:
Dobrando a aresta da base e
reduzindo a altura a metade
teremos o novo volume V1: