RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
RIVED/UFOP
Módulo Educacional I:
Conceitos Fundamentais da Trigonometria
Área: Matemática
GuiadoProfessor
Ouro Preto – MG
Agosto de 2007
1
RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
2
1. Introdução
A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade
já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por
métodos comuns. Apesar da infinidade de aplicações práticas, muitos estudantes têm
dificuldades e vêem a trigonometria como um tópico árduo de estudar dentro da
Matemática.
Este módulo educacional foi construído com o objetivo de ajudar aos professores e
alunos desvendarem um pouco mais a área de Trigonometria. O principal objetivo do
módulo é proporcionar ao aluno um estudo sobre as funções: seno, cosseno e tangente,
envolvendo noções básicas, definições e gráficos. O aluno será motivado a construir os
gráficos destas funções.
2. Objetivos
Os principais objetivos de aprendizagem da atividade são:
•
Compreender a definição de seno, cosseno e tangente no círculo trigonométrico bem
como a construção dos gráficos destas funções;
•
Interpretar gráficos de funções trigonométricas;
•
Reconhecer fatores que influenciam no comportamento gráfico (sinal das funções
em cada quadrante, intervalos de crescimento e decrescimento das funções) de uma
função trigonométrica.
3. Pré-requisitos
Para fazer as atividades do módulo e ter uma melhor compreensão do assunto
abordado, é necessário que o aluno tenha como pré-requisito alguns conceitos elementares
tais como: ângulos, comprimento de arco, círculo trigonométrico, noção de representação
de um ponto no plano cartesiano, noções de função e relações métricas no triângulo
retângulo.
Sugere-se também que os alunos tenham um conhecimento básico do uso do
computador, a fim de que eles possam focar mais a sua atenção no conteúdo do módulo.
4. Tempo previsto para a atividade
O tempo previsto para a atividade varia de acordo com a assimilação da turma, da
estrutura da escola, entre outros.
5. Na sala de aula
Antes de iniciar o uso do módulo computacional com os alunos, o professor deve
introduzir o assunto em sala de aula.
RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
3
O professor pode começar o assunto explorando algumas áreas da aplicação e a
importância da trigonometria. Os comentários abaixo dão exemplos de algumas aplicações
da trigonometria:
• A determinação da altura de um determinado prédio.
• Seria impossível a medição da distância da Terra à Lua, porém, com a
trigonometria isto se torna simples.
• Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte. O
trabalho dele é mais fácil quando ele usa recursos trigonométricos.
• Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o
comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para
desenhar um mapa.
Antes de começar as atividades no computador, os alunos já deverão ter tido um
contato inicial na sala de aula com gráficos de funções e o conceito de seno, cosseno e
tangente.
6. Na sala de computadores
6.1. Preparação
•
Os alunos poderão ser organizados em duplas para realizarem a atividade no
laboratório.
•
Sugere-se que o professor utilize o módulo educacional realizando todas as etapas
antes de trabalhar com os alunos no laboratório. Dessa forma, o professor se sentirá
apto a esclarecer qualquer dúvida que venha a surgir no decorrer da atividade.
6.2. Material necessário.
• . Material das atividades desenvolvidas na aula teórica
• Caderno para anotações.
6.3. Requisitos técnicos
• Computador
• Sistema operacional Microsoft Windows ou Linux
• Navegador Web Microsoft Internet Explorer ou Mozilla Firefox
• Plugin Flash instalado
• Monitor compativel com resolução minima de 800x600, 16bit de cores
Obs.: os alunos que tiverem acesso à Internet poderão fazer o download do módulo
diretamente da página do RIVED/MEC e executa-lo offline.
7. Durante a atividade
RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
4
Os passos que poderão ser seguidos são:
•
O professor deverá explicar brevemente aos alunos o que será visto no conteúdo do
módulo: funções, gráficos e atividades;
•
Deve ser explicado que o módulo computacional não substituirá as aulas teóricas e
expositivas. Ele será usado para complementar o conteúdo e ajudar os alunos
principalmente na visualização gráfica das referidas funções;
•
É importante que os alunos sejam orientados em relação a quando poderão iniciar a
atividade;
•
Os alunos devem estar cientes de que o material será utilizado de forma gradativa; o
professor é quem dará a seqüência das atividades para que nenhuma delas deixe de
ser executada.
•
Os integrantes das duplas deverão ser estimulados previamente a discutirem entre si
o conteúdo dos módulos durante a realização das atividades, pois é muito
importante que haja troca de experiências entre eles;
•
Deverá ser salientado aos alunos que leiam atentamente os textos que aparecem nas
páginas antes de executarem qualquer comando e seguirem em frente, de
preferência que leiam duas vezes e com muita atenção;
•
Além disso, os alunos deverão ser orientados para que, sempre que tiverem dúvidas
no decorrer das atividades, não sigam em frente; que observem atentamente
mensagens apresentadas e que, se dúvidas persistirem, peçam ajuda ao professor.
Saliente-se que, neste momento, o professor terá um papel exclusivo de orientador,
sempre procurando fazer com que o aluno tire suas próprias conclusões, devendo
ele interferir, somente o necessário, durante o desenvolvimento da atividade
proposta;
•
O professor durante a atividade deve observar se há alguma dificuldade por parte
dos alunos, se esta consiste no conteúdo matemático envolvido ou se trata de
problemas de navegação do módulo. Se for o primeiro caso o professor deverá atuar
como orientador sempre procurando fazer com que o aluno tire suas próprias
conclusões. Se for a segunda opção, ensiná-lo como proceder corretamente na
navegação. Se for alguma dúvida comum a vários grupos, então o professor deverá
esclarecê-la neste momento para toda a turma.
DICA
• Procure não responder diretamente às solicitações dos alunos durante a
realização das atividades.
RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
•
5
Intervenha estabelecendo conexões partindo do raciocínio realizado pelos
alunos.
8. Tutorial para utilização do módulo
O roteiro a seguir é apenas uma sugestão para o professor explorar de forma gradual
o conteúdo do módulo educacional com os alunos. Para navegar pelo módulo, têm-se duas
possibilidades: o aluno pode usar a barra de menus, que fica situada na parte superior da
página (Figura 1), ou, simplesmente, usar as setas na barra de status que fica situada na
parte inferior da página (Figura 2). As duas formas de navegação são permitidas, porém a
vantagem da segunda sobre a primeira é que a segunda já apresenta a ordem de ações
recomendada. Em nosso tutorial adotaremos a primeira possibilidade de navegação, mas o
professor tem a liberdade de trabalhar com a segunda, ou as duas, se preferir.
Figura 1 – Navegação pela barra de menus
Figura 2 – Navegação pelas setas na linha de status
8.1. Iniciando o módulo
Ao iniciar o módulo é apresentada ao aluno uma breve animação chamando a
sua atenção para algumas atividades do cotidiano onde a trigonometria está presente
(escalada, travessia de um barco em um rio, um jogo de futebol – batedor de falta e até
mesmo em um simples jogo de bilhar). O aluno pode ver cada uma das páginas da
animação clicando primeiramente no link “Iniciar” seguido pelo link “Continuar”, ou
RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
6
caso queira ir direto para o conteúdo do módulo, deve clicar no link “Saltar Animação”
(Figura 3)
Figura 3 – Animação com motivação para o uso do módulo
8.2. Introdução
Na página de Introdução (Figura 4) são dadas todas as informações necessárias a respeito
de como usar os recursos do módulo. É também informado ao usuário que em caso de
dúvidas durante as atividades apresentadas basta a ele clicar no botão de Ajuda
que fica
no canto superior direito das páginas com atividades interativas.
Figura 4 – Introdução à Utilização do Módulo
8.3. Noções Básicas → Introdução
O aluno deverá seguir a seguinte seqüência de opções no menu: Noções Básicas –
Introdução, como se pode observar na Figura 5.
RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
7
Figura 5 – Noções Básicas – Introdução
Nesta página, o aluno verá alguns exemplos de aplicações da trigonometria e
conhecerá um pouco da sua história.
•
O professor pode discutir com os alunos sobre as aplicações, como são feitos os
cálculos, pode-se também simular uma determinada situação em que se apliquem os
conceitos de trigonometria para que os alunos a resolvam;
•
É importante que o professor motive os alunos a investigarem um pouco mais sobre
a história da trigonometria, utilizando as fontes sugeridas nesta página (sites de
universidades), outros sites e, também, livros da biblioteca da escola.
8.4. Noções Básicas → Arcos e Ângulos
O aluno deverá seguir a seguinte seqüência no menu superior: Noções Básicas –
Arcos e Ângulos, como se vê na Figura 6 a seguir:
Figura 6 – Noções Básicas – Arcos e Ângulos
Nesta página, que é textual, o aluno aprenderá a definição de arco de circunferência
e a relação entre grau e radiano. O professor deve atentá-lo quanto ao sentido da rotação
(horário ou anti-horário). Esta página possui um link que remeterá o aluno a um texto
contando um pouco da história do número π (pi), este número irracional transcendente.
Encontra-se neste texto uma fonte (site), podendo o professor sugerir outras, tais como:
sites de universidades, livros, etc.
8.5. Noções Básicas → Círculo Trigonométrico
O aluno deverá seguir a seguinte seqüência: Noções Básicas – Círculo
Trigonométrico, como se vê na Figura 7 a seguir:
RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
8
Figura 7 – Noções Básicas – Círculo Trigonométrico
Nesta página o aluno aprenderá a definição de ciclo ou círculo trigonométrico, de
quadrantes do círculo trigonométrico e de arcos côngruos. Esta página é textual e contém
um pouco mais de teoria. O professor deve se certificar de que os alunos compreenderam
bem a parte teórica, antes de prosseguir para as páginas seguintes. Uma sugestão é fazer
alguns questionamentos à turma, tipo: em qual quadrante se encontram os ângulos de
170º, 490º, 2π/3 rad, 5π /3 rad, etc.
8.6. As Funções Trigonométricas → Seno → Definição
Na página a seguir é apresentada ao aluno a definição da função seno no círculo
trigonométrico. Trata-se de uma página interativa, onde a informação é exibida sob
demanda do aluno, ele lerá os textos na página e clicará no botão
complete a definição (Figuras 8 e 9).
Figura 8 – As Funções Trigonométricas – Seno – Definição
, até que se
RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
9
Figura 9 – Definição da Função Seno
O professor deve observar que esta definição é, inicialmente, para ângulos agudos.
Haverá um breve comentário da extensão da definição para ângulos não agudos. Esse
comentário deverá ser complementado pelo professor e/ou aluno.
Durante a interação, o aluno pode solicitar ajuda movendo o cursor para o botão
no canto superior direito da página (Figura 10).
Figura 10 – Sistema de Ajuda
8.7. As Funções Trigonométricas → Seno → A Função Seno
Esta página é textual, sem animações. Nela serão apresentadas algumas
características da função seno, tais como: domínio, contradomínio, conjunto imagem,
periodicidade, amplitude e paridade. As definições de periodicidade e amplitude serão
exploradas em um outro módulo (Funções Trigonométricas – Propriedades)
RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
10
Figura 11 – A Função Seno
8.8. As Funções Trigonométricas → Seno → Gráficos → y = sen x
O aluno deverá seguir a seguinte seqüência no menu principal: As Funções
Trigonométricas – Seno – Gráficos – y = sen x, como se vê na Figura 12 a seguir:
Figura 12 – Gráfico de y = sen x
Esta página é um pouco mais iterativa que a página da Definição da Função Seno
(Figura 9). Aqui o aluno acompanhará a construção do gráfico da função y = sen x. A
interação é basicamente a seguinte:
•
Após escolher a opção y = sen x no menu da Figura 12, será exibida a
seguinte página:
RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
11
Figura 13 – Construção do gráfico y = sen x
O aluno deverá ler atentamente o texto explicativo dentro do retângulo vermelho e,
então, clicar no botão
para dar início à atividade interativa.
Em seguida, o círculo trigonométrico à esquerda ficará em negrito e à direita
encontrar-se-a um plano cartesiano, como se observa na Figura 14 a seguir. O professor
deve atentar-se à escala do plano, pois o número π (aproximadamente 3,14) no eixo-x é
equivalente ao número 0.5 no eixo-y. A diferença é unicamente para efeitos de visualização
e deve ser discutida com os alunos para que não haja nenhuma dúvida. O professor pode
sugerir que os alunos construam um gráfico obedecendo à escala usual, 1:1.
RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
12
Figura 14 – Círculo Trigonométrico e Eixos Cartesianos
Para obter ajuda, o aluno deve repousar o mouse sobre o botão
, onde estão
todas as instruções para a construção do gráfico de y = sen x, como se vê na Figura 15.
Figura 15 – Ajuda sobre como construir o gráfico de y = sen x
Esta ajuda é suficiente para a realização do experimento. Acompanhe o exemplo:
Digitaremos o valor 267 na caixa de entrada ao lado do círculo trigonométrico (lembre-se
que este valor representará o valor limite do intervalo em graus).
RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
13
Após clicarmos em
, à medida que o ponto A (cor verde) percorre o
círculo trigonométrico até o ângulo de 267º, o gráfico é construído à direita, no plano
cartesiano, como se verifica na Figura 16.
Figura 16 – Animação para a construção do gráfico de y = senx para x pertencente
ao intervalo fechado [0,267o]
Quando a construção do gráfico é finalizada, um texto explicativo é apresentado ao
aluno dando-o informações sobre o gráfico que acabou de ser traçado (Figura 17).
Figura 17 – Mensagem de feedback ao final da construção do gráfico
Ao clicar no botão
poderá ser construído.
, dentro do texto explicativo, um novo gráfico
RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
14
ATENÇÃO: a construção do gráfico não pode ser interrompida. Uma vez dado um
valor para o ângulo e clicado em
, o gráfico será construído instantaneamente.
O gráfico pode ser construído também pressionando-se a tecla ENTER, ao invés de se
clicar em
. Se o aluno der um valor para o ângulo fora do intervalo [-720, 720],
como por exemplo, -750, o seguinte texto aparecerá, “Atenção: Insira valores entre -720.00
e +720.00”, como pode ser observado na Figura 18.
Figura 18 – Mensagem de Alerta para valores fora do intervalo permitido
É importante que os alunos façam simulações tanto para ângulos positivos, quanto
negativos, tanto para ângulos menores que 360º quanto para ângulos maiores que 360º, para
que se observe a periodicidade via gráfico, sabendo que o comportamento do gráfico da
função y = sen x é o mesmo em cada intervalo de comprimento 2π.
Dica
Após os alunos terem construído o gráfico da função seno o professor poderá propor as
seguintes questões aos alunos:
1 – Quais as diferenças entre o gráfico da função seno quando se movimenta o
ponto P no sentido anti-horário e depois no sentido horário?
2 – Quais são os valores mínimo e máximo para a função seno?
8.9. As Funções Trigonométricas → Seno → Atividade
O aluno deverá seguir o seguinte endereço: As Funções Trigonométricas – Seno –
Atividades, como se observa na Figura 19.
RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
15
Figura 19 – Atividade interativa na construção do gráfico de y = sen x
Nesta página, o aluno poderá interferir mais na construção do gráfico de y = sen x,
através de manipulação direta, ao clicar sobre o ponto P e movê-lo (arrastando-o) ao longo
do círculo trigonométrico.
Primeiramente, o aluno deve escolher o sentido de movimento do ponto no menu
radio button no canto esquerdo da página. A escolha deve ser entre “Positivo”, se o
movimento do ponto for feito no sentido anti-horário, ou “Negativo”, se o movimento for
feito no sentido contrário.
Depois de escolhido o sentido, o aluno, com o botão esquerdo do mouse
pressionado, deve arrastar o ponto ao longo do círculo trigonométrico e observar a curva da
função sendo construída nos eixos cartesianos, na parte direita da página. Quando o aluno
solta o botão do mouse, a construção é finalizada, e um texto explicativo é apresentado ao
aluno dando informações sobre o gráfico que acabou de ser construído.
A Figura 20 a seguir ilustra essa atividade interativa na construção do gráfico de y =
sen x.
RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
16
Figura 20 – Construção Interativa do Gráfico de y = sen x
8.10. Aplicações → Jogo de Bilhar
A aplicação interativa Jogo de Bilhar tem o objetivo de fazer com que o aluno veja a
ligação de alguns dos conceitos fundamentais da trigonometria apresentados em situações
de um jogo de bilhar.
O aluno deve selecionar no menu superior a opção Aplicações – Jogo de Bilhar, como
ilustrado na Figura 21 a seguir:
Figura 21 – Aplicação da Trigonometria em um Jogo de Bilhar
O aluno deve, em seguida, clicar no botão “Iniciar” para começar o jogo (Figura
22).
RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
17
Figura 22 – Aplicação da trigonometria
Antes de iniciar o jogo propriamente dito, é importante que o aluno leia algumas
informações iniciais sobre o seu funcionamento (Figura 23). Nesta página também são
fornecidas algumas informações sobre o cálculo do seno, cosseno e tangente de um ângulo
α, utilizando-se os lados de um triângulo retângulo, onde sen(α)=cateto oposto/hipotenusa,
cos(α)=cateto adjacente/hipotenusa e tan(α)=cateto oposto/cateto adjacente.
Figura 23 – Informações sobre o Jogo de Bilhar e sobre o cálculo do seno, cosseno e
tangente de um ângulo α
Após o aluno clicar no botão “Iniciar Jogo”, a página da Figura 24 é apresentada:
RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
18
Figura 24 – O Jogo de Bilhar
Para acertar a bola na caçapa o aluno deve acertar o ângulo da tacada. O professor
deve explicar que a bola determina um triângulo retângulo com a borda da mesa e a caçapa.
A hipotenusa desse triângulo representa a distância entre a bola e a caçapa. O ângulo α é o
ângulo da tacada. O jogo fornece ao aluno as medidas dos catetos do triângulo retângulo e
com essas medidas ele é capaz de encontrar o ângulo α. Na Pergunta “Qual o valor do
ângulo α?”, ao clicar no botão “Calcular”, a seguinte janela é exibida (Figura 25),
obviamente para os valores atribuídos respectivamente aos catetos do triângulo, que no
caso de nossa figura, são ca = 5 e ca = 5 3 :
Figura 25 – Encontrando o valor de α
O aluno também pode encontrar a distância que a bola irá percorrer até a caçapa
(hipotenusa do triângulo retângulo), conforme ilustrado na Figura 26.
RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
19
Figura 26 – Encontrando o valor de h
Tendo encontrado o ângulo correto da tacada o aluno pode clicar no botão “Dar a
tacada!” e ganhar 100 pontos a cada tacada certeira (Figuras 27 e 28).
Figura 27 – Dando a tacada no Jogo de Bilhar
Figura 28 – Janela de feedback no Jogo de Bilhar
RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
20
8.11. Autores
Na página Autores, encontram-se os nomes da equipe RIVED/UFOP, dispostos em
ordem alfabética, composta por alunos, orientadores e colaboradores, dos Departamentos
de Matemática e da Ciência da Computação da Universidade Federal de Ouro Preto.
9. Depois da atividade
Após a atividade o professor pode formalizar os conceitos e propriedades
aprendidas e verificadas nas atividades interativas.
Pode-se realizar uma discussão geral sobre os conceitos abordados na atividade. De
preferência, na sala da informática, uma vez que, durante a discussão, poderá surgir a
necessidade de executar parte do módulo educacional novamente para esclarecer um
comentário, tanto por parte do aluno, quanto do professor.
Pode-se pedir aos alunos que relatem num primeiro momento suas observações,
vitórias e frustrações que ocorreram ao longo da execução da atividade.
10. Avaliação
A avaliação constará das próprias atividades contidas no módulo e poderá constar,
também, de um relatório sobre a atividade desenvolvida. Nesse relatório o aluno (ou a
dupla) deverá fazer uma síntese pessoal, abordando os conceitos e propriedades aprendidas,
e relatar como o software auxiliou no aprendizado do conteúdo. Os alunos deverão saber
que serão avaliados, tanto na discussão após os trabalhos, quanto no relatório que será
entregue posteriormente.
11. Atividades complementares
Como atividades complementares, o professor pode contar aos alunos algumas
curiosidades na área de trigonometria, por exemplo: “Por que o ângulo reto mede 90º?”
(Figura 29).
Sabemos que o ângulo reto mede 90º e que o ângulo raso mede 180º. Mas por que motivo os valores são 90 e 180?
No ano de 4000 a.C, os egípcios e árabes tentavam elaborar um calendário. Nessa época, se acreditava que o Sol levava
360 dias para completar a órbita de uma volta em torno da Terra. Assim, a cada dia o Sol percorria um pouquinho dessa
órbita, ou seja, um arco de circunferência de sua órbita. Esse ângulo passou a ser uma unidade de medida e foi chamado
de grau.
Então, para os antigos egípcios e árabes, o grau era a medida do arco que o Sol percorria em torno da Terra durante um
dia. Porém, hoje sabemos que é a Terra que gira em torno do Sol, mas se manteve a tradição e se convencionou dizer
que o arco de circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência.
Fonte: http://www.somatematica.com.br/curiosidades2.php
Figura 29 – Curiosidades
RIVED/UFOP – Guia do Professor: Conceitos Fundamentais da Trigonometria
21
O professor pode utilizar a Internet para buscar outras curiosidades para
compartilhar com os seus estudantes, por exemplo:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/
12. Conclusões
De maneira inteiramente análoga ao que foi apresentado para a função SENO, o
professor deverá trabalhar as demais atividades referentes às funções cosseno e tangente,
norteando pontos importantes, como intercessões das funções com os eixos coordenados,
variações de domínio, período e demais características.