EVERALDO CARMO DA SILVA
DM M É T O D O P A R A A S O L U Ç Ã O
00 P R O B L E M A G E O D É S I C O DI RETO
Dissertação apresentada ao Curso
de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas
para obtenção do Grau de Mestre em Ciências
pela Universidade Federal do Paraná.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
1978
UM m E t o d o
para
a
solução
do
problema
g e o d Esico
direto
DISSERTAÇÃO
Apr e se nta da ao Curso de Pós-Graduação em C i ê n c i a s
d isicas
para obtenção do Grau de Mestre
pela U n ive rsid a d e Federal
em
Ciências
do Paraná
por
EVERALDO CARMO DA S I L V A ,
Engenheiro Agrônomo
**********
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA
1978
ii
Geoi
Ä minha esposa e f i l h o s :
Raymunda D a r l i n d o
Isabel
Helena
e
Everaldo Jú n io r
S minha mãe M a ria
P er p et u a
AGRADECIMENTOS
A elaboração
autor,
de st e t r a b a l h o e x i g i u e s f o r ç o s
como também de p a r t e s
dest e PaTs.
Assim sendo,
integrantes
do processo
desejamos e x t e r n a r nossos
não
sé do
evo lutivo
agradec imen ­
tos ,
ao Dr.
Camil
duação em C i ê n c i a s
Gemael,
Geodésicas,
coordenador do Curso de
Pós-Gra
pelo i n c e n t i v o e o r i e n t a ç ã o na e-
la b o r a ç ã o de s te t r a b a l h o ;
a F ac u ld ad e de C i ê n c i a s A g r ã r i a s
dido meu af a st a m e n t o para r e a l i z a ç ã o
ã Escola Técnica
Federal
do Para por t e r conc£
do Curso;
do P ar ã pela compreensão
de­
monstrada p e r m i t i n d o também meu a f a s t a m e n t o ;
ao PEAS p e l a bo lsa de estudos co nc e di da ;
e a todas as pessoas que d i r e t a
tribuíram
para a r e a l i z a ç ã o
ou i n d i r e t a m e n t e
de st e t r a b a l h o .
iv
con­
SINOPSE
Este
trabalho apresenta
problema g e od é si co d i r e t o ,
um método para s o l u c i o n a r
tendo como p r i n c i p a l
termi naç ão do c o n t r a - a z i m u t e de uma g e o d é s i c a ,
das coordenadas
objetivo
o
a de­
em função d i r e t a
do p r i m e i r o ponto e do comprimento da mesma.
A p r e s e n ta
ções de t r i â n g u l o s
também um quadro de r e s u l t a d o s
g e od é si co s a t r a v é s
das
reso lu ­
de fórmulas f i n i t a s
e de­
se n v o l v im e n t o em s é r i e .
P ar a f a c i l i t a r
volvimentos,
apresentamos
râmetros do e l i p s õ i d e ,
sica
ao l e i t o r
sobre a s u p e r f í c i e
a compreensão de st e s
i n i c i a l m e n t e os restudos
desen­
sobre os pa­
seções normais e comportamento da geodé­
de um e l i p s õ i d e
v
de r e v o l u ç ã o .
SYNOPSIS
T h is
paper p r e s e n t s a method to s o l v e the
g e o d e t i c problem,
the main purpose being the d e t e r m i n a t i o n
the r e v e r s e azimuth o f a g e o d e s i c
th e c o o r d i n a t e s
It
of the f i r s t
a l s o p r e s e n t s a t a b l e showing the r e s u l t s
through c l o s e d
of
the
formulas
development.
the ma th em at ic al
normal
of
p o i n t and the g e o d e t i c d i s t a n c e .
In o r d e r to make easy f o r the r e a d e r to
of th is
of
computed as a f u n c t i o n
computations o f the g e o d e t i c t r i a n g l e s
and s e r i e s
d irect
th esis
d erivations,
some coment
sectio n s,
it
is
presented a t
about the
understand
the
e llip so id a l
begi nnin g
parameters,
and the b e h a v i o u r of the g e o d e si c about
surface of a re v o lu tio n
e llip so id .
the
CONTEÜDO
T itu lo
..........................................................................................
D edicatória
..................................................... .........................
Agradecimentos
Sin ops e
ii
1i i
..............................................................................
iv
...................................................................
v
Sy n o p s is
......................................................................................................
vi
Conteúdo
......................................................................................................
vii
CAPITULO I
1.0 In t r o d u ç ã o
......................................................................................
01
CAPITULO I I
2.0 El i p s o i de de r e v o l u ç ã o
2.1
Equação do e l i p s Õ i d e
...................
de r e v o l u ç ã o
2.2 Parâ met ros
do e l i p s Õ i d e
2.3 L a t i t u d e s :
geodésica,
e n t r e as mesmas
2.4 Seções normais
curvatura
03
de r e v o l u ç ã o
geocêntrica
....................................
04
..................................
06
e reduzida,
relações
...............................................................................
p rin cip ais
e seus r e s p e c t i v o s
raios
de
...........................................................................................
2.5 Raio v e t o r de um ponto do e l i p s Õ i d e
de
revolução
11
16
........
21
..........................................................
22
CAPITULO I I I
3.0 Seções
normais r e c í p r o c a s
3.1 Angulo formado por duas seções
3.2 Separa ção máxima e n t r e os ar cos
recíprocas
normais r e c í p r o c a s
....
de duas seções normais
.........................................................................................
vi i
26
27
CAPITULO IV
4.0
Linha g e o d é si ca no e l i p s õ i d e
4.1
Equação d i f e r e n c i a l
cie
de r e v o l u ç ã o
de r e v o l u ç ã o
4.3 D i f e r e n ç a
..........
30
4.4
sobre o e l i p s õ i d e
de
.....................
33
de comprimento e n t r e a l i n h a
seção normal
30
da l i n h a g e o d é s i c a sobre a s u p e r f i -
4.2 Comportamento da l i n h a g e o d é si ca
revolução
.......................
geodé si ca
e
a
........................................................... ......................... .
Angulo formado pe la s
seções
normais e a l i n h a g e o d é si ca
37
38
CAPITULO V
5.0
So lu çã o do problema ge odé si co d i r e t o
5.1
Equação do angulo a u x i l i a r
mute da l i n h a g e o d é s i c a
5.2
Equação da l o n g i t u d e
5.3
Equação da l a t i t u d e
5.4
S í n t e s e das formu las
.....................................
para o c a l c u l o
do contra-azj_
.................................................................
elipsÕ idica
elip sÕ id ica
41
41
..............................................
45
................................................
47
para o c a l c u l o
doco n t ra- a z im u te
l i n h a g e o d é s i c a e coordenadas e l i p s õ i d i c a s
da
do segundo
ponto ...........................
51
CAPÍTULO VI
6.0
So lu çã o numéri ca do problema g e od é si co
6.1
Programa em Linguagem de Programação FORTRAN' IV
6.2 Quadro Comparativo dos r e s u l t a d o s
d i r e t o ..... ...............
o b t id o s
pelas
............
55
formulas
de S0DAN0 e as a p r e s e n t a d a s .................... ....................................
vi i i
55
69
CAPITULO V I I
7.0 Comparação dos r e s u l t a d o s
ge odé si cos
se rie
das r e s o l u ç õ e s de t r i â n g u l o s
por formu las f i n i t a s
e dese nvo lv iment o
em
...................................................................................................
7.1 Quadro c om p ar a ti vo dos r e s u l t a d o s
t r i â n g u l o s g e odé si co s
das r e s o lu ç õ e s
74
dos
.........................................
76
CAPITULO V I I I
8.0
Conclusão
..........................................................................................
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
................................................................
77
79
APÊNDICE A:
Fluxograma e Programa em Linguagem FORTRAN IV
80
APÊNDICE B:
Re so lu çã o
.....................
89
.......................................................
89
B.l
de t r i â n g u l o s
Formula f i n i t a
geodési cos
B.2 Des en vo lv im e nto em s é r i e
..................................
89
B . 3 Teorema de LEGENDRE ............................................
90
ix
01
CAPÍTULO I
1.0 INTRODUÇÃO
Em Geodésia Ge ométrica a so l u ç ã o do problema geodésico
direto
e inverso,
de maneira g e r a l ,
proximação e s f é r i c a
po são r e a l i z a d a s
do e l i p s Õ i d e .
ca ( H ) .
Porem,
n ec es sit amos
do e l i p s Õ i d e de r e v o l u ç ã o .
nido apenas p e l a
ãs g e o d é s i c a s .
te t r a b a l h o
topográfica,
de t r ê s
latitu d e
Por e s t a
são r e a l i z a d o s
(A)
e altitu d e
com for mu las
trataremos
no de s e n v o l v im e n to de_s
e l i p s o i d i c a s . Neste propomos desenvoj^
e praticas
A so l u ç ã o de s te problema c o n s i s t e
( A ^ i ) da l i n h a
elipsÕ idicas
reta
e a distancia
tratando
(S)
do r e f e r i d o
são d e s e n v o l v im e n to s
para s o l u c i o n a r o problema geodé
em:
geodésica,
ponto,
sendo dados, as
o azimute
e n t r e os po nt o s.
problema.
em s é r i e
um grande volume de c a l c u l o ,
Tod avi a
Existe
te,
vasta
aplicação
principalm ente o calcu lo
d ireta
lite ra tu ra
resolutivas
e
e x i gi nd o
não o b s t a n t e o advento dos computa­
observando que as for m u la s j ã
te uma dependência
coordenadas
as fórmulas
de d i f í c i l !
c on t ra -
(A<,) da seção normal di_
dores que eliminam p a r c i a l m e n t e o ú l t i m o argumento.
mento do tema e n f a t i z a
d e t e r m i n a r as
(<j>,A) de um segundo ponto e o
do p r i m e i r o
derivadas
que são i g u a i s
sico
-azimute
geométri_
e longitude e li p s õ id ic a
simp les
coordenadas e l i p s Õ i d i c a s
Iji
do ponto é def_i_
v e r form ul as
d ireto .
e para d e f i n i ^
Neste caso a p r o j e ç ã o
razão,
de coordenadas
de cam
coordenadas que são:
(<{>), l o n g i t u d e g e o d é si ca
os c á l c u l o s
uma a-
As operações g e o d é s i c a s
sobre a s u p e r f í c i e
mos um ponto d e s t a ,
t i t u d e geodésica
c o n s i s t e em se f a z e r
existentes
das coordenadas
0 desenvolvj_
do contra-azimu-
apresentam para e s ­
do segundo ponto.
Este
02
fato
nos lev ou a c r e r numa p o s s í v e l
formula,
capaz de c a l c u l a r o
c o n t r a - a z i m u t e sem depender d i r e t a m e n t e das coordenadas
do segun
do ponto.
Para f a c i l i t a r
serão r e a l i z a d o s
a compreensão dos de se nvolvimentos
ap re sentaremos
r e p r e s e n t a r os parâmetros
uma p r i m e i r a p a r t e que consisteem:
do e l i p s Õ i d e
as coordenadas e l i p s Õ i d i c a s ; l i n h a
no e l i p s Õ i d e
de r e v o l u ç ã o
que
de r e v o l u ç ã o ;
representar
ge o d é si ca e seu comportamento
e o de se nv ol vim en to
form ula s que s o l u c i o n a r ã o o problema em f o c o .
teórico
de algumas
Numa segunda p a r t e
apresentaremos a so l u ç ã o numérica do problema e o programa c o d i ­
ficado
em linguagem de programação FORTRAN
IV.
sentaremos
um quadro c o m p ar a ti vo dos r e s u l t a d o s
triân gu los
g e od é si co s
através
Alem d i s t o ,
apre­
das r e s o l uções dos
de fó rm u la s f i n i t a s
e em s é r i e .
03
CAPÍTULO I I
2.0 E L I P S 0 I D E DE REVOLUÇÃO
0 prin cip al
objetivo
da Geodé sica Geométrica é a dete£
minação das coordenadas g e o d é s i c a s ,
cas de um ponto.
e le ja
Para
são e fe t u a d a s
e b a s t a n t e complexa,
l a ç õ e s matemáticas
sobre a s u p e r f í c i e
sim pl es
tornando
i m p o s s ív e l
su p e rfície
equipotencial
Todavia,
ra o de s e n v o l v im e n to
su p erfície
r â m et r o s.
fís ic a ,
su p erfície
esférica
ser d efinid a
contece,
su­
e s t a b e l e c e r rje
e n t r e os mesmos,
Esta,
Há
geodésicos,
uma
por sua vez ,
ê
por um número i n f i n i t o
da T e r r a ,
por um ún ico pa râ m e t ro ,
de p£
te ría mo s
g e od é si co s
da T e r r a .
seu r a i o .
Como i s t o
não
NEWTON, a t r a v é s
para a T e r r a .
paz de r e p r e s e n t a r a T e r r a ,
aa
e que melhor se aproxime da fo_r
de suas
especulações
levando em c o n s i d e r a ç ã o o campo g r a v í f i c o ,
ma e l i p s o i d a l
uma
b a s t a n t e sim ple s por
ou tro modelo deve s e r adotado de forma a f a c i l i t a r
ma v e r d a d e i r a
a
como ac o n te c e com a
um achatamento (a=0)
representativa
condução dos c á l c u l o s
em
o geoide t o r n a - s e i n c o n v e n i e n t e pa­
por s e r d e f i n i d a
tivesse
tais
médio dos mares prolongado ao l o n ­
dos c á l c u l o
Se a T e r r a
Esta
de parâmetros e n v o l v i d o s .
chamada g e o i d e .
que mais se aproxima do n í v e l
go dos c o n t i n e n t e s .
da
e n t r e os elementos g e o d é s i c o s ,
do número i n f i n i t o
As
fís ic a
topográfica.
coordenadas de dois pontos e d i s t â n c i a
decorrência
ricas,
se faz n e c e s s á r i o que se
comumente co nhecida por s u p e r f í c i e
p erfície
como:
determinação,
uma s u p e r f í c i e que melhor r e p r e s e n t e a forma da T e r r a .
medidas g e o d é s i c a s
Terra,
tal
também chamadas de e 1 ipsÕid_i_
teé
p o s t u lo u a for;
Desta forma chegamos a um modelo c a­
que é o e l i p s Õ i d e de r e v o l u ç ã o .
Es te
04
modelo
apresenta
as vantagens
renças em r e l a ç ã o a forma r e a l
metros:
semi-e ixo maior ( a )
de não e s t a b e l e c e r grandes d i f e ­
e por s e r d e f i n i d o por dois
e achatamento
(a).
Atualme nte e x i s ­
te ou tro
e l i p s õ i d e que r e p r e s e n t a
a Terra,
triax ial
ou e s c a l e n o .
sua u t i l i z a ç ã o
te,
eix os
triax ial
Õ definido
de tamanho d e s i g u a l ,
ção do semi-e ixo m a io r .
d i a n t e for mu las
2.1
chamado de e l i p s õ i d e
não e f r e q ü e n ­
por a p r e s e n t a r r e l a ç õ e s matemãticas b a s t a n t e s
0 elip sõ id e
três
No e n t a n t o ,
parã
trabalhosas.
por q u a t ro pa râm et r os ,
e um ângulo que o r i e n t a
sendo
a d ire­
0 p r e s e n t e t r a b a l h o serã d e s e n v o l v i do me
derivadas
do e l i p s õ i d e
de r e v o l u ç ã o .
EQUAÇÃO DO E L IP S Õ ID E DE REVOLUÇÃO
As q u ã d r i c a s
centricas
são d e f i n i d a s
pe la
equação,
( 2. 1. 1)
Quando todos os s i n a i s
forem p o s i t i v o s ,
a (2.1.1)
toma a
forma
segui n t e :
( 2. 1. 2)
a qual
representa
um e l i p s õ i d e
escaleno
com c e n t r o
na origem do
05
siste ma c a r t e s i a n o
considerado,
fig .
( 2 . 1. 1).
z
F ig . (2.1.1.)
A co ndição
elipsÕ ide
triax ial
da equação ( 2 . 1 . 2 )
e que os se mi-eixos
do
cumpram a s e g u i n t e ordem de grandeza
b < c < a
0 elipsÕ ide
triax ial
ou e s c a l e n o a p r e s e n t a as
seguintes
caract£
r î s t i cas :
a) As c ô n i c a s
dete rmin ad as pel os
X=0 r e s p e c t i v a m e n t e são e l i p s e s
2
^
a
b)
0 elipsÕ ide
*
2
+ -^ = 1 ;
c
2
planos coordenados 1=0, Y=0 ou
dadas pel as
2
2
* 7 + 77 =
a
b
1 ; ^7
c
é s i m é t r i c o em r e l a ç ã o
^
são seções p la na s
equações:
2
+ 77 = 1
b
a cada um dos planos
—
de uma q u a d r i c a .
co-
06
o rd en ad os.
c) A c ô n i c a ,
equação
interseção
da q u ã d r i c a
com o plano Z=d e dada
|6| ,
(2.1.3)
= 1
ij
b
a qual
representa
<b2-d2 )
( b 2-d2 )
b
uma e l i p s e .
Es t a
t e r ã parâmetros menores a me­
dida que d aumenta e a n u l a - s e para d =b nos p o i o s .
ga v e r i f i c a m o s
que as seções p a r a l e l a s
y=0 e x=0 também são e l i p s e s .
seções p a r a l e l a s
mos o e l i p s õ i d e
ja
aos planos
Fazendo a=c na ( 2 . 1 . 2 ) ,
de r e v o l u ç ã o ou b i a x i a l .
zemos que o e l i p s õ i d e
rotação
De forma analc)
coordenados
todas
as
ao equador se rão c i r c u n f e r i n c i a s . Assim o b t e r e ­
o modelo da T e r r a ,
da pe la
pela
Para que e s t e ú lt i m o s_e
temos que impor a condição a > b.
Logo d i ­
de r e v o l u ç ã o ach atado é a s u p e r f í c i e g e r a ­
de uma e l i p s e
em torno de seu eix o menor,
e
a
( 2 . 1 . 2 ) toma a f o r m a ,
2 2
x +y
T~
z2
(2.1.4)
2.2 PARÂMETROS DO E L I S P 0 I D E DE REVOLUÇÃO
Como o e l i p s õ i d e
de r e v o l u ç ã o
i r ã o se d e s e n v o l v e r os estudos a s e g u i r ,
e o modelo sobre a qual
Õ de c o n v e n i ê n c i a
que
07
se fa ç a
uma a n á l i s e
sobre seus pa r â m e t ro s.
por planos que contenham o eixo de r o t a ç ã o
são e l i p s e s
de semi-
T a i s a fi r m a ç õ e s
decorrem
-eixo maior
(a)
da ( 2 . 1 . 4 ) .
Assim q u a l q u e r r e l a ç ã o o b t i d a
valida
e semi-eixo menor ( b ) .
para as demais,
de de r e v o l u ç ã o .
As seções produzidas
para uma seção
e por c o n s e g u in te v á l i d a
Consideremos a f i g .
se rá
para o e l i p s õ i -
(2 .2 .1 ).
Fig. (2.2.1.)
A e l i p s e meridiana
do ponto
do plano coordenado x=0 c u j a
0 elipsõ id e
metros:
traves
(o ,y,z)
õ o b t id a
pe la
interseção
equação se e s c r e v e ,
de r e v o l u ç ã o f i c a
definido
por dois
parâ­
os semi--eixos a e b. Tod avia, por t r a d i ç ã o o de fi nim os a_
dos parâmetros semi-eixo maior
A fig .
-distância
focal
(2.2.1)
(f),
(a)
mostra uma e l i p s e
da qual
e o achatamento
de c e n t r o
(0)
(a).
e semj_
podemos d e f i n i r os s e g u i n t e s
parâ
08
metros:
a)
semi-eixo maior ( a )
da e l i p s e ;
b) semi-eixo menor ( b )
da e l i p s e ;
c)
achatamento
(a)
e a razão e n t r e a d i f e r e n ç a
dos semi-eixos em
modulo e o semi-eixo maior
a =
= i - £
a
d) p r i m e i r a
focal
excentricid ad e
(e)
2
centricidade,
(2.2.3)
&
meridianas
ig u ais,
terão a
mesma ex­
que s e r á a mesma do e l i p s õ i d e de r e v o l u ç ã o .
Segunda e x c e n t r i c i d a d e
(e ‘ ) i
a razão e n t r e a
sem i-distãncia
e o semi-e ixo menor da e l i p s e .
2
2 1/2
e 1 = £ = -Í2—
---
Os parâmetros a,
tros
do e l i p s õ i d e
-lo,
desde que,
b, a ,
de r e v o l u ç ã o .
um s e j a
As r e l a ç õ e s
e,
(2.2.4)
e*
Da ( 2 . 2 . 3 )
e
2
=
são os p r i n c i p a i s
Dois são s u f i c i e n t e s
de grandeza
temos,
a 2 - b2
,
b2
j
= 1 - -j
a
a
parâme­
para definj_
lin ear.
e n t r e as e x c e n t r i c i d a d e s
gunda ( e ' ) são:
donde
semi-distancia
2 1/2
Sendo as e l i p s e s
focal
e a razão e n tr e a
e o semi-eixo maior da e l i p s e .
e =- =
a
e)
( 2. 2 . 2 )
a
primeira
(e)
e S£
09
^
Ô
= 1 - e2
Da ( 2 . 2 . 4 )
r . 2 -_
G
(2.2.5)
temos
2
2
■" '
a
-
a
2
—n
b
,I
b
donde
a2
= 1 + e 12
logo
~7 - —
7
a
1 + e'
Comparando a
as s e g u i n t e s
relações
( 2. 2. 6)
. (2.2.5)
com a
. (2.2.6)
obteremos
e n t r e a p r i m e i r a e x c e n t r i cid ad e e a seguji
da e x c e n t r i c i d a d e :
1 - e2 = — 1
e2 - 1 - — 1
1 + e -2
e .2
e = (— ê
1 + e'
)
1/2
(2.2.7a)
2
1/2
e 1 = (— ——rj)
1 - e
As r e l a ç õ e s
cid ad e
e
achatamento
(2.2.7b)
e n t r e o achatamento e a p r i m e i r a e x c e n t r j
e
a
segunda
excentricid ad e
são:
10
da (2.2.2)
temos
<x = 1 - 7a
Da ( 2 . 2 . 5 )
( 2 . 2. 8 )
temos
7 = (1 - e 2 ) 1/2
(2.2.9)
a
Substituindo
as r e l a ç õ e s
Substituindo
na
(2.2.8)
o v a l o r de
da
(2.2.9)
temos
e n t r e o achatamento e a p r i m e i r a e x c e n t r i c i d a d e
a = 1 - (1 - e 2 ) 1/2
( 2. 2. 10a)
e = ( 2a - a 2 ) 172
( 2 . 2. 10b)
na
. (2.2.8)
obtemos as r e l a ç õ e s
o valor
de ^ dada pe la
.
(2.2.6)
e n t r e o achatamento e a segunda e x c e n t r i c i ­
dade
a = 1 - (
1
7)
1/2
(2.2.11a)
1 + e'
n2
1
(1 - a)
= ------- 7
1 + e1
e' 2
1
d
" a)
e ' 2 = .■-2 a ' . -a2?
(1 - a ) '
(2.2.11b)
2.3 LATITUDES:
E L I P S O I D I C A , GEOCÊNTRICA
E
REDUZIDA,
RELAÇÕES
ENTRE AS MESMAS
Consideremos um ponto
ca,
fig .
(2 .2 .1 ).
com sua p r o j e ç ã o
A normal
um ponto,
ao e l i p s Õ i d e
e lip sõ id ica
Se a p r o j e ç ã o
então <
}> =
lo g o ,
(Z=0)
um
m isfério
trica
da normal
o ponto e s t a r á no p o lo .
no h e m i s f é r i o
su l.
A latitu d e
apresenta
a mesma v a r i a ç ã o
geocên­
vetor
fig .
he­
deste
( 2. 2. 1).
e conveção da
geodésica.
0 elipsÕ ide
de r e v o l u ç ã o possui
pais,
uma com r a i o
igual
ao semi-eixo m a io r ,
lip so id e ,
fig .
igual
é t a ng e n te ao e l i p s Õ i d e
esférica
reduzida".
duas e s f e r a s
ao semi-eixo menor e a o u t r a
ambas c o n c ê n t r i c a s ,
com
com c e n t r o
esférica
de r a i o
igual
raio
no
e-
ao longo da l i n h a
é conhecida
por " e s f e r a
A cada ponto P-j s i t u a d o
ao semi-eixo maior
e q u ato rial.
de j a c o b i "
sobre o e l i p s Õ i d e
fazemos c o r r e s p o n d e r um ponto P^ da e s f e r a
vés do prolongamento da ordenada de P-j. A f i g .
ma r e l a ç ã o
princj_
(2 .3 .1 ).
A su p erfície
ção ,
no
A latitu d e
sobre o plano e q u a t o r i a l ,
geocêntrica
for
A latitu de
e por .convenção a consideramos p o s i t i v a
norte e negativa
que
com uma variação
ponto com sua p r o j e ç ã o
p erfície
ângulo
ao plano e q u a t o r i a l
(i|>) do ponto P| é o angulo formado pelo r a i o
latitu de
forma
(<}>), também co nhecida por lati_
ge o d é si ca é medida ao longo da e l i p s e m e rid ia n a
de - y -S <
f> ^ y»
e li p s Õ i d j_
passante por
sobre o plano e q u a t o r i a l
chamamos de l a t i t u d e
tude g e o d é s i c a .
sobre a s u p e r f í c i e
existente
e n t r e as ordenadas
Es t a
su­
ou " e s f e r a
de
revolu
reduzida,
(2.3.1)
atra­
mostra _u
dos pontos P^ e P^.
12
z
Fio- (2.3.1.)
Latitude
tor
red uz ida
(y)
((TF^ ) do ponto imagem sobre a e s f e r a
ção sobre o plano e q u a t o r i a l .
venção das l a t i t u d e s
caso em que <
j> =
são chamados
mal.
não s i t u a d o s
as d i f e r e n ç a s
A
(2.2.1)
os
r e s p e c t i v a m e n t e de
relação
N'
entre
ve
proje­
e geocêntricas.
= y = <
j> para pontos s i t u a d o s
Na f i g .
reduzida e sua
obedecem as s e g u i n t e s
a) \p < y < <
j> para pontos
raio
Ap re se nt a a mesma v a r i a ç ã o e con­
ge o d é s i c a s
As l a t i t u d e s
b)
5 o ângulo formado pelo
nos poios e equador;
entre elas
no
são máximas.
nos poios e equador.
segmentos
grande
os segmentos
= N (1 - e 2 )
cara cterT stica s:
PájT = N e P^B = M'
normal
e
pequena no£
em foco e | 6 | ,
(2 .3.2)
13
Agora,
com base nos conhecimentos a n t e r i o r e s ,
podemos
e s t a b e l e c e r as coordenadas de um ponto da e l i p s e m e r i d i a n a
função
das l a t i t u d e s
e relações
As coordenadas
( 2 . 2 . 1) ,
e n t r e as mesmas.
cartesianas
em função da l a t i t u d e
retilT n eas
geocêntrica
do ponto P-j, fig.
são:
y = ÜT5”^ cosifj
(2.3.3)
z =
(2.3.4)
Na f i g .
senij;
(2.3.1)
obtemos as coordenadas r e t i l T n e a s
ponto P.| em função da l a t i t u d e
r e du zi d a
y = a cosy
(2.3.5)
z=bseny
(2.3.6)
geodésica,
sendo -jy o c o e f i c i e n t e
fig .
do
(y)
Par a o b t e r as coordenadas de um ponto P-j , em
da l a t i t u d e
em
derivemos a ( 2. 2 . 1)
a n g u l a r da ta n g e n te ã cu rv a
( 2 . 2 . 1 ) temos
= tg
função
(£ + <J>) = - cotg<|>
donde
cotg<j> =
a z
no ponto P-j,
14
T
a
I n t r o d u z i n d o o v a l o r de z na equação da e l i p s e (2 .2 „ 1 )
obtemos
v
2
, b y
a
2 .2
tg
.
<
f> _ i
b a
2 2 , , 2. 2,
4
ay
+ b tg
<
f> = a
y
?
=
a 4
--- % ----j —
a + b tg
(|>
Introduzindo
na
. (2.3.9)
(2.3.9)
~
2
2
2
a expressão b =a (1 - e )
vem
y2 =
-
a
a4 _
„
+ a (1 - e ) tg
<
J>
_
4
2
2.
a
a cos 4>
p n
K
n
jj7“
a +a (1 -e ) tg ' <
í>
1-e
sen <
{>
donde
y
--------------- ^
(2.3.10)
(1 - e^sen^<j>)
Para o b t e r a ordenada z em função da l a t i t u d e 4 ,
troduzimos a
. (2.3.10)
na
. (2 .2 .1 ),
in ­
apos s impl i f i cações o_b
temos
z a ..a (1 - e2 ) s e n ^
(1 - e
sen^«í>)
( 2 . 3. 11)
15
D i v i d i n d o membro a membro a
(2.3.10)
(2.3.11)
pela equação
vem
j= (1
Considerando a f i g .
(2.2.1)
tg
Comparando a
- e2) tg t
(2.3.12)
podemos e s c r e v e r que,
=y
(2.3.13a)
. (2.3.12)
com a
. (2.3.13a)
temos
tg \p = (1 - e 2) tg <
J>
a qual
mostra a r e l a ç ã o
existente
(2.3.13b)
entre a la t it u d e
geocêntrica e
geodisi c a .
D i v i d i n d o membro a membro a
(2.3.5)
pela
equaçao
temos
l
y
= i. tg p
(2.3.14a)
«
I n t r o d u z i n d o na
(2.3.1)
. (2.3.6)
(2.3.14a)
o v a l o r de y dado
pela
vem:
|
2 1/2
= (1 - e )
tg y
Comparando a
(2 »3 „1 4b )
(2.3.14b)
com a
. (2.3.13a)
obte­
mos
tg ij> = (1 - e 2 ) ^ 2 tg p
(2.3.15 )
16
a qual
estabelece a relação
entre a la t it u d e
geocêntrica
e
re­
du zi da .
Comparando a ( 2 . 3 . 1 3 b )
entre a la t itu d e
com a ( 2 . 3 . 1 5 )
temos a r e l a ç ã o
re d u z id a e a g e o d é si ca
o 1/2
tgy
2.4
SEÇÕES
NORMAI S
= (1 - e )
PRINCIPAIS
tg<{>
E SEUS
(2.3.16)
RESPECTIVOS
RAIOS
DE
CURVA­
TURA
Por um ponto P-j sobre a s u p e r f T c i e de um e l i p s õ i d e
revolução,
podemos c o n d u z i r i n f i n i t o s
ma a s u p e r f T c i e .
seguinte,
to,
planos que contenham a nor
Qual quer plano que contenha a normal,
e por co_n
p e r p e n d i c u l a r ao plano tan ge n te ao e l i p s õ i d e
nest e po_n
é chamado de plano normal. A c ur va
de um plano normal
ção normal.
resultante
da
interseção
com a s u p e r f T c i e e l i p s Õ i d i c a é chamada de s e ­
Em cada ponto existem duas seções normais p r i n c i p a i s
que são mutuamente p e r p e n d i c u l a r e s
to sã o,
e cujas
curvaturas
nesse pon­
uma maxima e o u t r a mTnima.
Demonstra-se que o ponto P^ sobre a s u p e r f T c i e
elipsõ id e
das,
de r e v o l u ç ã o possui
seção normal
m e r i d i a n a e do p r i m e i r o v e r t i c a l .
ve rtica l
seção m e r i d i a n a
no ponto P-j, f i g . ( 2 . 4 . 1 ) .
0 raio
primeiro v e r t i c a l
da seção
um
chama^
A seção n or ­
é gerada pelo plano ü p e r p e n d i c u l a r
de c u r v a t u r a
da seção me ri diana
e da seção
representamos por M e N r e s p e c t i v a m e n t e .
meridiana,
coordenadas r e t i l T n e a s ,
curvatura;
de
as seções normais p r i n c i p a i s
mal do p r i m e i r o
vatura
de
quando e s t a
z= f(y),
é
e expressa emfunção
obtida
da formu las g e r a l
ã
do
A cu_r
das
de
17
Fig. (2.4.1 )
d2z
dy^
K =
(2.4.1)
T fl
1+^ ) ‘
A equação da e l i p s e m e r i d i a n a em coordenadas r e t i l T n e a s
pela
dada
( 2. 2. 1)
a
+ TT "
b
1
.2 2 ,
2 2
2. 2
by
+ az
= a b
As d e r i v a d a s
são:
e
de p r i m e i r a
(2.4.2)
e segunda ordem
da
(2.4.2)
Sub st i tu i nd o as derivadas
'
K =
77
na
(2.4.1)
temos
(2.4.4)
T /2
't ê M
?7
Introduzindo
( 2* 3 . 1)
•
obtemos
na
. (2.4.4)
o v a l o r de b
a equação da c u r v a t u r a
em função das coordenadas o r t o g o n a i s
?
V
tirado
da e l i p s e
da
m e rid ia n a
retilTneas*
?
-a- ( l - K l
z^
K = -
3/2
[ z 2 + (1 ■ e V ]
a 2(1 - e 2 )
(2.4.5)
T/2
[ z 2 + (1 - e 2 ) y 2]
Introduzindo
pela
. (2.3.8)
e
em função da l a t i t u d e
na
. (2.4.5)
. (2 .3 .1 0 ),
geodesica.
os v a l o r e s
de z e y
obtemos a c u r v a t u r a
dados
m e ri d i a n a
4
2
b^a^{sen^<J>+^-2r ( 1-e^) cos^<j>}
b4
4
?
?
a (1 -e sen <)>)
2, 2
a (1 - e )
3
a3(l
3/2
.(1
- e s e n <t>)
2 ^
- e )
2
2 3/2
(1 - e sen <j>)
K =
(2.4.6)
a (1 - e )
0 sinal
indica
o s e n t i d o da c u r v a t u r a .
vaturas
são p o s i t i v a s ,
em d e c o r r ê n c i a
Em Geodesia
todas as c u r ­
da convexidade s e r v o l t a d a
para o i n t e r i o r da s u p e r f í c i e .
0 raio
da c u r v a t u r a
num ponto de uma curva e o i n v e r s o
de sua c u r v a t u r a
n e s t e ponto.
Portanto,
o raio
de c u r v a t u r a
da
seção m e r i d i a n a e:
2
(2.4.7)
T77
2, v
(1 - e sen <j>)
Consideremos agora a curva
plano p a r a l e l o
esta,
obliqua
ao xy,
resultante
pa ss a n t e pelo ponto
a seção do p r i m e i r o
v e rtic a l.
i n t e r c e p t a m segundo a tan ge n te ao e l i p s o i d e .
da i n t e r s e ç ã o
fig .
(2 .4 .2 ),
Ambas as seções
do
sendo
se
Assim podemos enun-
20
c i a r o teorema ae MEUSNIER r e f e r e n t e ãs seções o b l i q u a s :
de c u r v a t u r a
da seção o b l i q u a e i g u a l
ção normal m u l t i p l i c a d a
ç õe s .
Este,
i
ao r a i o
o
raio
de c u r v a t u r a da se
pelo co-seno do angulo formado pe la s
se­
r e p r e s e n t a d o pe la equação,
r = N coS(j)
(2.4.8)
Fig. (2.4.2)
De acordo com os elementos j a
(2.4.2)
definidos
e a
figura
podemos e s c r e v e r :
r = y = -----------
m
(2.4.9)
(1 — e^ sen^cf>)
logo
m
N = -------- a-------- r-77
(1 - e
sen <J>)
Com base no que f o i
nada de um ponto
(2.4.10)
T77
demonstrado podemos o b t e r a o r d e ­
em função da pequena normal
z = N'
sen<f>
( N 1) .
(2.4.11a)
21
Substituindo
na ( 2 . 4 . 1 1 a )
N'
por seu v a l o r dado pela
(2.3.2)
ob­
temos :
z = N(1 - e ^ ) sen<j>
(2.4.11b)
2.5 RAIO VETOR DE UM PONTO DO E L IP S O l D E DE REVOLUÇÃO
Podemos o b s e r v a r na f i g .
(2.2.1)
P.|, r e f e r e - s e ao segmento ITF^=R, d i s t a n c i a
de a um ponto P^ sobre sua s u p e r f T c i e .
uma v a r i a ç ã o
E s t e segmento a p re s e n ta
re-
de um ponto P^ e dado por:
Substituindo
equações
pressão
de
do e 1ipsÕj_
v e t o r em função das coordenadas o r t o g o n a i s
R = (y
las
do c e n t r o
vetor
de b ^ R <: a.
0 raio
tílin e a s
que o r a i o
(2 .4 .8 )
do r a i o
2
2
+ z )
(2 .5.1)
na ( 2 . 5 . 1 )
e (2.4.11b)
y e z por seus v a l o r e s
respectivam ente,
v e t o r em função da l a t i t u d e
obtemos
dados pe^
a
ex­
geodésica.
1/2
R =
'
2
2
2
N cos <
j>+N (1-e
2
2
) sen <
J>
1/2
N^{cos%+(l-2e^+e^)sen^<í>}]
R =
N
2
2
2
1+e sen <j>(e -2 )
'
1/2
(2 .5.2)
22
CAPÍTULO I I I
3.0 SEÇÕES NORMAIS RECÍPROCAS
Sejam dois
lip sõ id e
pontos P^ e P 2 sobre a s u p e r f í c i e
de r e v o l u ç ã o ,
com l a t i t u d e s
<
f>^ e cf>^* t a l
longitudes
X.^ e X,, também d i f e r e n t e s ,
su p erfície
elipsÕ idica
ção do e l i p s õ i d e
mentos de r e t a
normais
PP'
em do i s
(3 .0 .1 ).
pontos d i f e re n t e s
e-
que , |<j>-|J < | <{>,, | e
As normais a
de cada ponto i n t e r c e p t a m o eixo de
definidos
dos pontos
fig .
de um
rota_
n^ e n2 • Os
por P ^n -j =N^ e P2n2=^2 sa0 as
seg­
grandes
P-j e P^ r e s p e c t i v a m e n t e .
z
Fig. (3.0.1 )
Lembrando que N-j e N2 são os r a i o s
çao nornval
do p r i m e i r o
tivamente,
calculados
gura
(3.0.1)
ve rtica l
pela
da
se
do ponto P^ e do ponto P^ respec,
. (2 .4 .1 0 ).
que quanto maior a l a t i t u d e
A seção normal
de c u r v a t u r a
resultante
Observamos tambem na fi_
maior a grande normal.
da i n t e r s e ç ã o
do plano
que
23
contém a normal
é dita
em
"s e ç ã o normal
ta no s e n t i d o
lução é d i t a
P^.
Para
A seção r e s u l t a n t e
d ireta"
de
identificarm os
este s e n tid o ,
As duas seções
são chamadas de " se ç õ es
e longitudes
Os casos p a r t i c u l a r e s ,
de r e v o ­
nor­
no s e n t i d o de
de um ponto P^ pa_
o ponto quee s t i v e r mais ao
planos que definem as seções normais
do as l a t i t u d e s
direta
a seção mais ao sul
plano
para p-|> ou seção
por uma s e t a
a seção normal
uma s e ­
do
com o e l i p s õ i d e
? 2
de P^ para P^,, i n d i c a d a
ra P 2 » tomamos comor e f e r ê n c i a
e para
revolução,
da i n t e r s e ç ã o
em P ? e o ponto P^,
"s e ç ã o normal
reciproca
com o e l i p s õ i d e
d i r e t a " de P^ para P,,, i n d i c a d a por
de P .
que contem a normal
mal
e o ponto P^,
su l,
é a d i r e t a , f i g . (3.0.1).
normais r e c i p r o c a s " .
reciprocas
são d i f e r e n t e s
em que as normais
Os
não coi nci dem quan
e n t r e s i , f i g . (3.0.1).
se i n t e r c e p t a m ,
ou seja,
são c o p l a n a r e s :
a) quando os dois pontos
P^ e P^ possuem a mesma l a t i t u d e ,
seja,
p a rale lo ,
pertencem ao mesmo
fig .
(3 .0 .2 );
b) quando os dois pontos
P^ e P ? possuem a mesma l o n g i t u d e ,
seja,
meridiano,
pertencem ao mesmo
z
X
Fig. (3 .0 .2 )
ou
fig . (3.0.3).
ou
24
Fig . (3 .0 .3 )
Desta forma,
tudes
ig u a is,
tanto
as seções
no caso de l a t i t u d e s
normais
reciprocas
Consideremos agora t r ê s
perfTcie
de um e l i p s o i d e
possTvel
in stalar
tical
c o in cid ir
o v értice
normal
um t e o d o l i t o
com a normal
d ireta
de P^ para P^.
v i s a d a do t e o d o l i t o
seria
p o d e r ia
ser f e i t a
duplicidade
Quando apontado
reciproca
para os o u tr o s
do e l i p s o i d e
de
ao
de P-j para P^. A mesma
vértices.
P^ P 2 P 3 não f i c a r i a
normais.
para
com o plano da seção
a su p erfície
como podemos o b s e r v a r na f i g .
das seções
fosse
P-j,fazendo o eixo ve£
co in cid iria
in te rcep ta ria
que o t r i â n g u l o
neira ú nica,
no v é r t i c e
Se
De P 2 apontado para P^ o plano
longo do plano da seção normal
an álise
P^ e P^ sobre a sjj
fig . (3 .0 .4 ).
ao ponto P^.
o plano de v i s a d a
? 2
são c o i n c i d e n t e s .
pontos P j ,
de r e v o l u ç ã o ,
como de 1ongj_
A
conc lusã o
determinado
(3 .0 .4 ),
de
em f a c e
ma­
da
25
F ig .(3 .0 .4 )
Para d e f i n i r m o s
maneira ú n i c a ,
o triân g u lo
eTipsõidico
temos que l i g a r os v é r t i c e s
P^ P^ P^
de
P^ P ^ P 3 a t r a v é s
do
menor caminho. A c ur va que r e p r e s e n t a o menor caminho e n t r e dois
vértices
ge od é si co s
e a seçao normal
mesmo ponto,
as seções
ra
direta
de r e v o l u ç ã o
do P^ nem a seção normal
e sim uma c u r v a ,
normais
(3 .0 .5 ).
P-j e P^ sobre o e l i p s õ i d e
recíprocas
em g e r a l ,
reversa,
recT pr oc a
situada
denominada de " g e o d é s i c a " ,
z
F i g . (3 .0 .5 )
nãõ
do
entre
fig u ­
26
3.1
Angulo
formado
Ja
por
duas
sabemos que dois
de um e l i p s Õ i d e
de r e v o l u ç ã o
tes definem duas seções
gulos formados p e l a s
equação dada
reciprocas
pontos P-j e P^ sobre a
reciprocas,
normais
fig .
recT p ro cas
diferen_
(3 .0 .5 ).
Os ân­
são o b ti d o s
•2ç-2
p
S senAç sen2<}>
-p- (sen 2A s c o s ^4»------)
Como a d i f e r e n ç a
duas seções
pela
normais
re c T p ro c a s em P 1 e P^
e muito pequena,
respectivamente,
(3 .1 .1 ),
que,
e s t a aproximação não comprometera a p r e c i s ã o
vamos c o n s i d e r a - l o s
na so l u ç ã o do problema g e odé si co d i r e t o
gonais g e o d é s i c a s
ig u ais,
visto
dos r e s u l t a d o s
em qu a l q u e r s i t u a ç ã o .
( 0 ) formado por duas seções normais
g i r a ordem dos c e n t i s i c o s
(3.1.1)
e n t r e os ângulos 0^ e 0^ formados pe­
fig .
ângulo
superfTcie
de coordenadas e l i p s o i d i c a s
normais
seções
normais
11 | :
6 =
las
seções
0
recT p rocas pode a t i n ­
de segundos nas t r i a n g u l a ç õ e s
e p o li­
clá ssica s.
F ig . (3.1.1)
Tendo em v i s t a
e s t a aproximação 61=©2 * Podemos a f i r m a r
que e s t e angulo depende d i r e t a m e n t e
p r i m e i r o ponto
(P^,
latitu d e
dos elementos ge odé si cos
e lip so id ica
(-,),
azimute da
do
seçao
27
normal
direta
( A $ ) contado a p a r t i r
e do comprimento
(S)
da l i n h a
do n o r t e no s e n t i d o h o r á r i o
geodesica.
Inde pendente da d i s t a n c i a
do
a latitu d e
seção normal
e lip so id ica
direta
( )
(A<.) f o r
for
(S)
igual
igual
o angulo 0 Õ máximo quajn
a zero e o azimute
da
a
3.2 SEPARAÇflO MAXIMA ENTRE OS ARCOS DE DUAS SEÇOES NORMAIS RECÍ
PROCAS
Sejam dois
des
( A)
ção.
P.|
diferentes
A fig .
pontos P^ e P^ de l a t i t u d e s
sobre a s u p e r f í c i e
(3.2.1)
recíproca
faremos algumas c o n s i d e r a ç õ e s
como ar co s
zas muito pequenas
mais r e c í p r o c a s
de um e l i p s õ i d e de revol_u
mostra a seção normal d i r e t a PigP^ do ponto
para P^ l a seção normal
elíp tico s
( <f>) e l o n g i t u ­
P 2^P 1
P i Para P 2 * Agora
s i m p l i f i c a t i v a s , tomando
c irc u la re s,
em f a c e
de lidarmo s
arcos
com grand_e
| 6 | . Os planos ge ra d o r e s das duas seções nor
se i n t e r c e p t a m
den tro do e l i p s õ i d e
de r e v o l u ç ã o
formando assim o ângulo plano cícg =V que mede o d ie d r o formado pe
lo s
planos e como a r e s t a
mais.
são
a corda P^ P £ , comum às duas seções no£
0 ângulo plano V que mede o d i e d r o Õ d e f i n i d o
|6| :
V = 0 senAs
(3.2.1)
onde A j é o azimute da seção normal
Ção:
pe la exprejs
direta
ê 6 é dado pela
equa_
|6| ,
2
2
e Scos (jjcosAç.
e = --------N
2 2
e S 'cos<{>sen<j>
Í L -------2N
( 3. 2 . 2 )
28
Introduzindo
quação
(3.2.2)
na
(3.2.1)
o v a l o r de 8 dado pe la
e-
temos
V
(3.2.3)
Considerando na f i g .
(3.2.1)
o arco dg=£ como
no ponto médio das duas seções n or m a is ,
co ( l )
estando
podemos d i z e r que,
e a se pa raç ão maxima e n t r e as duas seções normais
o ar­
recipro^
cas e representemos por
I
onde D é o r a i o
(3.2.4)
= DV
que corresponde ao arco mãximo ( £ )
e dado
pela
equação
Estamos co ns id er a nd o o comprimento da seção normal
gual
ao comprimento da l i n h a g e o d é s i c a
tudado no t ó p i c o
(S).
(4.3).
p
\ ' n'
N
F ig . (3 .2 .1 )
\
\
como sendo i-
E s t e as sunto serã es_
29
I n t r o d u z i n d o na
quação
(3.2.3)
(3.2.4)
e D dado pe la
os v a l o r e s
. (3 .2 .5 ),
V dado pe la
obtemos a equação
se paração maxima e n t r e as duas seções
normais
ção da
azimute da seção normal
reta
latitu d e
do ponto c o n s i d e r a d o ,
n es te ponto e d i s t â n c i a
e-
reciprocas,
da
em fun
d_i_
e n t r e os dois pontos.
2 3
2
e S cos <í>cosAç.senA<.
Z. -
*
2 4
e S cos^sencjíSenA^
- •
*
8N
16 N
e 2S 3c o s 2<|>sen2A(-
e 2S^senA<-sen2<f>
16N2
32N3
logo
2^3
l
=
16 N
?
SsenAs s e n 2(j)
)
( cos <|>sen2At ; -------^
b
^
Nas co nd içõ e s mais d e s f a v o r á v e i s
sepa raç ão maxima
ra
tro .
( £ ) e n t r e as duas
(3 .2.5)
<
{>=0 e A<.=^»o
v a l o r da
seções normais r e c i p r o c a s ,
umcomprimento de40000m da g e o d é s i c a ,
não a t i n g e
p_a
um m i l í m e ­
30
CAPÍTULO IV
4.0 LINHA GEODÉSICA NO EL IP SO lD E DE REVOLUÇÃO
A l i n h a g e o d é s i c a r e p r e s e n t a o menor caminho e n t r e dois
pontos sobre uma s u p e r f T c i e .
No plano corresponde a um
de r e t a ,
e na e s f e r a
a um ar co de c i r c u n f e r ê n c i a
lip sõ ide
de r e v o l u ç ã o a g e o d é s i c a ,
g e o d é si ca
no e l i p s õ i d e
mo mostra a f i g .
(3 .0 .5 ),
maxima.
No
de r e v o l u ç ã o
Ha casos em que
não ê uma curva
e sim uma curva p l a n a .
Ja
r e v e r s a co^
sabemos
as seções normais não definem com u n i c i d a d e os t r i â n g u l o s
dicos,
e sim são d e f i n i dos pe la
ge od é si ca como sendo uma l i n h a
linha
geodésica.
j a c e n t e numa s u p e r f í c i e ,
em todos os seus pontos a normal
normal â s u p e r f í c i e
4.1
principal
que
elipscH
Conceituamos
em todos os seus pontos o plano o s c u l a d o r ê normal
ou,
e-
em g e r a l , é uma curva r e v e r s a
compreendida por duas seções normais r e c i p r o c a s .
a
segmento
a
e t a l que,
a su p e rfície ,
coincide
com
a
| 6 |.
EQUAÇAO DIFERENCIAL DA LINHA GEODÉSICA SOBRE UMA
S U P E R F ÍC I E
DE REVOLUÇÃO
Apresentemos a equação da l i n h a
coordenadas
primeira
tÕpico
re tilín e a s
ortogonais.
como na segunda d e f i n i ç ã o
g eo dé si ca em função cbs
Podemos nos b a se ar
tanto
da l i n h a g e o d é si ca dadas
na
no
(4 .0 ).
Aqui
vamos nos r e f e r i r
que,
a normal
p rincipal
da curva
cie ,
em todos os pontos da l i n h a
a segunda d e f i n i ç ã o ,
c o i n c i d e com a normal
geodésica ja c e n te
a qual
diz
a superfí
numa s u p e r f í -
31
cie .
A equação de uma s u p e r f T c i e e dada por:
F ( x , y , z) = 0
(4.1.1)
Representemos os ângulos
cie
no ponto P - j ( x , y , z )
por a ,
diretores
â su perfT
3 e y.
Podemos e s c r e v e r os co-senos
p erfTcie
da normal
diretores
da normal â su­
como segue:
3F
i l
3z
D
3y. cosy
cosa = -p-; cos3 _= -jj-;
(4.1.2)
onde
(4.1.3)
Representemos os ângulos
ra da g e o d é s i c a
diretores
do r a i o
de curvatu^
c o n t i d a no plano o s c u l a d o r no ponto P 1
(x,y,z)
p o r a 1, 3 ' e y ' .
Os co-senos
diretores
do r a i o
de c u r v a t u r a
da geodesj_
ca são exp re sso s por:
c o s y 1 = — ip
ds
onde p i o
raio
de c u r v a t u r a
da g e o d é si ca
GUDERMAN e ds é um arco e l e m e n t a r .
d é s i c a vemos que,
principal
guai s ,
a normal
da c u r v a ,
Pela
ã superfTcie
(4.1.4)
dado pelo teorema
definição
coincide
de
da l i n h a geo­
com a
assim sendo, os co-senos d i r e t o r e s
normal
são
i-
32
cosa = co sa '
cosg = c o s $ ‘
cosy = c o s y 1
Por c o n s e g u i n t e ,
da
. (4„1 o2)
e valido
comparar os segundos membros
com os segundos membros da
, (4.1.4)
e
obtemos
3F
p
3z _ d z n
^
= ds2
donde
i í
3x
7
_ n
T
P
ds2
3F
= Dp
(4.1.5)
j i
ds
3_F
3z
= Dp
d2 ;
ds2
Ig u a la nd o os p r i m e i r o s membros das
a equação d i f e r e n c i a l
ção das coordenadas
. (4.1.5)
de segunda ordem da l i n h a
retilT n eas
ortogonais.
obtemos
ge od é si ca em fuji
33
3F
3F
3F
!*_ „
d x
d y
„ i|_
d z
( 4 . 1. 6 )
1? 1? ^ 7
No e n t a n t o ,
su p e rfície
os problemas da l i n h a
de r e v o l u ç ã o q u a l q u e r ,
ge odésica sobre
são r e s o l v i d o s
em
função
uma
do
Teorema de CLAIRAUT |1 2 | :
rsenA = c o n s t
ass im ,
para a l i n h a
o produto do r a i o
ge od é si ca
(4.1.7)
ge odé si ca
sobre uma s u p e r f í c i e
de
revolução
do para l e i o
pelo seno do azimute
(A)
da
linha
no ponto c o n s id e r a d o é c o n s t a n t e »
4.2 COMPORTAMENTO DA LINHA GEODÉSICA SOBRE 0 E L I P S Ü I D E DE REVOLU
ÇfiO
E de fundamental
désiço d i r e t o
importância
na so lu ç ã o do problema ge£
e i n v e r s o o conhecimento do comportamento da l i n h a
g eo dé si ca sobre a s u p e r f í c i e
tudo do comportamento s e r a
r e p re s e n ta d o pe la
Da f i g u r a
de um e l i p s o i d e
todo baseado no
de r e v o l u ç ã o .
teorema de CLAIRAUT,
(4 .1 .7 ).
(2.3.1)
podemos e s c r e v e r
r = a cosp
Introduzindo
vem
0 es_
na ( 4 . 1 . 7 )
(4.2.1)
o v a l o r de r dado pela
(4.2.1)
34
a cosu senA = c o n s t
(4.2.2)
Podemos e s c r e v e r para dois
da l i n h a
geodésica,
as s e g u i n t e s
r n senAn = V
l
pontos q u a i s q u e r P n e P
^
relações
s e n A n+l
(4.2.3a)
e
co sp n senAn = cospn+1 senAn+1
(4.2.3b)
Considerando agora um ponto no equador,
tudes g e o d e s i c a ,
g e o c ê n t r i c a e r e du zid a
são n u l a s ,
c r e v e r a equação que e n v o l v e o azimute e q u a t o r i a l
(A q ) a p a r t i r
onde as l a t i ­
podemos
da
g eo de si ca
da ( 4 . 2 . 2 ) :
a senAg = const
Baseado na ( 4 . 2 . 4 )
mute e q u a t o r i a l
da ge o d é si ca
senAg
(4.2.4)
podemos a f i r m a r que o seno do a z i ­
(Aq )
e
mTnimo
= min
Comparando a ( 4 . 1 . 7 )
com a ( 4 . 2 . 4 )
temos
r senA = a senAg
Introduzindo
(4.2.5)
na ( 4 . 2 . 5 )
o valor
obtemos a equação do azimute e q u a t o r i a l
em função da l a t i t u d e
(A)
es­
da g e o d e si ca
geodésica
de r dado p e l a
(Ag)
da l i n h a
(<}>) de um ponto e
n es te mesmo ponto.
(2.4.9)
geo dési ca
do
0 azimute e q u a t o r i a l
azimute
de uma
35
g eo dé si ca é do mesmo qua dr ante do azimute em um ponto
da mesma, com l a t i t u d e
v a r i a n d o de zero a t i
ao p a r a l e l o
senAQ - «cos^senA
In t r o d u z i n d o na
(4 .2 .1 ),
sica,
te
da l i n h a
mo vimos
te
o v a l o r de
r
dado
linha
c o s jj
linha
geodé
(y ) de um ponto e do azirnu
senA
(4.2.6b)
g e odé si ca sobre uma s u p e r f í c i e
anteriorm ente,
corta a lin h a
Seguindo o p e r c u r s o
a latitu d e
r e du zi d a
pela
nes te mesmo ponto.
senAg =
A
lim ite .
( 4 2 _6a)
obtemos a equação do azimute e q u a t o r i a l da
em funçao da l a t i t u d e
(A)
( Aq ) .
(4.2.5)
qu a l q u e r
r e du zi d a
da l i n h a
equ atorial
geodésica;
(y ) aumenta,
der e v o l u ç ã o , co
com um azimute
no s e n t i d o
assim como, o
nordes
azimute
(A)
como mostra a ( 4 . 2 . 2 ) . Quando o azimute (A) a t i n g e o v a l o r
de
TT
-*■ num ponto P
a l a t i t u d e r e du zi d a s e r ã maxima (y
) , portanto
tIIIdX
^
a (4.2.2)
fica,
a cos^max sen 1 = a cosumax = COnst
<4 -2 -7)
A n a l i s a n d o ain da a ( 4 . 2 . 6b) seguindo o pe rc u rs o da
li­
nha g eo dé si ca quando p a r t e de um ponto no equador concl uTmos qje:
nos s e n t i d o s
n o r d e s t e e su de st e a l a t i t u d e
7T
^max “ 7 ~
r e du zi d a
^
Mos s e n t i d o s
(ym, )
lllu A
sera
o
n o r o e s t e e sudoeste se rã Pmax=^ Q " ' 4r *
36
Os pontos da l i n h a
de v é r t i c e s
da g e o d é s i c a .
que cada e s p i r a
rio
que possuem l a t i t u d e
De i m e di at o podemos
da g e o d é s i c a possui
n o r te e ou tro
no h e m i s f é r i o
Ambos os v é r t i c e s
absoluto.
Agora an ali sem os
de azimute
(0 < A <
o seu v é r t i c e
com um azimute
tido
equador com um azimute
vértice
ponto,
de l a t i t u d e
a linha
tt -
iguais
em
latitu d e
(A)
A
q
),
ge od é si ca
continua
reduz ida máxima
(y
mâ x
)
crescendo tomando o sen^
soul , cruzando novamente
pro sseg uin do até a t i n g i r
r e du zid a máxima
toma a d i r e ç ã o
valor
de um ponto do equador e a t i n j a
de
ma x
também
um no hemisfé
apenas o caso de uma l i n h a
ao h e m i s f é r i o
(
vértice s,
possuem l a t i t u d e s
0 azimute
su deste em d i r e ç ã o
do is
concluir
su l.
P ue p a r t e
num ponto P
re duzida máxima chamamos
o
o
outro
e azimute
Deste
do h e m i s f é r i o no rte no s e n t i d o nono
/
este
á t é c r u z a r novamente o equador com ou tro azimute Aq . Assim,
in icia
novamente o mesmo pr oced im ent o.
definido
sempre e n t r e
dois
paralelos
Isto
lim ites
da y
e -y
, sem que h a j a c o i n c i d ê n c i a
pmax
^max
Mediante o que f o i
que a l i n h a
geodésica
paralelos
de l a t i t u d e
com a e s p i r a
estudado at é aqui
sobre a s u p e r f í c i e
lu ç ã o é r e p r e s e n t a d a por uma curva
dois
o c o r r e em número i n ­
podemos
de um e l i p s õ i d e
reversa
aberta
reduzi­
anterior.
concluir
de revo^
confinada
enire
lim ite s.
Mostremos agora a exp ressão da l a t i t u d e
ma (<f>max) de uma l i n h a
Da ( 2 . 3 . 1 6 )
g e o d é si ca
em função do azimute e q u a t o r i a l .
podemos e s c r e v e r
duzida máxima em função da l a t i t u d e
a equação da l a t i t u d e
2 1/2
^
e ^
re­
g e o d é s i c a máxima e d e s e n v o l ­
vendo ,
^^max
g e o d é s i c a mãxj_
*"^max
37
t g 2y
= (1 - e 2) t y 2<
t>
max
'
max
s e c 2y
= 1 + (1 - e 2 ) t g 2<
f>
max
'
3 max
\--- = 1 + (1 - e 2 ) t g 2t _
cos“ y
max
max
Da ( 4 . 2 . 6 b )
e
su b stitu ir
podemos d e d u z i r a expressão senAn = cosy
Q
max
na ( 4 . 2 . 8 )
o v a l o r de cosy
, obtemos
max
— = i + (i
sen A q
e fazendo algumas
(4.2.8)
- e 2 ) t g 2^
máx
tr a n sf o rm a ç õ e s
vamos o b t e r a equação da l a t i
tude ge o d é si ca máxima em função do azimute e q u a t o r i a l
max
—
2
(1 -e )
(— 1
7 ------’ )
sen Aq
(4.2.9)
4.3 DIFERENÇA DE COMPRIMENTO ENTRE A LINHA GEODÉSICA
E A
SEÇftO
NORMAL
Ja
sabemos que as seções
dade os t r i â n g u l o s
désico
e lip sõ id ico s
e
normais não formam com
para s o l u c i o n a r o problema geo
temos que c onh ece r a l i n h a g e o d é s i c a
seções normais.
Estas
muito i m p o r ta n te s
inverso.
curvas,
u n ici­
seções normais
co rr e s p o n d e n t e
as
e geodésica,
são
para a so lu ç ã o do problema g e od é si co d i r e t o
e
38
A diferença
do is
pontos P.| e
de comprimento da seção normal
e o comprimento da c or res p on d e nt e
desica é c alcu lad a
através
nas o uso do p r i m e i r o
{
re la tiva
.
de uma s e r i e .
termo desta
serie
s = s V _ ç o s V e n fiA
linha
Sendo s u f i c i e n t e
a
ge£
ape­
|6|:
+ _
( 4>3>1)
360N
onde 6 ^ 0
comprimento da seção normal
nha g e o d é s i c a .
titude
e
Fazendo a a p l i c a ç ã o
do ponto P-|<í>= 1 0 ° ,
e S o comprimento da l i ­
da ( 4 . 3 . 1 )
o azimute da l i n h a
para os dados:
l£
g eo dé si ca e n t r e
P^
A=^- e comprimento da mesma de 40000m, encontramos uma
f e r e n ç a ó-S=7xlO
-1 ?
comprimento i g u a l
m. Para a mesma l a t i t u d e
a 500000m, encontramos uma
Ç.
ô-S=2xlO~ m. Desta maneira
Por e s t a
razão,
porem de
diferença
podemos d i z e r que a d i f e r e n ç a
os comprimentos da seção normal
quena.
e az im u te ,
e da l i n h a
di-
entre
g eo dé si ca é muito pja
confundimos o comprimento da seção normal
com o comprimento da g e o d é s i c a .
4.4
Angulo
formado
pelas
seçües
normais
recíprocas
e
a
linha
geodE s i c a
Ja
su p e rfície
lo e.
sabemos que duas seções normais re c T p ro c a s
de um e l i p s é i d e
Se f o s s e
do e l i p s é i d e ,
Todavia,
in stalar
transformar
razão,
trataremos
ção do azimute da seção normal
te l i n h a g e o d é s i c a .
si
um ângu
sobre a s u p e r f í c i e
se r e f e r i r i a m
as seçõs normais.
as medidas c o r r e s p o n d e n t e s ãs
em medidas a n g u l a r e s
Por e s t a
formam e n t r e
um t e o d o l i t o
as medidas a n g u l a r e s
nec es si ta m o s
seções normais
désica.
possível
de r e v o l u ç ã o
sobre a
co r re s p o n d e n t e a l i n h a
nes te t o p i c o
direta
da
geo­
transforma­
no azimute da corresponden
39
A fig .
a correspondente
(4.4.1)
linha
mostra duas seções normais
g e o d é si ca
reciprocas
e
( S) .
Fig. (4.4.1)
A linha
geodésica
normais r e c i p r o c a s
sica
direta
ço do ângulo formado p e l a s
l o formado pe la g e o d é s i c a
procas
terço
, fig .
a
|
o ângulo 9 de duas seções
de P-| para
corresponde a um t e r ­
seções normais re cT p ro c as
e a seção normal
do ângulo formado p e l a s
reciproca
(- |) . 0 ãngu^
de P^
para
seções normais
recT­
(4 .4 .1 ).
0 ângulo formado p e l a s
do pel a ( 3 . 3 . 1 ) ,
divide
na razão de 1 : 2 . 0 ângulo formado p e l a geodé­
e a seção normal
e de d o is
(S)
seções normais re c T p r o c a s é da­
lo go :
0 '2c.2
9
SsenAç.sen2<}>
( Sen2As cos <J>------ ^ ------ )
(4.4.1a)
12b
Para
se t r a n s f o r m a r o azimute da seção normal
(Aç.) no azimute da c o r r e s p o n d e n t e g e o d é s i c a
t e r ç o do ângulo formado p e l a s
(A ^ )
d ireta
subtraTmos
seções normais re c T p ro c a s
(j)
um
do
40
azimute da seção normal
A
12
direta
= A - —
MS
3
Lembramos que n es te
p artir
(A^).
(4.4.2)
t r a b a l h o o azimute
e contado
do n o r t e no s e n t i d o h o r á r i o com v a r i a ç ã o 0 -í A < 2tr .
a
41
CAPITULO V
5.0 SOLUÇÃO DO PROBLEMA GEODÉSICO DIRETO
Os problemas geodési cos d i r e t o e i n v e r s o são
dos medi ante uma r e p r e s e n t a ç ã o e s f é r i c a
latitudes,
longitudes,
distâncias
dos s i mul t aneament e c o n s e r v a d o s ,
nar c o r r e ç õ e s
tados aci ma.
do e l i p s o i d e .
e ângul os
reais
Deste modo, com a u x i l i o
não podem se r
nar o problema ge odé s i c o d i r e t o ,
toma­
determi­
da t r i g o n o m e t r i a
si mpl es
es
de al guns elementos ci_
podemos f a c i l m e n t e o b t e r a sol uç ão do problema.
ordenadas e l i p s õ i d i c a s
Todavia,
f azendo-se n e c e s s á r i o
para c a l c u l a r v a l o r e s
procuramos d e s e n v o l v e r f or mul as
resolvi­
Neste
e práticas
que c o n s i s t e
esférica
trabalho
para
solucͣ
em se o b t e r as c o ­
de um segundo ponto e o c o n t r a - a z i mu t e da
l i n h a g e o d é s i c a nest e ponto.
5.1
EQUAÇÃO DO ÂNGULO AUXI LI AR PARA 0 CÁLCULO DO
CONTRA-AZIMUTE
DA LINHA GEODÉSICA
Para
ca d e f i n i d a
lipsõide
calcular
por doi s
reta
( Aj j ) .
P-j , de r a i o
e utilizando
Evi tamos no c á l c u l o
PUISSANT).
de
um econ­
0 azimute da seção normal
di­
do c o n t r a - a z i mu t e a dependenci a dÇ
t a nge n t e ao e l i p s o i d e
igual
geodési­
fazemos a sua r e p r e s e n t a ç ã o e s f é r i c a
r e t a das coordenadas do segundo ponto.
ma e s f e r a ,
( A^-j) da l i n h a
pontos P^ e P 2 sobre a s u p e r f í c i e
de r e v o l u ç ã o ,
servando as l a t i t u d e s
o c o n t r a - a z i mu t e
a grande normal
Para cada caso elegemos 11
ao l ongo do p a r a l e l o
( N^) , ' ( t é c n i c a
do
ponto
usada
por
42
A fig.
fera
de r a i o
N,
(5.1.1)
ilustra
para o c á l c u l o
o triângulo esférico
de uma e s ­
do angulo w, d i t o a u x i l i a r
na ob­
tenção do c o n t r a - a z i mu t e g e odé s i c o.
p
Fig. (5.1.1 )
A normal
normal
direta
tangincia
da
do ponto
P-j e do ponto
definem
de ampl i t ude a sobre a e s f e r a .
e s f e r a ao e l i p s õ i d e ,
P.| conservamos a l a t i t u d e
l a dos quat r o element os r e l a t i v a
seção
c ondi ção
ao l ongo do p a r a l e l o
elipsÕidica
A p l i c a n d o no t r i â n g u l o
Pela
a
de
do ponto
<|>i .
esférico
a l ados
fig.
(5.1.1),
e a analogia
a fórmu­
dos
senos
temos:
sen<j>i
= cosa
sen<}>2 = sencj>i
sencj^ “ sena c o s ^
cosw
cosa + cos<f^ sena cosA^
coscj), senA_
cosd>9 = --senw
(5.1.1)
(5.1.2)
(5.1.3)
43
Da (5.1.1)
ti ramos
cosa sen<f)? - senc|>,
COSu =
Substituindo
equações
na ( 5 . 1 . 4 )
(5.1.2)
ções de n at u r ez a
x iliar
sê na cos (f>2
os v a l o r e s
e (5.1.3)
de sencj>^ e cos<{>2 dados
respectivamente
trigonométrica,
( 00) para 0 c a l c u l o
(5.1.4)
e
fazendo s i m p l i f i c a
obtemos a equação do ângulo au­
do c o n t r a - a z i mu t e da l i n h a
c o s a ( sen<f> 1
pel as
cosa
+ cos<f>.j
sena
geodésica.
cosA<~)
-
sen^
COSü) = -----------------------------------------------cose)). senAç.
s e n a ------ ---------------sento
2
cos a sen4>-i + cosa cos^. sena cosAr -sen<}>,
cotgco = ------------------------sena cõ s^ j senA^
1
2
cos a tg4>^
tgu " sena senA^ +
- 1gcí> ^ se'na + cosa
cosa cosA^
senA”
tg<f>^
sena senA^
c o sA s
senA~
senA<.
~ cosa
cosA^ - tg<{)^ sena
E s t a f o r n e c e 0 angulo a u x i l i a r
(5.1.5)
(to) em função dos elemen
0
44
tos: latitude geodésica
normal
(4>^) do primeiro ponto, azimute da seção
direta (A<.) de P-j para
no ponto considerado e do
com­
primento da seção normal direta; este último fazemos igual
ao
comprimento da linha geodésica (S).
A amplitude esférica
® dada pela equação:
o = ^
(5.1.6)
onde N-j é a grande normal e S o comprimento da seção normal dirtí
ta.
0 valor correspondente a dois terço do angulo 6 obtido
2q
pela (3.1.1)
(-3-), somado com o ângulo w obtemos um valor e cor-
resspondente ao ângulo formado pela geodésica e o meridiano
do
ponto P ^ , f i g . (5 .1 .2 )
E = u
(5.1.7)
Este valor somado com ir
obtemos o contra-azirnute
geodésica para o caso que ilustra a fig.
da
(3.0.5).
A21 = e + w
(5.1.8)
0 contra-azirnute sofre variação de quadrante em função
do azimute da geodésica e do comprimento da mesma. Por
zão, apresentemos o quadro
esta ra­
(5.1.1) que identifica o quadrande do
contra-azirnute da geodésica.
45
QUADRO DE IDENTIFICAÇftO DO QUADRANTE DO CONTRA-AZIMUTE ( A 21)
se u> f o r p o s i t i v o
0 < A.| ^ < tt
estará
( + ) ou n e ga t i v o
no t e r c e i r o
(-)
o A^-j
ou quarto quadr ant e
respec
t i vãment e.
se u f o r p o s i t i v o
tt < A.| 2 < 2tt
estará
( +) ou n ega t i v o
(-)
o A^
no p r i m e i r o ou segundo quadrant e
res-
p e c t i vãment e.
quadro
Os quadr ant e s
são numerados no s e nt i d o h o r á r i o .
Quando o azi mute
c o n t r a - a z i mu t e s e r a
de s e r v e r i f i c a d o
mos que a l i n h a
tt
ou
da l i n h a
geodési ca f o r zero ou
zero r e s p e c t i v a m e n t e .
em função das equações
Fato e s t e ,
(5.1.5)
bre. uma s u p e r f T c i e
do azimute de
tt .
o
que pc)
Sab£
neste
Quando operamos s_o
de r e v o l u ç ã o o c o nt r a -a zi mu t e d i f e r e
um v a l o r a n g u l a r y , q u e
tt
e (5.1.5).
ge odé s i c a no pl ano é um segmento de r e t a ,
caso o c o n t r a - a z i mu t e d i f e r e
te de tt mais
(5.1.1)
do azim_u
chamamos de c o n v e r g ê n c i a raen
di a n a :
ir + Y = A?1 - A12
(5.1 . 9)
5.2 EQUAÇftO DA LONGITUDE E L I PSD I DI CA
0 calculo
da l o n g i t u d e e l i p s Õ i d i c a
diante
relações
ricos.
A representação e s f é r i c a
uma e s f e r a
matemáti cas
de r a i o
[ X ) se v e r i f i c a
e n t r e elementos e l i p s o i d i c o s
do e l i p s Õ i d e se
me­
e esfé­
f az a t r a v é s
de
N em função de <J>^ , conservando a l a t i t u d e
e-
46
l i p s õ i d i c a (j>i , l o n g i t u d e e l i p s Õ i d i c a
A fig.
cul o da d i f e r e n ç a
(5.2.1)
ilustra
de l o n g i t u d e
e utilizando
o angulo e.
o triângulo esférico
para o c ã j
(A\).
p
2
F ig . (5.2.1 )
Na f i g .
definida
pel os
(5.2.1)
pontos
a ampl i t ude e s f é r i c a
P-j e
de l a t i t u d e s
ver
(5.1.6)
elipsÕidicas
o
<j>i e
é
^
r e s p e c t i v ãment e .
A p l i c a n d o na f i g .
a diferença
tos sobre a s u p e r f í c i e
ra f a c i l i t a r
a analogia
de l o n g i t u d e e l i p s Õ i d i c a
esférica.
ral
entre
doi s
pon-
0 v a l o r e é usado em modulo pa­
a obtenção da l o n g i t u d e do segundo ponto.
de Gr eenwi ch.
temos:
(5.2.1 )
mos a l o n g i t u d e n e g a t i v a para oe s t e e p o s i t i v a
ridiano
dos senos
seno sen 1e 1
cos<K
senAX
que c a l c u l a
(5.2.1)
Desta f orma,
Considere^
para l e s t e
est abel ecemos
do me­
a expr essão ge­
para c a l c u l a r a l o n g i t u d e do segundo ponto,
(5.2.2)
47
Valendo o s i n a l
positivo
quando o segundo ponto se ac h a r a l e s t e
do p r i m e i r o .
5.3 EQUAÇRO DA LATITUDE EL I PSD I DICA
Consideremos
duzida gerada pe l a
semi -ei xo maior
um e l i p s Õ i d e
revolução
(a)
(r)
dentes na e s f e r a
da c i r c u n f e r i n c i a
realizados
r eduzi da
(Z)
igual
cal
e o raio
são i g u a i s .
geodési ca e seus correspoji
Desta forma podemos
apre­
igualdade:
de c u r v a t u r a
de um ponto
elipsõidica
ao
do e l i p s õ i d e ,
N-j costj)-| = a cosp-j
onde
r£
podemos e s c r e v e r que os raios
dos pontos da l i n h a
sentar a seguinte
de r a i o
em torno do ei xo de r ot a ç ã o
e baseados nos estudos j ã
dos p a r a l e l o s
de r e v o l u ç ã o e sua e s f e r a
(5.3.1)
da seção normal
sobre o e l i p s õ i d e
<J>i e l a t i t u d e
do p r i m e i r o
de r e v o l u ç ã o
de
verti­
latitude
r e duz i da p-j c or r es ponde nt e ao mesmo po_n
to P.j .
Demonstra-se que o azimute da l i n h a
la
(4.4.2)
revolução
em seus pontos sobre a s u p e r f í c i e
i gual
ao
de um e l i p s õ i d e
de
azi mute
da l i n h a
nos seus corresponde_n
tes pontos-imagem sobre a e s f e r a
reduzida.
De acordo com o expos_
to,
Õ
ge odé si ca dado pe­
podemos f o r m u l a r r e l a ç õ e s
mentos
da e s f e r a
r eduzi da
e n t r e elementos e l i p s õ i d i c o s
para o c a l c u l o
da l a t i t u d e
e ele
elipsõidica
do segundo ponto P
A fig.
dente a e s f e r a
(5.3.1 ) i l u s t r a
reduzida.
um t r i â n g u l o
esférico
correspo_n
48
p
Fig. (5.3.1 )
Os dois
po nt o s - imagem Pj
definem a ampl i t ude e s f e r i c a
t r e os doi s
pontos
a l ados
A (2.3.16)
( $)
r eduzi da
en­
P^ e P^ sobre o e l i p s Õ i d e de r e v o l u ç ã o .
seny^
lipsoidica
a esfera
a-j , que c or r es ponde r a d i s t â n c i a
A p l i c a n d o na f i g u r a
mentos r e f e r e n t e ,
e Pj, sobre
(5.3.1)
dos quat r o
ele­
temos
=seny-j
coso-j
estabelece
e r e duzi da
a fórmula
(y)
+ cosy^ sena^cosA^2
a relação
(5.3.2)
e nt r e as l a t i t u d e s
e-
de um ponto.
o 1/2
tgy^
= (1 - e )
seny-j
Introduzindo
tg<J>-|
2 1/2
=(1 - e )tgtj)^ cosy^
na ( 5 . 3 . 3 b )
o v a l o r de cosy-j t i r a d o
( 5 . 3 ,3à)
(5.3.3b)
da
( 5 . 3 . 1 ) , temos
N1
seny1
=—
1/2
(1
- e
)sen^
(5.3.4)
49
Introduzindo
seny-j
na ( 5 . 3 . 2 )
dado pel a
o v a l o r de cosy^
(5.3.4),
da ( 5 . 3 . 1 )
e o v a l o r de
temos a equação da l a t i t u d e
r eduzi da
do
segundo ponto P^.
2 1/2
N1
sen<{>i coso^ + cosij)^ sena^ cosA^ 2
s e n y 2 = — (1 - e )
(5.3.5)
Jã
sabemos que a ( 2 . 3 . 1 6 )
as l a t i t u d e s
elipsóidica
estabelece
e reduzida.
a relação
e nt r e
Podemos e x p r e s s ã - l a
na f o r ­
ma <j)=f ( y ) .
seny?
tg«f»o = ------------------------------- T7T
r
2
?
1
(5.3.6)
1^(1-e ) ( l - s e n ’y 2)
Esta
pe r mi t e o c á l c u l o
ponto em função da l a t i t u d e
da ( 5 . 3 . 5 ) .
A latitude
da l a t i t u d e
r eduzi da do mesmo ponto,
é considerada p o s i t i v a
nor t e e n e g a t i v a para 0 h e m i s f é r i o
j
em v a l o r a b s o l u t o
denadas e l i p s o i d i c a s
ba l ho,
sul-
de
um
com a u x T l i o
para 0
hemisfério
com uma v a r i a ç ã o
para ambos h e m i s f é r i o s .
No c a l c u l o
de
0 a
das c o o r ­
de um segundo ponto 0 maior p e r c a l ç o é a o_b
tenção da ampl i t ude e s f é r i c a
te uma s é r i e ,
elipsóidica
que normalmente é r e a l i z a d a medi an­
que causa um grande volume de c a l c u l o .
a ampl i t ude e s f é r i c a
(a-j)
para 0 c á l c u l o
Neste
da l a t i t u d e
tra­
do
segundo ponto é dada pel a equação:
<J1 = jf
(5.3.7)
50
onde S corr esponde ao comprimento da geodesi ca e Rg r e p r e s e n t a o
parâmetro l i n e a r
da e s f e r a ,
dado pel a equação:
M, ♦ R
(5.3.8)
sendo
tor,
o raio
de c u r v a t u r a
ambos r e l a t i v o s
(2.4.7)
e (2.5.2),
da seçao me r i di ana e
ao p r i m e i r o
o
r a i o ve-
ponto e dados pel as
equações
respectivamente.
M =a(1 - * ). ■
■
111
7
T
372
( 1 - e sen ({»i )
(5.3.9)
1/2
Ri
■ "i
(5.3.10)
1 + e^sen24>i
Lembramos que a cada ponto da
fTcie elipsÕidica
geodési ca
sobre a supe_r
cor responde a um ponto-imagem da
circunferên­
c i a máxima da e s f e r a
de e s f é r i c a
(o-j)
reduzida,
No e n t a n t o ,
não se v e r i f i c a
sobre e s t a
to de c a u s a r grande deformação l i n e a r
bibliografia
que t r a t a
ampl i t ude e s f é r i c a
o calculo
do r e f e r i d o
da
amplit£
superfície,
pel o f a ­
a geodésica.
probl ema.
e d e s e n v o l v i d o em s e r i e ,
Todavia,o
como j ã
tes^ a c a r r e t a n d o
grande volume de c á l c u l o .
zar os c á l c u l o s
tentamos e n c o n t r a r uma e s f e r a ,
que solucionasse
a latitude
vasta
c a l c u l o da
dissemos a n ­
No i n t u i t o
de minimj_
medi ante
testes,
o problema em foco de forma s a t i s f a t ó r i a .
Adotamos
obtida
pelas
f or mul as
qual
comparamos a l a t i t u d e
das.
Vários
azi mut e,
Existe
casos
obtida
foram t e s t a d o s
de S0DAN0 como padrão,
pe l as
formul as ora
variando
latitude,
e para cada caso vari amos a e s f e r a ,
ceu melhor r e s u l t a d o
foi
de r a i o
Rg dado pel a
com
a
apresenta­
distância
porém a que
(5.3.8)*
e
ofere­
5.4 SÍ NTESE DAS FORMULAS PARA 0 CÁLCULO DO CONTRA-AZIMUTE DA LI
NHA GEODÉSICA E COORDENADAS E L I P S Ol DI CA S DO SEGUNDO PONTO
1)
Formul as usadas no c a l c u l o
do c ont r a -a zi mu t e da l i
nha geodes i ca (A,^ ) .
1.1 E x c e n t r i c i d a d e
primeira
1.2 E x c e n t r i c i d a d e
segunda
1.3 Ângulo formado por duas seções
(sen2Aç.
1.4 Rai o de c u r v a t u r a
N
2
cos <
j>
da seção normal
a
T/2
/I
(1 -e 2sen 2A
<
}>
•, )1
1.5 Ampl i tude e s f é r i c a
normais
reciprocas
SsenA<- sen2<j>
do p r i me i r o
vertical
52
1.6 Ângulo a u x i l i a r
para o c á l c u l o
do c ont r a -a zi mu t e
da l i n h a
g e o d i s i ca
tgw
1.7 Ângulo e,
se nAç
------------ -----------cosa cosA^ - tg<j)^ sena
relativo
a geodési ca
1.8 Expr essão qüe c a l c u l a
o c o n t r a - a z i mu t e da ge odé s i c a para o
caso da f i g . ( 3 . 0 . 5 )
A 21 = e + u
Para os demais casos
2)
Formul as
ca do segundo ponto
v e r quadro
usadas
(A^).
2.1 Ampl i t ude e s f é r i c a
2.2 D i f e r e n ç a
de l o n g i t u d e
senâx =,
; e.n.H
C O S ( j ),
(5.1 .1 ) y pág.
no c a l c u l o
(45).
da l o n g i t u d e elipsÕidji_
53
2.3 Expressão ge r al
X
da l o n g i t u d e e l i p s õ i d i c a
.
= X
n+1
Fórmul as usadas no c á l c u l o
do segundo ponto
3.1
± àX
n
3)
do segundo ponto
da l a t i t u d e
( <f>^) .
Rai o de c u r v a t u r a
M 1
da seção normal
mer i di ana
a ( 1 -e )
T
V
T ff
( 1-e
sen <J>^ )
3.2 Raio de c u r v a t u r a
da seção normal
N
1
;
( 1-e
do pr i me i r o v e r t i c a l
;
t h
sen t|)^ )
3.3 Raio v e t o r de um ponto do e l i p s õ i d e
de r e v ol uç ã o
1/2
R,
-
H,
1 + e 2 s e n 2(J>i ( e 2-2)
3.4 Parâmetro l i n e a r da e s f e r a
tude e s f é r i c a
R
e
cal cul amos
a ampli
c or r e s po n de nt e ao comprimento da geodési ca
- Ml
3.5 Ampl i t ude e s f é r i c a
°1
sobre a qual
S
= ÏÏ~
e
+ Rl
2
elipsõidica
54
3.6 Azimute da l i n h a
A
3.7 L a t i t u d e
12
geodési ca
= A
- —
S
3
re duz i da do segundo ponto
1/2
seny
3.8 L a t i t u d e
2 "
a
(1-e
elipsoidica
)
sen<j>i cosa^ +cos<|)^ sena^ cosA^ 2
do segundo ponto
seny 2
tg<í>
2 - r
;
(1-e
;
TT7?
) ( 1-sen y 2 )
55
CAPITULO VI
6.0 SOLUÇÃO NUMÉRICA DO PROELEMA GEODESICO DIRETO
A so l uç ã o do problema geodési co d i r e t o
de t e r mi n a r as coordenadas e l i p s Õ i d i c a s
como o c o n t r a - a z i mu t e
c o n s i s t e em
do segundo ponto,
da l i n h a g e o d é s i c a .
Para t a l ,
se
assim
se faz neces^
s ã r i o o conheci mento das coordenadas
do p r i me i r o ponto
bém o azimute da seção normal
nest e ponto e a d i s t â n c i a en
tre
os mesmos.
das no t Õpi co
As f or mul as que ser ão usadas encontram-se r e s umi ­
(5.4).
nas de c a l c u l a r
Apresentaremos
FORTRAN I V ,
Facilita
si mpl es
ao u s u á r i o a u t i l i z a ç ã o
para e f e t u a r o t r a n s p o r t e
acompanhado de seu f l uxogr a ma ,
em d i v e r s a s
de
maqui­
de coordenadas.
a . s e g u i r o programa em linguagem de
blema geodési co d i r e t o
6.1
direta
como tam
programação
para s o l u c i o n a r o pro
situações
e al guns exemplos.
PROGRAMA EM LINGUAGEM DE PROGRAMAÇAO FORTRAN IV
0 programa que apr esent ar emos
désico d i r e t o
s o l u c i o n a o problema geo^
e s p e c i f i c a m e n t e em p o l i g o n a i s
programa se c a r a c t e r i z a
geodésicas.
Est e
pel o seu funci onamento e s p e c i f i c a d o
a se^
gui r .
Para o p r i m e i r o ponto ou v é r t i c e
(<(>1 ) ,
longitude
(X-j),
ponto e a d i s t a n c i a
azimute da seção normal
(S)
ponto,
direta
do p r i m e i r o ao segundo ponto.
comanda a execução do c á l c u l o
p r i me i r o
são dados:
do azimute da geodési ca
das coordenadas
do segundo ponto
latitude
(A^)
neste
0 programa
(A^)
e
no
con"
56
t r a - a z i mu t e
vértice
doi s
( A 2-j ) da g e o d é s i c a .
da p o l i g o n a l
l an c e s
são dados:
(anterior
tido horário
A partir
o angulo i n t e r n o
e posterior)
e a distancia
do segundo ponto
da p o l i g o n a l
formado
ou
pel os
contado no sen­
do ponto c ons i d er a do ao' s e g u i n t e .
I\s_
sim se procede para n-pontos.
Instruções
1.
para u t i l i z a ç ã o
Definir o elipsõide
do programa.
de r e v o l u ç ã o que e s t a sendo usado,
atra­
vés de seus par âmet r os.
2.
Entrar
com os dados v i a
cartão:
2.1 D e f i n i r o número de v é r t i c e s
ca,
incluindo
2.2 L a t i t u d e
ou pontos da p o l i g o n a l
geodési_
os extremos.
(cj)^ ) e l o n g i t u d e
2.3 Ângulo h o r i z o n t a l
(X-j).
e distância
(S)
em metr os.
E n t r a r com os ângul os em g r a u s , minutos e segundos, cu
j os campos e s t ã o d e f i n i d o s
da ( v e r
l i s t a g e m do programa,
para o p r i m e i r o
tir
no comando de e s p e c i f i c a ç ã o
apêndi ce A ) .
horizontal
ponto cor r esponde ao azimute geodési co e a p a r ­
do segundo ponto cor r esponde ao ângulo
Lembramos que a l a t i t u d e
c o ns i d e r a da s
0 angulo
de e n t r a
negativas.
sul
interno.
e l o n g i t u d e oest e
0 azimute é contado a p a r t i r
do
são
norte
no s e n t i d o h o r ã r i o .
A partir
do segundo ponto e n t r a r apenas com um c a r t ã o
com os dados c o r r e s pon de nt e s
ao item ( 2 . 3 ) .
3.
Imprime os elementos ge odé si cos
a)
ao p r i m e i r o ponto:
e distância
longitude,
azimute da geodési ca
em met ros;
b) ao segundo ponto:
geodésica.
latitude,
correspondentes:
latitude,
l o n g i t u d e e c o n t r a - a z i mu t e
da
57
PROBLEMA
PONTO
1
LATI TUDE=
2
25 .4 32 0
AZ IMUTE=
10
25
10.3490
-1
12
2.4291
-48
27
24.9081
CONTRA-AZIMUTE=
190
25
6. 1 3 3 7
LATITUDE=
-1
12
2. 42 91
LONGITUDE=
-48
27
24.9081
AZ IMUTE=
350
47
56 .4 76 4
6 2 6 4 0. 60 0
0
-38
29 .2 95 6
LONGITUDE»
-48
32
48 .8 24 8
CONTRA-AZIMUTE»
170
48
1. 68 29
LATITUDE»
0
-38
29 .2 95 6
LONGITUDE»
-48
32
4 8 .8 2 4 8
A ZI MU TE »
31
28
2 3 .8 9 1 4
D ISTANCIA»
LATITUDE»
4
30 86 0. 12 0
LONGITUDE=
LATITUDE»
PONTO
30.5631
30
DISTANCIA»
3
28
-48
LAT ITUDE=
PONTO
-1
D IR ETO
LONGITUDE=
DISTANCIA»
2
G EO D ESIC O
185 7 1 .2 3 0
0
47
17 .9954
LONGITUDE=
“ 47
40
39 .0897
CO N T RA -A ZIM U T E»
211
28
27.9045
58
PROBLEMA
PONTO
1
G EO D ESIC ü
LATITU DE= -23
4
-48
53
32 .4 46 4
AZ IMUTE=
238
22
26. 9135
56896. 553
LAT ITUDE= -23
PONTO
20
-49
21
57 .9 51 4
CONTRA-AZIMUTE=
58
33
39 .1 62 9
LATITU DE= -23
AZ IMUTE =
D I ST ANCIA=
20
PONTO
21
57 .9 51 4
121
44
20 .2 03 0
39 74 2. 39 5
32
11.4501
LONGITUDE=
-49
2
6.4124
CONTRA-AZIMUTE=
301
36
26.1771
LAT ITUDE= -23
LONGITUDE=
AZ IMUTE =
DI ST ANCI A =
32
11.4501
-49
2
6.4124
182
39
22. 1429
39598. 950
LATITU DE= " 2 3
4
53.1461
-49
LATITU DE= -23
3
53. 1461
L O N G I TüDE=
LONGITUDE=
2
45 .8 95 9
LONGITUOE=
OI S TANCIA=
2
DIRETO
53
37 .1867
LONGITUDE=
-49
3
11.2820
CONTRA-AZIM UTE=
2
39
48 .23 15
59
PROBLEMA
PONTO
LAT ITUDE= -45
LONGITUDE=
1
G EO D ESIC O
12
20
10.3218
90
0
0 .0 0 0 0
100210.250
LAT ITUDE= -45
2
PONTO
2
12
-47
3
38 .4 77 5
CONTRA-AZIMUTE=
269
5
41.1761
LAT ITUDE= -45
12
-47
3
38 .4 77 5
AZ IMUT E =
109
16
11.6124
2 0 54 3 0 .6 0 9
47
18 .7 87 0
LONGITUDE=
-44
33
59 .5235
CONTRA-AZ IMUTF.=
287
29
27 .1 07 9
LATI TUDE= -45
LONGITUDE=
D I ST ANCI A =
47
-44
AZ IMUT E =
37
18 .7 8 7 0
33
59 .5235
56
5. 36 70
30 08 40 .2 86
LATI TUDE= -43
4
20 .2 01 9
LONGITUDE=
LATI TUDE= -45
PONTO
20 .2 01 9
LONGITUDE=
D I ST ANCIA =
3
45 .8 45 2
-48
AZ IMUTE =
Dl STANCIA=
D IRETO
37
48.0181
LONGITUDE=
-42
16
30 .6946
C0NTRA-AZIM UTE=
216
19
20.8295
PROBLEMA
PONTO
LAT ITUDE= -85
LONGITUDE=
1
G EO D ESIC O
25
40
25 .3 54 3
330
35
21 .3 9 9 0
8042 0.33 0
LAT ITUDE= -84
2
PONTO
47
-54
34
9.8392
CONTRA-AZIMUTE=
154
28
15 .0612
LAT ITUDE= -84
AZ IMUTE =
DISTA NCIA =
PONTO
20 .2112
34
9 .8 3 9 2
316
43
27 .3 2 0 8
183370.584
29
4 4 .8 3 9 0
LONGITUDE=
-64
33
12.6961
CONTRA-AZIMUTE=
146
39
2 5 .7 0 8 3
LAT ITUDE= -83
29
4 4 .8 3 9 0
LONG I TUDE--
-64
33
12.6961
AZ IMUT E =
27
26
1. 1053
Dl ST ANCIA=
2 5 04 70 .5 50
LATITUDE= -81
4
47
-54
LATITUDE= -83
3
20 .2 1 1 2
LONGITUDE=
LONGITUDE=
2
41 .3 45 8
-50
AZ IMUTE =
DI ST ANCIA=
D IR ETO
26
3 4 .6 4 4 9
LONGITUDE=
-57
35
40 .4 5 8 2
CONTRA-AZIM UTE=
200
32
0 .4 45 7
61
PROBLEMA
PONTO
1
G EO D ESICO
L AT ITUDE= -50
30
-49
40
2 5 .0 0 0 0
AZ IMUTE=
300
35
20. 1690
40 00 00 .0 00
LATITUDE= -48
PONTO
2
34
-54
20
31 .7 80 4
CONTRA-AZIMUTE=
124
8
32 .9 7 7 4
LATITUDE= -48
34
-54
20
31 .7 8 0 4
AZ IMUTE=
14
48
32 .5 7 7 3
600000.000
20
4 0 .9 8 6 8
LONGITUDE=
-52
27
12 .0 23 0
CONTRA-AZIMUTE=
193
26
59.1311
LATITUDE= -43
LONGITUDE=
AZ IMUT E =
DI ST ANCIA =
20
4 0 .9 8 6 8
-52
27
12 .0 23 0
34
16
58 .4 2 0 9
800000.000
LATITUDE= -37
4
4 4 .7 5 3 5
LONGITUDE=
LAT ITUDE= -43
PONTO
4 4 .7 5 3 5
LONGITUDE=
DI STANCIA=
3
2 0 .0 0 0 0
LONGITUDE=
DI STANCIA=
2
D IRETO
16
27.5341
L O N G I TüDE=
-47
22
4 5 .9 9 8 6
CONTRA-AZIM UTE=
210
59
40.9777
62
PONTO
LAT ITUDE:
LONGITUDE=
4
AZIMUTE
D l STANCIA
L A T IT U D E
5
-37
16
27.5341
'4 7
22
4 5 .9 9 8 6
91
19
51 .8 9 2 5
1000000.000
-36
56
51 .5961
LONGITUDE
-36
7
4 7 .4 5 9 8
CONTRA-AZIMUTE
264
31
46.2266
PROBLEMA GEODES ICO DIRETO
FORMULAS DE SO d ANO
PONTO
LAT ITUDE=
-1
LONG ITUDE=
1
L A T IT U D E^
PONTO
25
10. 3490
30860. 120
-1
12
2.4231
24.9081
C ü NTRA-AZIMU TE-
190
25
6. 1 3 3 7
LATIT U DE=
AZ I MUT E =
-1
12
2.4291
-48
27
24.9081
350
47
56 .4 7 6 4
6 2 6 4 0. 60 0
0
-38
2 9 .2 8 2 9
LON GITU DE-
-48
32
4 8 .8 2 4 6
CONTRA-AZIMUTE-
170
48
1.6799
LATITUDEL0NGITUDE=
AZ I MUT E=
DISTANCIA-
4
10
27
LATITUDE-:
PONTO
25 .4 32 0
-48
DI ST ANC IA=
3
30
LONGITU DE-
LONGITUDE=
2
30.5631
-48
A7.1MUTE =
D I STANC I A =
2
28
0
-48
31
-38
29 .2 9 5 6
32
48 .8 24 8
28
2 3 .8 9 1 4
185371.230
LATITU DE=
0
LONG I TUDE =
-47
40
39 .0 9 1 6
211
28
27.9028
CO NTRA-AZIM UTE-
47
18 .0 26 0
64
PONTO
1
LA TITU D E=
-23
4
LONGITUDE=
-48
53
32 .4 4 6 4
AZ IMUTE=
238
22
26 .9 1 3 5
D I STANCIA=
56896.553
LAT ITUDE= -23
2
PONTO
2
20
-49
21
57 .9 5 1 3
CONTRA-AZIMUTE=
58
33
39 .1 62 7
LATITUDE= -23
20
-49
21
57 .9 5 1 4
AZ IMUTE=
121
44
20 .2 0 3 7
39742.395
32
11 .4 50 5
LONGITUDE=
-49
2
6.4122
CONTRA-AZIMUTE=
301
36
26 .1 77 1
LATITUDE= -23
32
11.4501
LONGITUDE=
-49
2
6.4124
AZIMUTE=
182
39
2 2 .1 4 2 9
DI ST ANCIA=
39598.950
LATITUDE= -23
4
53 .1 46 1
LONGITUDE=
LAT ITUDE= -23
PONTO
53. 1446
LONGITUDE=
DI ST ANCIA=
3
4 5 .89 59
LONGITUDE=
CO NTRA-AZIM UTE=
53
-48
2
3 7 .1 8 1 9
59*
11 .2 81 8
39
48 .23 12
PONTO
LATITUDE= - 4 5
LONGITUDE=
1
AZ IMUTE =
DI STANCI A =
12
-48
20
10 .3218
90
0
0.0000
100210.250
LATITUDE= -45
2
PONTO
2
12
-47
3
3 8 .4 7 7 4
CONTRA-AZIMUTE=
269
5
41 .1 7 6 1
LATITUDE= -45
12
-47
3
38 .4 77 5
AZ IMUTE=
109
16
11 .6 1 2 4
20 54 30 .6 09
47
18 .7 5 8 0
LONGITUDE=
-44
33
59 .5 2 3 5
CONTRA-AZIMUTE=
287
29
2 7 .1 0 8 8
LATITUDE= -45
LONGITuDE=
Dl ST ANCIA=
47
-44
AZ IMUTE=
37
18 .7 87 0
33
59 .5 2 3 5
56
5 .3 6 7 0
300840 .286
LATITUDE= -43
4
20.2019
LONGITUDE=
LATITUDE= -45
PONTO
20.2020
LONGITUDE=
01 ST ANCIA=
3
45 .84 52
37
47 .4 9 8 1
LONGITUDE=
-42
16
3 0 .7 0 1 4
CONTRA-AZIM UTE=
216
19
20.8231
66
PONTO
1
L A T I TUDE-=
-85
25
LONGITUDE=
-50
40
25 .3 54 3
AZ IMUTE=
330
35
21 .3 99 0
DISTA NCIA =
8042 0.33 0
LATITUDE= - 84
2
PONTO
2
47
-54
34
9 .8 4 2 8
CONTRA-AZIMUTE=
154
28
15 .0 6 3 4
L AT ITUDE = -84
20 .2 11 2
-54
34
9. 83 92
AZIMUTE=
316
43
27 .3 2 0 8
183370.584
29
4 4 .7 7 3 8
LONGITUDE=
-64
33
12 .7 03 4
CONTRA-AZIMUTE=
146
39
25 .7 15 2
LATITUDE= -83
29
4 4 .8 3 9 0
LONGITUDE=
-64
33
12 .6961
AZ IMUTE=
27
26
1. 1053
DI STANCIA=
25 04 70 .5 50
L AT ITUDE= -81
4
47
LONGITUDE=
L ATITUDE= -83
PONTO
20 .1 9 2 6
LONGITUDE=
DISTANCIA=
3
41 .34 58
26
34 .4 90 4
LONGITUDE=
-57
35
4 0 .4 5 3 9
CO NTRA-AZIM UTE=
200
32
0.4401
67
PONTO
1
LA TIT U D E=
-50
30
LONGITUDE=
-49
40
2 5 .0 0 0 0
AZ IMUTE=
300
35
2 0 .1 6 9 0
Dl ST ANCIA=
40 00 00 .0 00
LATITU DE= -48
2
PONTO
34
-54
20
31.7711
CONTRA-AZIMUTE=
124
8
3 2 .9 8 1 4
LAT ITUDE= -48
34
20
3 1 .7 8 0 4
14
48
32 .5 7 7 3
60 00 00 .0 00
LATIT UD E= -43
20
38 .0 2 9 8
LONGITUDE=
-52
27
12 .0 5 9 0
CONTRA-AZIMUTE=
193
26
5 9 .1 1 0 9
LATITUDE= -43
LONGITUDE=
Dl ST ANCIA=
20
-52
AZ IMUTE=
34.
40 .9 8 6 8
27
12 .0 23 0
16
58 .4 2 0 9
800000 .000
LATITUDE= -37
4
44 .7 5 3 5
- 54
AZIMUTE=
DI ST ANCIA=
PONTO
44 .3 32 1
LONGITUDE=
LONGI T(jDE =
2
20.0000
16
2 3 .5 5 9 9
LONGITUDE=
-47
22
4 6 .1 5 8 8
CONTRA-AZIMUTE=
210
59
40 .9 1 2 1
68
PONTO
4
L A T ITUDE
-37
16
27 .5341
LONGITUDE
-47
22
4 5 .9 9 8 6
AZIMUTE
91
19
5 1 .8 9 2 5
D IS T A N C IA
LA TI TU D E
1000000.000
-36
56
51 .5 7 3 7
LONGITUDE
-36
7
47.4597
CONTRA-AZIMUTE
264
31
4 6 .3 3 2 2
6.2 QUADRO COMPARATIVO DOS RESULTADOS OBTIDOS PELAS FORMULAS DE SODANO E AS
* D i f e r e n ç a e n t r e os r e s u l t a d o s ,
em v a l o r a b s o l u t o ,
obtidos
pelas
f ór mul as
APRESENTADAS
de SODANO e as
apresentadas.
R E S U 1. T A D 0 S
SIMS .
DADOS
SIMB.
FORM.
SODANO
FORM. APRESENT.
D I F . ENTRE OS
RESULTADOS
(em segundos) *
<
í>
-01 28 30,5631
4
-01 12 02,4231
-01 12 02,4291
-0, 0060"
X
-48 30 25,4320
X
-48 27 24,9081
-48 27 24,9081
0,0000
190 25 06,1337
190 25 06,1337
0,0000
-00 38 29,2829
-00 38 29,2956
-0 Q012 7
-48 32 48,8248
-0,0002
170 48 O] ,6799
170 48 01,6829
-0,0030
00 47 18,0260
00 47 17,9954
+0,0306
-47 40 39,0916
-47 40 39,0897
+0,0019
211 28 27,9028
211 28 27,9045
-0,0017
A12
S
10 25 10,3490
30.860,120
4>
-01 12 02,4291
X
-48 27 24,9081
A1 2
S
A21
350 47 56,4764
*
X
A21
-00 38 29,2956
<
j>
X
-48 32 48,8248
X
S
.
62.640, 600
<
J>
A12
-48 32 48,8246
31 28 23,8914
185.371,230
A21
R E S U L T A D 0 S
SIMB.
DADOS
SIMB.
FORM.
SODANO
FORM. APRESENT.
D I F . ENTRE OS
RESULTADOS
(em segundos )*
<
í>
-23 04 45,8959
<
í>
-23 20 53,1446
-23 20 53,1461
-0,0015"
X
-48 53 32,4464
X
-49 21 57,9513
-49 21 57,9514
-0,0001
39,1627
58 33 39,1629
-0,0002
A12
S
238 22 26,9135
A21
58 33
56.896,553
4>
-23 20 53,1461
4>
-23 32 11,4505
-23 32 1 1 ,4501
+0,0004
X
-49 21 57,9514
X
-49 02 06,4122
-49 02 06,4124
-0,0002
301 36 26,1771
301 36 26,1771
0,0000
A12
S
121 44 20,2030
A21
39.742,395
<
t>
-23 32 11,4501
<
P
-23 53 37,1819
-23 53 37,1867
-0,0048
X
-49 02 06,4124
X
-48 59 11,2818
-49 03 1 1 ,2820
-0,0002
2 39 48,2312
2 39 48,2315
-0,0003
A12
S
X
A12
S
182 39 22,1429
A21
39.598,950
-45 12 45,8452
<
f>
-45 12 20,2020
-45 12 20,2019
+0,0001
-48 20 10,3218
*
-47 03 38,4774
-47 03 38,4775
-0,0001
269 05 41,1761
269 05 41,1761
0,0000
90 00 00,0000
100.210,250
A2T
R E S U L T A D 0 S
SIMB.
DADOS
SIMBFORM.
SODANO
FORM. APRESENT.
DI F. ENTRE OS
RESULTADOS
(em segundos ) *
<
f>
-45 12 20,2019
<
i>
-45 47 18,7580
-45 47 18,7870
-0, 0290"
X
-47 03 38,4775
X
-44 33 59,5235
-44 33 59,5235
0,0000
287 29 27,1088
287 29 27,1079
+0,0009
A12
S
109 16 11 ,6124
A21
205.430,609
❖
-45 47 18,7870
<
í>
-43 37 47,4981
-43 37 48,0181
-0*5200
X
-44 33 59,5235
X
-42 16 30,7014
-42 16 30,6946
+0,0068
216 19 20,8231
216 19 20,8295
-0,0064
A12
S
37 56 05,3670
A21
300.840,286
<
J>
-85 25 41 ,3458
d>
-84 47 20,1926
-84 47 20,2112
-0,0186
X
-50 40 25,3543
X
-54 37 09,8428
-54 37 09,8392
+0,0036
A12
330 35 21,3990
154 28 15,0634
154 28 15,0612
+0,0022
S
80.420,330
<
f>
-84 47 20,2112
d>
-83 29 44,7738
-83 29 44,8390
-0,0652
X
-54 34 09,8392
X
-64 33 12,7034
-64 33 12,6961
+0,0073
146 39 25,7152
146 39 25,7083
+0,0069
A12
S
A21
316 43 27,3208
183.370,584
A21
R E S U L T A D 0 S
SI MB.
DADOS
FORM. APRESENT.
D I F . ENTRE OS
RESULTADOS
(em segundos ) *
SI MB.
FORM.
SO DANO
<
P
-83 29 44,8390
<
P
-81 26 34,4904
-81 26 34,6449
-0, 1545"
X
-64 33 12,6961
X
-54 35 40,4539
-54 35 40,4582
-0,0043
200 32 00,4401
200 32 00,4457
-0,0056
A12
27 26 01,1053
A21
250.470,550
S
X
A12
-50 30 20,0000
<
t>
-48 34 44,3321
-48 34 44,7535
-0,4214
-49 40 25,0000
X
-54 20 31,7711
-54 20 31,7804
-0,0093
124 08 32,9814
124 08 32,9774
+0,0040
300 35 20,1690
A21
400,000,000
-48 34 44,7535
4>
-43 20 38,0298
-43 20 40,9868
-2,9570
X
-54 20 31,7804
X
-52 27 12,0590
-52 27 12,0230
+0,0360
14 48 32,5773
193 26 59,1109
193 26 59,1311
-0,0202
PO
<
í>
3»
S
s
A21
600.000,000
<
í>
-43 20 40,9868
4>
-37 16 23,5599
-37 16 27,5341
-3,9742
X
-52 27 12,0230
X
-47 22 46,1588
-47 22 45,9986
+0,1602
210 59 40,9121
210 59 40,9777
-0,0656
A1 2
S
34 16 58,4209
800.000,000
A21
R E S U L T A D 0 S
SI MB.
DADOS
SI MB.
FORM.
SODANO
FORM. APRESENT.
M F . ENTRE OS
RESULTADOS
(em segundos ) *
4>
-37 16 27,5341
<
t>
-36 56 51,5737
-36 56 51 ,5961
-0, 0224"
X
-47 22 45,9986
X
-36 07 47,4597
-36 07 47,4598
-0,0001
264 31 46,3322
264 31 46,2266
+0,1056
A12
S
91 19 51,8925
A21
1 . 000. 000, 000
Quadro
(6.2.1)
74
CAPITULO VII
7.0 COMPARAÇflO DOS RESULTADOS DAS RESOLUÇÕES DE TRIÂNGULOS GEODE
SICOS POR FORMULAS FINITAS E DESENVOLVIMENTO EM SERIE
A resolução de triângulos geodesicos ocorre com
maior
freqüência em triangulações e tri1aterações geodesicas. Aqui, fo
calizaremos apenas triângulos equivalentes aos de triangulação.
Os triângulos oriundos de triangulações, comumente são
resolvidos mediante o Teorema de LEGENDRE que em sua aplicação £
limina
funções de arcos pequenos.
Com o advento dos computadcres
eletrônicos que utilizam vários dTgitos, como por exemplo:
HP-30
que calcula doze (12) e imprime onze (11) dTgitos, talvez po ssa­
mos substituir o Teorema de LEGENDRE pela
analogia
dos
senos.
Esta possibilidade de substituição sera estudada neste capitulo,
na forma de comparação entre os resultados obtidos pelas resolu­
ções através de formulas finitas com sete (7) e doze (12)
tos, e o Teorema de LEGENDRE.
dTgi­
Comparamos também com os resulta­
dos oriundos do desenvolvimento em serie, com um, dois e
três
te rm os .
Adotemos para o referido estudo seis triângulos geodesicos. Os elementos dados para cada triângulo são: um lado e três
ângulos, como ocorre normalmente em triangulação.
Convem salientar que os elementos dados são aleatorios
e que os ângulos internos estão afetados do erro de fechamento.
Inicialmente apresentemos os triângulos, em seguida
quadro
o
(7.1.1) comparativo dos resultados obtidos através das fõr-
75
mulas f i n i t a s
e de s e nv ol v i me n t o em s e r i e
( v e r apêndi c e B ) .
o
=
o
11
A
10 36,40
75
30 45 ,26
o
O
TRIÂNGULOS GEODÉSICOS
c
=
00 20 05 ,88
A = 70 30 40 ,28
4.
B = 60
45 08,36
B = 50 20 10,15
C = 43
44 08,23
C = 59 09 10 ,90
c = 00
22 53 ,74
c = 00 18 47 ,85
A = 81
41 20 ,46
A = 68 10 20 ,56
B = 51
12 19 ,60
B = 54 19 29 ,39
C = 47
06 23 ,04
C = 57 30 12 ,05
c = 00
15 29 ;,81
c = 00 25 30 , 56
A = 45
21 i o ;,20
A = 62 55 44 ,70
B = 79
36 1 5 :, 45
B = 60 46 19 ,31
C = 55
02 35 ;, 65
C = 56 17 59 ,10
7.1 QUADRO COMP A RA T IV O DOS RESUL T AD OS DAS R E SO L UÇ ÕE S DOS T R I Â N G U L O S G E O DÉ S IC OS
ANALOGIA DOS SENOS
N<? DE
DESENVOLVIME NTO EM S E R I E
T EOREMA DE
SIMB
EXEMP
11
9
c/ 7 DECIMAIS
C/l 2 DECIMAIS
c / UM TERMO
00°
14' 51 ,273" 00ö 14 1 51,274"
23,172
00
13 23,188
00
13
30
55 ,416
00
30 55 ,428
00
00
24
21,444
00
24. 21 ,456
a
00
13
27,120
00
b
00
13
35,856
a
00
22
b
00
a
a
00°
14 ' 51,252"
b
00
13
a
00
b
C/DOIS TERMOS
C/TRÊS TERMOS
LEGENDRE
00°
14*
51 ,273" 00° 14'
51, 273"
00 014 '51 ,276 "
23,190
00
13
23,188
00 1 3
2 3 ,1 8.8
00 1 3 23,191
30
55,441
00
30
55 ,428
00 30
55 ,428
00 30 55 ,449
00
24
21 ,467
00
24
21 ,456
00 24
21 ,456
00 24 21 ,468
1 3 27,129
00
13
27 ,132
00
13
27,129
00 13
27 ,129
00 .13 27,131
00
18 35., 868
00
18
35 ,872
00
18
35 ,868
00 18
35 ,868
00 18 35 ,873
04,086
00
22 04 ,100
00
22
04,107
00
22
04,100
00 22
04,100
00 22 04,108
18
01 ,230
00
18 01,241
00
18
01 ,247
00
18
01,241
00 18
01 ,241
00 18 01,246
00
20
41 ,346
00
20 41 ,361
00
20
41 ,367
00
20
41 ,361
00 20
41,361
00 20 41,368
b
00
18
06,264
00
18 06,280
00
18
06 ,285
00
18
06,280
00 18
06 ,280
00 18 06,285
a
00
27
18,168
00
2 7 18,172
00
27
18,187
00
27
18,172
00 27
18,172
00 27 18,188
b
00
26
45 ,492
00
26 45 ,497
00
26
45,512
00
26
45 ,497
00 26
45 ,497
00 26 45,513
C.
o
ó
A
H
0
r
c
0
Quadro
(7.1.1)
77
CAPITULO V I I I
8.0 CONCLUSÃO
No pr e s e n t e
trabalho verificamos
que a sol ução do p r o­
blema ge odé si co d i r e t o de s e n v o l v e u - s e de forma b a s t a n t e
evitando
assim grande volume de c á l c u l o .
tos do segundo ponto são o b t i d o s
ordenadas c a l c u l a d a s .
s i mp l e s ,
Neste método os elemen­
sem depender d i r e t a m e n t e das co^
Desta manei ra evi denci amos o c a l c u l o
do con
t r a - a z i m u t e da g e o d é s i c a .
As e x p e r i ê n c i a s
realizadas
a t r a v é s de
f or mul as abrangeram todos os q u a d r a n t e s ,
cias
variáveis.
A verificação
podem a p r e s e n t a r ,
foi
dos ob t i d o s
f ór mul as
drão.
pe l as
feita
Assim concl uí mos
angul ações
do mi l ési mo de segundo.
ração de l ados c u r t o s
do. Além dest as
da d i s c r e p â n c i a
em al guns
correspondentes
s u p r i mi d o s ,
tada s .
foi
a tri­
da ordem
o centési mo de segun­
comparações para
e mil
q u i l ô me t r o s
c ompri ­
e os re
da ordem do décimo de segundo,
casos,
atingiu
desenvolvido
de t a l
o segundo.
forma
que os
á obtenção da ampl i t ude e s f é r i c a
conforme se c o n s t a t a
pa­
c o r r e s po n de n t e s a t r i l a t e
foram f e i t a s
0 método em f oc o f o i
percalços
c o r r e s po n de nt e s
150 a 400 Km a t i n g i u
latitude,
fór mul as
consi deramos
a discrepância
Para s i t u a ç õ e s
acusaram uma d i s c r e p â n c i a
sendo que para
e distân­
que e s t a s
de SODANO, as quai s
ge o d é s i c a s
situações,
das
medi ante comparação com os r e s u l t a ­
mentos da g e o d é s i c a e n t r e q u a t r o c e n t o s
sultados
com l a t i t u d e s
que para s i t u a ç õ e s
e poligonais
aplicações
através
das f ór mul as
foram
apreseii
78
Verificamos
zadas,
de conf ormi dade com as e x p e r i ê n c i a s
que para d i s t a n c i a s
não s u p e r i o r e s
demos c o n f u n d i r o azimute da seção normal
sica.
Est a
consideração
a diferença
não vem i n f l u i r
e n t r e os az i mu t e s ,
reãli
a dez q u i l ô me t r o s
direta
com a da geodé­
nos r e s u l t a d o s
para e s t e c a s o,
po­
jã
que
não a t i n g e o mi l é
simo de segundo.
Out r as c onc l us õ e s
de t r i â n g u l o s
geodésicos.
foram o b t i d a s
Estas
Anali­
(7 .1.1 ) concl uTmos que o Teorema de Legendre
pode
pel a a n a l o g i a dos senos.
com mais de set e d í g i t o s .
para o de s e nv ol v i me n t o em s é r i e
pel o f a t o
c o n c l us õe s
decimal
Isto
quando
dispomos
Concluímos também
e suficiente
de não haver d i f e r e n ç a
mo a t é a q u i n t a
o-
tomados como padrão.
ser su b st it u íd o
de c a l c u l a d o r a
a resolução
fundamentadas nos r e s u l t a d o s
r i undos do d e s e nv ol v i me n t o em s e r i e
sando o quadro
referentes
que
a t e o segundo termo,
e n t r e o segundo e t e r c e i r o
do segundo.
r ef er em-se a t r i â n g u l o s
E evidente
ge odé si cos
que e s t a s
ter­
ú l t i ma s
equivalentes
aos
de t r i a n g u l a ç õ e s .
Pretendemos
d e s e n v o l v e r num t r a b a l h o f u t u r o estudos
bre o problema geodési co
inverso.
Acr edi t amos que e s t e
úteis
aos i n t e r e s s a d o s
de um e l i p s õ i d e
sicos.
S£
trabalho
proporcione
no estudo da ge o dé s i c a
de r e v o l u ç ã o e na r e s o l u ç ã o
i nformações
sobre a s u p e r f í c i e
de t r i â n g u l o s
geodé­
79
REFERÊNCIAS BI BLI OGRAFI CAS
1011
BOMFORD, G.
Geodesy.
1971.
731 p .
| 02 |
BOWRING, B . R .
S o l u t i o n f o r azimuth of the geodes i c in near
a n t i p o d a l s i t u a t i o n wi t h e s p e c i a l r e f e r e n c e
to
the
b e h a v i o u r of l i n e s f o r which the azimuth i s the r egi on
of 90°.
B u l l e t i n Geodes i q u e , P a r i s , 5J_(1): 17, 1977.
|03|
CLARK, A. R.
T r a t ado de g e o d e s i a .
- B a i 11 i e r el 191 0 .
539 p .
|04|
EWING, E. & MITCHELL, M.M.
Yor k, American E l s e v i e r
10 5 1
GEMAEL, C-.
El ementos de t r i g o n o m e t r i a e s f é r i c a .
Curitiba,
Un i v e r s i d a de Fed’e r a l do Par anaT DAST , TT7ÏÏT
85 p .
10 6 |
3td ed.
Oxford,
Cl arendon
2? e d . ,
Ma dr i d ,
Press,
Bailly
I n t r o d u c t i o n to geodesy.
Pub! i shi ng Company', '1 970.
.
I n t r o d u ç ã o a geodesi a _ g e o mé t r i c a .
Curitiba,
v¥rs i da de F e de r al cTõ P ar anã , TTT77T 144p .
2nded.
New York,
John
Mew
304 p.
Uni-
10 7 1
HOSMER, G . L .
Ge ode s y .
Sons, 1929.
461 p .
Wiley
| 08 |
LEVALL OI S , J . J .
Géodési e g é n é r a l e.
Paris,
( C o l l e c t i o n S c i e n t i f i q u e de L ' I n s t i t u t
N a t i o n a l ) ; 1970, v . 2 , 408p.
| 09 i
P A C I T T I , T.
Janeiro,
1101
ROBBINS, A. R.
Long l i n e s on the spheroi d. Empire
Re v i e w, London, XV I ( T25T7336-301 , J u l y , 1962.
|11|
SODANO, E.M.
General non-i n t e r a t i ve s o l u t i o n of the inverse
and d i r e c t g e o d e t i c problem.
B u l l e t i n Geodesi que, (75):
69, Nov.
1965.
112 |
ZA KAT 0 V , P .' S .
A course in h i g h e r geodie-sy s pheroidal geodesy
and fundament al s oT~gr av i r cet r y and p. rati caT a s t r onomy .
Editions Eyvoiles
Géographique
Fortran-Mon i t o r ; pr i n c T p i ’os. 3? é d . ,
Ao L i v r o T e c n i c o , 1977.
372p.
2 n ed. Jerusalen, Israel Program
translations, 1962.
389p.
for
&
Rio
de
Survey
scientifc
80
APENDICE A
FLUXOGRAMA
pN lC IO
)
K=1
I
ENTRADA DE
L
ENTRADA DE
L G , L M, S L
L 0 G , L ÛM, S L 0
ENTRADA DE
IG , HA, A S , S
L AG=L G
L AM=I A B S ( L M)
SLA=ABS( S L )
L 0 NM=IA B S ( L 0 M)
SLON=ABS(SLO)
81
82
83
85
\
\
\
\
IMPRIMI R DADOS
LAG.LAM.SLA
LONG.LONM.SLON
IG,MA,AS , S
K= K+1
\ I M P R I M I R RESULTADOS
\
LG. LM. SL
\
LOG , LOM , SLO
\_______NI ,N2,B3_________
*<260)
86
PROGRAMA
o
o
WRI T E ( 5 , 1 O)
10
FQRMATl • 1 3 5 X , ' P R O B L E M A GEODESICÜ D I R E T O ' , / / / )
AZIMUTE CONTADO DO NORTE CORRESPONDENTE A SECAO NORMAL DIRETA
LONGITUDE CONSIDERADA NEGATIVA P O R OESTE
P I = 3. 1415 92 6.5
CR=P1/ 180.
K =1
C
D EF IN I Ç Ã O DO E L I P S Ü I D E DE REVOLUÇÃO
A =63783 08.
E 2 = 0 . 00672267
80=6356911.946
C
NUMERO DE V E R T I C E S DA POLIGONAL
RE AD ( 2 , 2 0 ) L
20
FORMAT( 1 2 )
C
LA TIT U D E E LONGITUDE
REAOt 2»30 )L G » L M , S L , L O G » L O M » S L O
30
FORMAT(2 1 3 , F 8 . 4 , 2 I 4 , F 8 . 4 )
C
ANGULO HORIZONTAL E D IS T A N C IA
260 R E A D ( 2 , 4 0 ) I G , M A , A S , S
40
FORMAT( 2 l 4 » F 8 . 4 , F 1 2 . 3 )
LAG=LG
L AM=I A B S ( LM)
SLA=ABS(SL)
l F C L ’G >2 70,2 80, 270
280 LAM=LM
IF(LM )270,300,270
300 SLA=SL
270 LONG=LOG
LONM=IABS( LOM)
SLO N= ABS (S LO )
ZG = I G
A Z =MA
AZS=ZG+(AZ+AS/60.)/60.
IF (K - 1 )3 ,4 ,5
5 AZS=CA+AZS
I F ( A Z S - 360. ) 9 , 8 , 8
8 AZS=AZS-360.
GOTO 9
C
-CONVERSÃO DOS ANGULOS NO S I S T E M A S EX A G ES IM A L
EM RAOIANO
4
F R = F L 0 A T ( L G ) * C R + ( FL O A T( LM >/ 6 0 . ) * C R + ( S L / 3 6 0 0 . )*CR
P LO N R = FL O A T (L O G )* C R + ( F LO A T ( L O M ') / 6 0 . ) * C R + ( S L 0 / 3 6 0 0 . !*CR
9 AZR=AZS*CR
E =E 2 / (1 . - E 2 )
GN= A/SQRT (1 . - E 2 * S I N ( F R ) * * 2 )
S0=(S/GN)
C----- CALCULO DG ANGULO FORMADO PEL AS SECOES NORMAIS RECI PRO CA S
P l = ( ( E*S ) / B 0 )# S / ( 4 .* B 0 )
P2=C 0S ( FR > * * 2 * S I N ( 2 . * A Z R )
P3=( S*S I N ( 2 . * F R )* S I N ( A Z R)> / ( 4 . * BO)
T =P 1 * ( P 2 - P 3 )
C----- CALCULO DC AZIMUTE DA G E O D E S ICA
AZGR=AZR-T/3.
AZG=AZGR/CR
IG=AZG
P G 1=I G
C3=( AZG-PG1 ) * 6 0 .
87
MA=C 3
P G 2 =MA
AS=(C3-PG2)*6 0 .
C----- CALCULO DG ANGULO A U X I L I A R PARA OBTF.NCAO DO CONTRA-AZ1MUTE
D=C0 S ( S O ) *C 0 5 ( AZ R ) - ( S I N ( F R ) / C O S ( F R ) ) * S I N ( S O )
V =A T A N ( S I N ( A2 R ) / D )
B5=ABS(V+(2.*T ) / 3 . )
C----- T E S TE DO CUADRANTE 00 CONTRA-AZIMUTE
I F ( A Z R-PI >50 ,7 0, 7 0
50 I F ( V ) 8 0 , 6 0 , 6 0
60 B=B5+P1
B=B/CR
GOTO 110
80 B = 2 . * P I - B 5
B=B/CR
GOTO 110
70 I F C V ) 9 0 , 1 0 0 , 100
90 B =P I - B 5
B= B/CR
GOTO 110
100 B=B5/CR
N1 =B
B1 =N1.
GOTO 130
110 Nl =B
^
tíl=Nl
C=( B-B 1) * 6 0.
GOTO 120
130 C=(B - B 1 ) * 6 0 .
120 N2=C
B2=N2
B 3 = (C - B 2 )*60.
CA=B1+( B 2 + B 3 / 6 0 . ) /60 .
C A = C A + T / ( 3 .* C R )
C----- CALCULO
DA LONGITUDE
X = S IN (S 0 )*S IN (B 5 )/C O S (FR )
P = A TA N (X / S O RT ( 1 . - X * * 2 ) )
I F ( A Z R - P I >180, 18 0,19 0
180 PLONR=PLONR+P
GOTO 205
190 PLONR=PLONR-P
205 I F ( P L O N R ) 2 0 0 , 2 0 0 , 2 1 0
200 PLONG=PLONR/CR
LO G = -IFIX(ABS(PLO H G ))
RL0G1=LGG
Cl= (ABS(PLO NG)-ABS(RL0G1) )*60.
L0M=C1
RL0G2=L0M
SL0=(C1-RL0G2)*60.
GOTO 215
210 PLQNG=PLONR/CR
LOG= PLONG
RL0G1=L0G
C l = ( P L 0 N G - R L 0 G 1 >*60.
LOM=C1
RL0G2 =L OM
88
SL0=(C1-RL0G2)*60.
CALCULO DA LA TITU DE
215 RM=( A * ( 1 . - E 2 ) ) / S Q R T ( ( 1 „ - E 2 * S I N ( F R ) * * 2 ) * * 3 )
R= G N *(SQ R T (l.+ E2 *SIN {FR )**2 *{E2 -2 .M )
R 1 = {R M + R )/ 2 .
SI= (S/R1 )
P6=GN/A
P7= S O R T ( 1 . - E 2 ) * S I N ( F R ) * C O S ( S I )
Ptí = S I N { S 1 ) « C O S ( A Z G R ) « C O S ( F R )
U= Pó*(P7+P8)
G = U /S O R T ((l.- E2 )*(l.- U **2 ))
FR= ATAN( G )
FG=FR/CR
IF ( F G ) 220,230,230
230 LG=FG
F GI=L G
C 2 = ( F G-FG1')* 6 0 .
LM=C2
F G 2 =L M
SL=(C2-FG2)*60.
GOTO 330
220 LG=-I F I X I A B S ( F G ) )
FG1=LG
C2 =(ABS ( F G ) - A B S ( F G l ) . ) * 6 0 ,
LM =C2
FG2=LM
SL=(C2-FG2)*60.
I F ( L G ) 3 3 0 , 3 5 0 , 330
350 LM=-LM
I F ( L M )330,360,330
360 S L= -S L
C----- IMPRESSÃO DOS DADOS
330 W R I T E ( 5 , 2 4 0 ) L A G , LAM, S L A , LONG, L O N M , S L O N , K , I G , M A , A S , S
240 FORMAT( 2 2 X , •PONTO• , 8 X , •L A T I T U O E = ' , I 4 , 2 X , I 3 , 2 X , F 8 . 4 , / / , 3 4 X , ' LONGlTU
1DE=* , 1 5 , 2 X , 1 3 , 2 X , F 8 . 4 , / / , 2 3 X , 1 2 , 1 1 X , •AZIMUTE = •, I 5 , 2 X , I 3 , 2 X , F 8 . 4 , / /
2 , 3 4 X , • DI ST ANC I A = • , F 1 2 . 3 , / / / )
K=K+ 1
C----- I MPRE SSÃO DOS RESULTADOS
W R I T E (5 ,2 50) L G , L M , S L , K , LOG, LOM, S L O , N I , N 2 , B 3
2 50 FORMAT{ 3 5 X , •L AT I TUDE=» , I 4 , 2 X , I 3 , 2 X , F 8 . 4 , / / , 2 3 X , I 2 , 9 X , ' LQNGITUDE= ' ,
l I 5 , 2 X , I 3 , 2 X f F 8 . 4 , / / , 2 9 X , ' CONTRA-AZ I MUTE = •, I 5 , 2 X , I 3 , 2 X , F 8 . 4 , / / / / )
IF ( K - L ) 260,3,3
3
CALL E X I T
END
C
89
APÊNDICE B
RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS GEODÉSICOS
B .1
FORMULA F I NI TA
Os t r i â n g u l o s
ge odé s i c o s or i undos
dem s e r r e s o l v i d o s como e s f é r i c o s .
lustra
um t r i â n g u l o
de t r i a n g u l a ç õ e s
Assim sendo,
a fig.
po­
(B .l.l)
i-
esférico.
C
B
A
c
Fig.
na qual
os ângul os
l ados e s f é r i c o s
esféricos
por a ,
Aplicando
(B .l.l)
são r e p r e s e n t a d o s
por A,
B e C,
b e c.
na f i g .
(B .l.l)
a a n a l o g i a dos senos temos
sen a _ sen b _ sen c
sen A - sen B
sen C
B .2
e os
,R , , ,
v • • ;
DESENVOLVIMENTO EM S Ê R I E
Esta
forma de r e s o l u ç ã o
ções t r i g o n o m é t r i c a s
pelas
Podemos e s c r e v e r
consiste
respectivas
em s u b s t i t u i r
sér i es. ,
as
fun­
90
a =
;
b = -pr—
o
o
e
c =
( B . 2.1 )
o
onde m, n e q definem os comprimentos dos arcos cor r es ponde nt es
as ampl i t udes
de ao r a i o
esféricas
da e s f e r a
a,
b e c respectivamente.
sobre a qual
0 Rq correspon^
consideremos os t r i â n g u l o s
e
dados por
R
endo N e M r a i o s
liana
= /NM
(B.2.2)
das seções normais
e dados pe l as
. (2.4.10)
(1 - e
do p r i me i r o v e r t i c a l
e (2.4.7)
respectivamente.
— a— rn
( B - 2 - 3 )
sen _4*m)
m
M = ---- ? .U .." e. J
O
O
^ ^
(1 - e ' sen <
|>
m)
(B.2.4)
onde <
j> e a l a t i t u d e média e n t r e os v é r t i c e s
Substituindo
ries
correspondentes,
na
e meri_
. (B .l.l)
de cada t r i â n g u l o .
as funções
senos pe l as
sem c o n s i d e r a r po t ê n c i a s acima da
sé­
qui nt a
temos
3
5
m
m ^ m
- ■-s +
r
Ko
6RÓ
120R
_________ O_________ 0
senft
_
~
3
5
n
n ,
n
p- - "rp- +
r
o
D o
120R^
O
senB
3
„5
q
9 . 9
n "
"7 +
“ET
Ko
6R„
120q°
_ _________ 0________ n
“
senC
(B.2.5)
B.3
TEOREMA DE LEGENDRE
E st a
forma de r e s o l u ç ã o ,
em g e r a l
e a p l i c a d a aos t r i -
91
ângul os ge odé s i c os
te em
tomar
triângulos
dos do t r i â n g u l o
los
internos
or i undos
esféricos
Em s í n t e s e ,
como pl a n o s ,
aos ângul os e s f é r i c o s
excesso e s f é r i c o mais o e r r o
(B.3.1)
dente ao e s f é r i c o
da f i g .
consis
fazendo os
plano cor responderem aos do e s f é r i c o
iguais
A fig.
de t r i a n g u l a ç õ e s .
abatidos
e os
la­
ângu­
de um ter çodo
de fechamento.
r e p r e s e n t a um t r i â n g u l o
plano
correspoj i
(B .l.l).
C'
Fig.
onde m, n e q são o b t i d o s
m = aR ;
o
(B.3.1)
pel a
n = bR^
o
. (B.2.1)
e
q = cRrt
o
(B.3.1)
Os ângul os pl anos são:
A1 -
A - |
B1
=B - |
r
=c - §
(B.3.2)
sendo
E = A + B + C - tt
( B . 3 . 3)
92
onde l
cor r esponde a soma do excesso e s f é r i c o com o e r r o de f e ­
chamento .
Apl i c a n d o na f i g .
(B.3.1)
a analogia
dos senos temos
sIÏÏJT - së ïïir ■ s iã r r
Est a
per mi t e a a p l i c a ç ã o
do Teorema de LEGENDRE, onde m, n e
q
correspondem aos comprimentos dos a r c o s .
S u b s t i t u i n d o m, n e q na
respondent es dados pel a
senA1 "
Esta analogi a
(B.3.1)
senB1 "
per mi t e o c á l c u l o
o Teorema de LEGENDRE,
onde a,
( B. 3, , 4)
por seus v a l o r e s
co£
temos
( B . 3. 5)
s f n F 1'
dos l ados
esféricos
b e c são expressos
de acordo com
em r a d i a n o s .