II Encontro Nacional de
produtores e usuários de
informações sociais,
econômicas e territoriais
Reinaldo Castro Souza, IEPUC, PUC-Rio
Co-autores:
Sheila C Zani & Eduardo A B da Silva
Rio de Janeiro, 21 de Agosto de 2006
OUTLINE
1) PRELIMINARES
2) ALGORITIMO BASE DO X-11
3) FILTRO DE HENDERSON
4) FILTRO PROPOSTO
5) COMPARAÇÃO FHxFP &
CONCLUSÕES
1
Princípios Fundamentais
Principais relações entre a série
original e seus componentes
Aditiva: Yt  St  Tt  It
Componentes
independentes
Multiplicativa: Yt  St  Tt  I t
Componentes
dependentes
1
Métodos automáticos
recomendados
Família X11 – USA/Canadá
TRAMO-SEATS – Banco da Espanha
Família X11
1
Três programas
integram a família X11
X11
X11-ARIMA
X12-ARIMA
Criado nos anos 60/EUA
Anos 80/Canadá
Segunda metade dos
anos 90/EUA
1
Família X11
Os três programas que
integram a família X11
utilizam interativamente
Médias Móveis
(Ferramenta básica do modelo)
• para estimar a TENDÊNCIA e a SAZONALIDADE.
Esta ferramenta não implica a utilização a priori de
conceitos ou de modelos sofisticados!
1
X12 Reg_ARIMA.
• X12-ARIMA
Baseado no mesmo
princípio, mas possui um
módulo chamado de RegARIMA.
Yt 
'


X
t
Vetor de
Vetor de variáveis
parâmetros da regressão
 Zt

Modelo
ARIMA
1
X12 Reg_ARIMA.
2
Algoritmo de base
Estimação da tendência-ciclo com uma média móvel. Tt'  M 2 X 12 Yt 
Estimação da componente sazonal-irregular.
S 't  I 't  Yt  Tt'
Estimação da componente sazonal com uma média móvel (3X3) sobre
cada mês.
~
S 't  M 3 X 3 St  I t '
S t'  S 't  M 2 X 12 S 't
 
Estimação da série corrigida de variações sazonais.
~
At'  Yt  St'
2
Algoritmo de base
Estimação da tendência-ciclo com uma média móvel de Henderson
de 13 termos.
T ''  H13 A'
t
Estimação da componente sazonal-irregular.
 
t
St  I t ''  Yt  Tt''
Estimação da componente sazonal com uma média móvel 3X5
~
sobre cada mês.
''
'' S ''  S ''  M
''
S
2 X 12 t
S  I  t t
S M
t
3X 5
t
t
Estimação da série corrigida de variações sazonais.
 
~
A't'  Yt  St''
2
Algoritmo de base
Uma das dificuldades deste algoritmo é selecionar as
médias móveis utilizadas nas etapas 1 e 3.
O método X11 executa este algoritmo simples, utilizando
médias móveis cuidadosamente escolhidas e refinando,
pouco a pouco, as estimação das componentes através
de iterações deste algoritmo.
Basicamente, o algoritmo X11, corresponde a um duplo
uso consecutivo do algoritmo apresentado trocando
cada vez as médias móveis utilizadas.
Filtro de Henderson
3
Chama-se de média móvel de coeficientes  k  o
operador designado por: M(Xt )
M  Xt  
f

k  p
k
X t k
O valor no instante t da série bruta é substituído
por uma média ponderada dos p valores passados da
série, o valor atual e os f valores futuros da série.
A ordem desta média móvel é p+f+1.
Quando p=f , se utilizam tantos valores passados
como futuros e diz-se que a média móvel é centrada.
Além disto, quando para todo k,  k    k
diz-se que a média móvel é simétrica.
Filtro de Henderson
3
Se diz então que as médias móveis são filtros
lineares, filtros que permitem eliminar ou
atenuar as oscilações associadas a algumas
freqüências.
O problema consiste em:

Determinar os pesos destas médias móveis.

Resolver o problema da perda de pontos no
início e no fim da série ocasionada pelo uso da
média móvel.
Filtro de Henderson
3
Para que um média
móvel conserve um
polinômio de grau d
é necessário que
seus coeficientes
satisfaçam a:
f

k  p
f

k  p
k
1
k j k 0
j  1,
,d
Neste contexto, é óbvio que as
condições de ordem ímpar são
sempre satisfeitas se os filtros
forem simétricos.
Em conseqüência, se uma média
móvel conservar uma tendência
polinomial de grau 2p, ela
conservará, também, uma
tendência polinomial de grau
2p+1.
3
Filtro de Henderson
Médias Móveis de Henderson
2ª estimação da tendência
Empregada na série já corrigida das
variações sazonais.
A idéia de Henderson foi a de construir
filtros simétricos que conservassem a
tendência cúbica.
Para isto, basta que o filtro conserve a
tendência quadrática. Há vários pesos
que satisfazem isto.
Filtro de Henderson
3
Como:
Os filtros simétricos que conservam a
tendência cúbica devem satisfazer as
condições:
i) Pesos simétricos:
ii) Tendência Cúbica
e
3A
idéia de Henderson ... Filtro de Henderson
Há dois modos equivalentes de caracterizar
os filtros de Henderson:
i) simétricos,
ii) preservando tendências cúbicas e
iii) com mínima variância da diferença terceira da
série depois de aplicada a média móvel;
ou, o que é equivalente:
i) e ii) como descrito acima e,
iii') com mínima soma dos quadrados da terceira
diferença dos coeficientes da média móvel.
Filtro de Henderson
3
Esses dois critérios são equivalentes.
Logo, precisa-se:
minimizar
sujeito às restrições:
e
com
,
Filtro de Henderson
3
Os coeficientes que minimizarão a variância
da terceira diferença de Zt são aqueles que
minimizam a soma dos quadrados da terceira
diferença dos próprios coeficientes.
 k 2  ( p  1)2   k 2  p 2   k 2  ( p  1)2  16  3 p 2  11k 2 
 k  315
8 p( p 2  1)(4 p 2  1)(4 p 2  9)(4 p 2  25)
Sendo: p  m  2
C
k
23
-11
-0,004278258
-10
-0,010918114
-9
-0,015686946
-8
-0,014527476
-7
-0,004947898
-6
0,013430010
I
-5
0,038932891 -0,027863777
-4
0,068303317
0,000000000 -0,040723982
C
-3
0,097395471
0,065491784 -0,009872480 -0,058741259
-2
0,121948951
0,147356513
0,118469766
-1
0,138317938
0,214336747
0,266556972 0,293706294 0,293706294
0
0,144060228
0,240057156
0,331139449
1
0,138317938
0,214336747
0,266556972 0,293706294 0,293706294
2
0,121948951
0,147356513
0,118469766
3
0,097395471
0,065491784 -0,009872480 -0,058741259
N
4
0,068303317
0,000000000 -0,040723982
5
0,038932891 -0,027863777
T
6
0,013430010
7
-0,004947898
8
-0,014527476
9
-0,015686946
10
-0,010918114
11
-0,004278258
O
E
F
I
E
E
S
13
9
7
5
-0,019349845
0,058741259 -0,073426573
0,412587413
0,559440559
0,058741259 -0,073426573
-0,019349845
Filtro de Henderson
3
Fator de redução da
variância:
3
A escolha do tamanho dos filtros
de Henderson no X11 :
A escolha do tamanho dessa média móvel é baseada
no grau de irregularidade da série a ser amortecida. No
caso da série mensal, usa-se uma média móvel de
Henderson de 9, 13 ou 23 termos.
A escolha automática depende da razão
1 n Tt
T 
 1
n  1 t 2 Tt 1
Se
I
T
 1 Escolhe-se
I
I
T
.
1 n It
 1
n  1 t 2 I t 1
uma média móvel de Henderson de 9 termos;
se 1  I T  3,49 , escolhe-se uma média móvel de Henderson de 13 termos;
Nos demais casos; escolhe-se uma média móvel de Henderson de 23
termos.
3
Filtro de Henderson
Médias móveis assimétricas:
É o calcanhar de Aquiles do método.
Problema parcialmente resolvido quando
estendemos a série (modelos ARIMA).
A idéia de Musgrave...
3
i) Minimizar
é

Problemas :
m
de minimizar
2

 k
k  m
ii) Serve para no máximo t=3
iii) Os filtros assimétricos associados aos filtros
simétricos de Henderson foram construídos em
um contexto completamente diferente da
concepção dos filtros de Henderson.
iv) Antes de utilizar o filtro de Henderson a série
passa necessariamente por duas filtragens:
M2x12 e M3x3, por exemplo.
4
Filtro Proposto
Um filtro de comprimento N,  p  n  N  p  1,
que conserve uma tendência de ordem t deve
ser tal que:
N  p1
k
n
k  0, 1, , t
 f (n)   k 
(1)
n  p
sendo:
1, k  0
0, k  0
 k   
Definindo a transformada Z de f(n)
como:
N  p1

F ( z )   f ( n) z  n   f ( n) z  n
n  
n  p
4
Filtro Proposto
As condições da equação (1) são
equivalentes a:
F 1  1
kF
z k
0
k  1, , t.
z 1
Uma função F (z ) que satisfaz as equações
acima é:

F ( z)  1  1  z

1 t1
G( z )
4
Filtro Proposto
 N  p1

2
min
  f ( n) 
f ( n ),n  p ,, N  p1 n  p


N  p 1
sujeito a

n k f ( n)   ( k ),
ou
k  0, 1, , t
n  p
 

2
jw
min
  F (e ) dw 
g ( n ),n  p,, L p1

 

dado que F z   1  1  z

1 t 1
G z 
4
Filtro Proposto
Definindo-se:

F z   1  1  z

1 t 1
G z 

G z   z p

F z   1  1  z
 z
1 t 1
z ( p1)  z ( L p1)

 g  p  
 g  p  1 









g
L

p

1


g
p
z
( p1)
1
g  A b
 z
( L p1)
g
4
Filtro Proposto
Particularizando para o caso em que o filtro
deve preservar a tendência cúbica, isto é, t  3,
temos que:
Akl  p,3  2 70  l  k   56  l  k  1  28  l  k  2  8  l  k  3    l  k  4
bkl  p,3  2 6  k  2  p   4  k  2  p  1    k  2  p  2
4
Filtro Proposto
 70  2
  56  2

 28  2

  8  2
A   2

 0
 0

 0
 0

 0 
 0 


 2 


  4  2 
b   6  2 


  4  2 
 2 


0


 0 


 56  2
28  2
 8  2
2
0
0
0
70  2
 56  2
28  2
 8  2
2
0
0
 56  2
70  2
 56  2
28  2
 8  2
2
0
28  2
 56  2
70  2
 56  2
28  2
 8  2
2
 8  2
2
28  2
 8  2
 56  2
28  2
70  2
 56  2
 56  2
70  2
28  2
 56  2
 8  2
28  2
0
2
 8  2
28  2
 56  2
70  2
 56  2
0
0
2
 8  2
28  2
 56  2
70  2
0
0
0
2
 8  2
28  2
 56  2
  0,077
  0,308


  0,706



1
,
175


g    1,469


  1,175
  0,706


  0,308
  0,077


- 0,0769 
 0,0000 


 0,0629 


 0,1119 
 0,1469 


 0,1678 
Z   0,1748 


 0,1678 
 0,1469 


 0,1119 


 0,0629 
 0,000 0 


- 0,0769 

0 
0 

0 
2 

 8  2 
28  2 

 56  2 
70  2 
0
T=3; N=13
C
O
E
F
I
C
I
E
N
T
E
S
5
Comparação FHxFP
Simulação
• 200 observações
• Série com tendência cúbica
• Somada a uma componente aleatória
gerada de uma normal com média 0 e
desvio padrão 1.
• Essa série tem as condições ideais para a
utilização dos filtros, pois nenhuma
componente sazonal está embutida na
sua construção.
Simulação
Simulação
• Aplicaram-se os dois filtros, o proposto e o de
Henderson, de tamanho 13
• Espera-se que, quando aplicados os filtros, as
séries resultantes sejam o mais próximo
possível da série limpa do ruído aleatório.
• Para testar o poder dos filtros, subtraíram-se da
série simulada com ruído as séries filtradas
pelos dois processos. Essas séries deveriam
estar muito próximas do ruído gerado (com
distribuição Normal (0,1)).
Simulação
Simulação
5
Conclusões
(i) O ajuste sazonal nos países são
realizados, em sua maioria, pelos produtos
da família X12 e TRAMO-SEATS
(ii) Método X12 está também disponível em
alguns softwares comerciais de previsão,
por exemplo, no FPW-XE (um dos mais
difundidos e usados no mundo)
(iii) O ajuste sazonal na família X12 para a
tendência e a sazonalidade é realizada por
usos exaustivos de MM, atuando como
suavizadores
5
Conclusões
(iv) Filtro de Média Móvel de Henderson usado
na extração final da tendência tem seus
pesos obtidos pela minimização de uma
função que não é a variância!!!
(v) Filtro Proposto, cujos coeficientes são
obtidos pela minimização da variância, é
mais geral, pois não requer simetria e
preservam a tendência de qualquer ordem.
Resultados ligeiramente superiores ao FH!!
OBRIGADO
[email protected]