PR
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
REPRESENTAÇÃO DE CONHECIMENTOS
PARTE 3: LÓGICA DE 1A. ORDEM
Prof. Cesar Augusto Tacla
UTFPR/Campus Curitiba
PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
1
TÓPICOS
▪ Compromissos ontológicos/epistemológicos LPO
▪ Linguagem da LPO
▪ sintaxe
▪ semântica
▪ interpretação/denotação/substituição
▪ modelo lógico
▪ pragmática
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REPRESENTAÇÃO DE CONHECIMENTOS: PARTE 3
COMPROMISSOS LPO
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3
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
▪ Compromisso ontológico é o que cada linguagem
pressupõe sobre a natureza da realidade (Russel e Norvig,
2004, pg. 235)
▪ Compromissos ontológicos da LPO
▪
▪
▪
▪
O mundo é composto por
objetos,
de funções sobre eles e
de relações entre eles;
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LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
▪ Compromissos Epistemológicos
▪ Uma lógica pode ser caracterizada pelos seus compromissos
epistemológicos,
▪ quais os estados possíveis para as crenças de um agente?
▪
▪
▪
▪
Exemplo:
Lógica proposicional V ou F ou desconhecido
LPO V ou F ou desconhecido
Teoria da probabilidade [0, 1]
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LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
Representação
Compromissos
Ontológico
Compromissos
Epistemológico
Lógica proposicional Fatos
V, F, ?
Lógica de primeira
ordem
Objetos, relações e
funções
V, F, ?
Teoria da
probabilidade
Fatos
[0, 1]
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Tipos de representação
quanto à estrutura
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
atômica
Utilizada nas soluções de problemas por meio de buscas
estados
O mundo é decomposto em uma série de fatos
fatorada
Utilizada L. proposicional/T. probabilística
O mundo é decomposto em uma série de fatos
estruturada
Utilizada nas LPO/Frames/Redes Semânticas
O mundo é decomposto em uma série de objetos e
suas relações
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REPRESENTAÇÃO DE CONHECIMENTOS: PARTE 3
LINGUAGEM DA LPO
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LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
▪ Linguagem possui três elementos principais:
▪ Sintaxe: define um conjunto de fórmulas bem formadas (well-formed
formulas- wffs) de acordo com um alfabeto e uma gramática.
▪ Semântica: significado, interpretação
▪ Pragmática: uso (efeito no interlocutor)
▪ Ex. Tem alguém atrás de você!
▪ Pode ser um alerta ou um pedido para deixar o caminho livre para alguém que
quer passar
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LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
SINTAXE
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SINTAXE
▪ A sintaxe de uma linguagem é definida por:
▪ Alfabeto São os símbolos lógicos e não lógicos (aqueles dependentes
do domínio (da aplicação) escolhidos pelo engenheiro de
conhecimentos.
▪ Gramática: regras para geração de fórmulas bem-formadas
pontuação
Símbolos
lógicos
alfabeto
conectivos
¬∧∨=∃∀
variáveis
x, y, z
predicados
proposição
(aridade zero)
funções
Constantes
(aridade zero)
Símbolos
não-lógicos
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(),. [ ]
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SINTAXE: EXEMPLO
A
C
1
B
3
Mundo composto por peças.
Quais são os objetos?
D
3
2
exemplo retirado do curso on-line AIMA – Norvig e Thun
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SINTAXE: ALFABETO
▪ Símbolos de função (não-lógicos)
▪ Funções mapeiam objetos para objetos
▪ Constantes são funções de aridade-zero; duas constantes
diferentes podem corresponder ao mesmo objeto
▪ Funções de aridade maior do que zero representam um objeto
função
Constantes
a1
A
C
1
3
a
B
b
D
3
NumDaPeça
a1
a1 1
b3
2
1
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SINTAXE: ALFABETO
▪ Símbolos de predicados (não
lógicos)
▪ Predicados representam relações entre
objetos.
A
C
1
▪ Predicados binários (diádicos)
▪ acima(X, Y) = {(a, b), (c, d)}
B
▪ Predicados unários (monádicos)
▪ vogal(X) = {(a)}
▪ peça(X) = {(a), (b), (c), (d)}
3
D
3
2
▪ Predicados aridade zero (proposições)
▪ chove() = {( )} cjto com uma tupla com zero elementos – V
▪
={ } cjto sem tupla – F (não está chovendo)
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SINTAXE: GRAMÁTICA
▪ GRAMÁTICA
▪ expressão := termo | fórmula
▪ termo
:= variável | função([variável]*)
▪
fórmula
:= predicado([termo]*) | termo = termo | ¬fórmula | (fórmula ∧ fórmula) |
(fórmula ∨ fórmula) | ∀variável.fórmula | ∃variável.fórmula
expressão
∃x.(P(y) ∨ Q(f(x))
Árvore de geração da
fórmula acima
fórmula
∃variável.fórmula
(fórmula ∨ fórmula)
∃x.
(
predicado([termo]*)
P(y)
∨
predicado([termo]*)
Q(
)
função([variável]*)
)
f(x)
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SINTAXE: GRAMÁTICA
▪ GRAMÁTICA
▪ TERMOS
▪ Toda variável é um termo
▪ Se t1, ..., tn são termos e f é um símbolo de função de aridade n,
então f(t1, ..., tn) é um termo
▪
▪
▪
▪
Exemplos
X é uma variável
éPaiDe(X) função de aridade 1
éPaiDe(éMãeDe(X))
▪ “avô materno de x”
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SINTAXE: GRAMÁTICA
▪ FÓRMULAS
1. Se t1, ..., tn são termos e P é um símbolo de predicado de aridade
n, então P(t1, ..., tn) é uma fórmula
2. Se t1 e t2 são termos, então t1 = t2 é uma fórmula
3. Se α e β são fórmulas e x é uma variável então ¬α, (α ∧ β), (α ∨ β),
∀x.α e ∃x.α são fórmulas
▪ Exemplos:
▪ X= éPaiDe(Y) fórmula pela regra 2
▪ ∃X.Pai(X) ∧ ∃Y.X=éPaiDe(Y) fórmula pelas regras 1, 2 e 3
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SINTAXE: GRAMÁTICA
▪ Subconjunto proposicional da LPO
▪ É a LPO sem termos, sem quantificadores; apenas com símbolos
proposicionais. Ex. P ∧ (Q ∨ R)
▪ ESCOPO DOS QUANTIFICADORES
▪ Variáveis livres: estão fora do escopo dos quantificadores
▪ Variáveis bounded: estão no escopo dos quantificadores
∀y.P(x) ∧ ∃x(P(y) ∨ Q(x))
▪ SENTENÇA EM LPO ou FÓRMULA FECHADA
É qualquer fórmula sem variáveis livres.
Possuem valor-verdade.
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LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
SEMÂNTICA
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SEMÂNTICA
▪ Semântica
▪ Define o significado no mundo das fórmulas bem-formadas
▪ O significados de uma fórmula deriva da INTERPRETAÇÃO dos
símbolos não-lógicos presentes na mesma (os símbolos lógicos tem
significado fixo)
Ex. vamos supor que
▪ feliz(joao) é uma fórmula bem formada;
▪ O símbolo joao denota um indivíduo;
▪ O símbolo feliz é um predicado.
▪ Joao tem a propriedade de estar feliz.
▪ O problema é que a interpretação dada aos símbolos não lógicos (joao
e Feliz) pode variar de uma pessoa a outra
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SEMÂNTICA
▪ O exemplo anterior provavelmente não suscita diferenças
de interpretação ainda que a noção de feliz seja diferente
de pessoa para pessoa
▪ Há outros símbolos não-lógicos bem mais problemáticos
pela dificuldade de precisar seus significados ou pela
simples dificuldade de entender o ponto de vista do
modelador
▪
▪
▪
▪
PaísDemocrático
MelhorComidaDoMundo
éBoaPessoa
txN27
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SEMÂNTICA
▪ Na lógica de 1ª. Ordem não é preciso dar definições
precisas (como a de um dicionário) para os símbolos nãológicos, por exemplo, que um país democrático é um pais
que possui eleições, liberdade de expressão, etc.
▪ É preciso somente declarar quais objetos são países
democráticos e quais não são.
▪ Se há divergências na definição de quais são democráticos,
fala-se em diferentes interpretações
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SEMÂNTICA
INTERPRETAÇÃO
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INTERPRETAÇÃO
▪ Em lógica de primeira-ordem, a interpretação é definida
por:
▪ Há objetos no mundo
▪ Para qqer predicado de aridade 1, alguns objetos satisfazem P outros
não
▪ Predicados de aridade superior são tratados similarmente (ex. aridade
3, define triplas de objetos que satisfazem o predicado)
▪ Funções de aridade 3 são interpretadas como mapeamentos de triplas
de objetos para objetos.
▪ Nenhum outro aspecto do mundo interessa!
Ex. mundo populado por
indivíduos onde alguns
são felizes e outros não
feliz(x) é verdadeiro para
os indivíduos pintados.
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INTERPRETAÇÃO
▪ Interpretação ℑ é um par (D, I)
▪ D = Domínio da interpretação: conjunto não vazio de objetos
▪ I = função que mapeia símbolos não lógicos para funções em D ou para
relações em D.
I[função(…)] ∈ [Dn → D]
I[constante] ∈ Dn
I[predicado(…)] ⊆ Dn
Dn é D1 x … x Dn
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INTERPRETAÇÃO: EXEMPLO
▪ Interpretação ℑ é um par (D, I)
▪ Exemplo: D = {1, 2, 3, …}
▪ Interpretação de constantes
▪ I[1] = 1
▪ I[2] = 2
▪ …
▪ Interpretação de predicados
▪ I[Par] = {2, 4, 6, …}
▪ Interpretação de funções
▪ I[Suc] = {(1 2), (2 3), …}
▪ ℑ ⊯ Par(3)
▪ ℑ ⊫ Par(Suc(3))
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INTERPRETAÇÃO: EXEMPLO
▪ Interpretação ℑ é um par (D, I)
Domínio
▪ Exemplo: considere o domínio de pessoas e
cachorros
▪ Pessoa(x) é um predicado unário
joão
I[Pessoa] ⊆ D
Totó
▪ Cao(x) é um predicado unário
catita
I[Cao] ⊆ D
Dono
MelhorAmigo
maria
Dono
scooby
▪ melhorAmigo(x) é uma função que mapeia
uma pessoa para seu melhor amigo
I[MelhorAmigo] ∈ [D → D]
▪ Dono(x, y) é um predicado binário que
relaciona um objeto x a um objeto y
indicando que x é dono de y
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I[Dono] ⊆ D x D
é um conjunto de pares de objetos,
onde o primeiro é uma pessoa dona
do segundo que é um cão.
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INTERPRETAÇÃO
▪ As funções em LPO são totais
▪ Então a função MelhorAmigo, que retorna o melhor
amigo de uma pessoa, deve fazer algo razoável com
objetos que não são pessoas!
▪ I[MelhorAmigo] ∈ [D → D]
▪ Interpretação envolve denotação PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
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SEMÂNTICA
DENOTAÇÃO
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DENOTAÇÃO
Denotação: pode ser entendida como atribuição de valores aos termos
de uma interpretação, sendo que os valores são objetos do domínio
(ou denotação é a correspondência entre símbolos e objetos do
mundo).
Domínio
Ex.: Qual o objeto denotado pelo
termo abaixo na interpretação ℑ?
melhorAmigo(joão)
I[melhorAmigo] ∈ [D → D],
melhorAmigo(joão) = maria
Notação: ||melhorAmigo(joão)||ℑ = maria
Ana
Totó
catita
joão
Dono
MelhorAmigo
maria
Dono
scooby
interpretação ℑ
A função MelhorAmigo é total.
Neste caso considera-se que na
ausência de um melhorArmigo o
próprio objeto é melhor amigo dele
mesmo (não foi representada na
figura)
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DENOTAÇÃO
▪ Na denotação de termos que apresentam variáveis, é preciso atribuir
valores do domínio D às variáveis
▪ Se x é uma variável então a atribuição µ[x] é um elemento
qualquer do domínio
▪ Formalmente, a denotação de um termo t, na interpretação ℑ com a
atribuição de valores µ representada por ||t||
|| ||ℑ,µµ é definida por
1. Se x é uma variável então ||x||
|| ||ℑ,µµ = µ[x]
2. Se t1, …, tn são termos e f é um símbolo de função de
aridade n então
||f(t
|| 1, …, tn)||||ℑ,µµ = F(d1, …, dn) onde F=I(f) e di = ||t
|| i||ℑ,µµ
▪ Observar que
▪ I(f) é a interpretação de f definida por [D x … x D D]
▪ As regras são recursivas (um termo pode ser uma função)
▪ ||t||ℑ,µ é sempre UM elemento de D
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SEMÂNTICA
SATISFAÇÃO
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SATISFAÇÃO
Dada uma interpretação ℑ = (D, I) e uma denotação ||.||ℑ,µ, pode-se
determinar quais sentenças são verdadeiras e quais são falsas na
interpretação ℑ. Uma sentença verdadeira é dita satisfeita.
Diz-se: uma sentença α é satisfazível em ℑ com a atribuição µ.
Escreve-se: ℑ, µ ╞ α
Escreve-se: ℑ ╞ α quando se trata de sentenças (sem
variáveis livres, que é o caso de uma KBS)
Uma fórmula (e portanto um sentença) é
• Não satisfazível: se α não é satisfazível em nenhum par (ℑ, µ)
• Falseável: se existe algum par (ℑ, µ) que não satisfaz α
• Válida (i.e., uma tautologia): se toda (ℑ, µ) satisfaz α
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SATISFABILIDADE
∃x.Cão(melhorAmigo(x))
A fórmula acima é satisfazível na interpretação ℑ
com a atribuição µ[x] se e somente se ao
utilizarmos I para obter os objetos denotados por
Cão e por melhorAmigo(x) atribuindo-se um valor à
variável x, encontrarmos um objeto x que é um
cão.
Domínio
O par (ℑ,µ) abaixo não satisfaz a fórmula:
I[Pessoa]={ana, joão, maria}
I[Cão]={Totó, catita, scooby}
I[melhorAmigo]={ana → maria, joão → maria,
maria → joão, totó → totó
catita → catita, scooby → scooby],
µ[x]=joão
Encontre um par (ℑ,µ) que satisfaça à fórmula.
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ana
totó
catita
joão
Dono
MelhorAmigo
maria
Dono
scooby
A função MelhorAmigo é total.
Neste caso considera-se que na
ausência de um melhorArmigo o
próprio objeto é melhor amigo dele
mesmo (não foi representada na
figura)
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MODELO LÓGICO
▪ Uma interpretação ℑ é um modelo lógico de um conjunto de
sentenças S se todas as sentenças de S são verdadeiras na
interpretação ℑ com uma atribuição µ
▪ Notação: ℑ ╞ S
Domínio
Conjunto de sentenças S
∃x.Cão(melhorAmigo(x))
∀y.Pessoa(y) → Pessoa(melhorAmigo(y))
Há um par (ℑ, µ) que satisfaça o conjunto S?
O par (ℑ,µ) abaixo satisfaz a fórmula:
I[Pessoa]={ana, joão, maria}
I[Cão]={Totó, catita, scooby}
I[melhorAmigo]={ana → maria, joão → maria,
maria → joão, totó → totó
catita → catita, scooby → scooby],
µ[x]={totó}
µ[y]={maria, joão, ana, totó, catita, scooby}
Ver itens 6 e 7 do slide seguinte
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ana
totó
catita
joão
Dono
MelhorAmigo
maria
Dono
scooby
A função MelhorAmigo é total.
Neste caso considera-se que na
ausência de um melhorArmigo o
próprio objeto é melhor amigo dele
mesmo (não foi representada na
figura)
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SATISFAÇÃO
Atribui d a v
Copyright Brachman e Levesque, pg. 22
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LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
PRAGMÁTICA
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CONSEQUÊNCIA LÓGICA
▪ Embora as regras semânticas da interpretação dependam da
interpretação dos símbolos não-lógicos, há conexões entre sentenças
em LPO que não dependem da interpretação dos símbolos não lógicos
▪ Por exemplo, sendo γ (gama) definido por ¬(β ∧ ¬α), ℑ uma
interpretação onde α é verdadeiro, pode-se concluir que γ é verdadeira
independente de como entendemos os símbolos β e α
▪ Sempre que α for verdadeiro, γ o será!!! γ é uma consequência lógica
de α ou a verdade de γ está implícita na verdade de α
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CONSEQUÊNCIA LÓGICA
▪ Formalmente: α é uma implicação lógica de S se e somente se α é
verdadeira em todos os modelos de S
S╞ α sse para toda interpretação ℑ, se ℑ╞ S então ℑ╞ α
De outra forma,
não há interpretação ℑ onde ℑ ╞ S ∪ {¬ α}
(i.e. S ∪ {¬ α} é insatisfazível)
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39
▪ Explicar
▪ Existencial
▪ Universal
▪ Equivalência
▪ Ver http://www.inf.unibz.it/~franconi/dl/course/slides/logic/fol/fol-1.pdf
▪ A partir do slide 30
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PRAGMÁTICA
▪ Por que consequência lógica é importante?
“Reasonning based on logical consequence only allows safe, logically
guaranteed conclusions to be drawn. However, by starting with a rich
collection of sentences as given premises, including NOT ONLY FACTS
ABOUT PARTICULARS of the intended application but also those
expressing connections among the nonlogical symbols involved, the set of
entailed conclusions becomes a much richer set, closer to the set of
sentences true in the intended interpretation. Calculating these entailments
thus becomes me like the form of reasoning we would expect of somenone
who understood the meaning of the terms involved”.
Brachman & Levesques, KR and Reasonning, pg. 25.
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CRENÇA EXPLÍCITA E IMPLÍCITA
α = Dados os blocos a, b e c, há um cubo verde sobre um não verde?
B é verde
B
verde
cor desconhecida
c não é verde
b está sobre c,
portanto há um cubo
verde sobre um não verde
A
B
Dois casos possíveis
C
B
B não é
verde
a está sobre b,
portanto há um cubo
verde sobre um não verde
Ou seja, qualquer que seja a interpretação, a sentença proposta será satisfeita!
Portanto, a sentença α é uma crença implícita.
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EXERCÍCIO
▪ Formalize a KB da transparência anterior utilizando:
▪
▪
▪
▪
os predicados
G(x) que significa x é green e
O(x, y) que significa cubo x está sobre cubo y.
As constantes a, b e c para representar os cubos
▪
Demonstre que a sentença α = Há um cubo verde sobre
um não verde é consequência lógica da KB
▪
Para tal, faça;
▪
▪
▪
▪
A KB, denominada S, em sentenças da LPO
a sentença α em LPO
Encontre e represente todas as interpretações e atribuições que
sejam modelos de S
Mostre que α é satisfeita em todos os pares (interpretação,
atribuição)
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