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MATEMÁTICA II
EXERCÍCIOS DE
REVISÃO
GEOMETRIA SÓLIDA
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1) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são dadas por números
inteiros em P.A. de razão igual a 2 cm . Se a diagonal do paralelepípedo
mede , em centímetros , 10 2 , calcule sua capacidade em litros .
2) Calcule a área total de um cubo cuja diagonal mede 3 m .
3) Num paralelepípedo retângulo , uma das dimensões da base é o dobro
da outra . Se a área lateral é de 88 dm2 , calcule o volume do paralelepípedo .
4) Num aquário em forma de paralelepípedo retângulo cuja base é um
quadrado com 1 m2 de área , mergulha-se completamente uma pedra de
modo que o nível da água se eleva em 1 mm . Se a pedra tem o formato
de um cubo , calcule a medida da aresta desse cubo .
5) (U.F.MG) - Uma piscina tem 25 m de largura , 50 m de comprimento ;
1,5 m de profundidade numa das extremidades e 2,5 m na outra . Seu
fundo é um plano inclinado . Calcule o volume da piscina .
6) (U.F.MG) - Dois prismas oblíquos , de mesma altura h , têm um quadrado de lado a como base inferior comum e suas bases superiores têm apenas uma aresta comum de acordo com a figura .Calcule o volume do sólido formado pela interseção dos dois prismas .
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7) (U.F.MG) - A base de uma paralelepípedo é uma região retangular cu jos lados medem 20 cm e 4 2 cm .As extremidades são duas faces quadradas que fazem um ângulo de 45o com a base . Um plano perpendicular à aresta maior intercepta o paralelepípedo segundo uma região retangular . Qual é a área total do paralelepípedo ? (veja a figura a seguir)
8) (PUC-MG/99) - Na figura , o cubo tem aresta 4 cm e BP = 2 cm está
sobre o prolongamento da aresta AB.Qual é a medida do segmento PG ?
9) (U.F.MG) - A altura de uma pirâmide é 3 m e sua base é um quadrado
de lado 3 m . Qual é o volume de um tronco obtido pela secção por um
plano paralelo à base , distante 1 m desta ?
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10) (U.F.MG) - Na pirâmide regular de base quadrada da figura , M é o
ponto médio de DE , CM pertence ao plano da base , CM ⊥ DE e
AB ⊥ CM . Se DE = 200 m , AB = 5 m , AC = 7 m e AM = 75 m ,
calcule a altura da pirâmide . (veja a figura a seguir)
11) (U.F.MG) - Na figura , as pirâmides OABCD e O'ABCD são regulares e têm todas as arestas congruentes . Se o segmento OO' mede 12
cm , então calcule a área da superfície da figura .
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12) (U.F.MG/98 - 2a etapa) - Na figura , está representado um cubo de
aresta 10 . Sabendo que AP = QC = 4 , calcule a distância de P a Q .
13) (FUVEST-SP/99) - O número de faces triangulares de uma pirâmide
é 11 . Quantos vértices e quantas arestas essa pirâmide possui ?
14) (U. MACKENZIE - SP) - Quantos são os planos determinados pelos
vértices de uma pirâmide regular de base pentagonal ?
15) (PUC - SP) - Uma pirâmide regular de base quadrada tem altura h (dada) . Sabe-se que sua área lateral excede de
3h 2
a área da base . Calcu2
le a medida da aresta da base em função de h .
16) (U.F.PA) - Calcule o volume de uma pirâmide regular quadrangular
cujas faces laterais são triângulos eqüiláteros de lado 4 cm .
17) (VUNESP - SP) - Em cada um dos vértices de um cubo de madeira
se recorta uma pirâmide AMNP onde , M ,N e P são os pontos médios das arestas , como se mostra na figura . Se V é o volume do cubo , calcular , em função de V , o volume do poliedro que resta ao
retirar as 8 pirâmides .
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18) (CESGRANRIO-RJ) - Para fazer o telhado de uma casa de cartoli na , um quadrado de centro O e de lado 2λ é recortado , como mostra a figura I . Os lados AB = CD = EF = GH medem λ 3 . Montado o telhado (figura II) , qual é a sua latura ?
figura I
figura I
19) A secção meridiana de um cilindro de revolução é um retângulo
cuja área é igual a 40 cm2 . Se um dos lados do retângulo tem 2
cm a menos do que o dobro do outro , calcule a área lateral do cilindro .
20) Girando-se um quadrado com 16 cm2 de área em torno do segmento
que une os pontos médios de dois lados opostos , qual será o volume
do sólido gerado ?
21) (U.F.MG / 95 - 2a etapa) - Observe a figura que se segue . Nessa figura , AB = 1 , BC = 3 e BD =
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. Calcule o volume do sólido ge 4
rado girando de 360o , em torno da reta AE , a região do plano cujo
contorno é
a) o triângulo ACE ;
b) o triângulo BCD .
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22) (U.F.MG) - A área da base de um cilindro circular reto é 16π cm2 e
sua área lateral é 250 cm2 . Calcule o tempo necessário para enchêlo de água usando-se uma torneira de vazão 5 cm3/s .
23) (U.F.MG) - Um cilindro circular reto cheio d'água tem raio da base
igual a 24 cm .Mergulha-se nele uma esfera de 12 cm de raio até ficar totalmente coberta . Quantos centímetros baixa o nível da água ,
se a esfera for retirada depois ?
24) (U.F.MG) - Na figura , a reta r é paralela a BC e o triângulo ABC é
tal que BÂC = 90o , BC = a e a altura relativa à hipotenusa é h . Qual
é o volume do sólido gerado pela rotação do triângulo ABC em tor no da reta r ?
25) (U.F.MG) - As áreas das superfícies laterais de dois cilindros retos
V1 e V2 , de bases circulares , são iguais . Se as alturas e os raios das
bases dos dois cilindros são , respectivamente , H1 , R1 , H2 e R2 ,
calcule a razão entre os volumes de V1 e V2 , nesta ordem .
26) (U.F.MG) - Um cilindro reto , cuja altura é igual ao diâmetro da base , a área de uma secção perpendicular às bases , contendo os centros dessas , é 64 m2 . Calcule a área lateral do cilindro .
27) (U.F.MG) - Na figura a seguir , o cilindro reto , de altura igual ao
diâmetro da base , é cortado por um plano paralelo ao seu eixo e à
distância d = 3 cm do mesmo . A área da secção determinada pelo
plano é 80 cm2 . Calcule a área lateral do cilindro .
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28) (PUC - MG /99) - A região plana limitada pelo retângulo ABCD gira em torno do lado AB e gera um cilindro de volume V1 . A mesma
região , ao girar em torno do lado BC , gera um outro cilindro de volume V2 . Se AB = 4 cm e BC = 6 cm , determine V1 em função de
V2 .
D
A
C
B
29) (U.F.MG / 94 - 2a etapa) - As medidas da geratriz , do raio da base e
da altura de um cone circular reto são x + a , x e x - a , respeciva mente . Ao calcular o volume do cone , usou-se , por engano , a fórmula do cilindro circular reto de mesmo raio e mesma altura do cone . O valor encontrado supera em 4π cm3 o volume procurado . Calcule a altura e o raio da base do cone .
30) (Newton de Paiva / 99) - Uma fábrica de biscoitos é contratada para
fabricar casquinhas de sorvetes . Como os sorvetes são vendidos na
forma esférica , com 4 cm de diâmetro, foi proposto à fabrica de biscoitos que
1. as casquinhas sejam cones ocos , com 4 cm de diâmetro na base ;
2. como as casquinhas devem comportar duas bolas de sorvete ,o cone comporte , no mínimo ,
3
do sorvete , caso este derreta .
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Calcule o menor valor da altura permitida para o cone .
31) (PUC - MG /99) - Na figura , a região limitada pelo triângulo ABC
faz um giro de 60o em torno da reta AB . Sendo AB = 2.(AC) = 6
cm , calcule o volume do sólido gerado .
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32) (U.F.J.F. -MG/99- 2a etapa) - Uma pessoa bebeu vinho em um
cálice em forma de cone. Estando o cálice cheio até a borda e tendo a pessoa bebido até o nível do vinho ficar exatamente na metade da altura do cálice , calcule a fração do volume total do vinho
consumido .
33) (U.F.U. - MG /99) - Considere um tanque cilíndrico de 6 metros
de comprimento e 2 metros de diâmetro que está inclinado em relação ao solo em 45o , conforme mostra a figura abaixo . Sabendose que o tanque é fechado na base que toca o solo e aberto na outra,
qual é o volume máximo de água que o tanque pode conter antes de
derramar ?
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34) (F.C.M.MG/98) - Na figura , o recipiente de altura H é um cone circular reto de base horizontal e raio R . O líquido no recipiente ocupa
1
do volume deste . Calcule o nível h do líquido no recipiente , em
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função de H .
35) (U.F.V -MG/97) - O trapézio retângulo abaixo sofre uma rotação de
360o em torno da base maior . Sabendo-se que AB = 3 cm , CE = 5
cm e que o volume do sólido obtido é 84π cm3 , determine AC .
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36) (PUC - MG /97) - Um cone reto de raio r = 4 cm tem um volume
equivalente ao de um prisma de altura h = 12 cm e de base quadrada de lado λ = π . Calcule a altura do cone .
37) (Newton de Paiva - 99) - Na figura , A , B , C e D são vértices de
um quadrado de lado 2 unidades e C é o centro da circunferência
de raio DC . Calcule o volume do sólido que se obtém girando a região hachurada em torno da reta x = 2 .
38) (PUC - MG/97) - Uma esfera de raio r = 3 cm tem volume equiva lente ao de um cilindro circular reto de altura h = 12 cm . Calcule o
raio do cilindro .
39) (CESGRANRIO-RJ) - Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R composta de 12 gomos exatamente iguais . Calcule , em
função de R , a superfície total de cada gomo .
40) (CESCEM-SP) - Uma cunha esférica de raio 1 m tem volume de
1 m3 . Calcule , em radianos , seu ângulo diedro .
41) (U.F.MG) - Duas bolas metálicas , cujos raios medem 1 cm e 2 cm ,
são fundidas e moldadas em forma de um cilindro circular cuja altura mede 3 cm . Calcule a medida do raio do cilindro .
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS :
1) 0,48 λ 2) 18 m2 3) 96 dm3 4) 10 cm 5) 2.500 m3 6)
1 2
a h 7) 160 2 +
2
19 3
m 10) 130 m 11) 144 3 cm2 12) 2 38 13) 12
3
3h
32 2
5
λ
vértices e 22 arestas 14) 16 15)
16)
17) V 18)
19) 40π
2
3
6
2
27π
2
cm2 20) 16π cm2 21) a) 16π b)
22) 1 min 40s 23) 4 cm 24) πh 2 a
2
3
R
3V
3
25) 1 26) 64π m2 27) 100π cm2 28) V1 = 2 29) altura =
e raio = 2
R2
2
2
7
H
30) 12 cm 31) 3π m3 32) Vtotal 33) 5π m3 34)
35) AC = 8 cm
8
2
8π
4
unid. de volume 38) 3 cm 39) πR 2 40) 1,5 rad
36) 2,25 cm 37)
3
3
224 cm2 8) 6 cm 9)
41) 2 cm
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