UNIFESP – 2.° DIA
BIOLOGIA
1
Acidentes cardiovasculares estão entre as doenças que
mais causam mortes no mundo. Há uma intricada relação
de fatores, incluindo os hereditários e os ambientais, que
se conjugam como fatores de riscos. Considerando os
estudos epidemiológicos até agora desenvolvidos, altas
taxas de colesterol no sangue aumentam o risco de infarto
do miocárdio.
a) Em que consiste o “infarto do miocárdio” e qual a
relação entre altas taxas de colesterol e esse tipo de
acidente cardiovascular?
b) Considerando a relação entre os gases O2 e CO2 e o
processo de liberação de energia em nível celular,
explique o que ocorre nas células do miocárdio em
uma situação de infarto.
Resolução
a) O infarto do miocárdio consiste na morte de uma
parte do músculo estriado cardíaco.
As altas taxas de colesterol provocam obstrução e
perda da elasticidade das artérias coronárias,
diminuindo a chegada de oxigênio e nutrientes.
b) Em situação de infarto, as células do miocárdio
deixam de receber oxigênio. Sem este gás, as
células não realizam respiração aeróbica, processo
que libera CO2 e fornece energia para a contração
muscular.
UNIFESP (2ª Fase) – DEZEMBRO/2009
2
Em abril de 2005, a revista Pesquisa FAPESP reforçava
a importância da aprovação da Lei de Biossegurança para
as pesquisas brasileiras com células-tronco e, ao mesmo
tempo, ponderava:
Nos últimos anos, enquanto os trabalhos com célulastronco embrionárias de origem humana permaneciam
vetados, os cientistas brasileiros não ficaram parados.
Fizeram o que a legislação permitia: desenvolveram
linhas de pesquisa com células-tronco de animais e
células-tronco humanas retiradas de tecidos adultos, em
geral de medula óssea e do sangue de cordão umbilical.
(...) Não há evidências irrefutáveis de que as célulastronco adultas possam exibir a mesma plasticidade das
embrionárias. (...) Menos versáteis que as embrionárias,
as células-tronco adultas têm uma vantagem: parecem
ser mais seguras. Nas terapias experimentais são
injetadas nos pacientes células-tronco extraídas, em
geral, deles mesmos.
Marcos Pivetta
(www.revistapesquisa.fapesp.br Adaptado.)
Considerando o texto da revista, responda:
a) O que se quer dizer ao se afirmar que as células-tronco
adultas são “menos versáteis que as embrionárias”?
b) Qual a vantagem de se injetar nos pacientes célulastronco extraídas deles mesmos?
Resolução
a) As células-tronco adultas são “menos versáteis
que as embrionárias”, porque podem originar
muitas estruturas diferentes, mas não são
totipotentes, como as células-tronco embrionárias,
capazes de formar qualquer estrutura do corpo.
b) A vantagem do uso de células-tronco, extraídas do
próprio paciente nas terapias experimentais,
elimina o risco de uma rejeição.
UNIFESP (2ª Fase) – DEZEMBRO/2009
3
No ano de 2009, o mundo foi alvo da pandemia provocada pelo vírus influenza A (H1N1), causando perdas
econômicas, sociais e de vidas. O referido vírus possui,
além de seus receptores protéicos, uma bicamada lipídica
e um genoma constituído de 8 genes de RNA. Considerando:
1. a sequência inicial de RNA mensageiro referente a um
dos genes deste vírus:
5’
3’
AAAUGCGUUACGAAUGGUAUGCCUACUGAAU
2. a tabela com os códons representativos do código
genético universal:
UUU Phe
UUC Phe
UUA Leu
UUG Leu
CUU Leu
CUC Leu
CUA Leu
CUG Leu
AUU IIe
AUC IIe
AUA IIe
AUG iniciar*
GUU Val
GUC Val
GUA Val
GUG Val
UCU Ser
UCC Ser
UCA Ser
UCG Ser
CCU Pro
CCC Pro
CCA Pro
CCG Pro
ACU Thr
ACC Thr
ACA Thr
ACG Thr
GCU Ala
GCC Ala
GCA Ala
GCG Ala
Abreviaturas dos aminoácidos
Phe = fenilalanina
Leu = leucina
IIe = isoleucina
Met = Iniciar (metionina)
Val = vallina
Ser = serina
Pro = prolina
Thr = Treonina
Ala = alanina
Tyr = tirosina
UAU Tyr
UAC Tyr
UAA pare*
UAG pare*
CAU His
CAC His
CAA Gin
CAG Gin
AAU Asn
AAC Asn
AAA Lys
AAG Lys
GAU Asp
GAC Asp
GAA Glu
GAG Glu
UGU Cys
UGC Cys
UGA pare*
UGG Trp
CGU Arg
CGC Arg
CGA Arg
CGG Arg
AGU Ser
AGC Ser
AGA Ser
AGG Ser
GGU Gly
GGC Gly
GGA Gly
GGG Gly
His = histidina
Gin = glutanina
Asn = aspargina
Lys = lisina
Asp = ácido aspártico
Glu = ácido glutâmico
Cys = cisteína
Trp = triptofano
Arg = arginina
Gly = Glicina
responda:
a) Qual será a sequência de aminoácidos que resultará da
tradução da sequência inicial de RNA mensageiro,
referente a um dos genes deste vírus indicada em 1?
b) Considerando os mecanismos de replicação do genoma
viral, qual a principal diferença entre o vírus da gripe
e o vírus que causa a AIDS?
Resolução
a) A sequência de aminoácidos será:
Met, Arg, Tyr, Glu, Trp, Tyr, Ala, Tyr.
b) O vírus da gripe é um RNA, vírus cujo genoma
replica-se diretamente, isto é, o RNA viral produz,
por pareamento complementar, cópias de RNA
que serão incorporadas aos novos vírus.
O HIV, vírus causador da Aids, é um retrovírus
cujo genoma replica-se de forma indireta, ou seja,
o RNA viral forma, na célula hospedeira, uma
cadeia de DNA por transcrição reversa.
Posteriormente, o DNA viral transcreve o RNA
que será associado aos novos vírus.
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4
A tabela apresenta as características gerais de duas
importantes classes de Angiospermas.
CARACTERÍSTICAS
CLASSE I
CLASSE II
Sementes com dois cotilédones Sementes com um cotilédone
Folhas com nervuras ramificadas Folhas com nervuras paralelas à
nervura principal
Estruturas florais geralmente em Estruturas florais geralmente em
número múltiplo de 4 ou 5
número múltiplo de 3
Sistema radicular pivotante
Sistema radicular fasciculado
Feixes vasculares dispostos em Feixes vasculares dispersos
anel
Considerando as Classes I e II representadas na tabela,
a) dê, para cada uma dessas classes, um exemplo de planta
cultivada e escreva sobre sua importância econômica.
b) a rotação de culturas envolvendo uma importante família de plantas pertencentes à Classe I e uma importante
família de plantas pertencentes à Classe II, e a adubação verde são práticas agrícolas de grande relevância
ecológica. Dê dois exemplos de plantas normalmente
usadas na adubação verde e na rotação de culturas, e
mostre qual a importância dessas práticas.
Resolução
a) Classe I – Dicotiledônea: soja, feijão e ervilha.
Classe II – Monocotiledônea: milho, arroz, trigo.
Soja e milho, bem como as demais plantas citadas,
são importantes fontes de alimento para a nutrição
humana.
b) A rotação de culturas pode ser feita entre plantas
da família leguminosa (feijão, soja) e plantas da
família gramínea (milho, arroz e trigo).
A adubação verde é um processo natural de formação de húmus, rico em nutrientes minerais,
como consequência da decomposição de plantas
leguminosas. Estes vegetais associam suas raízes
com bactérias fixadoras de nitrogênio atmosférico,
permitindo a formação, durante a decomposição,
de nutrientes ricos neste elemento químico, indispensáveis à síntese de proteínas e ácidos nucleicos.
A rotação de cultura é um processo utilizado na
agricultura para reduzir os efeitos provenientes
da monocultura que leva à retirada dos mesmos
elementos químicos do solo, desgastando-o.
Quando se realiza o plantio alternado de feijão e
milho, por exemplo, o solo sofre menor desgaste
quanto aos nutrientes minerais.
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5
As citações:
I. “A floresta Amazônica deve ser preservada a qualquer
custo. Afinal ela é o verdadeiro pulmão do mundo”.
II. “Diante das demandas promissoras dos mercados de
carbono, algumas áreas de plantio na Amazônia têm
sido abandonadas para dar lugar a uma nova dinâmica
de recolonização nessas áreas”.
foram extraídas, a primeira, de uma propaganda de TV
de cunho ambientalista, e a segunda, de uma revista de
divulgação científica.
Considerando tais citações:
a) pode se falar em erro conceitual, quando se faz referências a florestas maduras como a Amazônia, como
“pulmão do mundo”? Justifique sua resposta.
b) indique duas diferenças básicas encontradas entre comunidades de início e de final de sucessão relacionadas
com a dinâmica dos processos ecofisiológicos em um
ecossistema florestal.
Resolução
a) Sim. A floresta amazônica é uma comunidade
clímax e nesta situação existe um equilíbrio entre
a produção e o consumo de matéria orgânica.
Assim sendo, todo o oxigênio produzido pela
vegetação durante a fotossíntese será consumido
na respiração da biomassa da floresta (vegetais,
animais e decompositores).
b) Início da sucessão ecológica:
• pequena biodiversidade
• produção de alimento por fotossíntese supera o
consumo por respiração.
• biomassa pequena
Final da sucessão ecológica:
• grande biodiversidade
• produção por fotossíntese igual ao consumo por
respiração.
• grande biomassa.
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QUÍMICA
6
Na queima do cigarro, há a liberação dos gases CO, CO2
e de outras substâncias tóxicas como alcatrão, nicotina,
fenóis e amônia (NH3). Para a conscientização sobre a
toxicidade do cigarro, a campanha antifumo do estado de
São Paulo mostrava o uso do monoxímetro, “bafômetro
do cigarro”, que mede a concentração de monóxido de
carbono, em ppm (partes por milhão), no ar exalado dos
pulmões do indivíduo. A figura representa o resultado da
aplicação do teste.
(www.bhsbrasil.com.br/monoximetro.htm Adaptado.)
a) Dado que 1 ppm de CO refere-se ao teor de 1 L de CO
em 106 L de ar e que a densidade do CO é 1,145 g/L
nas condições do teste, qual deve ser o valor de XX,
indicado no visor do monoxímetro, se dois litros de ar
exalado por aquele indivíduo contêm 4,58 x 10–2 mg
de monóxido de carbono?
b) As moléculas de amônia e de gás carbônico apresentam formas geométricas e polaridades bem distintas.
Descreva essas características.
Resolução
a) Cálculo do volume de CO exalado em 2L de ar:
1,145g
–––––– 1L
–5
4,58 . 10 g –––––– x
x = 4 . 10–5L
Cálculo do volume de CO em 106L de ar:
2L de ar
–––––– 4 . 10–5L de CO
6
10 L de ar ––––––
y
y = 20L de CO
Cálculo do valor XX (ppm):
1ppm –––––– 1L de CO
z
–––––– 20L de CO
z = 20 ppm
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b) Fórmulas estruturais:
NH3
••
N
CO2
O=C=O
linear
H H H
piramidal
A amônia apresenta geometria molecular piramidal e é polar:
µ
••
N
H µH
µ
µT ≠ 0
H
O gás carbônico apresenta geometria molecular
linear e é apolar:
O=C=O
←⎯
⎯→
µ
µ
µT = 0
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7
Em uma aula de laboratório de química, foram realizados
três experimentos para o estudo da reação entre zinco e
ácido clorídrico. Em três tubos de ensaio rotulados como
I, II e III, foram colocados em cada um 5,0 x 10–3 mol
(0,327 g) de zinco e 4,0 mL de solução de ácido
clorídrico, nas concentrações indicadas na figura. Foi
anotado o tempo de reação até ocorrer o desaparecimento
completo do metal. A figura mostra o esquema dos
experimentos, antes da adição do ácido no metal.
HCl 6 mol/L
I
HCl 6 mol/L
II
HCl 4 mol/L
III
a) Qual experimento deve ter ocorrido com menor tempo
de reação? Justifique.
b) Determine o volume da solução inicial de HCl que está
em excesso no experimento III. Apresente os cálculos
efetuados.
Resolução
a) O experimento II.
Pelo mostrado, no experimento II há maior
concentração de HCl que no experimento III e
maior superfície de contato que no experimento I.
Portanto, se possuir maior concentração de HCl e
maior superfície de contato, possui maior
velocidade.
b) Considere a equação da reação do zinco com o
ácido clorídrico:
Zn(s) + 2 HCl(aq) ⎯→ ZnCl2(aq) + H2(g)
Cálculo da quantidade, em mol, de HCl necessária
para reagir totalmente com o zinco:
1 mol de Zn ⎯⎯→ 2 mol de HCl
5,0 . 10–3 mol Zn ⎯⎯→
x
x = 1,0 . 10–2 mol de HCl
Cálculo da quantidade, em mol, de HCl
adicionado ao zinco, no experimento III:
(MHCl = 4 mol/L)
4 mol de HCl ⎯⎯→ 1000 mL
y
⎯⎯→ 4 mL
y = 1,6 . 10–2 mol de HCl
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Cálculo da quantidade, em mol, de HCl
adicionado, em excesso, no experimento III:
1,6 . 10–2 mol – 1,0 . 10–2 mol = 0,6 . 10–2 mol de HCl
(quantidade
(quantidade
(quantidade
adicionada)
necessária)
em excesso)
Cálculo do volume de HCl, em mL, adicionado em
excesso:
(MHCl = 4 mol/L)
4 mol
⎯⎯→ 1000 mL
z
0,6 . 10–2 mol ⎯⎯→
z = 1,5 mL de solução de HCl
adicionada em excesso
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8
No estudo do metabolismo ósseo em pacientes, pode ser
utilizado o radioisótopo Ca-45, que decai emitindo uma
partícula beta negativa, e cuja curva de decaimento é
representada na figura.
90
80
Atividade (kBq)
70
60
320 dias
50
40
30
20
10
0
0
100
200
300
Tempo (dias)
400
500
A absorção deficiente de cálcio está associada a doenças
crônicas como osteoporose, câncer de cólon e obesidade.
A necessidade de cálcio varia conforme a faixa etária. A
OMS (Organização Mundial da Saúde) recomenda uma
dose de 1000 mg/dia na fase adulta. A suplementação
desse nutriente é necessária para alguns indivíduos. Para
isso, o carbonato de cálcio pode ser apresentado em
comprimidos que contêm 625 mg de CaCO3.
a) Determine a meia-vida do radioisótopo Ca-45 e
identifique o elemento químico resultante do seu
decaimento.
b) Determine o número de comprimidos do suplemento
carbonato de cálcio que corresponde à quantidade de
cálcio diária recomendada pela OMS para um
indivíduo adulto.
Resolução
a) Pelo gráfico, a atividade deste radioisótopo cai de
80kBq para 20 kBq em 320 dias, logo:
P
P
80 ⎯⎯→ 40 ⎯⎯→ 20
t = 2P (período de meia vida)
320 = 2P
P = 160 dias
Pela tabela periódica dada:
45
Ca
20
0
–1
⎯→ β +
45
X
21
Pela mesma tabela X = Sc (escândio)
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b) A OMS recomenda uma dose diária 1000 mg de
cálcio e o comprimido tem 625 mg de CaCO3:
1 CaCO3 ⎯⎯⎯→ 1 Ca
100g –––––––– 40g
625mg –––––––– x
625 . 40
x = –––––––
100
x = 250mg de cálcio em 1 comprimido
250mg ––––– 1 comprimido
1000mg –––––
y
1000
y = –––––
250
y = 4 comprimidos
9
O metabolismo humano utiliza diversos tampões. No
plasma sanguíneo, o principal deles é o equilíbrio entre
ácido carbônico e íon bicarbonato, representado na
equação:
→ H CO (aq) ←
→ H+(aq) + HCO – (aq)
CO2 (g) + H2O (l) ←
2
3
3
–
A razão [HCO3 ]/[H2CO3] é 20/1.
Considere duas situações:
I. No indivíduo que se excede na prática de exercícios
físicos, ocorre o acúmulo de ácido lático, que se
difunde rapidamente para o sangue, produzindo
cansaço e cãibras.
II. O aumento da quantidade de ar que ventila os pulmões
é conhecido por hiperventilação, que tem como
consequência metabólica a hipocapnia, diminuição da
concentração de gás carbônico no sangue.
–
a) O que ocorre com a razão [HCO3 ]/[H2CO3] no plasma
sanguíneo do indivíduo que se excedeu na prática de
exercícios físicos? Justifique.
b) O que ocorre com o pH do sangue do indivíduo que
apresenta hipocapnia? Justifique.
Resolução
a) Quando um indivíduo se excede na prática de
exercícios físicos, ocorre um acúmulo de ácido
lático, que se difunde para o sangue, aumentando a
concentração de íons H+(aq).
Com esse aumento, o equilíbrio é deslocado para a
esquerda, ou seja, no sentido de produção de
–
H2CO3(aq) e consumo de HCO3 (aq). Neste caso, a
–
razão [HCO3 ]/[H2CO3] diminui, passando a ser
menor que 20/1.
b) Para um indivíduo que apresenta hipocapnia
(diminuição da concentração de gás carbônico no
sangue), o equilíbrio entre ácido carbônico e íon
bicarbonato será deslocado para a esquerda, ou
seja, no sentido da produção de CO2(g) e consumo
de H+(aq). Neste caso, a concentração de H+(aq)
diminui, tornando o meio menos ácido, ou seja, o
pH aumenta.
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10
O medicamento utilizado para o tratamento da gripe A
(gripe suína) durante a pandemia em 2009 foi o fármaco
antiviral fosfato de oseltamivir, comercializado com o
nome Tamiflu®. A figura representa a estrutura química
do oseltamivir.
O
O
O
HN
O
H2N
Uma das rotas de síntese do oseltamivir utiliza como
reagente de partida o ácido siquímico. A primeira etapa
dessa síntese é representada na equação:
O
OH
+ CH3CH2OH
HO
X + Y
OH
OH
a) Na estrutura do oseltamivir, identifique as funções
orgânicas que contêm o grupo carbonila.
b) Apresente a estrutura do composto orgânico produzido
na reação do ácido siquímico com o etanol.
Resolução
a) As funções orgânicas que contêm o grupo carbonila
são:
O
O
O
HN
amida
C
O
H2N
éster
b) A reação do ácido siquímico com etanol é uma
reação de esterificação:
O
O
OH
+ HO
HO
OH
OH
O
CH2CH3
CH2CH3
+ H2O
HO
OH
OH
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FÍSICA
11
Em uma balança analítica eletrônica, o prato que recebe
a massa M, a ser aferida, fica sobre um suporte acoplado
a uma bobina quadrada de lado 5,0 cm e com 10 voltas,
que se ajusta perpendicularmente às linhas de campo
→
magnético B, uniforme e constante, de módulo igual a
2,0T, orientado para fora do plano da figura. A corrente
elétrica produzida pela célula fotoelétrica C, ao percorrer
a bobina, interage com o campo magnético, resultando
em uma força magnética que sustenta o prato e o suporte
na posição de equilíbrio mecânico. A balança está zerada
quando o nível do braço indicador D coincide com o
fundo do prato vazio. Quando a massa M é colocada
sobre o prato, o conjunto sai da posição de equilíbrio e
tende a mover-se para baixo, desalinhando o braço
indicador com o fundo do prato. Nesta situação surge uma
corrente elétrica na bobina fazendo com que o fundo do
prato volte à sua posição original. Considere que a
balança encontra-se inicialmente zerada e o fluxo do
campo magnético sobre a bobina mantenha-se constante.
Dado: g = 10,0 m/s2
M
D
C
®
R
B
Determine:
a) O módulo, a direção e o sentido da força magnética
resultante sobre a bobina devido à massa de 10 g
colocada sobre o prato.
b) O módulo e o sentido (horário ou anti-horário) da
corrente elétrica na bobina necessária para equilibrar a
massa de 10 g, bem como a potência elétrica dissipada
pela bobina nessa situação. A resistência ôhmica R
equivalente da bobina é 50Ω.
Resolução
a) A força magnética deve equilibrar o peso do corpo
de massa M acrescido ao prato
F=P=M.g
Sendo: M = 10g = 10 . 10–3kg = 1,0 . 10–2kg
g = 10m/s2
F = 1,0 . 10–2 . 10 (N)
F = 1,0 . 10–1N
A direção da força é vertical e o sentido é para cima.
b) A intensidade da força magnética na bobina de 10
voltas se relaciona com a intensidade de corrente
por:
F = (Ni) . LB
Sendo N = 10; L = 5,0cm = 5,0 . 10–2m
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B = 2,0T, temos:
1,0 . 10–1 = 10 . i . 5,0 . 10–2 . 2,0
i = 1,0 . 10–1A
i
i
®
®
B
F
®
B
®
P
Esta corrente obedece à regra da mão esquerda e
tem o sentido horário.
A potência dissipada na bobina é:
P = R . i2
P = 50 . (1,0 . 10–1)2 (W)
P = 5,0 . 10–1W
Respostas: a) 1,0 . 10–1N (vertical para cima)
b) 5,0. 10–1W
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12
No campeonato paulista de futebol, um famoso jogador
nos presenteou com um lindo gol, no qual, ao correr para
receber um lançamento de um dos atacantes, o goleador
fenomenal parou a bola no peito do pé e a chutou certeira
ao gol. Analisando a jogada pela TV, verifica-se que a
bola é chutada pelo armador da jogada a partir do chão
com uma velocidade inicial de 20,0 m/s, fazendo um
ângulo com a horizontal de 45º para cima.
2 = 1,4
Dados: g = 10,0 m/s2 e 兹苶
a) Determine a distância horizontal percorrida pela bola
entre o seu lançamento até a posição de recebimento
pelo artilheiro (goleador fenomenal).
b) No instante do lançamento da bola, o artilheiro estava
a 16,0 m de distância da posição em que ele estimou
que a bola cairia e, ao perceber o início da jogada,
corre para receber a bola. A direção do movimento do
artilheiro é perpendicular à trajetória da bola, como
mostra a figura. Qual é a velocidade média, em km/h,
do artilheiro, para que ele alcance a bola
imediatamente antes de ela tocar o gramado?
Resolução
a) 1) Componentes da velocidade inicial:
V0x = V0 cos θ
V0y = V0 sen θ
2) Cálculo do tempo de voo:
Vy = V0y + γy t
0 = V0 sen θ – g ts
V0 sen θ
ts = –––––––––
g
2 V0 sen θ
T = ts + tQ = ––––––––––
g
3) Cálculo da distância horizontal percorrida:
2 V0 sen θ
D = V0x T = V0 cos θ . ––––––––––
g
V02
D = –––
sen 2θ
g
Para θ = 45°, temos sen 2θ = 1
400
V02
D = ––––
= –––– (m) ⇒ D = 40,0m
10,0
g
b) 1) O tempo de voo é dado por:
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2 V0 sen θ
T = ––––––––––
g
2 . 20,0 . 兹苶
2/2
T = ––––––––––––––– (s)
10,0
T = 2,0 兹苶
2s
2) A velocidade escalar média é dada por:
16,0m
8,0
∆s
2 m/s
Vm = ––– = ––––––– = ––––– m/s = 4,0 兹苶
∆t
兹苶
2,0 兹苶
2s
2
Vm = 4,0 兹苶
2 . 3,6 (km/h)
Vm = 4,0 . 1,4 . 3,6 (km/h)
Vm ≅ 20,2km/h
Respostas: a) 40,0m
b) 20,2km/h
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13
Um dos brinquedos prediletos de crianças no verão é o
toboágua. A emoção do brinquedo está associada à
grande velocidade atingida durante a descida, uma vez
que o atrito pode ser desprezado devido à presença da
água em todo o percurso do brinquedo, bem como à
existência das curvas fechadas na horizontal, de forma
que a criança percorra esses trechos encostada na parede
lateral (vertical) do toboágua.
(www.pt.wikipedia.org/wiki/Toboágua)
Sabendo que a criança de 36 kg parte do repouso, de uma
altura de 6,0 m acima da base do toboágua, colocado à
beira de uma piscina, calcule:
Dado: g = 10,0 m/s2
a) A força normal, na horizontal, exercida sobre a criança
pela parede lateral do toboágua, no ponto indicado na
figura (curva do toboágua situada a 2,0 m da sua base)
onde o raio de curvatura é igual a 80 cm.
b) A força dissipativa média exercida pela água da
piscina, necessária para fazer a criança parar ao atingir
1,5 m de profundidade, considerando que a criança
entra na água da piscina com velocidade, na vertical,
aproximadamente igual a 10,9 m/s, desprezando-se,
neste cálculo, a perda de energia mecânica no impacto
da criança com a água da piscina.
Resolução
a) 1) Cálculo do módulo da velocidade na altura
2,0m.
EB = EA
(referência em B)
mVB2
–––––
= mg h
2
VB2 = 2 g h
VB2 = 2 . 10,0 . 4,0
VB2 = 80,0 (SI)
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2) Na posição B a força normal aplicada pela parede
lateral faz o papel de resultante centrípeta:
mV2
FN = Fcp = –––––
R
36 . 80,0
FN = –––––––– (N)
0,80
FN = 3,6 . 103N
b) Quando a pessoa penetra na água, ela fica sujeita,
além de seu peso, a uma força de empuxo aplicada
pela água e a uma força dissipativa de origem viscosa. Se admitirmos que a densidade da criança é
praticamene igual à da água, o empuxo terá a
mesma intensidade do seu peso e a força
resultante será apenas a força dissipativa da água.
Aplicando-se o teorema da enegia cinética, vem:
τtotal = ∆Ecin
τP + τE + τD = Ecin – Ecin
f
0
mV02
–Fd . h = – –––––
2
mV02
Fd = –––––
2h
36 . (10,9)2
Fd = –––––––––– (N)
3,0
Fd = 12 . 119 (N)
Fd ≅ 1,4 . 103N
Se entendermos a força dissipativa média como
sendo a força resultante aplicada pela água, teríamos:
Fágua = Fd + E
Fágua = 1,4 . 103N + 0,36 . 103N
Fágua ≅ 1,8 . 103N
Fágua ≅ 1,8kN
Respostas: a) 3,6kN
b) Fdissipativa = 1,4kN
Ftotal água = 1,8kN
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14
Em uma experiência de Termologia, analisou-se a variação da temperatura, medida em graus Celsius, de 100 g de
uma substância, em função da quantidade de calor
fornecido, medida em calorias. Durante o experimento,
observou-se que, em uma determinada etapa do processo,
a substância analisada apresentou mudança de fase sólida
para líquida. Para visualizar o experimento, os dados
obtidos foram apresentados em um gráfico da
temperatura da substância como função da quantidade de
calor fornecido.
Determine:
a) O calor específico da substância na fase líquida e seu
calor latente específico de fusão.
b) Após a substância atingir a temperatura de 80ºC,
cessou-se o fornecimento de calor e adicionou-se à ela
50 g de gelo a 0ºC. Supondo que a troca de calor ocorra
apenas entre o gelo e a substância, determine a massa
de água, fase líquida, em equilíbrio térmico.
Dados:
Calor latente de fusão do gelo: L = 80 cal/g
Calor específico da água: c = 1,0 cal/(g.ºC)
Resolução
a) Observa-se pelo gráfico que a temperatura de
fusão da substância é de 40°C. Assim:
Q = m LF
(600 – 200) = 100 . LF
cal
LF = 4,0 ––––
g
Após a fusão total da substância, esta encontra-se
no estado líquido e, com os valores fornecidos no
gráfico, podemos determinar o calor específico
sensível na fase líquida.
Q = m c ∆θ
(1000 – 600) = 100 c (80 – 40)
cal
c = 0,10 ––––
g°C
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b) A substância, ao se resfriar até 0°C, pode fornecer
uma quantidade de calor Q = 1000 cal. Essa
quantidade de calor será suficiente para derreter
uma massa m de gelo. Assim:
Q = m . Lfusão gelo
1000 = m . 80
m = 12,5g
Respostas: a) 0,10 cal/g°C
4,0 cal/g
b) 12,5g (fase líquida)
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15
Pelo Princípio de Arquimedes explica-se a expressão
popular “isto é apenas a ponta do iceberg”, frequentemente usada quando surgem os primeiros sinais de um grande
problema. Com este objetivo realizou-se um experimento,
ao nível do mar, no qual uma solução de água do mar e
gelo (água doce) é contida em um béquer de vidro, sobre
uma bacia com gelo, de modo que as temperaturas do
béquer e da solução mantenham-se constantes a 0 ºC.
(www.bioqmed.ufrj.br/ciencia/CuriosIceberg.htm)
No experimento, o iceberg foi representado por um cone
de gelo, conforme esquematizado na figura. Considere a
densidade do gelo 0,920 g/cm3 e a densidade da água do
mar, a 0 ºC, igual a 1,025 g/cm3.
a) Que fração do volume do cone de gelo fica submersa
na água do mar? O valor dessa fração seria alterado se
o cone fosse invertido?
b) Se o mesmo experimento fosse realizado no alto de
uma montanha, a fração do volume submerso seria
afetada pela variação da aceleração da gravidade e pela
variação da pressão atmosférica? Justifique sua
resposta.
Resolução
a)
Para o equilíbrio do cone de gelo
temos:
E=P
µ a V i g = µg V g
Vi
µg
––– = –––
V
µa
V
0,920
–––i = –––––– ≅ 0,90
V
1,025
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Vi
––– = 0,90 (90%)
V
Se o cone fosse invertido a fração imersa continuaria a mesma.
b) A fração imersa continuaria a mesma (90%) porque é dada pela razão das densidades que não são
afetadas pela variação da aceleração da gravidade
ou da pressão atmosférica.
Respostas: a) 90%
b) Não, pois só depende da razão entre as
densidades do gelo e da água do mar.
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M AT E M Á T I C A
16
Considere, num sistema ortogonal, conforme a figura, a
reta de equação r:y = kx (k > 0 um número real), os
pontos A(x0, 0) e B(x0, kx0) (com x0 > 0) e o semicírculo
de diâmetro AB.
a) Calcule a razão entre a área S, do semicírculo, e a área
T, do triângulo OAB, sendo O a origem do sistema de
coordenadas.
b) Calcule, se existir, o valor de k que acarrete a igualdade
S = T, para todo x0 > 0.
Resolução
De acordo com os dados, representados na figura
acima, temos:
1) a área do triângulo OAB é
k . x20
x0 . kx0
T = –––––––– = ––––––––
2
2
k . x0
2) a área do semicírculo de raio –––––– é
2
k . x0 2
π . ––––––
π k2 . x20
2
S = –––––––––––– = ––––––––
8
2
冢
冣
3) a razão entre S e T é
π k2 . x20
–––––––––
πk
8
S
= ––––
––– = ––––––––––––
2
4
T
k . x0
––––––
2
4
πk
4) Se T = S, então –––– = 1 ⇔ k = –––
π
4
S
πk
Respostas: a) ––– = ––––
T
4
4
b) k = –––
π
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17
Uma função f : ⺢ → ⺢ diz-se par quando f(−x) = f(x),
para todo x ∈ ⺢, e ímpar quando f(−x) = − f(x), para todo
x ∈ ⺢.
a) Quais, dentre os gráficos exibidos, melhor representam
funções pares ou funções ímpares? Justifique sua
resposta.
b) Dê dois exemplos de funções, y = f(x) e y = g(x), sendo
uma par e outra ímpar, e exiba os seus gráficos.
Resolução
1) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo Oy, pois
Dos gráficos apresentados, (I) e (III) representam
funções pares.
2) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em
relação à origem, pois
Dos gráficos apresentados, IV e V representam
funções ímpares.
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3) A função representada no gráfico II não é par, nem
é ímpar.
4) A função f: ⺢ → ⺢ definida por f(x) = cos x é par.
Seu gráfico é:
5) A função g: ⺢ → ⺢ definida por g(x) = sen x é
ímpar. Seu gráfico é:
Respostas: a) (I) e (III) representam funções pares
(IV) e (V) representam funções ímpares
b) f: ⺢ → ⺢ definida por f(x) = cos x é par
g: ⺢ → ⺢ definida por g(x) = sen x é ímpar
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Considere as funções quadráticas q1(x) e q2(x) cujos
gráficos são exibidos na figura.
a) Faça o esboço de um possível gráfico da função
produto q(x) = q1(x)q2(x).
b) Calcule o quociente do polinômio h(x) = xq(x) pelo
polinômio k(x) = x + 1 e exiba suas raízes.
Resolução
De acordo com o enunciado, temos:
a) 1) q1(x) = a . (x + 1) . (x – 3), com a > 0
2) q2(x) = b . (x – 1) . (x – 4), com b < 0
3) q(x) = (ab) . (x + 1)(x – 1)(x – 3)(x – 4)
4) Como ab < 0, o gráfico de q é do tipo
b) 1) h(x) = x . q(x) =
= ab . (x + 1) . x . (x – 1)(x – 3)(x – 4)
2) (ab)(x+ 1)x(x – 1)(x – 3)(x – 4)
0
x+1
(ab).x.(x – 1)(x – 3)(x – 4)
3) O quociente de h(x) por k(x) é o polinômio
(ab) . (x – 0)(x – 1)(x – 3)(x – 4) e suas raízes
são 0, 1, 3 e 4.
Respostas: a) gráfico
b) (ab) . x . (x – 1)(x – 3)(x – 4); {0, 1, 3 e 4}
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Um jovem possui dois despertadores. Um deles funciona
em 80% das vezes em que é colocado para despertar e o
outro em 70% das vezes. Tendo um compromisso para
daqui a alguns dias e preocupado com a hora, o jovem
pretende colocar os dois relógios para despertar.
a) Qual é a probabilidade de que os dois relógios venham
a despertar na hora programada?
b) Qual é a probabilidade de que nenhum dos dois
relógios desperte na hora programada?
Resolução
a) A probabilidade de que os dois relógios venham a
despertar na hora programada é 80%. 70% =
56%
b) A probabilidade de que nenhum dos dois relógios
desperte na hora programada é 20% . 30% = 6%
Respostas: a) 56%
b) 6%
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Um jogo eletrônico consiste de uma pista retangular e de
dois objetos virtuais, O1 e O2, os quais se deslocam, a
partir de uma base comum, com O1 sempre paralelamente
às laterais da pista e O2 formando um ângulo x com a
π
base, x ∈ 0, ––– . Considere v1 e v2 os módulos,
2
respectivamente, das velocidades
de O1 e O2. Considere, ainda, que os choques do objeto
O2 com as laterais da pista (lisas e planas) são
perfeitamente elásticos e que todos os ângulos de
incidência e de reflexão são iguais a x.
冢
冣
a) Exiba o gráfico da função y = f(x) que fornece o
módulo da componente da velocidade de deslocamento
do objeto O2, no sentido do deslocamento do objeto
π
O1, em função do ângulo, x ∈ 0, ––– .
2
b) Se v1 = 10 m/s e v2 = 20 m/s, determine todos os
π
valores de x, x ∈ 0, ––– , para os quais os objetos
2
冢
冢
冣
冣
O1 e O2, partindo num mesmo instante, nunca se
choquem.
Resolução
a)
f (x)
V1
V2
x
O1
O2
O módulo do componente da velocidade de deslocamento do objeto O2, no sentido do deslocamento
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冥
冤
π
de O1, em função de x, com x ∈ 0; ––– é
2
f(x) = v2 . sen x
cujo gráfico é
y
V2
x
p
__
2
b) Os objetos O1 e O2, partindo num mesmo instante,
nunca se chocam se
v1 ≠ v2 sen x ⇒ 10 ≠ 20 . sen x ⇔
π
1
⇔ sen x ≠ ––– ⇔ x ≠ –––
6
2
冥
π
Respostas: a) f(x) = v2 . sen x, com x ∈ 0; –––
2
冥
冤
; ––– 冤
冤 冥 –––
2
6
π
b) 0; ––– 6
π
π
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