FICHA DE TRABALHO N.º 4
MATEMÁTICA – 10º ANO
GEOMETRIA ANALÍTICA
1.
Na figura está representado um quadrado ao qual foi aplicado um referencial o.m. Oxy.
y
1.1. Sabe-se que o perímetro do quadrado é 8m. O ponto C tem coordenadas:
(A) ( 2, 2 ) ;
(B)
(
)
2 ,− 2 ;
(
)
(
(C) − 2 , 2 ;
)
B
(D) − 2 , 2 .
1.2. Indique a afirmação verdadeira:
C
(A) O simétrico de A em relação ao eixo das ordenadas pertence ao 4º quadrante;
A
(B) O simétrico de C em relação à origem do referencial coincide com o simétrico
de A em relação ao eixo das abcissas;
x
O
(C) O simétrico de B em relação à bissectriz dos quadrantes ímpares é A;
(D) O simétrico de B em relação ao eixo das abcissas coincide com B.
2.
Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
2.1. Uma recta de equação 2 x + 1 = 0 é paralela ao eixo das ordenadas;
2.2. Uma recta de equação x − 2 = 0 é paralela ao eixo das abcissas;
2.3. Uma recta de equação 3x − 1 = 0 é paralela ao eixo das abcissas;
2.4. As rectas de equação x = 3 e 2 x − 5 = 0 são paralelas;
2.5. As rectas de equação x = 2 e y − 2 = 0 são perpendiculares;
2.6. Os pontos ( 0, 0 ) e
⎛
8⎞
⎜⎜ 2,
⎟⎟
2
⎝
⎠
pertencem à bissectriz dos quadrantes ímpares;
1
2.7. O ponto ( 2k ,1 − k ) pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares quando k = ;
3
2.8. O ponto ( p − 1, −3 p ) pertence ao eixo Oy, para todo o valor real de p;
2.9. O ponto ( x, −2 ) pertence ao 3º quadrante para qualquer valor real de x;
2.10. O ponto ( 2h + 1, −10h ) é simétrico do ponto ( −2,5 ) em relação à origem para h =
3.
1
.
2
Determine os valores que a e b podem tomar de modo que:
3.1. P(2a ,b − 3) pertença ao 2º quadrante;
(
)
3.2. Q a 2 , − 1 − 3a pertença ao 4º quadrante;
⎛a
⎞
3.3. R⎜ − 1, − 3 − b 2 ⎟ pertença ao 3º quadrante.
2
⎝
⎠
4.
Represente num referencial o.m. do plano o conjunto de pontos definido pelas condições:
4.1. x ≥ 2 ∧ y < 1 ;
4.2. y > x ∧ y ≤ 2 ;
4.3. y − 2 > 1 ∨ y − 2 < −1 ;
4.4. y > x ∧ x > 4 ;
4.5. 2 x + 2 y + 3 ≤ 9 ∧ x ≤ 0 ;
4.6. ~ ( − x ≤ −2 ∧ y < 1) ;
4.7. −2 ≤ y < 1 ∧
1− x
x +1
≥ 1−
;
3
−3
4.10. x = 2 ∧ − 3 < y < 0 ;
4.8.
( −2 x − 1)
2
< 9 + 4 ( x + 2 ) ∧ y = −4 ;
4.11. y = − x ∧ x < 1 ;
2
4.9. y = −2 ∧ − 2 ≤ x ≤ 2 ;
4.12. 0 ≤ x < 3 ∧ 0 ≤ y < 2 .
1/7
5.
5.1.
5.5.
Defina através de uma condição, em IR 2 , o conjunto de pontos representado:
5.2.
5.3.
5.4.
5.6.
5.7.
5.8.
5.11.
5.14.
5.17.
5.9.
5.12.
5.15.
5.18.
5.10.
5.13.
5.16.
5.19.
2/7
y
6.
Relativamente à figura ao lado sabe-se que:
C
D
•
Ox e Oy são eixos de simetria do rectângulo [ABCD];
•
A, B, C e D são os pontos de uma circunferência de centro na origem e raio 5;
•
P é o ponto de intersecção da recta BC com o semi-eixo positivo dos xx.
P
O
x
6.1. Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D e P, sabendo que o ponto C
pertence à recta de equação y = 4 ;
A
B
6.2. Indique as coordenadas de:
6.2.1. P’ simétrico de P relativamente á bissectriz dos quadrantes ímpares;
6.2.2. P’’ simétrico de P relativamente à origem;
6.2.3. P’’’ simétrico de P relativamente à recta tangente à circunferência no ponto de intersecção com o
semi-eixo positivo dos yy;
6.3. Escreva uma condição que defina:
•
•
6.3.1. cada uma das rectas que contêm os lados do rectângulo;
6.3.2. as semi-rectas A B e C B ;
6.3.3. os segmentos de recta [DC] e [AD];
6.3.4. o rectângulo [ABCD];
6.3.5. a circunferência de centro em O e raio [OB];
6.3.6. a região sombreada;
6.3.7. o lugar geométrico dos pontos do plano que distam 2 unidades da recta de equação y = −1 .
6.4. Determine a área da parte sombreada;
6.5. Considere o sólido gerado pela rotação da parte sombreada da figura em torno do eixo das ordenadas.
6.5.1. Identifique-o;
6.5.2. Calcule o volume do sólido obtido;
6.5.3. Determine a área da secção produzida no sólido por um plano perpendicular ao eixo de rotação e que
diste uma unidade da origem.
y
7.
Considere o referencial xOy e o triângulo [ABC].
B
7.1. Indique as coordenadas dos pontos A, B e C.
7.2. Defina analiticamente:
1
7.2.1. as rectas AB, BC e AC;
•
•
•
x
A
7.2.2. as semi-rectas A B , C B e C A ;
7.2.3. os segmentos de recta [AB], [BC] e [AC];
C
7.2.4. o triângulo [ABC];
7.2.5. o lugar geométrico dos pontos do plano que distam 3 unidades da recta de equação x = 4 ;
7.2.6. a mediatriz do segmento de recta [AB].
7.2.7. a circunferência de centro em B e raio [BA].
⎛ m −1
⎞
, 2n ⎟ seja simétrico de B em relação à origem;
7.3. Determine m e n de modo a que o ponto ⎜
2
⎝
⎠
7.4. Considere o sólido gerado pela rotação do triângulo [ABC] em torno da recta de equação x = 4 . Calcule:
7.4.1. o volume e a área total do sólido;
7.4.2. a área da secção efectuada no sólido pelo plano perpendicular ao eixo das ordenadas no ponto de
ordenada
5.
3/7
8.
Determine o ponto do eixo das abcissas cuja distância ao ponto (2, 2) é três unidades de comprimento.
9.
Escreva a equação da circunferência que tem centro no ponto (-4, -5) e contém o ponto (-2, 0).
⎛1 5⎞
10. Os pontos M ⎜ , ⎟ e N (− 3,5;−1,5) são os extremos de um diâmetro de uma circunferência.
⎝2 2⎠
Escreva a equação dessa circunferência.
11. Considera a condição x 2 + y 2 + 8 x = 0 .
11.1. Identifique o lugar geométrico definido pela condição dada.
11.2. Determine uma equação da circunferência concêntrica com a dada e com raio 13 .
12. Considere a equação x 2 + y 2 − 12 x + 16 y = 0 .
12.1. Averigúe qual é a posição dos pontos A(-2, 3), B(0, 0) e C(3, -2) em relação à circunferência.
12.2. Defina analiticamente o quadrado de menor área de lados paralelos aos eixos coordenados que
circunscreve a circunferência.
13. Num referencial o.m. xOy, considere as equações do tipo:
( x + 1)
2
+ y2 − 4 y = k ;
k ∈ℜ
13.1. Para que valores de k a equação dada representa uma circunferência?
13.2. Determine k de modo a obter uma circunferência que passe na origem do referencial.
13.3. Considere k = 5 e escreva as equações das rectas, paralelas aos eixos coordenados, tangentes à
circunferência obtida.
y
14. No referencial o.m. xOy da figura está representado um quadrado de lados
C
D
paralelos aos eixos coordenados e uma circunferência inscrita no quadrado.
A circunferência é representada pela equação: ( x − 2 ) +
2
( y − 3)
2
= 16 .
14.1. Determine as coordenadas dos vértices do quadrado.
O
A
B
x
14.2. Defina por uma condição a parte a sombreado na figura.
14.3. Tomando para unidade do referencial o metro, calcule a área sombreada da figura, apresentando o
resultado arredondado às centésimas.
15. Represente num referencial o.m. xOy o conjunto de pontos P ( x , y ) que satisfazem a condição:
15.1. PA = 2 , sendo A ( 2 , 1) ;
15.2. PA ≤ 3 , sendo A ( 0 , − 2 ) ;
15.3. PC > 2 , sendo C ( −3 , 2 ) ;
15.4. 2 ≤ PO ≤ 3 , sendo O a origem do referencial.
16. Considere a equação x 2 + y 2 + 8 x − 12 y = a − 52 . Determine o valor de a de modo que a expressão dada represente:
16.1. Uma circunferência.
16.2. Um ponto.
16.3. O conjunto vazio.
4/7
17. Considere o triângulo [ABC] em que A(1, 3), B(0, 5) e C(-5, 0).
17.1. Calcule o perímetro do triângulo.
17.2. Verifique se o triângulo é rectângulo.
17.3. Escreva uma equação para a mediatriz de [AB].
18. O ponto médio do segmento [RS] tem coordenadas (1, -2). Determine as coordenadas de R, sabendo que S (-3, 4).
19. Determine t de modo que o ponto P(t, 2t, 0) seja equidistante de A(0, 1, -2) e B(-1, 0, 3).
20. Num referencial o.m. xOy, considere os pontos: A ( −1 , 1) e B ( 2 , − 1) .
20.1. Verifique se o ponto C (1 , 1) pertence à mediatriz de [AB];
20.2. Determine k de modo que o ponto D ( 2k , k + 1) pertença à mediatriz de [AB];
20.3. Considere todos os círculos de centro na origem do referencial e de raio r. Determine para que valores de r
o ponto B pertence aos círculos considerados.
y
21. No referencial o.m. xOy da figura estão representados os pontos A ( −2 , − 1) e
5 B
r
B ( 0 , 5 ) e uma recta r. Sabe-se que r é a mediatriz de [ AB ] .
P
T
-2
Determine as coordenadas dos pontos P e T assinalados na figura.
A
O -1
x
22. Dado um segmento de recta de extremos E e F, sabe-se que R ( 3 , − 5 ) pertence à mediatriz de [ EF ] . Sendo
E ( −3 , 2 ) , identifique e defina por uma condição o lugar geométrico dos pontos F que satisfazem a condição dada.
23. Determine x de modo que o ponto P(x, 2) pertença:
23.1. à bissectriz dos quadrantes pares;
23.2. à circunferência de equação (x − 3)2 + ( y + 1)2 = 25 ;
23.3. à mediatriz do segmento de recta de extremos (-2, 3) e (1, 2).
24. Defina através de condições as regiões coloridas do plano:
24.1.
24.4.
24.2.
24.3.
24.5.
5/7
25. Observe o prisma quadrangular regular representado num referencial o.m. Oxyz. Sabe-se que a sua área lateral é
de 32 cm 2 e que GB = 2 AB .
z
25.1. Determine as coordenadas dos seus vértices.
25.2. Defina por uma condição:
E
25.2.1. O plano perpendicular ao eixo Ox que passa pelo ponto A;
H
F
G
25.2.2. O plano paralelo ao plano xOz que passa pelo ponto C;
25.2.3. A recta paralela ao eixo Oy que passa por G;
25.2.4. A recta perpendicular ao plano xOy que passa pelo simétrico de H
relativamente à origem do referencial;
•
D
•
25.2.5. As semi-rectas C B e F A ;
C
A
B
x
25.2.6. O segmento de recta [EF];
25.2.7. a face [ABFG];
25.2.8. da secção feita por um corte de um plano perpendicular ao eixo Oy e que contém o ponto médio
do segmento de recta [EB];
25.2.9. o prisma [ABCDEFGH];
25.3. Determine a área da secção produzida no prisma por um corte segundo o plano CEF.
26. Na figura está representado um referencial o.m. cuja unidade é o decímetro e um cubo que tem 96 dm 2 de área.
26.1. Determine as coordenadas dos vértices.
26.2. Defina por uma condição:
26.2.1. A recta paralela ao eixo Oy que passa por G;
26.2.2. O segmento de recta [GC].
26.3. Identifique o conjunto de pontos definido por:
26.3.1.
y=0 ∧ x=2 2;
26.3.2.
z=0 ∧ x=0 ∧ 0≤ y≤2 2.
y
27. Dados os pontos P ( x, 0,1) e Q ( 2 x, −3, 2 ) , determine x de modo que a distância de P a Q seja 14 .
28. Identifica o lugar geométrico dos pontos do espaço definidos pela condição: x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 8 y − 2 z + 12 = 0 .
29. Relaciona os parâmetros reais a e m de modo a que a equação x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + ay − 2 z + m = 0 represente
uma superfície esférica de raio 4.
30. Determine o valor de k de modo que a equação x 2 + y 2 + ( z − k ) ≤ 4 defina uma esfera tangente ao plano xOy.
2
31. Considera a superfície esférica de centro na origem do referencial e raio 2.
31.1. Qual a posição do ponto P(2,1,1) em relação à superfície esférica?
31.2. Defina por uma condição a secção obtida por um corte segundo o plano:
i) x = 0 ;
ii) y = 1 .
31.3. Caracteriza, por equações, os planos tangentes à esfera que são paralelos ao plano xOy.
6/7
y
32. O cubo representado na figura tem 27 cm3 de volume.
32.1. Determine as coordenadas dos pontos A, B, C e D;
32.2. Indique uma condição que defina:
32.2.1. o plano ABC;
32.2.2. o plano paralelo a xOz que passa pelo ponto simétrico de G
relativamente ao eixo Oz;
32.2.3. o plano mediador de [BC];
32.3. Determine uma condição que defina:
32.3.1. o plano mediador de [BD];
32.3.2. a superfície esférica inscrita no cubo;
32.3.3. a esfera circunscrita ao cubo;
32.4. Determine a área da superfície a sombreado.
33. Observe a figura seguinte onde está representado num referencial o.m. Oxyz,
uma pirâmide de base quadrangular. Considere que a base da pirâmide está
contida no plano xOy, a aresta [PQ] é paralela ao eixo Oy e que o ponto Q tem
coordenadas (3, 3, 0). Considere as medidas em cm.
33.1. Calcule a área da base da pirâmide.
33.2. Sabendo que o volume da pirâmide é 60 cm3, escreva as coordenadas dos
restantes vértices da pirâmide.
33.3. Determine a área da secção produzida no prisma por um corte segundo o
plano z = 1 ;
33.4. Mostre que y = x é uma equação do plano mediador de [SQ];
33.5. Determine o perímetro da secção produzida no sólido pelo plano y = x .
BOM TRABALHO!
A Professora:
7/7