TC DE MATEMÁTICA
EXERCÍCIOS E RESPOSTAS
2º ANO
ENSINO MÉDIO
Professor: Alexandrino Diógenes
ALUNO(A):
TURMA:
Nº
TURNO:
DATA:
/
/
COLÉGIO:
OSG 0498/10
1.
Sendo A(3; 1), B(4; -4) e C(-2; 2) vértices de um triângulo, classifique-o quanto aos seus lados e ângulos.
Resp.: Isósceles e obtusângulo
2.
Calcule a distância do ponto P(3; - 4) à origem do sistema cartesiano.
Resp.: dP,0 = 5
3.
Calcule a distância entre os pontos A(a - 2; b + 8) e
B(a +4; b).
Resp.: dA,B = 10
4.
Calcule o perímetro do triângulo de vértices A(3; 1),
B(-1; 1) e C(-1; 4)
Resp.: 2P = 12
5.
Determine x de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B. São dados: A(-2; 5), B(2; -1) e C(3; x)
1
Resp.: x = 3
6.
Dados A(x; 3), B(-1; 4) e C(5; 2), obtenha x de modo
que A seja equidistante de B e C.
Resp.: x = 2
7.
Determine o ponto P , pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é equidistante dos pontos A(2; -1) e
B(3; 5).
æ 29 ö
Resp.: P ç
;0÷
è 2
ø
8.
9.
Determine o ponto P , pertencente à bissetriz dos
quadrantes pares, que equidista de A(0; 1) e B(-2; 3)
æ 3 3ö
Resp.: ç - ; ÷
è 2 2ø
Classificar um triângulo quanto aos seus ângulos é dizer
que o triângulo é:
(1) Retângulo: Quando o triângulo possui um ângulo reto (90o)
(2) Acutângulo: Quando o triângulo possui todos os ângulos agudos (maiores que zero e menores que noventa)
(3) Obtusângulo: Quando o triângulo possui um ângulo obtuso (maior que noventa e menor que cento e oitenta)
Também podemos classificar o triângulo (quanto aos
ângulos) conhecendo as medidas dos lados. Veja:
Considere um triângulo de medidas a, b e c, com a
sendo o maior dos lados. Assim, temos:
1) Se a2 = b2 + c2, o triângulo é retângulo
2) Se a2 < b2 + c2, o triângulo é acutângulo
3) Se a2 > b2 + c2, o triângulo é obtusângulo
Considere o triângulo abaixo:
1)
dA ,B = ( -1)2 + (1 + 4)2
dA ,B = 1 + 25
dA ,B = 26
2)
dB ,C = 36 + 36
dB ,C = 72
dB ,C = 6 2
3)
dC,A = ( -2 - 3)2 + (2 - 1)2
dC,A = ( -5)2 + (1)2
SOLUÇÃO
dC,A = 25 + 1
Lembrando....
Classificar um triângulo quanto aos seus lados é dizer
que o triângulo é:
(1) Equilátero: Quando um triângulo possui todos os lados iguais.
(2) Isósceles: Quando um triângulo possui dois lados
congruentes.
(3) Escaleno: Quando um triângulo possui todos os lados diferentes.
dB ,C = (4 - ( -2)2 + ( -4 - 2)2
dB ,C = (4 + 2))2 + ( -6)2
Dados os pontos A(8; 11), B(-4; -5) e C(-6; 9), obtenha
o circuncentro do triângulo ABC.
Resp.: P(2; 3)
10. Dados A(5; -2) e B(4; -1), vértices consecutivos de um
quadrado, determine os outros dois vértices.
dA ,B = (3 - 4)2 + (1 - ( -4))2
dC,A = 26
3)
Considerando as medidas dos lados
temos que a maior é
(
72
)
2
_____
(
26
2
) +(
26 , 72 e 26 ,
72 . Então:
26
)
2
72
_____ 26 + 26
> 52
72 _____
Assim o triângulo é isósceles e obtusângulo.
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Lembrando...
2º ANO
ENSINO MÉDIO
Lembrando...
Para um triângulo de lados a, b e c, com a sendo
o maior lado, ser retângulo, a2 = b2 + c2.
1) Quando falamos em origem do sistema cartesiano,
consideremos o ponto O(0; 0).
Considere o triângulo abaixo:
Considere os pontos P(3; -4) e O(0; 0). Assim, a distância
entre AO é:
dA ,O = (3 - 0)2 + ( -4 - 0)2
dA ,O = 9 + 16
dA ,O = 25
dA ,B = 5
1) dA,B = ( -2 - 2)2 + (5 + 1)2 = 16 + 36
2
03) dA ,B = [(a - 2) - (a + 4)] + [(b + 8) - (b)]
2
dA,B = 52
dA ,B = [ a - 2 - a - 4] 2 + [ b + 8 - b ]2
2
dA ,B = [-6] + [8]
2) dB,C = (2 - 3)2 + ( -1 - x)2 = 1 + (1 + x)2
2
Observe: (-1-x) 2 = [(-1)2.(1+x)2]= (1) . (1+x)2 = (1+x)2
dA ,B = 36 + 64
3) dC,A =
dA ,B = 100
dA ,B = 10
(3 + 2)2 + (x - 5)2 = 25 + (x - 5)2
4) Como a hipotenusa é AC , temos:
(dA,C)2 = (dA,B)2 + (dB,C) 2
Lembrando....
O perímetro de um polígono é calculado somando as
medidas de seus lados.
(
25 + (x - 5)2
2
2
) = ( 52 ) + (
(1) + (1 + x)2
)
2
25 + x2 - 10x + 25 = 52 + 1 + 1 + 2x + x2
-12x = 54 - 50
-12x = 4
1
x=3
Lembrando...
Considere o triângulo abaixo:
Considere os pontos A, B e C. Se A é equidistante de B
e C, podemos ter:
1)
dA ,B = (3 + 1)2 + (1 - 1)2
(3 pontos colineares. Aqui dizemos que A é ponto médio do
1)
dA ,B = 16 + 0
dA ,B = 4
2)
segmento BC )
2)
dB ,C = ( -1 + 1)2 + (1 - 4)2
(Os 3 pontos não são colineares.
Nesse caso, os pontos são vértices
de um triângulo ABC)
dB ,C = 0 + 9
dB ,C = 3
3)
Nas duas soluções, vale a relação: dA,B = dA,C
dC,A = ( -1 - 3)2 + (4 - 1)2
dC,A = 16 + 9
Sabendo que A é equidistante de B e C , então:
dA,B = dA,C
* A(x; 3)
* B(-1; 4)
* C(5; 2)
dC,A = 25
dA ,B = 5
4)
O perímetro (2p) do triângulo é:
(
2p = dA,B + dB,C + dC,A
(x + 1)2 + (3 - 4)2
2
) =(
(x - 5)2 + (3 - 2)2
)
2
(x + 1)2 + ( -1)2 = (x - 5)2 + (1)2
2p = 4 + 3 + 5
x 2 + 2x + 1 = x 2 - 10x + 25
2p = 12
12x = 24
x =2
2
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Lembrando...
Lembrando...
1) Se o ponto P(a; b) pertence ao eixo das abscissas,
então P está no eixo x , assim b = 0, ou seja P(a; 0)
O circuncentro de um triângulo é o ponto de encontro
das três mediatrizes e tem como particularidade que a
distância dele para os três vértices são iguais. Como todo
triângulo é inscritível em uma circunferência, então o
circuncentro do triângulo é o centro da circunferência.
2) Se o ponto P(c, d) pertence ao eixo das ordenadas,
então P está no eixo y , assim c = 0, ou seja P(0; d)
1)
Se o ponto P pertence ao eixo das abscissas, então
P(a; 0).
2)
Como P é equidistante dos pontos A(2; -1) e B(3; 5) ,
então vale a igualdade:
dP,A = dP,B
(
3)
(a - 2)2 + (0 + 1)2
2
) =(
(a - 3)2 + (0 - 5)2
)
Observe a figura:
* A(8; 11)
* B(-4; -5)
* C(-6; 9)
* P(x; y)
2
a2 - 4a + 4 + 1 = a2 - 6a + 9 + 25
-4a + 5 = -6a + 34
2a = 29
29
a=
2
29
æ 29 ö
Como a =
e P(a; 0), então P ç
;0 ÷
2
è 2
ø
1)
dP,A = dP,B
(
(x - 82 ) + (y - 11)2
2
) =(
(x + 4)2 + (y + 5)2
)
2
x2- 16x + 64+ y2-22y +121 = x2+ 8x +16 +y2+10x + 25
-16x - 22y + 185 = 8 x 10y + 41
-24x - 32y = - 144 Þ 3x + 4y = 18
Lembrando...
2)
1) Se P é um ponto da bissetriz dos quadrantes pares,
então P(ai - a)
(
coordenadas
opostas
1)
Considere os pontos: A(0; 1), B(-2; 3) e P(a; -a).
2)
dP,A = dP,B
3)
2
) =(
(a - 0)2 + ( -a - 1)2
)
2
(a + 2) 2 + (a + 3)2 = (a)2 + (a + 1)2
a2 + 4a + 4 + a2 + 6a + 9 = a2 + a 2 + 2a + 1
10a + 13 = 2a + 1
8a = -12
3
a=2
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)
2
x - 7y = -19
4) (-a -b)2 = (a + b)2
Como a = -
(x + 6)2 + (y - 9)2
-4x + 28y = 76
3) Dizer que o ponto P equidista dos pontos A e B é o
mesmo que dizer que P é equidistante de A e B, ou
seja: dP,A = dP,B
3)
2
) =(
8x + 10y + 41 = 12x - 18y + 117
coordenadas
iguais
(a + 2)2 + ( -a - 3)2
(x + 4)2 + (y + 5)2
x2+ 8x +16 +y2+10y +25 = x2+12x + 36+ y2 -18y + 81
2) Se P é um ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares,
então P(a; a)
(
dP,B = dP,C
æ 3 æ 3 öö
3
æ 3 3ö
, então P ç - ; - ç - ÷ ÷ Þ P ç - ; ÷
2
è 2 2ø
è 2 è 2 øø
3
ì3x + 4y = 18
Formando o sistema í
e o resolvendo, teî x - 7y = -19
mos que x = 2 e y = 3; assim P(2; 3)
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ENSINO MÉDIO
Marcelo: 29-01-10 _ Rev.: Tales
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