Geometria Espacial - AFA
1. (AFA) O produto da maior diagonal pela menor diagonal de um prisma hexagonal regular de área lateral igual a 144 cm 2 e
volume igual a 144 3 cm 3 é:
(A) 10 7 .
(B) 20 7 .
(C) 10 21 .
(D) 20 21 .
2. (AFA) Qual deve ser a medida da altura de um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero de lado a, para que seu
volume tenha valor a3?
a 3
(A)
4
3a 3
(B)
4
a 3
(C)
3
4a 3
.
(D)
3
3. (AFA) Um cubo tem quatro vértices nos pontos médios das arestas laterais de uma pirâmide quadrangular regular, e os outros
quatro na base da pirâmide, como mostra a figura abaixo.
A razão entre os volumes do cubo e da pirâmide é
3
(A)
4
1
(B)
2
1
(C)
8
3
(D)
8
4. (AFA) Seja P uma pirâmide cujo vértice é o centro de uma das faces de um cubo de aresta a e cuja base é a face oposta.
Então, a área lateral dessa pirâmide é igual a
(A) a 2 5
(B) 2a 2 3
(C) a 2 3
(D)
a2 5
.
4
5. (AFA) O apótema de uma pirâmide regular, com base hexagonal, é 9 3 cm. Se a sua área lateral é o triplo da área de sua
base, então, o seu volume, em cm3, é
3 323
.
4
81 35
.
(B)
4
(A)
(C) 81 3 .
(D) 324 2 .
6. (AFA) A distância entre as arestas reversas em um tetraedro regular de aresta e apótema g é:
(A)
(B)
4g 2 − a 2
2
4g 2 − a 2
4
2
(C)
(D)
g − 4a 2
2
g 2 − 4a 2
4
.
7. (AFA) Considere um hexaedro regular S onde A, B e C são pontos médios de três de suas arestas concorrentes no mesmo
vértice. Seja α um plano que secciona S nos pontos A, B e C separando-o em dois sólidos S1 e S2 de volumes V1 e V2,
respectivamente, onde V1 < V2.
Marque (V) verdadeiro ou (F) falso em cada alternativa.
( ) S2 ainda poderia ser dividido em 47 sólidos de volume igual a V1
( ) A área total de S1 é 6(3 + 3 ) da área total de S
( ) Se em cada três arestas concorrentes de S forem retirados os sólidos com volumes iguais ao do sólido S1, então, o volume
do sólido restante seria aproximadamente igual a 83,33% do volume de S.
Tem-se a seqüência correta em:
(A) V - F - V
(B) F - V - F
(C) F - F - V
(D) V - V - F
8. (AFA) Ultimamente, vários adereços têm sido utilizados em bailes e em festas noturnas. Em alguns casos, “lá pelas
tantas horas”, são distribuídos óculos coloridos, colares, chapéus e plumas. É um dos momentos de maior descontração na
festa.
Em geral, acima da pista de dança, é colocado um objeto
luminoso, chamado “sputinik”.
Considere um “sputinik” construído do seguinte modo:
1o) toma-se um cubo de aresta 3p cm
2o) em cada encontro de três arestas, retira-se um tetraedro cuja base é um triângulo equilátero de lado p 2 cm e
3o) no sólido restante, são acopladas pirâmides triangulares de altura 3p 3 cm e pirâmides octogonais de altura 3p cm ;
ambos os tipos de pirâmides são retas e possuem bases coincidentes com as faces desse sólido.
Se o volume desse “sputinik” é xp3 cm3 , então x é um número do intervalo
(A) [ 78, 83 [
(B) [ 73, 78 [
(C) [ 83, 88 [
(D) [ 88, 103 ]
9. (AFA) Um reservatório de forma cilíndrica (cilindro circular reto) de altura 30 cm e raio da base 10 cm está cheio de
água. São feitos, simultaneamente, dois furos no reservatório: um no fundo e outro a 10 cm de altura do fundo. Cada um
4π
desses furos permite uma vazão de 1 litro por minuto. A quantidade de água restante no reservatório após
minutos é,
3
em litros:
(A) π .
3π
(B)
.
4
2π
(C)
.
3
π
(D) .
4
10. (AFA) Seja um tronco de cone reto com altura h e bases de raio R e r (R > r). Retira-se desse sólido um cone reto
invertido com base coincidente com a base menor do tronco e altura h. Se o volume do sólido resultante é igual ao volume
do sólido retirado, então:
(A) R2 + Rr – r2 = 0
(B) R2 + Rr – 2r2 = 0
(C) 2R2 – Rr – r2 = 0
(D) 2R2 + Rr – 2r2 = 0.
11. (AFA) A razão entre os volumes das esferas inscrita e circunscrita em um cone equilátero é:
(A) 1/16
(B) 1/8
(C) 1/4
(D) 1/2.
12. (AFA) Num cone reto, a medida do raio da base, da altura, e da geratriz estão, nessa ordem, em progressão
aritmética de razão igual a 1. Sabendo-se que a soma destas medidas é 12 dm e que a área total da superfície deste cone
é igual à área da superfície de uma esfera, a medida do raio da esfera, em dm, é
(A)
6
(B)
15
2
(C) 5
(D) 2
13. (AFA) Qual o volume, em cm3, da esfera inscrita em um cone reto, cuja altura e diâmetro da base são,
respectivamente, 16 cm e 24 cm.?
(A) 27π
500
(B)
π
3
(C) 288π
(D) 686π.
14. (AFA) Seja S a região do plano dada por
⎧2x + y ≤ 16
⎪
⎨x − y ≤ 2
⎪x − 2 ≥ 0
⎩
O volume do sólido gerado pela rotação de 360º de S em torno da reta x + 1 = 0 é, em unidade de volume, igual a:
(A) 208 π
(B) 235 π
(C) 252 π
(D) 316 π
15. (AFA) Considere um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência de raio R, tal que a projeção de um dos
R
catetos sobre a hipotenusa mede, em cm,
(m ≥ 1). Considere a esfera gerada pela rotação desta circunferência em
m
torno de um de seus diâmetros. O volume da parte desta esfera, que não pertence ao sólido gerado pela rotação do
triângulo em torno da hipotenusa, em cm3, é dado por
(A)
⎡ ⎛ m −1 ⎞2 ⎤
2
πR 3 ⎢1 + ⎜
⎟ ⎥
3
⎢⎣ ⎝ m ⎠ ⎥⎦
(B)
2
⎛ m +1⎞
πR 3 ⎜1 −
⎟
3
m ⎠
⎝
(C)
2
⎛ m +1⎞
πR 3 ⎜
⎟
3
⎝ m ⎠
(D
2
⎛ m −1 ⎞
πR 3 ⎜
⎟
3
⎝ m ⎠
2
2
2
Gabarito:
123456789101112131415-
D
D
D
A
D
A
A
A
C
A
B
A
C
A
D