Matemática
Frente I
CAPÍTULO 22 – EQUAÇÕES D A CIRCUNFERÊNCIA
Exercício Resolvido 2:
1 - RECORDANDO
Sabe-se
circunferência é
de ?
Até agora, o nosso foco principal foi as retas:
calculamos as equações geral e reduzida de uma
reta, a interseção entre duas retas, as condições
para duas retas serem paralelas ou perpendiculares,
o ângulo entre duas retas, a distância entre um ponto
e uma reta e a área de polígonos (que são figuras
geométricas limitadas por retas).
que
a
equação de uma
. Qual é a área
Resolução:
Para colocar a equação da circunferência no
formato tradicional, vamos dividí-la por dois:
A partir de agora, vamos começar a estudar
as curvas (que não são retas). E vamos começar
pela curva mais famosa e mais importante, que é a
circunferência.
Comparando a equação da circunferência
com a equação normal, tem-se:
2 - CENTRO NA ORIGEM
e
Seja
uma circunferência de centro na
origem, e
um ponto genérico de . Como
determinar a equação da circunferência ?
A área da circunferência é
Uma maneira fácil de determiná-la é analisar
o triângulo retângulo
abaixo:
Resposta: a área da circunferência cuja equação é
vale 16 unidades de área.
. Então, tem-se:
3 - EQUAÇÃO GERAL DA
CIRCUNFERÊNCIA
Nós acabamos de ver o caso particular em
que uma circunferência tem centro na origem. Nesse
caso, a sua equação é bem simples:
.
No entanto, na maioria dos casos o centro da
circunferência é um ponto diferente da origem. Isso
complica um pouco a equação da circunferência.
Para determiná-la, vamos fazer a mesma coisa que
fizemos quando o centro estava na origem: analisar
o triângulo retângulo
abaixo:
Figura 1 – circunferência com centro na origem
raio
Logo a equação de uma circunferência de
com centro na origem é a seguinte:
Exercício Resolvido 1:
Qual é a equação da circunferência com
centro na origem e raio ?
Resolução:
Como
, tem-se:
Resposta: a equação da circunferência com centro
na origem e raio 5 é
CASD Vestibulares
Figura 2 – circunferência com centro em um ponto qualquer
MAT I
1
_____________________________________________________________________________________
raio
Logo a equação de uma circunferência de
com centro em
é a seguinte:
Exercício Resolvido 6:
Sabe-se que a
circunferência é
centro e qual é o raio de ?
equação
de uma
. Qual é o
Exercício Resolvido 3:
Resolução:
Qual é a equação de uma circunferência com
centro no ponto
e raio ?
Comparando a equação de
geral da circunferência, tem-se:
com a equação
Resolução:
Como
, tem-se:
Resposta:
O centro de
Poderíamos parar por aqui, mas vamos
experimentar abrir as contas para ver no que dá:
é o ponto
e o seu raio é .
Exercício Resolvido 7:
Sabe-se que a
circunferência é
centro e qual é área de ?
Resposta:
A equação da circunferência com centro no ponto
e raio é
equação
de uma
. Qual é o
Resolução:
Comparando a equação de
geral da circunferência, tem-se:
com a equação
Exercício Resolvido 4:
Sabe-se que a
circunferência é
centro e qual é o raio de ?
equação
de uma
. Qual é o
A área da circunferência é
. Então, tem-se:
Resolução:
Comparando a equação de
geral da circunferência, tem-se:
com a equação
Resposta: O centro de
área vale
é o ponto
4 - POSIÇÕES RELATIVAS
PONTO E CIRCUNFERÊNCIA
Resposta:
O centro de
é o ponto
e o seu raio é .
Exercício Resolvido 5:
Sabe-se que a
circunferência é
centro e qual é o raio de ?
equação
de uma
. Qual é o
Resolução:
Comparando a equação de
geral da circunferência, tem-se:
Resposta:
O centro de
é o ponto
com a equação
e a sua
ENTRE
Como nós vimos nos exemplos na geometria
plana, há 3 possibilidades para a posição relativa
entre um ponto e uma circunferência
. Elas são:

Ponto exterior à circunferência: nesse caso,
;

Ponto pertencente à circunferência: nesse
caso,
;

Ponto interior à circunferência: nesse caso,
;
e o seu raio é .
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2
MAT I
CASD Vestibulares
_____________________________________________________________________________________
Exercício Resolvido 8:
O ponto
interior à circunferência
Exercício Resolvido 10:
é exterior, pertencente ou
?
O ponto
ou interior à circunferência
é exterior, pertencente
?
Resolução:
Resolução:
Seja
o centro de . Comparando a
equação de
com a equação geral da
circunferência, tem-se:
Seja
o centro de . Comparando a
equação de
com a equação geral da
circunferência, tem-se:
Logo, o centro de
é o ponto
.
Logo, o centro de
Então:
é o ponto
.
Então:
√
Portanto,
Resposta:
√
é um ponto exterior a .
Portanto,
é um ponto exterior a .
Resposta:
é exterior, pertencente
Resolução:
Seja
o centro de . Comparando a
equação de
com a equação geral da
circunferência, tem-se:
Logo, o centro de
é um ponto interior a .
5 – ENCONTRANDO O CENTRO
Exercício Resolvido 9:
O ponto
ou interior à circunferência
?
é um ponto interior a .
é o ponto
Então:
.
Até agora, nós vimos nos exercícios
resolvidos 1 e 3 que, dado o centro de uma
circunferência e o seu raio, é simples calcular a sua
equação.Também vimos nos exercícios resolvidos 2,
4, 5, 6 e 7 que dada a equação de uma
circunferência, é simples calcular o seu centro e o
seu raio, desde que a equação da circunferência
esteja no formato da equação geral.
No entanto, a equação da circunferência
nem sempre está no formato da equação geral: no
exercício resolvido 3, vimos que a expressão
representa
uma
circunferência de centro no ponto
e raio .
O problema é: se a equação da
circunferência não estiver no formato da equação
geral, como fazer para calcular o seu centro e o seu
raio?
√
A equação geral da circunferência é:
Desenvolvendo
transforma em:
Portanto,
Resposta:
os
quadrados,
ela
se
é um ponto pertencente a .
é um ponto pertencente a .
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CASD Vestibulares
MAT I
3
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Manipulando os termos, a equação geral da
circunferência transforma-se em
Exercício Resolvido 12:
Determine o centro e o raio de
que a sua equação é
Dessa forma, se os coeficientes de
são iguais a , tem-se que:



e
Resolução:
o coeficiente de é
;
o coeficiente de é
;
o termo independente (do lado direito), é
;
Assim, isolando
, sabendo
Para aplicar o nosso método, os coeficientes
de
e
devem ser iguais a , logo vamos dividir a
equação de por :
, tem-se que:
Passo 1: para encontrarmos a abcissa
centro, basta dividir o coeficiente de por
do
Passo 2: para encontrarmos a ordenada
centro, basta dividir o coeficiente de por
do
Passo 1: o coeficiente de
é . Então:
Passo 3: para encontrarmos o raio , basta
substituir
e
na equação geral da circunferência,
isolar os termos com
na equação dada e
substituí-los na expressão anterior:
Passo 2: o coeficiente de
é . Então:
Agora vamos aplicar esse método em alguns
exercícios resolvidos:
Exercício Resolvido 11:
Determine o centro e o raio de
que a sua equação é
Agora, vamos aos passos 1,2 e 3:
Passo 3: Substituindo
e
geral da circunferência, tem-se que:
na equação
, sabendo
Resolução:
Passo 1: o coeficiente de
é
. Então:
Passo 2: o coeficiente de
é
. Então:
Passo 3: Substituindo
e
geral da circunferência, tem-se que:
A equação dada é:
Substituindo
em
:
na equação
Resposta:
O centro de
é o ponto
e o seu raio vale .
A equação dada é:
Substituindo
Resposta:
O centro de
é o ponto
em
:
e o seu raio vale .
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4
MAT I
CASD Vestibulares
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Nível II
6 - RESUMO
Neste capítulo, nós vimos os seguintes
tópicos:

Equação da circunferência com centro na
origem:

Equação geral da circunferência:
Posições relativas entre um ponto
e uma
circunferência
:

é exterior a

é pertencente a

é interior a
se
se
;
se
;
;
Finalmente, vimos como determinar o centro
e o raio de uma circunferência, quando a sua
equação não está na forma geral.
(UNESP - 03) Considere a circunferência λ, de
equação (x - 3)2 + y2 = 5.
a) Determine o ponto P = (x, y) pertencente a λ, tal
que y = 2 e x > 3.
b) Se r é a reta que passa pelo centro (3, 0) de λ e
por P, dê a equação e o coeficiente angular de r.
3.
4. (UFF - 06) Considere P e Q os pontos de
interseção da reta de equação 2y - x = 2 com os
eixos coordenados x e y, respectivamente.
a) Determine as coordenadas dos pontos P e Q.
b) Determine a equação da circunferência que tem o
segmento PQ como diâmetro.
5. (FATEC - 97) Sejam O a origem do sistema de
eixos cartesianos e A o centro da circunferência de
2
2
equação x + y - 2x - 4y - 4 = 0. A equação de reta
que passa pelos pontos A e O é:
a) y = 2x + 1 b) y = 2x -1 c) y = x/2
d) y = 2x
e) y = x
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
6. (FATEC - 06) Num sistema de eixos cartesianos
Nível I
1. (UNESP - 01) A equação da circunferência com
centro no ponto C= (2,1) e que passa pelo ponto P=
(0,3) é dada por
a) x2 + (y - 3)2 = 0.
b) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4.
c) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 8.
d) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 16.
e) x2 + (y - 3)2 = 8.
2. (UFSCAR- 02) O raio da circunferência inscrita em
um triângulo de lados ,
pela fórmula
e c \ pode ser calculado
ortogonais, considere a circunferência λ e a reta r, de
equações x2 + y2 - 6x + 2y + 6 = 0 e 3x + 7y - 21 = 0.
respectivamente. A reta s, que é paralela a r e
contém o centro de λ, tem equação
a) 3x + 7y - 2 = 0 b) 3x - 7y - 2 = 0 c) 3x - 7y + 5 = 0
d) 3x + 7y - 16 = 0
e) 7x + 3y - 2 = 0
7. A área do quadrado inscrito na circunferência
x2 + y2 + 4x - 6y -3 = 0 é:
a) 8
b) 12,5
c) 16
d) 30
e) 32
8. Quais os valores de para que o ponto
seja externo a circunferência
( x + 1 )2 + ( y -1)2 = 25?
√
onde é o semiperímetro do triângulo. Os catetos de
um triângulo retângulo medem 3 e 4 e estão sobre os
eixos cartesianos, conforme a figura.
GABARITO
1. C
2. a)
3. a)
4. a)
b)
) b)
;
b)
(
)
5.D
6. A
Determine nesse triângulo:
a) o raio da circunferência inscrita.
b) a equação da circunferência inscrita.
7. E
8.
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CASD Vestibulares
MAT I
5