Prof. Dr. Afonso Henriques, [email protected]
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO - PROGRAD
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET
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CÁLCULO IV
GUIA DE ESTUDO N 2
OBJETIVOS:
•
Proporcionar o ábito de leitura no aluno;
•
Motivar a leitura prévia do conteúdo a ser ministrado na aula seguinte;
•
Motivar o aluno para o envolvimento, entendimento e participação na aula seguinte;
•
Fixar conceitos discutidos em aulas; deposite a sua maior atenção para as explicações
•
e participe nas discussões sobre o assunto em curso;
Evitar a metodologia tradicional de exposição unilateral do conceito;
INSTRUÇÕES:
•
Faça uma leitura cuidadosa do presente guia antes da aula;
•
Numa primeira leitura anote todas dúvidas a fim de discuti-las em sala de aula com
professor e com os demais colegas;
•
Atente para a leitura sistematizada do guia, de modo que as definições, teoremas,
lemas e corolários, fiquem bem entendidos;
•
Consulte pré-requisitos sempre que for necessário (este é um dos pontos importantes);
•
Consulte o professor, sempre que surgir uma dúvida na leitura do presente guia, antes
ou depois da aula;
•
Evite copiar aulas expositivas;
•
Responda sempre todos os exercícios presentes nesta guia, sem esquecer os demais
problemas presentes no livro texto, bem como nas demais referências bibliográficas da
disciplina em curso.
Deve se aprender fazendo o que se aprende; “Não há ramo da Matemática, por mais
Pensamentos
porque embora se pense que aprendeu uma abstrata que seja, que não possa um dia vir
coisa, só se terá certeza quando se tentar ser aplicado aos fenômenos do mundo
fazer a coisa.
real”.
Sophocles
Lobachevsky
IDENTIFICAÇÃO
Nome: ___________________________________________________
Matrícula _______________________ Curso ______________________
Disciplina _________________ Turma ___________ Turno ____________
Professor _____________________________Data ____ / _____ / _____
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MASSA E DENSIDADE
INTROCUÇÃO
Antes de prosseguirmos para o estudo de cálculo de Momento e Centro de Massa
utilizando integrais triplas, é interessante abrirmos um parêntese com uma pequena
incursão em aplicações preliminares de determinação da MASSA e DENSIDADE de um
sólido homogênea, pois elas nos facilitarão no entendimento de algumas propriedades das
operações com integrais triplas, estendendo os estudos para uma lâmina não-homogênea.
DENSIDADE DE MASSA:
Se um sólido tem massa m e volume V, e se a massa é distribuída uniformemente por todo
o sólido, dizemos que o sólido é homogêneo, e a DENSIDADE DE MASSA δ é dada por
m
ou m = δV ou seja, δ é massa por unidade de volume. Se por exemplo, m está
V
em quilograma e V em metros cúbicos, então δ esta em kg/m3.
δ =
Consideramos agora um corpo NÃO-HOMOGÊNEO em que a
densidade de massa não é a mesma em todo ele. Introduzimos um
sistema de coordenadas tal como na figura ao lado onde Q é um
sólido não-homogêneo. Para definir a densidade de massa δ ( x , y, z )
em P(x,y,z), consideramos uma sub-região Qk em forma de um
fig. 1
cubinho que contem P e tenha volume Vk e massa ∆mk (fig. 1). Se a
maior diagonal ∆Vk é suficientemente pequena, é de esperar que ∆mk / ∆Vk seja uma
aproximação de δ ( x , y, z ) . Isso conduz a seguinte relação:
δ(x , y, z ) =
∆mk
∆Vk → 0 ∆Vk
lim
Se o limite na definição acima existe e ∆Vk ≈ 0 , então ∆mk = δ ( x , y, z ) ∆Vk .
Em alguns casos podemos conhecer a densidade δ ( x , y, z ) e querermos achar a massa. Se a
densidade é uma função contínua e Q é uma região conveniente, então consideraremos uma
partição interior {Qk} de Q, escolhendo um ponto (xk, yk, zk) em cada Qk, e formamos a
soma de Riemann
∑ δ ( xk , yk , zk )∆Vk . Assim, podemos definir a massa m de Q como um
k
limite de tais somas, o que nos dá a seguinte fόrmula (técnica) para o cálculo de massa de
um sόlido não-homogêneo por integrais triplas:
m=
∫∫∫δ ( x, y, z) dV
Q
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EXEMPLO
Um sólido tem a forma de um cilindro circular reto com raio da base a e altura h.
Determine a massa, se a densidade em um ponto P é diretamente proporcional à distância
de uma das bases a P.
A discussão acima é análoga para uma lâmina com a forma de uma
Fig. 2
região retangular R do plano-xy. Para tal, consideramos uma subregião RK que contenha o ponto P e tenha área ∆Ak (cf. fig. 2 ao
lado). Nesse caso, a densidade de massa por área em P(x,y) é
definida por
δ ( x, y) =
∆mk
∆Ak →0 ∆Ak
lim
Tal como para o caso de sólidos, a equação abaixo permite o calculo de massa de uma
lâmina
m=
∫∫δ ( x, y )dA
R
EXERCÍCIOS
1) Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo isósceles com lados iguais de
comprimentos a. Ache a massa, se a densidade de massa por área em um ponto P é
diretamente proporcional ao quadrado da distância de P ao vértice oposto à
hipotenusa.
2) Uma lâmina com densidade de massa por área δ ( x , y ) tem a forma da região delimitada
pelos gráficos das equações abaixo. Estabeleça uma integral dupla para achar a massa
da lâmina.
a) δ ( x , y ) = y2; y = e-x, x =0, x = 1,
y = 0;
b) δ ( x , y ) =x2 + y2; xy2 = 1, x =0, y = 1,
y = 2.
3) Um sólido de densidade δ(x , y, z ) tem a forma da região delimitada pelos gráficos das
equações abaixo. Esboce os respectivos gráficos, e estabeleça uma integral tripla para
calcular a massa do sólido.
a) δ ( x , y, z ) = x2 + y2; x + 2y + z = 4, x =0, y =0, z = 0;
b) δ ( x , y, z ) = z +1; z = 4 – x2 – y2, z = 0.
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MOMENTO E CENTRO DE MASSA
Os momentos e centro de massa de uma lâmina homogênea foram também abordados no
cálculo II (aplicação de integrais definidas para funções de uma variável). Agora
utilizaremos integrais duplas para estender tais conceitos a uma LÂMINA NÃO HOMOGÊNEA
L que tenha a forma de uma região R do plano-xy.
Se a densidade de massa por área em um ponto (x, y) é δ(x , y ) e se δ é uma função contínua
em R, então, de acordo com a definição anterior, a massa m de L é
m=
∫∫ δ(x, y )dA
R
Seja P = {Rk } uma partição de R e, para k seja (xk, yk) um ponto arbitrário de Rk. Como
δ é continua em R, uma pequena variação acarreta uma pequena variação na densidade
δ(x , y ) . Isto é, δ é quase constante em Rk. Logo se P ≈ 0 , a ∆mk que correponde a Rk
pode ser aproximada por δ(x k , yk )∆Ak onde ∆Ak é a área de Rk.
Admitindo que a massa ∆mk seja concentrada em (xk, yk) então, o momento desse elemento
da Lâmina L em relaçãoao eixo-x é o produto yk δ(x k , yk )∆Ak . A soma dos momentos deve
aproximar-se do momento da lâmina. Assim, temos a seguinte:
DEFINIÇÃO
Seja L uma lâmina com forma de uma região
R do plano-xy. Se a densidade de massa por
área em (x, y) é δ ( x , y ) e se δ é uma função
contínua em R, então a massa m, os
momentos Mx e My e o centro de massa
( x , y ) são respectivamenete
(i)
m=
∫∫ δ(x, y )dA
R
(ii)
(iii)

M x = ∫∫ y δ(x , y )dA

R

M =
 y ∫∫ x δ(x , y )dA
R

My

 x =
m

y = Mx

m
Obs.
• Mx é o momento de L em relação ao eixo-x.
• My é o momento de L em relação ao eixo-y.
• ( x,
y ) centro de massa (ou centro de
gravidade ou ponto de equi’líbrio) da lâmina
L.
• Os
momentos Mx e My são também
chamados primeiros momentos de L em
relação aos eixos de coordenadas.
• Se L é homogênea, então a densidade de
massa por área
δ ( x, y )
é constante, e pode
ser cancelada em (iii) na definição ao lado
• O
centro
de
massa
de
uma
lâmina
homogênea depende apenas da sua forma;
• ( x,
y ) é o centróide de R.
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EXEMPLO:
(1) Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo isósceles com os lados iguais de
comprimentos a. A densidade de massa por área no ponto P é diretamente proporcional
o quadrado da distância de P ao vértice oposto à hipotenusa. Ache o centro de massa.
(2) Uma lâmina tem a forma da região R do plano-xy delimitada pela parábola x = y2 e a
reta x = 4. A densidade de massa por área no ponto P(x,y) é diretamente proporcional
à distância do eixo-y a P. Ache o centro de massa.
MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA LÂMINA
Como destacamos na observação, os momentos Mx e My são também chamados primeiros
momentos de L em relação aos eixos de coordenadas. Considerando os quadrados das
distâncias aos eixos coordenados, obtemos os segundo momentos ou momentos de inércia,
Ix, e Iy em relação ao eixo-x e ao eixo-y respectivamente. A soma I0, = Ix, + Iy é o momento
polar, ou momento de inércia em relação à origem.
As fórmulas abaixo descrevem os momentos de inércia de uma lâmina.
I x = lim∑ yk2δ(x k , yk )∆A =∫∫ y 2δ(x , y )dA
P →0
k
R
I y = lim∑ x k2δ(x k , yk )∆A =∫∫ x 2δ(x , y )dA
P →0
k
R
I 0 = lim∑ (x k2 + yk2 ) δ(x k , yk )∆A =∫∫ (x 2 + y 2 ) δ(x , y )dA
P →0
k
R
EXEMPLO
Uma lâmina tem a forma de um semicírculo de raio a. A densidade de massa por área é
diretamente proporcional à distância do eixo-x. Ache o momento de inércia em relação ao
eixo-x.
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MOMENTO E CENTRO DE MASSA EM TRÊS DIMESSÕES
Consideramos um sólido com a forma de uma região tridimensional Q. Suponhamos que a
densidade de massa em (x, y, z) seja δ(x , y, z ) e que δ seja uma função contínua em todo
Q. Seja {Qk} uma partição interior de Q, e seja ∆Vk o volume de Qk. Se (xk, yk, zk) é um
ponto de Qk tal como na figura ao lado, então a massa correspondente é aproximadamente
δ(x k , yk , z k )∆Vk . Consequentemente, a massa do sólido Q é o limite de soma desse produto.
Isto é:
lim
P →0
∑ δ(x , y , z )∆V
k
k
k
k
k
=
∫∫∫
Q
δ(x , y, z )dV .
O momento em relação ao plano-xy da parte do sólido que
corresponde Qk é aproximadamente z k δ(x k , yk , z k )∆Vk . Somando e
tomando o limite, obtemos o momento Mxy do sólido em relação ao
plano-xy. Analogamente, obtêm-se os momentos Mxz e Myz em relação
fig. 3
aos planos xz e yz respectivamente. O centro de massa (x , y, z ) se
define como segue:
DEFINIÇÃO:
Massa
m=
∫∫∫ δ(x, y, z )dV
Centro de massa
Q
M xy =
∫∫∫ z δ(x, y, z )dV
(x , y, z )
Q
Momentos
M xz =
∫∫∫ yδ(x, y, z )dV
onde
Q
M yz =
∫∫∫ x δ(x, y, z )dV
Q
x=
M yz
,
m
y=
M xz
,
m
z=
M xy
m
Obs. O centro de massa de um sólido homogêneo depende somente da forma de Q. Tal
como em duas dimensões, o ponto correspondente para sólido geométrico é chamado de
centróide do sólido. Para achar o centróide, fazemos δ ( x , y, z ) = 1 na definição acima.
EXEMPLO:
1. Um sólido tem a forma de um cilindro circular reto de raio da base a e altura h.
A densidade em um ponto P é diretamente proporcional à distância de uma das
bases a P. Ache o centróide de massa.
2. Um sólido tem a forma da região do primeiro octante delimitada pelo
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parabolóide z=4-9x2 – y2 e os planos y = 4x, z = 0 e y = 0. A densidade no
ponto P(x, y, z) é proporcional a distância da origem a P. Estabeleça integrais
iteradas para calcular x .
MOMENTO DE INÉRCIA DE SÓLIDOS
Se uma partícula de massa m está no ponto (x, y, z), então sua
distância ao eixo-z é
x 2 + y 2 (cf. fig. 4) e seu momento de
inércia Iz em relação ao eixo-z define-se como (x2+y2)m. Por
analogia, os momentos de inércia Ix e Iy em relação ao eixo x e y
fig. 4
são respectivamente (y2+z2)m e (x2+ z2)m. Para sólidos da forma
Q da figura 3, empregamos limites de soma na maneira usual,
para obtermos o seguinte.
I z = ∫∫∫ (x 2 + y 2 )δ(x , y, z )dV
MOMENTOS DE INÉRCIA
DE SÓLIDOS
Q
Ix =
∫∫∫ (y
2
+ z 2 )δ(x , y, z )dV
Q
I y = ∫∫∫ (x 2 + z 2 )δ(x , y, z )dV
Q
EXEMPLO:
1. Ache o momento de inércia, em relação ao eixo de simetria, do sólido cilíndrico
do exemplo anterior
2. Um sólido homogêneo tem a forma da região Q delimitada pelo cone x2–y2+z2=0
e o plano y = 3. Estabeleça uma integral tripla para calcular seu momento de
inércia em relação ao eixo-y.
Seja R uma região de um plano situada inteiramente a um lado de uma
TEOREMA
reta l do plano. Fazendo R revolver uma vez em torno de l, o volume do
DE PAPPUS sólido resultante é o produto da área de R pela distância percorrida pelo
centróide de R.
Demo:......................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
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EXERCÍCIOS.
1. Estabeleça uma integral iterada para achar o momento de inércia em relação ao eixo-z
do sólido indicado.
a) Esfera de raio a e centro na origem; onde δ(x , y, z ) = x 2 + y 2 + z 2
b) O cone delimitado pelos gráficos de x2+9y2–z2=0 e z = 36; onde δ(x , y, z ) = x 2 + y 2 .
2. Determine a massa e o centro de massa da lâmina que tema forma da região delimitada
pelos gráficos das equações dadas e a densidade de massa por área indicada.
a) y = x ,
x = 9,
y = 0;
δ(x , y ) = x = y
b) y = x2, y = 4 e a densidade no ponto P(x, y) é diretamente proporcional à distância
do eixo-y a P.
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